Școala gimnazială rurală Kopievskaya

10 moduri de rezolvare a ecuațiilor cvadratice

Lider: Patrikeeva Galina Anatolevna,

profesor de matematică

s. Kopyevo, 2007

1. Istoria dezvoltării ecuațiilor patratice

1.1 Ecuații Quadratice în Babilonul Antic

1.2 Cum a compus și rezolvat ecuațiile patratice ale lui Diophantus

1.3 Ecuații Quadratice în India

1.4 Ecuații cvadratice în al-Khorezmi

1.5 Ecuații cvadratice în Europa secolelor XIII - XVII

1.6 Pe teorema Vieta

2. Metode de rezolvare a ecuațiilor cvadratice

Concluzie

Literatură

1. Istoricul dezvoltării ecuațiilor cvadratice

1.1 Ecuații Quadratice în Babilonul Antic

Nevoia de a rezolva ecuații nu numai a primei, ci și a celui de-al doilea grad de antichitate a fost cauzată de necesitatea rezolvării problemelor asociate cu găsirea zonelor de teren și lucrări terestre de natură militară, precum și a dezvoltării în sine a astronomiei și a matematicii. Au fost capabili să rezolve ecuațiile patratice în jurul anului 2000 î.Hr. e. Babilonieni.

Folosind notația algebrică modernă, putem spune că în textele lor cuneiforme, pe lângă cele incomplete, există, de exemplu, ecuații quadratice complete:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Regula pentru soluționarea acestor ecuații stabilite în textele babiloniene este în esență aceeași cu cea modernă, dar nu se știe cum au ajuns babilonienii la această regulă. Aproape toate textele cuneiforme găsite până în prezent cită doar probleme cu soluții prezentate sub formă de rețete, fără indicarea modului în care au fost găsite.

În ciuda nivelului ridicat de dezvoltare a algebrei din Babilon, textele cuneiforme nu au conceptul de număr negativ și metode generale pentru soluționarea ecuațiilor cvadratice.

1.2 Cum a format Diophantus și a rezolvat ecuațiile cvadratice.

În „Aritmetica” lui Diofant nu există o expunere sistematică a algebrei, dar conține o serie sistematică de probleme, însoțită de explicații și rezolvată prin compilarea ecuațiilor de diferite grade.

Atunci când face ecuații, Diophantus selectează cu pricepere necunoscute pentru a simplifica soluția.

Aici, de exemplu, este una dintre sarcinile sale.

Sarcina 11. „Găsiți două numere, știind că suma lor este 20, iar produsul este 96”

Diophantus argumentează după cum urmează: din condițiile problemei rezultă că numerele căutate nu sunt egale, deoarece, dacă ar fi egale, produsul lor nu ar fi 96, ci 100. Astfel, unul dintre ei va fi mai mult de jumătate din suma lor, . 10 + x, celălalt este mai mic, adică. 10 lui. Diferența dintre ele 2x.

De aici ecuația:

(10 + x) (10 - x) \u003d 96

100 - x 2 \u003d 96

x 2 - 4 \u003d 0 (1)

De aici x \u003d 2. Unul dintre numerele căutate este 12 alte 8 . Decizie x \u003d -2 pentru Diophantus nu există, deoarece matematica greacă nu știa decât numere pozitive.

Dacă rezolvăm această problemă alegând unul dintre numerele dorite ca necunoscute, atunci vom ajunge la soluția ecuației

y (20 - y) \u003d 96,

y 2 - 20 y + 96 \u003d 0. (2)

Este clar că, alegând ca necunoscută jumătatea diferenței dintre numerele dorite, Diophantus simplifică soluția; el reușește să reducă problema la rezolvarea ecuației cuadratice incomplete (1).

1.3 Ecuații Quadratice în India

Ecuațiile cvadratice sunt deja întâlnite pe calea astronomică Ariabhattiam, compilate în 499 de matematicianul indian și astronomul Ariabhatta. Un alt om de știință indian, Brahmagupta (secolul VII), a prezentat o regulă generală pentru soluționarea ecuațiilor cvadratice reduse la o singură formă canonică:

ah 2+bx \u003d c, a\u003e 0. (1)

În ecuația (1), coeficienții, cu excepția șipoate fi negativ. Regula Brahmagupta coincide în esență cu a noastră.

