Un sistem de ecuații liniare cu două necunoscute este două sau mai multe ecuații liniare pentru care este necesar să găsim toate soluțiile lor comune. Vom lua în considerare sistemele a două ecuații liniare cu două necunoscute. În figura de mai jos este prezentată o vedere generală a unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute:

(a1 * x + b1 * y \u003d c1,
(a2 * x + b2 * y \u003d c2

Aici x și y sunt variabile necunoscute, a1, a2, b1, b2, c1, c2 sunt unele numere reale. Prin rezolvarea unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute, o pereche de numere (x, y) este numită astfel încât dacă înlocuim aceste numere în ecuațiile sistemului, atunci fiecare dintre ecuațiile sistemului se transformă în egalitatea corectă. Există mai multe moduri de a rezolva un sistem de ecuații liniare. Luați în considerare una dintre metodele de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare, și anume, metoda de adăugare.

Algoritm de adăugare

Un algoritm pentru rezolvarea unui sistem de ecuații liniare cu două metode de adăugare necunoscute.

1. Dacă este necesar, prin transformări echivalente, egalizați coeficienții pentru una dintre variabilele necunoscute din ambele ecuații.

2. Adăugarea sau scăderea ecuațiilor obținute pentru a obține o ecuație liniară cu o necunoscută

3. Rezolvați ecuația rezultată cu o necunoscută și găsiți una dintre variabile.

4. Înlocuiți expresia rezultată în oricare dintre cele două ecuații ale sistemului și rezolvați această ecuație, obținând astfel a doua variabilă.

5. Faceți o verificare a deciziei.

Exemplu de adăugare

Pentru o mai mare claritate, decidem prin metoda de adăugare următorul sistem de ecuații liniare cu două necunoscute:

(3 * x + 2 * y \u003d 10;
(5 * x + 3 * y \u003d 12;

Deoarece niciuna dintre variabile nu are aceiași coeficienți, egalizăm coeficienții variabilei y. Pentru a face acest lucru, înmulțim prima ecuație cu trei, iar a doua ecuație cu două.

(3 * x + 2 * y \u003d 10 | * 3
(5 * x + 3 * y \u003d 12 | * 2

Obținem următorul sistem de ecuații:

(9 * x + 6 * y \u003d 30;
(10 * x + 6 * y \u003d 24;

Acum scădem prima din a doua ecuație. Dăm termeni similari și rezolvăm ecuația liniară rezultată.

10 * x + 6 * y - (9 * x + 6 * y) \u003d 24-30; x \u003d -6;

Substituim valoarea obținută în prima ecuație din sistemul nostru original și rezolvăm ecuația rezultată.

(3 * (- 6) + 2 * y \u003d 10;
(2 * y \u003d 28; y \u003d 14;

Rezultatul este o pereche de numere x \u003d 6 și y \u003d 14. Verificăm. Facem substituția.

(3 * x + 2 * y \u003d 10;
(5 * x + 3 * y \u003d 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

După cum vedeți, am obținut două egalități adevărate, prin urmare, am găsit soluția potrivită.

Materialul din acest articol este destinat primei cunoștințe cu sisteme de ecuații. Aici introducem definiția unui sistem de ecuații și soluțiile acestuia și, de asemenea, luăm în considerare cele mai comune tipuri de sisteme de ecuații. Ca de obicei, vom oferi exemple explicative.

Navigare prin pagină.

Ce este un sistem de ecuații?

Vom selecta treptat definiția unui sistem de ecuații. În primul rând, spunem doar că este convenabil să-l oferim indicând două puncte: în primul rând, tipul de înregistrare și, în al doilea rând, sensul încorporat în această înregistrare. Să ne bazăm pe ele pe rând, apoi să generalizăm raționamentul în definiția sistemelor de ecuații.

Să avem ceva. De exemplu, luați două ecuații 2 · x + y \u003d −3 și x \u003d 5. Scrieți-le unul sub celălalt și combinați-le pe partea stângă cu o bretelă:

Înregistrări de acest fel, care sunt mai multe ecuații situate într-o coloană și combinate la stânga cu o paranteză cretată, sunt înregistrări ale sistemelor de ecuații.

