Aplicații fizice ale unei anumite mase integrale. Aplicații ale unei anumite integrale. Suprafața de rotație

18.11.2019

O integrală definită (OI) este utilizată pe scară largă în aplicațiile practice ale matematicii și fizicii.

În special, în geometrie, folosind OI, găsesc zonele unor figuri simple și suprafețe complexe, volume de corpuri de revoluție și corpuri de formă arbitrară, lungimi ale curbelor pe plan și în spațiu.

În fizică și mecanică teoretică, OI sunt utilizate pentru a calcula momente statice, mase și centre de masă a curbelor și suprafețelor materialului, pentru a calcula munca unei forțe variabile de-a lungul unei căi curbate etc.

Zona unei figuri plane

Lăsați o cifră plană din sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian $ xOy $ să fie delimitată deasupra curbei $ y \u003d y_ (1) \\ stânga (x \\ dreapta) $, iar dedesubtul ei de o curbă $ y \u003d y_ (2) \\ stânga (x \\ dreapta) $ , și stânga și dreapta prin linii verticale $ x \u003d a $ și respectiv $ x \u003d b $. În cazul general, aria unei astfel de cifre este exprimată folosind OI $ S \u003d \\ int \\ limite _ (a) ^ (b) \\ stânga (y_ (1) \\ stânga (x \\ dreapta) -y_ (2) \\ stânga (x \\ dreapta ) \\ right) \\ cdot dx $.

Dacă o figură plană din sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian $ xOy $ din dreapta este delimitată de curba $ x \u003d x_ (1) \\ stânga (y \\ dreapta) $, în stânga de curba $ x \u003d x_ (2) \\ stânga (y \\ dreapta) $, iar liniile orizontale de jos și de sus $ y \u003d c $ și $ y \u003d d $, respectiv, zona unei astfel de cifre este exprimată folosind OI $ S \u003d \\ int \\ limite _ (c) ^ (d) \\ stânga (x_ (1) ) \\ left (y \\ right) -x_ (2) \\ left (y \\ right) \\ right) \\ cdot dy $.

Fie ca o figură plană (sector curbat), considerată în sistemul de coordonate polare, să fie formată dintr-un grafic al funcției continue $ \\ rho \u003d \\ rho \\ stânga (\\ phi \\ right) $, precum și de două raze care trec în unghi $ \\ phi \u003d \\ alpha $ și $ \\ phi \u003d \\ beta $ respectiv. Formula pentru calcularea ariei unui astfel de sector curbat este: $ S \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot \\ int \\ limite _ (\\ alpha) ^ (\\ beta) \\ rho ^ (2) \\ left (\\ phi \\ right ) \\ cdot d \\ phi $.

Lungimea arcului curb

Dacă pe segmentul $ \\ stânga [\\ alpha, \\; \\ beta \\ right] $ curba este dată de ecuația $ \\ rho \u003d \\ rho \\ left (\\ phi \\ right) $ în sistemul de coordonate polare, apoi lungimea arcului său este calculată folosind OI $ L \u003d \\ int \\ limite _ (\\ alpha) ^ (\\ beta) \\ sqrt (\\ rho ^ (2) \\ left (\\ phi \\ right) + \\ rho "^ (2) \\ left (\\ phi \\ right)) \\ cdot d \\ phi $.

Dacă curba este definită de ecuația $ y \u003d y \\ left (x \\ right) $ pe segmentul $ \\ left $, atunci lungimea arcului său este calculată folosind OI $ L \u003d \\ int \\ limitele _ (a) ^ (b) \\ sqrt (1 + y "^ (2) \\ stânga (x \\ dreapta)) \\ cdot dx $.

Dacă pe segmentul $ \\ stânga [\\ alpha, \\; \\ beta \\ right] $ curba este setată parametric, adică $ x \u003d x \\ left (t \\ right) $, $ y \u003d y \\ left (t \\ right) $, apoi lungimea arcului său este calculată folosind OI $ L \u003d \\ Calculul volumului corpului pe zone ale secțiunilor paralele

Să fie necesar să găsim volumul unui corp spațial ale cărui coordonate ale punctelor îndeplinesc condițiile $ a \\ le x \\ le b $ și pentru care sunt cunoscute zonele secțiunii transversale de $ S \\ stânga (x \\ dreapta) $ pe planuri perpendiculare pe axa $ Ox $.

Formula pentru calculul volumului unui astfel de corp are forma $ V \u003d \\ int \\ limite _ (a) ^ (b) S \\ stânga (x \\ dreapta) \\ cdot dx $.

Rotirea volumului corpului

Fie o funcție continuă non-negativă $ y \u003d y \\ left (x \\ right) $ pe segmentul $ \\ left $, formând un trapez curvilin (KrT). Dacă rotiți acest KrT în jurul axei $ Ox $, atunci se formează un corp, numit corp de revoluție.

Calcularea volumului unui corp de revoluție este un caz special de calcul al volumului unui corp din zone cunoscute ale secțiunilor sale paralele. Formula corespunzătoare are forma $ V \u003d \\ int \\ limite _ (a) ^ (b) S \\ stânga (x \\ dreapta) \\ cdot dx \u003d \\ pi \\ cdot \\ int \\ limite _ (a) ^ (b) y ^ ( 2) \\ stânga (x \\ dreapta) \\ cdot dx $.

Lăsați o cifră plană din sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian $ xOy $ să fie delimitată deasupra curbei $ y \u003d y_ (1) \\ stânga (x \\ dreapta) $, iar dedesubtul ei de o curbă $ y \u003d y_ (2) \\ stânga (x \\ dreapta) $ , unde $ y_ (1) \\ stânga (x \\ dreapta) $ și $ y_ (2) \\ stânga (x \\ dreapta) $ sunt funcții continue ne negative, iar liniile verticale stânga și dreapta $ x \u003d a $ și $ x \u003d respectiv b $. Apoi, volumul corpului format prin rotirea acestei cifre în jurul axei $ Ox $ este exprimat ca OI $ V \u003d \\ pi \\ cdot \\ int \\ limite _ (a) ^ (b) \\ stânga (y_ (1) ^ (2) \\ stânga (x \\ right) -y_ (2) ^ (2) \\ left (x \\ right) \\ right) \\ cdot dx $.

Lăsați o figură plană din sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian $ xOy $ din dreapta să fie delimitată de curba $ x \u003d x_ (1) \\ stânga (y \\ dreapta) $, în stânga de curba $ x \u003d x_ (2) \\ stânga (y \\ dreapta) $ , unde $ x_ (1) \\ left (y \\ right) $ și $ x_ (2) \\ left (y \\ right) $ sunt funcții continue ne-negative, iar dedesubt și de sus prin linii orizontale $ y \u003d c $ și $ y \u003d d $ respectiv. Atunci volumul corpului format prin rotirea acestei cifre în jurul axei $ Oy $ este exprimat ca OI $ V \u003d \\ pi \\ cdot \\ int \\ limite _ (c) ^ (d) \\ stânga (x_ (1) ^ (2) \\ stânga (y \\ right) -x_ (2) ^ (2) \\ left (y \\ right) \\ right) \\ cdot dy $.