În India antică, competițiile publice în soluționarea problemelor dificile erau răspândite. Într-una dintre cărțile antice din India, se spune următoarele despre astfel de competiții: „Pe măsură ce soarele îmbujorează stelele cu strălucirea ei, la fel, o persoană învățată eclipsează gloria altuia în adunările populare, propunând și rezolvând probleme algebrice.” Sarcinile sunt adesea îmbrăcate în formă poetică.

Iată una dintre sarcinile celebrului matematician indian din secolul al XII-lea. Bhaskara.

Sarcina 13

„Maimuțe ale unui pachet frisky și douăsprezece în viță de vie ...

Putere mâncare, distracție Au început să sară, atârnând ...

În piață sunt opt. Câte maimuțe au fost,

În luminișul amuzat. Spune-mi în pachet?

Decizia lui Bhaskara mărturisește faptul că știa despre ambiguitatea rădăcinilor ecuațiilor cvadratice (Fig. 3).

Ecuația corespunzătoare problemei 13:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara scrie sub pretextul:

x 2 - 64x \u003d -768

și, pentru a completa partea stângă a acestei ecuații cu un pătrat, se adaugă în ambele părți 32 2 obtinerea de atunci:

x 2 - 64x + 32 2 \u003d -768 + 1024,

(x - 32) 2 \u003d 256,

x - 32 \u003d ± 16,

x 1 \u003d 16, x 2 \u003d 48.

1.4 Ecuații cvadratice pentru al - Khorezmi

Tratatul algebric al - Khorezmi oferă o clasificare a ecuațiilor liniare și quadratice. Autorul are 6 tipuri de ecuații, exprimându-le astfel:

1) „Pătratele sunt egale prin rădăcini”, adică. ah 2 + c \u003dbx

2) „Pătratele sunt egale cu numărul”, adică. ax 2 \u003d s.

3) „Rădăcinile sunt egale cu numărul”, adică ah \u003d s.

4) „Pătratele și numerele sunt egale cu rădăcinile”, adică. ah 2 + c \u003dbx

5) „Pătratele și rădăcinile sunt egale cu numărul”, adică. ah 2+bx \u003d s.

6) „Rădăcinile și numerele sunt egale cu pătratele”, adică.bx + c \u003d ax 2.

Pentru al - Khorezmi, evitând utilizarea numerelor negative, termenii fiecăreia dintre aceste ecuații sunt termeni, nu scăzuți. În acest caz, ecuațiile care nu au soluții pozitive nu sunt în mod evident luate în considerare. Autorul prezintă modalități de soluționare a acestor ecuații, folosind tehnicile lui al-jabr și al-mukabala. Decizia lui, desigur, nu coincide complet cu a noastră. Ca să nu mai vorbim de faptul că este pur retorică, trebuie menționat, de exemplu, că atunci când se rezolvă o ecuație cuadratică incompletă de primul tip

al - Khorezmi, la fel ca toți matematicienii dinaintea secolului al XVII-lea, nu ține cont de soluția zero, probabil pentru că nu contează în probleme practice concrete. La rezolvarea ecuațiilor quadratice complete, al-Khorezmi, folosind exemple numerice particulare, stabilește regulile de soluție, apoi dovezi geometrice.

Sarcina 14. „Pătratul și numărul 21 sunt egali cu 10 rădăcini. Găsiți rădăcina » (implică rădăcina ecuației x 2 + 21 \u003d 10x).

Decizia autorului merge în felul acesta: împărțiți numărul rădăcinilor în jumătate, obțineți 5, multiplicați 5 singur, scăpați 21 din produs, lăsați 4. Extrageți rădăcina din 4, obțineți 2. Scoateți 2 din 5, obțineți 3, aceasta va fi rădăcina dorită. Sau adăugați 2 la 5, ceea ce dă 7, aceasta este și rădăcina.

Tratatul al - Khorezmi este prima carte care ne-a venit, care stabilește în mod sistematic clasificarea ecuațiilor cvadratice și oferă formule pentru soluția lor.

1.5 Ecuații pătrate în EuropaXIII - XVII cc

Formulele de soluționare a ecuațiilor cvadratice modelate pe al-Khorezmi în Europa au fost expuse pentru prima dată în „Cartea Abacus” scrisă în 1202 de matematicianul italian Leonardo Fibonacci. Această lucrare voluminoasă, care reflectă influența matematicii, atât a țărilor islamice, cât și a Greciei Antice, se distinge prin completitudinea și claritatea prezentării. Autorul a dezvoltat în mod independent câteva noi exemple algebrice de soluționare a problemelor și a fost primul din Europa care a introdus numere negative. Cartea sa a contribuit la răspândirea cunoștințelor algebrice nu numai în Italia, ci și în Germania, Franța și alte țări europene. Multe sarcini din Cartea Abacului au trecut în aproape toate manualele europene din secolele XVI - XVII. și parțial XVIII.

