Antreprenoriatul ca sistem de auto-organizare există și se dezvoltă sub influența unui sistem de factori. La sfârșitul anilor 70. Secolul XX cercetători precum T. Bachkai, D. Mesena, D. Miko și alții, care studiază efectul factorilor de risc, au indicat că toți sunt interconectați. Alături de „natural” ...

EVALUAREA MĂRII DE RISCURI ȘI A CRITERIILOR PENTRU SELECȚIA DECIZIEI

Gestionarea riscurilor este imposibilă fără o evaluare a mărimii sale. Metoda de evaluare depinde de tipul de risc. Dată fiind diversitatea riscurilor și complexitatea sarcinilor lor de management, în practică, sunt utilizate trei tipuri de evaluări: calitativă, axiologică și cantitativă. Evaluarea calitativă a riscului este utilizată pe scară largă și vă permite să ...
(Riscuri în contabilitate)

Intersectarea liniilor drepte

Dacă liniile drepte se intersectează, atunci proiecțiile lor cu același nume se intersectează într-un punct care este proiecția punctului de intersecție al acestor linii. Valabil (figura 2.30) dacă punctul K   aparține ambelor directe AB   și CD-uri,   atunci proiecția acestui punct ar trebui să fie punctul de intersecție ...
(Grafica Inginerie)

Intersectarea liniilor

Trecerea de linii drepte nu se intersectează și nu sunt paralele între ele. Figura 2.32 prezintă două linii drepte care se intersectează în poziție generală: deși proiecțiile cu același nume se intersectează între ele, punctele lor de intersecție nu pot fi conectate de o linie de comunicație paralelă cu liniile de comunicație L "L"   și ...
(Grafica Inginerie)

DISTANȚA ÎNTRE CRUZE DIRECT

Distanța dintre liniile de trecere și   și b   determinată de lungimea segmentului perpendicular KM,   intersectând ambele linii drepte (a _1_ KM; Y. KM) (Fig. 349, b, c).   Problema este rezolvată pur și simplu dacă una dintre linii este cea proiectantă. Fie, de exemplu, un ± Pi apoi segmentul dorit KM...
(Geometrie descriptivă)

Poziția reciprocă a unei linii și a unui avion, două plane

Semne ale poziției relative a liniei și a planului, două plane   Amintiți-vă semnele poziției relative a liniei și a planului, precum și două planuri, familiare din stereometrie. 1. Dacă linia și planul au un punct comun, atunci linia și planul se intersectează (Fig. 3.6a). 2. Dacă linia și avionul ...
(Bazele graficii inginerești)

Semne ale poziției relative a liniei și a planului, două plane

Amintiți-vă semnele poziției relative a liniei și a planului, precum și două planuri, familiare din stereometrie. 1. Dacă linia și planul au un punct comun, atunci linia și planul se intersectează (Fig. 3.6a). 2. Dacă linia și planul au două puncte comune, atunci linia se află în plan (Fig. 3.66) ...
(Bazele graficii inginerești)

Ohhhhhh ... bine, staniu, de parcă ai citi verdictul pentru tine \u003d) Totuși, atunci relaxarea te va ajuta, mai ales că astăzi am cumpărat accesorii adecvate. Prin urmare, trecem la prima secțiune, sper, până la sfârșitul articolului să păstrez o dispoziție veselă.

Dispunerea reciprocă a două linii

Cazul când sala cântă împreună cu corul. Două linii drepte pot:

1) meci;

2) să fie paralel:;

3) sau se intersectează într-un singur punct:.

Ajutor pentru manechine : vă rugăm să vă amintiți semnul intersecției matematice, va apărea foarte des. Notarea înseamnă că linia intersectează linia în punct.

Cum se determină poziția relativă a două linii?

Să începem cu primul caz:

Două linii coincid, dacă și numai dacă coeficienții respectivi sunt proporționali, adică există un astfel de număr de "lambda", încât egalitățile

Considerăm liniile și compunem trei ecuații din coeficienții corespunzători:. Din fiecare ecuație rezultă că, prin urmare, aceste linii coincid.

