secţiuni: Matematică

Obiective:

Predare: rezumați ZUN-urile pe tema studiată.

Dezvoltare: pentru a dezvolta capacitatea de a aplica material teoretic în rezolvarea problemelor; dezvolta gandirea logica. A învăța să gândești, să raționezi, să analizezi, să generalizezi.

Parenting: pentru a forma abilitatea de analiză și evaluare a propriei activități (respect de sine).

• Rezumă materialul studiat, stabilește motivația. A învăța studenții este logic să construim o nouă știință pentru ei GEOMETRIE. Analiza structurii formulării definiției și a proprietăților figurilor (segmente și unghiuri prin analogie; jumătate de linie și jumătate de plan).
• Efectuați o anchetă orală a studenților cu respect de sine.
• Realizați lucrări independente „Rezolvarea problemelor în conformitate cu desenele gata făcute” (respect de sine).
• Reflectați rezultatele.
• Stabiliți temele în funcție de rezultatele lecției.

Echipament:

• Tablou interactiv, prezentare.
• Triunghi tăiat din placaj.
• O frânghie cu noduri înnodate prin segmente egale.
• Cărți pentru autoevaluarea activităților elevului din lecție.

În timpul cursurilor

1. Organizarea momentului, motivarea lecției, stabilirea obiectivelor și obiectivelor (diapozitiv 1).

Planul lecției raportat.

Deci, băieți, continuăm să construim o nouă știință - GEOMETRIA. Acum vom repeta și vom rezuma cunoștințele pe care le aveți deja, vom trage analogii acolo unde este posibil și vom continua să facem cunoștință cu noile concepte. De asemenea, tu însuți vei verifica modul în care aplici cunoștințele dobândite în rezolvarea problemelor. Aflați multe lucruri noi și interesante despre geometrie. În fiecare etapă a lecției, te vei aprecia pe tine însuți. Rezultatele sunt enumerate în tabel:

2. Repetare (diapozitive 2-16).

1. Ce forme și concepte geometrice sunt principalele (nedetectabile)? Răspuns: Punct, linie, avion, distanță și set.
2. Câte linii pot fi trase prin diferite perechi de trei puncte care nu se află pe aceeași linie? Răspuns: Trei.
3. Câte linii pot fi trase prin diferite perechi de patru puncte, dintre care trei nu se află pe aceeași linie? Răspuns: 6.
4. Ce cifră se numește o rază (jumătate de linie)? Răspuns: Dacă puneți un punct pe o linie dreaptă, atunci acesta va împărți linia în 2 raze cu începutul în acest moment.
5. Ce cifră se numește jumătate de plan? Răspuns: Dacă trasați o linie dreaptă pe un plan, atunci acesta va împărți avionul în 2 jumătăți de plan (marginea este o linie dreaptă desenată).
6. Ce formă se numește segment? Răspuns: Un segment este o parte a unei linii delimitate de două puncte.
7. Care este contorul? Răspuns: O parte din patruzeci și milion de parte din meridianul de la Paris.
8. Cum se numește lungimea segmentului? Răspuns: Lungimea unui segment este un număr pozitiv care arată de câte ori un singur segment și părțile sale se încadrează în acest segment.
9. Ce proprietăți satisface lungimea unui segment? Răspuns: Lungimea unui segment satisface următoarele proprietăți: Proprietatea 1. Lungimile segmentelor egale sunt egale. Proprietatea 2. Lungimea sumei segmentelor este egală cu suma lungimilor lor.
10. Ce formă se numește unghi? Răspuns: Un unghi este o parte a unui plan delimitat de două raze care lasă puncte dintr-un punct.
11. Ce arată valoarea gradului unghiului? Răspuns: Valoarea gradului unghiului arată de câte ori unghiul este de un grad și părțile sale se încadrează în acest unghi.
12. Ce este: a) grad; b) minut; c) al doilea? Răspuns: a) O sută optzeciime din unghiul desfășurat; b) o a șaizeci de grade; c) una a șaizeci de minute.
13. Un unghi se numește direct dacă: Un unghi se numește acut dacă: Un unghi se numește obtuz dacă:
14. Care sunt proprietățile unui unghi de grad? Răspuns: Valoarea unghiului de grad satisface următoarele proprietăți: Proprietatea 1. Valorile gradului unghiurilor egale sunt egale. Proprietatea 2. Valoarea gradului sumei unghiurilor este egală cu suma valorilor lor de grad.
15. Repetăm \u200b\u200bnotația pentru un punct, o linie, o rază, un unghi.

Elevii își evaluează pe card pentru cunoașterea teoriei (respect de sine).

3. Munca independentă (diapozitive 17-18).

Fiecare elev are o foaie cu desene gata pregătite pentru 10 sarcini pe masă. Este necesar să notăm soluția problemelor pe tema „Unghiuri” (aplicarea proprietăților). A se vedea apendicele 1. Fiecare poate alege pentru soluția 5 dintre problemele sau mai multe (în funcție de abilitățile și pregătirea). Decizia durează 8-10 minute. Apoi un autotest. Pe placă este prezentat un diapozitiv cu răspunsuri. Autoevaluare (introducerea unei fișe de autocontrol).

Să ne odihnim (diapozitiv19).

Priviți cu atenție imaginea la sunetele muzicii lui Schnittke (30-40sec). Din ce cifre este format? Da, majoritatea formelor sunt triunghiuri.

Învățarea de materiale noi.

Elevii, cunoscând în prealabil subiectul lecției, își exprimă dorințele pe care le-ar dori să le învețe astăzi în lecție.

Discutarea epigrafului, stabilirea obiectivelor pentru această etapă a lecției (diapozitiv20).

Cea mai înaltă manifestare a spiritului este mintea.
Cea mai înaltă manifestare a minții este geometria.
Celula de geometrie este un triunghi.
Este la fel de inepuizabil ca universul.
DACĂ. Sharygin

Elevii prezintă triunghiuri în viața din jur. Încercând să formulăm o definiție a unui triunghi. Căutare și formulare științifică a definiției unui triunghi. Lățurile și unghiurile triunghiului sunt arătate și indicate. Se subliniază diferența de desemnare a unghiurilor și triunghiurilor. Un triunghi este un poligon cu trei laturi (sau trei colțuri). Laturile triunghiului sunt adesea notate cu litere mici care corespund literelor majuscule care notează vertexuri opuse.

În orice triunghi:

1. Față de latura mai mare se află un unghi mai mare și invers.

2. Unghiurile egale se află împotriva laturilor egale și invers.

Sarcina: elevii au decis să pună o masă triunghiulară cu un picior în camera de ceai. Unde ar trebui să fie baza piciorului? În mâinile unui triunghi de placaj, și prin metoda probelor este cel mai stabil punct de aplicare a picioarelor. Și dacă nu „pe ochi”, dar științific? Care este numele și locația acestui punct? Sunt formulate definițiile medianului și centroidului.

Tipurile de triunghiuri (în colțuri) și existența unui triunghi egal cu acesta .

Figura arată triunghiul ABC și fasciculul "a".? Deplasați triunghiul ABC astfel încât vertexul său A să coincidă cu începutul razei "a", vertexul B cade pe raza "a", iar vertexul C se află într-un semiclan dat în raport cu raza "a" și continuarea acesteia. Vârfurile triunghiului nostru în această nouă poziție sunt notate cu A 1, B 1, C 1. Triunghiul A 1 B 1 C 1 este egal cu triunghiul ABC. Existența unui triunghi A 1 B 1 C 1, egal cu triunghiul ABC și situat în maniera indicată în raport cu raza dată a, este una dintre principalele proprietăți ale celor mai simple figuri.

Să precizăm această proprietate după cum urmează:

Oricare ar fi triunghiul, există un triunghi egal cu acesta într-o locație dată în raport cu jumătatea dată. Existența unui triunghi egal cu acesta.

Două triunghiuri sunt numite egale dacă laturile lor respective sunt egale și unghiurile corespunzătoare sunt egale. În acest caz, laturile respective trebuie să se întindă împotriva unghiurilor corespunzătoare.
Existența unui triunghi egal cu acesta, atribuim numărului de axiome. (S-ar părea că acest lucru este evident, dar nu puteți demonstra asta!)

Amintiți-vă definiția perimetrului. Să rezolvăm problema.

Este necesar să adăugați un teren de formă triunghiulară. Se știe că există 47 de metri de garduri vii. O parte a triunghiului este cu 7 metri mai mică decât cealaltă și de 2 ori mai mică decât a treia. Găsiți laturile triunghiului (secțiune).

Discuție și soluție a problemei (desen, dat, găsit, soluție). Diapozitivele 21-26.

Autoevaluarea acestei etape în fișa de autocontrol.

5. Teme pentru acasă (Slide27).

1. Explorați paragrafele 9 și 10. Repetați teoria 1-8.

2. Pagina 19 Nr 39, nr 40

3. Opțional (tipărire): a) Câte triunghiuri sunt afișate în figură?

b) Câte părți poligonii stelari obișnuiți din figură se împart într-un plan?

6. Acest lucru este interesant.

1. Elevilor li se arată două șipci, în care două capete sunt fixate cu un cui. Acest design nu este rigid: prin mișcarea sau împingerea capetelor, putem schimba unghiul dintre ele. Acum mai luăm încă o linie și îi vom fixa capetele cu capetele libere ale primelor două linii. Designul rezultat va fi deja rigid. În ea, nici două părți nu pot fi deplasate sau îndepărtate, adică niciun unghi nu poate fi schimbat. Proprietatea de rigiditate a unui triunghi este larg utilizată în practică. Deci, pentru a fixa stâlpul într-o poziție verticală, i se pune un suport. Același principiu este utilizat la instalarea suportului. (diapozitive 28-30).

2. 19 martie 2012 Turnul Shukhov de pe Shabolovka împlinește 90 de ani. Proprietatea de rigiditate a unui triunghi este larg utilizată în practică în construcția structurilor de fier. Liniile de înaltă tensiune. Triunghiurile fac ca structurile să fie fiabile. Triunghiuri în construcția de poduri (diapozitive 31-33).

3. Încă din cele mai vechi timpuri, a fost cunoscută o metodă foarte simplă pentru construirea unghiurilor drepte pe pământ. Această metodă a fost folosită acum mii de ani de constructorii piramidelor egiptene. Trei elevi ies și trag triunghiul egiptean cu laturile 3, 4, 5 folosind o frânghie cu noduri legate la distanțe egale între ele (diapozitive 34 - 35).

4. Diapozitive 36-43. Sunt prezentate diferite aplicații ale triunghiului în arhitectură, design, la determinarea locației epicentrului unui cutremur etc.

7. Reflexie. Rezumatul lecției.

Organizarea reflecției și feedback-ului, corectarea rezultate intermediare. Crearea condițiilor pentru dezvoltarea abilităților pentru a analiza rezultatul activităților lor și pentru a stabili sarcini fezabile.