Regula generală pentru soluționarea ecuațiilor cvadratice redusă la o singură formă canonică:

x 2 +bx \u003d s

cu tot felul de combinații de semne ale coeficienților b, cua fost formulat în Europa abia în 1544 de către M. Shtifel.

Derivarea formulei de rezolvare a ecuației patratice în general este disponibilă de la Viet, cu toate acestea, Viet a recunoscut doar rădăcini pozitive. Matematicienii italieni Tartaglia, Cardano, Bombelli printre primii din secolul XVI. Pe lângă rădăcinile pozitive, se iau în considerare rădăcinile negative. Numai în secolul XVII. Datorită activității lui Girard, Descartes, Newton și a altor oameni de știință, metoda de rezolvare a ecuațiilor cvadratice ia o formă modernă.

1.6 Pe teorema Vieta

Teorema care exprimă relația dintre coeficienții ecuației patratice și rădăcinile sale, purtând numele Vieta, a fost formulată pentru prima dată de el în 1591 după cum urmează: „Dacă B + Dori A - A 2 equals Bdapoi Ain aceeasi masura LA și egal D».

Pentru a înțelege Vieta, ar trebui să vă amintiți asta ȘI, ca orice scrisoare vocală, a însemnat necunoscutul (nostru x), vocale LA,D - coeficienții pentru necunoscut. În limbajul algebrei moderne, formularea Vieta de mai sus înseamnă: dacă

(a +b) x - x 2 \u003dab,

x 2 - (a +b) x + ab = 0,

x 1 \u003d a, x 2 \u003db.

Exprimând relația dintre rădăcinile și coeficienții ecuațiilor prin formule generale scrise folosind simboluri, Viet a stabilit uniformitatea în metodele de soluționare a ecuațiilor. Totuși, simbolismul Vieta este încă departe de aspectul modern. El nu a recunoscut numere negative și, prin urmare, la rezolvarea ecuațiilor, a considerat doar cazuri când toate rădăcinile sunt pozitive.

2. Metode de rezolvare a ecuațiilor cvadratice

Ecuațiile pătratice sunt fundamentul pe care se sprijină clădirea magnifică de algebră. Ecuațiile cvadratice sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților trigonometrice, exponențiale, logaritmice, iraționale și transcendentale. Cu toții știm să rezolvăm ecuațiile cvadratice de pe banca școlii (clasa a 8-a), până la absolvire.

Pur şi simplu. Conform formulelor și reguli simple clare. În prima etapă

este necesar să se aducă ecuația dată la forma standard, adică. A vedea:

Dacă ecuația vă este deja dată în această formă - primul pas nu este necesar. Cel mai important lucru este corect

determinați toți coeficienții și, b și c.

Formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații patratice.

Expresia sub semnul rădăcină se numește discriminantă . După cum vedeți, pentru a găsi X, noi

utilizare numai a, b și c. Acestea. coeficienți din ecuația pătratică. Înlocuiți ușor

valorile a, b și c în această formulă și ia în considerare. Înlocuiește cu al lor semne!

de exempluîn ecuație:

și =1; b = 3; c = -4.

Înlocuim valorile și scriem:

Exemplul este aproape rezolvat:

Acesta este răspunsul.

Cele mai frecvente greșeli - confuzia cu semnul valorilor a, bși cu. Mai adevărat, cu o înlocuire

valori negative în formula de calcul a rădăcinilor. Aici salvează o intrare detaliată a formulei

cu numere specifice. Dacă aveți probleme cu calculele, faceți-o!

Să presupunem că trebuie să rezolvăm un astfel de exemplu:

Aici a = -6; b = -5; c = -1

Vopsim totul în detaliu, cu atenție, fără să lipsească nimic cu toate semnele și parantezele:

De multe ori ecuațiile patratice arată ușor diferite. De exemplu, astfel:

Acum, luați notă de tehnicile practice care reduc dramatic numărul de erori.

