Acestea sunt numerele utilizate în calcul: 1, 2, 3 ... etc.

Zero nu este natural.

Numerele naturale sunt de obicei notate cu simbolul N.

Întregi. Numere pozitive și negative

Se numesc două numere care diferă unul de celălalt doar printr-un semn opusde exemplu, +1 și -1, +5 și -5. Semnul „+” nu este de obicei scris, dar se presupune că numărul este precedat de un „+”. Astfel de numere sunt numite pozitiv. Numerele precedate de un „-” sunt numite negativ.

Numerele naturale opuse lor și zero sunt numite întregi. Multe întregi sunt notate cu Z.

Numere raționale

Acestea sunt fracții finite și fracții periodice infinite. De exemplu

Setul de numere raționale este notat de Q. Toți numerele întregi sunt raționale.

Numere iraționale

O fracție infinită neperiodică se numește număr irațional. De exemplu:

Setul de numere iraționale este notat cu J.

Numere reale

Setul tuturor numerelor raționale și iraționale este numit multe reale (materiale)   numere.

Numerele reale sunt indicate de R.

Rotunjirea numerelor

Luați în considerare numărul 8,759123...   . A roti la partea întreagă înseamnă a nota doar acea parte a numărului care este înainte de zecimal. Rotunjirea la zecimi înseamnă notarea părții întregi și a unei cifre după punctul zecimal; rotunde până la sutimi - două cifre după punctul zecimal; la mii - trei cifre etc.

Dintr-o mare varietate de diverse seturi de   Un interes deosebit sunt așa-numitele seturi de numereadică seturi ale căror elemente sunt numere. Este clar că pentru a lucra confortabil cu ei trebuie să le poți înregistra. Vom începe acest articol cu \u200b\u200bnotația și principiile pentru scrierea seturilor de numere. Și atunci vom lua în considerare modul în care sunt reprezentate seturile numerice pe linia de coordonate.

Navigare prin pagină.

Înregistrarea seturilor numerice

Să începem cu notația acceptată. După cum se știe, literele majuscule ale alfabetului latin sunt folosite pentru a desemna seturi. Seturile numerice, ca un caz special al seturilor, sunt de asemenea notate. De exemplu, putem vorbi despre seturi numerice A, H, W etc. De o importanță deosebită sunt seturile de numere naturale, întregi, raționale, reale, complexe etc., pentru ele notația lor a fost adoptată:

• N este ansamblul tuturor numerelor naturale;
• Z este ansamblul de numere întregi;
• Q este setul de numere raționale;
• J este setul de numere iraționale;
• R este setul de numere reale;
• C este setul de numere complexe.

Acest lucru face clar că nu ar trebui să desemnați un set alcătuit, de exemplu, din două numere 5 și −7 ca Q, această denumire va fi înșelătoare, deoarece litera Q indică de obicei setul tuturor numerelor raționale. Pentru a indica setul de numere indicat, este mai bine să folosiți o altă literă „neutră”, de exemplu, A.

Deoarece vorbim despre notație, aici amintim de notarea unui set gol, adică a unui set care nu conține elemente. Este indicat prin semnul знаком.

Reamintim, de asemenea, desemnarea de apartenență și non-apartenență a unui element la un set. Pentru a face acest lucru, utilizați semnele ∈ - aparține și ∉ - nu aparține. De exemplu, scrierea 5∈N înseamnă că numărul 5 aparține setului de numere naturale, iar 5,7∉Z este zecimal 5,7 nu aparține setului de numere întregi.

Și ne amintim despre notația adoptată pentru a include un set în altul. Este clar că toate elementele setului N aparțin setului Z, deci numărul de numere N este inclus în Z, acesta este notat de N⊂Z. De asemenea, puteți utiliza notația Z notN, ceea ce înseamnă că setul tuturor numerelor întregi Z include setul N. Relațiile nu sunt incluse și nu includ sunt indicate de semnele ⊄ și. De asemenea, sunt utilizate semne de incluziune nestricta a tipurilor ⊆ și ⊇, adică respectiv incluse sau coincide și includ sau coincid.

Am vorbit despre notație, apelăm la descrierea seturilor numerice. În același timp, vom aborda doar principalele cazuri care sunt utilizate cel mai des în practică.

Să începem cu seturi numerice care conțin un număr finit și un număr mic de elemente. Este convenabil să descrie seturi numerice constând dintr-un număr finit de elemente, prin enumerarea tuturor elementelor lor. Toate elementele numerice sunt scrise cu virgulă și sunt anexate, ceea ce este în concordanță cu generalul stabilesc reguli de descriere. De exemplu, un set format din trei numere 0, −0.25 și 4/7 poate fi descris ca (0, −0.25, 4/7).

Uneori, când numărul de elemente dintr-un set de numere este suficient de mare, dar elementele se supun unei anumite regularități, elipsă este folosită pentru a-l descrie. De exemplu, setul de numere impare de la 3 la 99 inclusiv poate fi scris ca (3, 5, 7, ..., 99).

Așadar, am abordat fără probleme descrierea seturilor numerice, al căror număr de elemente este infinit. Uneori pot fi descrise folosind toate aceleasi elipsi. De exemplu, descriem setul tuturor numerelor naturale: N \u003d (1, 2. 3, ...).

De asemenea, folosesc descrierea seturilor numerice, indicând proprietățile elementelor sale. În acest caz, se folosește notația (proprietățile x |). De exemplu, notația (n | 8 · n + 3, n∈N) definește un set de astfel de numere naturale care, atunci când sunt împărțite la 8, dau restul 3. Același set poate fi descris ca și (11,19, 27, ...).

În cazuri speciale, mulțimile numerice cu un număr infinit de elemente sunt seturi cunoscute de N, Z, R etc. sau lacune numerice. Dar practic seturile numerice sunt reprezentate ca uniune   intervalele lor numerice individuale și seturile numerice cu un număr finit de elemente (despre care am vorbit puțin mai sus).

Să arătăm un exemplu. Numerele să fie −10, −9, −8.56, 0, toate numerele intervalului [−5, −1,3] și numerele razei numerelor deschise (7, + ∞). În virtutea definiției uniunii de mulțimi, setul numeric indicat poate fi scris ca {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . O astfel de înregistrare înseamnă de fapt un set care conține toate elementele seturilor (−10, −9, −8,56, 0), [−5, −1,3] și (7, + ∞).

În mod similar, combinând spații numerice diferite și seturi de numere individuale, se poate descrie orice set numeric (format din numere reale). Aici devine clar de ce au fost introduse astfel de tipuri de intervale numerice ca interval, jumătate de interval, segment, rază numerică deschisă și rază numerică: toate, împreună cu denumirile de seturi de numere individuale, vă permit să descrieți orice seturi numerice prin combinația lor.

Vă rugăm să rețineți că la înregistrarea unui set numeric, numerele sale constitutive și spațiile numerice sunt sortate în ordine crescătoare. Aceasta nu este o condiție necesară, dar dezirabilă, deoarece un set numeric ordonat este mai ușor de imaginat și descris pe linia de coordonate. De asemenea, rețineți că astfel de înregistrări nu utilizează spații numerice cu elemente comune, deoarece astfel de înregistrări pot fi înlocuite prin combinarea spațiilor numerice fără elemente comune. De exemplu, unirea seturilor de numere cu elementele comune [−10, 0] și (−5, 3) este intervalul jumătate [−10, 3). Același lucru este valabil și pentru unirea de intervale numerice cu aceleași numere de graniță, de exemplu, uniunea (3, 5] ∪ (5, 7] este un set (3, 7]), vom sta pe aceasta când vom învăța să găsim intersecția și uniunea numerică seturi.

