Spații multidimensionale - mit sau realitate? Este imposibil pentru majoritatea dintre noi, sau poate pentru toți, să ne imaginăm o lume formată din mai mult de trei dimensiuni spațiale. Este corect să spunem că o astfel de lume nu poate exista? Sau pur și simplu mintea umană incapabil să-și imagineze dimensiuni suplimentare - dimensiuni care ar putea fi la fel de reale ca și alte lucruri pe care nu le putem vedea?

Auzim adesea ceva de genul „spațiu tridimensional”, sau „spațiu multidimensional”, sau „spațiu patrudimensional”. Poate știți că trăim în spațiu-timp 4D. Ce înseamnă asta și de ce este interesant, de ce matematicienii și nu numai matematicienii studiază astfel de spații?

Ilya Șciurov- Candidat la științe fizice și matematice, conferențiar al Departamentului de Matematică Superioară, Universitatea Națională de Cercetare, Școala Superioară de Economie. Jason Hise- Programator de fizică la Ready at Dawn Studios, pasionat de geometrie 4D. Autorul modelelor animate prezentate în acest articol. ashgrowen- un pikabuster care a ilustrat construcția unui tesseract și a unui hipercub în acest articol.

Să începem simplu - începem cu spațiu unidimensional. Să ne imaginăm că avem un oraș care se află de-a lungul drumului, iar în acest oraș există o singură stradă. Apoi putem codifica fiecare casă de pe această stradă cu un singur număr - casa are un număr, iar acest număr determină în mod unic ce casă este vorba. Oamenii care locuiesc într-un astfel de oraș pot fi considerați că trăiesc într-un astfel de spațiu unidimensional. A trăi într-un spațiu unidimensional este destul de plictisitor, iar oamenii nu trăiesc de obicei într-un spațiu unidimensional.

De exemplu, dacă vorbim despre orașe, atunci putem trece de la spațiu unidimensional la bidimensional. Un exemplu de spațiu bidimensional este un plan, iar dacă ne continuăm analogia cu orașele, atunci acesta este un oraș în care puteți desena străzi, să spunem, perpendiculare între ele, așa cum se face la New York, în centrul New York-ului. Există o „stradă” și un bulevard, fiecare având propriul său număr și puteți seta locația în avion, setați două numere. Din nou, cunoaștem cu toții sistemul de coordonate carteziene familiar de la școală - fiecare punct este dat de două numere. Acesta este un exemplu spațiu bidimensional.

Dar dacă vorbim despre un oraș precum centrul New York-ului, atunci de fapt este un spațiu tridimensional, pentru că nu este suficient să specificați, de exemplu, o anumită casă, chiar dacă o specificați prin intersectia unor "strazi" si a unui bulevard, - va trebui sa specificati si etajul pe care se afla apartamentul de care aveti nevoie. Acest lucru vă va oferi a treia dimensiune, înălțimea. vei reusi spatiu tridimensional, în care fiecare punct este dat de trei numere.

Întrebare: ce este spațiu cu patru dimensiuni? Nu este atât de ușor să-l imaginezi, dar poți crede că acesta este un spațiu în care fiecare punct este dat de patru numere. De fapt, tu și cu adevărat trăim într-un spațiu-timp cu patru dimensiuni, pentru că evenimentele vieții noastre sunt codificate doar de patru numere - pe lângă poziția în spațiu, există și timpul. De exemplu, dacă stabiliți o dată, atunci puteți proceda astfel: puteți specifica trei numere care vor corespunde unui punct din spațiu și asigurați-vă că specificați ora, care este de obicei setată în ore, minute, secunde, dar îl puteți codifica ca un singur număr. De exemplu, numărul de secunde care au trecut de la o anumită dată este, de asemenea, un singur număr. Astfel, se obține un spațiu-timp cu patru dimensiuni.

Nu este foarte ușor să ne imaginăm geometria acestui spațiu-timp cu patru dimensiuni. De exemplu, suntem obișnuiți cu faptul că în spațiul nostru tridimensional obișnuit, două plane se pot intersecta în linie dreaptă sau pot fi paralele. Dar nu se întâmplă ca două planuri să se intersecteze la un moment dat. Două linii se pot intersecta într-un punct, dar pe un plan nu pot în spațiul tridimensional. Și în spațiul cu patru dimensiuni, două planuri se pot intersecta și cel mai adesea într-un punct. Este posibil să ne imaginăm, deși acest lucru este deja destul de dificil, un spațiu de o dimensiune superioară. De fapt, matematicienii, când lucrează cu spații cu dimensiuni mari, de cele mai multe ori spun simplu: să presupunem că un spațiu cu cinci dimensiuni este un spațiu în care un punct este dat de cinci numere, cinci coordonate. Desigur, matematicienii au dezvoltat diverse metode care ne permit să înțelegem ceva despre geometria unui astfel de spațiu.

De ce este important? De ce sunt necesare astfel de spații? În primul rând, spațiul cu patru dimensiuni este important pentru noi, pentru că este folosit în fizică, pentru că trăim în el. De ce avem nevoie de spații de dimensiuni mai mari? Să ne imaginăm că studiem niște obiecte care au un număr mare de parametri. De exemplu, studiem țări, iar fiecare țară are un teritoriu, populație, produs intern brut, număr de orașe, niște coeficienți, indici, ceva de genul ăsta. Ne putem imagina fiecare țară ca un singur punct într-un spațiu de dimensiune suficient de mare. Și se dovedește că, din punct de vedere matematic, acesta este modul corect de a gândi.

În special, trecerea la geometria spațiului multidimensional permite analizarea diferitelor obiecte complexe cu un număr mare de parametri.

Pentru a studia astfel de obiecte se folosesc metode dezvoltate într-o știință numită algebră liniară. Deși este algebră, este de fapt știința geometriei spațiilor de dimensiuni superioare. Desigur, deoarece este destul de greu să le imaginezi, matematicienii folosesc formule pentru a studia astfel de spații.

Este destul de greu de imaginat un spațiu cu patru, cinci sau șase dimensiuni, dar matematicienii nu se tem de dificultăți și nici măcar o sută de spații de dimensiuni nu sunt suficiente pentru ei. Matematicienii au venit cu un spațiu infinit-dimensional - un spațiu care conține un număr infinit de dimensiuni. Un exemplu de astfel de spațiu este spațiul tuturor funcțiilor posibile definite pe un segment sau linie.

Se pare că metodele care au fost dezvoltate pentru spații cu dimensiuni finite se transferă în multe privințe la cazuri extrem de complexe în ceea ce privește pur și simplu încercarea de a le reprezenta pe toate.

Algebra liniară are numeroase aplicații nu numai în matematică, ci și într-o mare varietate de științe, de la fizică la, de exemplu, economie sau Stiinte Politice. În special, algebra liniară este baza pentru statisticile multivariate, care este folosită doar pentru a izola relațiile dintre diferiți parametri din unele matrice de date. În special, termenul de acum popular Big Data este adesea asociat cu rezolvarea problemelor de procesare a datelor, care sunt reprezentate tocmai de un număr mare de puncte într-un spațiu de o dimensiune finită. Cel mai adesea, astfel de probleme pot fi reformulate și percepute în mod rezonabil precis în termeni geometrici.

Asa de anii de scoala matematica este împărțită în algebră și geometrie. Dar, de fapt, dacă ne gândim la modul în care funcționează matematica modernă, atunci vom înțelege că acele probleme care acum sunt rezolvate, în special, folosind metodele algebrei liniare, sunt de fapt o continuare foarte îndepărtată a acelor probleme la care s-au gândit. cu multe mii de ani în urmă, de exemplu Pitagora sau Euclid, dezvoltând aceeași geometrie școlară care se află acum în orice manual școlar. În mod surprinzător, sarcina de a analiza big data se dovedește a fi, într-un fel, un descendent al exercițiilor aparent complet lipsite de sens - cel puțin din punct de vedere practic - ale grecilor antici de a trasa linii sau cercuri pe un plan sau a desenat mental. linii sau plane în spațiul tridimensional.

Ce este spațiul cu patru dimensiuni ("4D")?

Tesseract - un cub cu patru dimensiuni

Toată lumea știe abrevierea 3D, adică „tridimensional” ( litera D - din cuvânt dimensiune - dimensiune ). De exemplu, atunci când alegeți un film marcat 3D într-un cinema, știm sigur că va trebui să purtați ochelari speciali pentru a-l viziona, dar imaginea nu va fi plată, ci tridimensională. Ce este 4D? „Spațiul patrudimensional” există în realitate? Și poți să ieși afară „A patra dimensiune”?

Pentru a răspunde la aceste întrebări, să începem cu cel mai simplu obiect geometric - un punct. Ideea este nulă. Nu are nici lungime, nici latime, nici inaltime.

Acum să deplasăm punctul de-a lungul unei linii drepte cu o anumită distanță. Să spunem că punctul nostru este vârful unui creion; când l-am mutat, a tras o linie. Un segment are o lungime și nu mai are dimensiuni: este unidimensional. Segmentul „trăiește” pe o linie dreaptă; linia este un spațiu unidimensional.

Tesseract - cub cu patru dimensiuni

Acum să luăm un segment și să încercăm să-l mutăm ca înainte de un punct. Vă puteți imagina că segmentul nostru este baza unei perii late și foarte subțiri. Dacă trecem dincolo de linie și ne deplasăm într-o direcție perpendiculară, obținem un dreptunghi. Un dreptunghi are două dimensiuni - lățime și înălțime. Dreptunghiul se află într-un anumit plan. Planul este un spațiu bidimensional (2D), pe el puteți introduce un sistem de coordonate bidimensional - fiecărui punct îi va corespunde o pereche de numere. (De exemplu, un sistem de coordonate carteziene pe o tablă sau latitudine și longitudine pe o hartă geografică.).