Suprafața corpului de revoluție

{!LANG-0f654f7c3be00952d20d4a66e3ebd34a!}

Lasă funcția non-negativă $ y \u003d y \\ left (x \\ right) $ cu derivatul continuu $ y "\\ left (x \\ right) $ pe segmentul $ \\ left $. Această funcție formează KrT. Dacă rotim acest KrT în jurul axei $ Ox $, atunci el însuși formează un corp de revoluție, iar arcul KrT își formează suprafața. Suprafața unui astfel de corp de revoluție este exprimată prin formula $ Q \u003d 2 \\ cdot \\ pi \\ cdot \\ int \\ limite _ (a) ^ (b) y \\ stânga ( x \\ right) \\ cdot \\ sqrt (1 + y "^ (2) \\ stânga (x \\ right)) \\ cdot dx $.

Să presupunem că curba $ x \u003d \\ phi \\ left (y \\ right) $, unde $ \\ phi \\ left (y \\ right) $ este funcția non-negativă definită pe segmentul $ c \\ le y \\ le d $, rotiți în jurul axei $ Oy $. În acest caz, suprafața corpului de revoluție format este exprimată ca OI $ Q \u003d 2 \\ cdot \\ pi \\ cdot \\ int \\ limite _ (c) ^ (d) \\ phi \\ stânga (y \\ dreapta) \\ cdot \\ sqrt (1+ \\ phi "^ (2) \\ stânga (y \\ dreapta)) \\ cdot dy $.

Aplicații fizice OI

Pentru a calcula distanța parcursă la timp $ t \u003d T $ cu o viteză variabilă de mișcare $ v \u003d v \\ stânga (t \\ dreapta) $ a punctului material care a început să se miște la timp $ t \u003d t_ (0) $, utilizați OI $ S \u003d \\ int \\ limite _ (t_ (0)) ^ (T) v \\ stânga (t \\ dreapta) \\ cdot dt $.
Pentru a calcula munca variabilei sily $ F \u003d F \\ stânga (x \\ right) $, aplicată unui punct material care se deplasează de-a lungul unei linii drepte de-a lungul axei $ Ox $ de la punctul $ x \u003d a $ până la punctul $ x \u003d b $ (direcția forței coincide cu direcția de mișcare) folosiți OI $ A \u003d \\ int \\ limite _ (a) ^ (b) F \\ stânga (x \\ dreapta) \\ cdot dx $.
Momentele statice în raport cu axele de coordonate ale curbei materialului $ y \u003d y \\ stânga (x \\ right) $ pe intervalul $ \\ left $ sunt exprimate prin formulele $ M_ (x) \u003d \\ rho \\ cdot \\ int \\ limitele _ (a) ^ (b) y \\ left (x \\ right) \\ cdot \\ sqrt (1 + y "^ (2) \\ left (x \\ right)) \\ cdot dx $ și $ M_ (y) \u003d \\ rho \\ cdot \\ int \\ limite _ (a ) ^ (b) x \\ cdot \\ sqrt (1 + y "^ (2) \\ stânga (x \\ right)) \\ cdot dx $, unde densitatea liniară $ \\ rho $ a acestei curbe este considerată constantă.
Centrul de masă al curbei materialului este punctul în care întreaga sa masă este convențională concentrată astfel încât momentele statice ale punctului în raport cu axele de coordonate să fie egale cu momentele statice corespunzătoare ale întregii curbe în ansamblu.

Formulele pentru calculul coordonatelor centrului de masă al unei curbe plane sunt de forma $ x_ (C) \u003d \\ frac (\\ int \\ limite _ (a) ^ (b) x \\ cdot \\ sqrt (1 + y "^ (2) \\ stânga (x \\ \u003d \\ frac (\\ int \\ limite _ (a) ^ (b) y \\ left (x \\ right) \\ cdot \\ sqrt (1 + y "^ (2) \\ left (x \\ right)) \\ cdot dx) ( \\ int \\ limite _ (a) ^ (b) \\ sqrt (1 + y "^ (2) \\ stânga (x \\ dreapta)) \\ cdot dx) $.

Momentele statice ale unei figuri de plan material sub forma KrT în raport cu axele coordonatelor sunt exprimate de formulele $ M_ (x) \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot \\ rho \\ cdot \\ int \\ limitele _ (a) ^ (b) y ^ (2) \\ left (x \\ right) \\ cdot dx $ și $ M_ (y) \u003d \\ rho \\ cdot \\ int \\ limite _ (a) ^ (b) x \\ cdot y \\ left (x \\ right) \\ cdot dx $.
Coordonatele centrului de masă al unei figuri de plan material sub forma CrT formată de curba $ y \u003d y \\ stânga (x \\ right) $ pe intervalul $ \\ left $ se calculează folosind formulele $ x_ (C) \u003d \\ frac (\\ int \\ limite _ (a ) ^ (b) x \\ cdot y \\ left (x \\ right) \\ cdot dx) (\\ int \\ limite _ (a) ^ (b) y \\ left (x \\ right) \\ cdot dx) $ și $ y_ ( C) \u003d \\ frac (\\ frac (1) (2) \\ cdot \\ int \\ limite _ (a) ^ (b) y ^ (2) \\ stânga (x \\ dreapta) \\ cdot dx) (\\ int \\ limite _ (a) ^ (b) y \\ stânga (x \\ right) \\ cdot dx) $.

41.1. Scheme de aplicare a unei integrale definitive

Să se ceară să se găsească valoarea unor cantități geometrice sau fizice A (aria figurii, volumul corpului, presiunea lichidului pe placa verticală etc.) asociate cu segmentul modificării variabilei independente x. Se presupune că această cantitate A este aditivă, adică astfel încât la compartimentarea intervalului [a; b] un punct cu є (a; b) din partea [a; s] și [s; b] valoarea lui A corespunzând întregului segment [a; b] este egală cu suma valorilor sale corespunzătoare [a; s] și [s; b].

Pentru a găsi această valoare a lui A, una dintre cele două scheme poate fi ghidată: schema I (sau metoda sumelor integrale) și schema II (sau metoda diferențială).

Prima schemă se bazează pe definirea unei integrale definite.

1. Cu punctele x 0 \u003d a, x 1, ..., x n \u003d b împarte segmentul [a; b] în n părți. În conformitate cu aceasta, cantitatea A de interes pentru noi va fi împărțită în n „termeni elementari” ΔAi (i \u003d 1, ..., n): A \u003d ΔA 1 + ΔA 2 + ... + ΔA n.