1. Care este structura definiției unui concept nou?

2. Ce trebuie amintit și ce poate fi formulat prin analogie?

3. Credeți că obiectivul lecției a fost atins?

4. Ce ai învățat în lecție?

5. Ce ați dori să repetați în lecțiile următoare?

6. Cum evaluați munca dvs. în lecție? (predă foi de autocontrol, stima de sine).

Elaborarea unei „imagini” a activității din lecție: „Am învățat:”, „Am studiat:”, „Am putea:”, „Nu am reușit:”, analiza succesului său: „Am putea, pentru că:”, „Nu a funcționat, deoarece: "," Acasă și în lecția următoare trebuie să exersezi la: "

Care este tipul și faza diviziunii celulare prezentate în figuri. Ce procese ilustrează? La ce duc aceste procese?

Explicaţie.

1) Tipul și faza divizării: meioză - faza 1.

2) Procese: traversare, schimb de regiuni omomoase cromozomiale. Schimb reciproc de site-uri între cromozomi omologi (perechi).

3) Rezultat: o nouă combinație de alele genice, deci variație combinatorie

Notă:

în clauza 2, procesul de „conjugare” a fost indicat, eliminat din criterii, deoarece

Conjugarea cromozomilor este o apropiere temporară pereche de cromozomi omologi, în timpul căreia poate avea loc un schimb de regiuni omologe (sau poate să nu apară).

Explicație din partea „utilizatorului” site-ului Eugene Sklyar - clarificări la punctul 2. De asemenea, numite de inspectori „ca adevărate”

2) Procese: conjugare (sinapsă) - convergență și contactul cromozomilor omologi, încrucișare - schimb de regiuni cromozomice omologe.

3) Rezultat: o nouă combinație de alele genice, prin urmare, o creștere a eterogenității genetice a cromozomilor și, ca urmare, a format gameți (spori).

Fără variabilitate combinatorie, ca. variabilitatea poate fi apreciată doar de noua generație de organisme.

Synapsis - conjugarea cromozomilor, apropierea temporară în pereche a cromozomilor omologi, în timpul cărora poate avea loc schimbul de regiuni omologe între ele ... (manuale pentru clase specializate sub redacția Shumny)

Prin urmare, traversarea este o parte a conjugării cel puțin în termeni.

Sursa: USE în Biologie 30/05/2013. Valul principal. Siberia. Opțiunea 4., examen - 2017

oaspetele 19.08.2015 17:20

Există o eroare în explicație. Figura arată procesul de încrucișare: 1. bivalent înainte de traversarea, 2. bivalent după prăbușire.

FĂRĂ CONJUGURI ÎN FIGURA.

Gulnara 01.06.2016 13:49

Crossover este schimbul de regiuni de cromozomi omologi, de ce să scrieți separat un cruce separat de virgulă, schimb de regiuni de cromozomi omologi ???

Natalya Evgenievna Bashtannik

nu, acestea sunt trei procese diferite:

conjugare, traversare, schimb de regiuni cromozomice omologe

Svetlana Vasilieva 17.11.2016 02:56

Se poate întâmpla trecerea fără conjugare ???? Conjugarea (convergența cromozomilor omologi) apare întotdeauna, dar traversarea nu este întotdeauna, doar 30%! Crossover este un contact al cromozomilor omologi, după care are loc un schimb între regiunile lor identice ..... sau nu?

Natalya Evgenievna Bashtannik

Care este esența problemei?

Crossingover este traversa, schimb reciproc de regiuni omoloage de cromozomi omologi ca urmare a rupturii și conectării filamentelor lor într-o nouă ordine - cromatidă; duce la noi combinații de alele de gene diferite.

De ce 30% ??? Probabilitate de recrutare diferitdepinde de distanța dintre gene. 1% Crossover \u003d 1M (Moribidă).

Dacă a avut loc o încrucișare - un crossover, aceasta nu înseamnă că va avea loc un schimb.

§ 1. PROPRIETĂȚI DE BAZĂ A CIFRELOR GEOMETRICE MAI SIMPLICE
1. FIGURI GEOMETRICE
Geometria este știința proprietăților formelor geometrice. Cuvântul „geometrie” este grecesc, tradus în rusă înseamnă „topografie terestră”. Acest nume este asociat cu utilizarea geometriei pentru măsurători la sol.
Exemple de forme geometrice: triunghi, pătrat, cerc (Fig. 1).
Formele geometrice sunt foarte diverse. O parte a oricărei forme geometrice este o formă geometrică. Unirea mai multor figuri geometrice este din nou o figură geometrică. În figura 2, figura din stânga este formată dintr-un triunghi și trei pătrate, iar figura din dreapta constă dintr-un cerc și părți dintr-un cerc. Ne imaginăm orice figură geometrică compusă din puncte.
Geometria este larg utilizată în practică. Trebuie să fie cunoscut lucrătorului, inginerului, arhitectului și artistului. Într-un cuvânt, toată lumea trebuie să cunoască geometria.
Geometria studiată la școală se numește euclidiană cu numele de Euclid, care a creat un manual de matematică numit „Începuturi”. Multă vreme, geometria a fost studiată din această carte.
Vom începe să studiem geometria cu planimetria. Planimetria este o secțiune a geometriei în care sunt studiate figurile de pe un plan.