Imaginea seturilor numerice pe o linie de coordonate

În practică, este convenabil să utilizați imagini geometrice ale seturilor numerice - imaginile lor pornite. De exemplu, când rezolvarea inegalităților, în care este necesar să se țină seama de ODL, este necesar să se prezinte seturi numerice pentru a se găsi intersecția și / sau unirea lor. Deci va fi util să înțelegeți bine toate nuanțele imaginii seturilor numerice de pe linia de coordonate.

Se știe că există o corespondență unu la unu între punctele liniei de coordonate și numerele reale, ceea ce înseamnă că linia de coordonate în sine este un model geometric al mulțimii tuturor numerelor reale R. Astfel, pentru a descrie ansamblul tuturor numerelor reale, este necesar să trasați o linie de coordonate cu ecloziune pe întreaga lungime:

De multe ori nici măcar nu indică originea și un singur segment:

Acum să vorbim despre imaginea seturilor numerice, care sunt un număr finit de numere individuale. De exemplu, vom reprezenta un set numeric (−2, −0,5, 1,2). Geometric, un set dat format din trei numere −2, −0.5 și 1.2 vor fi trei puncte ale liniei de coordonate cu coordonatele corespunzătoare:

Rețineți că, de obicei, pentru nevoile de practică, nu este necesar să efectuați desenul cu exactitate. Adesea, un desen schematic este suficient, ceea ce implică o păstrare a scării opționale, este important doar să se mențină poziția relativă a punctelor unul față de celălalt: orice punct cu o coordonată mai mică ar trebui să fie la stânga punctului cu o coordonată mai mare. Desenul anterior va arăta schematic astfel:

În mod separat de toate tipurile de seturi numerice, se disting intervale numerice (intervale, jumătate de intervale, raze etc.), care reprezintă imaginile lor geometrice, am examinat în detaliu în secțiune. Nu vom repeta aici.

Și rămâne să rămânem doar la imaginea mulțimilor numerice, care sunt unirea mai multor spații și mulțimi numerice formate din numere individuale. Nu este nimic complicat aici: în funcție de sensul unirii în aceste cazuri, pe linia de coordonate trebuie să descoperiți toate componentele mulțimii unui set de numere date. Ca exemplu, arătăm o imagine a unui set numeric (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪   (jurnal 2 5, 5) ∪ (17, + ∞):

Și să ne bazăm pe cazuri destul de comune când setul numeric afișat reprezintă întregul set de numere reale, cu excepția unuia sau mai multor puncte. Astfel de seturi sunt adesea date de condițiile de tipul x ≠ 5 sau x ≠ −1, x ≠ 2, x ≠ 3.7 etc. În aceste cazuri, geometric reprezintă întreaga linie de coordonate, cu excepția punctelor corespunzătoare. Cu alte cuvinte, aceste puncte trebuie „punctate” din linia de coordonate. Acestea sunt înfățișate în cercuri cu un centru gol. Pentru claritate, reprezentăm un set numeric corespunzător condițiilor   (acest set este în esență):

Pentru a rezuma. În mod ideal, informațiile din alineatele precedente ar trebui să formeze aceeași vedere a înregistrării și imaginii seturilor numerice ca și vizualizarea spațiilor numerice individuale: scrierea unui set numeric ar trebui să-și dea imediat imaginea pe linia de coordonate și ar trebui să fim gata să descriem ușor imaginea pe linia de coordonate. setul numeric corespunzător prin unirea golurilor individuale și a mulțimilor constând din numere individuale.

Referințe.

• algebra:   Proc. timp de 8 cl. educație generală. instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; sub redacția din S. A. Telyakovsky. - ediția a 16-a. - M.: Educație, 2008 .-- 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovici A. G.   Algebra. Gradul 9 La 2 ore, partea 1. Cartea de text pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovici, P. V. Semenov. - ediția a 13-a. - M .: Mnemosyne, 2011 .-- 222 p.: Bolnav. ISBN 978-5-346-01752-3.

Conceptul unui număr real:   număr real- (număr real), orice număr negativ sau negativ sau zero. Folosind numere reale, sunt exprimate măsurători pentru fiecare cantitate fizică.

real, sau număr real a apărut din nevoia de a măsura cantitățile geometrice și fizice ale lumii. În plus, pentru efectuarea operațiunilor de extragere a rădăcinii, calcularea logaritmului, rezolvarea ecuațiilor algebrice etc.

Numerele naturale s-au format odată cu dezvoltarea numărării, iar cele raționale cu necesitatea de a controla părți ale întregului, apoi numerele reale (reale) sunt folosite pentru a măsura cantitățile continue. Astfel, extinderea stocului de numere care sunt considerate a dus la un set de numere reale, care, pe lângă numerele raționale, constă din alte elemente numite numere iraționale.

Multe numere reale   (indicat de R) sunt seturi de numere raționale și iraționale reunite.

Numerele reale sunt împărțite larațional   și irațional.

Multe numere reale denotă și sunt adesea numite real   sau linie numerică. Numerele reale constau din obiecte simple: nu mai puțin de   și numere raționale.

Un număr care poate fi scris ca o relație, undem   este un număr întreg și n   - un număr natural estenumăr rațional.

Orice număr rațional poate fi ușor reprezentat ca o fracție finită sau o fracție zecimală periodică infinită.

exemplu,

Zecimală infinită, este o fracție zecimală care are un număr infinit de cifre după punctul zecimal.

Numerele care nu pot fi reprezentate sunt numere iraționale.

Un exemplu:

Orice număr irațional poate fi ușor reprezentat ca o fracție zecimală infinită neperiodică.

exemplu,

Numerele raționale și iraționale creează multe numere reale.   Toate numerele reale corespund unui punct al liniei de coordonate, care se numește linie numerică.

Pentru seturi numerice, se folosește următoarea notare:

• N   - o mulțime de numere naturale;
• Z- un set de numere întregi;
• Q   - o mulțime de numere raționale;
• R   - multe numere reale.

Teoria fracțiilor zecimale infinite.

Un număr real este definit ca fiind infinit zecimal, Ie.:

± a 0, a 1 a 2 ... a n ...

unde ± este unul dintre caracterele + sau -, semnul numărului,

a 0 este un număr întreg pozitiv

a 1, a 2, ... a n, ... este o secvență de zecimale, adică. elemente ale unui set numeric {0,1,…9}.

O fracție zecimală infinită poate fi explicată ca un număr care se află pe o linie numerică între punctele raționale ale tipului:

± a 0, a 1 a 2 ... a nși   ± (a 0, a 1 a 2 ... a n +10 nn)pentru toți   n \u003d 0,1,2, ...

Comparația numerelor reale ca fracții zecimale infinite este în mod bit. De exemplu, să presupunem că sunt date 2 numere pozitive:

α \u003d + a 0, a 1 a 2 ... a n ...