Ce înseamnă astfel de înregistrări? Ele definesc setul tuturor acestor soluții ale ecuațiilor sistemului, care sunt soluția fiecărei ecuații.

Nu doare să o descriu cu alte cuvinte. Să presupunem că unele soluții ale primei ecuații sunt soluții ale tuturor celorlalte ecuații ale sistemului. Deci, înregistrarea sistemului le desemnează.

Acum suntem gata să percepem în mod adecvat definiția unui sistem de ecuații.

Definiția.

Sisteme de ecuații  Înregistrările se numesc înregistrări, care sunt ecuații situate una sub alta, combinate pe partea stângă cu o paranteză cretată, care indică setul tuturor soluțiilor ecuațiilor care sunt simultan soluții pentru fiecare ecuație a sistemului.

O definiție similară este dată în manual, dar nu este dată pentru cazul general, ci pentru două ecuații raționale cu două variabile.

Principalele tipuri

Este clar că există infinit de multe ecuații diverse. În mod firesc, există, de asemenea, la infinit multe sisteme de ecuații compilate cu utilizarea lor. Prin urmare, pentru comoditatea de a studia și de a lucra cu sisteme de ecuații, are sens să le împărțiți în grupuri în funcție de caracteristici similare, apoi să continuați să luați în considerare sisteme de ecuații de tipuri individuale.

Prima diviziune cerșește numărul de ecuații în sistem. Dacă există două ecuații, atunci putem spune că avem un sistem de două ecuații, dacă trei, atunci un sistem de trei ecuații etc. Este clar că nu are sens să vorbim despre un sistem al unei ecuații, deoarece în acest caz, de fapt, avem de-a face cu ecuația în sine, și nu cu sistemul.

Diviziunea următoare se bazează pe numărul de variabile implicate în scrierea ecuațiilor sistemului. Dacă există o singură variabilă, atunci avem de-a face cu un sistem de ecuații cu o singură variabilă (se spune și cu o necunoscută), dacă două - atunci cu un sistem de ecuații cu două variabile (cu două necunoscute) etc. De exemplu   este un sistem de ecuații cu două variabile x și y.

Aceasta se referă la numărul diferitelor variabile implicate în înregistrare. Acestea nu trebuie să fie incluse imediat în înregistrarea fiecărei ecuații, prezența lor în cel puțin o ecuație este suficientă. De exemplu,   este un sistem de ecuații cu trei variabile x, y și z. În prima ecuație, variabila x este prezentă explicit, în timp ce y și z sunt implicite (putem presupune că aceste variabile au zero), iar în a doua ecuație există x și z, iar variabila y nu este reprezentată explicit. Cu alte cuvinte, prima ecuație poate fi considerată ca iar a doua ca x + 0 · y - 3 · z \u003d 0.

Al treilea punct în care se disting sistemele de ecuații este forma ecuațiilor în sine.

La școală, studiul sistemelor de ecuații începe cu sisteme cu două ecuații liniare cu două variabile   . Adică, astfel de sisteme alcătuiesc două ecuații liniare. Iată câteva exemple:   și . Învață elementele de bază ale lucrării cu sisteme de ecuații.

Când se rezolvă probleme mai complexe, se pot întâlni și sisteme de trei ecuații liniare cu trei necunoscute.

Mai departe în gradul 9, ecuațiile neliniare sunt adăugate la sistemele a două ecuații cu două variabile, în mare parte ecuații întregi de gradul doi, mai rar de grade superioare. Aceste sisteme se numesc sisteme de ecuații neliniare, dacă este necesar, ele specifică numărul de ecuații și necunoscute. Arătăm exemple de astfel de sisteme de ecuații neliniare:   și.

Și apoi în sisteme se găsesc, de exemplu,. Acestea sunt de obicei numite sisteme de ecuații, fără a specifica ce ecuații. Aici este de remarcat faptul că cel mai adesea spun despre un sistem de ecuații pur și simplu „un sistem de ecuații”, iar rafinările sunt adăugate doar dacă este necesar.

În liceu, pe măsură ce materialul este studiat, ecuațiile iraționale, trigonometrice, logaritmice și exponențiale pătrund în sisteme: , , .