2. DOT ȘI DIRECT
Principalele figuri geometrice de pe plan sunt un punct și o linie dreaptă. Punctele sunt de obicei notate cu majuscule latine: A, B, C, D, ... Liniile sunt indicate cu litere mici cu caractere latine
În figura 3 vedeți punctul A și linia o.
Linia este infinită. În figura ne înfățișăm doar o parte din linie, dar imaginați-o că va fi extins nelimitat în ambele direcții.
Uitați-vă la figura 4. Veți vedea liniile a, b și punctele A, B, C. Punctele A și C se află pe linia o. De asemenea, putem spune că punctele A și C aparțin liniei o sau că linia o trece prin punctele A și C.
Punctul B se află pe linia b. Ea nu se întinde pe o linie dreaptă despre. Punctul C se află pe linia o și pe linia b. Liniile o și b se intersectează în punctul C. Punctul C este punctul de intersecție al liniilor a vs. B.
În figura 5, puteți vedea cum să folosiți o riglă pentru a construi o linie dreaptă care trece prin două puncte date A și B.
Proprietățile principale ale apartenenței punctelor și liniilor din avion vor fi numite următoarele proprietăți:
I. Oricare ar fi linia, există puncte care aparțin acestei linii și puncte care nu aparțin acesteia.
Prin orice două puncte puteți desena o linie și doar unul.
O linie dreaptă poate fi notată cu două puncte situate pe ea. De exemplu, linia o din figura 4 poate fi desemnată AC, iar linia b poate fi desemnată AC.
Problemă (3). Poate două linii să aibă două puncte de intersecție? Explicați răspunsul.
Decizie. Dacă două linii ar avea două puncte de intersecție, atunci două linii ar trece prin aceste puncte. Și acest lucru este imposibil, deoarece doar două linii drepte pot fi trase prin două puncte. Prin urmare, două linii nu pot avea două puncte de intersecție.
3. CUT
Uită-te la Figura 6. Vedeți linia o și cele trei puncte A, B, C pe această linie. Punctul B se află între punctele A și C, el separă punctele A și C. Se poate spune, de asemenea, că punctele A și C se află pe laturile opuse ale punctului B. Punctele B și C se află pe o parte a punctului A, nu sunt separate de punctul A Punctele A și B se află pe o parte a punctului C.
Un segment este o parte a unei linii care constă din toate punctele acestei linii situate între cele două puncte date. Aceste puncte sunt numite capetele segmentului. O linie este indicată printr-o indicație a capetelor sale. Când spun sau scriu: „segment AB”, atunci înseamnă un segment cu capete la punctele A și B.
În figura 7 vedeți segmentul AB. Face parte din AB direct. Această parte a liniei este evidențiată cu caractere aldine. Punctul X al liniei se află între punctele A și B, prin urmare, aparține segmentului AB. Punctul Y nu se află între punctele A și B, prin urmare, nu aparține segmentului AB.
1 Numărul dintre paranteze indică numărul sarcinii din lista de sarcini date la sfârșitul alineatului.
Proprietatea principală a locației punctelor de pe o linie va fi numită următoarea proprietate:
II. Dintre cele trei puncte de pe linie, unul și doar unul se află între celelalte două.
4. TĂIERI DE MĂSURARE
Pentru segmente de măsurare se folosesc diferite instrumente de măsurare. Cel mai simplu astfel de instrument este un conducător cu divizii pe acesta. În figura 8, segmentul AB este de 10 cm, segmentul AC este de 6 cm, iar segmentul BC de 4 cm. Lungimea segmentului AB este suma lungimilor segmentelor AC și BC.
Principalele proprietăți ale segmentelor de măsurare vom numi următoarele proprietăți:
III. Fiecare segment are o anumită lungime mai mare decât zero. Lungimea unui segment este egală cu suma lungimilor părților în care este împărțită la oricare dintre punctele sale.
Aceasta înseamnă că dacă luăm orice punct C pe segmentul AB, atunci lungimea segmentului AB este egală cu suma lungimilor segmentelor AC și BC. Lungimea segmentului AB se mai numește distanța dintre punctele A și. LA.
5. PLANELE MICI
Uită-te la Figura 9. Linia dreaptă a împarte planul în două jumătăți de plan. Această partiție are urmând proprietatea. Dacă capetele unui segment aparțin unui semiplan, atunci segmentul nu intersectează linia. Dacă capetele segmentului aparțin diferitelor jumătăți de plan, atunci segmentul intersectează linia.
În figura 9, punctele de la A la B se află într-unul din jumătățile plane în care linia a împarte planul. Prin urmare, segmentul AB nu intersectează linia c. Punctele C și D se află în diferite jumătăți de avion. Prin urmare, CD-ul segmentului intersectează linia o.
Proprietatea principală a locației punctelor în raport cu o linie din avion este următoarea proprietate:
IV. Linia împarte avionul în două jumătăți de plan.
Problemă (17). Se acordă o linie și trei puncte A, B, C și C situate pe această linie. Se știe că segmentul AB intersectează linia, iar segmentul AC nu o intersectează. O linie dreaptă intersectează un segment de soare? Explicați răspunsul.
Decizie. Linia dreaptă împarte planul în două jumătăți de plan (Fig. 10). Punctul A aparține unuia dintre ei. Segmentul de curent alternativ nu trece linia. Prin urmare, punctul C se află în același semi-plan ca și punctul A.
Segmentul AB intersectează linia. Prin urmare, punctul B se află într-un alt semiplan.
Astfel, punctele B și C se află în diferite semiplanuri. Și asta înseamnă că segmentul soarelui traversează linia noastră.
6. SEMI-DIRECT
Problemă (20). Linia o și punctele A, X, Y, Z de pe această linie sunt date (Fig. 11). Se știe că punctele X și Y se află pe o parte a punctului A, punctele X și Z se situează și pe o parte a punctului A. Cum sunt situate punctele Y și Z în raport cu punctul A: pe o parte sau pe laturile opuse? Explicați răspunsul.
Decizie. Trasezi linia A o altă linie b în afară de a. Împărțește avionul în două jumătăți de plan. Punctul X aparține unuia dintre ele. Punctele Y și Zy se găsesc în același semiplan, deoarece segmentele XY și XZ nu intersectează linia B. Deoarece punctele Y și Z se află în același semiplan, segmentul YZ nu intersectează linia b și, prin urmare, nu conține punctul A. Adică, punctele Y și Z se află pe o parte a punctului A.
O jumătate de linie sau o rază este o parte a unei linii care constă din toate punctele acestei linii situate pe o parte a punctului dat. Acest punct se numește punctul pe jumătate drept. Se adaugă diferite semimini ale aceleiași linii, având un punct de plecare comun, complementare.
Liniile semi-drepte, precum și liniile drepte, sunt notate cu litere minuscule. Se poate desemna o jumătate de linie cu două puncte: punctul de plecare și un alt punct aparținând jumătății de linie. În acest caz, punctul de plecare este pus pe primul loc. De exemplu, jumătatea liniei, care este indicată de linia cu caractere aldine din figura 12, poate fi desemnată AB.
Problemă (22). La punctul AB, se ia punctul C. Dintre semicirculele AB, AC, C A și CB, se numără perechi de jumătăți coincide, jumătăți suplimentare. Explicați răspunsul.
Soluție (Fig. 13). Aceste jumătăți au un punct de plecare fie punctul A, fie punctul C.
Mai întâi luăm în considerare jumătățile cu punctul de pornire A (jumătățile liniilor AB și AC). Punctul C se află între punctele A și B, deoarece din condiția problemei aparține segmentului
AB. Prin urmare, punctul A nu se află între punctele B și C, adică punctele B și C se găsesc pe o parte a punctului A. Prin urmare, semidirectele AB și AC coincid.
Considerăm acum jumătățile cu punctul inițial C (jumătăți de linii CA și CB). Punctul C separă punctele A și B. Prin urmare, punctele A și B nu pot face parte dintr-o jumătate de linie, ceea ce înseamnă că semilinele CA și CB sunt suplimentare.
7. UNGER
Un unghi este o figură care constă dintr-un punct - vertexul unui unghi - și două jumătăți diferite care emană din acest punct - laturile unghiului.
În figura 14 vedeți unghiul cu vertexul O și laturile a, b. Un unghi este indicat fie prin indicarea vertexului său, fie prin indicarea laturilor sale, fie prin indicarea a trei puncte: un vertex și două puncte pe laturile colțului. Cuvântul „unghi” este uneori înlocuit de semnul Z .. Unghiul din figura 14 poate fi identificat în trei moduri: LO, Z- (ob), AAOW. În al treilea mod de a desemna unghiul, litera care indică partea de sus este plasată în mijloc.
Dacă laturile unghiului sunt jumătăți suplimentare ale unei linii drepte, atunci unghiul se numește desfăcut. În figura 15 vedeți un unghi detaliat cu vertexul O și laturile OA și OB.
Vom spune că o rază trece între laturile unui unghi dat dacă provine din vertexul său și intersectează un segment cu capetele de pe părțile laterale ale colțului. În figura 16, o rază c trece între laturile unghiului (ob), deoarece provine din vârful unghiului (ab) și intersectează segmentul AB cu capetele de pe laturile sale.
În cazul unghiului desfășurat, credem că orice rază emanată din vertexul său și alta decât laturile sale trece între laturile unghiului.
Unghiurile sunt măsurate în grade folosind un protector. În figura 17, unghiul (ab) este de 120 °. O jumătate de linie cu treceri între laturile unghiului (ab). Unghiul (ac) este 90 °, iar unghiul (fi) 30 °. Unghi (ab) egală cu suma unghiuri (ac) și (bc).
Principalele proprietăți ale unghiurilor de măsurare vor fi numite următoarele proprietăți:
V. Fiecare unghi are o anumită măsură măsură mai mare decât zero. Unghiul extins este de 180 °. Măsura gradului unghiului este egală cu suma măsurilor de grad a unghiurilor în care este împărțită de orice rază care trece între laturile sale.
Aceasta înseamnă că dacă raza c trece între laturile unghiului (ab), atunci unghiul (ab) este egal cu suma unghiurilor (ac) și (bc).
Problemă (25). Poate trece raza c între laturile unghiului (ab) dacă Z (oc) \u003d 30 °, A (cb) \u003d 80 °, A (ab) \u003d 50 °? -F Soluție. Dacă fasciculul c trece între laturile unghiului (r), apoi prin proprietatea măsurării unghiurilor ar trebui să fie: A (ac) - rL (bc) \u003d A (ab).
Dar 30 ° + 80 ° \u003d 50 °.
Prin urmare, raza c nu poate trece între laturile unghiului (ab).
8. TĂTURI DE POZIȚIONARE ȘI SCURTURI
Figura 18 arată cum se folosește o riglă pe o jumătate de linie o cu un punct de plecare A pentru a întârzia un segment de o lungime dată (3 cm).
Priviți Figura 19. Semi-linia o, extinsă dincolo de punctul de pornire A, împarte planul în două jumătăți de plan. Figura arată cum se folosește un protractor pentru a amâna un unghi cu o măsură de grad dată (60 °) de la o jumătate de linie pe jumătatea planului superior.
Principalele proprietăți de așezare a segmentelor și unghiurilor se vor numi următoarele proprietăți:
VI. La orice jumătate de linie de la punctul său de pornire, puteți amâna un segment de lungime dată și doar unul.
VII. De la orice jumătate de linie într-un semiclan dat, se poate amâna un unghi cu un grad dat măsura mai mică de 180 ° și doar unul.
Problemă (30). Pe fasciculul AB, este reprezentat segmentul AC, care este mai mic decât segmentul AZ. Care dintre cele trei puncte A, B, C se află între celelalte două? Explicați răspunsul.
Soluție (Fig. 20). Din moment ce punctele B vs. Deoarece C se află pe o jumătate de linie cu punctul de pornire A, atunci ele nu sunt separate prin punctul A, adică punctul A nu se află între punctele B și C.
Poate punctul B să se găsească între punctele A și C? Dacă s-ar situa între punctele A și C, atunci ar fi
AB + BC \u003d AC.
Dar acest lucru este imposibil, deoarece din ipoteză segmentul AC este mai mic decât segmentul AB.
Prin urmare, punctul B nu se află între punctele A și C.
Dintre cele trei puncte A, B, C, unul se află între celelalte două. Prin urmare, punctul C se află între punctele A și B.
9. TRIANGLE
Un triunghi este o figură care constă din trei puncte care nu se află pe o linie dreaptă și trei segmente care leagă aceste puncte în perechi. Punctele se numesc vertexurile unui triunghi, iar segmentele se numesc laturi.
În figura 21 vedeți un triunghi cu vârfurile A, B, C și laturile AB, BC, AC. Un triunghi este indicat printr-o indicație a vârfurilor sale. În locul cuvântului „triunghi” se folosește uneori semnul D. De exemplu, triunghiul din figura 21 este notat ca: DABS.
Unghiul triunghiului ABC la vertexul A este unghiul format din jumătățile liniilor AB și AC. Unghiurile triunghiului sunt, de asemenea, determinate la vârfurile B și C.
Două segmente sunt numite egale dacă au aceeași lungime. Două unghiuri sunt numite egale dacă au aceeași măsură unghiulară în grade.
Triunghiurile sunt numite egale dacă laturile lor sunt egale și unghiurile corespunzătoare sunt egale. În acest caz, unghiurile corespunzătoare trebuie să se întindă împotriva părților respective.
În desen, segmente egale sunt de obicei marcate cu unul, două sau trei liniuțe, iar unghiurile egale sunt marcate cu unul, două sau trei arcade.
Pentru a indica egalitatea triunghiurilor se folosește
semn egal egal: \u003d. Intrarea AABC \u003d AABC scrie: „Triunghiul ABC este egal cu triunghiul ABC. În acest caz, ordinea în care sunt înregistrate vârfurile triunghiului este importantă. Egalitate AABC \u003d aABC înseamnă că AA - AA, AB \u003d AVi ... Și egalitatea AABC-ABAC înseamnă altceva: AA \u003d AVi AB \u003d AA, ...
Problemă (38). Triunghiurile ABC și PQR sunt egale. Se știe că partea AB este de 10 m și unghiul C este de 90 °. Care sunt laturile PQ și unghiul R egale? Explicați răspunsul.
Decizie. Deoarece triunghiurile ABC și PQR sunt egale, atunci au AB \u003d PQ, AC \u003d AR. Prin urmare, PQ \u003d 10 m, AR \u003d 90 °.
10. EXISTENȚA UNUI TRIANGLE URIAL LA ACESTA
Să presupunem că avem un triunghi ABC și o rază a (Fig. 23, a). Deplasăm triunghiul ABC astfel încât vertexul său A să fie aliniat cu începutul razei a, vertexul B cade pe raza o, iar vertexul C să fie în jumătatea dată în raport cu raza a și continuarea acesteia. Vârfurile triunghiului nostru în această nouă poziție sunt notate cu A, B, C (Fig. 23.6).
Triunghi ABC (egal cu triunghiul ABC.
Existența unui triunghi ABC, egal cu un triunghi ABC și situat în maniera indicată în raport cu o rază dată a, este una dintre proprietățile de bază ale celor mai simple figuri. Vom formula această proprietate după cum urmează:
Viii. Oricare ar fi triunghiul, există un triunghi egal cu acesta într-o locație dată în raport cu jumătatea dată.
11. PARALLEL DIRECT
Două linii sunt numite paralele dacă nu se intersectează.
Figura 24 arată cum se trasează o linie dreaptă b paralelă cu o linie dată o printr-un punct B și o riglă.
Pentru a indica paralelismul liniilor, se folosește semnul || Notația a || b scrie: „Linia o este paralelă cu linia b”.
Proprietatea principală a liniilor paralele este următoarea:
IX. Printr-un punct care nu se află pe o anumită linie, puteți desena pe avion nu mai mult de o linie paralelă cu aceasta.
Problemă (41). Poate o linie care să intersecteze una (din două linii paralele, să nu se intersecteze cu cealaltă? - "Explicați răspunsul."
Decizie. Fie un vs. b sunt linii paralele, iar linia c intersectează linia a în punctul A (Fig. 25). Dacă linia c nu intersectează linia b, atunci două linii ar trece prin punctul A care nu intersectează linia b: linia a și linia c. Dar, datorită proprietății liniilor paralele, acest lucru este imposibil. Prin urmare, linia c care intersectează linia o trebuie să intersecteze și linia b paralelă cu ea.
12. TEORII ȘI EVIDENȚĂ
Corectitudinea enunțului despre proprietatea unei anumite figuri geometrice este stabilită prin raționament. Acest raționament se numește dovadă. Iar afirmația în sine, care este dovedită, se numește teoremă. Dăm un exemplu.
Teorema 1.1. Dacă o linie care nu trece prin niciunul dintre vârfurile unui triunghi intersectează una dintre laturile sale, atunci nu intersectează decât una din celelalte două laturi.
Dovada. Lasă linia să nu treacă prin niciunul dintre vârfurile triunghiului ABC și intersectează partea sa AB (Fig. 26). Linia o împarte avionul în două jumătăți de plan. Punctele A și B se află în diferite semia planuri, deoarece segmentul AB intersectează linia o. Punctul C se află într-unul dintre aceste jumătăți de avion.
Dacă punctul C se află într-un semiplan cu punctul A, atunci segmentul AC nu intersectează linia o, iar segmentul BC intersectează această linie (Fig. 26, a).
Dacă punctul C se află într-un semiplan cu punctul B, atunci segmentul AC intersectează linia o, dar segmentul BC nu se intersectează (Fig. 26, b).
În ambele cazuri, linia o intersectează doar unul dintre segmentele de curent alternativ sau ale AC. Aceasta este toată dovada.
Fig. 26
Enunțul unei teoreme constă de obicei din două părți. O parte vorbește despre ceea ce este dat. Această parte se numește condiția teoremei. Cealaltă parte este despre ceea ce trebuie dovedit. Această parte este numită concluzia teoremei.
Condiția teoremei 1.1 este aceea că este bine; trece
prin niciun vertex al triunghiului și traversează una dintre laturile sale. Concluzia teoremei este că această linie nu intersectează decât una din celelalte două laturi ale triunghiului.
13. AXIOME
Declarațiile conținute în formulările proprietăților de bază ale cifrelor simple nu sunt dovedite și se numesc axiome. Cuvântul axiom provine din cuvântul grecesc axios și înseamnă o afirmație fără îndoială.
În dovedirea teoremelor, este permisă utilizarea proprietăților de bază ale celor mai simple figuri, adică axiome, precum și proprietăți deja dovedite, adică, teoreme dovedite. Nici alte proprietăți ale figurilor, chiar dacă ni se par evidente, nu pot fi utilizate.
În dovedirea teoremelor, este permisă utilizarea desenului ca notare geometrică a ceea ce exprimăm prin cuvinte. Nu este permisă utilizarea proprietăților figurii vizibile în desen în discuție, dacă nu le putem justifica pe baza axiomelor și teoremelor dovedite anterior.
În geometrie, alături de cuvinte precum axioma și teorema, este folosit și cuvântul „definiție”. A defini ceva înseamnă a explica ce este.
De exemplu, ei spun: „Dați o definiție a unui triunghi”. Ei răspund astfel: „Un triunghi este o figură care constă din trei puncte care nu se află pe o linie dreaptă și trei segmente care leagă aceste puncte în perechi”.
Un alt exemplu: „Definiți linii paralele”. Răspundem: „Liniile sunt numite paralele dacă nu se intersectează”. Cunoașteți deja definițiile segmentelor egale, unghiurilor egale și triunghiurilor egale.

