Autorul Rybakov D.A.

dimensiune fractală

Rezumat 1

Dimensiunea fractală 1

Introducere 2

Context 3

Fractali 5

Clasificări fractale 5

Fractali geometrici 6

Fractali algebrici 6

Fractali stocastici 8

Distanța Hausdorff între seturi 9

Dimensiunea topologică 11

Generalizarea formulelor pentru volumul corpurilor n-dimensionale. 12

Dimensiunea Minkowski 13

Hausdorff-Besikovici dimensiunea 14

Modele computerizate ale fractalilor 15

Calculul dimensiunii Minkowski folosind un calculator 17

Multifractali și dimensiuni Rényi generalizate dq 22

Dimensiunea fractală d0 25

Dimensiunea informaţională d1 25

Dimensiunea corelației d2 27

Funcția de spectru multifractal f(a) 27

Alte abordări ale măsurării dimensiunilor. 28

Măsura armonică 29

Semnificația fizică a mărimilor fractale 30

Introducere

Geometria și topologia tradiționale nu descriu pe deplin formele naturale. Natura arată un nivel complet diferit de complexitate al formelor, diferit de liniile drepte, elipse și alte forme binecunoscute. Formele naturale se dovedesc adesea a fi neregulate, foarte fragmentate și au o structură fractală. Din punct de vedere istoric, mulți matematicieni au lăsat deoparte forme dificile care strica frumusețea calculelor lor. Ca urmare, obiectele idealizate pe care le-au creat se găsesc foarte rar în natură în forma lor pură. În natură, nu există linii drepte, cercuri perfecte, plane etc. Tot felul de perturbări care sunt neglijate în mod constant contribuie și strică iluzia simplității.

De exemplu, dacă luați marginea unei rigle de lemn, atunci este descrisă în mod tradițional folosind un segment de linie dreaptă. Dar datele moderne sugerează că această margine este departe de a fi perfect plată - la o scară mică, există diverse depresiuni și margini. Scufundându-vă mai departe, puteți găsi fibre de lemn, care constau din fibre și pori și mai mici. La o scară mai mică, totul este alcătuit din molecule și atomi care vibrează constant și își schimbă locurile.

În ciuda acestor nereguli, idealizarea matematică a marginii riglei cu un segment de linie este cea mai potrivită. Dar astfel de obiecte directe sunt foarte rare în natură. Ce să faci cu formele pe care le iau norii, norii de fum, topografia montană, albiile râurilor, coastele mării, fulgerele, căile de mișcare browniene, fronturile de difuzie, clusterele galactice, valurile din ocean, clusterele de percolație, structurile sinergice etc.? Aproape că nu există zone netede clasice în aceste obiecte. Geometria tradițională intră în recursivitate infinită atunci când încearcă să descrie. Abordări ale descrierii lor și evaluărilor cantitative au apărut destul de recent. Părintele geometriei fractale este Benoit Mandelbrot. Lucrarea sa fundamentală a fost publicată pentru prima dată în 1977.

Acest eseu va reflecta deficiențele abordării clasice a descrierii fenomenelor fizice și o trecere în revistă a cantităților fractale. Rezumatul descrie astfel de mărimi fractale ca: tipuri diferite regularitate şi măsură armonică. Problemele legate de modelarea computerizată sunt acoperite în detaliu.

Întrebări rămase fără răspuns:

Serii temporale fractale și legea lui Hurst,

Relația dintre spectrul multifractal f(a) și indicele de masă (a)

Derivate fracționale și integrale

Câmpuri vectoriale și scalare cu caracteristici fractale

sarcini de percolare,

Este matematica fractală o nouă paradigmă în știință?

fundal

Adevărurile simple ale algebrei, geometriei, teoriei numerelor și teoriei mulțimilor au făcut destule cursă lungă de la presupuneri intuitive la calcule riguroase. Matematicienii care au găsit contraexemple complicate tot timpul au fost antipatici, deoarece au provocat criza de bun simț la care aspirau alți oameni de știință.

Polanyi a scris „ ...în cercetarea științifică există întotdeauna câteva detalii cărora omul de știință nu acordă o atenție deosebită în procesul de verificare a unei teorii exacte. Acest tip de selectivitate personală este o trăsătură esențială a științei.”

Majoritatea oamenilor de știință au încercat să se distanțeze de liniile dificile.

Un exemplu este povestea curbei Helge von Koch descrisă în 1904.

Aproape în unanimitate, oamenii de știință au proclamat curba Koch monstruos! Pentru detalii, vezi Criza bunului simț a lui Khan. Khan scrie: Natura unei curbe nerectificabile sau a unei curbe la care este imposibil să se tragă o tangentă este complet în afara domeniului de aplicare a ceea ce putem înțelege intuitiv. Într-adevăr, după doar câteva repetări ale unei simple operații de segmentare, figura rezultată devine atât de complexă încât este greu de perceput direct și chiar la ce tinde această curbă în limită este complet imposibil de imaginat. Numai cu ajutorul rațiunii, folosind analiza logică, putem urmări evoluția acestui obiect ciudat până la capăt. Dacă ne-am fi bazat pe bunul simț în acest caz, atunci prezentarea noastră ar fi fost fundamental eronată, deoarece bunul simț ne-ar conduce inevitabil la concluzia că pur și simplu nu există curbe care să nu aibă tangentă în niciunul dintre punctele lor; Acest prim exemplu de inadecvare a abordării intuitive atinge cele mai fundamentale concepte de diferențiere.».

O nedumerire similară, unanimă a comunității matematice a fost cauzată de curba Giuseppe Peano. Această curbă poate umple întregul plan fără rest și, în plus, nu conține auto-intersecții. Gosper a contribuit la construirea unor astfel de decoruri.

În plus față de Peano și Koch, Georg Cantor a contribuit la criză cu setul său numit „praf de Cantor fractal”. De asemenea, Jeanne Perin și Norbert Wiener au găsit proprietăți matematice non-standard în mișcarea browniană de mult cunoscută. Sierpinski și Menger și-au construit seturile cunoscute. Bosman a construit Arborele lui Pitagora. Dirichlet a dat un exemplu de funcție discontinuă în fiecare punct.

fractali

Fractal (lat. fractus - zdrobit) - un termen introdus de Benoit Mandelbrot în 1975. Nu există încă o definiție matematică riguroasă a mulțimilor fractale. Mandelbrot și-a desfășurat lucrarea fundamentală în genul eseului, ca și cum le-ar fi dat cititorilor spațiu pentru imaginație și le-a permis să participe la procesul de dezvoltare a teoriei și a aplicațiilor sale. Meritul lui Mandelbrot este că a reușit să generalizeze și să sistematizeze seturile „neplăcute” și să construiască o teorie frumoasă și intuitivă. El ne-a deschis uimitoarea lume a fractalilor, a căror frumusețe și profunzime uimesc uneori imaginația, încântă oamenii de știință, artiștii, filozofii... Lucrarea lui Mandelbrot a fost stimulată de tehnologii informatice avansate care au făcut posibilă generarea, vizualizarea și explorarea diverselor decoruri. . Nicio lucrare despre fratals nu este completă fără ilustrații frumoase.

Clasificări fractale

ÎN

Forma fractală a subspeciei de conopidă Brassica cauliflora Practic, fractalii sunt împărțiți îngeometrice, algebrice și stocastice. La anumite condiții se pot numi fractali stocastici multrafractale.

Cu toate acestea, există și alte clasificări:

Făcut de om și natural. Fabricați de om includ acei fractali care au fost inventați de oameni de știință, au proprietăți fractale la orice scară. Fractalii naturali sunt supuși unei restricții asupra zonei de existență - adică dimensiunea maximă și minimă la care obiectul are proprietăți fractale.

Deterministe (algebrice și geometrice) și nedeterministe (stochastice).

fractali geometrici

Istoria fractalilor a început cu fractalii geometrici, care au fost studiati de matematicieni în secolul al XIX-lea. Fractalii din această clasă sunt cei mai vizuali, deoarece auto-asemănarea este imediat vizibilă în ei.

În cazul bidimensional, astfel de fractali pot fi obținuți prin specificarea unei linii întrerupte, numită generator. Într-o etapă a algoritmului, fiecare dintre segmentele care alcătuiesc linia întreruptă este înlocuită cu un generator de linie întreruptă, la scara corespunzătoare. Ca urmare a repetării nesfârșite a acestei proceduri (mai precis, la trecerea la limită), se obține o curbă fractală. Cu complexitatea aparentă a curbei rezultate, ea forma generala este dat doar de forma generatorului.

Exemple de astfel de curbe sunt:

• 
  curba dragonului;
• 
  curba Koch;
• 
  curba Levy;
• 
  curba Minkowski;
• 
  curba Peano.

Fractalii geometrici includ, de asemenea, fractalii obținuți prin proceduri similare, de exemplu:

• 
  setul Cantor;
• 
  triunghiul Sierpinski;
• 
  Covor Sierpinski;
• 
  Cimitirul Sierpiński;
• 
  Burete Menger;
• 
  arborele lui Pitagora.

A fractali lgebrici

Pentru a construi fractali algebrici, se folosesc iterații de mapări neliniare date prin formule algebrice simple.

Cazul bidimensional este cel mai studiat. Sistemele dinamice neliniare pot avea mai multe stări stabile. Fiecare stare stabilă (atractor) are o anumită zonă de stări inițiale, sub care sistemul va trece neapărat în ea. Astfel, spațiul de fază este împărțit în regiuni de atracție a atractorilor.

Dacă spațiul de fază este bidimensional, atunci prin colorarea regiunilor de atracție cu culori diferite se poate obține un portret de fază color al acestui sistem (proces iterativ). Schimbând algoritmul de selecție a culorii, puteți obține modele fractale complexe cu modele multicolore fanteziste. O surpriză pentru matematicieni a fost capacitatea de a genera structuri non-triviale foarte complexe folosind algoritmi primitivi.

Algoritmul de construcție este destul de simplu și se bazează pe o expresie iterativă:

unde F(z) este o funcție a unei variabile complexe.

Pentru toate punctele unei zone dreptunghiulare sau pătrate de pe planul complex, calculăm un număr suficient de mare de ori zi + 1 = F(zi), de fiecare dată găsind valoarea absolută a lui z. În acest caz, valorile funcției pentru diferite puncte ale planului complex pot avea un comportament diferit:

• 
  De-a lungul timpului | z | tinde spre infinit;
• 
  | z | tinde spre 0;
• 
  | z | ia mai multe valori fixe și nu depășește ele;
• 
  Comportament | z | haotic, fără nicio tendință.

Una dintre cele mai comune moduri de colorare a punctelor este de a compara | z | cu un număr preselectat, care este considerat „infinit”, adică culoarea punctului este egală cu numărul de iterație la care | z | ajuns la „infinit”, sau negru altfel.

De asemenea, puteți modifica aspectul fractalului dacă valoarea z este controlată într-un mod diferit, de exemplu:

• 
  Partea reală a lui z este mai mică decât un anumit număr;
• 
  Partea imaginară a lui z este mai mică decât un anumit număr;
• 
  Atât părțile imaginare, cât și cele reale ale lui z sunt mai mici decât un anumit număr;
• 
  Alte metode.

Și, în sfârșit, un alt efect interesant este schimbarea paletei. După ce imaginea este construită, puteți parcurge culorile zonelor umplute, iar apoi imaginea deja uimitoare va prinde viață pe ecran.

Exemple de fractali algebrici:

• 
  setul Mandelbrot;
• 
  Iulia set;
• 
  bazinele lui Newton;
• 
  biomorfe.

Fractali stocastici

Toate obiecte naturale creat de capriciul naturii, în acest proces există întotdeauna un accident. Fractalii, în timpul construcției cărora unii parametri se schimbă aleatoriu într-un sistem iterativ, sunt numiți stocastici. Acești fractali sunt cei mai interesanți pentru fizicieni, deoarece se reflectă în procesele fizice. Raportul dintre aleatoriu și regularitate poate fi diferit.

Distanța Hausdorff între seturi

Hausdorff a venit cu o metrică originală care este aplicabilă seturilor din  n. Joacă un rol important în matematica fractalilor.
Ne vom ghida după o definiție intuitivă. La fel şi eu Nu se va da o dovadă că distanța Hausdorff are toate proprietățile unei metrici.

Fie E și F 2 submulțimi compacte nevide  n

Fie numărul r>0.

Fie Br o bilă închisă centrată la origine.

Definiție: dilatare E raza r (notata E + r) se numeste suma vectoriala E + B r

Definiție: Distanța Hausdorff

H(F,E) = min(>0: E  F +  și F  E + )

Exemplu: Fie A și B elipse

Cel mai mic  la care A  B +  și B  A +  este 3,5, adică H (A, B) = 3,5.

Dimensiune

Există dimensiuni diferite pentru seturi. Ideile familiare din școală despre spatiu tridimensional, planul bidimensional, linia unidimensională etc., au o vedere foarte superficială și simplificată asupra întregii varietăți, care ascunde termenul de dimensiune. În continuare, vom lua în considerare teoriile algebrice riguroase, conceptele filozofice și practice ale dimensiunii. Adesea, conceptele de dimensiune sunt construite prin descoperirea parametrilor care au legătură cu seturile de acoperire. Dar aceasta nu este singura cale.

Vor fi luate în considerare și dimensiunile fracționale, a căror semnificație practică a fost arătată de Madelbrot în anii 1970.

Dimensiunea depinde foarte mult de modul în care este măsurată. Aceasta înseamnă că, pe lângă formulele de calcul al dimensiunii, este necesar să se precizeze cu precizie un anumit set operațional de metode de măsurare și interpretare a dimensiunii. În mod tradițional, dimensiunea este asociată cu numărul de parametri independenți necesari pentru a specifica poziția unui punct în spațiu. Poziția unui punct într-o zonă plană delimitată de un pătrat poate fi specificată cu două dimensiuni, iar apoi dimensiunea acestuia va fi egală cu două. Și vă puteți imagina și vă puteți imagina această zonă ca pe o linie întreruptă cu verigi foarte puternic apăsate una pe cealaltă, pliate ca un metru de dulgher, de exemplu, curba Peano. Apoi, pentru a seta poziția punctului, este suficientă o măsurătoare, iar dimensiunea va fi egală cu una. În continuare, vom încerca să oferim diverse dimensiuni și modalități de măsurare a acestora, precum și să oferim informații despre aplicarea lor practică.

Dimensiunea topologică

Dimensiunea topologică este dimensiunea geometrică obișnuită. Este nevoie doar de valori întregi.

Dimensiunea topologică a unui segment de dreaptă este 1, un pătrat este 2, un cub este 3. În fenomene simple caracterizează adesea (dar nu întotdeauna!) numărul de grade de libertate sau numărul de parametri necesari pentru a specifica în mod unic orice punct al mulțimii.

Teoria dimensiunii topologice este un domeniu dezvoltat al matematicii. Strict definiție matematică pentru spațiile metrice și topologice aparține lui Lebesgue și uneori acest tip de dimensiune se numește dimensiunea Lebesgue. Au contribuit și Uryson și Brouwer.

Dimensiunea topologică este definită inductiv, deci uneori este numită dimensiune inductivă.

Să aducem scurtă definiție pentru spații metrice

Definiție: Pentru un spațiu metric compact X, dimensiunea Lebesgue este definită ca cel mai mic număr întreg n care are proprietatea că, pentru oricare, există o acoperire deschisă finită X de multiplicitate;

În acest caz, o acoperire a unui spațiu metric este o acoperire ale cărei elemente au un diametru, iar multiplicitatea unei acoperiri finite a unui spațiu X este cel mai mare număr întreg k astfel încât să existe un punct în spațiul X conținut în k elemente ale acestei coperți.

Exemple de spații unidimensionale din punct de vedere topologic: cerc, șervețel Sierpinski, covor Sierpiński, burete Menger.

Generalizarea formulelor pentru volumul corpurilor n-dimensionale.

Una dintre premisele pentru introducerea dimensiunilor fracționale sunt formulele pentru volumele corpurilor n-dimensionale, care depind fără probleme de n.