2. Reprezentați fiecare „termen elementar” sub forma unui produs cu o anumită funcție (determinată din condițiile problemei) calculată într-un punct arbitrar al segmentului corespunzător prin lungimea acestuia: ΔA i ≈ ƒ (c i) Δx i.

Când se găsește valoarea aproximativă ΔA i, sunt admisibile unele simplificări: un arc dintr-o zonă mică poate fi înlocuit cu o coardă care își strânge capetele; viteza variabilă într-o zonă mică poate fi considerată aproximativ constantă, etc.

Obținem valoarea aproximativă a A sub forma unei sume integrale:

3. Cantitatea căutată A este egală cu limita sumei integrale, adică:

„Metoda sumei” indicată, după cum vedem, se bazează pe reprezentarea integralei ca suma unui număr infinit de mare de termeni infinitesimali.

Schema I a fost aplicată pentru a clarifica sensul geometric și fizic al unei anumite integrale.

A doua schemă este o schemă I oarecum modificată și se numește „metoda diferențială” sau „metoda de eliminare a ordinelor infinitezimale superioare”:

1) pe segmentul [a; b], alegeți o valoare arbitrară a lui x și luați în considerare segmentul variabil [a; x]. La acest interval, cantitatea A devine o funcție a x: A \u003d A (x), adică presupunem că o parte din cantitatea căutată A este o funcție necunoscută A (x), unde x є este unul dintre parametrii cantității A;

2) găsim partea principală a incrementului ΔA atunci când x se schimbă cu o cantitate mică Δx \u003d dx, adică găsim diferențialul dA al funcției A \u003d A (x): dA \u003d ƒ (x) dx, unde ƒ (x), determinată din problemă , funcția variabilei x (aici sunt posibile diferite simplificări);

3) presupunând că dA ≈ ΔА ca Δх → 0, găsim valoarea dorită prin integrarea dA în domeniul de la a la b:

41.2. Calcularea suprafețelor cifrelor plane

Coordonate dreptunghiulare

Așa cum s-a stabilit deja (a se vedea „sensul geometric al unei anumite integrale”), aria unui trapez curbat situat „deasupra” axei abscisei (ƒ (x) ≥ 0) este egală cu integrală corespunzătoare:

Formula (41.1) este obținută prin aplicarea schemei I, metoda sumei. Justificăm formula (41.1) folosind schema II. Fie ca trapezoidul curb să fie delimitat de liniile y \u003d ƒ (x) ≥ 0, x \u003d a, x \u003d b, y \u003d 0 (vezi Fig. 174).

Pentru a găsi zona S a acestui trapez, efectuăm următoarele operații:

1. Ia un arbitrar x Î [a; b] și presupunem că S \u003d S (x).

2. Dăm argumentul x incrementul Δx \u003d dx (x + Δx є [a; b]). Funcția S \u003d S (x) va primi creșterea ΔS, care este zona „trapezului curvilin elementar” (este evidențiată în figură).

Diferențialul zonei dS este partea principală a incrementului ΔS la Δх → 0 și, evident, este egal cu aria dreptunghiului cu baza dx și înălțimea y: dS \u003d y dx.

3. Integrând egalitatea rezultată în intervalul de la x \u003d a la x \u003d b, obținem

Rețineți că, dacă trapezul curbat este situat „sub” axa Ox (ƒ (x)< 0), то ее площадь может быть найдена по формуле

Formulele (41.1) și (41.2) pot fi combinate într-unul:

Zona figurii delimitate de curbele y \u003d fι (x) și y \u003d ƒr (x), prin liniile drepte x \u003d a și x \u003d b (cu condiția ƒ 2 (x) ≥ ƒ 1 (x)) (vezi Fig. 175) poate fi găsită prin formulă

Dacă o figură plană are o formă „complexă” (vezi fig. 176), atunci prin linii drepte paralele cu axa Oy, aceasta trebuie împărțită în părți, astfel încât să poată fi aplicate formule deja cunoscute.

Dacă trapezoidul curvilin este delimitat de liniile drepte y \u003d c și y \u003d d, axa Oy și curba continuă x \u003d φ (y) ≥ 0 (vezi fig. 177), atunci zona sa este găsită după formula

Și în final, dacă trapezul curbat este delimitat de o curbă definită parametric

drepte x \u003d aih \u003d b și axa Ox, atunci zona sa este găsită după formulă

unde a și β sunt determinate din egalitățile x (a) \u003d a și x (β) \u003d b.

Exemplul 41.1. Găsiți zona figurii delimitate de axa Ox și graficul funcției y \u003d x 2 - 2x pentru x є.

Soluție: Figura are forma prezentată în Figura 178. Găsim aria sa S:

Exemplul 41.2. Calculați aria figurii delimitate de elipsa x \u003d a cos t, y \u003d b sin t.

Soluție: Mai întâi găsim 1/4 din suprafața S. Aici x variază de la 0 la a, prin urmare, t variază de la 0 (vezi Fig. 179). Găsim:

În felul acesta. Prin urmare, S \u003d π aV.

Coordonatele polare

Găsim aria S a sectorului curbat, adică o figură plană delimitată de o linie continuă r \u003d r (φ) și două raze φ \u003d a și φ \u003d β (a< β), где r и φ - полярные координаты (см. рис. 180). Для решения задачи используем схему II - metodă diferențială.

1. Vom considera o parte a zonei dorite S ca funcție a unghiului φ, adică S \u003d S (φ), unde ≤ φ ≤ β (dacă φ \u003d a, atunci S (a) \u003d 0, dacă φ \u003d β, atunci S (β) \u003d S).

2. Dacă unghiul polar curent φ primește o creștere Δφ \u003d dφ, atunci creșterea zonei AS este egală cu aria OAB „sectorului curb elementar”.

Diferențialul dS este partea principală a incrementului ΔS la dφ → 0 și este egală cu aria sectorului circular O AC (este umbrit în figură) de raza r cu un unghi central dφ. prin urmare

3. Integrând egalitatea rezultată în intervalul de la φ \u003d a la φ \u003d β, obținem zona dorită

Exemplul 41.3. Găsiți zona figurii delimitate de „trandafirul cu trei petale” r \u003d acos3φ (a se vedea Fig. 181).

Soluție: întâi găsim suprafața a jumătății unei petale de trandafir, adică 1/6 din suprafața totală a figurii:

adică, prin urmare,

Dacă o figură plană are o formă „complexă”, atunci de razele care ies din stâlp, aceasta trebuie împărțită în sectoare curbe, la care să se aplice formula rezultată pentru a găsi zona. Deci, pentru figura descrisă în figura 182, avem:

41.3. Calcularea lungimii arcului unei curbe plane

Coordonate dreptunghiulare

Fie curba planului AB să fie dată în coordonate dreptunghiulare, a cărei ecuație este y \u003d ƒ (x), unde a≤x≤ b.