ÎNTREBĂRI DE TEST
1. Dați exemple de forme geometrice.
2. Care sunt principalele figuri geometrice din plan.
3. Cum sunt marcate punctele și liniile?
4. Formulați proprietățile de bază ale apartenenței punctelor și liniilor.
5. Explicați ce este un segment cu capete în aceste puncte.
6. Formulați proprietatea principală a locației punctelor pe o linie.
7. Formulați proprietățile de bază ale segmentelor de măsurare.
8. Care este distanța dintre două puncte date?
9. Ce proprietăți are o partiție a unui avion în două jumătăți de avion?
10. Formulați proprietatea principală a locației punctelor în raport cu o linie din avion.
11. Ce este o jumătate de linie sau un fascicul? Ce jumătăți sunt numite opționale?
12. Cum sunt etichetate semilini?
13. Ce formă se numește unghi?
14. Cum este indicat unghiul?
15. Ce unghi se numește lat?
16. Explicați ce înseamnă expresia: "O jumătate de linie trece între laturile colțului."
17. În ce unități se măsoară unghiurile și cu ce instrument? Explicați cum este luată măsurarea.
18. Formulați proprietățile de bază ale unghiurilor de măsurare.
19. Formulați proprietățile de bază ale așezării segmentelor și colțurilor.
20. Ce este un triunghi?
21. Care este unghiul unui triunghi la un vertex dat?
22. Ce segmente se numesc egale?
23. Ce unghiuri se numesc egale?
24. Ce triunghiuri se numesc egale?
25. Cum sunt marcate laturile și unghiurile corespunzătoare în triunghiuri egale în figură?
26. Explicați în figura 23 existența unui triunghi egal cu acesta.
27. Ce linii se numesc paralele? Ce semn este folosit pentru a indica linii paralele?
28. Formulați proprietatea principală a liniilor paralele.
29. Dați un exemplu de teoremă.
KOHETS ФАГМEHTA

„Zona triunghiului” - BC este baza. AN1 - înălțime. Baza de curent alternativ. BH - înălțime. Zona unui triunghi. Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul bazei și înălțimii sale. Aria unui triunghi cu unghi drept este egală cu jumătate din produsul picioarelor sale. Teorema. Dacă înălțimile a două triunghiuri sunt egale, atunci zonele lor sunt tratate ca baze.

„Existența autonomă a omului” - Ernest Henry SHEKLTON - cercetător englez în Antarctica. 1874 - 1922. Existență autonomă forțată. Factori care afectează o persoană aflată într-o existență autonomă forțată. I Natural. Seara, face o intrare în jurnal și moare de un atac de cord brusc noaptea. Previzionat (voluntar).

„Triunghiul isoscel” - Baza. Latură. BD este înălțimea. Triunghi echilateral. Bisector. Mediana unui triunghi isoscel tras la bază este înălțimea și bisectoarea. Înălţime. VD - bisectoare. Într-un triunghi izoscel, bisectoarea desenată la bază este mediana și înălțimea.

„Triangle Program” - Sponsorii programului: Proiect de parteneriat al Companiei de Televiziune de Stat și Radiodifuziune „Saratov”, STV Studios și ARMK „Sofit” Pachet promoțional (pentru noile programe Triunghi, timp de o săptămână): Bugetul fiecăruia dintre programele Triunghi este de aproximativ 200 de mii de ruble /. Program TV "Triunghi". Nu există nicio publicitate străină în program! Publicul țintă.

„Tipuri de triunghiuri” - punctele se numesc vârfuri, iar segmentele se numesc laturi. Tipuri de triunghiuri. În funcție de lungimea comparativă a laturilor distinge următoarele tipuri triunghiuri. În funcție de mărimea unghiurilor, se disting următoarele tipuri.

„Soluția triunghiurilor gradul 9” - Valorile păcatului ?, Cos? de pe raza cercului? C. Soluția triunghiurilor unghiurilor drepte. Legătura 1: coordonatele punctului A (OA cos C; OA sin C). Soluția triunghiurilor este arbitrară. Uz 2: aria unui triunghi în formă trigonometrică S? \u003d? a b sin C, 1. Definiți păcatul ?, cos? 2. Cum se schimbă: păcatul ?, Cos ??

Testați întrebările la §1.

Proprietăți de bază ale formelor geometrice simple.

Intrebarea 1. Dați exemple de forme geometrice.
Răspuns:Exemple de forme geometrice: triunghi, pătrat, cerc.

Intrebarea 2. Care sunt principalele forme geometrice pe plan.
Răspuns: Principalele figuri geometrice de pe plan sunt un punct și o linie dreaptă.

Întrebarea 3. Cum sunt marcate punctele și liniile?
Răspuns: Punctele sunt indicate cu litere mari cu caractere latine: A, B, C, D, ... Liniile sunt notate cu litere latine minuscule: a, b, c, d, ...
O linie dreaptă poate fi notată cu două puncte situate pe ea. De exemplu, linia a din figura 4 poate fi notată de AC, iar linia b poate fi notată de BC. Fig.4

Întrebarea 4. Formulați proprietățile de bază ale apartenenței punctelor și liniilor.
Răspuns: Oricare ar fi linia, există puncte care aparțin acestei linii și puncte care nu aparțin acesteia.
Prin orice două puncte puteți desena o linie și doar unul.
Întrebarea 5. Explicați ce este un segment cu capete în aceste puncte.
Răspuns:Un segment este o parte a unei linii care constă din toate punctele acestei linii situate între cele două puncte date. Aceste puncte sunt numite capetele segmentului. O linie este indicată printr-o indicație a capetelor sale. Când spun sau scriu: „segment AB”, atunci înseamnă un segment cu capete la punctele A și B.

Întrebarea 6. Formulați proprietatea principală a locației punctelor pe o linie.
Răspuns: Dintre cele trei puncte de pe linie, unul și doar unul se află între celelalte două.

Întrebarea 7 Formulați proprietățile de bază ale segmentelor de măsurare.
Răspuns: Fiecare segment are o anumită lungime mai mare decât zero. Lungimea unui segment este egală cu suma lungimilor părților în care este împărțită la oricare dintre punctele sale.
Întrebarea 8. Cum se numește distanța dintre aceste două puncte?
Răspuns: Lungimea segmentului AB se numește distanța dintre punctele A și B.
Întrebarea 9. Ce proprietăți are o partiție a unui avion în două jumătăți de avion?
Răspuns: Împărțirea unui avion în două jumătăți de avion are următoarea proprietate. Dacă capetele unui segment aparțin unui semiplan, atunci segmentul nu intersectează linia. Dacă capetele segmentului aparțin diferitelor jumătăți de plan, atunci segmentul intersectează linia.

Întrebarea 10. Formulați proprietatea principală a locației punctelor în raport cu o linie din avion.
Răspuns:Linia împarte avionul în două jumătăți de plan.

Întrebarea 11. Ce este o jumătate de linie sau un fascicul? Ce jumătăți sunt numite opționale?
Răspuns:O jumătate de linie sau o rază este o parte a unei linii care constă din toate punctele acestei linii situate pe o parte a punctului dat. Acest punct se numește punctul de plecare al jumătății. Complementare se numesc jumătăți diferite ale aceleiași linii având un punct de plecare comun.

Întrebarea 12. Cum sunt etichetate semilini?
Răspuns: Liniile semi-drepte, precum și liniile drepte, sunt notate cu litere minuscule.
Întrebarea 13. Ce formă se numește unghi?
Răspuns: Un unghi este o figură care constă dintr-un punct - vertexul unui unghi - și două jumătăți diferite care emană din acest punct - laturile unghiului.

Întrebarea 14. Cum este indicat unghiul?
Răspuns: Un unghi este indicat fie prin indicarea vertexului său, fie prin indicarea laturilor sale, fie prin indicarea a trei puncte: un vertex și două puncte pe laturile colțului. Cuvântul „colț” este uneori înlocuit cu un semn.
Întrebarea 15. Ce unghi se numește lat?
Răspuns: Dacă laturile unghiului sunt jumătăți suplimentare ale unei linii drepte, atunci unghiul se numește desfăcut.

Întrebarea 16. Explicați ce înseamnă expresia: „O jumătate de linie trece între laturile colțului.”
Răspuns:Vom spune că o rază trece între laturile unui unghi dat dacă provine din vertexul său și intersectează un segment cu capetele de pe părțile laterale ale colțului.
Întrebarea 17. În ce unități se măsoară unghiurile și cu ce instrument? Explicați cum este luată măsurarea.
Răspuns:Unghiurile sunt măsurate în grade folosind un protector.

Întrebarea 18. Afirmați proprietățile de bază ale unghiurilor de măsurare.
Răspuns: Fiecare unghi are o anumită măsură măsură mai mare decât zero. Unghiul extins este de 180 °. Măsura gradului unghiului este egală cu suma măsurilor de grad a unghiurilor în care este împărțită de orice rază care trece între laturile sale.
Întrebarea 19.Afirmați proprietățile de bază ale așezării segmentelor și unghiurilor.
Răspuns: La orice jumătate de linie de la punctul său de pornire, puteți amâna un segment de lungime dată și doar unul. De la orice jumătate de linie într-un semiclan dat, se poate amâna un unghi cu un grad dat măsura mai mică de 180 ° și doar unul.
Întrebarea 20. Ce este un triunghi?
Răspuns:Un triunghi este o figură care constă din trei puncte care nu se află pe o linie dreaptă și trei segmente care leagă în perechi aceste două puncte. Punctele se numesc vertexurile unui triunghi, iar segmentele se numesc laturi.