Prima primire. Nu vă leneși înainte rezolvarea ecuației patratice aduce-l la un aspect standard.

Ce inseamna asta?

Să presupunem că, după toate transformările, obțineți această ecuație:

Nu te grăbi să scrii formula rădăcinilor! Aproape sigur veți amesteca șansele a, b și c.

Construiți exemplul corect. Mai întâi X pătrat, apoi fără pătrat, apoi membru gratuit. Asa:

Scapă de minus. Cum? Este necesară înmulțirea întregii ecuații cu -1. Primim:

Și acum puteți scrie în siguranță formula pentru rădăcini, luați în considerare discriminantul și completați exemplul.

Fă-o singur. Ar trebui să obțineți rădăcini 2 și -1.

Recepția celui de-al doilea. Verificați rădăcinile! De teorema vieta.

Pentru a rezolva ecuațiile patratice date, adică. dacă coeficientul

x 2 + bx + c \u003d 0,

apoi x 1 x 2 \u003d c

x 1 + x 2 \u003d -b

Pentru ecuația completă cvadratică în care a ≠ 1:

x 2 +bx +c=0,

împarte întreaga ecuație cu și:

→ →

unde x 1 și x 2 - rădăcinile ecuației.

A treia primire. Dacă ecuația ta are coeficienți fracționali, scapă de fracții! Multiplica

ecuația numitorului comun.

Concluzie. Sfaturi practice:

1. Înainte de soluție, aducem ecuația cvadratică la forma standard, o construim corect.

2. Dacă există un coeficient negativ în fața pătratului x, îl eliminăm înmulțind totul

ecuații cu -1.

3. Dacă coeficienții sunt fracționali, eliminăm fracțiile înmulțind întreaga ecuație cu cea corespunzătoare

factor.

4. Dacă x pătratul este pur, coeficientul este egal cu unul, soluția poate fi verificată cu ușurință

Formule ale rădăcinilor ecuației cvadratice. Sunt considerate cazuri de rădăcini reale, multiple și complexe. Factorizarea trinomului pătrat. Interpretare geometrică. Exemple de determinare și factorizare a rădăcinii.

Conţinut

Vezi si: Rezolvarea ecuațiilor quadratice online

Formule de bază

Luați în considerare ecuația cvadratică:
(1) .
Rădăcinile ecuației cvadratice (1) sunt determinate de formulele:
; .
Aceste formule pot fi combinate astfel:
.
Când sunt cunoscute rădăcinile ecuației cvadratice, polinomul gradului doi poate fi reprezentat ca un produs al factorilor (factorizat):
.

Mai mult, considerăm că sunt numere reale.
Considera discriminant al ecuației cvadratice:
.
Dacă discriminantul este pozitiv, ecuația cvadratică (1) are două rădăcini reale diferite:
; .
Atunci factorizarea trinomului pătrat are forma:
.
Dacă discriminantul este egal cu zero, atunci ecuația cvadratică (1) are două rădăcini multiple (egale) reale:
.
factorizarea:
.
Dacă discriminantul este negativ, atunci ecuația cvadratică (1) are două rădăcini conjugate complexe:
;
.
Iată unitatea imaginară;
și - părțile reale și imaginare ale rădăcinilor:
; .
Apoi

.

Interpretare grafică

Dacă complotați funcția
,
care este o parabolă, atunci punctele de intersecție ale graficului cu axa vor fi rădăcinile ecuației
.
Când, graficul traversează axa (axa) abscisă în două puncte ().
Când, graficul atinge axa abscisei la un punct ().
Când, graficul nu traversează axa abscisei ().

Formule quadratice utile

(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .

Derivarea formulei pentru rădăcinile ecuației cvadratice

Efectuăm transformările și aplicăm formule (f.1) și (f.3):




,
Unde
; .

Deci, am obținut o formulă pentru un polinom de gradul doi sub forma:
.
Acest lucru arată că ecuația

efectuat când
și.
Adică sunt rădăcinile ecuației patratice
.

Exemple de determinare a rădăcinilor unei ecuații patratice

Exemplul 1

(1.1) .

.
În comparație cu ecuația noastră (1.1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsim discriminatorul:
.
Deoarece discriminantul este pozitiv, ecuația are două rădăcini reale:
;
;
.

De aici obținem factorizarea trinomialului cvadratic:

.

Graficul funcției y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 traversează axa abscisei în două puncte.

Complotăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Traversează axa (axa) abscisă în două puncte:
și.
Aceste puncte sunt rădăcinile ecuației inițiale (1.1).

;
;
.

Exemplul 2

Găsiți rădăcinile ecuației cvadratice:
(2.1) .

Scriem ecuația cvadratică în formă generală:
.
În comparație cu ecuația inițială (2.1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsim discriminatorul:
.
Deoarece discriminantul este egal cu zero, ecuația are două rădăcini multiple (egale):
;
.

Atunci factorizarea trinomului are forma:
.

Graficul funcției y \u003d x 2 - 4 x + 4 atinge axa abscisa la un moment dat.

Complotăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Atinge axa (axa) abscisă la un moment dat:
.
Acest punct este rădăcina ecuației inițiale (2.1). Deoarece această rădăcină este inclusă în factorizare de două ori:
,
atunci o astfel de rădăcină se numește multiplu. Adică ei cred că există două rădăcini egale:
.

;
.

Exemplul 3

Găsiți rădăcinile ecuației cvadratice:
(3.1) .

Scriem ecuația cvadratică în formă generală:
(1) .
Rescriem ecuația inițială (3.1):
.
În comparație cu (1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsim discriminatorul:
.
Discriminantul este negativ. Prin urmare, nu există rădăcini reale.

Puteți găsi rădăcini complexe:
;
;
.

Apoi


.

Graficul funcțional nu traversează axa abscisei. Nu există rădăcini valabile.

Complotăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Nu traversează axa (axa) abscisă. Prin urmare, nu există rădăcini reale.

Nu există rădăcini valabile. Rădăcinile sunt complexe:
;
;
.

Vezi si:

Soluția ecuațiilor prin metoda de "transfer"

Luați în considerare ecuația cvadratică

ax 2 + bx + c \u003d 0, unde a? 0.

Înmulțind ambele părți cu un, obținem ecuația

a 2 x 2 + abh + ac \u003d 0.

Fie ax \u003d y, de unde x \u003d y / a; atunci ajungem la ecuație

y 2 + cu + ac \u003d 0,

echivalează cu asta. Îi găsim rădăcinile în 1 și 2 folosind teorema Vieta.

În final, obținem x 1 \u003d y 1 / a și x 1 \u003d y 2 / a. În această metodă, coeficientul a este înmulțit cu termenul liber, așa cum ar fi fost, „este transferat” acestuia, de aceea este denumit metoda „transfer”. Această metodă este folosită atunci când este ușor de găsit rădăcinile ecuației folosind teorema Vieta și, cel mai important, când discriminantul este un pătrat exact.

* Exemplu.

Rezolvăm ecuația 2x 2 - 11x + 15 \u003d 0.

Decizie. Coeficientul de „transfer” 2 la termenul liber, ca urmare obținem ecuația

y 2 - 11y + 30 \u003d 0.

Conform teoremei Vieta

y 1 \u003d 5 x 1 \u003d 5/2 x 1 \u003d 2,5

y 2 \u003d 6 x 2 \u003d 6/2 x 2 \u003d 3.

Răspuns: 2,5; 3.

Proprietățile coeficienților ecuației cvadratice

ȘI. Să fie dată ecuația patratică ax 2 + bx + c \u003d 0, unde a? 0.

1) Dacă, a + b + c \u003d 0 (adică, suma coeficienților este zero), atunci x 1 \u003d 1,

Dovada. Împărțiți ambele părți ale ecuației la a? 0, obținem ecuația patratică redusă

x 2 + b / a * x + c / a \u003d 0.

Conform teoremei Vieta

x 1 + x 2 \u003d - b / a,

x 1 x 2 \u003d 1 * c / a.

Prin presupunere, a - b + c \u003d 0, de unde b \u003d a + c. În acest fel,

x 1 + x 2 \u003d - a + b / a \u003d -1 - c / a,

x 1 x 2 \u003d - 1 * (- c / a),

acestea. x 1 \u003d -1 și x 2 \u003d c / a, ceea ce m-a trebuit să demonstreze.

• * Exemple.
• 1) Rezolvăm ecuația 345x2 - 137x - 208 \u003d 0.

Decizie. Deoarece a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), atunci

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d -208/345.

Raspunsul 1; -208/345.

2) Rezolvăm ecuația 132x2 - 247x + 115 \u003d 0.

Decizie. Deoarece a + b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), atunci

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 115/132.