Prin lungimea arcului AB se înțelege limita la care tinde lungimea liniei rupte înscrise în acest arc, când numărul de legături ale liniei rupte crește nelimitat, iar lungimea celei mai mari legături tinde spre zero. Arătăm că dacă funcția y \u003d ƒ (x) și derivata ei y "\u003d ƒ" (x) sunt continue pe intervalul [a; b], atunci curba AB are o lungime egală cu

Aplicăm schema I (metoda sumei).

1. Puncte x 0 \u003d a, x 1 ..., x n \u003d b (x 0< x 1 < ...< х n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пустьэтим точкам соответствуют точки М 0 = А, M 1 ,...,M n =В накривой АВ. Проведем хорды М 0 M 1 , M 1 M 2 ,..., М n-1 М n , длины которых обозначим соответственно через ΔL 1 , AL 2 ,..., ΔL n . Получим ломаную M 0 M 1 M 2 ... M n-ι M n , длина которой равна L n =ΔL 1 + ΔL 2 +...+ ΔL n =

2. Lungimea coardei (sau a legăturii sparte) ΔL 1 poate fi găsită prin teorema pitagoreică dintr-un triunghi cu picioare Δx i și Δу i:

Prin teorema Lagrange privind incrementul finit al funcției Δу i \u003d ƒ "(с i) Δх i, unde ci є (x i-1; x i). Prin urmare

iar lungimea întregii polilini M 0 M 1 ... M n este

3.Dlina l curba AB, prin definiție, este egală cu

Rețineți că pentru ΔL i → 0 de asemenea Δx i → 0 ΔLi \u003d și prin urmare | Δx i |<ΔL i).

funcție continuu pe segment [a; b], deoarece, prin ipoteză, funcția ƒ "(x) este continuă. Prin urmare, există o limită a sumei integrale (41,4) când max maxx i → 0 :

În acest fel sau notare prescurtată l =

Dacă ecuația de curbă AB este dată în formă parametrică

unde x (t) și y (t) sunt funcții continue cu derivate continue și x (a) \u003d a, x (β) \u003d b, atunci lungimea l curba AB se găsește după formulă

Formula (41.5) poate fi obținută din formula (41.3) prin substituirea x \u003d x (t), dx \u003d x "(t) dt,

Exemplul 41.4. Găsiți circumferința unei raze R.

Soluție: Găsiți 1/4 din lungimea sa de la punctul (0; R) până la punctul (R; 0) (a se vedea Fig. 184). deoarece

prin urmare, l \u003d 2π R. Dacă ecuația cercului este scrisă în forma parametrică x \u003d Rcost, y \u003d Rsint (0≤t≤2π), atunci

Calculul lungimii arcului se poate baza pe aplicarea metodei diferențiale. Arătăm cum se poate obține formula (41.3) prin aplicarea schemei II (metoda diferențială).

1. Ia o valoare arbitrară x є [a; b] și luați în considerare un segment variabil [a; x]. Mărimea de pe ea l devine o funcție a lui x, adică l = l(x) ( l(a) \u003d 0 și l(b) \u003d l).

2. Găsiți diferențialul dl funcțiile l = l(x) când x se schimbă cu o cantitate mică Δx \u003d dx: dl = l"(x) dx. Găsiți l"(x), înlocuind arcul infinit MN cu coarda Δ lunind acest arc (vezi fig. 185):

3. Integrând dl în domeniul de la a la b, obținem

egalitate numită formula diferențială a arcului în coordonate dreptunghiulare.

Deoarece y "x \u003d -dy / dx, atunci

Ultima formulă este teorema lui Pitagore pentru un triunghi MCT infinit de mic (vezi Fig. 186).

Coordonatele polare

Fie curba AB să fie dată de ecuația în coordonatele polare r \u003d r (φ) și ≤φ≤β. Să presupunem că r (φ) și r "(φ) sunt continue pe intervalul [a; β].

Dacă în egalitățile x \u003d rcosφ, y \u003d rsinφ, conectând coordonatele polare și carteziene, parametrul este unghiul φ, atunci curba AB poate fi definită parametric

Folosind formula (41.5), obținem

Exemplul 41.5. Găsiți lungimea cardioid r \u003d a (1 + cosφ).

Soluție: cardioidul r \u003d a (1 + cosφ) are forma prezentată în figura 187. Este simetric față de axa polară. Găsiți jumătatea lungimii cardioidului:

Astfel, 1 / 2l \u003d 4a. Prin urmare, l \u003d 8a.

41,4. Calculul volumului corpului

Calculul volumului corpului din zonele cunoscute ale secțiunilor paralele

Să se ceară să se găsească volumul V al corpului și zona S a secțiunilor acestui corp prin planuri perpendiculare pe unele axe, de exemplu, axa Ox: S \u003d S (x) și ≤ x ≤ b, sunt cunoscute.

1. Printr-un punct arbitrar x є trasați un plan ∏ perpendicular pe axa Ox (vezi Fig. 188). Notă prin S (x) aria secțiunii transversale a corpului de către acest plan; S (x) se presupune că este cunoscut și se schimbă continuu cu x. Notăm prin v (x) volumul părții corpului care se află în stânga planului P. Presupunem că pe intervalul [a; x] cantitatea v este o funcție a lui x, adică v \u003d v (x) (v (a) \u003d 0, v (b) \u003d V).

2. Găsim diferențialul dV al funcției v \u003d v (x). Reprezintă „stratul elementar” al corpului, închis între planurile paralele care intersectează axa Ox în punctele x și x + Δx, care poate fi luat aproximativ ca un cilindru cu o bază S (x) și o înălțime dx. Prin urmare, diferențialul volumului este dV \u003d S (x) dx.

3. Găsiți valoarea dorită de V integrând dA în intervalul de la a la B:

Formula rezultată se numește formula volumului corpului pe aria secțiunilor paralele.

Exemplul 41.6. Găsiți volumul unei elipsoide

Soluție: Disecția elipsoidului de un plan paralel cu planul Oyz și la o distanță x de acesta (-a ≤h≤a), obținem o elipsă (vezi Fig. 189):

Zona acestei elipse este

Prin urmare, prin formula (41.6), avem

Rotirea volumului corpului

Să se rotească un trapezoid curbat în jurul axei Ox, delimitat de o linie continuă y \u003d ƒ (x) 0, un segment a ≤ x ≤ b și drepte x \u003d a și x \u003d b (a se vedea Fig. 190). Figura obținută din rotație este numită corpul revoluției. Secțiunea acestui corp de un plan perpendicular pe axa Ox trase printr-un punct arbitrar x al axei Ox (x Î [A; b]), există un cerc cu raza y \u003d ƒ (x). Prin urmare, S (x) \u003d π y 2.