Într-adevăr, dacă toți coeficienții ecuației   înmulțiți cu –1 (semnele de schimbare) și toți coeficienții ecuației   tăiată cu 2, obțineți aceeași ecuație:.

Al doilea caz când liniile sunt paralele:

Două linii sunt paralele dacă și numai dacă coeficienții lor pentru variabile sunt proporționale: dar.

Ca exemplu, ia în considerare două linii. Verificăm proporționalitatea coeficienților corespunzători din variabile:

Cu toate acestea, este clar că.

Și al treilea caz, când liniile se intersectează:

Două linii se intersectează, dacă și numai dacă coeficienții lor pentru variabile NU sunt proporționale, adică NU există o astfel de valoare „lambda” încât egalitățile

Deci, pentru linii drepte, alcătuim sistemul:

Din prima ecuație rezultă că, iar din a doua ecuație:, înseamnă sistemul este incompatibil   (fără soluții). Astfel, coeficienții variabilelor nu sunt proporționali.

Concluzie: liniile se intersectează

În problemele practice, se poate folosi schema de soluții abordată. Apropo, seamănă foarte mult cu algoritmul pentru verificarea vectorilor pentru colinearitate, pe care le-am examinat în lecție Conceptul de dependență liniară (în) a vectorilor. Bazele vectorilor. Există însă un ambalaj mai civilizat:

Exemplul 1

Aflați poziția relativă a liniilor:

decizie   bazat pe studiul direcționării vectorilor de linii:

a) Din ecuații găsim vectori de direcție a liniilor: .

prin urmare, vectorii nu sunt coliniare și liniile se intersectează.

În caz că voi pune o piatră la răscruce cu indicatoare:

Restul sări piatra și să urmeze mai departe, chiar spre Kashchei Nemuritorul \u003d)

b) Găsiți vectori de direcție a liniilor:

Liniile au același vector de direcție, ceea ce înseamnă că sunt paralele sau coincid. Aici, determinantul nu este necesar.

Evident, în acest caz, coeficienții necunoscuților sunt proporționale.

Aflați dacă egalitatea este adevărată:

În acest fel

c) Găsiți vectori de direcție a liniilor:

Calculăm determinantul format din coordonatele acestor vectori:
prin urmare, vectorii de direcție sunt coliniari. Liniile sunt paralele sau identice.

Coeficientul de proporționalitate „lambda” este ușor de observat direct din raportul dintre vectorii ghid coliniari. Cu toate acestea, acesta poate fi găsit și prin coeficienții ecuațiilor în sine: .

Află acum dacă menține egalitatea. Ambii termeni liberi sunt zero, prin urmare:

Valoarea obținută satisface această ecuație (satisface orice număr deloc).

Astfel, liniile coincid.

Răspunsul:

Foarte curând, veți învăța (sau chiar ați învățat deja) să rezolvați problema considerată verbal literal în câteva secunde. În acest sens, nu văd niciun motiv pentru a oferi ceva pentru o soluție independentă, este mai bine să așezați o altă cărămidă importantă pe fundația geometrică:

Cum să construiți o linie paralelă cu aceasta?

Pentru necunoașterea acestei sarcini simple, Nightingale the Robber pedepsește sever.

Exemplul 2

Linia este dată de ecuație. Faceți o ecuație pentru o linie paralelă care trece printr-un punct.

decizie: Notează scrisoarea directă necunoscută. Ce spune starea despre ea? O linie trece printr-un punct. Și dacă liniile sunt paralele, atunci este evident că vectorul de direcție al liniei „ce” este potrivit pentru construirea liniei „de”.

Scoatem vectorul de direcție din ecuație:

Răspunsul:

Geometria exemplului pare simplă:

Verificarea analitică constă în următoarele etape:

1) Verificăm dacă liniile au același vector de direcție (dacă ecuația liniei nu este simplificată corespunzător, atunci vectorii vor fi coliniari).

2) Verificăm dacă punctul satisface ecuația obținută.

În cele mai multe cazuri, o analiză analitică este ușor de efectuat verbal. Priviți cele două ecuații și mulți dintre voi vor determina rapid paralelismul liniilor fără niciun desen.