β \u003d + b 0, b 1 b 2 ... b n ...

dacă a 0 0,   α<β ; dacă a 0\u003e b 0   α>β . când a 0 \u003d b 0   trecem la compararea următoarei descărcări. Etc. când α≠β , apoi după un număr finit de pași, prima categorie va fi îndeplinită nastfel încât a n ≠ b n. dacă a n natunci α<β ; dacă a n\u003e b n   α>β .

Dar, în același timp, este obositor să acordăm atenție faptului că numărul a 0, a 1 a 2 ... a n (9) \u003d a 0, a 1 a 2 ... a n +10 n.   Prin urmare, dacă înregistrarea unuia dintre numerele comparate, pornind de la o anumită cifră, este o fracție zecimală periodică, care are o perioadă de 9, atunci ea trebuie înlocuită cu o înregistrare echivalentă cu zero în perioadă.

Operațiile aritmetice cu fracții zecimale infinite reprezintă o continuare continuă a operațiilor corespunzătoare cu numere raționale. De exemplu, suma numerelor reale α   și β   este un număr real α+β care îndeplinește următoarele condiții:

∀ a ′, a ′ ′, b ′, b ′ ′∈ Q (a ′⩽ α ⩽ a ′ ′)∧ (b ′⩽ β ⩽ b ′ ′)⇒ (a ′ + b ′⩽ α + β ⩽ a ′ ′ + b ′ ′)

În mod similar definește operația de înmulțire a fracțiilor zecimale infinite.

* Obișnuiți cu cerințele domnișoarei Davis, elevii au apărut în clasă cu câteva minute înainte de sfârșitul pauzei. Nimeni nu s-a grăbit să obțină pergamente și pene, știind că odată cu începutul prelegerii, ei înșiși vor apărea pe birouri. În schimb, studenții au început să privească cum domnișoara Davis, cu ajutorul magiei, atârnă numeroase grafice, tabele și diagrame pe tablă, dintre care un fel ar putea depăși sumbrul și melancolia *
- Văd că mulți dintre voi au reușit deja să vă familiarizați cu materialul de prelegere - * vrăjitoarea a continuat în scurt timp să salute audiența * - Sarcina noastră pentru dumneavoastră astăzi este să faceți acest material nu numai văzut de dvs., ci și înțeles - * clopotul clopotului școlii a fost întrerupt Ein și ea au smucit enervant *
// Există foarte mult material, ca de obicei, dar nu este suficient timp, ca întotdeauna. Și sunt atât de puține ore alocate numerologiei în programa școlară //
„Să nu pierdem timpul și să începem acum”.
* Groaza, înghețată pe fețele unor studenți, a arătat clar că acum vor fi fericiți să nu facă niște calcule voluminoase și complicate, ci altceva. Dar profesorul era inexorabil *
- În clasele trecute, ne-am întâlnit cu numeroase numere alfabetice. Și de astăzi, vom începe să facem cunoștință cu utilizarea lor în calcule numerologice. Și să începem cu cele care au fost dezvoltate de numerologi ai Greciei antice.
- De exemplu, din psihoprixul lui Pitagora? - * a specificat elevul cu părul roșu la primul birou *
- Nu vă confundați, domnișoară Garrett - * a avertizat-o profesoara * - Psihotrama și pătratul lui Pitagora sunt lucruri complet diferite. Baza psihomatrixului este pătratul lui Pitagora și nu invers. A apărut mult mai târziu și a fost dezvoltat de numerologi ruși departe de teritoriul Greciei moderne. Metodele de calcul și analiză a rezultatelor în ambele cazuri diferă atât de mult, încât nu putem vorbi despre fuziunea psihopatrixului și a pătratului pitagorean. Și, de când am început să vorbim despre Pitagora, probabil vom începe cu el. Pentru cei care nu-și amintesc cum arată acest savant antic, permiteți-mi să vă reamintesc - exact așa - ascultând unda de lumină a baghetei vrăjitoarei, un portret destul de mare a mers la tablă *

S-a născut în 570 î.Hr., pe insula Samos, în familia lui Mnesarch și Partenida. Nu există informații exacte despre ceea ce au făcut de fapt părinții lui Pitagora. Unii îl numesc pe Mnesarch tăiatul de piatră Samos, alții - negustorul fenician din Tir, care s-a mutat la Samos și s-a căsătorit cu o nobilă femeie greacă. Nașterea lui Pythagoras a fost prezisă de către Delthic, înotătoarele Pythia. Vrăjitoarea a spus că fiul lui Mnesarch „va aduce la fel de mult beneficiu și bine oamenilor, așa cum nimeni altcineva nu va aduce și nu va aduce în viitor”. Fericitul tată a decis să-l numească pe nou-născutul Pitagora și chiar să-i dea soției sale numele de Pitagor. Baiatul a fost intr-adevar foarte talentat - la 18 ani a plecat in Egipt, purtand o scrisoare de recomandare de la insusi Polycrates. Pythagoras a înțeles cunoștințele inaccesibile străinilor obișnuiți și a petrecut 22 de ani în ea. Alți 12 ani de pregătire au avut loc în Babilon, unde savantul a căzut după cucerirea Egiptului de către regele Cambyses. În timpul studiului tratatelor egiptene și babiloniene, Pitagora a fost interesată de numerologie. Revenind la Samos-ul natal, ca bărbat în vârstă de 56 de ani, s-a întrebat de ce profesorii săi, studiind influența numerelor pe destinul oamenilor, au ignorat influența numelor. La urma urmei, orice nume poate fi scris sub forma unei anumite secvențe de numere. Și numerotarea ionică, familiară tuturor, a fost un bun ajutor pentru oamenii de știință pentru a-i testa ipoteza. Pitagora s-a gândit și la imperfecțiunea clasificării numerelor existente la acea vreme. Sau mai degrabă, despre absența sa aproape completă. Ideile lui Pitagora pentru oamenii de atunci păreau îndrăznețe și neobișnuite, dar totuși a reușit să găsească oameni similari. Ucenicii și urmașii lui Pitagora s-au unit mai târziu într-un fel de ordine și au devenit cunoscuți sub numele de pitagorei. Pitagoreii au creat o clasificare fundamentală a numerelor, care este folosită de mulți numerologi astăzi - * fata arăta cu o baghetă către unul dintre afișe, iar imaginea a devenit puțin mai strălucitoare, făcând posibil chiar și studenții din galerie să citească cu ușurință ceea ce era scris *

chiar	ciudat
Chiar și chiar	componente
Chiar și ciudat	necompus
Impar Par (Impar)	Necompus-component
perfect
Super avansat
imperfect