Folosind formula (41,6) a volumului corpului pe suprafața secțiunilor paralele, obținem

Dacă trapezoidul curvilin este limitat de graficul funcției continue \u003d φ (y) ≥ 0 și de liniile drepte x \u003d 0, y \u003d c,

y \u003d d (s< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен

Exemplul 41.7. Găsiți volumul corpului format prin rotirea figurii delimitate de linii în jurul axei Oy (a se vedea Fig. 191).

Soluție: Prin formula (41,8) găsim:

41.5. Calcularea suprafeței de rotație

Fie curba AB să fie un grafic al funcției y \u003d ƒ (x) ≥ 0, unde x є [a; b], iar funcția y \u003d ƒ (x) și derivata sa y "\u003d ƒ" (x) să fie continue pe acest segment.

Găsiți suprafața S formată prin rotirea curbei AB în jurul axei Ox.

Aplicăm schema II (metodă diferențială).

1. Printr-un punct arbitrar x є [a; b] desenați un plan ∏ perpendicular pe axa Ox. Planul ∏ intersectează suprafața de revoluție într-un cerc cu raza y \u003d ƒ (x) (vezi fig. 192). Valoarea S a suprafeței părții din figura de rotație din stânga planului este o funcție de x, adică s \u003d s (x) (s (a) \u003d 0 și s (b) \u003d S).

2. Dăm argumentul x incrementul Δx \u003d dx. Prin punctul x + dx є [a; b] desenează și un plan perpendicular pe axa Ox. Funcția s \u003d s (x) va primi incrementul Az, prezentat în figură sub forma unei „centuri”.

Să găsim diferențialul de suprafață ds, înlocuind figura formată între secțiuni cu un con trunchiat, a cărui generatorie este dl, iar razele bazelor sunt egale cu y și y + dy. Zona suprafeței sale laterale este ds \u003d π (y + y + dy) dl=2π la dl + π dydl. Eliminând produsul dydl ca o ordine infinitesimală mai mare decât ds, obținem ds \u003d 2 π la dl, sau, de atunci

3. Integrând egalitatea rezultată în intervalul de la x \u003d a la x \u003d b, obținem

Dacă curba AB este definită de ecuațiile parametrice x \u003d x (t), y \u003d y (t), t 1 ≤ t ≤ t 2, atunci formula (41,9) pentru suprafața de revoluție ia forma

Exemplul 41.8. Găsiți suprafața unei bile cu raza R.

Exemplul 41.9. Dana cicloid

Găsiți suprafața formată prin rotirea acesteia în jurul axei Ox.

Soluție: Atunci când jumătatea arcului cicloidului se rotește în jurul axei Ox, suprafața de rotație este

41.6. Aplicații mecanice ale unei anumite integrale

Forță variabilă de lucru

Punctul material M se deplasează de-a lungul axei Ox sub acțiunea unei forțe variabile F \u003d F (x) direcționată paralel cu această axă. Lucrări efectuate cu forța la deplasarea punctului M din poziția x \u003d a în poziția x \u003d b (a< b), находится по формуле (см. п. 36).

Exemplul 41.10 Ce lucru trebuie făcut pentru a întinde arcul cu 0,05 m, dacă o forță de 100 N întinde arcul cu 0,01 m?

Soluție: Conform legii lui Hooke, forța elastică care se întinde pe arc este proporțională cu această întindere x, adică F \u003d kx, unde k este coeficientul de proporționalitate. În funcție de starea problemei, forța F \u003d 100 N întinde arcul cu x \u003d 0,01 m; prin urmare, 100 \u003d k * 0,01, de unde k \u003d 10000; prin urmare, F \u003d 10000x.

Lucrarea dorită pe baza formulei (41.10) este egală cu

Exemplul 41.11. Găsiți munca pe care trebuie să o petreceți pentru a pompa peste marginea lichidului dintr-un rezervor cilindric vertical de o înălțime de N m și o rază a bazei R m

Soluție: Lucrările implicate în ridicarea unui corp care cântărește p la o înălțime h este egală cu p h. Dar diferite straturi de lichid din rezervor sunt la adâncimi diferite, iar înălțimea creșterii (până la marginea rezervorului) a diferitelor straturi nu este aceeași.

Pentru a rezolva problema, aplicăm schema II (metoda diferențială). Prezentăm sistemul de coordonate așa cum se arată în figura 193.

1. Lucrul petrecut la pomparea din rezervor a unui strat lichid de grosime x (0 !!!< x !!!< H), есть функция от х, т.е. А = А(х), где 0≤x≤H (А(0)=0, А(Н)=А 0).

2. Găsim partea principală a incrementului ΔA când x se schimbă cu Δx \u003d dx, adică găsim diferențialul dA al funcției A (x).

Datorită mărimii dx, presupunem că stratul lichid „elementar” se află la aceeași adâncime x (de la marginea rezervorului) (vezi Fig. 193). Apoi dA \u003d dp * x, unde dp este greutatea acestui strat; este egală cu g * g dv, unde g este accelerația gravitației, g este densitatea lichidului, dv este volumul stratului „elementar” de lichid (este evidențiat în figură), adică dp \u003d gg dv. Volumul stratului lichid indicat este, în mod evident, egal cu π R 2 dx, unde dx este înălțimea cilindrului (stratului), π R2 este aria bazei sale, adică dv \u003d π R2 dx.

Deci dp \u003d gg π R2 dx și dA \u003d gg π R 2 dx * x.

3) Integrând egalitatea rezultată în intervalul de la x \u003d 0 la x \u003d H, găsim

Calea traversată de corp

Lăsați punctul material să se miște în linie dreaptă cu o viteză variabilă v \u003d v (t). Găsiți calea S, trecută de ea pentru o perioadă de timp de la t 1 la t 2.

Soluție: Din semnificația fizică a derivatului, se știe că atunci când un punct se deplasează într-o direcție, „viteza mișcării rectiliniene este egală cu derivata căii în raport cu timpul”, adică rezultă că dS \u003d v (t) dt. Integrând egalitatea rezultată în intervalul de la t 1 la t 2, obținem

Rețineți că aceeași formulă poate fi obținută folosind schemele I sau II ale aplicării unei anumite integrale.

Exemplul 41.12. Găsiți calea parcursă de corp în 4 secunde de la începutul mișcării, dacă viteza corpului este v (t) \u003d 10t + 2 (m / s).

Soluție: Dacă v (t) \u003d 10t + 2 (m / s), atunci calea parcursă de corp de la începutul mișcării (t \u003d 0) până la sfârșitul celei de-a 4-a secunde este

Presiunea lichidului pe o placă verticală

Conform legii lui Pascal, presiunea unui lichid pe o placă orizontală este egală cu greutatea coloanei acestui lichid având o bază a plăcii, iar înălțimea acestuia este adâncimea imersiunii sale de pe suprafața liberă a lichidului, adică P \u003d g * g * S * h, unde g este accelerația gravitațională g este densitatea lichidului, S este zona plăcii, h este adâncimea imersiunii sale.