De exemplu, volumul unui cub n-dimensional V cub = L n , nN. Pentru spațiile euclidiene, n ia numai valori întregi nenegative. Formula este ușor de generalizat. Pentru spațiile definite de mulțimi fractale, n poate lua valori reale nenegative. V cub = L D unde D  R + .

Generalizarea corespunzătoare poate fi făcută pentru minge

Volumul exact al mingii V al mingii = r D (D)

Unde (D) = Г(1/2) D / Г(1+D/2)

Unde Г este o funcție continuă. Pentru numere întregi Г(n+1)=n!

Pentru cele raționale - Г(x) = o   exp(-t) t x -1 dt,

Dimensiunea Minkowski

Generalizarea anterioară este motivul generalizării dimensiunii pentru mulțimea compactă A  n. Oferim o scurtă definiție. Pentru a face acest lucru, aproximăm A prin unirea bilelor și însumăm volumele acestora (sau măsurile în cazul general).

Fie N() numărul minim de bile cu raza  necesar pentru a acoperi o mulțime compactă A. Volumul total al acestora V este proporțional cu N() D . Pentru 0 , N()const /  D . Luăm logaritmul și obținem ln N()ln const - D ln() .

ln 
n const - log N()

Pentru 0, valoarea lui ln(const) este neglijabilă în comparație cu ln(N())

Astfel, ajungem la definirea dimensiunii Minkowski

d
ln 

0
im M (A) = D = - lim

Schimbând metrica, se demonstrează că pot fi folosite cuburi în loc de bile.

Trebuie remarcat faptul că găsirea numărului minim de bile nu este o sarcină banală.

Luați în considerare un exemplu: să fie A un segment unitar în spațiu  n. Poate fi acoperit cu N bile cu raza 0,5/N.

log 0,5/N()

0
D = - lim = 1

Dimensiunea Hausdorff-Besicovich

Această dimensiune este similară cu dimensiunea Minkowski. Diferența este că bilele sunt luate cu o rază arbitrară 0 Fie A o mulțime arbitrară A  n. Considerăm o succesiune de bile r i Folosind formula generalizată pentru volumul (sau măsura în cazul general) unei mingi, scriem

Felix Hausdorff a putut demonstra că există un număr real unic d pentru care S  0 și S   pentru 0 . Abram Besikovici și-a adus contribuția la demonstrarea riguroasă a teoremei, astfel încât dimensiunea d se numește dimensiunea Hausdorff-Besikovici.

La început, această valoare nu a trezit prea mult interes în rândul oamenilor de știință. Dar ulterior a jucat un rol important în matematica fractalilor. În literatura de matematică, este notat ca dim H(A).

Modele computerizate ale fractalilor

Pentru cele mai multe aplicatii fizice sunt studiate seturi una, două și tridimensionale. Cele mai convenabile sunt acoperirile care folosesc segmente, pătrate sau cuburi sub formă de linie întreruptă, grilă sau, respectiv, zăbrele. Cu ajutorul unui computer, este imposibil să reprezinte un fractal complet în toate detaliile sale. De obicei, acuratețea calculelor nu depășește câteva zeci de zecimale, ceea ce nu permite reprezentarea unor părți mici sau foarte mari. Un fractal dintr-un computer poate fi reprezentat în cel puțin trei moduri. Descrierea de mai jos este ușor de generalizat la dimensiuni mai mari.

1. 
   Metoda celulară, latice sau raster. În această metodă, spațiul este reprezentat ca o matrice programatică de numere. De exemplu: var space: matrice de boolean; Dacă spațiu = adevărat, atunci elementul aparține fractalului și invers. i,j sunt numere întregi.
2. 
   Mod vectorial. Acesta este un mod mai precis. Elementele fractalului sunt reprezentate ca figuri elementare, care sunt stabilite vectorial. În acest caz, pentru a determina dacă punctul (x, y) îi aparține, este necesar să parcurgeți elementele fractalului și să calculați dacă acest punct se încadrează în cel puțin un element. x și y sunt numere în virgulă mobilă.
3. 
   mod funcțional. În această metodă, pentru a determina dacă un punct aparține lui (x, y), este necesar să se calculeze funcția F (x, y) și să se analizeze valoarea rezultată. De fapt, toate metodele sunt reduse la o metodă funcțională. Pur și simplu, unele funcții pot fi calculate analitic, iar unele accesează matrice de date pentru a obține rezultatul. Ne vom referi la această metodă înțelegând că sunt utilizate funcții analitice.

Majoritatea sarcinilor la momentul scrierii rezumatului folosesc metoda celulară (raster) nr. 1 pentru seturile de modelare. Această metodă are mai multe dezavantaje. Modelarea detaliată necesită L n celule. Unde L este numărul de celule dintr-o dimensiune, n este numărul de dimensiuni. Puterea modernă a computerelor face posibilă modelarea liberă a seturilor bidimensionale. Pentru ei L~ 10 3 . Pentru modelarea seturilor tridimensionale, cerințele RAM cresc dramatic. Pentru astfel de sarcini, L ~ 100, ceea ce în mod clar nu este suficient pentru o simulare cu drepturi depline. Modelul vectorial poate servi ca alternativă la modelul celular.

Pentru a modela fractali stochastici fizici 3D, folosim metoda vectorului. Metoda raster nu este, în general, foarte aplicabilă pentru modelarea 3D. Iar funcțiile analitice care descriu ceva stohastic fizic sunt destul de rare. Puteți veni cu un exemplu bazat pe algoritmi pentru generarea de numere aleatorii, care, pentru același (x, y, z), returnează aceleasi valori. De exemplu: F(x,y,z) = f(x,y,z) + MD5(x,y,z, r), unde f este o funcție analitică, r este un parametru aleator constant, MD5 este o funcție pentru calcularea sumei MD5. Dar această metodă necesită o analiză probabilistică amănunțită a valorilor obținute, astfel încât rezultatul să fie aproape de o problemă fizică.

Aplicabilitatea metodelor de modelare.

De asemenea, merită menționate pe scurt metodele de construire a unui fractal. Pentru a construi fractali geometrici, se folosește Sistemul de Funcții Iterate. Pentru mapările algebrice se folosesc iterații de mapări neliniare date prin formule algebrice simple. Pentru stocastică, totul depinde de natura fractalului și de raportul dintre modele și aleatoriu.

Calculul dimensiunii Minkowski folosind un calculator

De remarcat că metoda descrisă mai jos calculează nu numai dimensiunea Minkowski, ci și dimensiunea Hausdorff, deși pentru unele mulțimi (de exemplu, pentru mulțimi numărabile), aceste dimensiuni calculate analitic pot diferi [KOH 135]. Dar în majoritatea ocazii importante aceste dimensiuni se potrivesc.

Formula pentru dependența numărului de cuburi N de lungimea feței cubului  este luată ca bază pentru mic  în setul de acoperire.

ln const – ln N()  d ln 

După cum se poate vedea din formulă, dacă reprezentăm grafic dependența lui ln N de ln  , atunci obținem o dreaptă cu panta d.

Să analizăm algoritmul pe exemplul unui caz bidimensional. Această procedură este utilizată pentru analiza imaginilor. Majoritatea imaginilor sunt prezentate sub formă raster, adică ca o matrice bidimensională.

Iterația 1

imaginea originală

Iterația 2

După ce am construit grile pentru diferite , obținem un tabel:

 N 1 917 2 354 3 206 4 141 5 102 6 82 7 66 8 56

ln 

Graficul nu este perfect plat. Panta acestui grafic este calculată folosind metoda celor mai mici pătrate. În acest exemplu, panta este -1,346, adică d=1,346

Un alt dezavantaj al acestei metode este că acoperirea utilizată nu este minimă. Găsirea acoperirii minime nu este o sarcină banală. Costul de calcul poate fi uriaș, iar îmbunătățirea rezultată este mică.

Unul dintre efectele calculelor poate fi următorul comportament treptat al graficului.

Acest efect se manifestă atunci când  se schimbă lin între iterații. În figura de mai sus, diferența  între punctele adiacente este de 1%. Efectul se manifestă pentru toate tipurile de fractali și depinde de algoritmul de calcul al dimensiunii.

Pentru claritate, luați în considerare un caz simplu în care acoperirea constă din unul și două pătrate.

Pentru modelele celulare, există limite naturale 1L. Pentru modelele vectoriale, restricția este mai puțin strictă 0>L. Aceasta înseamnă că  poate fi destul de aproape de 0, această proximitate este limitată doar de precizia calculelor unui anumit computer. Acest lucru duce la o altă problemă. Dacă modelul constă dintr-un număr finit de obiecte vectoriale, atunci pornind de la un moment dat  poate deveni mult mai mic decât dimensiunea oricărui obiect. Aceasta duce la faptul că panta graficului devine egală cu dimensiunea topologică a obiectelor. Adică problema este să alegem intervalul potrivit pentru , care are sens fizic. Valoarea rezultată depinde de alegerea intervalului. Intuitiv, putem presupune că    L, unde media  este lungimea obiectelor care alcătuiesc mulțimea, iar L este dimensiunea întregului ansamblu. Selectarea intervalului poate fi negociată pentru diferite tipuri de fenomene până la o precizie teorie matematică pentru fractalii specificati într-un computer.

metoda punctului. Metoda punctului este o alternativă la metoda anterioară. Această metodă este aplicabilă modelelor celulare (raster).

Luați în considerare o grilă care acoperă întregul fractal. Nodurile sale se vor numi celule. Fiecare celulă care are o intersecție nevidă cu fractalul va fi considerată ca un punct. Este clar că această schemă este implementată atunci când un fractal este afișat grafic pe ecran ca o matrice de pixeli. În acest paragraf, „numărarea numărului de puncte dintr-o celulă” înseamnă numărarea numărului de celule (sau pixeli) dintr-o celulă. Nu este același lucru cu a număra numar real puncte geometrice dintr-o celulă - la urma urmei, există un număr infinit de ele. Metoda punctului este fundamental diferită de metoda celulei; în primul, se numără numărul de puncte dintr-o celulă, iar în al doilea, numărul de celule necesare pentru a acoperi fractalul. Pentru a simplifica calculele, vom considera celulele drept pătrate. Mărimea celulei L înseamnă numărul de celule de pe fiecare parte. Ne restrângem la valori impare ale lui L; în acest caz, celula centrală a celulei va fi echidistant din toate părțile. Mai întâi, calculăm probabilitățile P(m, L) ca o celulă de dimensiunea L să conțină m puncte (celule) ale fractalului. Pentru a face acest lucru, construim o celulă de dimensiunea L în jurul fiecărui punct al fractalului, considerându-l a fi cel central, și numărăm numărul de puncte care se încadrează în el. Să presupunem că fractalul conține M puncte. Atunci P(m, L) este egal cu numărul de celule care conțin m puncte, m = 1,...,M, împărțit la M. Rețineți că suma tuturor probabilităților este egală cu unu:

Ca și în algoritmul anterior, N(L) este numărul de celule de dimensiunea L necesare pentru a acoperi fractalul. După cum sugerează intuiția, numărul de celule de dimensiunea L care conțin m puncte este egal cu (M/m)P(m,L). Prin urmare, estimarea pentru numărul de celule care acoperă întreaga imagine este

unde K este numărul posibil de puncte din celulă. Prin urmare,

de asemenea proporțional cu L d și poate fi folosit pentru a estima dimensiunea fractală d.

Concluzie: Calculul dimensiunii fractale este o zonă în curs de dezvoltare. Exista căi diferite calculele ei.

Multifractali și dimensiuni Rényi generalizate d q

Să dăm o definiție generală a multifractalilor. Să considerăm un obiect fractal care ocupă o zonă limitată A cu diamA = L în spațiul euclidian de dimensiune n. Fie ca la un moment dat al construcției sale să fie un set de puncte din N>>1, cumva distribuite în această zonă. În final, presupunem că N.

Setul de puncte poate reprezenta o anumită populație formată din indivizi din aceeași specie repartizați pe zona A. O astfel de populație poate fi, de exemplu, o populație sau o rețea de stații meteo. Ambele populații sunt distribuite neuniform pe suprafața Pământului. Distribuția spațială a energiei, distribuția erorilor într-un canal de comunicare, distribuția impurităților în mediile lichide, distribuția maselor în materie sunt exemple de astfel de populații. Este important de remarcat faptul că distribuția neuniformă a indivizilor rămâne în vigoare indiferent de scara liniară.

Să împărțim întreaga zonă A în celule hipercubice cu latura  și respectiv volum  d. În plus, ne vor interesa doar celulele ocupate care conțin cel puțin un punct. Se notează N() numărul de astfel de celule, în mod evident depinde de . Fie n i () numărul de puncte din celula i-a. Apoi valoarea

Există o probabilitate ca un anumit punct să fie conținut în i-lea cub. Adică, această probabilitate caracterizează populația relativă a celulei. Conform regulii de normalizare a probabilităților:

Să introducem în considerare așa-numita funcție de partiție generalizată, caracterizată prin exponentul q:

unde -  q  +.

Definiție. Spectrul dimensiunilor fractale generalizate Rényi care caracterizează distribuția punctelor din zona A este mulțimea de mărimi:

Pentru un fractal omogen obișnuit, toate aceste dimensiuni coincid. Adică dacă d q = const, i.e. nu depinde de q, atunci setul de puncte considerat este un fractal obișnuit, regulat, care este caracterizat de o singură valoare - dimensiunea fractală d H . Dimpotrivă, dacă funcția d q se modifică cumva cu q, atunci mulțimea de puncte considerată este un multifractal.

Astfel, un multifractal este în general caracterizat printr-o funcție neliniară (q), care determină comportamentul funcției de partiție Z(q,) la 0

Trebuie avut în vedere că netrecerea limitei la 0 trebuie efectuată, amintindu-ne că este întotdeauna precedată de limita N0.

În cazul unui fractal obișnuit, funcția

acestea. este liniar. Atunci toate d q =d și într-adevăr nu depind de q. Pentru un fractal, toate dimensiunile fractale generalizate d q coincid, termenul monofractal este adesea folosit.

Dacă distribuția punctelor peste celule nu este aceeași, atunci fractalul este neuniform, adică. este un multifractal, iar caracteristicile sale necesită o gamă întreagă de dimensiuni fractale generalizate d q , al căror număr, în cazul general, este infinit.

Deci, de exemplu, la q contribuția principală la funcția de partiție generalizată o au celulele care conțin cel mai mare număr particule n i în ele și, prin urmare, caracterizate prin cea mai mare probabilitate de umplere a lor p i . Dimpotrivă, la q - contribuția principală la sumă o au cele mai rare celule cu valori mici ale numerelor de ocupație p i . Astfel, funcția d q arată cât de eterogen este mulțimea punctelor A studiată.

Dimensiunea fractală d 0

Să aflăm acum ce semnificație fizică au dimensiunile fractale generalizate d q pentru unele valori specifice ale lui q. Deci, pentru q=0 din expresie

urmează că

Pe cealaltă parte

Comparând aceste două egalități, ajungem la relația N()~ d 0 Aceasta înseamnă că valoarea d 0 este dimensiunea Hausdorff obișnuită a mulțimii A. Este cea mai grosieră caracteristică a unui multifractal și nu conține informații despre proprietățile sale statistice.

Dimensiunea informațională d 1

Acum, lăsând q1 să tinde, extinzând exponentul și ținând cont de condiția de normalizare, obținem

Ca urmare, ajungem la următoarea expresie

Până la un semn, numărătorul din această formulă este entropia mulțimii fractale:

Această definiție a entropiei unei mulțimi este complet identică cu cea folosită în termodinamică, unde pi este înțeles ca probabilitatea de a găsi un sistem într-o stare cuantică i . Ca urmare, valoarea dimensiunii fractale generalizate d1 este legată de entropia prin relație

În termodinamică, entropia este o măsură a dezordinei într-un sistem.

atunci valoarea d1 caracterizează informaţia necesară pentru a determina locaţia unui punct într-o anumită celulă. În acest sens, dimensiunea fractală generalizată d1 este adesea numită dimensiunea informațională. Acesta arată cum crește informațiile necesare pentru a localiza un punct pe măsură ce dimensiunea celulei  tinde spre zero.

