Zona unui triunghi este egală cu jumătate din produsul laturilor sale prin sinusul unghiului dintre ele.

dovezi:

Luați în considerare un ABC triunghi arbitrar. Fie partea BC \u003d a în ea, partea CA \u003d b, iar S să fie aria acestui triunghi. Este necesar să dovedim asta S \u003d (1/2) * a * b * sin (C).

În primul rând, introducem un sistem de coordonate dreptunghiulare și plasăm originea în punctul C. Ne aranjăm sistemul de coordonate astfel încât punctul B să se afle pe direcția pozitivă a axei Cx, iar punctul A să aibă o ordonată pozitivă.

Dacă totul este făcut corect, atunci trebuie să se obțină următoarea cifră.

Zonă acest triunghi poate fi calculat după următoarea formulă: S \u003d (1/2) * a * hunde h este înălțimea triunghiului. În cazul nostru, înălțimea triunghiului h este egală cu ordinea punctului A, adică h \u003d b * sin (C).

Având în vedere rezultatul, formula zonei triunghiului poate fi rescrisă după cum urmează: S \u003d (1/2) * a * b * sin (C). Quod erat demonstrandum

Rezolvarea problemelor

Problemă 1. Găsiți aria triunghiului ABC, dacă a) AB \u003d 6 * √8 cm, AC \u003d 4 cm, unghiul A \u003d 60 grade b) BC \u003d 3 cm, AB \u003d 18 * √2 cm, unghiul B \u003d 45 grade ) AC \u003d 14 cm, CB \u003d 7 cm, unghiul C \u003d 48 grade.

Prin teorema dovedită mai sus, aria S a triunghiului ABC este egală cu:

S \u003d (1/2) * AB * AC * sin (A).

Să facem calcule .:

a) S \u003d ((1/2) * 6 * √8 * 4 * sin (60˚)) \u003d 12 * √6 cm ^ 2.

b) S \u003d (1/2) * BC * BA * sin (B) \u003d ((1/2) * 3 * 18 * √2 * (√2 / 2)) \u003d 27 cm ^ 2.

c) S \u003d (1/2) * CA * CB * sin (C) \u003d ½ * 14 * 7 * sin48˚ cm ^ 2.

Considerăm valoarea sinusului unghiului de pe calculator sau folosim valorile din tabelul de valori al unghiurilor trigonometrice. Răspuns:

a) 12 * √6 cm ^ 2.

c) aproximativ 36,41 cm ^ 2.

Problema 2. Zona triunghiului ABC este de 60 cm ^ 2. Găsiți partea AB dacă AC \u003d 15 cm, unghiul A \u003d 30˚.

Fie S aria zonei triunghiului ABC. După teorema zonei triunghiurilor, avem:

S \u003d (1/2) * AB * AC * sin (A).

Înlocuim valorile pe care le avem în ea:

60 \u003d (1/2) * AB * 15 * sin30˚ \u003d (1/2) * 15 * (1/2) * AB \u003d (15/4) * AB.

De aici exprimăm lungimea laturii AB: AB \u003d (60 * 4) / 15 \u003d 16.

Latură triunghiul poate fi detectat nu numai de perimetru și zonă, ci și de partea și colțurile date. Pentru aceasta se folosesc funcții trigonometrice - sinusală și a sinusală . Probleme cu aplicarea lor se găsesc în curs școlar geometrie precum și în facultate geometrie analitică și algebra liniară.

Manual de instructiuni

1. Dacă una dintre laturile triunghiului este renumită și unghiul dintre acesta și cealaltă latură, folosiți funcțiile trigonometrice - sinusală ohm și ko sinusală ohm Imaginați-vă un HBC triunghi drept cu un unghi? egală cu 60 de grade. Triunghiul HBC este prezentat în figură. Din cauza sinusală , după cum se știe, este raportul dintre piciorul opus și ipotenuză și sinusală - raportul piciorului alăturat cu ipotenuză, pentru a rezolva problema, utilizați relația suplimentară dintre acești parametri: păcat? \u003d HB / BC, dacă doriți să cunoașteți piciorul triunghi dreptunghicexprimă-l prin hipotenuză după cum urmează: HB \u003d BC * păcat?