Dacă mutați dreptunghiul într-o direcție perpendiculară pe planul în care se află, obțineți o „cărămidă” ( cuboid) - un obiect tridimensional care are lungime, lățime și înălțime; este situat într-un spațiu tridimensional, în același în care trăim. Prin urmare, avem o idee bună despre cum arată obiectele tridimensionale. Dar dacă am trăi într-un spațiu bidimensional - într-un plan - ar trebui să ne întindem destul de mult imaginația pentru a ne imagina cum putem muta dreptunghiul astfel încât să iasă din planul în care trăim.

Tesseract - cub cu patru dimensiuni

De asemenea, ne este destul de dificil să ne imaginăm un spațiu cu patru dimensiuni, deși este foarte ușor de descris matematic. Spațiul tridimensional este un spațiu în care poziția unui punct este dată de trei numere (de exemplu, poziția unei aeronave este dată de longitudine, latitudine și altitudine). În spațiul cu patru dimensiuni, un punct corespunde la patru numere-coordonate. O „cărămidă cu patru dimensiuni” se obține prin deplasarea unei cărămizi obișnuite de-a lungul unei direcții care nu se află în spațiul nostru tridimensional; are patru dimensiuni.

De fapt, întâlnim în fiecare zi spațiu cu patru dimensiuni: de exemplu, atunci când facem o dată, indicăm nu doar locul întâlnirii (se poate seta cu un triplu de numere), ci și ora (se poate seta cu un un singur număr, de exemplu, numărul de secunde care au trecut de la o anumită dată). Dacă te uiți la o cărămidă adevărată, aceasta are nu numai lungime, lățime și înălțime, ci și o lungime în timp - de la momentul creației până la momentul distrugerii.

Fizicianul va spune că nu trăim doar în spațiu, ci și în spațiu-timp; matematicianul va adăuga că este cu patru dimensiuni. Deci a patra dimensiune este mai aproape decât pare.

Reprezentarea altor dimensiuni

De la 2D la 3D

O încercare timpurie de a explica conceptul de dimensiuni suplimentare a venit în 1884 odată cu publicarea romanului Pământ plat. Edwin A. Abbott „Flatland: Un roman de dimensiuni multiple”". Acțiunea din roman are loc într-o lume plată numită „Platland”, iar povestea este spusă din perspectiva unui pătrat locuitor al acestei lumi. Odată într-un vis, pătratul se găsește într-o lume unidimensională - Lineland, ai cărui locuitori (triunghiuri și alte obiecte bidimensionale sunt reprezentate ca linii) și încearcă să explice conducătorului acestei lumi existența celei de-a doua dimensiuni, ajunge totuși la concluzia că este imposibil să-l forțezi să depășească cadrul pentru a gândi și a reprezenta doar linii drepte.

Pătratul își descrie lumea ca un plan populat de linii, cercuri, pătrate, triunghiuri și pentagoane.

Odată apare o minge în fața pătratului, dar nu își poate înțelege esența, deoarece pătratul din lumea sa poate vedea doar o felie a sferei, doar forma unui cerc bidimensional.

Sfera încearcă să explice pătratului structura lumii tridimensionale, dar pătratul înțelege doar conceptele „sus/jos” și „stânga/dreapta”, nu este capabil să înțeleagă conceptele „înainte/înapoi”. ”.

Abia după ce sfera scoate pătratul din lumea sa bidimensională în lumea sa tridimensională, el înțelege în sfârșit conceptul de trei dimensiuni. Din acest nou punct de vedere, pătratul devine capabil să vadă formele compatrioților săi.

Pătratul, înarmat cu noile sale cunoștințe, începe să realizeze posibilitatea unei a patra dimensiuni. De asemenea, ajunge la concluzia că numărul dimensiunilor spațiale nu poate fi limitat. Într-un efort de a convinge sfera de această posibilitate, pătratul folosește aceeași logică ca și sfera, argumentând pentru existența a trei dimensiuni. Dar acum sfera „miopică” devine „miopea” celor doi, care nu poate înțelege acest lucru și nu acceptă argumentele și argumentele pătratului - așa cum majoritatea dintre noi, „sferele” de astăzi, nu acceptăm ideea de dimensiuni suplimentare.

Recenzie de carte Flatland Ținând cont de exclusivitatea atât a genului, care, cu oarecare imaginație și existența celorlalți reprezentanți ai săi, ar putea fi numit roman matematic, cât și a cărții în sine, nu vreau să o certam prea mult. Cu toate acestea, aici merită laudă doar prezentarea neobișnuită, care este aproape în spirit de lucrările lui Lewis Carroll, totuși, spre deosebire de el, care are mult mai puține puncte de contact cu viața reală. Această carte, așa cum s-a menționat pe bună dreptate în prefața ediției, este diferită de orice popularizare, cu toate acestea, cititorului nu este în întregime clar de ce este comparată cu popularizări, deoarece, deși adevărurile matematice sunt cu siguranță atinse în ea, orice. cu siguranță imposibil de considerat cartea ca pe o popularizare. Și iată de ce: Iată un exemplu unic de combinare a ficțiunii cu ideile matematice. Și pentru un matematician căruia îi place să citească, ideea pare inițial remarcabilă: ca postulatelor matematice, introduceți în considerare o serie de obiecte abstracte, înzestrează-le cu anumite proprietăți, stabilește regulile jocului în spațiul descris și apoi, din nou, imitând gândul unui cercetător care observă interacțiunile acestor obiecte speculative, urmează transformarea lor. Dar, întrucât cartea este încă artistică, aici nu este loc pentru eforturile voinței unui om de știință, prin urmare, pentru autosuficiența lumii prezentate publicului, obiectele de aici sunt înzestrate cu conștiință și motivație pentru orice interacțiuni. unul cu celălalt, după care intră în lumea anterior abstractă Viata de zi cu zi ideile pure aduc interacțiuni sociale cu o grămadă de probleme care însoțesc întotdeauna orice relație. Tot felul de fricțiuni care apar în carte pe motive sociale, conform privitorului, sunt complet inutile în carte: practic nu sunt dezvăluite și nu pot fi luate în serios și, în același timp, distrage atenția cititorului de la lucrurile adevărate pentru care cartea a fost scrisă. Chiar și ținând cont de asigurările ambilor autori cu privire la lipsa de grabă a narațiunii, presupus mai confortabilă pentru cititor la dobândirea oricărei cunoștințe (aici se face o comparație cu popularizări), ritmul narațiunii părea extrem de întins și lent la privitorul, iar repetarea aceleiași explicații de mai multe ori aceleași cuvinte m-a făcut să mă îndoiesc că naratorul îl evaluează în mod adecvat capacitate mentala. Și în cele din urmă nu este clar pentru cine este această carte. Pentru persoanele neobișnuite cu matematica, o descriere a unui fenomen în general interesant într-o formă atât de liberă este puțin probabil să aducă plăcere, în timp ce cei familiarizați cu matematica vor fi mult mai plăcuți să preia popularizarea de înaltă calitate, unde măreția și frumusețea matematicii sunt nediluat cu basme plate.

De la 3D la 4D

Ne este greu să acceptăm această idee, pentru că atunci când încercăm să ne imaginăm chiar și o dimensiune spațială suplimentară, ne lovim de un zid de cărămidă al înțelegerii. Se pare că mintea noastră nu poate depăși aceste limite.

Imaginați-vă, de exemplu, că vă aflați în centrul unei sfere goale. Distanța dintre tine și fiecare punct de pe suprafața sferei este egală. Acum încercați să vă deplasați într-o direcție care vă permite să vă îndepărtați de toate punctele de pe suprafața sferei, menținând echidistanța. Nu poti face asta..

Un Flatlander s-ar confrunta cu aceeași problemă dacă s-ar afla în centrul cercului. În lumea sa bidimensională, el nu poate fi în centrul cercului și nu se poate mișca într-o direcție care îi permite să rămână echidistant față de fiecare punct de pe circumferința cercului, decât dacă trece în a treia dimensiune. Din păcate, nu avem un ghid 4D ca în romanul lui Abbott care să ne arate calea către 4D.

Ce este un hipercub? Construirea unui tesseract

Tipuri de hipercuburi și numele lor 1. Punct - măsurare zero 2. Segment - spațiu unidimensional 3. Pătrat - spațiu bidimensional (2D) 4. Cub - spațiu tridimensional (3D) 5. Tesseract - spațiu cu patru dimensiuni (4D)

Un hipercub este un nume generic pentru un cub într-un număr derivat de dimensiuni. Există zece dimensiuni în total, plus un punct (dimensiune zero).

În consecință, există unsprezece tipuri de hipercub. Luați în considerare construcția unui tesseract - un hipercub de dimensiunea a patra:

Mai întâi, să construim punctul A (Fig. 1):

După aceea, îl conectăm cu punctul B. Obținem vectorul AB (Fig. 2):

Să construim un vector paralel cu vectorul AB și să-l numim CD. Conectând începuturile și sfârșiturile vectorilor, obținem pătratul ABDC (Fig. 3):

Acum să construim un alt pătrat A1B1D1C1, care se află într-un plan paralel. Conectând punctele într-un mod similar, obținem un cub (Fig. 4):

Avem un cub. Imaginează-ți că poziția cubului în spațiul 3D s-a schimbat în timp. Remediați noua locație (Figura 5.):

Și acum, desenăm vectori care conectează locația punctelor din trecut și din prezent. Obținem un tesseract (Fig. 6):

Orez. 6 Teseract (cladire)

Alte hipercuburi sunt construite în mod similar, desigur, se ține cont de sensul spațiului în care se află hipercubul.