Întrebarea 21. Care este unghiul unui triunghi la un vertex dat?
Răspuns: Unghiul triunghiului ABC la vertexul A este unghiul format de semimini AB și AC. Unghiurile triunghiului sunt, de asemenea, determinate la vârfurile B și C.

Întrebarea 22. Ce segmente se numesc egale?
Răspuns: Segmentele sunt numite egale dacă lungimile lor sunt egale.
Întrebarea 23. Ce unghiuri se numesc egale?
Răspuns: Unghiurile sunt numite egale dacă măsurile lor de grad sunt egale.
Întrebarea 24. Ce triunghiuri se numesc egale?
Răspuns: Triunghiurile sunt numite egale dacă laturile lor sunt egale și unghiurile corespunzătoare sunt egale. În acest caz, unghiurile corespunzătoare trebuie să se întindă împotriva părților respective.
Întrebarea 25. Cum se marchează triunghiurile și unghiurile corespunzătoare în triunghiuri egale?
Răspuns:În desen, segmente egale sunt de obicei marcate cu unul, două sau trei liniuțe, iar unghiurile egale sunt marcate cu unul, două sau trei arcade.

Întrebarea 26. În figura 23, explicați existența unui triunghi egal cu acesta.
Răspuns:Să presupunem că avem un triunghi ABC și o rază a (Fig. 23, a). Deplasați triunghiul ABC astfel încât vertexul său A să fie aliniat cu începutul razei a, vertexul B cade pe raza a, iar vertexul C se află într-un semiclan dat în raport cu raza a și extensia sa. Vârfurile triunghiului nostru în această nouă poziție sunt notate cu A 1, B 1, C 1 (Fig. 23, b).
Triunghiul A 1 B 1 C 1 este egal cu triunghiul ABC.
Întrebarea 27. Ce linii se numesc paralele? Ce semn este folosit pentru a indica linii paralele?
Răspuns:Două linii sunt numite paralele dacă nu se intersectează. Pentru a indica paralelismul liniilor, se folosește semnul || a || b.

Întrebarea 28. Afirmați proprietatea principală a liniilor paralele.
Răspuns: Printr-un punct care nu se află pe o anumită linie, puteți desena pe avion nu mai mult de o linie paralelă cu aceasta.
Întrebarea 29. Dati un exemplu de teorema.
Răspuns: Dacă o linie care nu trece prin niciunul dintre vârfurile unui triunghi intersectează una dintre laturile sale, atunci nu intersectează decât una din celelalte două laturi.

Testați întrebările la § 2. Unghiuri adiacente și verticale.

Intrebarea 1.Ce unghiuri se numesc adiacente?
Răspuns:Două unghiuri sunt numite adiacente dacă au o latură comună, iar celelalte laturi ale acestor unghiuri sunt jumătăți suplimentare.
În figura 31, unghiurile (a 1 b) și (a 2 b) sunt adiacente. Latura lor b este comună, iar laturile a 1 și a 2 sunt jumătăți suplimentare.

Intrebarea 2.Demonstrați că suma unghiurilor adiacente este de 180 °.
Răspuns: Teorema 2.1.Suma unghiurilor adiacente este de 180 °.
Dovada. Fie unghiul (a 1 b) și unghiul (a 2 b) să fie aceste unghiuri adiacente (vezi Fig. 31). Raza b trece între laturile a 1 și a 2 a unghiului rotit. Prin urmare, suma unghiurilor (a 1 b) și (a 2 b) este egală cu unghiul desfășurat, adică 180 °. Quod erat demonstrandum

Întrebarea 3.Demonstrați că dacă două unghiuri sunt egale, atunci unghiurile adiacente sunt de asemenea egale.
Răspuns:

Din teoremă 2.1 rezultă că dacă două unghiuri sunt egale, atunci unghiurile adiacente lor sunt egale.
Să presupunem că unghiurile (a 1 b) și (c 1 d) sunt egale. Trebuie să demonstrăm că unghiurile (a 2 b) și (c 2 d) sunt, de asemenea, egale. Suma unghiurilor adiacente este de 180 °. Rezultă că a 1 b + a 2 b \u003d 180 ° și c 1 d + c 2 d \u003d 180 °. Prin urmare, a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b și c 2 d \u003d 180 ° - c 1 d. Deoarece unghiurile (a 1 b) și (c 1 d) sunt egale, obținem că a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b \u003d c 2 d. Prin proprietatea tranzitivității semnului egal, rezultă că a 2 b \u003d c 2 d. Quod erat demonstrandum

Întrebarea 4.Ce unghi se numește drept (ascuțit, obtuz)?
Răspuns: Un unghi de 90 ° se numește unghi drept. Un unghi mai mic de 90 ° se numește unghi acut. Un unghi mai mare de 90 ° și mai mic de 180 ° este denumit obtuz.

Întrebarea 5. Demonstrați că unghiul adiacent liniei este un unghi drept.
Răspuns:Din teorema din suma unghiurilor adiacente rezultă că un unghi adiacent unui unghi drept este un unghi drept: x + 90 ° \u003d 180 °, x \u003d 180 ° - 90 °, x \u003d 90 °.

Întrebarea 6.Ce unghiuri se numesc verticale?
Răspuns:Două unghiuri sunt numite verticale dacă laturile unui colț sunt laturile suplimentare pe jumătate drepte ale celuilalt.

Întrebarea 7Demonstrați că unghiurile verticale sunt egale.
Răspuns: Teorema 2.2. Unghiurile verticale sunt egale.
Dovada.Fie (a 1 b 1) și (a 2 b 2) unghiurile verticale date (Fig. 34). Unghiul (a 1 b 2) este adiacent unghiului (a 1 b 1) și unghiului (a 2 b 2). Prin urmare, prin teorema sumei unghiurilor adiacente, concluzionăm că fiecare dintre unghiurile (a 1 b 1) și (a 2 b 2) completează unghiul (a 1 b 2) până la 180 °, adică. unghiurile (a 1 b 1) și (a 2 b 2) sunt egale. Quod erat demonstrandum

Întrebarea 8.Dovedește-ți că, dacă la intersecția a două linii, unul dintre colțurile liniei, celelalte trei colțuri sunt, de asemenea, drepte.
Răspuns:Să presupunem că liniile AB și CD se intersectează în punctul O. Presupunem că unghiul AOD este 90 °. Deoarece suma unghiurilor adiacente este de 180 °, obținem că AOC \u003d 180 ° -AOD \u003d 180 ° - 90 ° \u003d 90 °. Unghiul COB este unghiul vertical al AOD, deci sunt egale. Adică unghiul COB \u003d 90 °. Unghiul COA este vertical față de unghiul BOD, deci sunt egali. Adică unghiul BOD \u003d 90 °. Astfel, toate unghiurile sunt 90 °, adică toate sunt drepte. Quod erat demonstrandum

Întrebarea 9.Ce linii se numesc perpendiculare? Ce semn este folosit pentru a indica perpendicularitatea liniilor?
Răspuns:Două linii sunt numite perpendiculare dacă se intersectează în unghi drept. Perpendicularitatea liniilor este indicată prin знаком .. Înregistrare a⊥bse scrie: „Linia a este perpendiculară pe linia b”.

Întrebarea 10.Dovedește-ți că prin orice punct al liniei poți desena o linie perpendiculară pe ea și doar una.
Răspuns: Teorema 2.3.Prin fiecare linie, puteți desena o linie perpendiculară pe ea și doar una.
Dovada.Fie o linie dată și A un punct dat asupra ei. Notăm cu 1 una dintre jumătățile liniei a cu punctul de pornire A (Fig. 38). Deoparte de la jumătatea liniei a 1 unghiul (a 1 b 1) egal cu 90 °. Atunci linia care conține raza b 1 va fi perpendiculară pe linia a.

Presupunem că există o altă linie care trece și prin punctul A și este perpendiculară pe linia a. Notează cu c1 jumătatea acestei linii situată într-o jumătate de plan cu raza b 1. Unghiurile (a 1 b 1) și (a 1 c 1), egale cu fiecare 90 °, sunt reprezentate într-un semiplan din jumătatea liniei a 1. Dar un singur unghi egal cu 90 ° poate fi deoparte de la jumătatea liniei 1 într-un semiclan dat. Prin urmare, nu ar trebui să existe nicio altă linie care să treacă prin punctul A și perpendiculară pe linia a. Teorema este dovedită.

Întrebarea 11.Ce este o perpendiculară pe o linie dreaptă?
Răspuns: O perpendiculară la o linie dată este un segment de linie perpendicular pe o anumită linie care are punctul de intersecție la unul dintre capetele sale. Acest capăt al liniei se numește motiv perpendicular.

Întrebarea 12.Explicați ce dovezi contrare.
Răspuns: Metoda de probă pe care am aplicat-o în Teorema 2.3 se numește dovadă prin contradicție. Această metodă de dovadă este că facem mai întâi o presupunere care este opusă celor afirmate de teoremă. Apoi, motivând, bazându-ne pe axiome și teoreme dovedite, ajungem la o concluzie care contrazice fie ipoteza teoremei, una dintre axiome, fie teorema dovedită mai devreme. Pe această bază, concluzionăm că presupunerea noastră a fost incorectă, ceea ce înseamnă că afirmația teoremei este adevărată.

Întrebarea 13.Ce se numește bisector unghiular?
Răspuns:O bisectoare a unui unghi este o rază care provine din vârful unghiului, trece între laturile sale și împarte unghiul în jumătate.

Întrebări de securitate la § 3.Semne de egalitate a triunghiurilor.