Exemple pentru o soluție independentă astăzi vor fi creative. Pentru că tot trebuie să concurezi cu Baba Yaga, iar ea, știi, este un iubitor de tot felul de mistere.

Exemplul 3

Compune o ecuație pentru o linie care trece printr-un punct paralel cu linia dacă

Există o soluție rațională și nu foarte rațională. Cea mai scurtă cale este la sfârșitul lecției.

Am făcut o mică lucrare cu linii paralele și ne vom întoarce la ele. Cazul liniilor coincidente este de puțin interes, așa că ia în considerare o sarcină care îți este familiară din programa școlară:

Cum să găsiți punctul de intersecție a două linii?

Dacă este direct   se intersectează într-un punct, apoi coordonatele sale sunt o soluție   sisteme de ecuații liniare

Cum să găsiți punctul de intersecție al liniilor? Rezolvați sistemul.

Acolo îl ai sensul geometric al unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute   - acestea sunt două linii drepte care se intersectează (cel mai adesea) pe plan.

Exemplul 4

Găsiți punctul de intersecție al liniilor

decizie: Există două modalități de rezolvare - grafică și analitică.

Modul grafic este să desenați pur și simplu liniile de date și să aflați punctul de intersecție direct din desen:

   Iată ideea noastră:. Pentru a verifica, înlocuiți coordonatele sale în fiecare ecuație a liniei, acestea trebuie să se potrivească atât acolo cât și acolo. Cu alte cuvinte, coordonatele punctului sunt o soluție pentru sistem. De fapt, am examinat o soluție grafică sisteme de ecuații liniare   cu două ecuații, două necunoscute.

Metoda grafică, desigur, nu este rea, dar există dezavantaje vizibile. Nu, ideea nu este că elevii de șapte ani decid acest lucru, cert este că va dura timp pentru a face un desen corect și EXACT. În plus, nu este atât de ușor să construiești anumite linii și chiar punctul de intersecție în sine poate fi undeva în regatul anilor cincizeci în afara foii de caiet.

Prin urmare, este mai convenabil să căutați punctul de intersecție prin metoda analitică. Rezolvați sistemul:

Pentru a rezolva sistemul, s-a utilizat metoda adăugării în termen a ecuațiilor. Pentru a învăța abilitățile adecvate, vizitați lecția. Cum se rezolvă un sistem de ecuații?

Răspunsul:

Verificarea este banală - coordonatele punctului de intersecție trebuie să satisfacă fiecare ecuație a sistemului.

Exemplul 5

Găsiți punctul de intersecție al liniilor dacă se intersectează.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă. Sarcina este împărțită în mod convenabil în mai multe etape. Analiza stării sugerează că este necesar:
1) Faceți ecuația liniei.
   2) Faceți ecuația liniei.
   3) Aflați poziția relativă a liniilor.
   4) Dacă liniile se intersectează, atunci găsiți punctul de intersecție.

Dezvoltarea unui algoritm de acțiune este tipică multor probleme geometrice și mă voi concentra în mod repetat pe acest aspect.

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției:

Câteva încălțăminte nu au fost încă oprite, deoarece am ajuns la a doua secțiune a lecției:

Linii perpendiculare. Distanța de la un punct la o linie.
Unghiul dintre linii

Să începem cu o sarcină tipică și foarte importantă. În prima parte, am învățat cum să construim o linie dreaptă paralelă cu aceasta, iar acum coliba de pe picioarele de pui se va desfășura cu 90 de grade:

Cum se construiește o linie dreaptă perpendicular pe un dat?

Exemplul 6

Linia este dată de ecuație. Faceți o ecuație pentru linia perpendiculară care trece prin punct.

decizie: Prin condiție, se știe că. Ar fi bine să găsim vectorul de direcție al liniei. Deoarece liniile sunt perpendiculare, accentul este simplu:

Din ecuație „eliminăm” vectorul normal:, care va fi vectorul direct al liniei.

