Nivel intermediar

Cercul și unghiul înscris. Ghid vizual (2019)

Termeni cheie.

Vă amintiți bine toate numele asociate cercului? În caz, reamintiți - priviți imaginile - reîmprospătați-vă cunoștințele.

Ei bine, în primul rând - centrul cercului este un astfel de punct, distanțele de la care la toate punctele cercului sunt aceleași.

În al doilea rând -   rază - linia care leagă centrul și punctul de pe cerc.

Există o mulțime de raze (cât mai multe puncte pe cerc), dar   toate razele au aceeași lungime.

Uneori pentru scurtitudine rază   numit exact lungime tăiată   „Centrul este un punct al cercului”, și nu segmentul în sine.

Dar ce se întâmplă dacă conectați două puncte pe un cerc? Același segment?

Deci, acest segment se numește "Chord".

Ca și în cazul razei, diametrul este adesea numit lungimea segmentului care leagă două puncte de pe cerc și trece prin centru. Apropo, cum sunt legate diametrul și raza? Privește cu atenție. Desigur raza este jumătate din diametru.

În plus față de acorduri, există și intersecting.

Îți aduci aminte de cel mai simplu?

Unghiul central - unghiul dintre două raze.

Și acum - unghiul înscris

Unghiul înscris - unghiul dintre două coarde care se intersectează într-un punct al unui cerc.

Mai mult, ei spun că unghiul înscris se bazează pe un arc (sau o coardă).

Uită-te la poză:

Măsurarea arcurilor și a unghiurilor.

Circumferința. Arcurile și unghiurile sunt măsurate în grade și radieni. În primul rând despre grade. Nu există probleme pentru unghiuri - trebuie să învățați cum să măsurați un arc în grade.

Măsura gradului (valoarea arcului) este valoarea (în grade) a unghiului central corespunzător

Ce înseamnă aici cuvântul „corespunzător”? Ne uităm cu atenție:

Vezi două arcuri și două colțuri centrale? Ei bine, un unghi mai mare corespunde unui arc mai mare (și este în regulă că este mai mare), iar un unghi mai mic corespunde unui arc mai mic.

Așadar, am fost de acord: arcul conține cât mai multe grade în unghiul central corespunzător.

Și acum despre îngrozitor - despre radieni!

Ce fel de fiară este acest „radian”?

Imaginați-vă: radianele sunt o modalitate de a măsura unghiul ... în raze!

Un unghi de radian este un astfel de unghi central a cărui lungime de arc este egală cu raza cercului.

Apoi se pune întrebarea - câți radieni sunt în unghiul desfășurat?

Cu alte cuvinte: câte raze „se potrivesc” în jumătate de cerc? Sau un alt mod: de câte ori lungimea jumătății circumferinței este mai mare decât raza?

Această întrebare a fost pusă de oamenii de știință din Grecia antică.

Și astfel, după o lungă căutare, au descoperit că raportul circumferinței la rază nu dorește să fie exprimat în niciun fel prin numere „umane”, etc.

Și nici nu pot exprima această atitudine prin rădăcini. Adică, se dovedește că nu se poate spune că jumătate din circumferință este ori ori ori mai mică decât raza! Vă puteți imagina cât de uimitor a fost să descoperiți oamenii pentru prima dată ?! Pentru raportul dintre jumătatea cercului lungime și raza, numerele „normale” erau suficiente. A trebuit să introduc o scrisoare.

Deci, acesta este un număr care exprimă raportul dintre lungimea semicercului și raza.

Acum putem răspunde la întrebarea: câți radieni sunt în unghiul desfășurat? În ea există o radiană. Se datorează faptului că jumătate din circumferință este de ori raza.

Oameni antici (și nu chiar așa) de secole (!)   au încercat să calculeze mai exact acest număr misterios, pentru a-l exprima mai bine (cel puțin aproximativ) prin numere „obișnuite”. Și acum suntem imposibil de leneși - două semne după cel ocupat ne sunt suficiente, suntem obișnuiți

Gândiți-vă, asta înseamnă, de exemplu, că y-ul unui cerc cu raza unuia are lungimea aproximativ egală și este imposibil să scrieți această lungime cu un număr „uman” - aveți nevoie de o literă. Și atunci această circumferință va fi egală. Și, desigur, circumferința razei este egală.

