Tine minte!

Dacă un număr natural este divizibil numai cu 1 și prin el însuși, atunci se numește prim.

Orice număr natural este întotdeauna divizibil cu 1 și prin el însuși.

Numărul 2 este cel mai mic număr prim. Acesta este singurul număr prim par, restul numerelor prime sunt impare.

Există multe numere prime, iar primul dintre ele este numărul 2. Cu toate acestea, nu există ultimul număr prim. În secțiunea „Pentru studiu” puteți descărca un tabel cu numere prime până la 997.

Dar multe numere naturale sunt divizibile în mod egal cu alte numere naturale.

De exemplu:

• numărul 12 este împărțit la 1, la 2, la 3, la 4, la 6, la 12;
• 36 este divizibil cu 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Numerele cu care numărul este divizibil în mod egal (pentru 12, aceștia sunt 1, 2, 3, 4, 6 și 12) se numesc divizori de numere.

Tine minte!

Divizorul unui număr natural a este un număr natural care împarte numărul dat „a” fără rest.

Un număr natural care are mai mult de doi divizori se numește compozit.

Rețineți că numerele 12 și 36 au factori comuni. Acestea sunt numerele: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Cel mai mare dintre divizorii acestor numere este 12.

Divizorul comun al a două numere date „a” și „b” este numărul prin care ambele numere date „a” și „b” sunt divizibile fără rest.

Tine minte!

Cel mai mare divizor comun (GCD) din două numere date „a” și „b” este cel mai mare număr prin care ambele numere „a” și „b” sunt divizibile fără rest.

Pe scurt, cel mai mare divizor comun al numerelor „a” și „b” este scris după cum urmează:

GCD (a; b).

Exemplu: GCD (12; 36) \u003d 12.

Divizorii numerelor din înregistrarea soluției sunt notați cu o literă mare „D”

D (7) \u003d (1, 7)

D (9) \u003d (1, 9)

GCD (7; 9) \u003d 1

Numerele 7 și 9 au un singur divizor comun - numărul 1. Se numesc astfel de numere numere prime reciproce.

Tine minte!

Numere prime reciproc Sunt numere naturale care au un singur divizor comun - numărul 1. GCD-ul lor este 1.

Cum să găsiți cel mai mare factor comun

Pentru a găsi GCD a două sau mai multe numere naturale, aveți nevoie de:

1. descompuneți divizorii numerelor în factori primi;

Calculele sunt scrise convenabil folosind bara verticală. În stânga liniei, scrieți mai întâi dividendul, în dreapta - divizorul. Apoi, în coloana din stânga, scrieți valorile coeficienților.

Să ne explicăm imediat cu un exemplu. Să împărțim numerele 28 și 64 în factori primi.

1. Subliniem aceiași factori primi în ambele numere.
   28 = 2 2 7

   64 \u003d 2 2 2 2 2 2

2. Găsiți produsul acelorași factori primi și scrieți răspunsul;
   GCD (28; 64) \u003d 2 2 \u003d 4

   Răspuns: GCD (28; 64) \u003d 4

Găsirea GCD se poate face în două moduri: într-o coloană (așa cum se face mai sus) sau într-o linie.

Divizori comuni

Exemplul 1

Găsiți divizorii comuni ai numerelor $ 15 $ și $ –25 $.

Decizie.

Divizorii numărului 15 $: 1, 3, 5, 15 $ și opusul lor.

Divizori ai numărului $ –25: 1, 5, 25 $ și opusul lor.

Răspuns: numerele $ 15 $ și $ -25 $ au divizori comuni de $ 1, $ 5 și opusul lor.

Conform proprietăților de divizibilitate ale numărului $ −1 $ și $ 1 $ sunt divizori ai oricărui număr întreg, prin urmare, $ −1 $ și $ 1 $ vor fi întotdeauna divizori comuni pentru orice număr întreg.

Orice set de numere întregi va avea întotdeauna cel puțin 2 $ divizori comuni: $ 1 $ și $ −1 $.