Compunem ecuația liniei în raport cu un punct și un vector ghid:

Răspunsul:

Extindeți schița geometrică:

Hmmm ... Cer portocaliu, mare portocalie, cămilă portocalie.

Verificarea analitică a soluției:

1) Din ecuații scoatem vectori de direcție și folosim produs scalar al vectorilor   concluzionăm că liniile sunt cu adevărat perpendiculare:.

Apropo, puteți utiliza vectori normali, este și mai ușor.

2) Verificați dacă punctul satisface ecuația .

Verificarea, din nou, este ușor de efectuat verbal.

Exemplul 7

Găsiți punctul de intersecție al liniilor perpendiculare, dacă ecuația este cunoscută   și punct.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă. Există mai multe acțiuni în sarcină, de aceea este convenabil să aranjați soluția punct cu punct.

Călătoria noastră fascinantă continuă:

Distanța de la punct la linie

Avem o fâșie de râu directă și sarcina noastră este să ajungem în cel mai scurt mod posibil. Nu există obstacole, iar cea mai optimă rută este să vă deplasați de-a lungul perpendicularului. Adică distanța de la un punct la o linie este lungimea segmentului perpendicular.

Distanța în geometrie este notată în mod tradițional de litera greacă „ro”, de exemplu: - distanța de la punctul „em” până la linia dreaptă „de”.

Distanța de la punct la linie   se exprimă prin formulă

Exemplul 8

Găsiți distanța de la un punct la o linie

decizie: nu trebuie decât să înlocuiți cu atenție numerele din formulă și să efectuați calculele:

Răspunsul:

Să executăm desenul:

Distanța găsită de la punctul la linie este exact lungimea liniei roșii. Dacă întocmiți un desen pe hârtie pe damă într-o scară de 1 unitate. \u003d 1 cm (2 celule), atunci distanța poate fi măsurată cu o riglă obișnuită.

Luați în considerare o altă sarcină din același desen:

Sarcina este de a găsi coordonatele unui punct care este simetric cu un punct în raport cu o linie . Îmi propun să efectuez acțiunile pe cont propriu, însă voi desemna un algoritm de soluție cu rezultate intermediare:

1) Găsiți o linie care este perpendiculară pe linie.

2) Găsiți punctul de intersecție al liniilor: .

Ambele acțiuni sunt discutate în detaliu în această lecție.

3) Punctul este mijlocul segmentului. Cunoaștem coordonatele mijlocului și unul dintre capete. pe coordonatele mijlocului segmentului   Ne găsim.

Nu va fi de prisos să verificați că distanța este de asemenea egală cu 2,2 unități.

În calculele de aici pot apărea dificultăți, dar micro-calculatorul ajută la calcularea fracțiilor obișnuite în turn. Recomandat în mod repetat, sfătuit și din nou.

Cum se găsește distanța dintre două linii paralele?

Exemplul 9

Găsiți distanța dintre două linii paralele

Acesta este un alt exemplu pentru o soluție independentă. Permiteți-mi să vă spun puțin: există infinit de multe soluții. Debriefing la sfârșitul lecției, dar mai bine încearcă să ghicești pentru tine, cred că priceputul tău a reușit să se disperseze bine.

Unghiul dintre două linii drepte

Indiferent de colț, jambul:


   În geometrie, unghiul DINTRE cele două linii drepte este unghiul MAI MIC, ceea ce implică automat că nu poate fi contondent. În figură, unghiul indicat de arcul roșu nu este considerat unghiul dintre liniile care se intersectează. Iar vecinul său „verde” este considerat ca atare sau orientat opus   Colțul „zmeură”.

Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci oricare dintre cele 4 unghiuri poate fi luat ca unghi între ele.

Cum diferă unghiurile? Orientare. În primul rând, direcția „defilării” unghiului este fundamental importantă. În al doilea rând, un unghi orientat negativ este scris cu un semn minus, de exemplu, dacă.