Dacă te uiți și mai departe la programul primelor cursuri ale universităților, atunci accentul principal este pus pe studiul și soluția sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE), adică ecuații în părțile din stânga ale căror polinoame sunt de gradul I, iar în dreapta - unele numere. Dar acolo, spre deosebire de școală, nu sunt deja luate două ecuații liniare cu două variabile, ci un număr arbitrar de ecuații cu un număr arbitrar de variabile, de multe ori nu este același cu numărul de ecuații.

Cum se numește o soluție la un sistem de ecuații?

Termenul „soluție a unui sistem de ecuații” se referă direct la sisteme de ecuații. Școala definește soluția unui sistem de ecuații cu două variabile :

Definiția.

Prin rezolvarea unui sistem de ecuații cu două variabile  se numește o pereche de valori ale acestor variabile, care transformă fiecare ecuație a sistemului în cea dreaptă, cu alte cuvinte, este o soluție pentru fiecare ecuație a sistemului.

De exemplu, o pereche de valori ale variabilelor x \u003d 5, y \u003d 2 (se poate scrie ca (5, 2)) este o soluție a sistemului de ecuații prin definiție, deoarece ecuațiile sistemului, atunci când se substituie x \u003d 5, y \u003d 2 în ele, se transformă în egalități numerice 5 + 2 \u003d 7, respectiv 5-2 \u003d 3. Dar o pereche de valori x \u003d 3, y \u003d 0 nu este o soluție pentru acest sistem, deoarece atunci când aceste valori sunt substituite în ecuații, prima dintre ele se transformă într-o egalitate incorectă 3 + 0 \u003d 7.

Definiții similare pot fi formulate pentru sisteme cu o variabilă, precum și pentru sisteme cu trei, patru etc. variabile.

Definiția.

Prin rezolvarea unui sistem de ecuații cu o variabilă  va fi valoarea variabilei, care este rădăcina tuturor ecuațiilor sistemului, adică convertirea tuturor ecuațiilor la egalități numerice corecte.

Dăm un exemplu. Luați în considerare un sistem de ecuații cu o variabilă t a formei . Numărul −2 este soluția sa, deoarece ambele (−2) 2 \u003d 4 și 5 · (−2 + 2) \u003d 0 sunt adevărate egalități numerice. Și t \u003d 1 - nu este o soluție a sistemului, deoarece înlocuirea acestei valori va da două egalități incorecte 1 2 \u003d 4 și 5 · (1 + 2) \u003d 0.

Definiția.

O soluție pentru un sistem cu trei, patru etc. variabile  numite trei, patru etc. valorile variabilelor, respectiv, transformând toate ecuațiile sistemului în egalități adevărate.

Deci, prin definiție, cele trei valori ale variabilelor x \u003d 1, y \u003d 2, z \u003d 0 sunt o soluție pentru sistem , deoarece 2 · 1 \u003d 2, 5 · 2 \u003d 10 și 1 + 2 + 0 \u003d 3 sunt adevărate egalități numerice. Și (1, 0, 5) nu este o soluție pentru acest sistem, deoarece atunci când aceste variabile sunt substituite în ecuațiile sistemului, a doua dintre ele se transformă într-o egalitate incorectă 5 · 0 \u003d 10, iar a treia, de asemenea, 1 + 0 + 5 \u003d 3.

Rețineți că sistemele de ecuații nu pot avea soluții, pot avea un număr finit de soluții, de exemplu, una, două, ... și pot avea infinit de multe soluții. Vei vedea acest lucru pe măsură ce aprofundați subiectul.

Având în vedere definițiile unui sistem de ecuații și soluțiile lor, putem concluziona că soluția unui sistem de ecuații este intersecția seturilor de soluții ale tuturor ecuațiilor sale.

În concluzie, vă prezentăm mai multe definiții conexe:

Definiția.

nepotrivitdacă nu are soluții, altfel se numește sistemul o articulație.

Definiția.

Sistemul de ecuații se numește incertdacă are infinit de multe soluții și specificdacă are un număr finit de soluții sau nu le are deloc.

Acești termeni sunt introduși, de exemplu, într-un manual, dar sunt foarte rar folosiți la școală, mai des pot fi auziți în instituțiile de învățământ superior.