Dimensiunea corelației d 2

Nu vom da calcule complete. La calcularea sumei Z, putem introduce integrala de corelație I() și obținem dependența probabilității ca două puncte alese aleatoriu din mulțimea A să se afle în interiorul aceleiași celule cu dimensiunea .

Ajungem la concluzia că dimensiunea generalizată d2 determină dependența integralei de corelație I() de . Din acest motiv, mărimea d2 se numește dimensiunea corelației.

Funcția de spectru multifractal f(a)

Dimensiunile Rényi nu sunt dimensiuni fractale în sens strict, din acest motiv se numesc generalizate. Există o funcție a spectrului multifractal, care este direct legată de fractalitate.

Când se calculează funcția de partiție în spectrul Rényi, celulele cu ocupare diferită sunt însumate. Funcția spectrului multifractal f(a) caracterizează dimensiunea Hausdorff a submulțimii fractale omogene A a  A, caracterizată prin aceleași probabilități de umplere a celulelor p i ~  a . Astfel, termenul multifractal devine mai ușor de înțeles - poate fi înțeles ca o uniune de fractali omogene.

O formă tipică a funcției f(a):

Funcția f(a) are următoarele proprietăți f(a)  d 0, f(a)  a. Apare un semn egal, pentru un fractal complet uniform.

Alte abordări ale măsurării dimensiunilor.

Există o dependență a comportamentului unor obiecte de dimensiunea spațiului în care sunt definite. Acest principiu este o altă abordare a măsurării dimensiunii în spațiu, definită de un fractal.

Un exemplu în acest sens este mișcarea browniană aleatorie. Puteți lua în considerare mișcarea browniană în interiorul fractalului și puteți calcula dependența de timp a distanței până la centru. În lucrarea profesorului Shlomo, o astfel de mișcare este analizată într-un model fractal celular 2D și posibili exponenți pentru diferite cantități.

Se poate observa că unul dintre aceste procese intuitive este expansiunea mingii. Dacă definim conceptul de minge în spațiul definit de un fractal, atunci putem privi dependența volumului său de rază și, prin urmare, putem calcula exponenții de putere ai acestei expansiuni. Același lucru se poate face cu zona unei sfere. Puteți urmări raportul dintre perimetru și zonă.

Măsura armonică

Când descrieți fenomene fizice, este important să cunoașteți zona efectivă de interacțiune a unui obiect cu mediul. Dacă obiectul este fractal, atunci zona ca atare nu există. Pentru o astfel de descriere, există o așa-numită măsură armonică - distribuția probabilității ca particula, începând de la infinit, să atingă o anumită zonă a obiectului. Această măsură este simulată de un computer.


Obiect sursă

Măsura armonică

Există o problemă de alegere a traiectoriei particulelor. Cu traiectorii diferite, măsura se poate dovedi a fi diferită. Deci, dacă traiectoria este întreruptă într-un anumit fel, atunci particulele vor avea mai multe șanse să ajungă în părți inaccesibile ale fractalului.

Sensul fizic al mărimilor fractale

Pentru procesele fizice, indicatorii precum zona de interacțiune sunt adesea importanți. De exemplu, în timpul arderii unui amestec de benzină într-un motor cu ardere internă, amestecul care intră în motor este prezentat sub forma unui set de picături și fluxuri de benzină de diferite dimensiuni.

Majoritatea descrierilor folosesc o descriere medie a amestecului. Să presupunem că raportul dintre volumul de combustibil și volumul cilindrului nu spune nimic despre distribuția spațială a amestecului. Poate fi la fel atât pentru abur, cât și pentru o mică băltoacă de benzină situată în partea de jos a cilindrului. Adică, informațiile despre zona de interacțiune a amestecului cu aerul nu sunt utilizate direct.

Pe de altă parte, întrebarea este care este această zonă dacă distribuția seamănă cu un fractal stocastic? Valoarea zonei nu există ca atare, deoarece este foarte dependentă de precizia măsurării, ca în cazul liniei de coastă. În loc de zonă, pot fi măsurate diferite cantități fractale. Experimental este posibil să se afle pentru ce dimensiune randamentul de ardere al amestecului este maxim. Și pe baza acestui lucru, construiți o teorie care va avea putere de predicție.

Considerații similare pot apărea în studiul unei încărcări de scânteie. La momentul descrierii abstracte, aproape toate abordările de descriere a descărcării au un caracter integral, de mediere. Descărcările de scânteie sunt adesea rupte și ramificate. Dacă unii parametri depind de lungimea unei scântei sau a unui fulger, atunci aceștia pot fi calculați prin caracteristicile fractale ale formelor canalului. La momentul redactării rezumatului, astfel de date nu au fost prezentate în literatură.

Literatură
HAHN H. Criza intuiţiei. Lumea matematicii, Newman, Vol. III. New York; Simon & Schuster, 1956-1976. (Tradus din germana)

GARDNER, M. În care curbele „monstru” forțează redefinirea cuvântului „curbă”. științific american. 1976, 235 (număr decembrie), 124-133.

Polanyi M. Cunoștințe personale M. 1985

Metafizica Fractalului M 1996

Zillis K. Despre măsurarea dimensiunilor fractale prin proprietăți fizice. // La sat. articole „Fractali în fizică”. - M.: Mir, 1988.

R.M Kronover. Fractali și haos în sistemele dinamice. M.2000

SV Bozhokin, DA Parshin Fractali și multifractali. M.2001

E. Feder. Fratali. M.1991

Enciclopedia rețelelor electronice „Wikipedia”. http://en.wikipedia.org

B.Madelbrot Geometria fractală a naturii. M. 2002

R.F. Voss, Random Fractals: Characterization and Measurement, Scaling Phenomena is Disordered Systems, Plenum Press, New York 1985.

Proprietățile topologice ale clusterelor de percolare S. Havlin, R. Nossal

Trimiteți-vă munca bună în baza de cunoștințe este simplu. Utilizați formularul de mai jos

Studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vor fi foarte recunoscători.

Găzduit la http://www.allbest.ru/

Test

Dimensiunea suprafețelor fractale

1. Introducere în dimensiune

3. Fractali naturali

6. Dimensiunea fractală

7. Similaritate și scalare

9. Exponent Hurst

Bibliografie

1. Introducere în dimensiune

O caracteristică importantă a unei suprafețe proiectate, împreună cu parametrii standard de rugozitate, este dimensiunea fractală. Să luăm în considerare una dintre metodele de determinare a dimensiunii fractale a unei suprafețe prin raportul „perimetru-zonă”.

După cum se știe, dimensiunea euclidiană a unui punct este DE=d=0. Să găsim dimensiunea forme geometrice, luând ca exemplu secțiunea diametrală a unei mingi cu raza r:

lungime (diametru) L=2r (L=Vd=1),

aria secțiunii A=r2 (A=Vd=2),

volumul bilei V=(4/3)r3 (V=Vd=3).

Aceste mărimi măsurate cunoscute pot fi determinate prin formula generală

unde G(x)? funcția gamma egală cu

Dacă n? întreg, atunci

la n=0,1,2,...

2. Dimensiunea obiectelor geometrice

Dimensiunea unui obiect fractal este determinată pe baza conceptului de fractal. Un fractal este o mulțime a cărei dimensiune Hausdorff-Besikovici este strict mai mare decât dimensiunea topologică. Fractalul are o dimensiune fracțională.

În cazul bidimensional, curba fractală se obține folosind o linie întreruptă (sau suprafață în cazul tridimensional) numită generator. Într-o etapă a algoritmului, fiecare dintre segmentele care alcătuiesc linia întreruptă este înlocuită cu o linie întreruptă - un generator, la scara corespunzătoare. Ca urmare a repetării nesfârșite a acestei proceduri, se obține un fractal geometric.

Să luăm în considerare unul dintre astfel de obiecte fractale - curba Koch triadică. Construcția curbei începe cu un segment de unitate de lungime (Fig. 1) aceasta este a 0-a generație a curbei.

Orez. 1. Procedura de construire a curbei Koch

În plus, fiecare legătură (un segment din generația zero) este înlocuită cu un element generator, notat cu n=1. Ca urmare a unei astfel de înlocuiri, se obține următoarea generație a curbei Koch. În prima generație, aceasta este o curbă de patru verigi drepte, fiecare cu o lungime de 1/

Pentru a obține generația a 3-a se efectuează aceleași acțiuni: fiecare legătură este înlocuită cu un element de formare redus. Deci, pentru a obține fiecare generație ulterioară, toate legăturile generației anterioare trebuie înlocuite cu un element de formare redus.

Curba Koch este o structură formată din părți care sunt într-un fel similare cu întregul. Astfel de obiecte geometrice sunt denumite obiecte auto-similare. Aceasta înseamnă că pe o gamă largă de scări, caracteristicile topografice și repetițiile obiectelor sunt aceleași.

Deci, pentru curba Koch, alegând un fragment egal cu 1/3 din segmentul de linie, cu lungimea egală cu unu, și mărindu-l de trei ori, obținem segmentul inițial egal cu unu. Astfel de obiecte au scalare sau scară de măsurare.

Pe fig. 1 prezintă trei generații ale curbei. Dacă luăm ca bază nu o linie dreaptă, ci un triunghi și aplicăm același algoritm pentru fiecare dintre laturi, atunci vom obține un fractal numit fulg de zăpadă Koch (insula) (Fig. 2).

Orez. 2. Insula („fulg de zăpadă”) Koch

La construirea generațiilor următoare, regula este îndeplinită: prima verigă din stânga este înlocuită cu un element generator, astfel încât mijlocul verigii se deplasează la stânga direcției de mișcare, iar la înlocuirea verigilor următoare, direcțiile de deplasare a punctelor medii ale segmentelor trebuie să alterneze. Pe fig. 2 prezintă primele generații ale curbei construite conform principiului descris.

Curba fractală limitatoare (pentru n > ?) se numește „dragonul” Harter-Hateway (Fig. 3). Pe fig. 4 prezintă „covorul” matematicianului polonez Sierpinski.

Orez. 3. Procedura de construire a „balaurului” „Harter-Hateway

Orez. 4. Construcția „covorului” lui Sierpinski

3. Fractali naturali

Norii, munții, tufișurile, copacii și alte plante au, de asemenea, o structură fractală. Luați în considerare procesul de creștere a tufișului (Fig. 5). Mai întâi, a apărut o ramură, apoi a eliberat doi lăstari, în etapa următoare, fiecare lăstar s-a bifurcat din nou, același lucru se întâmplă în etapa următoare și, ca urmare, o plantă bizară auto-similară crește din "furculița" inițială a doi lăstari.

Orez. 5. Modelul Bush

Acesta a fost obținut prin repetarea repetată a standardului original (n=1). Pe fig. Figurile 5 și 6 prezintă exemple de construcție a obiectelor fractale similare formațiunilor naturale (Fig. 7).

Orez. 6. Construirea unui obiect fractal

Orez. 7. Obiecte fractale naturale:

a - alpinist rinichi; b? stejar; V? cudweed; g - coada-calului

4. Dimensiunea Hausdorff-Besikovici

Pentru a estima dimensiunea Hausdorff-Besikovici, luați în considerare măsurarea unui set de puncte? spațiu metric (fig. 8).

Orez. 8. Puncte în Spațiul Metric

Să împărțim spațiul în celule pătrate cu dimensiunea laterală a celulei q și să numărăm numărul de celule care acoperă acest set. Reducerea dimensiunii celulei duce la o creștere a numărului de celule care acoperă setul. Fiecare celulă are o zonă q2, apoi aria mulțimii

unde N(g) este numărul de celule care acoperă mulțimea.

Luați în considerare câteva cantități care caracterizează setul. Astfel, „lungimea” suprafeței este determinată de expresie

Deoarece, atunci „lungimea” suprafeței, determinată de trecerea la limită, este egală cu:

„Volum” de suprafață

Astfel, „lungimea” setului tinde spre infinit, iar „volumul”? la zero.

Pentru caracteristicile „valorii” (lungimea, volumul) unui set de puncte? se folosește o funcție de testare care determină dimensiunile celulei: lungimea la d=1, aria la d=2, volumul la d= „Valoare”, sau măsura setului? definit ca suma „valorilor” tuturor celulelor care acoperă un spațiu metric?:

Constanta depinde de forma celulelor (pentru o celulă pătrată).

Pentru un anumit exponent d, măsura Md pentru q > 0 este egală fie cu zero, fie cu infinit, fie cu un număr pozitiv finit (nu neapărat întreg). Valoarea lui d, la care măsura Md nu este egală cu zero sau infinit, reflectă în mod adecvat dimensiunea topologică a mulțimii?.

Numărul dcr este astfel încât

se numeşte dimensiunea Hausdorff-Besikovici.

Pentru obiectele geometrice „simple” (non-fractale), dimensiunea Hausdorff-Besikovici coincide cu dimensiunea topologică. Pentru obiectele fractale, saltul măsurii Md de la zero la infinit are loc la valorile fracționale ale lui d.

Fie funcția N(q) să depindă de q cu o singularitate de putere la zero

unde b(d)dd >0 pentru q>0.

Până la valori infinitezimale, scriem

Astfel, avem

5. Măsurarea lungimii unei linii nenetede (întrerupte).

Cum se măsoară lungimea liniei de coastă?

Luați în considerare următoarele comparativ trucuri simple măsurători.

Marcam începutul și sfârșitul secțiunii măsurate cu punctele A și B (Fig. 9).

Orez. 9. Măsurarea lungimii unei linii cu o soluție de busolă sau folosind o grilă

Una dintre procedurile de măsurare a lungimii este următoarea.

Vom măsura lungimea dreptei de la punctul A la punctul B cu segmente de lungime d.

După numărarea numărului de segmente, găsim lungimea.Odată cu scăderea deschiderii busolei q, numărul de segmente N(q) crește. O dependență tipică a lui L(q) de q în coordonate logaritmice este prezentată în fig. 10.

Orez. 10. Dependența lungimii măsurate a liniei întrerupte (de coastă) de scară (lungimea segmentului) d)

Fără să ne oprim asupra deficiențelor acestei metode, în special atunci când se determină dimensiunea fractală a unui profil de suprafață brută, să luăm în considerare o altă metodă (alternativă).

Să acoperim zona luată în considerare cu o grilă pătrată (partea dreaptă a Fig. 9) și să numărăm numărul de celule care acoperă linia luată în considerare.

Reducerea dimensiunii celulelor duce la o creștere a numărului de celule care acoperă linia AB. Este de așteptat ca numărul de pași ale busolei de măsurare sau numărul de celule care acoperă linia să fie invers proporțional cu d sau d*x d*, iar valoarea va tinde către o valoare constantă pentru linia dată L(d) . Cu toate acestea, cu o scădere a q sau a dimensiunii celulelor grilei, lungimea liniei nu tinde să valoare constantă. Pentru q > 0, lungimea măsurată crește continuu, adică pentru q>0, valoarea lui L(q) nu este o limită.

Lungimea liniei măsurată poate fi descrisă prin următoarea formulă aproximativă:

unde D este dimensiunea fractala a liniei.

Este ușor de arătat că pentru o linie dreaptă și, de exemplu, pentru un cerc D=1. Circumferința cu q descrescătoare tinde spre o valoare constantă egală cu 2pR, unde R este raza cercului.

scalarea suprafeței cu dimensiunea fractală

6. Dimensiunea fractală

B. B. Mandelbrot a propus următoarea definiție a unui fractal. Un fractal este o mulțime a cărei dimensiune Hausdorff-Besikovici (Kh-B) este strict mai mare decât dimensiunea sa topologică (E. Feder, 1991). O definiție neriguroasă care nu necesită clarificarea conceptelor de mulțime, dimensiune XB, dimensiune topologică, se formulează astfel: fractal? este o structură formată din părți ca un întreg. Sau și mai simplu: un fractal este o structură cu o dimensiune fracțională.