Intrebarea 1. Dovedește primul semn al egalității triunghiurilor. Ce axiome sunt utilizate în dovada Teoremei 3.1?
Răspuns: Primul semn al egalității triunghiurilor este Teorema 3.1. (semnul egalității triunghiurilor pe două laturi și unghiul dintre ele). Dacă cele două laturi și unghiul dintre ele dintr-un triunghi sunt egale, respectiv două părți și unghiul dintre ele al unui alt triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.
Dovada.Fie că triunghiurile ABC și A 1 B 1 C 1 să aibă un unghi A \u003d unghiul A 1, AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 (Fig. 44). Fig. 44.
Să dovedim că triunghiurile sunt egale. Fie A 1 B 2 C 2 un triunghi egal cu triunghiul ABC cu vertexul B 2 pe raza A 1 B 1 și vertexul C 2 în același semiplan în raport cu linia dreaptă A 1 B 1 unde se află vertexul C 1 (Fig. 45, a ) Deoarece A 1 B 1 \u003d A 1 B 2, atunci vertexul B 2 coincide cu vertexul B 1 (Fig. 45, b). Deoarece unghiul B 1 A 1 C 1 \u003d unghiul B 2 A 1 C 2, fasciculul A 1 C 2 coincide cu fasciculul A 1 C 1 (Fig. 45, c). Deoarece A 1 C 1 \u003d A 1 C 2, vertexul C 2 coincide cu vertexul C 1 (Fig. 45, d).
Deci, triunghiul A 1 B 1 C 1 coincide cu triunghiul A 1 B 2 C 2, ceea ce înseamnă că este egal cu triunghiul ABC. Teorema este dovedită.
La începutul probei, desenați un triunghi A 1 B 2 C 2 egal cu triunghiul ABC cu vertexul B 2 pe raza A 1 B 1 și vertexul C 2 în același semiplan în raport cu linia dreaptă A 1 B 1 unde se află vertexul C 1 (Fig. 45, a ) Un astfel de triunghi există prin axioma existenței unui triunghi egal cu cel dat (indiferent de triunghi, există un triunghi egal cu acesta într-o locație dată în raport cu jumătatea dată).
Apoi, coincidența vârfurilor B 1 și B 2 este confirmată pe baza faptului că A 1 B 1 \u003d A 1 B 2. Axioma de depunere a segmentelor este utilizată aici (la orice jumătate de linie de la punctul său de pornire, un segment cu o lungime dată poate fi întârziat și doar unul).
În continuare, coincidența razelor A 1 C 2 și A 1 C 1 se afirmă pe motiv că, B 2 A 1 C 1 \u003d ∠B 2 A 1 C 2. Axioma de depunere a unghiurilor este folosită aici (de la orice jumătate de linie la un semiclan dat, se poate amâna un unghi cu un grad dat măsura mai mică de 180 ° și doar unul). În cele din urmă, coincidența vârfurilor C 1 și C 2 este afirmată, deoarece A 1 C 1 \u003d A 2 C 2. Și din nou, se folosește axioma de depunere a segmentelor (la orice jumătate de linie de la punctul său de pornire, un segment cu o lungime dată poate fi întârziat și doar unul).
Astfel, în dovada Teoremei 3.1 folosim axiomele de a scoate segmente și unghiuri și axioma existenței unui triunghi egal cu acesta.

Intrebarea 2.Formulează și dovedește al doilea semn al egalității triunghiurilor.
Răspuns: Al doilea semn al egalității triunghiurilor este Teorema 3.2 (un semn al egalității triunghiurilor din lateral și din colțurile adiacente acestuia). Dacă latura și colțurile unui triunghi adiacent acestuia sunt egale respectiv cu latura și colțurile unui alt triunghi adiacent acestuia, astfel de triunghiuri sunt egale.
Dovada.Fie ABC și A 1 B 1 C 1 două triunghiuri pentru care AB \u003d A 1 B 1, unghiul A \u003d unghiul A 1 și unghiul B \u003d unghiul B 1 (Fig. 47). Să dovedim că triunghiurile sunt egale.
Fie A 1 B 2 C 2 un triunghi egal cu triunghiul ABC, cu vertexul B 2 pe raza A 1 B 1 și vertexul C 2 în același semiplan în raport cu linia A 1 B 1 unde se află vertexul C 1.
Deoarece A 1 B 2 \u003d A 1 B 1, atunci vertexul B 2 coincide cu vertexul B 1. Deoarece unghiul B 1 A 1 C 2 \u003d unghiul B 1 A 1 C 1 și unghiul A 1 B 1 C 2 \u003d unghiul A 1 B 1 C 1, fasciculul A 1 C 2 coincide cu fasciculul A 1 C 1, iar fasciculul B 1 C 2 se potrivește cu fasciculul B 1 C 1. Rezultă că vertexul C 2 coincide cu vertexul C 1.
Deci, triunghiul A 1 B 1 C 1 coincide cu triunghiul A 1 B 2 C 2, ceea ce înseamnă că este egal cu triunghiul ABC. Teorema este dovedită.

Întrebarea 3. Ce triunghi se numește izoscel? Ce laturi ale unui triunghi izoscel sunt numite laturile laterale? Ce latură se numește baza?
Răspuns:Un triunghi se numește izoscel dacă are două laturi egale. Aceste laturi egale se numesc laturile laterale, iar a treia latură se numește baza triunghiului.

Întrebarea 4. Demonstrați că într-un triunghi izoscel, unghiurile de la bază sunt egale.
Răspuns: Teorema 3.3 (proprietatea unghiurilor unui triunghi izoscel).Într-un triunghi izoscel, unghiurile de la bază sunt egale.
Dovada.Fie ABC un triunghi isoscel cu baza AB (Fig. 48). Să demonstrăm că el are unghiul A \u003d unghiul B.

Triunghiul CAB este egal cu triunghiul CBA în funcție de primul semn al egalității triunghiurilor. Într-adevăr, CA \u003d CB, CB \u003d CA, unghiul C \u003d unghiul C. Din egalitatea triunghiurilor rezultă că unghiul A \u003d unghiul B. Teorema este dovedită.

Întrebarea 5.Ce triunghi se numește echilateral?
Răspuns:Un triunghi în care toate părțile sunt egale se numește echilateral.

Întrebarea 6.Demonstrați că dacă două unghiuri sunt egale într-un triunghi, atunci este izoscel.
Răspuns: Teorema 3.4 (semnul unui triunghi izoscel).Dacă două unghiuri sunt egale într-un triunghi, atunci acesta este izoscel.
Dovada. Fie ABC un triunghi în care unghiul A \u003d unghiul B (Fig. 50). Dăm dovadă că este isoscel cu baza AB.

Triunghiul ABC este egal cu triunghiul BAC prin al doilea semn al egalității triunghiurilor. Într-adevăr, AB \u003d BA, unghiul B \u003d unghiul A, unghiul A \u003d unghiul B. Din egalitatea triunghiurilor rezultă că AC \u003d BC. Prin urmare, prin definiție, triunghiul ABC este izoscel. Teorema este dovedită.

Întrebarea 7Explicați care este teorema inversă. Dă un exemplu. Este invers conversația pentru vreo teoremă?
Răspuns:Teorema 3.4 se numește teorema inversă 3.3. Concluzia teoremei 3.3 este o condiție a teoremei 3.4. Iar condiția teoremei 3.3 este concluzia teoremei 3.4. Nu orice teoremă are inversul, adică dacă această teoremă este adevărată, atunci teorema inversă poate să nu fie adevărată. Să ilustrăm acest lucru cu exemplul teoremei unghiului vertical. Această teoremă poate fi formulată după cum urmează: dacă două unghiuri sunt verticale, atunci sunt egale. Teorema inversă ar fi aceasta: dacă două unghiuri sunt egale, atunci acestea sunt verticale. Și acest lucru, desigur, nu este adevărat. Două unghiuri egale nu trebuie să fie deloc verticale.

Întrebarea 8.Care este înălțimea unui triunghi?
Răspuns:Înalt Un triunghi scăzut dintr-un vertex dat se numește perpendicular tras din acest vertex la o linie dreaptă care conține partea opusă a triunghiului (Fig. 51, a-b).

Întrebarea 9.Ce este o bisectoare triunghi?
Răspuns:bisectorun triunghi desenat dintr-un vertex dat se numește segment al bisectoarei unghiului triunghiului care leagă acest vertex cu un punct din partea opusă (Fig. 52, a).

Întrebarea 10.Care este mediana unui triunghi?
Răspuns:Median Un triunghi desenat dintr-un vertex dat se numește segment care conectează acest vertex cu mijlocul laturii opuse a triunghiului (Fig. 52, b).

Întrebarea 11.Dovedește că într-un triunghi isoscel, mediana atrasă la bază este o bisectoare și o înălțime.
Răspuns: Teorema 3.5 (proprietatea medianei unui triunghi izoscel). Într-un triunghi izoscel, mediana atrasă la bază este bisectoarea și înălțimea.
Dovada.Fie ABC triunghiul isoscel dat cu baza AB și CD mediana desenată la bază (Fig. 53). Triunghiurile CAD și CBD sunt egale prin primul semn al egalității triunghiurilor. (Lățile AC și BC sunt egale deoarece triunghiul ABC este izoscel. Unghiurile CAD și CBD sunt egale ca unghiurile de la baza triunghiului izosceles. Lățile AD și BD sunt egale deoarece D este mijlocul segmentului AB.)
Egalitatea triunghiurilor implică egalitatea unghiurilor: unghiul ACD \u003d unghiul BCD, unghiul ADC \u003d unghiul BDC. Deoarece unghiurile ACD și BCD sunt egale, CD-ul este o bisectoare. Deoarece unghiurile ADC și BDC sunt adiacente și egale, acestea sunt drepte, deci CD este înălțimea triunghiului.

Întrebarea 12. Dovedește al treilea semn al egalității triunghiurilor.
Răspuns: Al treilea semn al egalității triunghiurilor este Teorema 3.6 (semn al egalității triunghiurilor pe trei laturi). Dacă cele trei laturi ale unui triunghi sunt egale, respectiv, cu cele trei laturi ale celuilalt triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

Dovada.Fie ABC și A 1 B 1 C 1 două triunghiuri pentru care AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, BC \u003d B 1 C 1 (Fig. 55). Este necesar să se demonstreze că triunghiurile sunt egale.
Să presupunem că triunghiurile nu sunt egale. Apoi au unghiul A nu \u003d unghiul A 1, unghiul B nu \u003d unghiul B 1, unghiul C nu \u003d unghiul C 1. În caz contrar, ar fi egali la primul semn.
Fie A 1 B 1 C 2 un triunghi egal cu triunghiul ABC pentru care vertexul C 2 se află în același semiplan cu vertexul C 1 în raport cu linia dreaptă A 1 B 1 (vezi Fig. 55).
Fie D punctul central al segmentului C 1 C 2. Triunghiuri A 1 C 1 C 2 și B 1 C 1 C 2 - izosceluri cu o bază comună C 1 C 2. Prin urmare, mediile lor A 1 D și B 1 D sunt înălțimi. Prin urmare, liniile A 1 D și B 1 D sunt perpendiculare pe linia C 1 C 2. Liniile A 1 D și B 1 D nu coincid, deoarece punctele A 1, B 1, D nu se află pe aceeași linie. Dar prin punctul D al liniei C 1 C 2 puteți desena o singură linie perpendiculară pe ea. Am ajuns la o contradicție. Teorema este dovedită.

Testați întrebările la §4.Suma unghiurilor unui triunghi.

Intrebarea 1. Dovedește că două linii paralele cu a treia sunt paralele.
Răspuns: Teorema 4.1. Două linii drepte paralele cu a treia sunt paralele.
Dovada.Fie liniile a și b să fie paralele cu linia c. Presupunem că a și b nu sunt paralele (Fig. 69). Apoi nu se intersectează la un anumit punct C. Prin urmare, două linii paralele cu linia c trec prin punctul C. Dar acest lucru este imposibil, deoarece nu se poate trasa mai mult de o linie dreaptă paralelă cu linia dată printr-un punct care nu se află pe o anumită linie. Teorema este dovedită.

Intrebarea 2. Explicați ce colțuri sunt numite pe o parte interioare. Ce unghiuri se numesc culcare internă în cruce?
Răspuns: Perechile de unghiuri care se formează la intersecția liniilor AB și CD ale secantei AC au nume speciale.
Dacă punctele B și D se află în același semiplan în raport cu linia dreaptă AC, atunci unghiurile BAC și DCA se numesc pe o parte interioară (Fig. 71, a).
Dacă punctele B și D se găsesc în diferite semiclanuri în raport cu linia dreaptă AC, atunci unghiurile BAC și DCA se numesc întinse în cruce (Fig. 71, b).