Referințe.

1. algebra:  Proc. timp de 7 cl. educație generală. instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; sub redacția din S. A. Telyakovsky. - ediția a 17-a. - M.: Educație, 2008 .-- 240 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. algebra:  Gradul 9: manual. pentru învățământul general. instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; sub redacția din S. A. Telyakovsky. - ediția a 16-a. - M.: Educație, 2009 .-- 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovici A. G.  Algebra. Clasa a VII-a. La 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovici. - ediția a 17-a, ext. - M.: Mnemosyne, 2013 .-- 175 p.: Bolnav. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Mordkovici A. G.  Algebra. Gradul 9 La 2 ore, partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovici, P. V. Semenov. - ediția a 13-a. - M .: Mnemosyne, 2011 .-- 222 p.: Bolnav. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Mordkovici A. G.  Algebra și începutul analizei matematice. Clasa a XI-a. La 2 ore, partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ (nivel de profil) / A. G. Mordkovici, P. V. Semenov. - ediția a 2-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2008 .-- 287 p.: Bolnav. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. algebră  și începutul analizei: manual. pentru 10-11 celule educație generală. instituții / A.N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova. - ediția a 14-a. M .: Educație, 2004.- 384 p., Ill. - ISBN 5-09-013651-3.
7. A. G. Kurosh. Curs de algebră superioară.
8. Ilyin V.A., Poznyak E. G. Geometrie analitică:  Manual: Pentru universități. - ediția a 5-a. - M .: Știință. Fizmatlit, 1999 .-- 224 p. - (Cursul de matematică superioară și matematică. Fizică). - ISBN 5-02-015234 - X (Ediția 3)

Confidențialitatea dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dvs. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și anunțați-ne dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi utilizate pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Vi se poate solicita să furnizați informațiile dvs. personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când lăsați o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dvs. personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să raportăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dvs. personale pentru a trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem utiliza informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea unui audit, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la o competiție sau la un eveniment promoțional similar, putem folosi informațiile pe care le furnizați pentru a gestiona astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dvs. către terți.

excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, sistemul judiciar, în procedurile judiciare și / sau pe baza unor anchete publice sau anchete ale autorităților de stat din Federația Rusă - dezvăluie informațiile dvs. personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dvs. dacă stabilim că o asemenea divulgare este necesară sau adecvată în scopuri de securitate, menținerea legii și a ordinii sau alte cazuri importante din punct de vedere social.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul partener, destinatarul.

Protecția informațiilor personale

Ne luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și a utilizării nedrepte, precum și de accesul, dezvăluirea, modificarea și distrugerea neautorizate.

Păstrarea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dvs. personale sunt sigure, comunicăm regulile de confidențialitate și securitate angajaților noștri și monitorizăm strict implementarea măsurilor de confidențialitate.

Mai fiabil decât metoda grafică, care a fost luată în considerare în paragraful anterior.

Metoda de înlocuire

Am utilizat această metodă în clasa a VII-a pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare. Algoritmul dezvoltat în clasa a VII-a este destul de potrivit pentru rezolvarea sistemelor oricărei două ecuații (nu neapărat liniare) cu două variabile x și y (desigur, variabilele pot fi notate și prin alte litere, ceea ce nu contează). De fapt, am folosit acest algoritm în secțiunea anterioară, când problema numerelor din două cifre a dus la un model matematic, care este un sistem de ecuații. Am rezolvat acest sistem de ecuații de mai sus prin metoda de substituție (vezi Exemplul 1 din § 4).

Algoritmul pentru utilizarea metodei de substituție în rezolvarea unui sistem de două ecuații cu două variabile x, y.

1. Exprima y prin x dintr-o ecuație a sistemului.
2. Înlocuiți expresia obținută în loc de y într-o altă ecuație a sistemului.
3. Rezolvați ecuația rezultată pentru x.
4. Înlocuiți pe rând fiecare rădăcină a ecuației găsită în a treia etapă în loc de x în expresia y prin x obținută în prima etapă.
5. Înregistrați răspunsul sub formă de perechi de valori (x; y) care s-au găsit în treapta a treia, respectiv a patra etapă.