Dependența N(q) a numărului de segmente q (sau a numărului de celule care acoperă linia) de dimensiunea segmentului (sau dimensiunea celulei) este descrisă prin următoarea relație, până la un factor:

unde D este dimensiunea fractală.

Dacă reprezentăm grafic dependența lgN(d)-lg(d), atunci dimensiunea fractală este egală cu panta (panta) graficului, i.e.

Dimensiunea, determinată prin numărarea numărului de celule (celule) care acoperă linia, în funcție de dimensiunea celulei, se numește dimensiunea celulei.

Dimensiunea fractală a suprafeței. Să acoperim aria studiată a suprafeței cu un sistem de triunghiuri identice și să calculăm aria de acoperire totală egală cu

unde AD este aria triunghiului. Să împărțim aria rezultată la valoarea ariei nominale-proiecție a suprafeței reale pe plan, determinată de conturul geometric al zonei studiate.

Apoi, după ce a trasat în coordonate logaritmice duble dependența ariei relative a acoperirii de zona elementului de acoperire, este posibil să se găsească, într-un anumit interval de modificări ale zonei elementului, panta sau panta dreptei, a cărei valoare este luată cu semnul minus.

Ca rezultat al calculului, se găsește dimensiunea fractală a suprafeței, egală cu

Dimensiunea fractală a suprafeței variază în intervalul 2

7. Similaritate și scalare

Să dăm o definiție a asemănării geometrice.

Două figuri geometrice sunt numite similare dacă: 1) unghiul dintre fiecare două linii dintr-una dintre ele este egal cu unghiul dintre liniile corespunzătoare din cealaltă și 2) fiecare segment de dreaptă dintr-una dintre ele este în relație constantă cu segmentul de linie corespunzător în celălalt.

Astfel, două poligoane sunt similare dacă unghiurile lor corespondente sunt egale și lungimile laturilor care înconjoară aceste unghiuri sunt proporționale.

Pe lângă similitudinea geometrică, există asemănări cinematice și dinamice pentru fenomenele mecanice care stau la baza procedurilor de modelare.

O linie dreaptă cu translație paralelă rămâne însăși.

Se poate argumenta că linia este invariantă sub translație paralelă și scalare (scalare), adică. ea se aseamănă cu sine.

Astfel, scalarea este o reflectare a invarianței de scară.

Pentru un segment de linie dreaptă de unitate de lungime, puteți alege coeficientul de similitudine

unde N este orice număr întreg (N>1).

O secțiune dreptunghiulară a planului poate fi acoperită cu copii reduse dacă lungimile acestora sunt modificate de r(N)=(1/N)1/2 ori.

În mod similar, un paralelipiped dreptunghiular poate fi acoperit cu copiile sale mai mici prin alegerea factorului de scară r(N)=(1/N)1/ În cazul general, factorul de scară trebuie ales egal cu

unde d este dimensiunea similarității, egală cu 1 pentru o linie dreaptă, 2 pentru un plan și 3 pentru figuri tridimensionale.

Pentru structurile geometrice fractale, dimensiunea de similaritate Dp este determinată de expresie

8. Auto-asemănarea și auto-afinitatea

Să luăm ca exemplu mișcarea unei particule browniene. Coordonatele sale pe plan (x, y) și timpul (t) sunt mărimi fizice cu dimensiuni diferite. De aceea coordonatele și timpii vor avea coeficienți de similaritate diferiți. O transformare afină transformă punctul x=(x1,x2,…,xE) într-un nou punct x"=(r1 x1, r2 x2,…,rE xE), unde nu toți coeficienții de similaritate r1, …,rE sunt la fel .

Pentru un profil auto-afin, se poate scrie

Aici b este scala de mărire; H-exponent (exponent Hurst).

Exponentul Hurst se modifică în intervalul 0

9. Exponent Hurst

Exponentul Hurst face posibilă determinarea dimensiunii fractale a unei secvențe de măsurători, în special, a fost folosit ca instrument pentru estimarea statistică a înălțimii valurilor [E. Feder]. Se consideră a fi stabilită relația dintre exponentul Hurst și dimensiunile fractale ale undei și înălțimile suprafeței, care se exprimă prin următoarele relații simple pentru profil și suprafață: D=2-H; DS=3-H. Luați în considerare metoda de determinare a exponentului Hurst.

1. Aflați N înălțimi ale vârfurilor proeminențelor H=(h1, h2,…,hN)T și determinați valorile relative ale acestor înălțimi x1, x2,…, xN, xi, unde. Dacă înălțimile proeminențelor respectă distribuția beta, atunci valorile хi хi.

2. Aflați media eșantionului (din N înălțimi ale proeminențelor).

Determinați abaterea acumulată

Graficul modificării abaterii acumulate pentru înălțimile proeminențelor care au o distribuție beta la N=50 este prezentat în fig. unsprezece.

Orez. 11. Dependența abaterii acumulate X(n,N) de N

Din grafic găsim intervalul R.

4. Calculați abaterea standard? eșantion de abatere standard a înălțimilor relative ale proeminențelor

5. Reprezentăm raportul R/S, care depinde de exponentul Hurst, sub formă

unde H este exponentul Hurst.

Cu un eșantion reprezentativ de înălțimi de proeminență, exponentul H poate fi găsit folosind expresia Hurst empirică de mai sus. Este interesant să găsim dependența R/S de numărul de proeminențe considerate N. Această dependență în coordonate logaritmice va fi o linie dreaptă, a cărei pantă este determinată de exponentul Hurst. Dimensiunea fractală a secvenței de valori relative ale înălțimilor proeminenței va fi egală cu D=2-H.

Luați în considerare următorul exemplu. Ca date inițiale au fost luate ordonatele profilului de suprafață (cu un pas de 10 µm). Lungimea traseului a fost de 800 µm. Ordonatele aveau o mărire verticală de 50 000. În fig. 12 prezintă profilul suprafeței (curba 1) și abaterea acumulată a ordonatelor de la linia medie (curba 2).

Orez. 12. Profilul suprafeței (1) și abaterea acumulată (2) a ordonatelor de la linia mediană a profilului

Intervalul depinde de lungimea considerată a profilogramei (numărul de numere de ordonate). Este clar că intervalul crește odată cu creșterea. Dependența intervalului normal, definit prin expresia (R/S), de este prezentată în coordonate logaritmice pentru suprafața de oțel considerată în fig. 1.

Orez. 13 Metoda intervalului normalizat pentru estimarea dimensiunii fractale a unui profil

Luați în considerare algoritmul pentru determinarea exponentului Hurst folosind metoda celor mai mici pătrate (LSM). Vom căuta ecuația de regresie în formă

unde y=lg(R/S), b=lg(a), m=H, x=lg(f/2).

Intrare: N (număr de puncte), (оi, зi), i=1,2,…,N (coordonatele punctelor)

Ieșire: b=lg(a) (deplasare), m=H (înclinare)

Algoritm:

Funcția de aproximare a dependenței prezentată în Fig. 13, este o dependență de putere de forma:

Astfel, exponentul Hurst este egal cu H=0,35, iar dimensiunea fractală a profilului este estimată ca D=2 H=2 0,35=1,65.

Autoafinitatea statistică se datorează asemănării aspectului profilului la diferite scări. Cu alte cuvinte, o suprafață aspră nu este întotdeauna netedă când este privită la diferite măriri.

La 0,5

La 0

De exemplu, în fig. 14 prezintă succesiunea seriilor de timp (sau ordonatele profilului suprafeței brute) și dependența intervalului normalizat de timp (lungimea profilului).

Orez. 14. Succesiunea ordonatelor și dependența intervalului normalizat de lungime

Se atrage atenția asupra diferitelor valori ale exponentului Hurst în cele trei secțiuni ale analizei R/S. Cu un număr mic de elemente, exponentul Hurst este aproape de unitate și nu reflectă în totalitate structura fractală a obiectului.

Sayles și Thomas (R.S. Sayles, T.R. Thomas) au măsurat și analizat rugozitatea suprafeței diferitelor obiecte, inclusiv suprafețele metalice de inginerie.

Înălțimea suprafeței z a fost măsurată în diferite puncte x de-a lungul unei direcții. Având un număr mare de măsurători pe întreaga suprafață, este posibil să se calculeze rugozitatea suprafeței determinată de dispersie:

Aici parantezele unghiulare indică media pe o serie de măsurători (uneori mai multe repetate) ale topografiei suprafeței. Punctul de referință vertical este ales astfel încât

O măsură importantă a proprietăților statistice ale unei suprafețe este funcția de corelație definită de relația:

Pentru suprafețele staționare, funcția de corelare poate fi exprimată în termeni de spectru de putere G() folosind transformata Fourier

Aici este frecvența.

Pentru o suprafață rugoasă, limitele inferioare și superioare de integrare vor corespunde u min și u max.

Estimarea frecvenței este caracterizată de prima și a doua încrucișare (Fig. 1.3).

Pentru un profil de suprafață auto-afin sau auto-similar, densitatea spectrală are o formă de lege de putere

Aici f este frecvența de eșantionare; a și b sunt coeficienți de regresie.

Coeficientul a se numește coeficient de rugozitate, iar b caracterizează dimensiunea fractală a profilului.

10. Raportul „perimetru-zonă”.

Să comparăm raportul „perimetru-aria” pentru obiectele geometrice non-fractale (Tabelul 1) și fractale.

1. Obiecte non-fractale.

Tabelul 1. Relația „perimetru – zonă” în geometria euclidiană

2. Obiecte fractale.

Prin analogie cu obiectele non-fractale, scriem raportul „perimetru-zonă” în formă

Aici P este perimetrul; A - zona; R(d) - parametru în funcție de scara de măsurare (dimensiunea celulei pătrate); D - dimensiunea fractală a liniei „coast” (1< D < 2).

Având în vedere că perimetrul este determinat de expresie

scriem relația (1) sub forma

Aici c este un coeficient.

Modificarea perimetrului la diferite scări de măsurare este determinată de formulă

Relația (2) exprimă condiția de auto-similaritate pentru „insule” cu granițe fractale (în acest caz, scara de măsurare q trebuie să fie suficient de mică pentru a măsura cu precizie regiunea celei mai mici insule).

Luăm logaritmul relației (2)

Transformând expresia rezultată, scriem:

Pe fig. 15 prezintă dependența „perimetru – zonă”, prezentată în coordonate logaritmice.

Panta dreptei prezentate în fig. 15 este egal cu 2/D.

Orez. 3.15. Dependență „zonă – perimetru”

Analiza expresiei (3) arată că valoarea

2lg(c1/Dd1-D)/D),

care depinde de scara de măsurare d, poate fi neglijat, deoarece la o scară de măsură suficient de mare „insula” devine un obiect non-fractal. Într-adevăr, cu D=DE=1 și scara la care c=1, avem:

Să scriem în sfârșit

Din expresia (4) găsim dimensiunea fractală a liniei „coast”.

Graficul (Fig. 15), construit în coordonate logaritmice duble, reflectă condiția de auto-similaritate și vă permite să găsiți dimensiunea fractală.

Procedura pentru determinarea dimensiunii fractale este de a acoperi obiectul fractal? „insule” - o grilă pătrată cu dimensiunea celulei d.

În acest caz, perimetrul și aria figurii pot fi determinate prin formule

unde este numărul de celule completate de linia „coast”; - numărul de celule care acoperă zona „insulei”.

Astfel, după calcul și, conform formulelor (5) și (4), se calculează dimensiunea fractală D.

Pentru a determina dimensiunea fractală a suprafeței, folosim abordarea propusă de B. Mandelbrot

11. Dimensiunea suprafețelor fractale

Relația perimetru-zonă este utilizată pentru a caracteriza o varietate de obiecte fractale utilizate într-o gamă largă de probleme științifice și tehnice.

În special, acest raport este utilizat în mod eficient în lucrările care caracterizează suprafețele de fractură ale oțelului și o tehnică de determinare a suprafețelor de fractură specifice.

În ceea ce privește suprafețele de inginerie, acest raport este rar utilizat. Practic, la determinarea dimensiunii fractale a unei suprafețe, se folosește metoda de acoperire. Pe fig. 16 prezintă modele de suprafețe fractale pentru diferite valori ale dimensiunii fractale.

Pentru a determina dimensiunea fractală a unei suprafețe, luați în considerare contactul unei suprafețe fractale cu una netedă.

Ca exemplu, luați o secțiune a suprafeței printr-un plan paralel cu planul median. Pe fig. 17 prezintă o astfel de secțiune a unei suprafețe fractale cu DS = 2,6.

Orez. 16. Modele de suprafeţe fractale

Orez. 17. Secțiunea unei suprafețe fractale

Se crede că toate „insulele” din Fig. 17 sunt auto-asemănătoare. Apoi, pentru a analiza raportul perimetru-zonă, evidențiem o „insula” caracteristică (Fig. 18).

Orez. 18. Imaginea „insulei”

Pe fig. 19 prezintă procedura de determinare a dimensiunii fractale prin metoda celulară.

Orez. 19. Estimarea dimensiunii fractale: acoperirea unui obiect fractal cu o plasă pătrată (Paul S. Addison)

Pe fig. 20 este o parcelă a parcelei arie-perimetru în coordonate duble logaritmice, construită pe baza fig. 19.

În același timp, considerăm că numărul de pătrate este proporțional cu parametrii corespunzători: aria și perimetrul

Dependența numărului de celule care acoperă zona „insulei” NA de numărul de celule în care a căzut linia „de coastă” a insulei NP, construită în coordonate logaritmice pentru diferite dimensiuni ale laturii celulei pătrate , este estimat în acest exemplu prin ecuația de regresie

NA=-69,14+3,303NP.

Orez. 20. Dependențe „zonă-perimetru”

Dimensiunea fractală este determinată de expresie

Când se studiază contactul a două suprafețe fractale cu propriile dimensiuni fractale, un punct atractiv este înlocuirea a două suprafețe fractale prin contactul unei suprafețe netede cu una fractală redusă.

În acest scop, folosim procedura discutată anterior. Să simulăm contactul a două suprafețe și să determinăm punctele de contact la o anumită apropiere.

Pe fig. 21 prezintă o imagine a contactului a două suprafețe cu „insula” selectată pentru cercetare.

Orez. 21. Contactul suprafețelor fractale

Bibliografie

1. Mandelbrot B. Geometria fractală a naturii / B. Mandelbrot: [trad. din engleza]. - M.: Institutul de Cercetări Informatice, 2012. - 656 p.

2. Feder E. Fractali / E. Feder: [trad. din engleza]. - M.: Mir, 1991. - 254 p.

3. Mandelbrot B.B. Caracterul fractal al suprafețelor de rupere ale metalelor / B.B. Mandelbrot //Natura, 1984. - V. 308. - P. 721-722.

4. Mu Z.Q. Studii asupra dimensiunii fractale și tenacității la rupere a oțelului / Z.Q. Mu, C.W. Plămân // J. Phys. D:Aplic. Phys., 1988. - V. 21. - P. 848-850.

5. Sayles R.S. Topografia de suprafață ca proces aleator nestaționar / R.S. Sayles, T.R. Thomas // Natura, 1978. - V. 271. - P. 431-434.