Ce zici de 10D?

În 1919 matematicianul polonez Theodor Kaluza a sugerat că existența unei a patra dimensiuni spațiale ar putea lega teoria generală a relativității și teoria electromagnetică. O idee îmbunătățită ulterior de un matematician suedez Oscar Klein, era că spațiul consta atât din dimensiuni „extinse”, cât și din dimensiuni „pliate”. Dimensiunile extinse sunt cele trei dimensiuni spațiale cu care suntem familiarizați, iar dimensiunea prăbușită este adânc în dimensiunile extinse. Experimentele au arătat mai târziu că măsurarea pliată a lui Kaluza și Klein nu a unificat relativitatea generală și teoria electromagnetică așa cum se credea inițial, dar decenii mai târziu, teoreticienii corzilor au găsit ideea utilă, chiar necesară.

Matematica folosită în teoria superstringurilor necesită cel puțin 10 dimensiuni. Adică, pentru ecuațiile care descriu teoria superstringurilor și pentru a conecta relativitatea generală cu mecanica cuantică, pentru a explica natura particulelor, pentru a unifica forțele etc., este necesar să se utilizeze dimensiuni suplimentare. Aceste dimensiuni, conform teoreticienilor corzilor, sunt înfășurate în spațiul pliat descris inițial de Kaluza și Klein.

Cercurile reprezintă o dimensiune spațială suplimentară, ondulată în fiecare punct al spațiului nostru tridimensional familiar. │ WGBH / NOVA

Pentru a extinde spațiul răsucit pentru a include aceste dimensiuni adăugate, imaginați-vă că înlocuiți cercurile Kaluza-Klein cu sfere. În loc de o dimensiune adăugată, avem două dacă luăm în considerare doar suprafețele sferelor și trei dacă luăm în considerare spațiul din interiorul sferei. Au fost doar șase măsurători. Deci, unde sunt celelalte pe care le cere teoria superstringurilor?

Se pare că înainte de a exista teoria superstringurilor, doi matematicieni Eugenio Calabi de la Universitatea din Pennsylvania și Shin Tung Yau de la Universitatea Harvard descris în șase dimensiuni forme geometrice. Dacă înlocuim sferele din spațiul răsucit cu aceste forme Calabi-Yau, obținem 10 dimensiuni: trei spațiale, plus figuri Calabi-Yau în șase dimensiuni.

Formele Calabi-Yau sase-dimensionale pot explica dimensiuni suplimentare cerut de teoria superstringurilor. │ WGBH / NOVA

Teoreticienii șirurilor pariază că există dimensiuni suplimentare. De fapt, ecuațiile care descriu teoria superstringurilor presupun un univers cu cel puțin 10 dimensiuni. Dar chiar și pentru fizicienii care se gândesc la dimensiuni extraspațiale tot timpul, este greu de descris cum ar putea arăta sau cum ar putea oamenii să le înțeleagă.

Dacă teoria superstringurilor este dovedită și ideea unei lumi de 10 sau mai multe dimensiuni este confirmată, va exista vreodată o explicație sau o reprezentare vizuală a dimensiunilor superioare pe care mintea umană o poate înțelege? Răspunsul la această întrebare poate deveni pentru totdeauna negativ, cu excepția cazului în care o formă de viață 4D ne „trage” din lumea noastră 3D și ne permite să vedem lumea din punctul ei de vedere.

) mai mult de trei. Spațiul euclidian obișnuit studiat în geometria elementară este tridimensional; planurile sunt bidimensionale, liniile drepte sunt unidimensionale. Apariția conceptului de M. p. este legată de procesul de generalizare a însuși subiectului geometriei. Acest proces se bazează pe descoperirea unor relații și forme asemănătoare celor spațiale pentru numeroase clase de obiecte matematice (de multe ori nu de natură geometrică). În cursul acestui proces, ideea unui spațiu matematic abstract s-a cristalizat treptat ca un sistem de elemente de orice natură, între care se stabilesc relații similare cu anumite relații importante între punctele din spațiul obișnuit. Această idee și-a găsit expresia cea mai generală în concepte precum spațiu topologic și, în special, spațiu metric.

Cele mai simple M. p. sunt n spații euclidiene -dimensionale (vezi spațiu euclidian) , Unde n poate fi oricare numar natural. Așa cum poziția unui punct în spațiul euclidian obișnuit este determinată prin specificarea celor trei coordonate dreptunghiulare, un „punct” n Se dă spaţiul euclidian -dimensional n"coordonate" X 1 , X 2 , ..., x n(care poate lua orice valoare reală); distanța ρ dintre două puncte M(X 1 , X 2 , ..., x n) și M"(la 1 ,y 2 , ..., y n) este determinată de formula

similar cu formula pentru distanța dintre două puncte din spațiul euclidian obișnuit. Păstrând aceeași analogie, ele sunt generalizate la caz n-spațiu dimensional și alte concepte geometrice. Astfel, în M. p., nu sunt luate în considerare doar planurile bidimensionale, ci și k-planuri dimensionale ( k n), care, ca în spațiul euclidian obișnuit, sunt determinate de ecuații liniare (sau sisteme de astfel de ecuații).

concept n Spațiul euclidian -dimensional are aplicații importante în teoria funcțiilor multor variabile, permițând tratarea funcției n variabile în funcție de un punct din acest spațiu și, prin urmare, aplică reprezentări și metode geometrice la studiul funcțiilor oricărui număr de variabile (și nu doar una, două sau trei). Acesta a fost principalul stimul pentru proiectarea conceptului n

Alte M. p. joacă, de asemenea, un rol important. „punctele lumii”. În același timp, conceptul de „punct lume” (spre deosebire de un punct din spațiul obișnuit) combină o anumită poziție în spațiu cu o anumită poziție în timp (de aceea „punctele lumii” sunt date de patru coordonate în loc de Trei). Pătratul „distanței” dintre „punctele lumii” M'(x’, y’, z’, t’) și m''(x’’, y’’, z’’, t’’) (unde primele trei „coordonate” sunt spațiale, iar a patra este temporală) este firesc să luăm în considerare aici expresia

(M'M'') 2 = (X' - X'') 2 + (tu- tu) 2 + (z' - z'') 2 - c 2(t'- t'') 2 ,

Unde Cu este viteza luminii. Negativitatea ultimului termen face ca acest spațiu să fie „pseudo-euclidian”.

În general n Un spațiu -dimensional este un spațiu topologic care în fiecare dintre punctele sale are dimensiunea n. În cele mai multe ocazii importante aceasta înseamnă că fiecare punct are un cartier homeomorf cu o minge deschisă n-spaţiu euclidian dimensional.

Marea Enciclopedie Sovietică. - M.: Enciclopedia Sovietică. 1969-1978 .

Vedeți ce este „spațiul multidimensional” în alte dicționare:

Un spațiu care are mai mult de trei dimensiuni (dimensiune). Spațiul real este tridimensional. Prin fiecare dintre punctele sale pot fi trase trei linii reciproc perpendiculare, dar patru nu mai pot fi trase. Dacă luăm aceste trei linii drept axe ......

Dicţionar enciclopedic

spațiu multidimensional- daugiamatė erdvė statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. spaţiu multidimensional vok. mehrdimensionaler Raum, m rus. spatiu multidimensional, n pranc. espace à dimensiuni multiple, m; espace multidimentionnel, m … Fizikos terminų žodynas

Un spațiu care are mai mult de trei dimensiuni. Spațiul real are 3 dimensiuni, suprafața 2, linia 1. Intuiția spațială obișnuită a unei persoane este limitată la trei dimensiuni. Introducerea conceptului de spații 4 și Mai mult… … Marele dicționar politehnic enciclopedic

Un spațiu care are mai mult de trei dimensiuni (dimensiune). Spațiul real este tridimensional. Prin fiecare dintre punctele sale pot fi trase trei linii reciproc perpendiculare, dar patru nu mai pot fi trase. Dacă luăm aceste trei linii drept axe ...... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

Dimensiuni mai mari sau spații de dimensiuni mai mari este un termen folosit în topologia multiplelor pentru varietăți de dimensiune. În dimensiuni mai mari, funcționează trucuri tehnice importante legate de trucul Whitney (de exemplu, teorema de pe h ...... Wikipedia

În matematică, un set de obiecte între care se stabilesc relații care sunt similare ca structură cu relațiile spațiale obișnuite, cum ar fi vecinătatea, distanța etc. Din punct de vedere istoric, primul și cel mai important spațiu matematic este euclidian... ... Dicţionar enciclopedic mare

ȘI TIMPUL sunt categorii filozofice, prin intermediul cărora sunt desemnate formele de ființă ale lucrurilor și fenomenelor, care reflectă, pe de o parte, evenimentul lor, conviețuirea (în P.), pe de altă parte, procesele înlocuirii lor prin reciproc (în V.), durata lor ...... Cel mai recent dicționar filozofic

A; cf. 1. Filos. Una dintre principalele forme ale existenței materiei, caracterizată prin extensie și volum. Mișcarea materiei în spațiu și timp. 2. Extindere nelimitată în toate dimensiunile, direcțiile. Nesfârșit p. Aer p. ...... Dicţionar enciclopedic

Spațiu de comunicare multidimensional- unul dintre conceptele de bază ale conceptelor de spațiu multidimensional și comunicare la graniță. Rezultatul stratificării proceselor de diferite scări în natură și societate, formând un exces de tensiune limitativ de energie (creativă sau distructivă) ... Dicționar geoeconomic - carte de referință

Una dintre principalele sarcini ale fizicii teoretice de astăzi este să găsească un răspuns la întrebarea dacă există dimensiuni mai mari. Spațiul constă într-adevăr doar din lungime, lățime și înălțime sau este doar o limitare a percepției umane? Timp de milenii, oamenii de știință au respins cu fermitate ideea existenței unui spațiu multidimensional. Cu toate acestea, revoluția științifică și tehnologică s-a schimbat mult, iar astăzi știința nu mai este atât de categorică în problema dimensiunilor superioare.