4) Înlocuim fiecare dintre valorile găsite ale y în formula x \u003d 5 - Zu. Dacă asta
5) Perechi (2; 1) și soluții ale unui sistem dat de ecuații.

Răspuns: (2; 1);

Metoda de adăugare algebrică

Această metodă, ca și metoda de substituție, vă este cunoscută din cursul algebrei clasei a 7-a, unde a fost folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare. Reamintim esența metodei în următorul exemplu.

Exemplul 2  Rezolvați un sistem de ecuații

Înmulțim toți termenii primei ecuații a sistemului cu 3 și lăsăm a doua ecuație neschimbată:
Reduceți a doua ecuație a sistemului din prima ecuație:

Ca urmare a adăugării algebrice a celor două ecuații ale sistemului inițial, se obține o ecuație care este mai simplă decât prima și a doua ecuații a sistemului dat. Cu această ecuație mai simplă, avem dreptul să înlocuim orice ecuație a unui anumit sistem, de exemplu, al doilea. Atunci sistemul dat de ecuații este înlocuit cu un sistem mai simplu:

Acest sistem poate fi rezolvat prin metoda de substituție. Din a doua ecuație găsim substituirea acestei expresii în locul lui y în prima ecuație a sistemului, obținem

Rămâne să înlocuim valorile găsite ale lui x în formulă

Dacă x \u003d 2, atunci

Astfel, am găsit două soluții pentru sistem:

Metoda pentru introducerea de noi variabile

Cu metoda de introducere a unei noi variabile la rezolvarea ecuațiilor raționale cu o variabilă, v-ați întâlnit în cursul algebrei de clasa a VIII-a. Esența acestei metode la rezolvarea sistemelor de ecuații este aceeași, dar din punct de vedere tehnic există câteva caracteristici pe care le vom discuta în exemplele următoare.

Exemplul 3  Rezolvați un sistem de ecuații

Introducem o nouă variabilă Apoi, prima ecuație a sistemului poate fi rescrisă într-o formă mai simplă: Rezolvăm această ecuație cu privire la variabila t:

Ambele valori satisfac condiția și, prin urmare, sunt rădăcinile unei ecuații raționale cu variabila t. Dar asta înseamnă fie de unde găsim că x \u003d 2y, fie
Astfel, folosind metoda de introducere a unei noi variabile, am reușit să „stratificăm” prima ecuație a sistemului, care este destul de complex în aparență, în două ecuații mai simple:

x \u003d 2 y; y - 2x.

Ce urmează? Și atunci fiecare dintre cele două ecuații simple obținute trebuie considerată la rândul său într-un sistem cu ecuația x 2 - y 2 \u003d 3, pe care nu am amintit-o încă. Cu alte cuvinte, problema se reduce la rezolvarea a două sisteme de ecuații:

Este necesar să găsiți soluțiile primului sistem, al doilea sistem și toate perechile de valori primite pentru a le include în răspuns. Rezolvăm primul sistem de ecuații:

Folosim metoda de substituție, mai ales că aici totul este pregătit: substituim expresia 2y în loc de x în a doua ecuație a sistemului. Obținem

Deoarece x \u003d 2y, găsim respectiv x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2. Astfel, se obțin două soluții ale sistemului dat: (2; 1) și (-2; -1). Rezolvăm al doilea sistem de ecuații:

Folosim din nou metoda de substituție: substituim expresia 2x în loc de y în a doua ecuație a sistemului. Obținem

Această ecuație nu are rădăcini, ceea ce înseamnă că sistemul de ecuații nu are soluții. Astfel, numai soluțiile primului sistem ar trebui să fie incluse în răspuns.

Răspuns: (2; 1); (-2; -1).

Metoda de introducere a noilor variabile în sistemele de rezolvare a două ecuații cu două variabile este utilizată în două versiuni. Prima opțiune: o nouă variabilă este introdusă și utilizată doar într-o ecuație a sistemului. Acesta a fost exact cazul din Exemplul 3. A doua opțiune: două variabile noi sunt introduse și utilizate simultan în ambele ecuații ale sistemului. Acesta va fi cazul în Exemplul 4.