- Numere impare   Sunt numere formate din două părți, dintre care una este pară, iar a doua este ciudată. De exemplu: 4 (par egal) + 3 (parte impare) \u003d 7. Un număr impar poate fi scris și ca m \u003d 2k + 1, unde k € Z. Adică k aparține setului de numere întregi, iar în acest caz nu suntem fracționali. considerăm.
Chiar și numere Sunt numere din două părți, ambele fiind fie impar sau impar. De exemplu: 4 (par egal) + 4 (par egal) \u003d 8 \u003d 5 (parte impar) + 3 (parte impar). Un număr egal poate fi, de asemenea, scris ca m \u003d 2k, unde k € Z. Și aici k face parte din setul de numere întregi.
Muggles-ul ar da o definiție ușor diferită a parității numerelor, diferită de cea pitagoreică. Din punctul lor de vedere paritate   Este o caracteristică a unui număr întreg. A chiar numere   Sunt numere întregi care se pot împărți cu 2 fără rest. Numerele impare, respectiv, nu sunt divizibile cu 2.
* Ein arătă cu bagheta spre fundul afișului *
(6 + 6) \u003d 12 \u003d (7 + 5) - chiar în conformitate cu Pitagora
12: 2 \u003d 6 - uniform
12 \u003d 2 * 6, unde m \u003d 12, k \u003d 6
(10 + 5) \u003d 15 - ciudat conform lui Pitagora
15: 2 \u003d 7,5 - impar
15 \u003d (2 * 7) + 1, unde m \u003d 15, k \u003d 7
- În numerologie, se folosește mult mai des definiția numerelor impare și impare pe care a dat-o Pitagora.
Numere compuse   - acestea sunt numere care sunt divizibile fără restul de la ele, de la unitate și de la alți divizori. De exemplu: 9 (1; 3; 9), 15 (1; 3; 5; 15) 27 (1; 3; 9; 27), 33 (1; 3; 11; 33) și așa mai departe.
Numere incomparabile   - acestea sunt numere care sunt divizibile fără restul de la sine și de unitate. De exemplu: 3 (1 și 3), 5 (1 și 5), 7 (1 și 7), 11 (1 și 11), 13 (1 și 13) și așa mai departe. Astfel de numere sunt, de asemenea, numite liniare de către unii numerologi. Din punctul de vedere al pitagoreilor, ele pot fi înfățișate sub forma unei linii constând din puncte succesive în picioare.
Numere necompuse   - acestea sunt numere care nu au un divizor comun, dar fiecare dintre ele este în sine divizibil. De exemplu: 9 (1; 3; 9) și 25 (1; 5; 25). După cum puteți vedea, nu există un număr total atât de mare încât 9 și 25 ar fi împărțite fără rest. Aceste numere sunt considerate întotdeauna în perechi.
Cu un număr egal, lucrurile sunt ceva mai complicate.
Numere uniforme sunt numere care se obțin prin dublare, pornind de la unul. De exemplu: 1, 2, 4, 8 și așa mai departe. Pitagora a considerat aceste numere perfecte, deoarece fiecare dintre ele ar putea fi împărțit în 2 una sau mai multe ori, etc., până la primirea 1. Numerele uniforme au o serie de proprietăți unice. Deci, suma oricărui număr de termeni 1, cu excepția ultimului, este întotdeauna egală cu ultimul minus unu. Scary? - * Ein a întrebat studenții * - Deloc. Luați în considerare un exemplu: (1 + 2 + 4 + 8) \u003d (16-1). Am vorbit deja despre care sunt numerele uniforme. Și dacă am dori să notăm secvența acestor numere, am obține aceste rezultate: 1, 2, 4, 8, 16, 32 ... Deci, numărul 16 ar trebui să urmeze 8. Dar, în conformitate cu proprietățile echilibrului numere, atunci când adăugăm primele patru numere, obținem nu 16, ci 15. Un număr, unul mai mic decât ceea ce te-ai aștepta uitându-te la o secvență de numere uniforme. Seria de numere, formată din astfel de numere, are de asemenea o proprietate interesantă: primul termen, înmulțit cu ultimul, dă ultimul până când un număr rămâne în rând cu un număr impar de termeni. Și dacă înmulțiți singur acest număr, primiți ultimul număr din rând.
Numere impare   - acestea sunt numere care pot fi împărțite la 2 fără rest pentru o singură dată. De exemplu: 2, 6, 10, 14 și așa mai departe. Dacă încercăm să împărțim la 2, de exemplu, 10, obținem 5. Dar dacă încercăm să împărțim câte două 5, nu vom obține un număr întreg. În mod similar, toate celelalte numere impare dintr-un rând pot fi împărțite complet la 2 o singură dată. Numerele impare sunt obținute prin înmulțirea numerelor impare cu 2. De exemplu: 2 (1 * 2), 6 (3 * 2), 10 (5 * 2), 14 (7 * 2). Numerele impare au și propriile lor proprietăți unice. Deci, dacă un astfel de număr este împărțit la un împărțitor ciudat, în orice caz, coeficientul va fi egal. Și dacă divizorul acestui număr este egal, coeficientul va fi ciudat. De exemplu:
14: 7 (divizor ciudat) \u003d 2 (coeficient egal)
14: 2 (împărțitor egal) \u003d 7 (coeficient ciudat)
Seria de numere de astfel de numere are și propriile sale proprietăți. Deci, orice număr dintr-un rând este jumătate din suma termenilor de pe ambele părți ale rândului. Să înțelegem această înțelepciune. Luăm, de exemplu, numerele 10, 14 și 18. În linia noastră numerică, numerele impare 10 și 18 vor fi de o parte și de alta a numărului 14: 2, 6, 10 , 14, 18 , 22. Mai mult, 10 + 18 \u003d 28. A 28: 2 \u003d 14. Adică 14 reprezintă cu adevărat jumătate din suma vecinilor la rând.
Cu al treilea paragraf din clasificarea pitagoreică, lucrurile stau ceva mai rău. Oamenii de știință încă se ceartă despre ce să numească exact acest grup de numere: impar sau impar. În diferite literaturi puteți găsi atât unul, cât și celălalt nume. Prin urmare, este mai bine să vă amintiți ambele, dar să știți că în esență este unul și același lucru. Par-impar   numerele ocupă o poziție intermediară între numere uniforme și impare. Cu împărțirea lor succesivă cu 2, nu se poate obține, da, dar pot fi împărțite complet cu 2 mai mult de o dată. Numere pare impare sunt obținute prin înmulțirea numerelor uniforme mai mari de 2 cu numere impare. Unele numere impare sunt formate prin înmulțirea seriei de numere impare cu 4 și mai departe cu întreaga serie de numere pare.
Pentru a înțelege la ce tip aparține un număr egal, acesta trebuie descompus în componente. În acest caz, numărul de părți în care va fi descompus numărul trebuie să corespundă numărului de divizori ai acestuia. De exemplu, numărul 6. Este împărțit în 2, 3, 1 și de la sine. Prin urmare, 2 + 3 + 1 \u003d 6; 6/6 \u003d 1. Din aceasta putem face o intrare care:
Numere perfecte   Sunt numere a căror sumă de părți este un număr întreg.
Există însă și alte numere. Astfel, de exemplu, 18. Este împărțit în 2, 9, 6, 3, 1 și în sine. Prin urmare, 2 + 9 + 3 + 6 + 1 \u003d 21; 18/18 \u003d 1. Suma pieselor este în mod clar mai mare decât întregul. În acest caz, numărul este considerat superperfect.
Numere Super Perfect   sunt numere a căror sumă de părți depășește întregul.
Luați în considerare un alt exemplu. Numărul 8. Este împărțit în 2, 4, 1 și de la sine. Prin urmare, 2 + 4 + 1 \u003d 7; 8/8 \u003d 1. Suma pieselor este mai mică decât întregul. Și asta înseamnă că ajungem la conceptul de numere imperfecte.
Numere imperfecte   sunt numere a căror sumă de părți este mai mică decât un număr întreg.
„Domnule profesor, numerele ciudate pot fi perfecte?” - * a specificat o fată serioasă, cu stema lui Hufflepuff pe manta *
* Râsele sufocate s-au auzit în clasă *
- Râzi degeaba - * vrăjitoarea a strigat pe colegul vesel * - Domnișoara Tyler a pus o întrebare foarte corectă. Într-adevăr, un număr impar poate fi perfect. Adevărat, până acum doar în teorie - * fata a oftat * - Numerologii știu sigur că un astfel de număr ar trebui să aibă 9 divizori primi și 75 de divizori primi, ținând cont de multiplicitate. Numărul în sine nu a fost încă descoperit, dar nimeni nu a dovedit că nu există. Acum unii numerologi caută un astfel de număr. S-ar putea ca unii dintre voi să aveți norocul în viitor să devină descoperitorul său.
- În funcție de ce grup aparține un anumit număr, acesta are anumite proprietăți - * vrăjitoarea a continuat prelegerea * - Și aceste proprietăți afectează soarta unei persoane. Numerele uniforme ale pitagoreilor asociate cu o feminină pasivă. Aceste numere sunt o reflectare a proceselor închise în natură și a omului însuși, schimbări ciclice în cadrul unui întreg întreg. Chiar și numerele pot influența ceva cantitativ, dar nu calitativ. Dimpotrivă, numerele ciudate sunt, de obicei, asociate cu masculinitatea activă. Ele sunt o cartografiere a sistemelor deschise și a tranzitorilor. Numerele ciudate schimbă ceva calitativ, nu cantitativ.
- Numerele perfecte sunt cele mai bune - * a strigat un sophomore curvy cu o dungă roșie pe manta *
* Profesorul Davis s-a încruntat: ea nu și-a amintit de această studentă, el a fost la conferință pentru prima dată *
- Așa este, domnule ... Walton - * referindu-mă la revista, ea a răspuns * - Dar de acum încolo, nu-ți va fi greu, ridică mâna. Într-adevăr, Pitagora a văzut în numere perfecte un simbol al virtuții, media de aur între lipsă și exces. Cu cât numerele mai perfecte înconjoară o persoană, cu atât mai multe virtuți în sine. Pitagora a numit numere imperfecte simboluri ale viciului. În consecință, cu cât o persoană este mai rău, cu atât numerele mai imperfecte o înconjoară. Dar am vorbit despre un anumit grad de influență a numerelor asupra soartei în prima lecție. Soarta este multivariată și alegerea depinde adesea doar de noi înșine. Numerele sunt stelele noastre călăuzitoare, dar alegem calea în sine. Prin urmare, este imposibil să spunem că cineva a avut succes doar datorită unei date fericite de naștere, iar cineva s-a născut sub o stea nefericită și, prin urmare, a crescut un nenorocit. Dar înapoi la clasificarea noastră. Ulterior, pitagoreii l-au suplimentat semnificativ și l-au extins. Gippas din Metapont, Damo, ipotetica fiică a lui Pitagora și Feano, Moderat din Cadiz, Timaeus Lokrisky, Feano, soția lui Pitagora, Filolaus și Ekfant din Syracuse s-au distins în special în acest caz. Conform lucrărilor acestor pitagorei, numerele sunt astfel - * profesorul a arătat cu o baghetă către următorul afiș și a devenit imediat mult mai luminos și mai vizibil *