De ce am spus asta? Se pare că puteți înțelege cu conceptul obișnuit de unghi. Cert este că în formulele prin care vom găsi colțurile, puteți obține cu ușurință un rezultat negativ, iar acest lucru nu ar trebui să vă surprindă prin surprindere. Un unghi cu semn minus nu este mai rău și are un sens geometric foarte specific. În desen, pentru un unghi negativ, este obligatoriu să indicați cu săgeata orientarea acesteia (în sensul acelor de ceasornic).

Cum să găsești unghiul dintre două linii drepte?   Există două formule de lucru:

Exemplul 10

Găsiți unghiul dintre linii

decizie   și Metoda 1

Luați în considerare două linii definite de ecuații într-o formă generală:

Dacă este direct nu perpendicularatunci orientate   unghiul dintre ele poate fi calculat folosind formula:

Acordăm cea mai mare atenție numitorului - acesta este exact produs scalar   direcționarea vectorilor de linii:

Dacă, atunci numitorul formulei dispare, iar vectorii sunt ortogonali și liniile sunt perpendiculare. De aceea, se face o rezervare la non-perpendicularitatea liniilor din formulare.

Pe baza celor de mai sus, soluția este încadrată convenabil în două etape:

1) Calculăm produsul scalar al vectorilor direcționatori ai liniilor:
, deci liniile nu sunt perpendiculare.

2) Unghiul dintre liniile pe care le găsim după formula:

Folosind funcția inversă, este ușor să găsiți unghiul în sine. Folosim ciudățenia arctangentului (vezi Graficele și proprietățile funcțiilor elementare):

Răspunsul:

În răspuns, indicăm valoarea exactă, precum și valoarea aproximativă (de preferință în grade și în radieni), calculată folosind un calculator.

Ei bine, minus, deci minus, e în regulă. Iată o ilustrație geometrică:

   Nu este surprinzător faptul că unghiul s-a dovedit a fi într-o orientare negativă, deoarece în condiția problemei primul număr este o linie dreaptă și „deșurubarea” unghiului a pornit tocmai de la ea.

Dacă doriți cu adevărat să obțineți un unghi pozitiv, trebuie să schimbați liniile în locuri, adică luați coeficienții din a doua ecuație , și luați coeficienții de la prima ecuație. Pe scurt, trebuie să începeți cu un direct .

AB   și CD   traversat de a treia dreaptă MN, apoi unghiurile formate în acest fel obțin următoarele nume în perechi:

unghiuri corespunzătoare: 1 și 5, 4 și 8, 2 și 6, 3 și 7;

în colțurile întinse: 3 și 5, 4 și 6;

colțurile exterioare culcate: 1 și 7, 2 și 8;

colțuri interne cu o singură parte: 3 și 6, 4 și 5;

colțuri exterioare cu o singură parte: 1 și 8, 2 și 7.

Deci, ∠ 2 \u003d ∠ 4 și ∠ 8 \u003d ∠ 6, dar prin ceea ce s-a dovedit, ∠ 4 \u003d ∠ 6.

Prin urmare, ∠ 2 \u003d ∠ 8.

3. Unghiuri corespunzătoare   2 și 6 sunt aceleași, deoarece ∠ 2 \u003d ∠ 4, și ∠ 4 \u003d ∠ 6. Ne vom asigura, de asemenea, că celelalte unghiuri corespunzătoare sunt egale.

4.   sumă colțuri interne cu o singură parte   3 și 6 vor fi 2d pentru că suma colțuri adiacente   3 și 4 este egal cu 2d \u003d 180 0, iar ∠ 4 poate fi înlocuit cu identic cu acesta ∠ 6. De asemenea, asigurați-vă că suma unghiurilor   4 și 5 este egal cu 2d.

5.   sumă colțuri exterioare cu o singură parte   va fi 2d deoarece aceste unghiuri sunt egale respectiv în interiorul colțurilor lateraleca colțurile vertical.

Din justificarea de mai sus am dovedit conversa teoreme.

Când la intersecția a două linii ale unei a treia linii arbitrare obținem că:

1. Colțurile interne sunt aceleași;

sau 2.   Colțurile exterioare sunt aceleași;

sau 3.Unghiurile corespunzătoare sunt aceleași;

sau 4.   Suma unghiurilor laterale interne este 2d \u003d 180 0;

sau 5.   Suma unei părți unice externe este 2d \u003d 180 0 ,

atunci primele două linii sunt paralele.