2. Dacă, dimpotrivă, un picior de triunghi este dat în condiția problemei, detectează hipotenuză, fiind ghidat de relația suplimentară dintre valorile date: BC \u003d НB / sin? Prin analogie, găsește laturile triunghiului și folosind sinusală a, schimbând expresia anterioară astfel: cos? \u003d HC / BC

3. În matematică elementară, există o reprezentare a teoremei sinusală ov. Ghidat de faptele descrise de această teoremă, este posibilă și detectarea laturilor triunghiului. În plus, vă permite să detectați laturile unui triunghi înscris într-un cerc, dacă raza acestuia din urmă este renumită. Pentru a face acest lucru, utilizați relația de mai jos: a / sin? \u003d B / sin b \u003d c / sin y \u003d 2R Această teoremă se aplică dacă sunt cunoscute două laturi și unghiul triunghiului, sau una dintre unghiurile triunghiului și raza cercului circumscris în jurul lui. .

4. Pe lângă teoremă sinusală s, există o teoremă similară cu ea în esență sinusală s, care, la fel ca și precedentul, se aplică și triunghiurilor din toate cele 3 soiuri: dreptunghiulare, unghiulare acut și obtuz. Ghidat de faptele care dovedesc această teoremă, este posibil să se găsească cantități necunoscute, folosind următoarele relații între ele: c ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2-2ab * cos?

O figură geometrică, formată din trei puncte care nu aparțin unei linii drepte numite vârfuri și trei perechi de segmente care le leagă, numite laturi, se numește triunghi. Există o mulțime de probleme privind găsirea laturilor și unghiurilor unui triunghi printr-un număr limitat de date inițiale, una dintre acestea fiind găsirea laturilor unui triunghi pe una dintre laturile sale și două colțuri .

Manual de instructiuni

1. Să fie construit triunghiul? ABC și faimos - partea BC și colțurile ?? și ??. Este cunoscut faptul că suma unghiurilor oricărui triunghi este 180?, în consecință, în triunghiul? Unghiul ABC ?? va fi egal ?? \u003d 180? - (?? + ??). Este permisă descoperirea laturilor AC și AB folosind teorema sinusoidală, care afirmă AB / păcat ?? \u003d BC / păcat ?? \u003d AC / păcat ?? \u003d 2 * R, unde R este raza cercului circumscris în jurul triunghiului? ABC, atunci obținem R \u003d BC / sin ??, AB \u003d 2 * R * sin ??, AC \u003d 2 * R * sin ??. Teorema sinusală poate fi folosită pentru tot felul de date 2 colțuri și laterale.

2. Laturile unui triunghi dat pot fi detectate calculând aria sa conform formulei S \u003d 2 * R? * păcat ?? * păcat ?? * sin ??, unde R este calculat după formula R \u003d BC / sin ??, R este raza circumscrisă în jurul triunghiului? ABC de aici. latură AB este permis să detecteze, calculând înălțimea coborâtă asupra lui h \u003d BC * sin ??, saturația conform formulei S \u003d 1/2 * h * AB, avem AB \u003d 2 * S / h latură AC

3. Dacă unghiurile sunt unghiurile exterioare ale triunghiului ?? și ??, atunci este permisă detectarea unghiurilor interne cu sprijinul raporturilor corespunzătoare ?? \u003d 180? - ??, ?? \u003d 180? - ??, ?? \u003d 180? - (?? +?) Apoi procedăm ca primele două puncte.

Înțelegerea triunghiurilor a fost realizată de matematicieni timp de câteva milenii. Știința triunghiurilor - trigonometrie - folosește cantități speciale: sine și cosinus.

Triunghi dreptunghic

Inițial, sinusul și cosinusul au apărut din cauza necesității de a calcula valorile în triunghiuri în unghi drept. S-a remarcat că dacă măsura gradului unghiurilor într-un triunghi dreptunghic nu este modificată, atunci raportul de aspect, indiferent cât de mult se schimbă aceste laturi în lungime, rămâne invariabil identic. Sinusul unui unghi acut într-un triunghi unghi drept este raportul dintre partea opusă față de ipotenuză, iar cosinusul laturii adiacente cu ipotenuză.

Teoreme ale cosinului și sinusului

Dar cosinele și sinele pot fi utilizate nu numai în triunghiuri dreptunghiulare. Pentru a găsi valoarea unui unghi obtuz sau acut, latura oricărui triunghi, este suficient să aplici teorema cosinului și sinusului. Teorema cosinusului este destul de primitivă: „Pătratul laturii triunghiului egală cu suma pătrate din alte 2 părți, minus produsul dublu al acestor părți prin cosinusul unghiului dintre ele. " Există două interpretări ale teoremei sinusoidale: mic și extins. Conform celor mici: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse”. Această teoremă este adesea extinsă datorită proprietăților cercului descris lângă un triunghi: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse, iar raportul lor este egal cu diametrul cercului circumscris”.