Exemplul 4  Rezolvați un sistem de ecuații

Vom introduce două variabile noi:

Considerăm că atunci

Acest lucru ne va permite să rescriem sistemul dat într-o formă mult mai simplă, dar în ceea ce privește noile variabile a și b:

Deoarece a \u003d 1, din ecuația a + 6 \u003d 2 găsim: 1 + 6 \u003d 2; 6 \u003d 1. Astfel, în ceea ce privește variabilele a și b, am obținut o singură soluție:

Revenind la variabilele x și y, obținem un sistem de ecuații

Aplicăm metoda de adăugare algebrică pentru a rezolva acest sistem:

De atunci din ecuația 2x + y \u003d 3 găsim:
Astfel, în ceea ce privește variabilele x și y, am obținut o singură soluție:

Încheiem această secțiune cu o scurtă, dar destul de serioasă discuție teoretică. Ați acumulat deja ceva experiență în rezolvarea diverselor ecuații: liniară, pătrată, rațională, irațională. Știți că ideea de bază a rezolvării unei ecuații este o tranziție treptată de la o ecuație la alta, mai simplă, dar echivalentă cu una dată. În secțiunea anterioară, am introdus conceptul de echivalență pentru ecuațiile cu două variabile. Utilizați acest concept pentru sisteme de ecuații.

Definiția.

Două sisteme de ecuații cu variabilele x și y se numesc echivalente dacă au aceleași soluții sau dacă ambele sisteme nu au soluții.

Toate cele trei metode (substituții, adăugare algebrică și introducerea de noi variabile) despre care am discutat în această secțiune sunt absolut corecte din punct de vedere al echivalenței. Cu alte cuvinte, folosind aceste metode, înlocuim un sistem de ecuații cu altul, mai simplu, dar echivalent cu sistemul inițial.

Metoda grafică pentru rezolvarea sistemelor de ecuații

Am învățat deja cum să rezolvăm sistemele de ecuații în moduri atât de răspândite și de încredere precum metoda de substituție, adăugarea algebrică și introducerea de noi variabile. Acum să reamintim cu tine metoda pe care ai învățat-o deja în lecția precedentă. Adică, să repetăm \u200b\u200bceea ce știți despre metoda soluției grafice.

Metoda de rezolvare a sistemelor de ecuații într-un mod grafic este construcția unui grafic pentru fiecare dintre ecuațiile specifice care sunt incluse în acest sistem și sunt în același plan de coordonate, și unde este necesar să se găsească intersecția punctelor acestor grafice. Pentru a rezolva acest sistem de ecuații sunt coordonatele acestui punct (x; y).

Trebuie amintit că pentru un sistem grafic de ecuații este comun să existe fie o singură soluție corectă, fie un număr infinit de soluții sau să nu avem deloc soluții.

Și acum ne vom baza pe fiecare din aceste decizii mai detaliat. Și astfel, sistemul de ecuații poate avea o soluție unică dacă liniile care sunt grafice ale ecuațiilor sistemului se intersectează. Dacă aceste linii sunt paralele, atunci un astfel de sistem de ecuații nu are absolut nicio soluție. În cazul coincidenței graficelor directe ale ecuațiilor sistemului, atunci un astfel de sistem vă permite să găsiți multe soluții.

Ei bine, acum să ne uităm la un algoritm pentru rezolvarea unui sistem de două ecuații cu 2 metode grafice necunoscute:

În primul rând, mai întâi construim un grafic al primei ecuații;
   Al doilea pas va fi construirea unui grafic care se raportează la a doua ecuație;
   În al treilea rând, trebuie să găsim punctele de intersecție ale graficelor.
   Și la final, obținem coordonatele fiecărui punct de intersecție, care va fi soluția pentru sistemul de ecuații.

Să analizăm mai detaliat această metodă folosind un exemplu. Ni se oferă un sistem de ecuații care trebuie rezolvate:

Soluție de ecuație

1. În primul rând, vom construi un grafic al acestei ecuații: x2 + y2 \u003d 9.

Trebuie menționat însă că acest grafic al ecuațiilor va fi un cerc care are un centru la origine, iar raza lui va fi de trei.

2. Următorul nostru pas va fi să construim un grafic cu o astfel de ecuație precum: y \u003d x - 3.

În acest caz, trebuie să construim o linie și să găsim punctele (0; −3) și (3; 0).