6. Addison P.S. Fractali și haos-un curs ilustrat / P.S. Addison. - Editura Inst. de Fizică. - Bristol, 2007.

Găzduit pe Allbest.ru

Documente similare

Esența conceptului de „fractal”. Esența dimensiunii fractale. Dimensiunea Hausdorff și proprietățile sale. Setul Cantor și generalizarea lui. Fulgul de zăpadă și curba Koch. Curve Peano și Gosper, trăsăturile lor. Covor și șervețel Sierpinski. Dragonul Harter-Hateway.

lucrare de termen, adăugată 23.07.2011


Reprezentarea dispunerii reciproce a suprafețelor în spațiu. Suprafețele de revoluție riglate și neregizate. Intersecția suprafețelor curbe. Informații generale despre suprafețe. O metodă generală pentru construirea unei linii de intersecție a unei suprafețe cu alta.

rezumat, adăugat la 01.10.2009


Caracteristic unei familii de suprafete. Linie tangentă și plan. Coordonate curbilinie. Calculul lungimii arcului unei curbe pe o suprafață și al ariei acesteia. Unghiul dintre două linii de pe o suprafață. Curbura normală a liniilor situate pe suprafață.

teză, adăugată 18.05.2013


Concepte de bază de dimensiune a mulțimilor ordonate. Determinarea dimensiunii unei mulțimi ordonate. Proprietăți dimensionale ale mulțimilor ordonate finite. Structura de ordine și elemente ale teoriei algebrice a rețelelor.

teză, adăugată 08.08.2007


Scurtă trecere în revistă a dezvoltării geometriei. Prismă. Suprafața prismei. Prismă și piramidă. Piramida și suprafața ei. Măsurarea volumelor. Despre piramidă și volumul ei. Despre prismă și paralelipiped. Simetrie în spațiu.

rezumat, adăugat la 05.08.2003


Modalități de modelare și afișare a suprafețelor. Legea formării suprafeței. Proprietăți de bază care decurg din legea de formare a unei suprafețe de revoluție. Suprafețe riglate cu un plan de paralelism. Formarea unui schelet de suprafețe ciclice.

rezumat, adăugat 19.05.2014


Forme curbe și suprafețe de ordinul doi. Analiza proprietăților curbelor și suprafețelor de ordinul doi. Studiul formelor suprafeței prin metoda secțiunilor pe plane, construcția unei linii obținute în secțiuni. Construcția suprafeței în sistemul de coordonate canonic.

lucrare de termen, adăugată 28.06.2009


fractali clasici. Autoasemănarea. Fulgul de nea Koch. covor Sierpinski. sisteme L. Dinamica haotică. Lorenz atractor. Mandelbrot și Julia decorează. Utilizarea fractalilor în tehnologia computerelor.

lucrare de termen, adăugată 26.05.2006


Dintre toate dreptunghiurile cu o suprafață de 9 dm2, găsiți-l pe cel cu cel mai mic perimetru.Calculați aria figurii delimitate de linii (făcând un desen). Calculați aria figurii delimitată de linii.

sarcină, adăugată la 01.11.2004


O analiză detaliată a suprafețelor catalane și a condițiilor care separă această clasă de clasa suprafețelor reglate. Formule pentru calcularea primei și a doua forme pătratice de suprafețe din clasa KA. Dovada afirmațiilor despre influența tipului de curbe asupra tipului de suprafață.

Să luăm în considerare un exemplu de definire a unei dimensiuni fractale și a unei curbe plane, care poate fi, de exemplu, o secțiune a unei linii de coastă pe o hartă, un contur al unei pete de cerneală sau un grup fractal. Pentru a face acest lucru, imaginea curbei este acoperită cu o grilă formată din pătrate cu laturi l. Apoi se numără numărul de pătrate prin care trece curba. Prin schimbarea scării grilei și, prin urmare, a laturilor pătratului, numărul de pătrate care intersectează curba este numărat din nou de fiecare dată. Apoi, în coordonate logaritmice duble, se construiește dependența MO, a cărei panta este folosită pentru a determina dimensiunea fractală.

Această metodă de determinare a dimensiunii fractale se numește geometrică. Dezavantajul său este necesitatea selectării empirice a valorii l. Pe de o parte, nu ar trebui să fie atât de mic încât să devină imposibil de numărat numărul de elemente pe scara propusă și, pe de altă parte, nu ar trebui să fie atât de mare încât să depășească domeniul de aplicare.

Un alt tip de metodă geometrică este definiția D din relaţia dintre caracteristicile mulţimilor cu dimensiuni diferite. Pentru o figură delimitată de o margine fractală, este necesar să se măsoare aria S = R 2 și lungimea perimetrului L = R D. Aici R este dimensiunea caracteristică a figurii. dimensiune fractală D limitele figurilor pot fi definite ca tangente a pantei dependenței pătratului perimetrului L din piata S, construit în coordonate logaritmice duble.

În funcție de dimensiunea obiectului (agregat fractal), imaginea acestuia poate fi obținută prin fotografierea într-un microscop optic sau electronic convențional, analiza ulterioară a imaginii: pentru a obține caracteristicile fractale, se rezumă la faptul că câmpul imaginii imaginii de fotografia este împărțită într-un număr finit de elemente, în cel mai simplu caz, pătrate. Luminozitatea imaginii din cadrul fiecărui element este considerată aceeași. Dimensiunea minimă a imaginii l O este determinată de rezoluția echipamentului, care, la rândul său, determină calitatea analizei fractale

Cazul optim este atunci când dimensiunea elementului de imagine l O corespunde mărimii particulelor r, din care se formează apoi un agregat fractal. Dimensiunea cadrului ar trebui să se potrivească aproximativ cu dimensiunea agregatului fractal. Numărul de elemente discrete ale imaginii nu trebuie să fie mic (cel puțin 104), astfel încât invarianța la scară să poată fi verificată într-o gamă destul de largă de dimensiuni.

În acele cazuri în care proprietățile fractale se manifestă pe scale care nu depășesc 1 μm, măsurătorile ar trebui făcute folosind radiații cu lungimi de undă scurte - raze X sau neutroni.

Teoria studiului;

Determinați dimensiunea fractală pentru două partiții, trei medii.

PROGRESUL

Selectați figura originală delimitată de chenarul fractal. Luăm zona acestei figuri Asa de= l; măsurați perimetrul formei inițiale Iată.

Înconjurăm figura originală cu altele similare, astfel încât părțile laterale ale originalului să fie părțile laterale ale figurii de margine.

Numărăm numărul figurilor originale incluse în zona de delimitare. Să notăm acest număr R i . S i = R i .

Găsiți aria figurii rezultate, delimitată de o linie întreruptă S 1 = p 1 + S 0 ; S 2 = S 1 + p 2 .

Găsim perimetrul figurii de delimitare, i.e. lungimea poliliniei care delimitează figura rezultată. L n = L 1 .

Înlocuim datele obținute în formula (2), calculăm dimensiunea fractală a primului set fractal.

Repetăm ​​toate acțiunile, începând cu pasul 2. Efectuăm calculul dimensiunilor fractale.

Folosind programul (Pentagon), construiți o structură prefractală și utilizați programul (Pentagonul de difracție.) pentru a obține un model de difracție.

Întrebări de control

Ce este un fractal?

Proprietatea auto-asemănării, ce este?

Conceptul de dimensiune.

Fulgul de zăpadă Koch ca exemplu de fractal.

Conceptul de dimensiune fractală, formula generală.

Dimensiunea fractală după Haussdorff.

Metodă experimentală pentru determinarea dimensiunii fractale.

Derivarea formulei de calcul a dimensiunii fractale pe baza relației dintre caracteristicile mulțimilor și dimensiunea 2.

Cristale, cvasicristale: care este diferența?

Utilizarea dimensiunii fractale pentru a studia procesele fizice.

Literatură

Rau V.G. Științe generale ale naturii și conceptele sale. - M .: Vys.shk. 2003, 192s

Jikov V.V. în lichid de răcire

Potapov A.A. Fractali în radiofizică și radar. – M.: Logos, 2002. – 664 p.

Laboratorul #4

MODEL DE TULBURARE. CONCEPTUL DE DISTRIBUȚIE. DISTRIBUȚIE BOLTZMANN

Scopul lucrării:

Prin modelarea distribuției numărului de particule de gaz de-a lungul înălțimii în câmpul gravitațional, se verifică experimental validitatea formulei pentru dependența presiunii gazului de înălțime (distribuția Bolydman).

Scurtă teorie

1. formula barometrică

Presiunea atmosferică la orice altitudine h datorita greutatii straturilor de gaz supraiacente.Notati: R- presiune ridicata h,p+ dp- presiunea la altitudine h+ dh. Dacă dh>0 , Acea dp<0 , deoarece greutatea straturilor supraiacente ale atmosferei si presiunea scade cu inaltimea. Formula corectă este: p-(p+ dp)= ρgdh, Unde ρ densitatea gazelor la altitudine h. Diferența de presiune RȘi p+ dp este egală cu greutatea gazului cuprins în volumul unui cilindru cu o suprafață de bază egală cu unitatea și o înălțime dh. Apoi

Unde R este constanta gazului, M-Masă molară, T-temperatura.

Formula (2) poate fi utilizată pentru a calcula densitatea aerului în condiții normale (dacă aerul nu diferă mult în comportamentul său de un gaz ideal).

Să înlocuim (2) în (1). obține

Unde M este greutatea moleculară medie a aerului. Integram (4) si gasim dependenta R din h pentru ocazie T= const(adică pentru o atmosferă izotermă)

, Unde C=const

După integrare, obținem:
. La h=0 C= p o, unde p 0 - presiunea la altitudine h=0 . Astfel, la T=const, dependența presiunii de înălțime este exprimată prin formula
(5)

numită barometrică.

Din aceasta rezultă că presiunea scade odată cu înălțimea cu atât mai repede, cu cât gazul este mai greu (cu cât M mai mare) și cu atât temperatura este mai scăzută (Fig. 1). Cele două curbe din această figură pot fi văzute fie ca diagrame corespunzătoare unui M diferit (pentru același T), fie ca diagrame corespunzătoare unui T diferit (pentru același M).

2. Distribuția Boltzmann

Să înlocuim raportul în exponentul din (5) M/ R raportul său egal m/k, unde m este masa moleculei, k este constanta Boltzmann, p=nkT, R 0 = n 0 kT:

(6)

Unde n, n 0 - concentratia moleculelor la inaltime hȘi h o =0 respectiv.

Din formula (6) rezultă că, pe măsură ce temperatura scade, numărul de particule la alte înălțimi decât zero scade, dispărând la T=0(fig.2)

La diferite înălțimi, o moleculă are o cantitate diferită de energie potențială

E p = mgh (7)

CU
În consecință, distribuția moleculelor pe înălțimi este și distribuția moleculelor peste valorile energiei potențiale.

(8)

Boltzmann a demonstrat că distribuția (8) este valabilă nu numai în cazul câmpului potențial al gravitației terestre, ci și în orice câmp potențial de forțe pentru un set de orice particule identice într-o stare de mișcare termică haotică. Distribuția (6) se numește distribuție Boltzmann.

Lăsa kT=θ . Să găsim rapoartele

Să luăm logaritmul acestor rapoarte:

, Unde
.

PROGRESUL

INSTRUMENTE ȘI ACCESORII:

Transformator, mașină Bespalov, scară de înălțime.

1. Conectați mașina lui Bespalov la transformator. Setați „temperatura” la 80V. După câteva secunde, deconectați brusc transformatorul de la rețea. Numărați numărul de particule la înălțime h 0 , h 1 , h 2 ,...,h 7 .

Înregistrați rezultatele în tabelul 1.

tabelul 1

	h o	h 1	h 2	h 3	h 4	h 5	h 6	h 7
N 1
N 2
N 3
N mier

2. Faceți aceleași măsurători la „T” = 80V. Înregistrați rezultatele în tabelul 2.

masa 2

	h o	h 1	h 2	h 3	h 4	h 5	h 6	h 7
N 1
N 2
N 3
N mier

3. Pe baza rezultatelor sarcinilor 1 și 2, construiți grafice de dependență
din h n într-un singur plan de coordonate (hOn).

ÎNTREBĂRI DE CONTROL

formula barometrică. Aspectul și programul ei.

Consecințele formulei barometrice.

Ce este temperatura?

Distribuția Boltzmann (tip, formulă, grafic).

Folosind distribuția Boltzmann.

De ce are Pământul o atmosferă?

Sistem statistic. Distribuția statistică.

LITERATURĂ

1.Rau V.G. Științe generale ale naturii și conceptele sale. - M .: Vys.shk. 2003, 192p.

2.. Gershenzon E.M. etc.Curs de fizică generală. Fizica moleculară. M: Iluminismul, 1982, p.14-17.

3. Saveliev I.V. Curs de fizică generală T.1. M: Nauka, 1982, p. 289-290, 321-324.

Laboratorul #5

ORDINE ŞI HAOS. CELULELE BENARD. MODELUL DE CREȘTERE A POPULAȚIEI.

Scopul lucrării: să se familiarizeze cu exemple de formare a ordinii din haos și apariția haosului într-un sistem determinist.

SCURT TEORIE

Lăsa X O - dimensiunea inițială a populației și X n - numărul său prin n ani. Rata de crestere R numită modificarea relativă a numărului pentru anul:

Dacă această valoare este o constantă r, atunci legea care guvernează dinamica are forma:

Prin n ani, populația va fi egală cu

Pentru a limita această creștere exponențială, Verhulst a făcut ritmul de creștere R se modifică pe măsură ce dimensiunea populației se modifică. Presupunând că dimensiunea unei populații care umple o anumită nișă ecologică nu poate fi mai mare decât o anumită valoare maximă a lui X (care poate fi setată egală cu 1), el a presupus că rata de creștere, care depinde de mărimea populației, R proporțional cu valoarea 1 x n, adică a pune R = r(1-x P ); constant r vom numi parametrul de creștere. Astfel, când X P < 1, populația este în continuare în creștere, dar numai până la valoarea X n = 1 la care se oprește creșterea.

Legea care guvernează dinamica va arăta acum astfel:

Pentru X O Există două valori la care dimensiunea populației nu se modifică: X 0 = 0 și X 0 = 1. Când X 0 = 0, populația este pur și simplu absentă de la bun început, caz în care nu este posibilă deloc creștere.

Cu toate acestea, dacă populația inițială este chiar ușor diferită de zero, 0< X 0 << 1, apoi la r > 0 anul viitor crește

.

Prin urmare, starea de echilibru X O = 0 este instabil.

Cea mai simplă ecuație diferențială pentru creșterea populației este scrisă după cum urmează:
.

NAȘTERE A STRUCTURILOR

ÎN SISTEME TERMODINAMICE DESCHISE.

CELULELE BENARD.

SCOPUL LUCRĂRII

Studiul sistemelor termodinamice deschise cu elemente de autoorganizare. Obținerea celulelor Benard.

ECHIPAMENTE ȘI ACCESORII

Aragaz electric, ulei mineral, pudra de aluminiu, senzor de temperatura, vase.

SCURT TEORIE

Fenomenul de conductivitate termică în materie este descris de legea experimentală Fourier

(1)

și ecuația conducerii căldurii prin granițele de materie distinse condiționat.

ÎN
mărimea
- densitatea fluxului de radiație a cantității de căldură pe unitatea de timp poate fi scrisă după cum urmează:
,

Unde S- secţiunea chenarului (Fig. 1).

Diferența de curgere prin limitele din stânga și din dreapta volumului selectat V substanța omogenă determină modificarea energiei interne în volum V pe parcursul dt.

Atunci, de unde avem:

În același timp dQ(X 2 )- dQ(X 1 ) = dU, sau dacă introducem capacitatea termică pe unitatea de lungime
, atunci obținem ecuația
sau
, care, la apropiere X 1 -> X 2 definește procesul de conducere a căldurii sub formă diferențială:

- ecuația căldurii sau scurt T t = la xx .

Procesul de difuzie se comportă în mod similar, în care concentrația unei substanțe se modifică în timp datorită gradientului de densitate:

, Unde D- coeficientul de difuzie.

Influența unui proces asupra altuia complică forma ecuațiilor ambelor procese. Influența simetrică conduce la un sistem de ecuații pentru două variabile X și Y, care în exemplul nostru particular înseamnă temperatura și concentrația (sau densitatea) unei substanțe.

Într-un sistem în care se creează gradienți de temperatură și densitate a materiei, au loc procese care duc la formarea unei structuri stabile de mișcare sub formă de fluxuri de convecție. Deci structurile se nasc din dezordine (mișcarea termică), confirmând existența unui efect sinergic (acțiunea comună a două cauze dă naștere unei noi proprietăți).

Abilitatea de a se autoorganiza este o proprietate comună a sistemelor deschise. În acest caz, dezechilibrul este cel care servește drept sursă de dezordine. Această concluzie a servit drept punct de plecare pentru un cerc de idei prezentat de școala din Bruxelles condusă de I.Prigozhin.