Conform acestei formule, nu se poate căuta presiunea fluidului pe o placă scufundată vertical, deoarece punctele sale diferite se află la adâncimi diferite.

Să presupunem că o placă delimitată vertical de o linie x \u003d a, x \u003d b, y 1 \u003d f 1 (x) și y 2 \u003d ƒ 2 (x); sistemul de coordonate este selectat așa cum se arată în figura 194. Pentru a găsi presiunea fluidului P pe această placă, aplicăm schema II (metodă diferențială).

1. Fie partea din cantitatea căutată P să fie o funcție de x: p \u003d p (x), adică p \u003d p (x) este presiunea pe partea plăcii corespunzătoare intervalului [a; x] valorile variabilei x, unde x є [a; b] (p (a) \u003d 0, p (b) \u003d P).

2. Dăm argumentul x incrementul Δx \u003d dx. Funcția p (x) va primi un increment Δp (în figură - un strat de bandă de grosime dx). Găsiți dp-ul diferențial al acestei funcții. Datorită mărimii dx, vom presupune aproximativ că banda este un dreptunghi, toate punctele fiind la aceeași adâncime x, adică această placă este orizontală.

Apoi, conform legii lui Pascal

3. Integrând egalitatea rezultată în intervalul de la x \u003d a la x \u003d B, obținem

Exemplul 41.13. Determinați mărimea presiunii apei pe un semicerc cufundat vertical într-un lichid dacă raza acestuia este R și centrul său O se află pe suprafața liberă a apei (a se vedea Fig. 195).

În mod similar, se determină momentul static S y al acestui sistem în raport cu axa

Dacă masele sunt distribuite continuu de-a lungul unei anumite curbe, atunci va fi necesară integrarea pentru a exprima momentul static.

Fie y \u003d ƒ (x) (a≤ x≤ b) ecuația curbei materialului AB. O vom considera omogenă cu o densitate liniară constantă g (g \u003d const).

Pentru un arbitrar x є [a; b] pe curba AB există un punct cu coordonate (x; y). Selectăm pe curbă o secțiune elementară de lungime dl care conține punctul (x; y). Atunci masa acestei secțiuni este egală cu g dl. Luăm această secțiune dl aproximativ pentru un punct distanțat de axa Ox la o distanță y. Atunci diferențialul momentului static dS x („moment elementar”) va fi egal cu g dly, adică dS x \u003d g dlу (vezi Fig. 196).

Rezultă că momentul static S x al curbei AB în raport cu axa Ox este

În mod similar, găsim S y:

Momentele statice S x și S y ale curbei facilitează stabilirea poziției centrului său de greutate (centrul de masă).

Centrul de greutate al unei curbe a planului material y \u003d ƒ (x), x Î este punctul unui plan care are următoarea proprietate: dacă concentrăm întreaga masă m a unei curbe date în acest moment, atunci momentul static al acestui punct în raport cu orice axă de coordonate va fi egal cu momentul static al întregii curbe y \u003d ƒ (x) aproximativ aceeași axă. Fie C (x c; y c) indică centrul de greutate al curbei AB.

Din definiția centrului de greutate, egalități De aici

Calculul momentelor statice și coordonatelor centrului de greutate al unei figuri plane

Să fie dată o figură plană materială (placă), delimitată de curba y \u003d ƒ (x) 0 și de liniile y \u003d 0, x \u003d a, x \u003d b (vezi Fig. 198).

Presupunem că densitatea suprafeței plăcii este constantă (g \u003d const). Apoi, masa întregii plăci este g * S, adică. Selectăm o secțiune elementară a plăcii sub forma unei benzi verticale extrem de înguste și o vom considera aproximativ drept dreptunghi.

Atunci masa sa este g ydx. Centrul de greutate C al dreptunghiului se află la intersecția diagonalelor dreptunghiului. Acest punct C este 1/2 * y de axa Ox și x de axa Oy (aproximativ; mai precis, la o distanță x + 1/2 Δx). Apoi, pentru momentele statice elementare cu privire la axele Ox și Oy, relațiile

Deci, centrul de greutate are coordonate

Zona unui trapez curbat delimitat mai sus cu un grafic de funcții y \u003d f (x), stânga și dreapta - drept x \u003d a și x \u003d b respectiv axa inferioară boucalculat după formulă

Zona unui trapez curbat delimitat în dreapta de graficul funcțional x \u003d φ (y), sus și jos - drept y \u003d d și y \u003d c în consecință, în stânga - axa Oy:

Zona unei figuri curbate delimitată mai sus cu un grafic de funcții y 2 \u003d f 2 (x), mai jos - graficul funcțiilor y 1 \u003d f 1 (x), stânga și dreapta - drept x \u003d a și x \u003d b:

Zona unei figuri curbate delimitate de grafice funcționale la stânga și la dreapta x 1 \u003d φ 1 (y) și x 2 \u003d φ 2 (y), sus și jos - drept y \u003d d și y \u003d c respectiv:

Luați în considerare cazul când linia care delimitează trapezul curbat de sus este dată de ecuațiile parametrice x \u003d φ 1 (t), y \u003d φ 2 (t)unde α ≤ t ≤ β, φ 1 (α) \u003d a, φ 1 (β) \u003d b. Aceste ecuații definesc unele funcții y \u003d f (x) pe segment [ a, b]. Suprafața unui trapez curbat este calculată după formulă

Să trecem la noua variabilă x \u003d φ 1 (t)atunci dx \u003d φ "1 (t) dt, și y \u003d f (x) \u003d f (φ 1 (t)) \u003d φ 2 (t)prin urmare \\ begin (displaymath)

Zona în coordonate polare

Luați în considerare sectorul curbat OABdelimitat de linia dată de ecuație ρ=ρ(φ) în coordonate polare, două fascicule OA și OBpentru care φ=α , φ=β .

Împărțiți sectorul în sectoare elementare OM k-1M k ( k \u003d 1, ..., n, M 0 \u003d A, M n \u003d B). Notează prin Δφ k unghiul fasciculului OM k-1 și Om kformând unghiuri cu axa polară φ k-1 și φ k respectiv. Fiecare dintre sectoarele elementare OM k-1 M k înlocuiți cu un sector circular cu o rază ρ k \u003d ρ (φ "k)unde φ "k - valoarea unghiului φ din decalaj [ φ k-1, φ k] și unghiul central Δφ k. Zona ultimului sector este exprimată prin formulă .

exprimă aria sectorului „pas”, înlocuind aproximativ acest sector OAB.