3. Ne uităm la ce am făcut. Vedem că linia intersectează cercul în cele două puncte A și B.

Acum căutăm coordonatele acestor puncte. Vedem că coordonatele (3; 0) corespund punctului A, respectiv coordonatele (0; −3) la punctul B.

Și ce obținem până la urmă?

Numerele (3; 0) și (0; −3) obținute la intersecția dreptei cu cercul sunt tocmai soluțiile ambelor ecuații ale sistemului. Și de aici rezultă că aceste numere sunt și soluții pentru acest sistem de ecuații.

Adică răspunsul la această soluție este numerele: (3; 0) și (0; −3).

Folosind acest program matematic, puteți rezolva un sistem de două ecuații liniare cu două variabile prin metoda de substituție și metoda de adăugare.

Programul nu numai că oferă răspunsul la problemă, dar oferă și o soluție detaliată cu explicații ale etapelor soluției în două moduri: metoda de substituție și metoda de adăugare.

Acest program poate fi util elevilor din clasele superioare ale școlilor secundare în pregătirea testelor și examenelor, atunci când testează cunoștințele înainte de examen, părinții să controleze soluția multor probleme din matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru dvs. să angajați un tutor sau să cumpărați manuale noi? Sau doriți doar să vă faceți temele cât mai repede în matematică sau algebră? În acest caz, puteți utiliza programele noastre cu o soluție detaliată.

Astfel, vă puteți desfășura propria pregătire și / sau formare a fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul sarcinilor trebuie îmbunătățit.

Reguli pentru introducerea ecuațiilor

O variabilă poate fi orice literă latină.
   De exemplu: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \\) etc.

La intrarea în ecuații se pot folosi paranteze. În acest caz, ecuațiile sunt simplificate mai întâi. Ecuațiile după simplificări ar trebui să fie liniare, adică. a formei ax + de + c \u003d 0 cu o precizie a succesiunii elementelor.
   De exemplu: 6x + 1 \u003d 5 (x + y) +2

În ecuații, puteți utiliza nu numai numere întregi, ci și numere fracționale sub formă de fracții zecimale și ordinare.

Reguli pentru introducerea fracțiilor zecimale.
   Părțile întregi și fracționale în fracții zecimale pot fi separate printr-un punct sau o virgulă.
   De exemplu: 2,1 n + 3,5 m \u003d 55

Reguli pentru introducerea fracțiilor obișnuite.
   Ca numărător, numitor și partea întreagă a fracției nu poate fi decât un număr întreg.
   Numitorul nu poate fi negativ.
   La introducerea unei fracții numerice, numerotatorul este separat de numitor printr-o marcă de divizare: /
   Întreaga parte este separată de fracție cu semnul ampersand: &

Exemple.
-1 & 2 / 3y + 5 / 3x \u003d 55
2,1p + 55 \u003d -2/7 (3,5p - 2 & 1 / 8q)

Rezolvați un sistem de ecuații

S-a constatat că unele scripturi necesare pentru a rezolva această problemă nu s-au încărcat și este posibil ca programul să nu funcționeze.
   Poate că aveți AdBlock activat.
În acest caz, opriți-l și actualizați pagina.

JavaScript este dezactivat în browserul dvs.
   Pentru ca soluția să apară, trebuie să activați JavaScript.
   Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browser.

pentru că Există o mulțime de oameni care doresc să rezolve problema, cererea dvs. a fost pusă în coadă.
După câteva secunde, soluția va apărea mai jos.
Te rog, așteaptă   sec ...

Dacă tu a observat o greșeală în soluție, puteți scrie despre acest lucru în formularul de feedback.
   Nu uita indicați ce sarcină  tu decizi și ce intra in campuri.

Jocurile noastre, puzzle-uri, emulatoare:

Un pic de teorie.