Rețineți că dacă întregul $ a $ este divizorul comun al unor numere întregi, atunci –а va fi și divizorul comun pentru aceste numere.

Cel mai adesea, în practică, acestea sunt limitate doar la divizori pozitivi, dar nu uitați că fiecare număr întreg opus unui divizor pozitiv va fi, de asemenea, un divizor al acestui număr.

Determinarea celui mai mare divizor comun (GCD)

Conform proprietăților divizibilității, fiecare număr întreg are cel puțin un divizor diferit de zero, iar numărul acestor divizori este finit. În acest caz, divizorii comuni ai numerelor date sunt, de asemenea, finiți. Dintre toți divizorii comuni ai numerelor date, se poate selecta cel mai mare număr.

Dacă toate aceste numere sunt egale cu zero, cel mai mare dintre divizorii comuni nu poate fi determinat, deoarece zero este divizibil cu orice număr întreg, dintre care există un număr infinit.

Cel mai mare divizor comun al numerelor $ a $ și $ b $ în matematică este notat $ mcd (a, b) $.

Exemplul 2

Găsiți GCD-ul numerelor întregi 412 $ și –30 $ $ ..

Decizie.

Să găsim divizorii fiecăruia dintre numere:

$ 12 $: numerele $ 1, 3, 4, 6, 12 $ și opusul lor.

$ –30 $: numerele $ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 $ și opusul lor.

Divizorii comuni de $ 12 $ și $ –30 $ sunt $ 1, 3, 6 $ și opusul lor.

$ Mcd (12, –30) \u003d 6 $.

Determinarea GCD a trei sau mai multe numere întregi poate fi similară cu definiția GCD a două numere.

GCD de trei sau mai multe numere întregi este cel mai mare număr întreg care împarte toate numerele în același timp.

Aceștia indică cel mai mare divizor $ n $ al numerelor $ GCD (a_1, a_2, ..., a_n) \u003d b $.

Exemplul 3

Găsiți GCD-ul a trei numere întregi $ –12, 32, 56 $.

Decizie.

Să găsim toți divizorii fiecăruia dintre numere:

$ –12 $: numerele $ 1, 2, 3, 4, 6, 12 $ și opusul lor;

32 $: numerele 1, 2, 4, 8, 16, 32 $ și opusul lor;

$ 56: numerele $ 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56 $ și opusul lor.

Divizorii comuni ai $ –12, 32, 56 $ sunt $ 1, 2, 4 $ și opusul lor.

Găsiți cel mai mare dintre aceste numere comparând doar cele pozitive: 1 $

$ Mcd (–12, 32, 56) \u003d 4 $.

În unele cazuri, mcd al numerelor întregi poate fi unul dintre aceste numere.

Numere prime reciproc

Definiție 3

Întregi $ a $ și $ b $ - reciproc simpledacă $ mcd (a, b) \u003d 1 $.

Exemplul 4

Arată că numerele $ 7 $ și $ 13 $ sunt coprimă.

Munca terminata

FUNCȚIONEAZĂ DIPLOMA

Sunt deja multe lucruri în urmă și acum ești absolvent, dacă, desigur, îți scrii teza la timp. Dar viața este așa ceva, încât abia acum îți devine clar că, după ce ai încetat să fii student, vei pierde toate bucuriile studenților, multe dintre care nu le-ai încercat niciodată, amânând totul și amânându-l pentru mai târziu. Și acum, în loc să revendici timpul pierdut, lucrezi din greu la teza ta? Există o ieșire excelentă: descărcați teza de care aveți nevoie de pe site-ul nostru - și veți avea instantaneu mult timp liber!
Tezele au fost susținute cu succes la principalele universități din Republica Kazahstan.
Costul muncii de la 20.000 tenge