Principala dificultate care apare în analiza proceselor de autoorganizare este că este imposibil să se utilizeze conceptele de termodinamică liniară a proceselor ireversibile. Presupunerea despre existența unor relații liniare între curenți și forțele termodinamice se dovedește a fi incorectă aici, deoarece formarea structurii are loc departe de echilibru.

După manifestările exterioare, după natura ordinii, aceste structuri pot fi împărțite în temporale, spațiale și spațio-temporale. Exemple tipice de tranziții care conduc la formarea structurilor spațiale sunt: ​​trecerea unui flux laminar la unul turbulent, trecerea unui mecanism de difuzie de transfer de căldură la unul convectiv; structuri temporare - treceri la modul de procese oscilatorii și ondulatorii; spatio-temporal - trecerea laserului la modul de regenerare.

Un exemplu clasic de apariție a unei structuri dintr-o fază complet haotică sunt celulele convective Benard. În 1990 un articol de X. Benard a fost publicat cu o fotografie a unei structuri care arăta ca un fagure. Pentru a studia experimental structurile este suficient să aveți o tigaie, puțin ulei și puțină pulbere fină pentru ca mișcarea lichidului să fie vizibilă. Când se atinge valoarea critică a gradientului de temperatură, apare un flux de convecție, care are o structură caracteristică sub formă de celule hexagonale. De ce celulele sunt hexagonale? Vom presupune că toate celulele sunt aceleași și au forma unui poligon în planul XY. Din motive de simetrie (absența unei direcții preferate în acest plan), rezultă că acesta va fi un dreptunghi regulat. Din faptul că celulele sunt aceleași, rezultă că pot umple întregul plan (altfel ar exista mai multe tipuri de celule). Dar de ce a ales natura pentru celule forma unui hexagon, și nu a unui triunghi sau a unui pătrat? Pentru sistemele neliniare studiate prin sinergetică se poate formula principiul disipării minime a energiei: „Când natura permite existența mai multor procese care realizează același scop, atunci se realizează cel care necesită costuri minime de energie”. Disiparea energiei în ulei depinde de raportul dintre suprafața celulei și volumul acesteia. Cu cât acest raport este mai mic, cu atât mai mică este disiparea energiei. Este ușor de observat că acest raport este minim tocmai pentru celulele hexagonale. Astfel, celulele hexagonale nu sunt un accident, ci soluția optimă găsită de natură.

PARTEA EXPERIMENTALĂ

Efectul Benard poate fi observat folosind următorul experiment: turnați un strat de ulei de mașină (grad M-8, MS-20) de aproximativ 1 cm grosime într-o tigaie cu diametrul de 13-15 cm. Pregătiți în avans pulberea de duraluminiu, care este ușor de obținut dintr-o bară de duraluminiu folosind șmirghel. Încinge o tigaie cu ulei de jos cu apă (temperatura apei este de aproximativ 80 ° C). Apoi, turnați treptat și uniform praful de duraluminiu în ulei. Când este încălzit, într-un astfel de sistem apare o diferență de temperatură (gradient). ∆Tîntre suprafețele inferioare și superioare ale stratului de ulei. Temperatura stratului inferior de ulei poate fi luată egală cu temperatura apei. Datorită vâscozității uleiului, la gradienți mici de temperatură, nu va exista mișcare și căldura va fi transferată doar prin conducție termică. Numai când se atinge valoarea critică a gradientului de temperatură apare un flux de convecție, care are o structură caracteristică sub formă de celule hexagonale.

Cu o creștere suplimentară a diferenței de temperatură ∆T celulele dispar. Uleiul începe să se miște aleatoriu.

Întrebări de control:

Care este forma ideală a celulelor Benard și care este motivul pentru a prefera această formă specială?

De ce este imposibil să se obțină forma ideală a celulelor în experiment?

Ce factori influențează apariția celulelor Benard?

Datorită ce resurse are loc autoorganizarea în stratul de petrol?

Se va schimba imaginea în procesul Verhulst dacă luăm un număr diferit ca mărime inițială a populației? De ce?

De câte ori este intervalul mai lung r, corespunzând dimensiunii a 2-a populației stabile decât a 4-a?

Ce cauzează haosul în modelul de creștere a populației?

Care este forma funcției de creștere a populației în timp dacă creșterea populației este descrisă de cea mai simplă ecuație de creștere diferențială.

Literatură

Rau V.G. Științe generale ale naturii și conceptele sale. - M .: Vys.shk. 2003, 192s

-//- Manual electronic.

Haken G. Synergetics. M.: Mir, 1985.

Lucrări de laborator № 6

SIMETRIA -

CONCEPTUL FUNDAMENTAL DE ŞTIINŢA NATURII

SCOPUL LUCRĂRII: a cunoaște cu diverse aspecte ale conceptului de „simetrie”, pentru a studia modalități de descriere a simetriei geometrice a formelor de cristal și a structurilor moleculare periodice (pe modele care utilizează programe de calculator pentru studierea simetriei modelelor plate de împachetare moleculară), pentru a învăța cum să se determine simetria diferitelor obiecte.

PARTEA TEORETICĂ

Simetria figurilor finite

În sens general, conceptul de simetrie este definit după cum urmează:

Simetrie - aceasta este imuabilitatea (invarianța) obiectelor și legilor sub anumite transformări ale variabilelor care le descriu.

Cu alte cuvinte, se spune că sistemul are simetrie cu privire la o transformare dată la care poate fi supus. În matematică, transformările de simetrie sunt grup. Importanța fundamentală a simetriei în fizică este determinată în primul rând de faptul că fiecare transformare continuă a simetriei corespunde legea conservării o anumită mărime fizică asociată cu simetria specificată.

În orice figură simetrică ( simetric se numește o figură, care constă din părți egale geometric, situate în mod regulat una față de alta) este obligatorie:

prezența părților egale;

anumita lor regularitate.

Modelul în repetarea părților egale ale unei figuri simetrice poate fi detectat cu ajutorul unor imagini geometrice auxiliare, care sunt plane, linii drepte, puncte. Aceste imagini geometrice (punct, linie, plan) sunt numite elemente de simetrie cifre. În figurile simetrice sunt posibile următoarele elemente de simetrie: centrul de simetrie, planul de simetrie, axe de simetrie simple și complexe (oglindă și inversare).

Cea mai simplă transformare simetrică este reflectarea în planul de simetrie.

Planul de simetrie Un astfel de plan într-o figură simetrică se numește atunci când este reflectat în care, ca într-o oglindă cu două direcții, figura este combinată cu ea însăși.Planul de simetrie împarte figura în două părți egale în oglindă.

Imaginează-ți un triunghi isoscel. Această figură are un plan de simetrie perpendicular pe planul figurii și care trece prin perpendiculară AO. Pentru reflectare, este necesar din fiecare punct al figurii (de exemplu, din punct ÎN) coboară o perpendiculară pe planul de simetrie OV si continua, aceasta perpendiculara pe o distanta egala cu IN =B 1 O, iar dacă triunghiul este isoscel, atunci reflexia punctului ÎN aliniat cu punctul ÎN 1 , în timp ce reflexia este dreaptă VA - cu o linie dreaptă ÎN 1 A. Reflexia jumătății stângi este aliniată cu jumătatea dreaptă. Făcând același lucru cu jumătatea dreaptă a figurii, vom potrivi reflexia acesteia cu jumătatea stângă și, ca urmare, întreaga figură va fi combinată cu ea însăși. Deci, figura va ajunge într-o stare nouă, nu diferită de originală.

Într-un cub, a cărui formă au cristalele majorității metalelor, se pot găsi în primul rând trei planuri de simetrie reciproc perpendiculare, care, ca și planurile de coordonate ale unui sistem ortogonal, bisectează muchii paralele opuse. În continuare, puteți găsi planurile de simetrie care trec de-a lungul diagonalelor fețelor cubului. Ca rezultat, există 9 planuri de simetrie în cub și toate se intersectează într-un punct - centrul cubului.

P
cel mai simplu element de simetrie este un punct special din interiorul figurii - centru de inversare (centrul de simetrie). De exemplu, un punct situat la intersecția diagonalelor unui paralelogram este caracterizat prin faptul că orice linie dreaptă trasată prin el întâlnește la distanțe egale de el punctele corespunzătoare (identice) ale conturului paralelogramului (de exemplu, MȘi M 1 ). Acest punct singular va fi centrul de simetrie. Un exemplu de figură spațială, a cărei simetrie este epuizată de prezența unui centru de simetrie, este un paralelipiped oblic.

Asa de, centru de simetrie se numește punct special în interiorul figurii, caracterizat prin faptul că de ambele părți ale oricărei linii trasate prin ea și la distanțe egale de această linie există puncte identice (corespondente) ale figurii. Transformarea simetrică considerată în centrul de simetrie este o reflexie în oglindă într-un punct.

Axa de simetrie se numește linie dreaptă aparținând unei figuri date, când este rotită în jurul ei cu un unghi definit, figura este combinată cu ea însăși. Acest lucru este posibil dacă, în primul rând, figura constă din mai multe părți egale care se repetă și, în al doilea rând, aceste părți egale care se repetă sunt amplasate în așa fel încât, atunci când figura este rotită printr-un unghi bine definit, aceasta va lua aceeași poziție în spațiul pe care l-a ocupat înainte de această tură. Numai în acest caz, în locul unora dintre părțile sale, alte părți egale cu acestea devin. În acest caz, se obișnuiește să se spună că cifra se aliniază cu sine sau se autocombină.

Să luăm o figură care are o axă de simetrie, de exemplu, constând din șase triunghiuri egale. În funcție de condiție, figura trebuie să fie aliniată cu ea însăși

P când este rotit printr-un anumit unghi în jurul axei de simetrie. Evident, axa de simetrie trece perpendicular pe planul desenului prin centrul figurii. Cel mai mic unghi de rotație la care figura se va autoalinia este de 60 de grade, adică. a șasea dintr-o revoluție completă în jurul axei de simetrie. În acest caz, figura luată în considerare va avea un singur element de simetrie - axa.

Cel mai mic unghi prin care o figură trebuie rotită în jurul axei de simetrie pentru ca figura să se alinieze se numește unghi elementar de rotație axa de simetrie dată. Pentru figura prezentată în această figură, este de 60 de grade.

Unghiul elementar de rotație al unei anumite axe de simetrie determină numărul de auto-alinieri ale unei figuri atunci când aceasta este rotită în jurul acestei axe cu 360 de grade sau Ordin axele de simetrie. Dacă unghiul elementar de rotație este notat cu A, iar ordinea axei de simetrie - prin P, Acea n=360/a. Se demonstrează că ordinele axelor de simetrie pot fi numai numere întregi. Figura considerată mai sus, formată din șase triunghiuri egale, are o axă de simetrie de ordinul al șaselea.

Axele de simetrie pot fi de orice ordine. Prin centrul unui triunghi regulat, perpendicular pe planul desenului, trece o axă de simetrie de ordinul al treilea, prin centrul unui pătrat - al patrulea, prin centrul unui pentagon regulat - a cincea, prin centrul lui un hexagon regulat - al șaselea și așa mai departe până la cerc, prin centrul căruia trece axa de simetrie de ordin infinit. Axele unui con sau cilindr sunt, de asemenea, axele de simetrie ale infinitului, la fel ca orice diametru al unei sfere. Prin urmare, mingea are un număr infinit de axe de simetrie de ordin infinit.

Printre figurile geometrice, a căror formă pot lua cristalele, nu există figuri cu axe de ordinul al cincilea, precum și cu axe de simetrie, a căror ordine este mai mare decât a șasea. Deci, poliedrele cristaline au doar axe de simetrie de ordine 2, 3, 4 și 6. Axa de ordinul 2 este în figură dacă prima auto-aliniere are loc la rotirea în jurul ei cu 180 de grade. Axele ordinului 3, 4, 6 corespund unghiurilor elementare de rotație cu 120, 90, 60 de grade. Spre deosebire de axa dublă, ele sunt numite axe de ordin superior. O figură poate avea una sau mai multe axe de simetrie de ordine identice sau diferite.

Axele de simetrie considerate se numesc simplu. Ele sunt notate prin numere care indică ordinea axei.

Când scrieți o formulă de simetrie, care este o listă completă de elemente de simetrie, utilizați litera L. Ordinea axei de simetrie este indicată ca literă în indice L. (De exemplu, denumirile L h Și L 4 corespund axelor de simetrie de ordinul 3 și 4.) Numărul de axe de simetrie ale unei figuri date (cristal, textură etc.) este indicat înainte L. (Sa spunem 4 L 3 ar trebui interpretat ca patru axe de simetrie de ordinul al treilea.)

Pe lângă operațiile simple considerate care relevă simetria în figurile geometrice, sunt posibile și alte transformări geometrice combinate, care constau în rotație și reflexie simultană fie într-un punct, fie într-un plan. Aceste transformări geometrice complexe sunt descrise folosind elemente de simetrie suplimentare: inversiuneȘi oglindă axele de simetrie.

oglindă numită axa de simetrie, în jurul căreia figura se rotește printr-un unghi elementar, fiind reflectată simultan într-un plan perpendicular pe ea (acesta nu este neapărat planul de simetrie al figurii).

Inversiunea este axa de simetrie, care, având proprietățile unei axe de simetrie simple de același ordin, implică în același timp reflexie în punctul ca centru de simetrie. Prezența unui centru de simetrie într-o figură cu o axă de simetrie de inversare nu este, de asemenea, necesară.

Axele de simetrie de inversare sunt indicate printr-un număr cu linie dreaptă, cele în oglindă cu un ondulat (tilde). De exemplu, denumirile 3 și 4 corespund axelor de simetrie de inversare și oglindă ale ordinului 3 și 4.

Grupuri de simetrie

Pe lângă elementele de simetrie simple și complexe care sunt prezente în figurile geometrice într-un singur număr, există seturi bine definite ale acestor elemente de simetrie, care sunt observate și în figurile reale. Setul complet de elemente de simetrie ale unei figuri geometrice se numește grup(clasă, tip) simetrie.

În urma derivării, s-au obținut 32 de grupuri de simetrie de poliedre cristaline și, pe lângă acestea, 5 grupuri de simetrie de materiale texturate și 7 grupuri de simetrie de figuri de rotație (vezi tabelul de mai jos).

Există mai multe moduri de a descrie grupurile de figuri cu simetrie punctuală. Să luăm în considerare 2 dintre ele:

1.B internaţional În practică, se adoptă următoarele denumiri: n - axa de simetrie n-a comanda (n = 2, 3, 4, ...);

- axa de inversare n-a comanda (n = 1, 2, 3...);

T - planul de simetrie;

vineri - axa de simetrie n ordinul și un plan de simetrie care trece de-a lungul ei ( 2t, 3t, 4t,...);

p/t - axa de simetrie de ordinul al n-lea și planul de simetrie perpendicular pe acesta, precum și centrul de simetrie pentru axele pare (2/t, 3/t, 4/t,.)

p2 - axa de simetrie n-a ordine și P axe de ordinul 2, perpendiculare pe acesta (222, 322, 422, 522 , 622);

p/ttt- axa de simetrie n comanda și avionul T. paralel și perpendicular pe acesta.

În simbolismul internațional, în clasa de simetrie sunt indicate doar elementele generative de simetrie. Cunoscând teoremele privind combinarea elementelor de simetrie, este posibil să găsim întregul set de elemente de simetrie ale unei clase date din elementele generatoare.

2. Tabelul arată formule de simetrie- un set de elemente pentru toate tipurile de simetrie. Aceste formule folosesc simbolismul lui Bravais:

R - plan de simetrie:

CU- centrul de simetrie;

L i 1 , L i 2 , L i 3 ,... - inversiune.

Fiecare set selectat de grupuri de simetrie se caracterizează prin prezența obligatorie a anumitor elemente.

Se numește un set de grupuri de simetrie care au unul sau mai multe elemente similare singonie.