Cursul video „Ia cele cinci” include toate subiectele necesare pentru promovarea cu succes a examenului de matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 ale examenului de bază în matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de bază la matematică. Dacă doriți să susțineți examenul cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvați partea 1 în 30 de minute și fără erori!

Cursul de pregătire pentru examenul pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce ai nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului în matematică (primele 12 probleme) și sarcina 13 (trigonometrie). Și acest lucru este de peste 70 de puncte asupra USE și, fără ele, nu se poate face nici coleg de clasă, nici științe umaniste.

Toată teoria necesară. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului. Toate sarcinile relevante din partea 1 din Banca de activități FIPI au fost sortate. Cursul respectă pe deplin cerințele examenului.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen. Probleme de text și teoria probabilităților. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiză a tuturor tipurilor de sarcini ale examenului. Geometrie. Trucuri complicate, pătuțuri utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero - până la sarcina 13. Înțelegerea în loc de cramming. Explicația vizuală a conceptelor complexe. Algebra. Rădăcini, grade și logaritmi, funcție și derivat. Baza pentru rezolvarea problemelor complexe 2 părți ale examenului.

În acest articol, dăm mai întâi o definiție a unghiului dintre liniile care se intersectează și oferim o ilustrație grafică. În continuare, vom răspunde la întrebarea: „Cum se poate găsi unghiul dintre liniile care se intersectează dacă sunt cunoscute coordonatele vectorilor de direcție ale acestor linii într-un sistem de coordonate dreptunghiulare”? În concluzie, vom exersa în găsirea unghiului dintre liniile care se intersectează în rezolvarea de exemple și probleme.

Navigare prin pagină.

Unghiul dintre liniile de trecere este definiția.

Vom aborda treptat determinarea unghiului dintre liniile drepte care se intersectează.

Mai întâi, amintiți-vă definiția liniilor care se intersectează: se numesc două linii într-un spațiu tridimensional oblicdacă nu se află în același plan. Din această definiție rezultă că liniile care se intersectează nu se intersectează, nu sunt paralele și, în plus, nu coincid, în caz contrar, amândoi ar sta într-un anumit plan.

Oferim câteva raționamente suplimentare.

Fie două linii care se intersectează a și b să fie date în spațiul tridimensional. Construim liniile a 1 și b 1 astfel încât acestea să fie paralele cu liniile de intersecție a și b, și să treacă printr-un anumit punct din spațiul M 1. Astfel, obținem două linii care se intersectează a 1 și b 1. Fie unghiul dintre liniile care se intersectează a 1 și b 1 să fie egal cu unghiul. Acum construim liniile a 2 și b 2 paralele cu liniile drepte intersectate a și b, trecând prin punctul M 2 diferit de punctul M 1. Unghiul dintre liniile de intersecție a 2 și b 2 va fi, de asemenea, egal cu unghiul. Această afirmație este adevărată, deoarece liniile a 1 și b 1 coincid cu liniile a 2 și, respectiv, b 2, dacă se realizează un transfer paralel în care punctul M 1 trece la punctul M 2. Astfel, măsura unghiului dintre două linii drepte care se intersectează în punctul M, respectiv paralel cu liniile drepte de încrucișare date, nu depinde de alegerea punctului M.

Acum suntem gata să definim unghiul dintre liniile care se intersectează.

Definiția.

Unghiul dintre liniile de trecere   Este unghiul dintre două linii care se intersectează, respectiv paralele cu liniile de intersecție date.

Din definiție rezultă că unghiul dintre liniile care se intersectează nu va depinde, de asemenea, de alegerea punctului M. Prin urmare, ca punct M, putem lua orice punct care aparține uneia dintre liniile care se intersectează.

Dăm o ilustrare a definiției unghiului dintre liniile de trecere.

Găsirea unghiului dintre liniile de trecere.