Care este esența conceptului de „spațiu multidimensional”?

Omul trăiește într-o lume care este formată din trei dimensiuni. Coordonatele oricărui obiect pot fi exprimate în trei valori. Și uneori două - dacă vorbim despre ceea ce este pe suprafața Pământului.

Prin lungime, lățime și înălțime se pot descrie atât obiectele terestre cât și corpuri cerești- planete, stele și galaxii. Sunt suficiente și pentru lucrurile care locuiesc în microcosmos - molecule, atomi și particule elementare. A patra dimensiune este considerată a fi timpul.

Un spațiu multidimensional trebuie să aibă cel puțin cinci dimensiuni. Fizica teoretică modernă a dezvoltat multe teorii pentru spații cu dimensiuni diferite - până la 26. Există și o teorie care descrie un spațiu cu un număr infinit de dimensiuni.

De la Euclid la Einstein

Fizicienii și matematicienii din Antichitate, Evul Mediu și Epoca Modernă au negat categoric posibilitatea existenței unor dimensiuni superioare. Unii matematicieni au dedus chiar justificări pentru limitarea spațiului cu trei parametri. Geometria euclidiană presupunea doar trei dimensiuni.

Înainte de apariția relativității generale, oamenii de știință considerau în general spațiul multidimensional ca un subiect nedemn de studiat și teoretizat. Când Albert Einstein a formulat conceptele de spațiu-timp, combinând trei dimensiuni cu a patra, timpul, certitudinea în această chestiune a dispărut imediat.

Teoria relativității demonstrează că timpul și spațiul nu sunt lucruri separate și independente. De exemplu, dacă astronauții se urcă la bordul unei nave care se mișcă cu viteză mare pentru o perioadă lungă de timp, atunci la întoarcerea pe Pământ vor fi mai tineri decât semenii lor. Motivul este că va trece mai puțin timp pentru ei decât pentru oamenii de pe Pământ.

Teoria Kaluza-Klein

În 1921, matematicianul german Theodor Kaluza, folosind ecuațiile teoriei relativității, a creat o teorie care a combinat pentru prima dată gravitația și electromagnetismul. Conform acestei teorii, spațiul are cinci dimensiuni (inclusiv timpul).

În 1926, fizicianul suedez Oskar Klein a oferit rațiunea lui Kaluza pentru invizibilitatea celei de-a cincea dimensiuni. Ea a constat în faptul că dimensiunile mai mari sunt comprimate la o valoare incredibil de mică, care se numește valoarea Planck și este 10 -35 . Ulterior, aceasta a stat la baza altor teorii ale spațiului multidimensional.

Teoria corzilor

Această zonă a fizicii teoretice este de departe cea mai promițătoare. Teoria corzilor pretinde că este ceea ce fizicienii au căutat de la apariția relativității generale. Aceasta este așa-numita teorie a totul.

Ideea este că două fundamentale principii fizice- teoria relativității și mecanica cuantică - sunt în contradicție iresolubilă unele cu altele. Teoria totul este un concept ipotetic care ar putea explica acest paradox. La rândul său, teoria corzilor este mai potrivită acestui rol.

Esența sa este că la nivelul subatomic al structurii lumii, particulele vibrează, similar cu vibrația corzilor obișnuite, de exemplu, o vioară. De aici și-a luat numele teoria. Mai mult, dimensiunile acestor corzi sunt extrem de mici și fluctuează în jurul lungimii Planck - aceeași care apare în teoria Kaluza-Klein. Dacă un atom este mărit la dimensiunea unei galaxii, atunci șirul va ajunge doar la dimensiunea unui copac adult. Teoria corzilor funcționează doar în spațiul multidimensional. Și există mai multe versiuni ale acestuia. Unele necesită spațiu de 10 dimensiuni, în timp ce altele necesită spațiu de 26 de dimensiuni.

La momentul înființării, teoria corzilor era percepută de fizicieni cu mare scepticism. Dar astăzi este cel mai popular și mulți fizicieni teoreticieni sunt implicați în dezvoltarea sa. Cu toate acestea, nu este încă posibil să se dovedească experimental prevederile teoriei.

Spațiul Hilbert

O altă teorie care descrie dimensiuni mai mari este spațiul Hilbert. A fost descrisă de matematicianul german David Hilbert în timp ce lucra la teoria ecuațiilor integrale.

Spațiul Hilbert - teorie matematică, care descrie proprietățile spațiului euclidian în dimensiune infinită. Adică este un spațiu multidimensional cu un număr infinit de dimensiuni.

Hiperspațiul în ficțiune

Ideea de spațiu multidimensional a dus la multe intrigi științifico-fantastice - atât literare, cât și cinematografice.

Așadar, în tetralogia lui Dan Simmons „Songs of Hyperion”, omenirea folosește o rețea de portaluri nule hiperspațiale capabile să transporte instantaneu obiecte pe o distanță lungă. În Starship Troopers a lui Robert Heinlein, soldații folosesc și hiperspațiul pentru a călători.

Ideea zborului hiperspațial a fost folosită în multe filme de opera spațială, inclusiv în celebra saga " razboiul Stelelorși serialul TV „Babylon 5”.

Intriga filmului „Interstellar” este aproape în întregime legată de ideea de dimensiuni mai mari. În căutarea unei planete potrivite pentru colonizare, eroii călătoresc prin spațiu prin găuri de vierme - un tunel hiperspațial care duce la un alt sistem. Și spre final personaj principal cade în lumea spațiului multidimensional, cu ajutorul căruia reușește să transfere informații în trecut. De asemenea, filmul arată clar legătura lui Einstein între spațiu și timp: pentru astronauți timpul curge mai lent decât pentru personajele de pe Pământ.

În Cube 2: Hypercube, personajele se găsesc în interiorul unui tesseract. Deci în teoria dimensiunilor superioare se numește cub multidimensional. În căutarea unei ieșiri, cad în universuri paralele unde își întâlnesc versiunile alternative.

Ideea unui spațiu multidimensional este încă fantastică și nedovedită. Cu toate acestea, astăzi este mult mai aproape și mai real decât acum câteva decenii. Este foarte posibil ca în secolul următor, oamenii de știință să descopere o modalitate de a se deplasa dimensiuni mai mariși deci călătoresc în lumi paralele. Până atunci, oamenii vor fantezi mult pe această temă, inventând povești uimitoare.

1. O etapă importantă în dezvoltarea noilor idei geometrice a fost crearea geometriei spațiului multidimensional, despre care a fost deja discutată în capitolul anterior. Unul dintre motivele apariției sale a fost dorința de a utiliza considerații geometrice în rezolvarea problemelor de algebră și analiză. Abordarea geometrică a rezolvării problemelor analitice se bazează pe metoda coordonatelor. Să luăm un exemplu simplu.

Este necesar să se afle câte soluții întregi are inegalitatea. Luând în considerare ambele coordonate carteziene din plan, vedem că întrebarea se rezumă la următoarea: câte puncte cu coordonate întregi sunt conținute în interiorul unui cerc de rază

Punctele cu coordonate întregi sunt vârfurile pătratelor cu o latură de lungime unitară care acoperă planul (Fig. 21). Numărul de astfel de puncte din interiorul cercului este aproximativ egal cu numărul de pătrate aflate în interiorul cercului, adică aproximativ egal cu aria cercului de rază. Astfel, numărul de soluții ale inegalității care ne interesează este aproximativ Această eroare este o problemă foarte dificilă în teoria numerelor, care a făcut obiectul unor cercetări profunde în vremuri relativ recente.

În exemplul analizat, s-a dovedit a fi suficientă traducerea problemei în limbaj geometric pentru a obține imediat un rezultat care este departe de a fi evident din punctul de vedere al „algebrei pure”. Exact în același mod, o problemă similară este rezolvată pentru o inegalitate cu trei necunoscute. Cu toate acestea, dacă există mai mult de trei necunoscute, această metodă nu poate fi aplicată, deoarece spațiul nostru este tridimensional, adică poziția unui punct în el este determinată de trei coordonate. Pentru a păstra o analogie geometrică utilă în astfel de cazuri, noţiunea de abstract

Spațiul dimensional”, ale cărui puncte sunt determinate de coordonate.În acest caz, conceptele de bază ale geometriei sunt generalizate în așa fel încât considerațiile geometrice să fie aplicabile la rezolvarea problemelor cu variabile; acest lucru simplifică foarte mult găsirea rezultatelor. Posibilitatea unei astfel de generalizări se bazează pe unitatea regularităților algebrice, datorită căreia multe probleme sunt rezolvate într-un mod complet uniform pentru orice număr de variabile. Acest lucru face posibilă aplicarea considerațiilor geometrice care se aplică la trei variabile la orice număr dintre ele.