În cristalografie se disting doar șapte singonii: triclinic. monoclinic, rombic, trigonal, tetragonal, hexagonal și cubic. La sistemele considerate este necesar să se adauge sistemul pentagonal.

SINGONIE	SIMBOLULE INTERNAȚIONALE	FORMULĂ DE SIMETRIE (simbolul lui Bravais)
TRIKLINAYA
MONOCLINĂ		L 2 L 2 PC
ROMBIC		3L 2 L 2 2P 3L 2 3 buc
TRIGONAL		L 3 L 3 CsauL i 3 L 3 3 L 2 L 3 3 P L 3 3L 2 3 buc
TETRAGONAL	4/ m	L i4 sau L 4 PC L 4 4L 2 L 4 4P L 4 4L 2 5 buc L i4 2L 2 2P
PENTAGONAL	5/ m	L 5 L 5 P L 5 5L 2 L 5 5p L 5 5L 2 5p
HEXAGONAL	6/ m m2	L 6 L 3 P L 6 PC L 6 6L 2 L 6 6p L 3 3L 2 4P L 6 6L 2 7 buc
CUB	3m	3L 2 4L 3 3L 2 4L 3 3 buc 3L 4 4L 3 6L 2 3L 4 4L 3 6p 3L 4 4L 3 6L 2 9 buc

Singonie	Grilelebravis
Triclinic (paralelepiped)
Monoclinic (prismă regulată cu un paralelogram la bază (prezentat mai sus);		centrat pe bază
Rombic (romboedru)		Bazocentri falsificat	centru volumetric falsificat	facecentri falsificat
Tetragonal (paralepiped drept)		centru volumetric falsificat
Trigonal (romboedric) (romboedru echilateral)
Hexagonal (prismă cu baza unui hexagon centrat regulat)
Cubic (cub obișnuit)		centru volumetric falsificat	Centrat pe față

Simetria figurilor infinite

Luați în considerare un cristal ideal. În structura acestui cristal, care poate fi imaginat ca șiruri simetrice nesfârșite, grile și rețele de particule alternante periodic, nu există încălcări: toate particulele identice sunt aranjate în rânduri paralele identice. Distanțele dintre particule în majoritatea substanțelor cristaline sunt de câțiva angstromi, prin urmare, chiar și la o lungime de 1 mm, există aproximativ 10 până la a șaptea putere a particulelor într-un cristal, care poate fi considerat practic un număr infinit.

Cea mai scurtă distanță posibilă între puncte identice dintr-o serie se numește cea mai scurtă sau elementară, difuzare, sau perioada de identitate(orez...); uneori sunt folosite nume perioada de difuzare, sau parametru de rând.

Dacă deplasăm punctele unui rând infinit cu o perioadă de identitate de-a lungul direcției de translație, atunci toate punctele identice se vor deplasa la aceeași distanță, rândul va coincide cu el însuși, astfel încât vederea sa nu va fi perturbată. Asa se face transformare simetrică- seria este deplasată simetric cu o perioadă de traducere A.

O translație sau o transformare asistată de translație este o transformare simetrică prin care un punct se repetă în spațiu.

P repetând orice punct folosind translația, obținem o serie periodică infinită de puncte identice la distanțe a, 2a, Za, ..., pa. Caracteristica acestei serii este cea mai scurtă traducere A. Puncte identice legate prin traduceri Aîntr-o serie nesfârșită sunt numite noduri rând. Nodurile nu trebuie să coincidă cu particulele materiale ale substanței, ele pot fi, de asemenea, aceleași puncte între particulele substanței.

Repetând aceleași puncte folosind o altă translație care nu este paralelă cu prima, obținem o grilă plană bidimensională, care este complet definită de două traduceri elementare a sib sau trei noduri arbitrare care nu se află pe o singură linie dreaptă. Se numesc paralelograme ale căror vârfuri sunt noduri celule grile. O grilă plată poate fi definită prin orice pereche de translații care nu se află pe aceeași linie dreaptă (Fig. A). Alegerea unei astfel de perechi de parametri de bază ai unei grile plate nu este clară, dar se obișnuiește să se aleagă cele mai scurte traduceri și tocmai cele care reflectă cel mai bine simetria grilei.

Alegem o celulă elementară într-o grilă plată; repetând-o folosind aceleași translații, obținem o grilă plată care umple întregul plan fără goluri. Celula elementară poate fi aleasă în diferite moduri (Fig. b) dar se obișnuiește să-l alegeți astfel încât să îndeplinească următoarele condiții:

reflectă cel mai bine simetria grilei;

dacă este posibil, ar avea unghiuri drepte;

ar avea cea mai mică suprafață.

Celula elementară primitivă se numește o celulă, în interiorul căreia nu există noduri (Fig. V). Fiecare nod situat în partea de sus a unei astfel de celule aparține la patru celule în același timp, ceea ce înseamnă că această celulă reprezintă doar 1/4 din acest nod și doar o celulă reprezintă
nodul. Celula care conține un nod poate fi aleasă în moduri diferite, dar toate zonele unor astfel de celule sunt aceleași indiferent de forma celulei, deoarece aria este o valoare constantă pentru o anumită grilă. Se numește numărul de noduri pe unitate de suprafață densitatea reticulară grile.

Astfel, o grilă plată poate fi definită în trei moduri:

ca o pereche de traduceri elementare necoliniare, sau

ca un sistem de noduri elementare care pot fi obținute unul de la altul folosind transferuri paralele, sau

ca un sistem de celule elementare identice adiacente între ele, umplând planul fără goluri și potrivindu-se între ele cu ajutorul transferurilor paralele.

Grupuri de simetrie bidimensionale pot fi obținute, precum și cele unidimensionale, prin enumerarea tuturor combinațiilor de elemente de simetrie deschise și închise admisibile, apoi adăugând la fiecare astfel de combinație componentele translaționale ale grilelor plane corespunzătoare. 17 grupuri de simetrie bidimensionale sunt prezentate în figură.

P
Să aplicăm acum la un punct arbitrar trei translații elementare care nu se află în același plan (necoplanar) și să le repetăm ​​la infinit în spațiu. Primim grila spatiala, acestea. sistem tridimensional de noduri echivalente.

DESPRE principalul trio de emisiuni, așa-numitele translativgrup, sau un grup de traduceri pentru o rețea spațială poate fi ales în moduri diferite, dar se obișnuiește să se aleagă translații care sunt cele mai scurte și corespund simetriilor rețelei.

Paralelepiped construit pe trei traduceri elementare A,b,Cu, numit paralelipiped elementar. sau celulă elementară. Ca și într-o grilă plată, volumul unei celule unitate primitive nu depinde de forma sa și este o valoare constantă pentru o anumită grilă; este egal cu volumul per nod.

LA
La fel ca o grilă plană, o grilă spațială poate fi definită în trei moduri:

ca un trio de traduceri elementare necoplanare, sau

ca un sistem de puncte echivalente care se transformă unul în celălalt folosind trei traduceri de bază, sau

ca un sistem de trei paralelipipede identice care umplu dens spațiul și pot fi combinate între ele folosind trei translații principale.

Oricare dintre aceste definiții oferă aceeași schemă a periodicității tridimensionale a distribuției particulelor de materie într-un cristal.

Pentru marginile celulei elementare, i.e. pentru translațiile elementare, ele iau acele direcții din rețeaua spațială în care valoarea translației este cea mai mică și care reflectă cel mai bine simetria rețelei.

Pe baza ideii de aranjare periodică a centrelor de greutate a particulelor de material sferic într-o substanță cristalină, O. Bravais în 1848 a arătat că întreaga varietate de structuri cristaline poate fi descrisă folosind 14 tipuri de rețele care diferă ca formă. de celule elementare și în simetrie și sunt împărțite în 7 cristale -

l singonii grafice. Aceste grile au fost numite Gratare Bravais.

Fiecare zăbrele Bravais este grup de difuzare care caracterizează aranjarea particulelor de material în spațiu.

Orice cristalin

structura poate fi reprezentată folosind una dintre cele 14 rețele Bravais.

Pentru a selecta o celulă Bravais, sunt utilizate 3 condiții:

1) simetria celulei unitare trebuie să corespundă cu simetria cristalului, mai exact, cu cea mai mare simetrie a singoniei căreia îi aparține cristalul. Marginile celulei unitare trebuie să fie translații;

celula elementară trebuie să conţină numărul maxim posibil de unghiuri drepte sau unghiuri egale şi muchii egale;

celula unitară trebuie să aibă un volum minim.

Aceste condiții trebuie îndeplinite succesiv, adică Atunci când alegeți o celulă, prima condiție este mai importantă decât a doua, iar a doua este mai importantă decât a treia.

În funcție de natura aranjamentului reciproc al translațiilor principale sau a locației nodurilor, toate rețelele cristaline sunt împărțite, conform lui Bravais, în 4 tipuri:

primitiv ( R),

centrat pe bază ( C, B sau A),

centrat pe corp ( eu),

fata centrata ( F).

La primitiv RÎntr-o celulă, nodurile de rețea sunt localizate numai la vârfurile celulei, iar în celulele complexe există mai multe noduri. Într-un corp centrat eu- celula - un nod în centrul celulei. în centrat pe față F-celula - cate un nod in centrul fiecarei fete. În bază centrată CU(A, B) - celulă - un colț la centrele unei perechi de fețe paralele.

Pentru a izola celula elementară Bravais în structură, este necesar să găsiți 3 translații necoplanare cele mai scurte A,b, Cu,în plus, fiecare traducere trebuie să înceapă și să se termine pe aceleași noduri. În continuare, trebuie să verificați cerințele de bază:

1) Este posibil să construiți o celulă pe aceste traduceri care să îndeplinească regulile de selecție a celulei Bravais;

2) dacă toate particulele din structură pot fi obținute folosind un astfel de set de translații.

În cazul general, fiecare singonie poate corespunde rețelelor de toate cele patru tipuri ( R, S,eu, F), însă, de fapt, în toate singoniile, cu excepția celei rombice, numărul rețelelor Bravais posibile este redus din cauza reducerii unor tipuri de rețele la altele. Deci, de exemplu, într-o rețea cubică: dacă o pereche de fețe ale unei celule unitate cubică se dovedește a fi centrată, atunci, datorită simetriei cubice, toate celelalte fețe sunt centrate și, în loc de una centrată pe bază, o față -se obtine reteaua centrata.

Se numește setul de coordonate ale nodurilor incluse în celula elementară bază celule. Întreaga structură cristalină poate fi obținută prin repetarea nodurilor de bază ale setului de translații ale celulei Bravais. În acest caz, originea coordonatelor este aleasă în partea de sus a celulei, iar coordonatele nodurilor sunt exprimate în fracții de translații elementare a, b, c.

Se numește setul tuturor operațiilor de simetrie ale unei structuri cristaline grup de simetrie spațială. Derivarea a 230 de grupuri de simetrie spațială a fost finalizată până în 1890 de către cristalograful rus Evgraf Stepanovici Fedorov până în 1891 de către geometrul german Arthur Schoenflies. Fedorov a fost primul care a ajuns la rezultatele finale, așa că grupurile spațiale sunt adesea numite ale lui Fedorov.

Dacă, în funcție de simetria sa externă (macrosimetrie), fiecare substanță cristalină aparține uneia din 32 de clase, uneia din 32 de grupuri de puncte, atunci simetria structurii sale cristaline (microsimetrie) corespunde uneia dintre cele 230 de grupuri spațiale.

Existența translațiilor duce la apariția de noi elemente de simetrie, de exemplu, plan de reflexie cu privirea(g). Cantitatea de alunecare (avans) a planului de reflexie de pășunat este întotdeauna egală cu ½ vector de translație care coincide cu direcția de alunecare, deoarece o reflexie dublă dă un punct echivalent care este separat de cel original prin valoarea întregului vector de translație.

Limitați și vorbiți, respectiv, de dimensiunile Minkowski superioare și inferioare.

Un concept apropiat de dimensiunea Minkowski este dimensiunea Hausdorff. În multe cazuri aceste dimensiuni coincid, deși există seturi pentru care sunt diferite.

Exemple

In detalii

O discuție informală care arată acest lucru este următoarea. Segmentul poate fi împărțit în 2 părți, similar cu segmentul original cu un factor de 1/2. Pentru a acoperi un segment cu seturi de diametru 1 / n, trebuie să acoperim fiecare dintre jumătăți cu astfel de seturi. Dar pentru jumătate dintre ele aveți nevoie de aceeași cantitate ca pentru întregul segment de seturi cu diametrul 2 / n. Prin urmare, pentru segmentul avem . Adica la crestere n de două ori ρ( n) este de asemenea dublat. Cu alte cuvinte, ρ( n) este o funcție liniară.

Pentru un pătrat, un argument similar oferă . Adica la crestere n de două ori ρ( n) crește de 4 ori. Cu alte cuvinte, ρ( n) este o funcție pătratică. În cele din urmă, curba Koch constă din 4 părți, fiecare dintre acestea fiind similară cu curba inițială cu un factor de 1/3. Prin urmare, pentru ea. Înlocuind n = 3 k, primim . De aici rezultă că dimensiunea este egală cu ln4 / ln 3 .

Formal: fie n pasul fractalului, la a n-a pas vom avea 4 n segmente egale, lungime 3 − n. Luați pentru ε un segment de lungime 3 − n, apoi pentru a acoperi întreaga curbă Koch, avem nevoie de 4 n segmente. Pentru ca condiția ε→0 să fie satisfăcută, să tindem spre n→. obține

Proprietăți

• Dimensiunea Minkowski a unei uniuni finite de mulțimi este egală cu maximul dimensiunilor acestora. Spre deosebire de dimensiunea Hausdorff, acest lucru nu este valabil pentru uniunea numărabilă. De exemplu, mulțimea numerelor raționale între 0 și 1 are dimensiunea Minkowski 1, deși este o uniune numărabilă de mulțimi de un element (fiecare având dimensiunea 0). Un exemplu de mulțime numărabilă închisă cu dimensiunea Minkowski diferită de zero este dat mai sus.
• Dimensiunea Minkowski inferioară a oricărei mulțimi este mai mare sau egală cu dimensiunea lui Hausdorff.
• Dimensiunea Minkowski a oricărei mulțimi este egală cu dimensiunea Minkowski a închiderii sale. Prin urmare, are sens să vorbim doar despre dimensiunile Minkowski ale mulțimilor închise.

Vezi si

Fundația Wikimedia. 2010 .

• Tracia (regiune originală din Peninsula Balcanică)
• univers fractal

Vedeți ce este „Dimensiunea fractală” în alte dicționare:

Dimensiune (valori)- Dimensiunea: În matematică, teoria dimensiunilor este o parte a topologiei, în care se studiază dimensiunile - invarianți topologici numerici de un anumit tip. Dimensiunea spațiului este numărul de parametri independenți necesari pentru ...... Wikipedia

Dimensiune- Dimensiunea: În matematică, teoria dimensiunilor este o parte a topologiei, în care se studiază dimensiunile - invarianți topologici numerici de un anumit tip. Dimensiunea spațiului este numărul de parametri independenți necesari pentru a descrie starea ...... Wikipedia

grafică fractală- Mulțimea Mandelbrot este un exemplu clasic de fractal.Fractal (lat. fractus crushed) este un termen care înseamnă o figură geometrică care are proprietatea de auto-asemănare, adică compusă din mai multe părți, fiecare dintre ele similară cu cifră întreagă ...... Wikipedia

univers fractal

cosmologie fractală- Teoria cuibării infinite a materiei (teoria fractală) spre deosebire de atomism, o teorie alternativă filozofică, fizică și cosmologică. Această teorie se bazează pe concluzii logice inductive despre structura observată ... ... Wikipedia

teoria fractala- Teoria cuibării infinite a materiei (teoria fractală) spre deosebire de atomism, o teorie alternativă filozofică, fizică și cosmologică. Această teorie se bazează pe concluzii logice inductive despre structura observată ... ... Wikipedia

Turbulenţă- Pentru filmul cu acest nume, vezi Turbulence (film). Mecanica continuumului ... Wikipedia

curent neregulat

curgere turbulentă- Mecanica continuumului mediu continuum Mecanica clasica Legea conservarii masei Legea conservarii impulsului ... Wikipedia

Turbulenţă- Mecanica continuumului mediu continuum Mecanica clasica Legea conservarii masei Legea conservarii impulsului ... Wikipedia

Cărți

• Haos dinamic, S. P. Kuznetsov. Sunt conturate fundamentele ideilor despre haosul dinamic - un fenomen care a fost studiat în mod activ recent și se găsește în sisteme neliniare de natură variată - mecanice, ...