Instrumente financiare derivate

Un derivat este un instrument matematic care arată modul în care o funcție se schimbă rapid în ceea ce privește metamorfoza argumentului său. Derivatele sunt utilizate în algebră, geometrie, economie și fizică, o serie de discipline tehnice. Când rezolvați problemele, trebuie să cunoașteți valorile tabulare ale derivatelor funcțiilor trigonometrice: sinus și cosinus. Derivatul sinusului este cosinusul, iar cosinusul este sinusul, dar cu un semn minus.

Aplicație în matematică

Mai ales adesea, sinele și cosinusele sunt utilizate în rezolvarea triunghiurilor dreptunghiulare și a problemelor asociate acestora. Comoditatea sinelor și cosinusului se reflectă în tehnologie. Unghiurile și laturile au fost estimate primitiv prin teoremele cosinusilor și sinelor, împărțind figuri și obiecte dificile în triunghiuri „primitive”. Inginerii și arhitecții, care se ocupă adesea de raporturi de aspect și măsuri de grad, au petrecut mult timp și efort calculând cosinele și sinele unghiurilor non-tabulare. Atunci au ajutat tabelele Bradis care conțineau mii de valori ale sinelor, cosinuselor, tangențelor și cotangenților din diferite unghiuri. LA timpul sovietic unii profesori și-au forțat elevii să învețe paginile tabelelor Bradis pe de rost.

În viață, adesea trebuie să ne confruntăm cu problemele de matematică: la școală, la universitate și apoi să ne ajutăm copilul teme pentru acasă. Oamenii din anumite profesii se vor întâlni zilnic cu matematica. Prin urmare, este util să vă amintiți sau să vă amintiți regulile matematice. În acest articol, vom analiza unul dintre ele: găsirea piciorului unui triunghi drept.

Ce este un triunghi drept?

Mai întâi, amintiți-vă ce este un triunghi drept. Un triunghi cu unghi drept este o figură geometrică din trei segmente care conectează puncte care nu se află pe o linie dreaptă, iar unul dintre colțurile acestei figuri este de 90 de grade. Partile care formeaza un unghi drept se numesc picioare, iar latura care se afla opusa unghi drept - hipotenuză.

Găsiți piciorul triunghiului drept

Există mai multe modalități de a afla lungimea piciorului. Aș dori să le consider mai detaliat.

Teorema pitagoreică pentru a găsi un picior dreptunghi triunghi

Dacă cunoaștem hipotenuză și piciorul, atunci putem găsi lungimea piciorului necunoscut prin teorema lui Pitagore. Sună astfel: „Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor picioarelor.” Formula: c² \u003d a² + b², unde c este hipotenuză, a și b sunt picioarele. Transformăm formula și obținem: a² \u003d c²-b².

Exemplu. Ipotenuză este de 5 cm, iar piciorul de 3 cm. Transformăm formula: c² \u003d a² + b² → a² \u003d c²-b². Atunci decidem: a² \u003d 5²-3²; a² \u003d 25-9; a² \u003d 16; a \u003d √16; a \u003d 4 (cm).

Raporturi trigonometrice pentru a găsi un picior dreptunghi triunghi

Puteți găsi, de asemenea, un picior necunoscut, dacă se cunoaște orice altă parte și orice unghi acut al unui triunghi drept. Există patru opțiuni pentru găsirea unui picior folosind funcții trigonometrice: prin sine, cosinus, tangent, cotangent. Pentru a rezolva problemele, tabelul de mai jos ne va ajuta. Luați în considerare aceste opțiuni.

Găsiți piciorul unui triunghi drept cu o sine

Sinusul unghiului (sin) este raportul dintre partea opusă și ipotenuză. Formula: sin \u003d a / c, unde a este piciorul care este opus unghiului dat, iar c este ipotenuză. În continuare, transformăm formula și obținem: a \u003d sin * c.

Exemplu. Hipotenuză este de 10 cm, unghiul A este de 30 de grade. Conform tabelului, calculăm sinusul unghiului A, acesta este 1/2. Apoi, folosind formula transformată, rezolvăm: a \u003d sin∠А * c; a \u003d 1/2 * 10; a \u003d 5 (cm).