Înapoi la radieni.

Am aflat deja că există un radian în unghiul extins.

Ce avem:

Atât de bucuros., Adică bucuros. În același mod, se obține o placă cu cele mai populare colțuri.

Raportul dintre unghiurile înscrise și cele centrale.

Există un fapt uimitor:

Valoarea unghiului înscris este jumătate din cea a unghiului central corespunzător.

Vedeți cum arată această afirmație în imagine. Un unghi central „corespunzător” este unul în care capetele coincid cu capetele unghiului înscris, iar vertexul este în centru. Și, în același timp, unghiul central „corespunzător” ar trebui să „privească” la aceeași coardă () cu unghiul înscris.

De ce da? Să ne uităm mai întâi la un caz simplu. Lasă una dintre coarde să treacă prin centru. Se întâmplă uneori, nu?

Ce se întâmplă aici? Luați în considerare. Este izoscel - până la urmă - și raze. De aici, (le-a desemnat).

Acum să ne uităm. Acesta este colțul exterior pentru! Reamintim că unghiul exterior este egal cu sumele a două interne, nu adiacente acestuia, și scriem:

Adică! Efect neașteptat. Există însă un unghi central pentru cei înscriși.

Deci, pentru acest caz, ei au dovedit că unghiul central este de două ori mai mare decât cel înscris. Dar este un caz special dureros: adevărul este, departe de a fi întotdeauna acordul trece direct prin centru? Dar nimic, acum acest caz particular ne va ajuta foarte mult. Uită-te: al doilea caz: lăsați centrul să se afle în interior.

Să facem acest lucru: desenăm un diametru. Și apoi ... vedem două poze care au fost deja desprinse în primul caz. Prin urmare, avem deja asta

De aici (în desen, a)

Ei bine, ultimul caz a rămas: centrul este din colț.

Procedăm la fel: desenăm diametrul prin punctul respectiv. La fel, dar în loc de sumă - diferența.

Asta este totul!

Haideți să formăm acum două consecințe principale și foarte importante din afirmația că unghiul înscris este jumătate din unghiul central.

Corolarul 1

Toate unghiurile înscrise, bazate pe un arc, sunt egale între ele.

Ilustrăm:

Unghiurile înscrise bazate pe același arc (avem acest arc) sunt nenumărate, ele pot arăta foarte diferite, dar toate au același unghi central (), ceea ce înseamnă că toate aceste unghiuri înscrise sunt egale între ei înșiși.

Corolarul 2

Unghiul bazat pe diametru este drept.

Uite: în ce colț este central?

Desigur. Dar el este egal! Ei bine, de aceea (și, de asemenea, o mulțime de unghiuri înscrise pe baza) este egal.

Unghiul dintre două coarde și secante

Dar dacă unghiul de interes pentru noi NU este înscris și NU este central, ci, de exemplu, acesta:

sau asa?

Este posibil să o exprimăm cumva la fel prin unele colțuri centrale? Se dovedește că poți. Uite: suntem interesați.

a) (ca unghi extern pentru). Dar - înscris, se bazează pe un arc -. - inscris, se bazează pe un arc.

Pentru frumusețe ei spun:

Unghiul dintre coarde este egal cu jumătate din suma valorilor unghiulare ale arcurilor închise în acest unghi.

Acest lucru este scris pentru scurtitate, dar, desigur, atunci când utilizați această formulă, trebuie să țineți cont de unghiurile centrale

b) Și acum - „afară”! Cum să fii? Da, aproape la fel! Numai acum (aplicați din nou proprietatea colțului exterior pentru). Asta este acum.

Și asta înseamnă. Haideți să aducem frumusețea și brevitatea notelor și formulărilor:

Unghiul dintre secante este egal cu jumătatea diferenței valorilor unghiulare ale arcurilor închise în acest unghi.