Întrebarea 3. Demonstrați că dacă unghiurile interioare transversale ale unei perechi sunt egale, atunci unghiurile interioare transversale ale celeilalte perechi sunt, de asemenea, egale, iar suma unghiurilor laterale interioare ale fiecărei perechi este de 180 °.
Răspuns:AC secantă formează cu linii drepte AB și CD două perechi de unghiuri interioare laterale și două perechi de unghiuri interne situate în cruce. Colțurile întinse transversal ale unei perechi, de exemplu, unghiul 1 și colțul 2, sunt adiacente colțurilor interioare transversale ale unei alte perechi: unghiul 3 și unghiul 4 (Fig. 72). Fig. 72

Prin urmare, dacă unghiurile interne situate în cruce ale unei perechi sunt egale, atunci unghiurile interne situate în cruce ale celeilalte perechi sunt de asemenea egale.
O pereche de colțuri interne situate, cum ar fi unghiul 1 și unghiul 2 și o pereche de unghiuri laterale interne, precum unghiul 2 și unghiul 3, au un unghi comun - unghiul 2, iar celelalte două unghiuri sunt adiacente: unghiul 1 și unghiul 3.
Prin urmare, dacă unghiurile interne situate transversal sunt egale, atunci suma unghiurilor interne este de 180 °. Și invers: dacă suma unghiurilor interne situate în cruce este de 180 °, atunci unghiurile interne situate în cruce sunt egale. Quod erat demonstrandum

Întrebarea 4. Dovedește semnul liniilor paralele.
Răspuns: Teorema 4.2 (semn de linii paralele). Dacă unghiurile interne situate sunt egale sau suma unghiurilor interne cu o singură față este de 180 °, atunci drepturile sunt paralele.
Dovada.Liniile drepte a și b formează, cu un AB secant, unghiuri interne egale în cruce (Fig. 73, a). Să presupunem că liniile a și b nu sunt paralele și, prin urmare, se intersectează la un anumit punct C (Fig. 73, b). Fig. 73

AB secantă împarte avionul în două jumătăți de plan. Într-una dintre ele se află punctul C. Construim un triunghi BAC 1, egal cu triunghiul ABC, cu vârful C 1 într-o altă jumătate de plan. În funcție de condiție, unghiurile interne situate paralel cu a, b și secant AB sunt egale. Deoarece unghiurile corespunzătoare ale triunghiurilor ABC și BAC 1 cu vârfurile A și B sunt egale, acestea coincid cu colțurile interioare. Prin urmare, linia AC 1 coincide cu linia a, iar linia BC 1 coincide cu linia b. Se dovedește că două linii distincte a și b trec prin punctele C și C 1. Și acest lucru este imposibil. Prin urmare, liniile a și b sunt paralele.
Dacă liniile a și b și secantele AB au suma unghiurilor unilaterală interne egale cu 180 °, atunci, după cum știm, unghiurile interne situate transversal sunt egale. Prin urmare, așa cum s-a dovedit mai sus, liniile a și b sunt paralele. Teorema este dovedită.

Întrebarea 5.Explicați ce unghiuri se numesc corespunzătoare. Demonstrați că dacă unghiurile interne situate în cruce sunt egale, atunci unghiurile corespunzătoare sunt, de asemenea, egale și invers.

Răspuns: Dacă pentru o pereche de unghiuri interne situate în cruce, un colț este înlocuit cu unul vertical, atunci obținem o pereche de unghiuri, care se numesc unghiurile corespunzătoare ale acestor linii cu o secantă. Ceea ce trebuia să explice.
Din egalitatea unghiurilor interne situate transversal, urmează egalitatea unghiurilor corespunzătoare și invers. Să presupunem că avem două linii paralele (deoarece, în funcție de condiție, unghiurile situate transversal sunt egale) și secantă, care formează unghiuri 1, 2, 3. Unghiurile 1 și 2 sunt egale cu cele întinse în cruce. Și unghiurile 2 și 3 sunt egale cu cele verticale. Obținem: ∠1 \u003d ∠2 și ∠2 \u003d ∠3. Prin proprietatea tranzitivității semnului egal, rezultă că ∠1 \u003d ∠3.

3. Conversatul este dovedit în același mod.
Din aceasta obținem semnul paralelismului liniilor de-a lungul unghiurilor corespunzătoare. Anume: liniile sunt paralele dacă unghiurile corespunzătoare sunt egale. Quod erat demonstrandum

Întrebarea 6.Dovedește-ți că printr-un punct care nu se află pe această linie, poți desena o linie paralelă cu ea. Câte linii paralele cu un anumit punct pot fi trase printr-un punct care nu se află pe această linie?

Răspuns: Problemă (8). Având în vedere o linie AB și un punct C care nu se află pe această linie. Dovedește că prin C putem desena o linie paralelă cu linia AB.
Decizie. Linia AC împarte avionul în două jumătăți de plan (Fig. 75). Punctul B se află în una dintre ele. Definiți unghiul ACD egal cu unghiul CAB de la jumătatea liniei CA la o altă jumătate de plan. Apoi, liniile AB și CD vor fi paralele. De fapt, pentru aceste AC drepte și secante, unghiurile BAC și DCA se află în interior. Și întrucât sunt egale, liniile AB și CD sunt paralele. Quod erat demonstrandum Comparând enunțul Problemei 8 și Axiomul IX (proprietatea principală a liniilor paralele), ajungem la o concluzie importantă: printr-un punct care nu se află pe o anumită linie, putem trasa o linie paralelă cu ea și doar una.

Întrebarea 7Demonstrați că dacă două linii intersectează a treia linie, atunci unghiurile interne situate în cruce sunt egale, iar suma unghiurilor interne cu o parte este de 180 °.

Răspuns: Teorema 4.3 (invers teoremei 4.2). Dacă două linii paralele se intersectează cu a treia linie, atunci unghiurile interne situate în cruce sunt egale, iar suma unghiurilor interne unilaterale este de 180 °.
Dovada. Fie a și b linii paralele și c linia care le intersectează în punctele A și B. Desenați o linie a punctului 1 prin A, astfel încât unghiurile interne situate transversal formate de secantă c cu liniile a 1 și b să fie egale (Fig. 76). Prin semnul paralelismului liniilor, liniile a 1 și b sunt paralele. Și întrucât doar o linie trece prin punctul A paralel cu linia b, linia a coincide cu linia a 1. Aceasta înseamnă că unghiurile interne situate de secantă cu liniile paralele a și b sunt egale. Teorema este dovedită.

Întrebarea 8. Demonstrați că două linii perpendiculare pe a treia sunt paralele. Dacă linia este perpendiculară pe una din cele două linii paralele, atunci este perpendiculară pe cealaltă.
Răspuns: Din Teorema 4.2 rezultă că două linii perpendiculare pe a treia sunt paralele.
Să presupunem că două linii sunt perpendiculare pe a treia linie. Aceasta înseamnă că aceste linii se intersectează cu a treia linie într-un unghi egal cu 90 °. Din proprietatea unghiurilor formate la intersecția liniilor secante paralele, rezultă că dacă linia este perpendiculară pe una dintre liniile paralele, atunci ea este, de asemenea, perpendiculară pe cealaltă.

Întrebarea 9.Demonstrați că suma unghiurilor triunghiului este de 180 °.

Răspuns: Teorema 4.4. Suma unghiurilor triunghiului este de 180 °.
Dovada. Fie ABC un triunghi dat. Desenați o linie prin vertexul B paralel cu linia AC. Marcăm punctul D pe el astfel încât punctele A și D să se afle pe diferite laturi ale liniei BC (Fig. 78). Unghiurile DBC și ACB sunt egale, întinse în interior, formate de secant BC cu linii drepte paralele AC și BD. Prin urmare, suma unghiurilor triunghiului la vârfurile B și C este egală cu unghiul ABD.
Și suma celor trei unghiuri ale unui triunghi este egală cu suma unghiurilor ABD și BAC. Deoarece aceste colțuri sunt unilaterale interne pentru AC și BD paralele și secante AB, suma lor este de 180 °. Teorema este dovedită.

Întrebarea 10. Demonstrați că orice triunghi are cel puțin două unghiuri care sunt ascuțite.
Răspuns: Într-adevăr, să presupunem că un triunghi are un singur unghi acut sau deloc unghiuri acute. Apoi, acest triunghi are două unghiuri, fiecare nu mai puțin de 90 °. Suma acestor două unghiuri nu este mai mică de 180 °. Și acest lucru este imposibil, deoarece suma tuturor unghiurilor triunghiului este de 180 °. Quod erat demonstrandum

Întrebarea 11. Care este colțul exterior al unui triunghi?
Răspuns:Unghiul extern al triunghiului la un vertex dat este unghiul adiacent unghiului triunghiului la acest vertex (Fig. 79).

Întrebarea 12.Demonstrați că colțul exterior al triunghiului este egal cu suma a două unghiuri interioare care nu sunt adiacente acestuia.

Răspuns: Teorema 4.5. Colțul exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri interioare care nu sunt adiacente acestuia.
Dovada. Fie ABC un triunghi dat (Fig. 80). Prin teorema pe suma unghiurilor unui triunghi, ∠A + ∠B + ∠C \u003d 180 °. Rezultă că ∠A + ∠B \u003d 180 ° - ∠C. În partea dreaptă a acestei egalități este o măsură a gradului unghiului exterior al triunghiului la vertexul C. Teorema este dovedită.

Întrebarea 13. Demonstrați că colțul exterior al triunghiului este mai mare decât orice colț interior care nu este adiacent lui.
Răspuns: Din teorema 4.5 rezultă că unghiul extern al triunghiului este mai mare decât orice unghi intern care nu este adiacent lui.

Întrebarea 14. Ce triunghi se numește un triunghi drept?
Răspuns: Un triunghi se numește dreptunghi dacă are un unghi drept.

Întrebarea 15. Care este suma unghiurilor acute ale unui triunghi drept?
Răspuns: Deoarece suma unghiurilor unui triunghi este de 180 °, un triunghi drept are un singur unghi drept. Alte două colțuri ale unui triunghi drept sunt ascuțite. Suma unghiurilor acute ale unui triunghi drept este 180 ° - 90 ° \u003d 90 °.

Întrebarea 16.Care latură a triunghiului drept se numește hipotenuză? Ce laturi se numesc picioare?

Răspuns: Latura triunghiului drept opus coltul dreptse numește hipotenuză, celelalte două părți sunt numite picioare (Fig. 82).

Întrebarea 17.Formulați semnul egalității triunghiurilor drepte prin hipotenuză și cathetus.

Răspuns: Dacă ipotenuză și piciorul unui triunghi dreptunghiular sunt respectiv egale cu ipotenuză și piciorul unui alt triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

Întrebarea 18.Dovedește-ți că din orice punct care nu se află pe o anumită linie, poți să cobori perpendicular pe această linie și doar una.