Introducere în fractali

Fundamentele teoriei fractalilor

Metode de determinare a caracteristicilor fractale ale obiectelor

Pentru a înțelege natura, omul construiește obiecte de diverse geometrii. În natură, obiectele se găsesc într-o varietate de dimensiuni - de la scara atomică la univers. Geometria traiectoriilor particulelor, liniile hidrodinamice, valurile, corpurile navelor și liniile de coastă, peisaje, munți, insule, râuri, ghețari și sedimente, granule în roci, metale și materiale compozite, plante, insecte și celule vii, precum și geometria structura cristalelor, moleculelor de substanțe chimice și, în special, proteinelor - pe scurt, geometria naturii este esențială pentru diferite domenii ale științelor naturale și, prin urmare, oamenii tind să ia aspectele geometrice de la sine înțelese. Reprezentanții fiecărui domeniu au căutat să-și dezvolte propriile concepte adaptate nevoilor sale (de exemplu, cum ar fi morfologia, spațiul cu patru dimensiuni, textura), utilizate intuitiv de oamenii de știință care lucrează în acest domeniu anume. Potrivit tradiției, liniile euclidiene, cercuri, sfere, tetraedre etc. au servit drept bază pentru o înțelegere intuitivă a geometriei naturii.

De asemenea, matematicienii au dezvoltat concepte matematice care au depășit geometria tradițională, totuși, în trecut, aceste concepte nu au atras atenția cuvenită din partea reprezentanților științelor naturii datorită unei prezentări foarte abstracte și „pedante” și din cauza avertismentelor despre „pericolul” asociat. folosind acest tip de reprezentări geometrice netradiționale.

Prin opera sa izbitoare și fundamentală, Benoit Mandelbrot a trezit un interes general pentru geometria fractală, un concept introdus de Mandelbrot însuși. În special, a povestit lumii despre obiectele pe care le-a numit fractali, alegând pentru aceasta o formă de prezentare foarte neobișnuită. Cartea lui Benoit Mandelbrot „Geometria fractală a naturii” este o carte de referință standard general acceptată despre fractali, care conține atât concepte elementare, cât și o gamă neobișnuit de largă de idei noi și deloc elementare, care se află acum în centrul atenției celor care studiază geometria fractalilor. Peisajele fractale sintetice par atât de realiste încât majoritatea oamenilor le confundă cu cele naturale. Apariția computerelor și graficii pe computer în ultimii ani a condus la studiul obiectelor geometrice netradiționale în multe domenii ale științelor naturii.

Mandelbrot a scris un număr imens de lucrări științifice despre geometria fenomenelor observate în multe domenii ale activității umane. El a explorat geometria fractală a modificărilor de preț și a distribuțiilor salariilor, statisticile privind erorile de apel la centralele telefonice, frecvențele cuvintelor în texte tipărite, diverse obiecte matematice și multe altele. Mandelbrot a scris trei cărți despre geometria fractală care au făcut munca sa de specialitate mai accesibilă și i-au inspirat pe mulți să aplice geometria fractală în propriile lor domenii de cercetare.

Conceptul de „fractali” a captat imaginația oamenilor de știință care lucrează în multe domenii ale științei, iar lucrările care discută despre fractali dintr-o varietate de perspective apar acum aproape zilnic. Cărțile lui Mandelbrot sunt remarcabile în mai multe privințe. Și, mai presus de toate, sunt interdisciplinare: autorul examinează geometria copacilor, albiile râurilor, plămânii, precum și modificările nivelurilor de suprafață a apei, turbulențe, economie, frecvențele cuvintelor din diverse texte și multe, multe altele. Mandelbrot conectează toate aceste întrebări aparent eterogene cu ideile sale geometrice. În cărțile sale, el evită în mod deliberat introducerile și concluziile, subliniind astfel convingerea sa profundă că, pe măsură ce munca în domeniul geometriei fractale se extinde, ideile sale vor permite să înțeleagă din ce în ce mai profund esența însăși a geometriei naturii. El oferă doar o definiție provizorie a conceptului de „fractal” și apoi declară în grabă că definiția pe care a propus-o nu este deloc finală! Mai mult, ulterior își retrage definiția. În cărțile sale, Mandelbrot încearcă să convingă cititorul că geometria fractală este importantă pentru descrierea naturii, dar el ocolește cititorul atunci când încearcă să urmărească detaliile argumentului autorului. Pe paginile cărților lui Mandelbrot se amestecă dovezi matematice cu anecdote și informații istorice. Probleme complet diferite sunt amestecate în cărțile sale, astfel încât este aproape imposibil să le separe. Dar, înarmat cu răbdare, cititorul iscoditor va găsi în cărțile lui Mandelbrot o gamă neobișnuit de largă de idei minunate, remarci profunde și va putea să se inspire real din ele - aceste cărți sunt cu adevărat minunate!

Ilustrațiile color fac cea mai puternică impresie. Ele înfățișează o „planetă” fractală care se ridică deasupra orizontului lunii sale, munților, văilor și insulelor care nu au existat niciodată. Aceste ilustrații, realizate de R.F. Foss, obținut folosind algoritmi care oferă natura fractală a peisajelor. Toate peisajele par foarte naturale, aparent, fractalii surprind cumva esența topografiei suprafeței pământului.

Conceptele de „fractal” și „geometrie fractală”, care au apărut la sfârșitul anilor 70, de la mijlocul anilor 80, au intrat ferm în viața de zi cu zi a matematicienilor și programatorilor. Cuvântul fractal este derivat din latinescul fractus și în traducere înseamnă „format din fragmente”. A fost propus de Benoit Mandelbrot în 1975 pentru a se referi la structurile neregulate, dar auto-asemănătoare pe care le-a studiat. Lucrările sale au folosit rezultatele științifice ale lucrărilor oamenilor de știință care au lucrat în același domeniu în 1875-1925 (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff și alții). Dar numai în vremea noastră a fost posibil să le combine munca într-un singur sistem.

Atenția pe care o atrag fractalii pare să aibă mai multe motive. În primul rând, fractalii sunt foarte simpli în modelarea multor fenomene și procese care sunt greu de distins de cele naturale. În al doilea rând, în analiza fractală, procesele în formă complexă sunt prezentate într-o formă destul de simplă și vizuală, ceea ce face posibilă obținerea mai multor informații despre proces.

În prezent, fractalii sunt cei mai folosiți în grafica computerizată și sistemele informatice pentru compresia informațiilor. Aceștia vin în ajutor, de exemplu, atunci când se cere definirea unor linii și suprafețe de formă foarte complexă cu ajutorul mai multor coeficienți. Din punctul de vedere al graficii pe computer, geometria fractală este indispensabilă pentru generarea de nori artificiali, munți și suprafața mării. De fapt, s-a găsit o modalitate de a reprezenta cu ușurință obiecte complexe non-euclidiene, ale căror imagini sunt foarte asemănătoare cu cele naturale.

Un fractal, conform definiției lui Mandelbrot, este un obiect a cărui dimensiune nu este egală cu dimensiunea sa topologică și poate lua valori non-întregi. Această dimensiune se numește dimensiunea Hausdorff-Besikovici sau dimensiunea fractală. Numeroase studii arată că geometria fractală este o generalizare a euclidianului, care se ocupă de dimensiuni topologice întregi (O - punct, 1 - linie, 2 - plan, 3 - volum). Obiectele fractale includ toate obiectele naturale, de exemplu, cum ar fi o coastă cu o dimensiune de 1,52 (linia de coastă a Norvegiei), norii - 2,31, sistemul circulator uman - 2,7 etc. În prezent, nu există o interpretare fizică rezonabilă a dimensiunii fracționale, deși se încearcă crearea acesteia.

Proprietatea principală a fractalilor este autoasemănarea . În cel mai simplu caz, o mică parte a fractalului conține informații despre întregul obiect, adică. forma fractalilor practic nu se schimbă la nicio mărire. Definiția unui fractal dată de Mandelbrot este următoarea: „un fractal este o structură formată din părți care sunt într-un anumit sens similare cu întregul”. Procese care generează structuri auto-asemănătoare sunt cunoscute de destul de mult timp. Acestea sunt procese de feedback. , în care aceeași operație se repetă iar și iar, rezultatul unei iterații fiind valoarea inițială a următoarei. Dar aici este foarte important ca relația dintre rezultat și valoarea inițială a fost neliniară. Unul dintre exploratorii fractalilor a fost Gaston Julia, care a descoperit setul Julia, care este o graniță în care aceeași formă a diferitelor scale apare în părți diferite. El a stabilit că este posibilă restabilirea întregii limite pentru oricare dintre ele părți. De atunci, matematica și fizica au fost studiate pe scară largă structuri auto-asemănătoare, inclusiv fractali.

Întreaga varietate de fractali este împărțită în geometrice, algebrice și stocastice.

fractali geometrici cel mai vizibil. Dacă fractalii geometrici sunt bidimensionali, se obțin folosind o linie întreruptă (sau suprafață, dacă fractalii sunt tridimensionali), numită sămânță sau generator inițial.Într-un singur pas al algoritmului fiecare dintre segmente, constituind o linie întreruptă, înlocuit cu un generator de linie rupt la scara corespunzatoare. Ca urmare a repetării nesfârșite a acestei proceduri, se obține un fractal geometric . Figurile 1.1-1.6 prezintă cei mai faimoși fractali geometrici și generatorii lor originali.

Orez. 1.2. Curba Koch (a) și generatorul său original (b)

Fractali algebrici. Acesta este cel mai mare grup de fractali. Ele sunt obținute folosind procese neliniare în spații n-dimensionale. Procesele bidimensionale sunt cele mai studiate. Interpretând un proces iterativ neliniar ca un sistem dinamic discret, se poate folosi terminologia teoriei acestor sisteme: portret de fază, proces în stare staționară, atractor etc. Se știe că sistemele dinamice neliniare au mai multe stări stabile. Starea în care se află sistemul dinamic după un anumit număr de iterații depinde de starea sa inițială. Prin urmare, fiecare stare stabilă (sau, după cum se spune, un atractor) are o anumită regiune de stări inițiale, din care sistemul va cădea în mod necesar în stările finale considerate. Astfel, spațiul de fază al sistemului este împărțit în regiuni de atracție a atractorilor. Dacă spațiul de fază este bidimensional, atunci prin colorarea regiunilor de atracție cu culori diferite, se poate obține un portret de fază color al sistemului (proces iterativ). Schimbând algoritmul de selecție a culorii, puteți obține modele fractale complexe cu modele multicolore fanteziste. O surpriză pentru matematicieni a fost capacitatea de a genera structuri non-triviale foarte complexe folosind algoritmi primitivi. Reprezentanții tipici ai acestei clase de fractali sunt mulțimile Julia (Fig. 1.7) și mulțimea Mandelbrot (Fig. 1.8).

Fractali stocastici sunt obținute dacă oricare dintre parametrii săi se schimbă aleatoriu în procesul iterativ. Rezultă astfel obiecte foarte asemănătoare cu cele naturale: copaci asimetrici, linii de coastă indentate etc. Fractalii stocastici bidimensionali sunt utilizați în modelarea terenului și a suprafeței mării.

Există și alte clasificări ale fractalilor, de exemplu, împărțirea fractalilor în deterministe (algebrice și geometrice) și nedeterministe (stochastice).

Întrebări de control

1. Cine și când a introdus conceptele de „fractal” și „geometrie fractală”?

2. Ce înseamnă cuvântul „fractal”?

3. De ce și-au găsit fractalii aplicația în activitatea umană?

4. Care este principala proprietate a fractalilor?

5. În ce clase sunt împărțiți fractalii?

6. Cum se formează fractalii geometrici?

7. Care este generatorul inițial pentru fractali geometrici?

8. Exemple de fractali geometrici.

9. Cum se formează fractalii algebrici?

10. Ce este un atractor?

11. Exemple de fractali algebrici.

12. Cum se formează fractalii stocastici?

13. Exemple de fractali stocastici.

Pentru a înțelege ce este dimensiunea fractală, de exemplu, luați în considerare linia de coastă a Norvegiei (Fig. 1.9).

Care este lungimea lui? Pe scara hărții, fiordurile adânci de pe coasta de vest sunt clar vizibile. Plimbându-te de-a lungul coastei, din când în când poți întâlni stânci, insule, golfuri și stânci asemănătoare între ele, chiar dacă nu sunt indicate pe hărțile cele mai detaliate. Înainte de a răspunde la întrebarea pusă, este necesar să se decidă dacă să includă insulele pe litoral. Dar râurile? Unde un fiord încetează să mai fie un fiord și unde exact se transformă într-un râu? Răspunsul la aceste întrebări este uneori ușor, alteori nu. Dar chiar dacă putem răspunde satisfăcător la toate întrebările de acest fel, rămâne o dificultate. Faptul este că atunci când se măsoară lungimea liniei de coastă, busolei i se poate da o soluție corespunzătoare km și numără numărul de pași care ar fi necesari pentru a parcurge hărții de la un capăt la altul pe întreaga coastă.

În grabă, s-ar putea alege o deschidere de busolă atât de mare încât nu ar fi necesar să se îngrijească nici măcar de cele mai adânci fiorduri și să ia valoarea pentru lungimea liniei de coastă. Dacă o astfel de evaluare nu satisface, atunci puteți alege o soluție de busolă puțin mai mică și puteți repeta din nou. De data aceasta lungimea liniei de coastă ar include cele mai adânci fiorduri. Vor fi necesare hărți mai precise pentru a calcula și mai precis lungimea liniei de coastă. Este clar că la rezolvarea unor astfel de întrebări pot fi introduse la nesfârșit rafinamente. Ori de câte ori creștem rezoluția, lungimea liniei de coastă va crește. În plus, atunci când utilizați busola, vor exista probleme cu insulele și râurile. O modalitate alternativă de măsurare a lungimii liniei de coastă este acoperirea hărții cu o grilă, așa cum se arată în partea de sus a figurii 1.9. Fie ca celulele grilei pătrate să aibă dimensiuni. Numărul de astfel de celule necesare pentru a acoperi coasta de pe hartă este aproximativ egal cu numărul de pași în care puteți parcurge linia de coastă pe hartă cu o busolă cu o soluție. Scăderea are ca rezultat o creștere a numărului de celule necesare acoperirii coastei. Dacă linia de coastă a Norvegiei ar avea o lungime bine definită , atunci s-ar putea aștepta ca numărul de pași ai busolei sau numărul de celule pătrate necesare pentru a acoperi coasta de pe hartă să fie invers proporțional cu , iar valoarea pe măsură ce scade, tinde spre o constantă. Cu toate acestea, nu este.

Figura 1.11 reproduce un grafic (date preluate din cartea lui Mandelbrot What Is the Length of the British Coastline?) care arată lungimea aparentă a liniilor de coastă și a granițelor terestre. Toate punctele sunt aliniate (pe o scară dublu logaritmică) de-a lungul liniilor drepte. Panta acestor linii este egală cu 1 - D unde D este dimensiunea fractală a liniei de coastă (sau a graniței terestre). Linia de coastă a Marii Britanii are un D~ 1.3. Mandelbrot oferă și date pentru un cerc și constată că .

Întrebări de control:

1. Care este dimensiunea unui obiect?

2. Ce este o dimensiune topologică?

3. Cum se determină dimensiunea fractală a obiectelor naturale?

4. Care sunt dimensiunile fractale și topologice ale cercului,
cerc, pătrat, sferă și minge?

5. Care este dimensiunea topologică a liniei de coastă?