2. Începuturile conceptului de spațiu cu patru dimensiuni se regăsesc chiar și la Lagrange, care în lucrările sale despre mecanică a considerat timpul formal ca „a patra coordonată” alături de trei spațiale. Dar prima expunere sistematică a principiilor geometriei multidimensionale a fost dată în 1844 de matematicianul german Grassmann și, independent de el, de englezul Cayley. Ei au urmat calea analogiei formale cu geometria analitică obișnuită. Această analogie în prezentarea modernă arată în termeni generali după cum urmează.

Un punct din spațiul -dimensional este definit de coordonate O figură din spațiul -dimensional este un loc geometric sau un set de puncte care îndeplinesc anumite condiții. De exemplu, un „cub n-dimensional” este definit ca locul punctelor ale căror coordonate sunt supuse inegalităților: Analogia cu un cub obișnuit este complet transparentă aici: în cazul în care, adică, spațiul este tridimensional, inegalitățile noastre definiți de fapt un cub ale cărui muchii sunt paralele cu axele de coordonate și lungimea nervurilor este (Fig. 22 arată cazul

Distanța dintre două puncte poate fi determinată ca rădăcină pătrată a sumei pătratelor diferențelor de coordonate

Aceasta este o generalizare directă a formulei binecunoscute pentru distanța într-un plan sau în spațiu tridimensional, adică pentru n = 2 sau 3.

Acum putem defini egalitatea figurilor în spațiul -dimensional. Două cifre sunt considerate egale dacă este posibil să se stabilească o astfel de corespondență între punctele lor, în care distanțele dintre perechile de puncte corespunzătoare sunt egale. O transformare care păstrează distanța poate fi numită o mișcare generalizată. Apoi, prin analogie cu obișnuitul

Geometrie euclidiană, putem spune că subiectul geometriei n-dimensionale îl reprezintă proprietățile figurilor care se păstrează sub mișcări generalizate. Această definiție a subiectului geometriei dimensionale a fost stabilită în anii 70 și a oferit o bază exactă pentru dezvoltarea sa. De atunci. -geometria dimensională face obiectul a numeroase studii în toate direcţiile analoge cu cele ale geometriei euclidiene (geometrie elementară, teoria generală a curbelor etc.).

Conceptul de distanță între puncte face posibilă transferarea în „spațiul n-dimensional și a altor concepte de geometrie, cum ar fi un segment, o minge, lungime, unghi, volum etc. De exemplu, o minge -dimensională este definită ca un set de puncte care nu sunt mai mult decât pentru aceasta

Prin urmare, analitic mingea este dată de inegalitate

unde sunt coordonatele centrului său. Suprafața mingii este dată de ecuație

Un segment poate fi definit ca un set de puncte X astfel încât suma distanțelor de la X la A și B este egală cu distanța de la A la B. (Lungimea unui segment este distanța dintre capete.)

3. Să ne oprim mai în detaliu asupra planurilor de diferite dimensiuni.

În spațiul tridimensional, acestea sunt „plane” unidimensionale - linii drepte și planuri obișnuite (bidimensionale). În spațiul -dimensional la , planuri multidimensionale ale numărului de dimensiuni de la 3 la

După cum se știe, în spațiul tridimensional un plan este dat de o ecuație liniară, iar o linie dreaptă de două astfel de ecuații.

Prin generalizare directă, ajungem la următoarea definiție: -planul dimensional în -spațiul dimensional este locul punctelor ale căror coordonate satisfac sistemul ecuatii lineare

în plus, ecuațiile sunt consistente și independente (adică niciuna dintre ele nu este o consecință a celorlalte). Fiecare dintre aceste ecuații reprezintă un plan -dimensional și toate împreună definesc puncte comune pentru astfel de planuri.

Faptul că ecuațiile (8) sunt compatibile înseamnă că există în general puncte care le satisfac, adică aceste plane -dimensionale se intersectează. Faptul că nicio ecuație nu este o consecință a celorlalte înseamnă că niciuna dintre ele nu poate fi exclusă. În caz contrar, sistemul ar fi redus la un număr mai mic de ecuații și ar defini un plan cu un număr mai mare de dimensiuni. Astfel, geometric vorbind, ideea este că un plan -dimensional este definit ca intersecția unor bucăți de planuri -dimensionale reprezentate prin ecuații independente. În special, dacă atunci avem ecuații care definesc un „plan unidimensional”, adică o linie dreaptă. În acest fel, această definiție Planul A-dimensional reprezintă o generalizare formală naturală rezultate cunoscute geometrie analitică. Utilitatea acestei generalizări este deja relevată în faptul că concluziile referitoare la sistemele de ecuații liniare primesc o interpretare geometrică, ceea ce face aceste concluzii mai clare. Cititorul s-ar putea familiariza cu o astfel de abordare geometrică a problemelor de algebră liniară în capitolul XVI.

O proprietate importantă a unui plan -dimensional este că el însuși poate fi privit ca un spațiu -dimensional. Astfel, de exemplu, un plan tridimensional este el însuși un spațiu tridimensional obișnuit. Acest lucru face posibilă transferarea în spații cu un număr mai mare de dimensiuni a multora dintre concluziile obținute pentru spații cu un număr mai mic de dimensiuni, similar raționamentului obișnuit din

Dacă ecuațiile (8) sunt compatibile și independente, atunci, așa cum se dovedește în algebră, k poate fi ales dintre variabile în așa fel încât restul variabilelor să poată fi exprimate în termenii lor. De exemplu:

Aici pot lua orice valori, iar restul sunt determinate prin ele. Aceasta înseamnă că poziția unui punct pe un plan -dimensional este deja determinată de coordonate care pot lua orice valoare. În acest sens, planul are k dimensiuni.

Din definirea planurilor cu numere diferite de dimensiuni se pot deduce pur algebric următoarele teoreme principale.

1) Prin fiecare punct care nu se află pe un plan unidimensional trece un plan -dimensional și, în plus, doar unul.

Analogie completă cu fapte cunoscute geometria elementară este evidentă aici. Demonstrarea acestei teoreme se bazează pe teoria sistemelor de ecuații liniare și este oarecum complicată, așa că nu o vom prezenta aici.

2) Dacă planurile -dimensionale și -dimensionale din spațiul -dimensional au cel puțin un punct comun și, în plus, se intersectează într-un plan de dimensiune nu mai mic decât

Ca caz special, rezultă că două plane bidimensionale în spațiul tridimensional, dacă nu coincid și nu sunt paralele, se intersectează de-a lungul unei linii drepte.Dar deja în spațiul cu patru dimensiuni, două planuri bidimensionale pot avea un singur punct comun. De exemplu, planuri definite prin sisteme de ecuații:

se intersectează evident într-un singur punct cu coordonatele

Demonstrarea teoremei formulate este extrem de simpla: -planul dimensional este dat de ecuatii; -dimensional este dat de ecuaţii; coordonatele punctelor de intersecție trebuie să satisfacă toate ecuațiile simultan. Dacă nicio ecuație nu este o consecință a celorlalte, atunci prin însăși definiția unui plan la intersecție avem un plan -dimensional; in caz contrar se obtine un plan de mai multe dimensiuni.

La aceste două teoreme se mai pot adăuga două.

3) Pe fiecare plan -dimensional există cel puțin puncte care nu se află în planul unui număr mai mic de dimensiuni. În spațiul -dimensional există cel puțin puncte care nu se află în niciun plan.

4) Dacă o dreaptă are două puncte comune cu un plan (de orice număr de dimensiuni), atunci se află în întregime în acest plan. În general, dacă un plan -dimensional are puncte în comun cu un plan -dimensional care nu se află în planul -dimensional, atunci se află în întregime în acest plan -dimensional.

Rețineți că geometria -dimensională poate fi construită pe baza axiomelor care generalizează axiomele formulate în § 5. Cu această abordare, cele patru teoreme menționate mai sus sunt luate ca axiome de combinație. Apropo, acest lucru arată că conceptul de axiomă este relativ: unul și același

afirmația dintr-o construcție a teoriei apare ca o teoremă, în alta - ca o axiomă.

4. Am primit o idee generală a conceptului matematic de spațiu multidimensional. Pentru a afla realul sens fizic a acestui concept, să ne întoarcem din nou la problema unei imagini grafice. Să dorim, de exemplu, să descriem dependența presiunii gazului de volum. Luăm axele de coordonate pe plan și trasăm volumul pe o axă, iar presiunea pe cealaltă. Dependența presiunii de volum în condiții date va fi descrisă printr-o curbă (la o temperatură dată pentru un gaz ideal, aceasta va fi o hiperbolă conform binecunoscutei legi Boyle-Mariotte). Dar dacă avem un sistem fizic mai complex, a cărui stare nu mai este dată de două date (cum ar fi volumul și presiunea în cazul unui gaz), ci, să zicem, de cinci, atunci o reprezentare grafică a comportamentului său duce la o reprezentare a unui spațiu cincidimensional, respectiv.