FUNCȚIONAREA CURSULUI

Proiectul cursului este prima lucrare practică serioasă. Pregătirea pentru dezvoltarea proiectelor de absolvire începe odată cu redactarea unei lucrări pe termen. Dacă un student învață să prezinte corect conținutul unui subiect într-un proiect de curs și să îl proiecteze corect, atunci în viitor nu va avea probleme nici cu redactarea rapoartelor, nici cu întocmirea tezelor, nici cu implementarea altor sarcini practice. De fapt, pentru a ajuta studenții să scrie acest tip de muncă studențească și pentru a clarifica întrebările care apar în timpul pregătirii sale, această secțiune de informații a fost creată.
Costul muncii de la 2.500 tenge

DISERTAȚII MAESTRE

În prezent, în instituțiile de învățământ superior din Kazahstan și din țările CSI, nivelul de învățământ profesional superior este foarte frecvent, care urmează după diploma de licență - masteratul. În magistratură, studiază cu scopul de a obține o diplomă de master, care este recunoscută în majoritatea țărilor lumii mai mult decât o diplomă de licență și este recunoscută și de angajatorii străini. Rezultatul studierii la masterat este apărarea tezei de masterat.
Vă vom furniza materiale analitice și textuale actualizate, prețul include 2 articole științifice și un rezumat.
Costul muncii de la 35.000 tenge

RAPOARTE DE PRACTICĂ

După finalizarea oricărui tip de practică studențească (educațional, industrial, pre-diplomă), este necesar un raport. Acest document va fi o confirmare a muncii practice a studentului și baza pentru formarea unei evaluări pentru practică. De obicei, pentru a întocmi un raport privind practica, trebuie să colectați și să analizați informații despre întreprindere, să luați în considerare structura și programul de lucru al organizației în care se desfășoară practica, să întocmiți un plan calendaristic și să descrieți practica dvs.
Vă vom ajuta să scrieți un raport privind stagiul, ținând cont de specificul activității unei anumite întreprinderi.

Numere prime și compuse

Definiția 1. Divizorul comun al mai multor numere naturale este un număr care este despărțitor fiecare dintre aceste numere.

Definiția 2. Cel mai mare divizor comun se numește cel mai mare factor comun (mcd).

Exemplul 1. Divizorii comuni ai 30, 45 și 60 sunt 3, 5, 15. Cel mai mare divizor comun al acestor numere va fi

GCD (30, 45, 10) \u003d 15.

Definiție 3. Dacă cel mai mare divizor comun al mai multor numere este 1, atunci aceste numere sunt numite reciproc simple.

Exemplul 2. Numerele 40 și 3 vor fi numere prime reciproce, dar numerele 56 și 21 nu sunt coprimă, deoarece 56 și 21 au un divizor comun de 7, care este mai mare decât 1.

Observație. În cazul în care un numărătorul fracției și numitorul fracției sunt numere coprimă, atunci o astfel de fracțiune ireductibil.

Algoritm pentru găsirea celui mai mare divizor comun

Considera algoritm pentru găsirea celui mai mare divizor comun mai multe numere în exemplul următor.

Exemplul 3. Găsiți cel mai mare numitor comun al 100, 750 și 800.

Decizie. Să extindem aceste numere în factori primi :

Factorul prim de 2 în primul factorizarea este inclus în puterea lui 2, în a doua expansiune - în puterea lui 1, în a treia expansiune - în puterea lui 5. Denotăm cel mai mic a acestor grade prin litera a. Este evident că a = 1 .

Primul factor de 3 în primul factorizarea intră în puterea lui 0 (cu alte cuvinte, factorul 3 nu este deloc inclus în prima factorizare), în a doua factorizare intră în puterea lui 1, în a treia factorizare - în puterea lui 0. Denotăm cel mai mic a acestor grade prin litera b. Este evident că b = 0 .

Multiplicator simplu de 5 în primul factorizarea este inclus în puterea lui 2, în a doua expansiune - în puterea lui 3, în a treia expansiune - în puterea lui 2. Denotăm cel mai mic a acestor grade prin litera c. Este evident că c = 2 .