Raspunsul 1; 115/132.

B. Dacă al doilea coeficient b \u003d 2k este un număr egal, atunci formula rădăcină

* Exemplu.

Rezolvăm ecuația 3x2 - 14x + 16 \u003d 0.

Decizie. Avem: a \u003d 3, b \u003d - 14, c \u003d 16, k \u003d - 7;

Ecuațiile cvadratice sunt studiate în clasa a VIII-a, deci nu este nimic complicat aici. Abilitatea de a le rezolva este absolut necesară.

O ecuație patratică este o ecuație a formei ax 2 + bx + c \u003d 0, unde coeficienții a, b și c sunt numere arbitrare și a a 0.

Înainte de a studia metodele de soluție specifice, observăm că toate ecuațiile cvadratice pot fi împărțite condiționat în trei clase:

1. Nu au rădăcini;
2. Au exact o rădăcină;
3. Au două rădăcini diferite.

Aceasta este o diferență importantă între ecuațiile patratice și liniare, unde rădăcina există întotdeauna și este unică. Cum să determinați câte rădăcini are o ecuație? Există un lucru minunat pentru asta - discriminantă.

discriminantă

Să fie dată ecuația cuadratică ax 2 + bx + c \u003d 0 Atunci discriminantul este pur și simplu numărul D \u003d b 2 - 4ac.

Această formulă trebuie cunoscută de inimă. De unde provine acum nu are importanță. Un alt lucru este important: prin semnul discriminantului puteți determina câte rădăcini are ecuația cvadratică. Și anume:

1. Dacă D< 0, корней нет;
2. Dacă D \u003d 0, există exact o rădăcină;
3. Dacă D\u003e 0, vor exista două rădăcini.

Vă rugăm să rețineți: discriminantul indică numărul de rădăcini și deloc semnele lor, deoarece, din anumite motive, mulți cred. Aruncați o privire la exemple și veți înțelege totul singur:

Sarcină. Câte rădăcini au ecuații cvadratice:

1. x 2 - 8x + 12 \u003d 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 \u003d 0;
3. x 2 - 6x + 9 \u003d 0.

Scriem coeficienții pentru prima ecuație și găsim discriminantul:
a \u003d 1, b \u003d −8, c \u003d 12;
D \u003d (−8) 2 - 4 · 1 · 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16

Deci, discriminantul este pozitiv, deci ecuația are două rădăcini diferite. În mod similar, analizăm a doua ecuație:
a \u003d 5; b este 3; c \u003d 7;
D \u003d 3 2 - 4 · 5 · 7 \u003d 9 - 140 \u003d −131.

Discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Ultima ecuație rămâne:
a \u003d 1; b \u003d −6; c \u003d 9;
D \u003d (−6) 2 - 4 · 1 · 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0.

Discriminantul este zero - rădăcina va fi una.

Rețineți că au fost scrise coeficienții pentru fiecare ecuație. Da, este mult timp, da, este plictisitor - dar nu veți greși coeficienții și nu faceți greșeli stupide. Alegeți pentru tine: viteză sau calitate.

Apropo, dacă „puneți mâna în el”, după un timp, nu va mai trebui să scrieți toate șansele. Vei efectua astfel de operații în capul tău. Majoritatea oamenilor încep să facă asta undeva după 50-70 de ecuații rezolvate - în general, nu atât.

Rădăcinile ecuației cvadratice

Acum să trecem la soluție. Dacă discriminantul este D\u003e 0, rădăcinile pot fi găsite prin formulele:

Formula de bază a rădăcinilor ecuației patratice

Când D \u003d 0, puteți utiliza oricare dintre aceste formule - primiți același număr, care va fi răspunsul. În cele din urmă, dacă D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 \u003d 0;
2. 15 - 2x - x 2 \u003d 0;
3. x 2 + 12x + 36 \u003d 0.

Prima ecuație:
x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; b \u003d −2; c \u003d −3;
D \u003d (−2) 2 - 4 · 1 · (−3) \u003d 16.

D\u003e 0 ⇒ ecuația are două rădăcini. Gaseste-i:

A doua ecuație:
15 - 2x - x 2 \u003d 0 ⇒ a \u003d −1; b \u003d −2; c este 15;
D \u003d (−2) 2 - 4 · (−1) · 15 \u003d 64.