Să vorbim, de exemplu, despre un aliaj de trei metale sau un amestec de trei gaze. Starea amestecului este determinată de patru date: temperatura, presiunea și procentele a două gaze (procentul celui de-al treilea gaz este determinat apoi de faptul că cantitatea totală de procente este de 100%, astfel încât starea unui astfel de amestec este determinată, așadar, de patru date.Reprezentarea sa grafică necesită fie combinarea mai multor diagrame, fie trebuie să ne imaginăm această stare ca un punct din spațiul cu patru dimensiuni cu patru coordonate Această reprezentare este de fapt folosită în chimie, aplicarea metode de geometrie multidimensională la problemele acestei științe a fost dezvoltat de omul de știință american Gibbs și școala de chimiști fizici sovietici academicianul Kurnakov.rețin analogii și considerații geometrice utile bazate pe tehnica simplă a reprezentării grafice.

Să dăm un alt exemplu din domeniul geometriei. O minge primește patru date: trei coordonate ale centrului ei și o rază. Prin urmare, o minge poate fi reprezentată ca un punct în spațiul cu patru dimensiuni. Geometria specială a bilelor, care a fost construită cu aproximativ o sută de ani în urmă de unii matematicieni, poate fi, prin urmare, privită ca un fel de geometrie cu patru dimensiuni.

Din tot ce s-a spus, devine clară baza reală generală pentru introducerea conceptului de spațiu multidimensional. Dacă orice figură, sau starea oricărui sistem etc., este dată de date, atunci această figură, această stare etc., pot fi gândite ca un punct al unui spațiu -dimensional. Utilitatea acestei reprezentări este aproximativ aceeași cu cea a graficelor obișnuite: ea constă în posibilitatea aplicării analogiilor și metodelor geometrice cunoscute la studiul fenomenelor luate în considerare.

Prin urmare, nu există misticism în conceptul matematic de spațiu multidimensional. Nu este altceva decât un concept abstract dezvoltat de matematicieni pentru a descrie în limbaj geometric astfel de lucruri care nu admit o simplă reprezentare geometrică în sensul obișnuit. Acest concept abstract are o bază foarte reală, reflectă realitatea și a fost cauzat de nevoile științei, și nu de un joc inactiv al imaginației, reflectă faptul că există lucruri care, ca o minge sau un amestec de trei gaze. , sunt caracterizate de mai multe date, astfel încât totalitatea tuturor acestor lucruri este multidimensională. Numărul de măsurători în acest caz este exact numărul acestor date. Așa cum un punct, deplasându-se în spațiu, își schimbă cele trei coordonate, așa și o minge, mișcându-se, extinzându-se și contractându-se, își schimbă cele patru „coordonate”, adică cele patru mărimi care o determină.

În paragrafele următoare, ne vom opri asupra geometriei multidimensionale. Acum este important doar să înțelegem că este o metodă de descriere matematică a lucrurilor și fenomenelor reale. Ideea unui spațiu cu patru dimensiuni în care nostru spațiu real- notiunea folosita de unii scriitori si spiritualisti nu are nicio legatura cu conceptul matematic de spatiu cu patru dimensiuni. Dacă se poate vorbi aici despre atitudinea față de știință, atunci numai în sensul unei distorsiuni fantastice a conceptelor științifice.

5. După cum sa menționat deja, geometria unui spațiu multidimensional a fost mai întâi construită prin generalizarea formală a geometrie analitică pentru un număr arbitrar de variabile. Cu toate acestea, o astfel de abordare a Cauzei nu i-ar putea satisface pe deplin pe matematicieni. Până la urmă, scopul nu a fost atât de a generaliza conceptele geometrice, cât de a generaliza însăși metoda geometrică cercetare. Prin urmare, a fost important să se ofere o prezentare pur geometrică a geometriei -dimensionale, independentă de aparatul analitic. Acest lucru a fost făcut pentru prima dată de matematicianul elvețian Schläfli în 1852, care a considerat în lucrarea sa problema poliedrelor regulate într-un spațiu multidimensional. Adevărat, opera lui Schläfli nu a fost apreciată de contemporanii săi, deoarece pentru a o înțelege, trebuia să se ridice într-o oarecare măsură la o viziune abstractă a geometriei. Numai dezvoltare ulterioară matematicienii au adus claritate deplină acestui sondaj, clarificând în mod exhaustiv relația dintre abordările analitice și geometrice. Neputând aprofunda această problemă, ne vom limita la exemple de prezentare geometrică a geometriei -dimensionale. Luați în considerare definiția geometrică a unui cub -dimensional. Deplasând un segment într-un plan perpendicular pe el însuși cu o distanță egală cu lungimea sa, desenăm un pătrat, adică un cub bidimensional (Fig. 23, a). Exact în același mod, mișcând pătratul într-o direcție perpendiculară pe planul său cu o distanță egală cu

lateral, vom desena un cub tridimensional (Fig. 23, b). Pentru a obține un cub cu patru dimensiuni, aplicăm aceeași construcție: luând un plan tridimensional în spațiul cu patru dimensiuni și un cub tridimensional în el, îl deplasăm în direcția perpendiculară pe acest plan tridimensional cu o distanță. egală cu muchia (prin definiție, o dreaptă este perpendiculară pe un plan -dimensional dacă este perpendiculară pe orice dreaptă situată în acest plan). Această construcție este prezentată în mod convențional în Fig. 23, c, Două cuburi tridimensionale sunt prezentate aici - acest cub în poziția inițială și finală. Liniile care leagă vârfurile acestor cuburi reprezintă segmentele de-a lungul cărora se deplasează vârfurile atunci când cubul este mutat.

Vedem că cubul cu patru dimensiuni are un total de 16 vârfuri: opt pentru cub și opt pentru cub. În plus, are 32 de muchii": cele 12 muchii ale unui cub tridimensional mobil în pozitia de origine coastele acestuia în poziția finală și 8 nervuri „laterale”. El are! 8 fețe 3D care sunt ele însele cuburi. Când mutați un cub tridimensional, fiecare dintre fețele sale desenează un cub tridimensional, astfel încât să se obțină 6 cuburi - fețele laterale ale unui cub cu patru dimensiuni și, în plus, mai există două fețe: „față” și „înapoi”, respectiv, poziția inițială și finală a cubului mutat. În cele din urmă, un cub cu patru dimensiuni are și fețe pătrate bidimensionale. numărul total 24: câte șase pentru cuburi și încă 12 pătrate, care desenează marginile cubului atunci când este mutat.

Deci un cub 4D are 8 fețe 3D, 24 fețe 2D, 32 fețe 1D (32 de muchii) și în final 16 vârfuri; fiecare față este un „cub” cu numărul corespunzător de dimensiuni: un cub tridimensional, un pătrat, un segment, un vârf (poate fi considerat un cub cu dimensiuni zero).

În mod similar, prin mutarea unui cub cu patru dimensiuni „în a cincea dimensiune”, obținem un cub cu cinci dimensiuni și astfel, repetând această construcție, se poate construi un cub de orice număr de dimensiuni. Toate fețele unui cub -dimensional sunt ele însele

sunt cuburi de un număr mai mic de dimensiuni: -dimensionale etc. și, în final, unidimensionale, adică muchii. O sarcină curioasă și ușoară este de a afla câte fețe din fiecare număr de dimensiuni are un cub -dimensional. Este ușor de observat că are fețe și vârfuri dimensionale de piese. Și câte vor fi, de exemplu, coaste?

Luați în considerare încă un poliedru de spațiu -dimensional. În plan, cel mai simplu poligon este un triunghi - are cel mai mic număr posibil de vârfuri. Pentru a obține un poliedru cu cel mai mic număr de vârfuri, este suficient să luați un punct care nu se află în planul triunghiului și să-l conectați cu segmente la fiecare punct al acestui triunghi. Segmentele rezultate vor umple o piramidă triedrică - un tetraedru (Fig. 24).

Pentru a obține cel mai simplu poliedru din spațiul cu patru dimensiuni, argumentăm astfel. Luăm un plan tridimensional și în el vreun tetraedru T. Apoi, luând un punct care nu se află în acest plan tridimensional, îl conectăm prin segmente cu toate punctele tetraedrului T. În partea dreaptă a Fig. 24 înfățișează condiționat această construcție. Fiecare dintre segmentele care leagă punctul O cu punctul tetraedrului T nu are alte puncte comune cu tetraedrul, deoarece altfel s-ar încadra în întregime în spațiul tridimensional care conține T. Toate astfel de segmente, așa cum ar fi, „intră în a patra dimensiune”. Ele umplu cel mai simplu poliedru cu patru dimensiuni - așa-numitul simplex cu patru dimensiuni. Fețele sale tridimensionale sunt tetraedre: una la bază și încă 4 fețe laterale sprijinite pe fețele bidimensionale ale bazei; doar 5 margini. Fețele sale bidimensionale sunt triunghiuri; sunt doar 10 dintre ele: patru la bază și șase pe laterale. În cele din urmă, are 10 muchii și 5 vârfuri.

Repetând aceeași construcție pentru orice număr de dimensiuni, obținem cel mai simplu poliedru -dimensional - așa-numitul simplex n-dimensional. După cum se vede din construcție, are un vârf. Se poate asigura că toate fețele sale sunt și simplexe de un număr mai mic de dimensiuni: -dimensionale, -dimensionale etc.

De asemenea, este ușor să generalizezi conceptele de prismă și piramidă. Dacă transferăm poligonul din plan în a treia dimensiune în paralel, atunci acesta va desena o prismă. În mod similar, prin transferarea unui poliedru tridimensional în a patra dimensiune, obținem o prismă cu patru dimensiuni (aceasta este prezentată condiționat în Fig. 25). Cubul cu patru dimensiuni este evident un caz special al unei prisme.