Succesorii operei marelui om de știință au argumentat de mult timp dacă zero poate fi considerat un număr și, de asemenea, despre modul de clasificare și în ce grup să-l definească. Unitatea a provocat multe controverse. Drept urmare, i s-a atribuit rolul important al numărului par impar primar. Ea a fost cea care a stat la baza clasificării augmentate creată de talentați numerologi ai antichității. Conform acestei clasificări:
Numere pătrate   Sunt numere obținute prin adăugarea de numere impare. De exemplu: 1 + 3 \u003d 4; 1 + 3 + 5 + 7 \u003d 16; 1 + 3 + 5 \u003d 9; 3 + 13 \u003d 16. Pitagoreii uneori înfățișau aceste numere ca pătrate.
Numere dreptunghiulare   sunt numere obținute prin adăugarea de numere uniforme. De exemplu: 2 + 4 \u003d 6; 2 + 4 + 6 \u003d 12.
Numere triunghiulare   sunt numere obținute prin adăugarea în ordine a numerelor impare și impare. De exemplu: 1 + 2 \u003d 3; 1 + 2 + 3 \u003d 6; 1 + 2 + 3 + 4 \u003d 10. Aceste numere, din punctul de vedere al pitagoreilor, pot fi reprezentate prin triunghiuri.
Numere pentagonale   - aceste numere, conform pitagoreilor, pot fi reprezentate de pentagoni. Numerele pentagonale includ 5, 12 și 22.
Aproape orice număr poate aparține celor trei categorii. În funcție de anumite calcule, acesta poate fi fie pătrat sau triunghiular, cât și dreptunghiular și pentagonal.
- Acum să vorbim despre exact ce proprietăți au înzestrat primii cercetători cu numere - * vrăjitoarea a arătat cu bagheta spre un afiș mare, punctat cu numere și interpretările lor *

număr	nume	imagine	Proprietățile
			Numărul principal ciudat, fundamentul tuturor. Numărul de întreprinderi, dinamica pozitivă și puterea. Diogenes Laertius a remarcat că întreaga serie numerică curge din monadă. De la monadă provine dyada, de la dyad - toate celelalte numere, și de la ele - puncte, linii, "două dimensiuni" și "entități tridimensionale" și corpuri. Simbolizează îndreptarea, independența, conducerea și curajul, în formă imperfectă poate simboliza agresivitatea și egoismul.
			Un număr secundar care exprimă principiul dualității tuturor lucrurilor. Cel mai moale număr, simbol al cooperării și diplomației. De obicei, coloana apare la data nașterii sau în numele viitorului îndrumător și consilier. Oferă vitalitate suplimentară, mulți oameni îndrăzneți și oameni sănătoși nici nu bănuiesc că datorează acest lucru nu numai unui stil de viață sănătos și unei activități fizice obișnuite.
			Cel mai frumos, din punctul de vedere al pitagoreilor, este numărul. Singurul dintre toate numerele naturale este suma predecesorilor săi. Singurul număr pentru care suma predecesorilor este egală cu produsul lor. Triada este unul dintre numerele magiei. În mod tradițional, numerele puterii magice sunt considerate 3, 7 și 11. Un număr creativ și motivațional foarte puternic. Simbolizează optimismul, auto-exprimarea și norocul.
			Un alt număr preferat al pitagoreilor. Primul număr obținut prin adăugarea și înmulțirea numerelor egale. Un simbol al dreptății, al ordinii, exactității și fiabilității. Persoana insufle o iubire de ordine și reguli, analiză și sistematizare, consolidează persistența în atingerea scopului, parității și sincerității.
			Acest simbol a fost purtat de toți pitagoreii. Datorită lui, ei au recunoscut oameni cu gânduri similare. Numărul de viață, putere și invulnerabilitate. În scrierile sale, Nikomah a scris: „Justiția este un pentad”. Pitagoreii considerau pentadul un număr sacru, un simbol al unirii principiilor masculine și feminine, dragostea și căsătoria.
			Numărul de echilibru al universului. Un simbol al sănătății și al vitalității inepuizabile.
			Pitagoreii au numit Ennead „orizontul numerelor”, delimitând numărul primelor și al tuturor zecilor ulterioare. Un simbol al finalizării, talentului, artistismului, idealismului și altruismului.
			Numărul de convergență, pitagoreii au văzut în ea un simbol al unirii pământului și cerului. Deceniul a fost portretizat în mod obișnuit ca un simbol sacru al tetraxisului.