Zona sectorului OAB numită limita de suprafață a sectorului „în trepte” la n → ∞ și λ \u003d max Δφ k → 0:

deoarece atunci

Lungimea arcului curb

Fie pe segment [ a, b] este dată o funcție diferențiată y \u003d f (x)al cărui grafic este un arc. Linia [ a, b] împărțiți în n piese puncte x 1, x 2, …, x n-1. Punctele vor corespunde acestor puncte. M 1, M 2, …, M n-1 arcuri, conectați-le cu o linie spartă, care se numește linie ruptă înscrisă în arc. Perimetrul acestei polilini este notat cu s nadică

definiție. Lungimea arcului liniei este limita perimetrală a liniei rupte înscrise în ea, când numărul de legături M k-1 M k crește nelimitat, iar lungimea cea mai mare dintre ele tinde spre zero:

unde λ este lungimea celei mai mari verigi.

Vom număra lungimea arcului din unele puncte, de exemplu, A. Lasă la un moment dat M (x, y) lungimea arcului este s, și la punct M "(x + Δ x, y + Δy) lungimea arcului este s + Δsunde, i\u003e Δs este lungimea arcului. Din triunghi MNM " găsim lungimea coardei:.

Din considerente geometrice rezultă că

adică, un arc infinitesimal al unei linii și o coardă care o contractează sunt echivalente.

Transformăm formula care exprimă lungimea coardei:

Trecând la limita în această egalitate, obținem formula pentru derivată a funcției s \u003d s (x):

din care găsim

Această formulă exprimă diferențialul unui arc al unei curbe plane și are o simplă sensul geometric: exprimă teorema pitagoreică pentru un triunghi infinitesimal MTN (ds \u003d MT, ).

Diferențialul arcului curbei spațiale este determinat de formulă

Luați în considerare arcul liniei spațiale date de ecuațiile parametrice

unde α ≤ t ≤ β, φ i (t) (i \u003d 1, 2, 3) sunt funcții diferențiale ale argumentului tatunci

Integrarea acestei egalități pe interval [ α, β ], obținem formula pentru calcularea lungimii acestui arc al liniei

Dacă linia se află în plan Oxyatunci z \u003d 0 pentru toți t∈ [α, β]prin urmare

În cazul în care linia plană este dată de ecuație y \u003d f (x) (a≤x≤b) unde f (x) este o funcție diferențiată, ultima formulă ia forma

Fie linia plană să fie dată de ecuație ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) în coordonate polare. În acest caz, avem ecuațiile parametrice ale liniei x \u003d ρ (φ) cos φ, y \u003d ρ (φ) sin φunde unghiul polar este luat ca parametru φ . ca

apoi formula care exprimă lungimea arcului liniei ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) în coordonate polare, are forma

Volumul corpului

Să găsim volumul corpului dacă se cunoaște aria oricărei secțiuni a acestui corp perpendicular pe o anumită direcție.

Împărțim acest corp în straturi elementare cu planuri perpendiculare pe axă bou și ecuații definibile x \u003d const. Pentru orice fix x∈ zona cunoscută S \u003d S (x) secțiune transversală a unui corp dat.

Strat elementar tăiat pe planuri x \u003d x k-1, x \u003d x k (k \u003d 1, ..., n, x 0 \u003d a, x n \u003d b), înlocuiți cilindrul cu o înălțime Δx k \u003d x k -x k-1 și zona de bază S (ξ k), ξ k ∈.

Volumul cilindrului elementar indicat este exprimat prin formulă Δv k \u003d E (ξ k) Δx k. Compunem suma tuturor acestor lucrări

care este suma integrală pentru o funcție dată S \u003d S (x) pe segment [ a, b]. Acesta exprimă volumul corpului în trepte, format din cilindri elementari și care înlocuiesc aproximativ acest corp.

Volumul acestui corp este limita volumului corpului în trepte indicat la λ→0 unde λ - lungimea celui mai mare dintre segmentele elementare Δx k. Notează prin V volumul unui corp dat, apoi prin definiție

Pe de altă parte

Prin urmare, volumul corpului la secțiunile date este calculat după formula

Dacă corpul este format prin rotire în jurul unei axe bou trapez curbat delimitat mai sus de un arc al unei linii continue y \u003d f (x)unde a≤x≤batunci S (x) \u003d πf 2 (x) iar ultima formulă ia forma:

remarcă. Volumul corpului obținut prin rotația unui trapez curbat, delimitat la dreapta de graficul funcțional x \u003d φ (y) (c ≤ x ≤ d), în jurul axei Oy calculat după formulă

Suprafața de rotație

Luați în considerare suprafața obținută prin rotirea arcului liniei y \u003d f (x) (a≤x≤b) în jurul axei bou (presupunem că funcția y \u003d f (x) are un derivat continuu). Fixăm valoarea x∈, dăm argumentului funcției un increment dxcorespunzător „inelului elementar” obținut prin rotirea arcului elementar Δl. Înlocuim acest „inel” cu un inel cilindric - suprafața laterală a corpului formată prin rotirea dreptunghiului cu baza egală cu diferențialul arcului dlși înalt h \u003d f (x). Tăierea ultimului inel și extinderea acestuia, obținem o bandă de lățime dl și lungime 2πyunde y \u003d f (x).

Prin urmare, diferența de suprafață este exprimată prin formulă

Această formulă exprimă suprafața obținută prin rotirea arcului de linie y \u003d f (x) (a≤x≤b) în jurul axei bou.

Forță variabilă de lucru

Exemplul 41.10 Ce lucru trebuie făcut pentru a întinde arcul cu 0,05 m, dacă o forță de 100 N întinde arcul cu 0,01 m?

Lucrarea dorită pe baza formulei (41.10) este egală cu

Exemplul 41.11. Găsiți munca pe care trebuie să o petreceți pentru a pompa peste marginea lichidului dintr-un rezervor cilindric vertical de o înălțime de N m și o rază a bazei R m

Pentru a rezolva problema, aplicăm schema II (metoda diferențială). Prezentăm sistemul de coordonate așa cum se arată în figura 193.

1. Lucrul petrecut la pomparea din rezervor a unui strat lichid de grosime x (0 !!!< x !!!< H), есть функция от х, т.е. А = А(х), где 0≤x≤H (А(0)=0, А(Н)=А0).

2. Găsim partea principală a incrementului ΔA când x se schimbă cu Δx \u003d dx, adică găsim diferențialul dA al funcției A (x).

Datorită mărimii dx, presupunem că stratul lichid „elementar” se află la aceeași adâncime x (de la marginea rezervorului) (vezi Fig. 193). Apoi dA \u003d dp * x, unde dp este greutatea acestui strat; el este egal g * gdv, unde g este accelerația gravitației, g este densitatea lichidului, dv este volumul stratului „elementar” de lichid (în figura este evidențiat), adică dp \u003d ggdv. Volumul stratului lichid indicat este, în mod evident, egal cu πR2 dx, unde dx este înălțimea cilindrului (stratului), πR2 este aria bazei sale, adică. dv \u003d πR2 dx.

În acest fel dp \u003d ggπR2 dx și dA \u003d ggπR2dx * x.

3) Integrând egalitatea rezultată în intervalul de la x \u003d 0 la x \u003d H, găsim

Calea traversată de corp

Lăsați punctul material să se miște în linie dreaptă cu o viteză variabilă v \u003d v (t). Găsim calea S pe care a parcurs-o într-o perioadă de timp de la t1 la t2.

Soluție: Din semnificația fizică a derivatului, se știe că atunci când un punct se deplasează într-o direcție, „viteza mișcării rectilinii este egală cu derivata căii în raport cu timpul”, adică Rezultă că dS \u003d v (t) dt. Integrând egalitatea rezultată în intervalul de la t1 la t2, obținem

Rețineți că aceeași formulă poate fi obținută folosind schemele I sau II ale aplicării unei anumite integrale.

Exemplul 41.12. Găsiți calea parcursă de corp în 4 secunde de la începutul mișcării, dacă viteza corpului este v (t) \u003d 10t + 2 (m / s).

Soluție: Dacă v (t) \u003d 10t + 2 (m / s), atunci calea parcursă de corp de la începutul mișcării (t \u003d 0) până la sfârșitul celei de-a 4-a secunde este

Presiunea lichidului pe o placă verticală

Conform legii lui Pascal, presiunea unui lichid pe o placă orizontală este egală cu greutatea coloanei acestui lichid având o bază a plăcii, iar înălțimea acestuia este adâncimea imersiunii sale de pe suprafața liberă a lichidului, adică P \u003d g * g * S * h, unde g este accelerația gravitațională, g este densitatea lichidului, S este zona plăcii, h este adâncimea imersiunii sale.

Conform acestei formule, nu se poate căuta presiunea fluidului pe o placă scufundată vertical, deoarece punctele sale diferite se află la adâncimi diferite.

Fie ca o placă să fie scufundată vertical în lichid, delimitată de liniile x \u003d a, x \u003d b, y1 \u003d f1 (x) și y2 \u003d ƒ2 (x); sistemul de coordonate este selectat așa cum se arată în figura 194. Pentru a găsi presiunea fluidului P pe această placă, aplicăm schema II (metodă diferențială).

Apoi, conform legii lui Pascal

3. Integrând egalitatea rezultată în intervalul de la x \u003d a la x \u003d B, obținem

Exemplul 41.13. Determinați amploarea presiunii apei pe un semicerc cufundat vertical într-un lichid dacă raza acestuia este R și centrul său O se află pe suprafața liberă a apei (vezi Fig. 195).

Soluție: Folosim formula obținută pentru a găsi presiunea fluidului pe o placă verticală. În acest caz, placa este limitată de liniile x \u003d 0, x \u003d R. prin urmare

Calculul momentelor statice și coordonatelor centrului de greutate al unei curbe planeFie sistemul de puncte materiale M1 (x1; y1), M2 (x2; y2), ..., Mn (xn; yn) cu mase m1, m2, ... ..., mn, să fie date pe planul Ohu.

Momentul static Sx al unui sistem de puncte materiale în raport cu axa Ox este suma produselor maselor acestor puncte prin ordonatele lor (adică distanțele acestor puncte față de axa Ox):

Momentul static al acestui sistem în raport cu axa este determinat în mod similar.

Dacă masele sunt distribuite continuu de-a lungul unei anumite curbe, atunci va fi necesară integrarea pentru a exprima momentul static.

Fie y \u003d ƒ (x) (a≤x≤b) ecuația curbei materialului AB. O vom considera omogenă cu o densitate liniară constantă g (g \u003d const).

Pentru un arbitrar x є [a; b] pe curba AB există un punct cu coordonate (x; y). Selectăm pe curbă o secțiune elementară de lungime dl care conține punctul (x; y). Atunci masa acestei secțiuni este egală cu g dl. Luăm această secțiune dl aproximativ pentru un punct distanțat de axa Ox la o distanță y. Apoi diferențialul momentului static dSx („moment elementar”) va fi egal cu gdly, adică dSx \u003d gdlу (vezi Fig. 196).

Rezultă că momentul static Sx al curbei AB în raport cu axa Ox este

În mod similar, găsim Sy:

Momentele statice ale curbei Sx și Sy facilitează stabilirea poziției centrului său de greutate (centrul de masă).

Centrul de greutate al unei curbe a planului material y \u003d ƒ (x), x Î este punctul unui plan care are următoarea proprietate: dacă concentrăm întreaga masă m a unei curbe date în acest moment, atunci momentul static al acestui punct în raport cu orice axă de coordonate va fi egal cu momentul static al întregii curbe y \u003d ƒ (x) aproximativ aceeași axă. Notăm prin C (xc; mustață) centrul de greutate al curbei AB.

Din definiția centrului de greutate, egalități De aici sau

Exemplul 41.14. Găsiți centrul de greutate al unui arc circular uniform x ^ 2 + y ^ 2 \u003d R ^ 2, situat în primul sfert de coordonate (a se vedea Fig. 197).

Soluție: Evident, lungimea arcului circular specificat este πR / 2, adică l \u003d πR / 2. Găsiți momentul său static în raport cu axa Ox. Deoarece ecuatia arcului este

Prin urmare,

Deoarece acest arc este simetric în raport cu bisectorul primului unghi de coordonate, atunci xc \u003d yn \u003d 2R / π. Deci, centrul de greutate are coordonate

Calculul momentelor statice și coordonatelor centrului de greutate al unei figuri plane

Să fie dată o figură plană materială (placă), delimitată de curba y \u003d ƒ (x) 0 și de liniile y \u003d 0, x \u003d a, x \u003d b (vezi Fig. 198).

Atunci masa sa este gydx. Centrul de greutate C al dreptunghiului se află la intersecția diagonalelor dreptunghiului. Acest punct C este 1/2 * y de axa Ox și x de axa Oy (aproximativ; mai precis, la o distanță x + 1 / 2Δx). Apoi, pentru momentele statice elementare cu privire la axele Ox și Oy, relațiile

Prin urmare,

Prin analogie cu o curbă plană, obținem notând coordonatele centrului de greutate al unei figuri plane (placă) prin C (xc; mustață), că m xc \u003d Sy, m us \u003d Sx. De aici

Exemplul 41.15. Găsiți coordonatele centrului de greutate al semicercului x ^ 2 + y ^ 2≤R ^ 2, y≥0 (g \u003d const) (vezi fig. 199).

Soluție: este evident (datorită simetriei cifrei în raport cu axa Oy) că xc \u003d 0. Zona semicercului este egală cu Find Sx:

Prin urmare,

Deci, centrul de greutate are coordonate