Ei bine, acum sunteți înarmați cu toate cunoștințele de bază despre colțurile asociate unui cerc. Înainte, să asalt sarcinile!

CIRCUL ȘI UNGUL \u200b\u200bINSIGNAT. NIVEL MEDIAL

Ce este un cerc, un copil de cinci ani știe, nu-i așa? Ca întotdeauna, matematicienii au o definiție abstruză pe acest subiect, dar nu o vom da (vezi), ci mai degrabă amintim care sunt punctele, liniile și unghiurile asociate cercului.

Termeni importanți

Ei bine, în primul rând:

centru cerc   - un astfel de punct, distanțele de la care până la toate punctele cercului sunt aceleași.

În al doilea rând:

Există o altă expresie acceptată: „o coardă strânge un arc”. Aici, în figură, de exemplu, o coardă trage împreună un arc. Și dacă coarda trece brusc prin centru, atunci are un nume special: „diametru”.

Apropo, cum sunt legate diametrul și raza? Privește cu atenție. Desigur

Și acum - numele pentru colțuri.

Desigur, nu-i așa? Laturile colțului se extind din centru - ceea ce înseamnă că unghiul este central.

Aici apar uneori dificultăți. Atenție - NU ESTE NICIUN unghi în interiorul cercului - înscris,   dar numai unul cu vârful „așezat” pe circumferința în sine.

Să vedem diferența în imagini:

Ei spun altfel:

Există un punct complicat aici. Ce este un unghi central „corespunzător” sau „propriu”? Doar un colț cu un vertex în centrul cercului și se termină la capetele arcului? Nu chiar așa. Uită-te la imagine.

Totuși, unul dintre ei nu pare un unghi - este mai mare. Dar acesta nu poate fi mai mult unghi într-un triunghi, ci, probabil, într-un cerc! Deci: un arc mai mic AB corespunde unui unghi mai mic (portocaliu) și unul mai mare la unul mai mare. La fel, nu?

Corelația dintre unghiurile înscrise și cele centrale

Amintiți-vă o afirmație foarte importantă:

În manualele le place să scrie acest fapt astfel:

Este adevărat, formularea este mai ușoară dintr-un unghi central?

Dar totuși, să găsim o corespondență între cele două formulări și, în același timp, vom învăța să găsim în figuri un unghi central „corespunzător” și un arc pe care unghiul inscripționat „se sprijină”.

Uite: iată cercul și unghiul înscris:

Unde este unghiul său central „corespunzător”?

Ne uităm din nou:

Care este regula?

Dar! În același timp, este important ca unghiurile înscrise și cele centrale să „privească” pe o parte a arcului. Aici, de exemplu:

Ciudat, albastru! Pentru că arcul este lung, mai lung de jumătate din cerc! Deci nu confunda niciodată!

Ce consecință se poate deduce din „jumătatea” unghiului înscris?

Și aici, de exemplu:

Unghiul bazat pe diametru

Ați observat deja că matematicienii sunt foarte iubiți să vorbească același lucru în cuvinte diferite? De ce au nevoie? Vedeți, limba matematică, deși formală, este vibrantă și, prin urmare, ca într-un limbaj obișnuit, de fiecare dată vreau să o spun cât mai convenabil. Ei bine, ceea ce am văzut deja, care este „unghiul bazat pe un arc”. Și imaginați-vă, aceeași imagine se numește „unghiul se bazează pe coardă”. Care? Da, bineînțeles, la cea care unește acest arc!

Când este mai convenabil să te sprijini pe o coardă decât pe un arc?

Ei bine, în special, când această coardă are un diametru.

Pentru o astfel de situație, există o declarație surprinzător de simplă, frumoasă și utilă!

Uite: iată circumferința, diametrul și unghiul care se bazează pe ea.

CIRCUL ȘI UNGUL \u200b\u200bINSIGNAT. SCURT DESPRE PRINCIPAL

1. Conceptele de bază.

3. Măsurarea arcurilor și a unghiurilor.

Un unghi de radian este un astfel de unghi central a cărui lungime de arc este egală cu raza cercului.

Acesta este un număr care exprimă raportul dintre lungimea semicercului și raza.