Găsiți partea unui triunghi drept folosind cosinus

Cosinusul unghiului (cos) este raportul dintre piciorul adiacent și ipotenuză. Formula: cos \u003d b / c, unde b este piciorul, adiacent acestui unghi, iar c este ipotenuză. Transformăm formula și obținem: b \u003d cos * c.

Exemplu. Unghiul A este de 60 de grade, hipotenuză de 10 cm. Conform tabelului, calculăm cosinul unghiului A, este 1/2. În continuare, decidem: b \u003d cos∠A * c; b \u003d 1/2 * 10, b \u003d 5 (cm).

Găsiți piciorul unui triunghi drept folosind tangenta

Unghiul tangent (tg) este raportul dintre piciorul opus și piciorul adiacent. Formula: tg \u003d a / b, unde a este piciorul opus colțului, iar b este piciorul alăturat. Transformăm formula și obținem: a \u003d tg * b.

Exemplu. Unghiul A este de 45 de grade, hipotenuză de 10 cm. Conform tabelului, calculăm tangența unghiului A, este egal cu Decide: a \u003d tg∠A * b; a \u003d 1 * 10; a \u003d 10 (cm).

Găsiți piciorul unui triunghi drept folosind cotangentul

Cotangentul unghiular (ctg) este raportul piciorului adiacent cu piciorul opus. Formula: ctg \u003d b / a, unde b este piciorul adiacent colțului și a este opus. Cu alte cuvinte, cotangentul este „tangenta inversată”. Obținem: b \u003d ctg * a.

Exemplu. Unghiul A este de 30 de grade, piciorul opus este de 5 cm. Conform tabelului, tangenta unghiului A este √3. Calculați: b \u003d ctg∠A * a; b \u003d √3 * 5; b \u003d 5√3 (cm).

Deci, acum știi să găsești un picior într-un triunghi drept. După cum puteți vedea, acest lucru nu este atât de dificil, principalul lucru este să vă amintiți formulele.

Dacă problema dă lungimile a două laturi ale triunghiului și unghiul dintre ele, atunci puteți aplica formula pentru aria triunghiului prin sinus.

Un exemplu de calcul al ariei unui triunghi printr-o sinusă. Lățile a \u003d 3, b \u003d 4 și unghiul γ \u003d 30 ° sunt date. Sinusul unui unghi de 30 ° este 0,5

Suprafața triunghiului va fi de 3 metri pătrați. cm.

Pot exista și alte condiții. Dacă este dată lungimea unei părți și unghiurile, atunci mai întâi trebuie să calculați unghiul lipsă. pentru că suma tuturor unghiurilor triunghiului este de 180 °, apoi:

Suprafața va fi egală cu jumătate din pătratul părții laterale. În numărătorul ei este produsul sinelor unghiurilor adiacente, iar în numitor se află sinusul unghiului opus. Acum calculăm zona conform următoarelor formule:

De exemplu, dat un triunghi cu latura a \u003d 3 și unghiurile γ \u003d 60 °, β \u003d 60 °. Calculăm al treilea unghi:
Înlocuiți datele din formulă
Obținem că aria triunghiului este de 3,87 metri pătrați. cm.

II. Zona triunghiului prin cosinus

Pentru a găsi zona unui triunghi, trebuie să cunoașteți lungimile tuturor părților. Prin teorema cosinusului, este posibil să găsești părți necunoscute și abia apoi să o folosești.
Prin teorema cosinusului, pătratul laturii necunoscute a triunghiului este suma pătratelor părților rămase minus produsul dublu al acestor părți de cosinusul unghiului dintre ele.

Din teoremă derivăm formule pentru găsirea lungimii laturii necunoscute:

Știind să găsești partea care lipsește, având două laturi și unghiul dintre ele, poți calcula cu ușurință zona. Formula zonei unui triunghi prin cosinus ajută la găsirea rapidă și ușoară a unei soluții la diverse probleme.

Un exemplu de calcul al formulei zonei triunghiului prin cosinus
Se dă un triunghi cu laturile cunoscute a \u003d 3, b \u003d 4 și un unghi γ \u003d 45 °. În primul rând, găsiți partea care lipsește cu. Prin cosinus 45 ° \u003d 0,7. Pentru a face acest lucru, substituim datele în ecuația derivată din teorema cosinusului.
Folosind acum formula, găsim

Sinusul este una dintre principalele funcții trigonometrice, a căror aplicare nu se limitează doar la geometrie. Tabele pentru calculul funcțiilor trigonometrice, cum ar fi calculatoare inginerești, nu întotdeauna la îndemână, iar calculul sinusului este uneori necesar pentru a rezolva diverse probleme. În general, calculul sinusului va ajuta la consolidarea abilităților de desen și cunoașterea identităților trigonometrice.