Soluția sistemelor de ecuații liniare. Metoda de înlocuire

Secvența acțiunilor la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare prin metoda de substituție:
  1) Exprimați o variabilă dintr-o altă ecuație a sistemului printr-o altă;
  2) substituiți expresia obținută cu o altă ecuație a sistemului în locul acestei variabile;

  $$ \\ left \\ (\\ begin (array) (l) 3x + y \u003d 7 \\\\ -5x + 2y \u003d 3 \\ end (array) \\ right. $$

Exprimați din prima ecuație y în termeni de x: y \u003d 7-3x. Substituind în a doua ecuație în loc de y expresia 7-Зx, obținem sistemul:
  $$ \\ left \\ (\\ begin (array) (l) y \u003d 7-3x \\\\ -5x + 2 (7-3x) \u003d 3 \\ end (array) \\ right. $$

Este ușor de arătat că primul și al doilea sistem au aceleași soluții. În al doilea sistem, a doua ecuație conține o singură variabilă. Rezolvăm această ecuație:
  $$ -5x + 2 (7-3x) \u003d 3 \\ Dreapta-sferă -5x + 14-6x \u003d 3 \\ Dreapta-săgeată -11x \u003d -11 \\ Dreapta-săgeată x \u003d 1 $$

Substituind numărul 1 în egalitate y \u003d 7-3x în loc de x, găsim valoarea corespunzătoare a y:
  $$ y \u003d 7-3 \\ cdot 1 \\ Rightarrow y \u003d 4 $$

Pereche (1; 4) - soluție de sistem

Sunt numite sisteme de ecuații cu două variabile care au aceleași soluții echipotente. Sistemele fără decizii sunt de asemenea considerate echivalente.

Soluția sistemelor de ecuații liniare prin metoda adăugării

Luați în considerare o altă modalitate de a rezolva sisteme de ecuații liniare - metoda de adăugare. Când rezolvăm sisteme în acest mod, precum și când rezolvăm prin metoda de substituție, trecem de la acest sistem la un alt sistem echivalent cu acesta, în care una dintre ecuații conține o singură variabilă.

Secvența acțiunilor la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare prin metoda adăugării:
  1) înmulțiți ecuațiile sistemului pe termen selectând factori astfel încât coeficienții uneia dintre variabile să devină numere opuse;
  2) adăugați termen pe laturile stânga și dreapta ale ecuațiilor sistemului;
  3) rezolvați ecuația rezultată cu o variabilă;
  4) găsiți valoarea corespunzătoare a celei de-a doua variabile.

Un exemplu. Rezolvăm sistemul de ecuații:
  $$ \\ left \\ (\\ begin (array) (l) 2x + 3y \u003d -5 \\\\ x-3y \u003d 38 \\ end (array) \\ right. $$

În ecuațiile acestui sistem, coeficienții lui y sunt numere opuse. Adăugând laturile stânga și dreapta ale ecuațiilor termen după termen, obținem o ecuație cu o variabilă 3x \u003d 33. Înlocuim una dintre ecuațiile sistemului, de exemplu, prima, prin ecuația 3x \u003d 33. Obțineți sistemul
  $$ \\ left \\ (\\ begin (array) (l) 3x \u003d 33 \\\\ x-3y \u003d 38 \\ end (array) \\ right. $$

Din ecuația 3x \u003d 33 descoperim că x \u003d 11. Substituind această valoare a lui x în ecuația \\ (x-3y \u003d 38 \\) obținem o ecuație cu variabila y: \\ (11-3y \u003d 38 \\). Rezolvăm această ecuație:
  \\ (- 3y \u003d 27 \\ Rightarrow y \u003d -9 \\)

Astfel, am găsit o soluție la sistemul de ecuații prin metoda adăugării: \\ (x \u003d 11; y \u003d -9 \\) sau \\ ((11; -9) \\)

Profitând de faptul că coeficienții lui y în ecuațiile sistemului sunt numere opuse, am redus soluția acestuia la rezolvarea unui sistem echivalent (prin însumarea ambelor părți ale fiecăreia dintre ecuațiile simptomului inițial), în care una dintre ecuații conține o singură variabilă.

   Cărți (manuale) Rezumate ale examenului unificat de stat și teste ale examenului de stat unificat Jocuri, puzzle-uri Grafic funcțional Dicționar ortografic al limbii ruse Dicționar slang pentru tineri Catalogul școlilor din Rusia Catalogul școlilor secundare din Rusia Catalogul universităților din Rusia Lista sarcinilor