Circumferința razei este egală cu.

4. Raportul dintre unghiurile înscrise și cele centrale.

Astăzi vom lua în considerare un alt tip de problemă 6 - de data aceasta cu un cerc. Mulți studenți nu le plac și le consideră dificile. Și în zadar, deoarece astfel de sarcini sunt rezolvate elementardacă cunoașteți câteva teoreme. Sau nu se rezolvă deloc dacă nu sunt cunoscuți.

Înainte de a vorbi despre proprietățile de bază, permiteți-mi să amintesc definiția:

Un unghi inscripționat este unul al cărui vertex se află pe circumferința în sine, iar laturile cioplesc o coardă pe această circumferință.

Un unghi central este orice unghi cu un vertex în centrul unui cerc. De asemenea, laturile sale traversează acest cerc și cioplesc o coardă pe el.

Deci, conceptele unghiului inscripționat și central sunt legate inextricabil cu cercul și coardele din interiorul său. Și acum - declarația principală:

Teorema. Unghiul central este întotdeauna de două ori mai mare decât cel înscris, sprijinit pe același arc.

În ciuda simplității enunțului, există o întreagă clasă de probleme 6 care pot fi rezolvate cu ajutorul acesteia - și nimic altceva.

Sarcină. Găsiți un unghi ascuțit inscripționat pe baza unei coarde egală cu raza cercului.

Fie AB o coardă considerată, O centrul cercului. Construcție suplimentară: OA și OB - raze de cerc. Obținem:

Luați în considerare triunghiul ABO. În ea AB \u003d OA \u003d OB - toate laturile sunt egale cu raza cercului. Prin urmare, triunghiul ABO este echilateral și toate unghiurile din el sunt 60 °.

Fie M verticalul unghiului înscris. Deoarece unghiurile O și M se bazează pe același arc AB, unghiul M înscris este de 2 ori mai mic decât unghiul central O. Avem:

M \u003d O: 2 \u003d 60: 2 \u003d 30

Sarcină. Unghiul central este cu 36 ° mai mult decât unghiul înscris, bazat pe același arc circular. Găsiți unghiul înscris.

Vă prezentăm următoarea notare:

1. AB este coarda unui cerc;
2. Punctul O este centrul cercului, prin urmare, unghiul AOB este central;
3. Punctul C este partea superioară a unghiului ACB înscris.

Deoarece căutăm unghiul inscripționat ACB, îl notăm prin ACB \u003d x. Apoi, unghiul central AOB este x + 36. Pe de altă parte, unghiul central este de 2 ori mai mare decât unghiul introdus. Avem:

AOB \u003d 2 · ACB;
x + 36 \u003d 2 · x;
x \u003d 36.

Așadar, am găsit unghiul inscripționat AOB - este de 36 °.

Cercul este un unghi de 360 \u200b\u200b°

După citirea subtitlului, cititorii cunoscuți vor spune probabil acum: „Fu!” Într-adevăr, compararea unui cerc cu un unghi nu este în totalitate corectă. Pentru a înțelege despre ce este vorba, aruncați o privire asupra cercului trigonometric clasic:

Pentru ce este această imagine? Și la faptul că o revoluție deplină este un unghi de 360 \u200b\u200bde grade. Și dacă o împărțim, să zicem, în 20 de părți egale, atunci dimensiunea fiecăreia dintre ele va fi de 360: 20 \u003d 18 grade. Acesta este exact ceea ce este necesar pentru a rezolva problema B8.

Punctele A, B și C se întind pe un cerc și îl împărțiți în trei arcuri ale căror măsuri de grad se referă la 1: 3: 5. Găsiți unghiul mai mare al triunghiului ABC.

Mai întâi, găsiți măsura gradului fiecărui arc. Fie ca cei mai mici să fie egali cu x. În figură, acest arc este notat de AB. Atunci arcurile rămase - BC și AC - pot fi exprimate în termeni de AB: arc BC \u003d 3x; AC \u003d 5x. În total, aceste arcuri dau 360 de grade:

AB + BC + AC \u003d 360;
x + 3x + 5x \u003d 360;
  9x \u003d 360;
x \u003d 40.