Piramida este construită după cum urmează. Un poligon este luat în punctul O, care nu se află în planul poligonului. Fiecare punct al poligonului este legat printr-un segment de punctul O iar aceste segmente umplu piramida cu baza (Fig. 26). În mod similar, dacă un poliedru tridimensional este dat în spațiul cu patru dimensiuni și un punct O care nu se află cu el în același plan tridimensional, atunci segmentele care leagă punctele poliedrului cu punctul O umplu un patru- piramidă dimensională cu bază.Un simplex cu patru dimensiuni nu este altceva decât o piramidă cu un tetraedru la bază.

În mod similar, pornind de la un poliedru -dimensional, se poate defini o prismă -dimensională și o piramidă -dimensională.

În general, un poliedru -dimensional este o parte a spațiului -dimensional mărginit de un număr finit de bucăți de planuri -dimensionale; poliedrul -dimensional este o parte a planului -dimensional mărginită de un număr finit de bucăți de planuri -dimensionale. Fețele unui poliedru sunt ele însele poliedre de dimensiuni mai mici.

Teoria poliedrelor -dimensionale este o generalizare bogată în conținut concret al teoriei poliedrelor tridimensionale obișnuite. Într-un număr de cazuri, teoremele asupra politopilor tridimensionali pot fi generalizate la orice număr de dimensiuni fără mare dificultate, dar există și astfel de

întrebări, a căror soluție pentru poliedre -dimensionale prezintă dificultăți enorme. Aici putem aminti studiile profunde ale lui G. F. Voronoi (1868-1908), care au apărut, de altfel, în legătură cu probleme de teoria numerelor; au fost continuate de geometrii sovietici. Una dintre problemele emergente – așa-numita „problema Voronoi” – încă nu este complet rezolvată.

Poliedrele regulate pot servi drept exemplu care dezvăluie o diferență semnificativă între spații de dimensiuni diferite. Pe un plan, un poligon obișnuit poate avea orice număr de laturi. Cu alte cuvinte, există infinit de multe tipuri diferite de „poliedre bidimensionale” obișnuite. tridimensională poliedre regulate doar cinci tipuri: tetraedru, cub, octaedru, dodecaedru, icosaedru. În spațiul cu patru dimensiuni există șase tipuri de poliedre regulate, dar în orice spațiu cu un număr mai mare de dimensiuni există doar trei dintre ele. Acestea sunt: ​​1) un analog al unui tetraedru - un simplex cu dimensiuni regulate, adică un simplex, ale cărui margini sunt egale;

2) -cub dimensional; 3) un analog al octaedrului, care este construit astfel: centrele fețelor cubului servesc ca vârfuri ale acestui poliedr, astfel încât acesta este, parcă, întins peste ele. În cazul unui spațiu tridimensional, această construcție este prezentată în Fig. 27. Vedem că în raport cu poliedrele regulate două, trei și patru dimensiuni ocupă o poziție specială.

6. Luați în considerare și problema volumului corpurilor în spațiul -dimensional. Volumul unui corp -dimensional este determinat în același mod ca în geometria obișnuită. Volumul este o caracteristică numerică în comparație cu o cifră, iar volumul trebuie să aibă corpuri egale au existat volume egale, adică astfel încât volumul să nu se schimbe atunci când figura se mișcă ca un întreg solid și că, în cazul în care un corp este compus din două, volumul său este egal cu suma volumelor acestora. Unitatea de măsură este volumul unui cub cu muchia egală cu unu. După aceea, se stabilește că volumul unui cub cu muchia a este egal.Acest lucru se face în același mod ca pe un plan și în spațiu tridimensional, prin umplerea cubului cu straturi de cuburi (Fig. 28). Deoarece cuburile sunt stivuite în direcții, acest lucru dă

Exerciții introductive – multidimensionalitatea spațiului
Percepția spațiului multidimensional

La început, este important să înțelegeți ce este în esență în cauză. Nu este atât de ușor să-ți dai o viziune, dar poți să o faci să simtă ceea ce este, să-ți dai seama ce căi se deschid înaintea ta.

Lumea înconjurătoare are o structură multidimensională și percepția multor oameni este capabilă să distingă mai mult de trei dimensiuni în spațiu. Magicienii lucrează cu spațiul multidimensional, știu să se miște în el și să interacționeze în mod conștient cu obiectele din jur. Acest lucru le permite să obțină rezultate cu adevărat incredibile, din punctul de vedere al oamenilor obișnuiți, care sunt numite cu respect drept „magie” de către oamenii de rând. Toți elevii vor trebui să stăpânească tehnicile de percepere a spațiului multidimensional și apoi să le transfere în zona de percepție obișnuită (de zi cu zi) a lumii din jurul lor. Astfel, se consolidează abilitățile dobândite și se creează condiții favorabile utilizării lor, care, la rândul lor, garantează dezvoltarea constantă a acestor abilități. Faceți cu conștiință exercițiile propuse, apoi începeți să aplicați îndemânarea dobândită (sentimentul de multidimensionalitate) în orice situații care vi se vor întâmpla, încercând să le vedeți într-o versiune multidimensională.

Următorul pas este de obicei dezvoltarea vederii, iar unii vor simți fără îndoială ce este după ce au făcut exercițiile. Simți, dar nimic mai mult. Viziunea adevărată nu este atât de ușor de dezvoltat, necesită multe componente, totuși, abilitățile obținute cu aceasta impresionează prin grandiozitatea lor - de la diagnosticarea dezvoltării bolilor până la predicția clarvăzătoare a evenimentelor. Elevii din școală au ocazia de a dezvolta viziunea adevărată, precum și alte calități și abilități interesante și utile ale Magiei.

Așadar, ești obișnuit să evaluezi obiecte în trei dimensiuni sau parametri - lungime, lățime și înălțime, astfel încât nimeni nu va avea dificultăți să reprezinte spațiul tridimensional. Sistemul de coordonate al acestui spațiu este format din trei axe reciproc perpendiculare, trei margini ale cubului convergând într-un punct.

A patra dimensiune este timpul. Reprezentarea spațiului în patru dimensiuni este mult mai dificilă. A patra axă a sistemului de coordonate este perpendiculară pe celelalte trei - conștiința ta refuză imediat să creeze o astfel de imagine în imaginația ta. Imaginează-ți că pufăi Balonși cu fiecare respirație pe care o iei devine din ce în ce mai mare. Mingea rămâne în spațiu tridimensional, dar își schimbă dimensiunea. Această schimbare ar putea fi redistribuită de-a lungul celor trei dimensiuni cunoscute, dar astfel de tactici duc la o denaturare a realității. Mingea se schimbă în timp, cu fiecare expirație, dobândind dimensiuni și forme diferite - obiectul renaște în timp.

Dacă înlocuim imaginea unei mingi într-un sistem de coordonate tridimensional cu un anumit volum care se schimbă de la o dimensiune mai mică la una mai mare, i.e. deplasarea într-un sistem de coordonate tridimensional va obține un compromis care vă satisface conștiința. De fapt, mingea se mișcă în timp, iar această mișcare poate fi distorsionată pentru a reprezenta mișcarea într-un sistem de coordonate tridimensional. Spațiul patrudimensional poate fi considerat ca suma tuturor dimensiunilor unei mingi din sistemul nostru de coordonate tridimensional. Acest lucru este suficient pentru a începe.

A cincea dimensiune este o axă probabilistică care reflectă cursul posibil al procesului. În exemplul cu balon, puteți umfla mai departe balonul, dar cu o oarecare probabilitate veți înceta să o faceți. Mingea se schimbă.

A șasea dimensiune este masa unui obiect. Imaginați-vă că atunci când vă umflați balonul, puteți modifica semnificativ compoziția aerului din interiorul acestuia, modificându-i astfel masa (de fapt, în mod natural, masa balonului se modifică chiar și fără el, cu o creștere a volumului acestuia).

a saptea dimensiune - incarcare electrica. Prezentă similar celui precedent.

Restul dimensiunilor sunt greu de descris. Nici unul limbaj modern nu există cuvinte potrivite pentru aceasta, deși limbile antice, de exemplu, limba necromantică, aveau termenii corespunzători în compoziția lor.

Acum imaginați-vă întregul proces descris dintr-o dată - acesta va fi un model al unui spațiu multidimensional în conștiința obișnuită. Dar aceasta este doar o imagine, nu poartă nimic practic util, ci dă doar ideea unui spațiu multidimensional necesar pentru învățarea ulterioară.

Exercitiul 1

Aici este important să vă amintiți sentimentele când intrați în starea de percepție a spațiului multidimensional. În cele ce urmează se descrie o metodă simplă de intrare în această stare perceptivă. Amintește-ți bine exercițiul și abia apoi fă-l din memorie.

1. Pregătiți o suprafață curată, cât mai uniformă și cât mai uniformă, de exemplu, curățați masa de obiecte străine. Luați o cutie de chibrituri goală și puneți-o pe suprafața mesei.

2. Stai lângă mine. Luați o poziție confortabilă și relaxați-vă, contemplând o cutie de chibrituri așezată pe suprafața mesei. Concentrează-te asupra ei și ține minte - nu te uita la nimic din jurul tău, ci doar la el.

3. Luați cutia de pe masă, deformați-o în mâini (pentru a-și schimba puțin forma) și puneți-o la loc. Concentrați-vă din nou și amintiți-vă bine de aspectul său. Simțiți că starea dvs. actuală este legată de forma cutiei - s-a schimbat, starea dvs. s-a schimbat ușor. Dacă ați auzit un fel de sunet străin pe stradă sau ați simțit ceva tactil - „leagă” mental cu starea cutiei în același mod.