Răspuns: Teorema 4.6. Din orice punct care nu se află pe o anumită linie, puteți renunța la o perpendiculară pe această linie și doar una.
Dovada. Fie o linie dată și A un punct care nu se află pe ea (Fig. 85). Desenați un punct al liniei o perpendiculară pe linie. Acum trageți o linie b paralelă cu ea prin punctul A. Va fi perpendicular pe linia a, deoarece linia a, fiind perpendiculară pe una dintre liniile paralele, este perpendiculară pe cealaltă. Segmentul AB al liniei b este perpendicular desenat de la punctul A la linia a.
Să dovedim unicitatea AB perpendicular. Să presupunem că există un alt curent alternativ perpendicular. Atunci triunghiul ABC va avea două unghiuri drepte. Și acest lucru, după cum știm, este imposibil. Teorema este dovedită.

Întrebarea 19. Cum se numește distanța de la un punct la o linie?
Răspuns: Lungimea unei perpendiculare scăzute de la un punct dat la o linie se numește distanța de la punctul la linie.

Întrebarea 20. Explicați care este distanța dintre liniile paralele.
Răspuns: Distanța dintre liniile paralele este distanța de la orice punct al unei linii la alta.

Testați întrebările la §5. Construcții geometrice.

Intrebarea 1. Ce este un cerc, centrul unui cerc, raza?
Răspuns: Un cerc este o figură care constă din toate punctele planului echidistant dintr-un punct dat. Acest punct se numește centrul cercului. Distanța dintre punctele cercului și centrul lui se numește raza. Raza este de asemenea numită orice segment care leagă punctul unui cerc cu centrul său.

Intrebarea 2. Ce este o coardă de cerc? Ce coardă se numește diametru?
Răspuns:O linie care leagă două puncte ale unui cerc se numește coardă. O coardă care trece prin centru se numește diametru.

Întrebarea 3. Ce cerc se numește circumscris în jurul unui triunghi?
Răspuns: Un cerc se numește circumscris în jurul unui triunghi dacă trece prin toate vârfurile sale.

Întrebarea 4. Demonstrați că centrul cercului circumscris în jurul triunghiului se află la intersecția perpendicularelor din mijloc cu laturile triunghiului.
Răspuns: Teorema 5.1. Centrul cercului circumscris în jurul triunghiului este punctul de intersecție al perpendicularelor pe laturile triunghiului trase prin punctele medii ale acestor laturi.
Dovada.Fie ABC triunghiul dat și O centrul cercului circumscris în jurul lui (Fig. 93). Triunghiul AOC este izoscel: laturile sale OA și OC sunt egale cu razele. OD mediană a acestui triunghi este, de asemenea, înălțimea sa. Prin urmare, centrul cercului se află pe o parte dreaptă, perpendiculară a AC și care trece prin mijlocul său. Este dovedit în același mod că centrul cercului se află pe perpendicularele celorlalte două laturi ale triunghiului. Teorema este dovedită.

Întrebarea 5. Ce linie se numește tangenta cercului?
Răspuns:O linie care trece printr-un punct al unui cerc perpendicular pe raza desenată în acest punct se numește tangentă. Mai mult, acest punct al cercului se numește punctul de tangență.

Întrebarea 6. Ce înseamnă: cercurile ating la un moment dat?
Răspuns:Se spune că două cercuri având un punct comun sunt tangente în acest punct dacă au o tangentă comună în acest punct (Fig. 97).

Întrebarea 7 Ce contact de cercuri se numește extern, care - intern?
Răspuns:Tangența cercurilor se numește internă dacă centrele cercurilor se află pe o parte a tangentei lor comune (Fig. 97, a). Tangența cercurilor se numește externă dacă centrele cercurilor se află pe laturi diferite ale tangentei lor comune (Fig. 97, b).

Întrebarea 8. Ce cerc se numește inscripționat într-un triunghi?
Răspuns:Un cerc se numește inscripționat într-un triunghi dacă își atinge toate laturile.

Întrebarea 9. Demonstrați că centrul cercului înscris în triunghi se află la intersecția bisectoarelor sale.
Răspuns: Teorema 5.2. Centrul unui cerc înscris într-un triunghi este punctul de intersecție al bisectoarelor sale.
Dovada.Fie ABC triunghiul dat, O centrul cercului înscris în el, D, E și F punctele de tangență ale cercului cu laturile (Fig. 98). Triunghiuri drepte AOD și AOE sunt egale în ipotenuză și cathetus. Au hipotenuză AO în comun, iar picioarele OD și OE sunt egale cu razele. Egalitatea triunghiurilor implică egalitatea unghiurilor OAD și OAE. Aceasta înseamnă că punctul O se află pe bisectoarea triunghiului tras din vertexul A. Este dovedit în același mod în care punctul O se află pe celelalte două bisectoare ale triunghiului. Teorema este dovedită.

Întrebarea 10. Explicați cum se construiește un triunghi pe trei laturi.
Răspuns: Sarcina 5.1. Desenați un triunghi cu laturile date a, b, c (fig. 99, a).
Decizie.Folosind o riglă, desenați o linie arbitrară și marcați pe ea un punct arbitrar B (Fig. 99, b). Cu o soluție de busolă egală cu a, descriem un cerc cu centrul B și raza a. Fie C punctul de intersecție cu linia. Acum, cu o soluție de busolă egală cu c, descrie un cerc din centrul B și cu o soluție de busolă egală cu b, descriem un cerc din centrul C. Fie A punctul de intersecție al acestor cercuri. Desenați segmente AB și AC. Triunghiul ABC are laturi egale cu a, b, c. Ceea ce trebuia să explice.

Întrebarea 11. Explicați cum să amânați un unghi egal cu un unghi dat de la o jumătate de linie dată într-un jumătate plan.
Răspuns: Sarcina 5.2. Puneți deoparte un unghi dat de la o jumătate de linie dată într-un semiclan dat.
Decizie. Desenați un cerc arbitrar centrat pe vertexul A dintr-un unghi dat (Fig. 100, a). Fie B și C punctele de intersecție ale cercului cu laturile unghiului. Cu raza AB desenăm un cerc centrat în punctul O - punctul de plecare al acestei jumătăți (Fig. 100, b). Punctul de intersecție al acestui cerc cu această jumătate de linie este notat cu B 1. Descriem un cerc cu centrul B 1 și raza BC. Punctul de intersecție C 1 al cercurilor construite în jumătatea planului indicat se află pe partea unghiului dorit. Pentru a demonstra acest lucru, este suficient să rețineți că triunghiurile ABC și OB 1 C 1 sunt egale cu triunghiurile cu laturile corespunzătoare egale. Unghiurile A și O sunt unghiurile corespunzătoare ale acestor triunghiuri. Ceea ce trebuia să explice.

Întrebarea 12. Explicați cum să împărțiți un unghi dat la jumătate.
Răspuns: Sarcina 5.3. Construiți o bisectoare cu un unghi dat.
Decizie. Din vertexul A dintr-un unghi dat ca din centru, descriem un cerc de rază arbitrară (Fig. 101). Fie B și C punctele intersecției sale cu laturile unghiului. Din punctele B și C, descriem cercuri cu aceeași rază. Fie D punctul de intersecție al acestora decât A. Desenați o jumătate de linie AD. Fasciculul AD este o bisectoare, deoarece împarte unghiul BAC la jumătate. Aceasta rezultă din egalitatea triunghiurilor ABD și ACD, pentru care unghiurile DAB și DAC sunt corespunzătoare. Ceea ce trebuia să explice.

Întrebarea 13. Explicați cum să împărțiți o linie la jumătate.
Răspuns: Sarcina 5.4. Împărțiți linia în jumătate.
Decizie. Fie AB segmentul dat (Fig. 102). Din punctele A și B cu raza AB, descriem cercuri. Fie C și C 1 punctele de intersecție ale acestor cercuri. Ele se află în diferite jumătăți plane în raport cu linia dreaptă AB. Segmentul CC 1 intersectează linia AB la un moment dat O. Acest punct este mijlocul segmentului AB. Într-adevăr, triunghiurile CAC 1 și CBC 1 sunt egale în cel de-al treilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor. Aceasta implică egalitatea unghiurilor ACO și BCO. Triunghiurile ACO și BCO sunt egale prin primul semn al egalității triunghiurilor. Lățile AO și BO ale acestor triunghiuri sunt corespunzătoare și, prin urmare, sunt egale. Astfel, O este punctul mediu al segmentului AB. Ceea ce trebuia să explice.

Întrebarea 14. Explicați cum să trasați o linie printr-un punct dat perpendicular pe o linie dată.
Răspuns: Sarcina 5.5. Printr-un punct dat O desenați o linie perpendiculară pe această linie a.
Decizie. Două cazuri sunt posibile:
1) punctul O se află pe linia a;
2) punctul O nu se află pe linia a.
Luați în considerare primul caz (Fig. 103).
Din punctul O desenăm un cerc cu o rază arbitrară. Acesta intersectează linia a în două puncte: A și B. Din punctele A și B, desenați cercuri de raza AB. Fie C punctul lor de intersecție. Linia dorită trece prin punctele O și C.
Perpendicularitatea liniilor OC și AB rezultă din egalitatea unghiurilor la vertexul O al triunghiurilor ACO și BCO. Aceste triunghiuri sunt răni conform celui de-al treilea semn al egalității triunghiurilor.
Luați în considerare al doilea caz (Fig. 104).
Din punctul O desenați un cerc care intersectează linia a. Din punctele A și B desenăm cercuri cu aceeași rază. Fie O1 punctul lor de intersecție situat într-o jumătate de plan diferită de cea în care se află punctul O. Linia căutată trece prin punctele O și O1. Să ne dovedim asta.
Notăm prin C punctul de intersecție al liniilor AB și OO1. Triunghiurile AOB și AO1B sunt egale în a treia caracteristică. Prin urmare, unghiul oac este egală cu unghiul O1AC. Și atunci triunghiurile OAC și O1AC sunt egale în primul semn. Prin urmare, unghiurile lor ACO și ACO1 sunt egale. Și din moment ce sunt adiacente, sunt directe. Astfel, OC este o scădere perpendiculară de la punctul O la linia a. Ceea ce trebuia să explice.

Întrebarea 15. Care este locusul geometric al punctelor echidistant din două puncte date?
Răspuns: Teorema 5.3. Locul geometric al punctelor echidistante din două puncte date este o linie dreaptă perpendiculară pe segmentul care leagă aceste puncte și trece prin mijlocul său.
Dovada. Fie A și B punctele date, a fi linia care trece prin punctul O al segmentului AB perpendicular pe acesta (Fig. 105). Trebuie să dovedim că:
1) Fiecare punct al liniei a este echidistant față de punctele A și B;
2) Fiecare punct D al planului echidistant din punctele A și B se află pe linia a.
Faptul că fiecare punct C al liniei a este la aceeași distanță față de punctele A și B rezultă din egalitatea triunghiurilor AOC și BOC. Pentru aceste triunghiuri, unghiurile de la vertexul O sunt drepte, partea OC este comună și AO \u003d OB, deoarece O este mijlocul segmentului AB.
Arătăm acum că fiecare punct D al planului echidistant din punctele A și B se află pe linia a. Luați în considerare ADB triunghi. Este izoscel, deoarece AD \u200b\u200b\u003d BD. În ea, DO este mediana. Prin proprietatea unui triunghi izoscel, mediana desenată la bază este înălțimea. Prin urmare, punctul D se află pe linia a. Teorema este dovedită.