Considerăm acum un curent alternativ de arc mare care nu conține punctul B. Acest arc, la fel ca unghiul central corespunzător, este 5x \u003d 5 · 40 \u003d 200 grade.

Unghiul ABC este cel mai mare dintre toate unghiurile triunghiului. Acesta este un unghi înscris, bazat pe același arc ca și unghiul central AOC. Aceasta înseamnă că unghiul ABC este de 2 ori mai mic decât AOC. Avem:

ABC \u003d AOC: 2 \u003d 200: 2 \u003d 100

Aceasta va fi măsura gradului unui unghi mai mare în triunghiul ABC.

Cercul a înconjurat în jurul unui triunghi drept.

Mulți oameni uită această teoremă. Dar degeaba, deoarece unele dintre sarcinile B8 nu pot fi rezolvate deloc. Mai exact, sunt rezolvate, dar cu un astfel de volum de calcule, încât ești mai probabil să adormi decât să ajungi la răspuns.

Teorema. Centrul cercului circumscris în jurul unui triunghi drept se află în mijlocul hipotenuzei.

Ce rezultă din această teoremă?

1. Mijlocul hipotenuzei este echidistant din toate vârfurile triunghiului. Aceasta este o consecință directă a teoremei;
2. O mediană trasă de hipotenuză împarte triunghiul inițial în două izosceluri. Acesta este exact ceea ce este necesar pentru a rezolva problema B8.

În triunghiul ABC, CD-ul median a fost desenat. Unghiul C este de 90 ° și unghiul B de 60 °. Găsiți unghiul ACD.

Deoarece unghiul C este 90 °, triunghiul ABC este dreptunghiular. Se pare că CD este o mediană condusă la hipotenuză. Prin urmare, triunghiurile ADC și BDC sunt izoscele.

În special, luați în considerare triunghiul ADC. Are AD \u003d CD. Dar într-un triunghi izoscel, unghiurile de la bază sunt egale - vezi „Sarcina B8: segmente și unghiuri în triunghiuri”. Prin urmare, unghiul dorit este ACD \u003d A.

Deci, rămâne să aflăm cu ce unghiul A este egal. Pentru a face acest lucru, ne întoarcem din nou la triunghiul original ABC. Notăm unghiul A \u003d x. Deoarece suma unghiurilor din orice triunghi este de 180 °, avem:

A + B + BCA \u003d 180;
x + 60 + 90 \u003d 180;
x \u003d 30.

Desigur, ultima problemă poate fi rezolvată într-un mod diferit. De exemplu, este ușor de demonstrat că triunghiul BCD nu este doar izoscel, ci echilateral. Deci unghiul BCD este de 60 de grade. De aici, unghiul ACD este 90 - 60 \u003d 30 grade. După cum puteți vedea, puteți utiliza diferite triunghiuri isoscele, dar răspunsul va fi întotdeauna același.

Conceptul de unghi înscris și central

Mai întâi introducem conceptul de unghi central.

Observație 1

Rețineți că măsura gradului unghiului central este egală cu măsura gradului arcului pe care se sprijină.

Prezentăm acum conceptul de unghi înscris.

Definiția 2

Un unghi al cărui vertex se află pe un cerc și ale cărui laturi se intersectează cu același cerc se numește unghi înscris (Fig. 2).

Figura 2. Unghiul înscris

  Teorema unghiului înscris

Teorema 1

Măsura gradului unghiului înscris este egală cu jumătate din măsura gradului arcului pe care se sprijină.

Dovada.

Să ne fie dat un cerc centrat în punctul $ O $. Notă unghiul înscris $ ACB $ (Fig. 2). Sunt posibile următoarele trei cazuri:

• Raza $ CO $ coincide cu ambele părți ale unghiului. Să fie partea lui $ CB $ (Fig. 3).