D\u003e 0 ⇒ ecuația are din nou două rădăcini. Gaseste-i

\\ [\\ begin (align) & (x) _ (1)) \u003d \\ frac (2+ \\ sqrt (64)) (2 \\ cdot \\ left (-1 \\ right)) \u003d - 5; \\\\ & ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (2- \\ sqrt (64)) (2 \\ cdot \\ left (-1 \\ right)) \u003d 3. \\\\ \\ end (aliniere) \\]

În cele din urmă, a treia ecuație:
x 2 + 12x + 36 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; b este 12; c \u003d 36;
D \u003d 12 2 - 4 · 1 · 36 \u003d 0.

D \u003d 0 ⇒ ecuația are o rădăcină. Puteți utiliza orice formulă. De exemplu, primul:

După cum puteți vedea din exemple, totul este foarte simplu. Dacă știți formulele și puteți număra, nu vor fi probleme. Cel mai adesea, erorile apar atunci când se înlocuiesc coeficienții negativi din formulă. Și din nou, tehnica descrisă mai sus va ajuta: priviți formula în mod literal, scrieți fiecare pas - și curând scăpați de erori.

Ecuații quadratice incomplete

Se întâmplă că ecuația cvadratică este oarecum diferită de cea dată în definiție. De exemplu:

1. x 2 + 9x \u003d 0;
2. x 2 - 16 \u003d 0.

Este ușor de observat că unul dintre termeni este absent în aceste ecuații. Astfel de ecuații cvadratice sunt chiar mai ușor de rezolvat decât cele standard: nici nu trebuie să ia în considerare discriminantul. Deci, introducem un concept nou:

Axa ecuației 2 + bx + c \u003d 0 se numește ecuație cuadratică incompletă dacă b \u003d 0 sau c \u003d 0, adică. coeficientul variabilei x sau elementul liber este zero.

Desigur, un caz foarte dificil este posibil atunci când ambii acești coeficienți sunt zero: b \u003d c \u003d 0. În acest caz, ecuația ia forma ax 2 \u003d 0. Evident, o astfel de ecuație are o singură rădăcină: x \u003d 0.

Luați în considerare cazurile rămase. Fie b \u003d 0, atunci obținem o ecuație cuadratică incompletă a formei ax 2 + c \u003d 0. O transformăm ușor:

Deoarece rădăcina pătrată aritmetică există numai dintr-un număr non-negativ, ultima egalitate are sens doar pentru (−c / a) ≥ 0. Concluzie:

1. Dacă inegalitatea (−c / a) ≥ 0 se menține într-o ecuație cuadratică incompletă a axei formei 2 + c \u003d 0, atunci vor exista două rădăcini. Formula este dată mai sus;
2. Dacă (−c / a)< 0, корней нет.

După cum vedeți, nu a fost necesară nicio discriminare - în ecuațiile cuadratice incomplete nu există deloc calcule complicate. De fapt, nici nu este necesar să ne amintim inegalitatea (−c / a) ≥ 0. Este suficient să exprimăm valoarea x 2 și să vedem ce se află în cealaltă parte a semnului egal. Dacă există un număr pozitiv, vor exista două rădăcini. Dacă sunt negative, nu vor exista rădăcini deloc.

Acum vom trata ecuațiile formei ax 2 + bx \u003d 0, în care elementul liber este egal cu zero. Totul este simplu aici: vor exista întotdeauna două rădăcini. Este suficient să factorăm polinomul:

Bracketing factorul comun

Produsul este zero când cel puțin unul dintre factori este zero. De aici sunt rădăcinile. În concluzie, analizăm mai multe astfel de ecuații:

Sarcină. Rezolva ecuații patratice:

1. x 2 - 7x \u003d 0;
2. 5x 2 + 30 \u003d 0;
3. 4x 2 - 9 \u003d 0.

x 2 - 7x \u003d 0 ⇒ x · (x - 7) \u003d 0 ⇒ x 1 \u003d 0; x 2 \u003d - (- 7) / 1 \u003d 7.

5x 2 + 30 \u003d 0 ⇒ 5x 2 \u003d −30 ⇒ x 2 \u003d −6. Nu există rădăcini, pentru că pătratul nu poate fi egal cu un număr negativ.

4x 2 - 9 \u003d 0 ⇒ 4x 2 \u003d 9 ⇒ x 2 \u003d 9/4 ⇒ x 1 \u003d 3/2 \u003d 1,5; x 2 \u003d −1,5.