4. Repetați pasul 3 încă de două ori, amintindu-vă totul bine și „legăndu-vă”.

5. Acum, când o cutie mototolită se află în fața ta, începe să reproduci în mod constant în mintea ta stările ei anterioare - acum are o formă mai corectă, iar pe stradă mai puteai auzi cum trece o mașină... Reproduce exact atât forma cutiei, cât și starea ta de atunci (și era oarecum diferită), și ceea ce ai auzit și simțit în jur.

6. Când, acţionând în acest fel, ai atins starea iniţială a cutiei (care în mintea ta se va suprapune formei ei actuale), dacă este făcută corect, vei simţi o stare greu de descris în cuvinte. Aceasta este starea unei persoane care se află într-un loc necunoscut. Aceasta este o stare de „suspensie” și detașare. Pentru o scurtă perioadă de timp veți vedea (sau simți) toate stările fiecăruia dintre obiectele din jur în același timp - când erau noi, apoi s-au estompat din când în când, și-au schimbat forma și, în cele din urmă, puteți vedea ce se va întâmpla lor în viitor.

Faceți același exercițiu cu o lumânare subțire de biserică, meditând la ea și amintindu-vă cum a scăzut și cum a curget ceara din ea, formând căi fanteziste (amintiți-vă și conectați-vă!).

Facem exercițiul până când obținem aceeași stare. Amintiți-vă bine această stare - vă va fi utilă în curând. De obicei, după mai multe încercări, starea atinsă este stabilă pentru toate exercițiile ulterioare.

Exercițiul #2

Scopurile și obiectivele exercițiului sunt similare cu cel precedent, dar aici veți merge puțin mai departe. Amintiți-vă bine de exercițiu și apoi efectuați-l astfel încât atenția să nu fie distrasă de nimic altceva.

1. Fă o baie caldă. Întindeți-vă pe o suprafață plană, pe spate. Relaxați-vă, respirați uniform. Inchide ochii.

2. Obțineți un fundal solid în fața ochiului interior (fondul ecranului interior este de obicei gri închis). Imaginați-vă un punct de lumină pe acest fundal. Este situat aproape in mijlocul fruntii, putin mai aproape de sprancene.

Punctul pe care l-ați prezentat este de fapt un segment de linie dreaptă, când este privit de la capăt. Simțiți că acesta este un segment de linie.

3. Rotiți acest segment de linie pe ecranul interior astfel încât să devină vizibil din lateral, ca segment, și nu ca punct (rotiți-l în jurul axei corpului).

Dar segmentul de linie pe care îl vedeți acum este de fapt un pătrat pe care îl priviți din lateral (este vizibil în acest caz ca un segment de linie). Simți că este un pătrat.

4. Rotiți pătratul astfel încât să devină vizibil tot (il rotim în jurul unei axe perpendiculare pe axa corpului dumneavoastră). Există un pătrat în fața ta.

Dar pătratul pe care îl vedeți acum este de fapt una dintre fețele cubului pe care îl priviți din lateral (este vizibil în acest caz ca un pătrat). Simțiți-vă ca un cub.

5. Rotiți cubul, a cărui față tocmai ați văzut-o, astfel încât să devină vizibil în întregime.

Acest cub este o proiecție 3D a unei figuri multidimensionale. Simte.

6. Rotim din nou cubul pe care îl vedeți și acum vedeți un spațiu multidimensional cu un număr de dimensiuni de 4.

7. Repetați procedura, dacă este posibil, de încă 3 ori.

8. Deschidem brusc ochii. Vei fi uimit până la capăt de ceea ce vezi în jurul tău.

La început, dacă nu ați reușit, excludeți temporar punctul 7. Apoi rezultatul va fi o stare similară cu cea pe care ați experimentat-o ​​deja după ce ați făcut exercițiul nr. 1.
Remarci generale

Dacă adormi în timpul exercițiului numărul 2, îți lipsește voința și concentrarea. Lucrați la dezvoltarea lor. Același lucru este valabil și pentru cei care au gânduri sau imagini care distrag atenția în timp ce fac ambele exerciții.

Dacă nu există rezultate pozitive în ciuda antrenamentului greu, tot nu ai suficientă energie pentru a practica magia. Pentru început, excludeți alimentele din carne din dietă, dacă este posibil, luați apă rece dimineața, asigurați-vă că faceți băi calde imediat înainte de exerciții. Continuă să te antrenezi, dacă te retragi acum, nu vei reuși niciodată nimic.

Pentru cei care nu știu să se relaxeze, le putem recomanda o tehnică foarte medie, dar de lucru - tehnica autohipnozei.

NOȚIUNI DE BAZĂ
MULTI-DIMENSIONALITATEA SPAȚIULUI ȘI A TIMPULUI

Este foarte fericit că utilizarea multidimensionalității în viață a devenit la modă. Iar la noi, pentru prima dată în anii treizeci, academicianul Yu.A. Fomin. Deci, pentru a reprezenta grafic multidimensionalitatea, puteți folosi modelul piramidal.
Piramida multidimensionalității începe dintr-un punct numit trecerea cu zero. Acest punct nu are nici lungime, nici lățime, nici înălțime - depășește, în general, orice dimensiune. De aici începe numărătoarea inversă a spațiului și timpului.

Punctul începe să se miște, se formează o linie, adică prima dimensiune este o lume unidimensională (plan). Aici interacțiunile spin pot fi considerate condiționat ca fiind principalii purtători de informații. Spinul este direcția de rotație a unei particule. Electronul se rotește într-o direcție (de exemplu, „în sensul acelor de ceasornic”) - considerăm că aceasta este o unitate. Dimpotrivă - considerăm zero. Acesta este modul în care am obținut baza fizică pentru codurile binare. O unitate de informație este construită dintr-un lanț de atomi - protoni, neutroni și electroni cu caracteristicile lor de spin (de exemplu, 00000001 este litera „A”, 00000010 este litera „B”, etc.).

litera a"

Litera „B”

Linia începe să se miște, se formează un plan cu lungime și lățime - aceasta este o lume bidimensională. Purtătorul de informații în spațiul bidimensional poate fi considerat condiționat o moleculă de apă - H2O. Molecula s-a întors cu atomul de oxigen într-o direcție, iar atomii de hidrogen în cealaltă, au ajuns la zero. Dimpotrivă, este o unitate. Și apoi totul este ca în cazul unidimensional.

litera a"

Litera „B”

Avionul începe să se miște, se formează un volum cu lățime, lungime și înălțime - aceasta este o lume tridimensională. Aici, structurile volumetric-rezonante, care includ molecula de ADN, sunt considerate a fi purtătoare de informații. Astfel de rezonatoare sunt capabile să influențeze mediul prin contact direct și indirect. În plus, datorită caracteristicilor tridimensionale (unghi de rotație, pas de spirală etc.), capacitatea de informare a mediilor crește de multe ori și, prin urmare, nivelul de interacțiune cu acestea.

Au adăugat coordonate temporale la coordonatele spațiale - s-a format o lume cu patru dimensiuni. Timpul în această dimensiune se mișcă într-o singură direcție - de la trecut la prezent și la viitor, iar purtătorii de informații sunt corpuri fizice obiecte biologice(în special omul) în toate perioadele de dezvoltare.

Începând de la cele cinci dimensiuni (planul astral), toate evenimentele au loc în Câmpul Evenimentelor instantaneu la orice distanță și cu orice mase fizice, astrale și mentale de materie. Imaginează-ți că un avion zboară pe cer și, dacă vrei să-l vezi în spațiul 5D, se va mișca în toate direcțiile deodată. Și nu numai pe orizontală, ci și în sus și în jos și în diferite unghiuri. Una dintre proprietățile cinci-dimensionalității este capacitatea fiecărei persoane de a crea un număr infinit de omologii lor astrali - fantome.

Lumea cu șase dimensiuni se numește plan mental. Aceasta este lumea gândurilor umane și, în ansamblu - sfera rațiunii a întregii civilizații. Principala proprietate a lumii mentale: toate imaginile și formele gândirii tind să se manifeste în metrica inferioară a Piramidei Multidimensionalității. Pentru a face acest lucru, trebuie să le imaginați în detaliu, să le umpleți cu cantitatea necesară de energie și să le eliberați în materializare (practic „uitați” de ele).

„Spiritualitatea este imunitate față de utilizarea cunoștințelor noastre mentale în materializare”, spune V.Yu. Rogozhkin despre cele șapte-dimensionale sau lumea spirituală. Nu există loc pentru dualism în dimensiunea spirituală. Aici, răul ca sursă de agresivitate și negativitate pur și simplu nu există. Ne dezvoltăm și îmbunătățim, deoarece există o „particulă” de spiritualitate în fiecare persoană, iar în viitor, folosind experiența prealabilă a încarnărilor trecute, vom lucra deja pe deplin (adică în mod conștient) pe planul spiritual și nu numai cu ajutorul metodelor mental-verbale.

După șapte dimensiuni - un număr infinit de planuri și mai presus de toate Absolutul. Sarcina noastră este să restabilim legătura cu Absolutul și să nu permitem nimănui, inclusiv nouă, să o întrerupă. Conexiunea noastră cu Absolutul se manifestă sub forma cunoașterii intuitive, a capacității de a comunica cu toate corpurile noastre subtile, a unui sentiment de vitalitate și energie.

Una dintre opțiunile de reprezentare a modelului complicat al piramidei multidimensionalității este spirala multidimensionalității.