Figura 3

În acest caz, arcul $ AB $ este mai mic decât $ (180) ^ (() ^ \\ circ) $, prin urmare, unghiul central $ AOB $ este egal cu arcul $ AB $. Deoarece $ AO \u003d OC \u003d r $, triunghiul $ AOC $ este izoscel. Prin urmare, unghiurile de la baza de $ CAO $ și $ ACO $ sunt egale între ele. Prin teorema pe unghiul extern al unui triunghi, avem:

• Raza $ CO $ împarte colțul interior în două unghiuri. Lăsați-l să intersecteze cercul în punctul $ D $ (Fig. 4).

Figura 4

Ajungem

• Raza $ CO $ nu împarte colțul interior în două unghiuri și nu coincide cu oricare dintre laturile sale (Fig. 5).

Figura 5

Luați în considerare unghiurile $ ACD $ și $ DCB $ separat. După cum s-a dovedit la paragraful 1, obținem

Ajungem

Teorema este dovedită.

Dăm consecințele   din această teoremă.

Corolarul 1:   Unghiurile înscrise care se bazează pe același arc sunt egale între ele.

Corolar 2:   Unghiul înscris, care se bazează pe diametru, este o linie dreaptă.

Unghiul ABC - unghiul inscris. Se bazează pe arcul AC, încheiat între laturile sale (fig. 330).

Teorema. Unghiul înscris se măsoară cu jumătate din arcul pe care se sprijină.

Acest lucru trebuie înțeles după cum urmează: unghiul înscris conține cât mai multe grade unghiulare, minute și secunde, câte grade de arc, minute și secunde sunt conținute în jumătatea arcului pe care se sprijină.

În dovedirea acestei teoreme, trebuie luate în considerare trei cazuri.

Primul caz. Centrul cercului se află pe partea unghiului înscris (Fig. 331).

Fie ∠ABC unghiul înscris, iar centrul cercului O se află pe partea BC. Este necesar să se dovedească că este măsurat cu o jumătate de arc AC.

Conectați punctul A la centrul cercului. Obținem un AOB isoscel \\ (\\ Delta \\), în care AO \u003d OB, ca raze ale aceluiași cerc. Prin urmare, ∠A \u003d ∠B.

∠AOC este extern în raport cu triunghiul AOB, deci ∠AOC \u003d ∠A + ∠B și, deoarece unghiurile A și B sunt egale, atunci ∠B este 1/2 ∠AOC.

Dar ∠AOC este măsurat de arcul AC, prin urmare, ∠B este măsurat cu jumătate din arcul AC.

De exemplu, dacă \\ (\\ breve (AC) \\) conține 60 ° 18 ”, atunci containsB conține 30 ° 9”.

Al doilea caz. Centrul cercului se află între laturile unghiului înscris (Fig. 332).

Fie ∠ABD un unghi înscris. Centrul cercului O se află între laturile sale. Este necesar să se dovedească că ∠ABD este măsurat cu jumătate din arcul AD.

Pentru a demonstra, desenăm diametrul BC. Unghiul ABD este împărțit în două unghiuri: ∠1 și ∠2.

∠1 este măsurat cu jumătate din arcul de AC, iar ∠2 este măsurat cu jumătate din arcul de CD, prin urmare, întregul ∠АВD este măsurat 1/2 / (\\ breve (AC) \\) + 1/2 / (\\ breve (CD) \\), adică. jumătate din arcul d.Hr.

De exemplu, dacă \\ (\\ breve (AD) \\) conține 124 °, atunci ∠В conține 62 °.

Al treilea caz.   Centrul cercului se află în afara unghiului înscris (Fig. 333).

Fie ∠MAD unghiul înscris. Centrul cercului O este în afara colțului. Este necesar să se demonstreze că ∠MAD este măsurat cu o jumătate de arc MD.

Pentru a demonstra acest lucru, desenăm diametrul AB. ∠MAD \u003d ∠MAB - ∠DAB. Dar ∠MAB este măsurat 1/2 \\ (\\ breve (MB) \\), iar ∠DAB este măsurat 1/2 \\ (\\ breve (DB) \\).

În consecință, ∠MAD este măsurat 1/2 (\\ (\\ breve (MB) - \\ breve (DB)) \\), adică 1/2 / (\\ breve (MD) \\).