* Vrăjitoarea a transferat bagheta de la masă la una dintre imagini *

Foarte des, în loc de imaginea deceniului dat în tabel, pitagoreii au scris un astfel de semn sacru, tetraxis, un simbol al armoniei și al Universului. Desigur, interpretarea lor nu poate fi considerată drept singura corectă și corectă. Numerologii din alte țări pot oferi acestor numere caracteristici complet diferite. Cu toate acestea, caracteristicile pitagoreene sunt foarte respectate în rândul numerologilor. Într-o serie de cazuri, acestea reflectă foarte complet și cu exactitate adevărata esență a majorității numerelor. Și ...
* Dar clopotul școlii l-a întrerupt din nou pe profesor în modul cel mai arogant și rușinos *
// Deja? //
* Fata a scos un ceas de argint pe un lanț subțire din buzunarul mantalei și s-a asigurat că timpul a trecut și a venit timpul să închei prelegerea *
- Asta e totul pentru ziua de azi. Vom vorbi despre pătratul lui Pitagora și alte lucruri nu mai puțin interesante în următoarea prelegere. Temele de pe casă - * Ein a întins mai multe afișe și a eliberat puțin spațiu. Atingând tabla cu o baghetă magică, le-a oferit elevilor posibilitatea de a rescrie sarcina care a apărut acolo *

misiuni

1. Unul dintre studenții de la prelegere a cedat în lene și nu a început să scrie în detaliu informațiile oferite domnișoarei Davis. Și acum el însuși s-a confundat în propriile sale note. Despre ce numiri pitagore vorbești aici? Argumentele.
   - Primul ochi văzător
   - Două inele de sănătate
   - Comanda caiete
   - Cheamă demonul dreptății
   - Steaua echilibrului
   - Mnogaugloff în capul salviei
   - Prima contracție cubică
   - Idealist al lotusului
   - Trei cer-pământ plumba în cerc
2. Dați cel puțin un exemplu de procese cantitative închise în corpul uman și deschise calitative în mediul uman. De exemplu, creșterea / îmbătrânirea anuală a unei persoane timp de 1 an este un proces cantitativ închis ciclic.

Sarcini suplimentare

1. 1. Eseu. Ai un examen dificil, pentru care nu ești foarte bine pregătit. Auzind colegii de clasă că imaginea unuia dintre numerele pitagore pe pergament aduce noroc în testare. Decideți să încercați. Ce semn puneți pe pergamentul de examen și de ce?
2. 1. Raportul „Semnul nu este atât de groaznic, cât este pictat”. Pentagrama nu a fost întotdeauna un simbol negativ - a fost descris pe sigiliile sale de Alexandru cel Mare, iar legendarul Sir Gawain l-a purtat pe scut. Povestiți-ne despre calea istorică și culturală dificilă pe care a parcurs-o acest simbol ambivalent. (1000 de caractere)
3. 1. Rolul de rol "Melodrama familiei". Ești foarte ghinionist - sora ta cea mică s-a născut un squib. Până când părinții tăi au realizat ce se întâmplă, ai decis să iei lucrurile în propriile mâini și să o corectezi. Știți că 3 din punctul de vedere al pitagoreilor este numărul magiei. Așadar, dacă încercați pe nefericiți cu tripluri, teoretic, magia deplină ar trebui să se trezească în ea. Joacă-ți încercările de a ajuta și încearcă să nu atragi ochii părinților, astfel încât toate secretele să nu devină evidente.
4. 1. Misiunea fantezie. Esti foarte norocos - esti numerologul personal al lui Voldemort / Harry Potter (alegerea personajului este la latitudinea ta). Ai sfătuit patronul tău să aibă întotdeauna un semn de tetraxis cu el - ar trebui să asigure succesul în orice afacere. Cu toate acestea, succesul așteptat dintr-un motiv oarecare nu există, patronul tău este nemulțumit și intenționează să te concedieze pe hârtie sau prin Avada. Încercați să vă salvați nu numai locul, ci și viața. Sarcina poate fi emisă sub formă de rol.
5. (Această prelegere este doar pentru 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cursuri)

Numerele sunt împărțite în clase. Numere întregi pozitive - N \u003d (1, 2, 3, ...) - alcătuiesc setul de numere naturale. Adesea, 0 este considerat un număr natural.

Ansamblul de numere întregi Z include toate numerele naturale, numărul 0 și toate numerele naturale luate cu un semn minus: Z \u003d (0, 1, -1, 2, -2, ...).

Fiecare număr rațional x poate fi definit de o pereche de numere întregi (m, n), unde m este numărătorul, n este numitorul numărului: x \u003d m / n. O reprezentare echivalentă a unui număr rațional este sarcina sa sub forma unui număr scris într-un sistem de numere zecimale poziționale, unde partea fracțională a numărului poate fi o fracțiune periodică finită sau infinită. De exemplu, numărul x \u003d 1/3 \u003d 0, (3) este reprezentat de o fracție periodică infinită.

Numerele date de fracții infinite neperiodice sunt numite numere iraționale. Astfel, de exemplu, sunt toate numerele formei vp, unde p este un număr prim. Numerele cunoscute de toată lumea sunt iraționale și e.

Unirea seturilor de numere întregi, raționale și iraționale este un set de numere reale. Geometric, setul de numere reale este o linie dreaptă - axa reală, unde fiecare punct al axei corespunde unui anumit număr real, astfel încât numerele reale să umple dens și continuu întreaga axă reală.

Planul reprezintă imaginea geometrică a setului de numere complexe, unde sunt deja introduse două axe - reale și imaginare. Fiecare număr complex definit de o pereche de numere reale este reprezentabil sub forma: x \u003d a + b * i, unde a și b sunt numere reale care pot fi considerate ca coordonate carteziene ale numărului de pe plan.

Divizori și factori

Acum luați în considerare o clasificare care împarte setul de numere naturale în două subseturi - primele și numerele compuse. La baza acestei clasificări se află conceptul de divizibilitate a numerelor naturale. Dacă n este divizibil în întregime cu d, atunci ei spun că d „împarte” n și scrie asta sub forma:. Rețineți că această definiție poate să nu fie intuitivă: d „împarte” n dacă n se împarte prin d și nu invers. Numărul d se numește divizorul lui n. Fiecare număr n are doi divizori triviali - 1 și n. Divizorii, în afară de banal, se numesc factori de n. Un număr n este numit prim dacă nu are divizori decât triviali. Numerele prime sunt divizibile doar cu 1 și singure. Numerele care au factori se numesc compuși. Numărul 1 este un număr special, deoarece nu se aplică nici numerelor prime sau compuse. Numerele negative nu se referă, de asemenea, la numere prime sau compuse, dar puteți considera întotdeauna modulul unui număr și îl puteți relaționa cu numere prime sau compuse.

Orice număr compozit N poate fi reprezentat ca produs al factorilor săi:. Această reprezentare nu este unică, de exemplu, 96 \u003d 8 * 12 \u003d 2 * 3 * 16. Cu toate acestea, pentru fiecare număr compus N există o reprezentare unică sub forma produsului gradelor primelor:, unde sunt primele și. Această reprezentare este numită factorizarea primă a lui N. De exemplu .