Jocuri cu o riglă și un creion

Sarcină simplă: cum să găsești sinusul unui unghi desenat pe hârtie? Pentru a rezolva acest lucru, veți avea nevoie de o riglă obișnuită, un triunghi (sau busolă) și un creion. Cel mai simplu mod de a calcula sinusul unui unghi este prin împărțirea piciorului îndepărtat al triunghiului cu un unghi drept pe partea lungă - hipotenuză. Astfel, mai întâi trebuie să adăugați un unghi acut la figura unui triunghi unghi drept, desenând o linie perpendiculară pe una dintre raze la o distanță arbitrară de la vârful colțului. Va trebui să respectăm un unghi de exact 90 °, pentru care vom avea nevoie de un triunghi clerical.

Utilizarea unei busole este puțin mai exactă, dar va dura mai mult timp. Pe una dintre raze, este necesar să se marcheze 2 puncte la o anumită distanță, să se regleze raza de busolă la aproximativ egala cu distanța dintre puncte și să se deseneze semicercuri cu centre în aceste puncte până când se obțin intersecții ale acestor linii. Conectând punctele de intersecție ale cercurilor noastre între ele, obținem o perpendiculară strictă a fasciculului unghiului nostru, rămâne doar să extindem linia la intersecția cu un alt fascicul.

În triunghiul rezultat, trebuie să utilizați o riglă pentru a măsura latura opusă colțului și partea lungă pe una dintre raze. Raportul primei dimensiuni la a doua va fi sinusul dorit al unghiului acut.

Găsiți sinusul pentru un unghi mai mare de 90 °

Pentru un unghi obtuz, sarcina nu este mult mai complicată. Trebuie să tragem o rază de sus în direcția opusă folosind o riglă pentru a forma o linie dreaptă cu unul dintre razele unghiului de interes pentru noi. Unghiul ascuțit obținut trebuie tratat așa cum s-a descris mai sus; sinele unghiurilor adiacente care formează împreună un unghi rotit de 180 ° sunt egale.

Calculul sinusului altor funcții trigonometrice

De asemenea, calculul sinusului este posibil dacă se cunosc valorile altor funcții trigonometrice ale unghiului sau cel puțin lungimilor laturilor triunghiului. Identitățile trigonometrice ne vor ajuta în acest sens. Să analizăm exemple comune.

Cum de a găsi sinusul cu un cosinus cunoscut al unghiului? Prima identitate trigonometrică, pornind de la teorema pitagoreică, afirmă că suma pătratelor sinusului și cosinusului din același unghi este egală cu unitatea.

Cum de a găsi sinusul cu tangenta cunoscută a unghiului? Tangenta este obținută prin împărțirea piciorului îndepărtat de cufundat sau împărțirea sinusului prin cosinus. Astfel, sinusul va fi produsul cosinului de către tangentă, iar pătratul sinusului va fi pătratul acestui produs. Înlocuim cosinul pătrat de diferența dintre unitate și sinusul pătrat în funcție de prima identitate trigonometrică și prin simple manipulări aducem ecuația pentru a calcula sinusul pătrat prin tangent, respectiv, pentru a calcula sinusul, trebuie să extrageți rădăcina din rezultat.

Cum de a găsi sinusul unui cotangent unghi cunoscut? Valoarea cotangentului poate fi calculată împărțind lungimea apropiatului de partea piciorului la lungimea îndepărtatului, precum și împărțind cosinul prin sine, adică cotangentul este o funcție inversă tangentei în raport cu numărul 1. Pentru a calcula sinusul, putem calcula tangenta după formula tan α \u003d 1 / ctg α și folosiți formula din a doua opțiune. Puteți deriva, de asemenea, o formulă directă prin analogie cu tangenta, care va arăta după cum urmează.

Cum să găsești o sine pe trei laturi ale unui triunghi

Există o formulă pentru a găsi lungimea laturii necunoscute a oricărui triunghi, nu doar unul dreptunghiular, pe două laturi cunoscute folosind funcția trigonometrică cosinusul unghiului opus. Arată așa.

Ei bine, sinusul poate fi calculat suplimentar de cosinus conform formulelor de mai sus.