De exemplu, dacă \\ (\\ breve (MD) \\) conține 48 ° 38 ", atunci ADMAD conține 24 ° 19" 8 ".

Consecințele
1. Toate unghiurile înscrise bazate pe același arc sunt egale între ele, deoarece sunt măsurate cu jumătate din același arc   (Fig. 334, a).

2. Unghiul înscris, bazat pe diametru, este o linie dreaptă, deoarece se sprijină pe jumătate de cerc.   Jumătate din cerc conține 180 de grade de arc, ceea ce înseamnă că unghiul bazat pe diametru conține 90 de grade unghiulare (Fig. 334, b).

În primul rând, vom înțelege diferența dintre un cerc și un cerc. Pentru a vedea această diferență, este suficient să luăm în considerare care sunt ambele cifre. Acesta este un număr nenumărat de puncte plane situate la o distanță egală de un singur punct central. Dar, dacă cercul constă și din spațiu intern, atunci cercul nu îi aparține. Se pare că un cerc este atât un cerc care îl limitează (o-cerc (r)), cât și un număr infinit de puncte în interiorul cercului.

Pentru orice punct L situat pe un cerc, se aplică egalitatea OL \u003d R. (Lungimea segmentului OL este egală cu raza cercului).

Linia care leagă două puncte ale unui cerc este coardă.

Coarda, care trece chiar prin centrul cercului, este diametru   din acest cerc (D). Diametrul poate fi calculat după formula: D \u003d 2R

circumferință   calculat după formula: C \u003d 2 \\ pi R

Zona cercului: S \u003d \\ pi R ^ (2)

Arcul circular   numită partea sa, care este situată între cele două puncte ale sale. Aceste două puncte definesc două arcuri ale unui cerc. Chord CD trage împreună două arcuri: CMD și CLD. Aceleasi coarde trag intre ele aceleasi arcuri.

Unghiul central   numit un unghi care este între două raze.

Lungimea arcului   poate fi găsită după formula:

1. Folosind o măsură de grad: CD \u003d \\ frac (\\ pi R \\ alpha ^ (\\ circ)) (180 ^ (\\ circ))
2. Folosind măsura radiană: CD \u003d \\ alpha R

Diametrul, care este perpendicular pe coardă, împarte coarda și arcurile trase de ea pe jumătate.

Dacă acordurile AB și CD ale cercului se intersectează în punctul N, atunci produsele segmentelor de coarde separate de punctul N sunt egale între ele.

AN \\ cdot NB \u003d CN \\ cdot ND

Tangent la un cerc

Tangent la un cerc   este obișnuit să apelăm la o linie care are un punct comun cu un cerc.

Dacă linia are două puncte comune, se numește secantă.

Dacă atrageți raza în punctul de tangență, aceasta va fi perpendiculară pe tangenta cu cercul.

Atrageți două tangențe din acest punct în cercul nostru. Se dovedește că segmentele tangențelor sunt egale una cu cealaltă, iar centrul cercului este situat pe bisectoarea unghiului cu vârful în acest punct.

AC \u003d CB

Acum atragem o tangentă și secantă la cercul din punctul nostru. Obținem că pătratul lungimii segmentului tangent va fi egal cu produsul întregii secțiuni secante față de partea sa exterioară.

AC ^ (2) \u003d CD \\ cdot BC

Putem concluziona: produsul unui întreg segment al primului secant și a părții sale exterioare este egal cu produsul unui întreg segment al celui de-al doilea secant și al părții sale exterioare.

AC \\ cdot BC \u003d EC \\ cdot DC

Unghiuri de cerc

Măsurile de grad ale unghiului central și ale arcului pe care se bazează sunt egale.

\\ angle COD \u003d \\ cup CD \u003d \\ alpha ^ (\\ circ)

Unghiul înscris   - acesta este unghiul, al cărui vertex este pe cerc, iar laturile conțin coarde.

Îl puteți calcula știind amploarea arcului, deoarece este egal cu jumătate din acest arc.

\\ unghi AOB \u003d 2 \\ unghi ADB

Pe baza diametrului, unghiul inscripționat, drept.

\\ angle CBD \u003d \\ unghi CED \u003d \\ unghi CAD \u003d 90 ^ (\\ circ)

Unghiurile înscrise, care se bazează pe un arc, sunt identice.

Unghiurile înscrise care se sprijină pe o coardă sunt identice sau suma lor este egală cu 180 ^ (\\ circ).

\\ angle ADB + \\ angle AKB \u003d 180 ^ (\\ circ)

\\ angle ADB \u003d \\ angle AEB \u003d \\ angle AFB

Pe un cerc sunt vârfurile triunghiurilor cu unghiuri identice și o bază dată.

Un unghi cu un vertex în interiorul cercului și situat între două coarde este identic cu jumătate din suma valorilor unghiulare ale arcurilor circulare care se află în interiorul unghiurilor date și verticale.

\\ angle DMC \u003d \\ angle ADM + \\ angle DAM \u003d \\ frac (1) (2) \\ left (\\ cup DmC + \\ cup AlB \\ right)

Un unghi cu un vertex în afara cercului și situat între două secante este identic cu jumătate din diferența dintre valorile unghiulare ale arcurilor circulare care sunt închise în interiorul colțului.

\\ angle M \u003d \\ angle CBD - \\ angle ACB \u003d \\ frac (1) (2) \\ left (\\ cup DmC - \\ cup AlB \\ right)

Cercul înscris

Cercul înscris   Cercul atinge părțile laterale ale poligonului.

În punctul în care se intersectează bisectoarele unghiurilor poligonului, se află centrul său.

Un cerc nu poate fi înscris în fiecare poligon.

Zona poligonului cercului înscris se găsește după formula:

S \u003d pr

p este semiperimetrul poligonului,

r este raza cercului înscris.

Rezultă că raza cercului înscris este:

r \u003d \\ frac (S) (p)

Sumele lungimilor laturilor opuse vor fi identice dacă cercul este înscris într-un cadran convex. Și invers: un cerc se încadrează într-un patrulat convex dacă în el sumele lungimilor laturilor opuse sunt identice.

AB + DC \u003d AD + BC

Este posibil să introduceți un cerc în oricare dintre triunghiuri. Doar unul singur. În punctul în care se intersectează bisectoarele colțurilor interne ale figurii, centrul acestui cerc înscris va sta.

Raza cercului înscris este calculată după formula:

r \u003d \\ frac (S) (p),

unde p \u003d \\ frac (a + b + c) (2)

Cercul circumscris

Dacă un cerc trece prin fiecare vertex al unui poligon, atunci un astfel de cerc este de obicei numit descris în jurul poligonului.

La intersecția perpendicularelor medii ale laturilor acestei figuri va fi centrul cercului circumscris.

Raza poate fi găsită calculând-o ca raza cercului care este descrisă în apropierea triunghiului definit de orice 3 vârfuri ale poligonului.

Există următoarea condiție: este posibil să se descrie un cerc despre un patrulater numai dacă suma unghiurilor sale opuse este 180 ^ (\\ circ).

\\ unghiul A + \\ unghiul C \u003d \\ unghiul B + \\ unghiul D \u003d 180 ^ (\\ circ)

Un cerc poate fi descris în jurul oricărui triunghi și singurul. Centrul unui astfel de cerc va fi situat în punctul în care se intersectează perpendiculele din mijlocul laturilor triunghiului.

Raza cercului circumscris poate fi calculată după formulele:

R \u003d \\ frac (a) (2 \\ sin A) \u003d \\ frac (b) (2 \\ sin B) \u003d \\ frac (c) (2 \\ sin C)

R \u003d \\ frac (abc) (4 S)

a, b, c sunt lungimile laturilor triunghiului,

S este aria triunghiului.

Teorema lui Ptolemeu

În cele din urmă, ia în considerare teorema Ptolemei.

Teorema lui Ptolemeu afirmă că produsul diagonalelor este identic cu suma produselor din laturile opuse ale patrulaterului înscris.

AC \\ cdot BD \u003d AB \\ cdot CD + BC \\ cdot AD