Dacă și, atunci d este un divizor comun al numerelor m și n. Dintre toți divizorii comuni, se poate desemna cel mai mare divizor comun, denumit GCD (m, n). Dacă GCD (m, n) \u003d 1, atunci numerele m și n se numesc coprim. Numerele prime sunt prime, deci GCD (q, p) \u003d 1 dacă q și p sunt numere prime.

Dacă și, atunci A este un multiplu comun al lui m și n. Dintre multipli multipli comuni, cel mai puțin multiplu comun poate fi distins, notat ca NOC (m, n). Dacă LCL (m, n) \u003d m * n, atunci numerele m și n sunt coprim. LOC (q, p) \u003d q * p dacă q și p sunt numere prime.

Dacă și notăm mulțimile tuturor factorilor primi ai m și n, atunci

Dacă se obține o descompunere a numerelor m și n în factori primi, atunci folosind relațiile de mai sus, este ușor de calculat GCD (m, n) și LCL (m, n). Există algoritmi mai eficienți care nu necesită factorizarea numărului.

Algoritmul euclidian

Euclid a propus un algoritm eficient pentru calcularea GCD (m, n). Se bazează pe următoarele proprietăți ale GCD (m, n), a căror dovadă este furnizată cititorului:

Dacă, atunci în a treia proprietate poate fi redus cu n. Dacă, în conformitate cu cea de-a doua proprietate, argumentele pot fi schimbate și revin la cazul considerat anterior. Când, ca urmare a acestor transformări, valorile argumentului devin egale, se va găsi o soluție. Prin urmare, putem oferi următoarea schemă:

while (m! \u003d n) (if (m.)< n) swap(m,n); m = m - n; } return(m);

Aici, procedura de schimb schimbă valorile argumentelor.

Dacă vă gândiți puțin, devine clar că nu este necesar să schimbați valori deloc - este suficient să schimbați argumentul cu valoarea maximă la fiecare pas al ciclului. Drept urmare, ajungem la schema:

while (m! \u003d n) (if (m\u003e n) m \u003d m - n; else n \u003d n - m;) return (m);

Dacă vă gândiți un pic mai mult, puteți îmbunătăți această schemă trecând la un ciclu cu o condiție identică adevărată:

while (true) (if (m\u003e n) m \u003d m - n; else if (n\u003e m) n \u003d n - m; else return (m);)

Această din urmă schemă este bună prin faptul că arată clar necesitatea de a dovedi completitatea acestui ciclu. Nu este dificil să se dovedească finalizarea unui ciclu folosind conceptul de variantă de ciclu. Pentru acest ciclu, opțiunea poate fi o funcție întreagă - max (m, n), care scade la fiecare pas, rămânând mereu pozitiv.

Avantajul acestei versiuni a algoritmului euclidian este faptul că la fiecare pas se folosește o operație elementară și rapidă pe întregi - scăderea. Dacă permitem operarea de calcul a restului în timpul diviziunii complet, numărul de pași din ciclu poate fi semnificativ redus. Următoarea proprietate este valabilă:

Acest lucru duce la următorul model:

int temp; dacă (n\u003e m) temp \u003d m; m este n; n \u003d temp; // swap (m, n) while (m! \u003d n) (temp \u003d m; m \u003d n; n \u003d temp% n;)

Dacă vă gândiți puțin, devine clar că nu este necesar să efectuați o verificare înainte de a începe un ciclu. Acest lucru duce la o schemă de calcul mai simplă pentru GCD, care este de obicei folosită în practică:

int temp; în timp ce (m! \u003d n) (temp \u003d m; m \u003d n; n \u003d temp% n;)

Pentru a calcula LCL (m, n), putem folosi următoarea relație:

Este posibil să calculăm NOC (m, n) fără a utiliza operațiile de înmulțire și divizare? Se dovedește că se poate calcula simultan GCD (m, n) și NOC (m, n). Iată diagrama corespunzătoare:

int x \u003d v \u003d m, y \u003d u \u003d n,; while (x! \u003d y) (if (x\u003e y) (x \u003d x - y; v \u003d v + u;) else (y \u003d y - x; u \u003d u + v;)) GCD \u003d (x + y ) / 2; NOC \u003d (u + v) / 2;

Dovada că acest circuit calculează corect GCD rezultă din proprietățile citate anterior ale GCD. Mai puțin evidentă este corectitudinea calculului CNP. Pentru dovadă, rețineți că următoarea expresie este o invariantă a ciclului:

Această relație este satisfăcută după ce variabilele sunt inițializate înainte de începerea buclei. La sfârșitul ciclului, când x și y devin egali cu GCD, corectitudinea schemei rezultă din adevărul invariantului. Este ușor să verificați dacă operatorii corpului ciclului părăsesc afirmația adevărată. Detalii despre dovezi sunt lăsate cititorilor.

Conceptele de GCD și NOC pot fi extinse definindu-le pentru toți numerele întregi. Sunt valabile următoarele relații:

Algoritmul euclidian avansat

Uneori este util să reprezentăm GCD (m, n) ca o combinație liniară de m și n:

În special, calculul coeficienților a și b este necesar în RSA - algoritmul de criptare a cheilor publice. Permiteți-mi să vă ofer o diagramă a algoritmului care vă permite să calculați triplul - d, a, b - cel mai mare factor comun și coeficienții de expansiune. Algoritmul este implementat în mod convenabil ca o procedură recursivă

ExtendedEuclid (int m, int n, ref int d, ref int a, ref int b),

care, având în vedere argumentele de intrare m și n, calculează valorile argumentelor d, a, b. Ramura nerecursivă a acestei proceduri corespunde cazului n \u003d 0, returnând ca urmare valorile: d \u003d m, a \u003d 1, b \u003d 0. Filiala recursivă apelează

ExtendedEuclid (n, m% n, ref d, ref a, ref b)

și apoi modifică valorile rezultate ale a și b după cum urmează:

Nu este dificil să se construiască o dovadă a corectitudinii acestui algoritm. Pentru o ramură nerecursivă, corectitudinea este evidentă, iar pentru o ramură recursivă, este ușor de arătat că adevărul rezultatului returnat de apelul recursiv implică adevărul său pentru argumente de intrare după recalcularea valorilor a și b.

Cum funcționează această procedură? În primul rând, apare o descendență recursivă, până când n devine zero.

În acest moment, valoarea lui d și valorile parametrilor a și b vor fi calculate pentru prima dată. După aceea, ascensiunea va începe și parametrii a și b vor fi recalculați.

Sarcinile

• 49. Dat fiind m și n sunt numere naturale. Calculați GCD (m, n). Pentru calcule, nu folosiți operațiile de înmulțire și divizare.
• 50. Dat fiind m și n sunt numere naturale. Calculați NOC (m, n).
• 51. Dat fiind m și n sunt numere naturale. Calculați NOC (m, n). Pentru calcule, nu folosiți operațiile de înmulțire și divizare.
• 52. Dat fiind m și n sunt numere întregi. Calculați GCD (m, n). Pentru calcule, nu folosiți operațiile de înmulțire și divizare.
• 53. Dat fiind m și n sunt numere întregi. Calculați NOC (m, n). Pentru calcule, nu folosiți operațiile de înmulțire și divizare.
• 54. Dat fiind m și n sunt numere întregi. Calculați GCD (m, n). Pentru calcule, utilizați operația de a lua restul diviziei în întregime.
• 55. Dat fiind m și n sunt numere întregi. Calculați NOC (m, n). Pentru calcule, utilizați operația de a lua restul diviziei în întregime.
• 56. Dat fiind m și n sunt numere întregi. Calculați triplul numerelor - (d, a, b) folosind algoritmul euclidian avansat.
• 57. Dat fiind m și n sunt numere naturale. Reprezentați GCD (m, n) ca o combinație liniară de m și n.
• 58. Dat fiind m și n sunt numere întregi. Reprezentați GCD (m, n) ca o combinație liniară de m și n.
• 59. Dat fiind m și n sunt numere întregi. Verificați dacă numerele m și n sunt coprim.

Numere prime

Printre numerele pare, există un singur număr prim - acesta este 2. Există, în mod arbitrar, multe numere impare simple. Este ușor de dovedit că numărul, unde sunt numere prime consecutive, este prim. Deci, dacă primele sunt construite, atunci se poate construi încă un număr prim, un număr mai mare. Rezultă că setul de prime este nelimitat. Exemplu: numărul N \u003d 2 * 3 * 5 * 7 + 1 \u003d 211 este un număr prim.

Sita de Eratostene

Cum se stabilește că numărul N este prim? Dacă operațiunea N% m este admisibilă, oferind restul de divizare a numărului N la numărul m, atunci algoritmul cel mai simplu este să verifice dacă restul nu este egal cu zero atunci când se împarte numărul N la toate numerele m mai mici decât N. O îmbunătățire evidentă a acestui algoritm este reducerea intervalului de verificare. - este suficient să se ia în considerare numerele m în interval.

Încă din secolul al III-lea î.Hr. Matematicianul grec Eratosthenes a propus un algoritm pentru găsirea primelor într-un interval care nu necesită operații de divizare. Acest algoritm este numit „Sita Eratostenelor”. Într-o versiune computerizată, ideea acestui algoritm poate fi descrisă după cum urmează. Construim un tablou de numere ale cărui elemente conțin numere impare la rând, începând cu 3. La început, toate numerele din acest tablou sunt considerate nemarcate. Am introdus primul număr neîncrucișat din acest tablou în tabloul SimpleNumbers - și acesta va fi primul număr impar (3). Apoi efectuăm cernerea, trecând prin matricea Numerelor cu un pas egal cu numărul prim găsit, traversând toate numerele care apar pe parcursul acestei treceri. La prima trecere, numărul 3 și toate numerele care sunt multipli de 3. vor fi șterse. La următoarea trecere, următorul număr prim 5 va fi introdus în tabelul prim, iar numerele care sunt multipli de 5 vor fi șterse din tabloul de numere. numere. Ca urmare, tabloul SimpleNumbers va conține un tabel cu primele mai mici decât N.

Acest algoritm este bun pentru găsirea primelor relativ mici. Dar dacă trebuie să găsiți un număr prim cu douăzeci de cifre semnificative, memoria computerului nu mai este suficientă pentru a stoca tablourile corespunzătoare. Rețin că algoritmii moderni de criptare folosesc primele care conțin câteva sute de cifre.

Densitate primă

Am arătat că numărul primelor este nelimitat. Este clar că sunt mai puține decât numere impare, dar cu cât mai puține? Care este densitatea primelor? Let este o funcție care returnează numărul primelor mai mic decât n. Această funcție nu poate fi setată exact, dar există o estimare bună pentru aceasta. Urmărește următoarea teoremă:

Funcția își apropie asimptotic limita de sus, astfel încât estimarea dă valori ușor subestimate. Această estimare poate fi utilizată în algoritmul de sită Eratosthenes pentru a selecta dimensiunea tabloului SimpleNumbers atunci când este specificată dimensiunea tabloului Numere și, invers, pentru o dimensiune dată a tabelului prim, puteți selecta dimensiunea corespunzătoare pentru tabloul Numerelor.

Algoritmul tabelului pentru determinarea simplității numerelor

Dacă păstrați un tabel cu prime simpleNumere, în care numărul cel mai mare este egal cu M, atunci este suficient de simplu să determinați dacă numărul N este mai mic decât prima. Dacă N este mai mic decât M, verificați doar dacă numărul N este în tabelul SimpleNumbers. Dacă N este mai mare decât M, este suficient să verificați dacă numărul N este împărțit la numere din tabelul SimpleNumbers care nu depășește vN. Este clar că dacă numărul N nu are factori primi mai mici decât vN, atunci numărul N este prim.

Utilizarea unui tabel primar necesită o memorie adecvată a computerului și, prin urmare, limitează capabilitățile acestui algoritm, nepermițându-i să fie utilizat pentru a găsi prime mari.

Algoritm banal

Dacă N este un număr impar, atunci se poate verifica dacă este prim pe baza definiției numărului prim. În același timp, nu este necesară nicio memorie pentru a stoca tabele de numere - dar, ca întotdeauna, câștigând în memorie, pierdem în timp. Într-adevăr, este suficient să verificăm dacă numărul N este complet divizat la numere impare succesive din interval. Dacă numărul N are cel puțin un factor, atunci este compus, altfel este simplu.

Toți algoritmii luați în considerare încetează să funcționeze eficient atunci când numerele depășesc grila de descărcare a computerului rezervat pentru a reprezenta numere, astfel încât dacă devine necesar să lucreze cu numere întregi din afara sistemului.Int64, atunci sarcina de a determina simplitatea unui astfel de număr devine complet dificilă. Există câteva rețete pentru a determina că un număr este un compozit. Amintiți-vă algoritmii cunoscuți încă din timpurile școlare. Dacă ultima cifră a numărului este împărțită la 2, atunci numărul este împărțit la 2. Dacă ultimele două cifre ale numărului sunt împărțite la 4, atunci numărul este împărțit la 4. Dacă suma cifrelor este împărțită la 3 (cu 9), atunci numărul este împărțit la 3 (cu 9). Dacă ultima cifră este 0 sau 5, atunci numărul este împărțit la 5. Matematicienii au depus mult efort pentru a demonstra că un anumit număr este (sau nu) un număr prim. Acum există trucuri speciale pentru a demonstra că un fel de numere sunt prim. Cei mai potriviți candidați pentru simplitate sunt numerele formularului, unde p este un număr prim. De exemplu, s-a dovedit că un număr cu peste 6.000 de cifre este prim, dar nu se poate spune care primele sunt vecinii cei mai apropiați ai acelui număr.

Sarcinile

proiecte

• 67. Construiți clasa „Temperatură”, permițându-vă să setați temperatura în diferite unități. Construiți un proiect Windows care acceptă o interfață pentru lucrul cu o clasă.
• 68. Construiți clasa „Distanțe”, permițând utilizarea diferitelor sisteme de măsuri. Construiți un proiect Windows care acceptă o interfață pentru lucrul cu o clasă.
• 69. Construiți clasa „Numere prime”. Construiți un proiect Windows care acceptă o interfață pentru lucrul cu o clasă.
• 70. Construiți clasa „Sisteme numerice”. Construiți un calculator Windows care acceptă calculele într-un sistem numeric dat.
• 71. Construiți clasa „Numere raționale”. Construiți un calculator Windows care acceptă calculele cu aceste numere.
• 72. Construiți clasa „Numere complexe”. Construiți un calculator Windows care acceptă calculele cu aceste numere.