Deoarece unghiul dintre liniile drepte care se intersectează este determinat prin unghiul dintre liniile drepte care se intersectează, găsirea unghiului dintre liniile drepte care se intersectează se reduce la găsirea unghiului dintre liniile drepte care se intersectează în spațiul tridimensional.

Fără îndoială, metodele studiate în lecțiile de geometrie în liceu sunt potrivite pentru găsirea unghiului dintre liniile drepte care se intersectează. Adică, după finalizarea construcțiilor necesare, este posibil să conectați unghiul dorit cu un unghi cunoscut din condiție, bazat pe egalitatea sau asemănarea cifrelor, în unele cazuri va ajuta teorema cosinului, și uneori duce la un rezultat definirea sinusului, cosinului și tangența unui unghi   triunghi dreptunghi.

Cu toate acestea, este foarte convenabil să se rezolve problema de a găsi unghiul dintre intersectarea liniilor drepte folosind metoda de coordonate. Este ceea ce vom considera.

Să fie introdus Oxyz în spațiul tridimensional (deși în multe probleme trebuie introdus independent).

Ne-am stabilit sarcina: să găsim unghiul dintre liniile drepte care se intersectează a și b, care corespund unor ecuații ale dreptei în spațiu în sistemul dreptunghiular de coordonate Oxyz.

O rezolvăm.

Luăm un punct arbitrar al spațiului tridimensional M și presupunem că liniile drepte a 1 și b 1 trec prin el, paralel cu liniile drepte care se intersectează, respectiv, a și b. Apoi, unghiul dorit între liniile de intersecție a și b este egal cu unghiul dintre liniile de intersecție a 1 și b 1 prin definiție.

Astfel, rămâne pentru noi să găsim unghiul dintre liniile care se intersectează a 1 și b 1. Pentru a aplica formula pentru a găsi unghiul dintre două linii care se intersectează în spațiu, trebuie să cunoaștem coordonatele vectorilor de direcție ale liniilor a 1 și b 1.

Cum le putem obține? Dar foarte simplu. Definiția vectorului de direcție a liniei ne permite să afirmăm că seturile vectorilor de direcție ale liniilor paralele coincid. Prin urmare, ca vectori de direcție a liniilor a 1 și b 1, putem lua vectorii de direcție   și   liniile a și b, respectiv.

Astfel, unghiul dintre două linii drepte care se intersectează a și b se calculează după formula
unde   și   sunt vectori de direcție a liniilor a și b, respectiv.

Formula pentru găsirea cosinului unghiului dintre linii drepte intersectate   a și b are forma .

Vă permite să găsiți sinusul unghiului dintre liniile care se intersectează, dacă cosinusul este cunoscut: .

Rămâne să analizăm soluțiile exemplelor.

Un exemplu.

Găsiți unghiul dintre liniile drepte care se intersectează a și b, care sunt definite în sistemul de coordonate dreptunghiulare Oxyz prin ecuații   și .

Decizie.

   Ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiu vă permit să determinați imediat coordonatele vectorului de direcție al acestei linii drepte - sunt date de numere în numitorii fracțiilor, adică . Ecuațiile parametrice ale unei linii drepte în spațiu fac posibilă și înregistrarea imediată a coordonatelor vectorului de ghidare - sunt egale cu coeficienții din fața parametrului, adică   - vectorul de direcție al liniei . Astfel, avem toate datele necesare pentru aplicarea formulei prin care se calculează unghiul dintre liniile de trecere:

Răspunsul este:

Unghiul dintre liniile de trecere date este egal.

Un exemplu.

Găsiți sinusul și cosinusul unghiului dintre liniile care se intersectează pe care se află marginile AD și BC ale piramidei ABCD, dacă sunt cunoscute coordonatele vârfurilor sale:.

Decizie.

Vectorii de direcție ai liniilor drepte care se intersectează AD și BC sunt vectorii și. Calculăm coordonatele lor ca diferență a coordonatelor corespunzătoare ale punctelor de la sfârșitul și începutul vectorului:

Conform formulei putem calcula cosinusul unghiului dintre liniile de traversare indicate:

Acum calculăm sinusul unghiului dintre liniile de trecere: