În problemele de construcție, busolele și o riglă sunt considerate instrumente ideale, în special, rigla nu are diviziuni și are doar o parte de lungime infinită, iar busola poate avea o deschidere arbitrar mare sau arbitrar mică.

Construcții valabile. Următoarele operații sunt permise în construirea sarcinilor:

1. Bifați un punct:

un punct arbitrar al planului;

un punct arbitrar pe o dreaptă dată;

un punct arbitrar pe un cerc dat;

punctul de intersecție a două linii date;

punctele de intersecție / tangență a unei linii date și a unui cerc dat;

punctele de intersecție / tangență a două cercuri specificate.

2. Folosind o riglă, puteți construi o linie dreaptă:

o linie dreaptă arbitrară pe un plan;

o linie dreaptă arbitrară care trece printr-un punct dat;

o linie dreaptă care trece prin două puncte date.

3. Folosind o busolă, puteți construi un cerc:

un cerc arbitrar pe un plan;

un cerc arbitrar centrat la set point;

un cerc arbitrar cu o rază egală cu distanța dintre două puncte specificate;

un cerc centrat în punctul specificat și cu o rază egală cu distanța dintre cele două puncte specificate.

Rezolvarea problemelor de construcție. Soluția la problema construcției conține trei părți esențiale:

Descrierea metodei de construire a obiectului dorit.

Dovadă că obiectul construit în modul descris este într-adevăr cel dorit.

Analiza metodei de construcție descrise pentru aplicabilitatea sa la diferite variante ale condițiilor inițiale, precum și pentru unicitatea sau ne-unicitatea soluției obținute prin metoda descrisă.

Desenați un segment de linie egal cu cel dat. Să existe o rază cu originea la punctul $ O $ și un segment $ AB $. Pentru a construi segmentul $ OP \u003d AB $ pe rază, trebuie să construiți un cerc cu centrul în punctul $ O $ de rază $ AB $. Punctul de intersecție a razei cu cercul va fi punctul necesar $ P $.

Construiește un unghi egal cu cel dat. Să se dea o rază cu originea la punctul $ O $ și unghiul $ ABC $. Cu centrul la punctul $ B $ construim un cerc cu o rază arbitrară $ r $. Să denotăm punctele de intersecție ale cercului cu razele $ BA $ și respectiv $ BC $, respectiv, $ A "$ și $ C" $.

Construiți un cerc centrat în punctul $ O $ de raza $ r $. Punctul de intersecție al cercului cu raza va fi notat cu $ P $. Construiți un cerc centrat la punctul $ P $ pe raza $ A „B” $. Punctul de intersecție al cercurilor va fi notat cu $ Q $. Desenați raza $ OQ $.

Obținem unghiul $ POQ $, egal cu unghiul $ ABC $, deoarece triunghiurile $ POQ $ și $ ABC $ sunt egale pe trei laturi.

Construiește un punct mediu perpendicular pe un segment de linie. Să construim două cercuri de rază arbitrară care se intersectează cu centre la capetele segmentului. Prin conectarea celor două puncte ale intersecției lor, obținem perpendiculara mijlocie.

Construirea bisectoarei unui unghi. Să desenăm un cerc de rază arbitrară centrat la vârful colțului. Să construim două cercuri de rază arbitrară care se intersectează cu centre la punctele de intersecție ale primului cerc cu laturile colțului. Conectând vârful colțului cu oricare dintre punctele de intersecție ale acestor două cercuri, obținem bisectoarea unghiului.

Construcția sumei a două segmente.Pentru a construi un segment egal cu suma a două segmente date pe o rază dată, trebuie să aplicați metoda de a construi un segment egal cu acesta de două ori.

Trasarea sumei a două unghiuri. Pentru a amâna un unghi dintr-o rază dată, egală cu suma două unghiuri date, trebuie să aplicați metoda de a construi un unghi egal cu acesta de două ori.

Găsirea punctului de mijloc al unui segment de linie. Pentru a marca mijlocul unui anumit segment, trebuie să construiți o jumătate perpendiculară pe segment și să marcați punctul de intersecție a perpendicularei cu segmentul în sine.

Creează o linie perpendiculară printr-un punct dat. Să fie necesar să se construiască o linie dreaptă perpendiculară pe un punct dat și care trece printr-un punct dat. Desenați un cerc de rază arbitrară centrat într-un punct dat (indiferent dacă se află pe o dreaptă sau nu), intersectând linia dreaptă în două puncte. Construim un punct mediu perpendicular pe un segment cu capete la punctele de intersecție ale unui cerc cu o linie dreaptă. Aceasta va fi linia perpendiculară dorită.

Desenează o linie dreaptă paralelă printr-un punct dat. Să fie necesar să construim o linie dreaptă paralelă cu cea dată și care trece printr-un punct dat în afara liniei drepte. Construiți o linie dreaptă care trece printr-un punct dat, perpendicular pe această linie dreaptă. Apoi construim o linie dreaptă care trece prin acest punct, perpendicular pe perpendiculara construită. Linia dreaptă obținută în acest caz va fi cea dorită.

Ajutor! Nepoata a fost întrebată. Construiți un triunghi obișnuit folosind o busolă.

1. Pe o linie dreaptă, așezați un segment cu o anumită soluție a unei busole și trageți arcuri cu aceeași soluție de la ambele capete. Aceste arcuri se vor intersecta. Acesta este al treilea vârf al triunghiului tău.
2. Desenează un cerc. Marcați un punct pe cerc (să fie A). Din acest punct de-a lungul circumferinței în ambele direcții, măsurați 2 raze. Conectați cele 3 puncte rezultate
3. Desenați un cerc și cu aceeași rază împărțiți-l în 6 părți (puneți 6 puncte), apoi conectați trei puncte (printr-una) cu linii drepte.
4. Mai întâi, trasați un segment de linie egal cu lungimea viitorului triunghi.
   Apoi dizolvați busola la lungimea acestui segment și, plasând capătul busolei la începutul segmentului, desenați un cerc.
   Așezați o busolă la celălalt capăt al liniei și desenați un alt cerc.
   Cercurile se vor intersecta în două puncte - deasupra și dedesubtul liniei. Prin conectarea capetelor unui segment de linie la unul dintre aceste puncte, veți obține un triunghi regulat (echilateral).
5. en.wikibooks.org/wiki/.../Constructing_Regular_Triangle
6. a desenat un cerc, apoi puneți acul pe cerc și faceți două serifuri pe linii, apoi rearanjați busola astfel încât să puneți un creion pe serif și mutați acul mai departe și să faceți următorul serif ... deci conectați toate cele trei serifuri ... obțineți un triunghi regulat. ...
7. Împărțiți cercul în 4 părți egale. Puneți piciorul busolei în cel mai jos punct și desenați un al doilea cerc de aceeași rază. Aveți două puncte de intersecție sunt două puncte ale triunghiului. Al treilea punct este chiar în partea de sus a primului cerc. Ne conectăm, obținem)

   http://nacherchy.ru/postroenie_pravilnich_mnogougolnikov.html
   figura 61 pentru a ajuta

8. 1) Pe o linie dreaptă cu o busolă, marcați un segment de lungime arbitrară
   2) de la un capăt al segmentului cu o busolă, deschisă la lungimea segmentului marcat, desenați un arc (suficient de lung)
   3) faceți același lucru de la celălalt capăt al segmentului
   4) arcurile se intersectează
   5) conectați punctul de intersecție cu capetele segmentului
   6) deci am obținut un triunghi echilateral - corect

Ajutor! Nepoata a fost întrebată. Construiți un triunghi obișnuit folosind o busolă. și am primit cel mai bun răspuns

Răspuns de la FILMaholic [guru]
Mai întâi, trasați un segment de linie egal cu lungimea viitorului triunghi.
Apoi dizolvați busola la lungimea acestui segment și, plasând capătul busolei la începutul segmentului, desenați un cerc.
Așezați o busolă la celălalt capăt al liniei și desenați un alt cerc.
Cercurile se vor intersecta în două puncte - deasupra și dedesubtul liniei. Prin conectarea capetelor unui segment de linie la unul dintre aceste puncte, veți obține un triunghi regulat (echilateral).

Răspuns de la Grisha Kolosov[incepator]
tHX

Răspuns de la Alexander Zhidaykin[incepator]
Împărțiți cercul în 4 părți egale. Puneți piciorul busolei în cel mai jos punct și desenați un al doilea cerc de aceeași rază. Aveți două puncte de intersecție sunt două puncte ale triunghiului. Al treilea punct este chiar în partea de sus a primului cerc. Ne conectăm, obținem)
figura 61 pentru a ajuta

Răspuns de la Bunic07[guru]
Desenează un cerc. Marcați un punct pe cerc (să fie A). Din acest punct de-a lungul circumferinței în ambele direcții, măsurați 2 raze. Conectați cele 3 puncte rezultate

Răspuns de la * APELSINKA *[guru]
en.wikibooks.org/wiki/.../Constructing_Regular_Triangle

Răspuns de la Elena yakovleva[guru]
Desenați un cerc și cu aceeași rază împărțiți-l în 6 părți (puneți 6 puncte), apoi conectați trei puncte (printr-una) cu linii drepte.

Răspuns de la Antip[guru]
1) Pe o linie dreaptă cu o busolă, marcați un segment de lungime arbitrară
2) de la un capăt al segmentului cu o busolă, deschisă la lungimea segmentului marcat, desenați un arc (suficient de lung)
3) faceți același lucru de la celălalt capăt al segmentului
4) arcurile se intersectează
5) conectați punctul de intersecție cu capetele segmentului
6) deci am obținut un triunghi echilateral - corect

Răspuns de la Vega[guru]
a desenat un cerc, apoi puneți acul pe cerc și faceți două serifuri pe linii, apoi rearanjați busola astfel încât să puneți un creion pe serif și mutați acul mai departe și să faceți următorul serif ... deci conectați toate cele trei serifuri ... obțineți un triunghi regulat. ...

Răspuns de la Tatiana Egorova[guru]
Pe o linie dreaptă, așezați un segment cu o anumită soluție a unei busole și trageți arcuri cu aceeași soluție de la ambele capete. Aceste arcuri se vor intersecta. Acesta este al treilea vârf al triunghiului tău.

Răspuns de la 3 răspunsuri[guru]

Buna! Iată o selecție de subiecte cu răspunsuri la întrebarea dvs.: Ajutor! Nepoata a fost întrebată. Construiți un triunghi obișnuit folosind o busolă.

Construcția geometrică a figurilor se referă la cunoștințele de bază curs de scoala geometrie. Pe lângă utilizarea utilitară, aici este importantă formarea logicii spațiale. În consecință, construcția triunghi ca o formă poligonală primitivă, cu ajutor busola este examinată în detaliu. Busola nu este doar un instrument pentru desenarea unui cerc. De asemenea, vă permite să amânați segmente egale de o anumită lungime. Acest lucru ne va ajuta cu al său ajutor construiește un triunghi.

Vei avea nevoie

• Foaie de hârtie, busole

Instrucțiuni

1. Luați orice foaie de hârtie. Puneți un punct în centrul foii. Acesta va fi primul vârf A al creatului triunghi .

2. Deschideți busola la o distanță care corespunde corect părții dorite a creatului triunghi ... Fixați ferm picioarele busolei în această poziție.

3. Așezați acul busolei în punctul marcat. Desenați un arc al unui cerc cu o rază măsurată folosind piciorul cu plumb.

4. Desenați un punct oriunde în jurul cercului pe care îl desenați. Acesta va fi al doilea vârf B al triunghi .

5. Așezați piciorul pe al doilea vârf folosind aceeași metodă. Desenați un alt cerc astfel încât să se intersecteze cu primul.

6. În punctul de intersecție al ambelor arcuri desenate, al treilea vârf C al creatului triunghi ... Mătură-o în imagine.

7. După ce ați primit toate cele trei vârfuri, combinați-le cu linii drepte cu ajutor orice suprafață plană (mai bună decât o riglă). Triangle ABC este construit.

Bugetul municipal instituție educațională

in medie școală cuprinzătoare Nr. 34 cu studiu aprofundat al subiectelor individuale

MAN, Secția Fizică și Matematică

„Construcții geometrice folosind o busolă și o riglă”

Finalizat: elev 7 clasa „A”

Batishcheva Victoria

Șef: V. V. Koltovskaya

Voronezh, 2013

3. Construirea unui unghi egal cu cel dat.

P să desenăm un cerc arbitrar centrat la vârful A al unui unghi dat (Fig. 3). Fie B și C punctele de intersecție ale cercului cu laturile colțului. Cu raza AB desenăm un cerc cu centrul în punctul O-punctul inițial al acestei jumătăți de linie. Punctul de intersecție al acestui cerc cu această jumătate de linie este notat cu C 1 ... Descriem un cerc cu centrul C 1 și 3

raza soarelui. Punctul B 1 intersecția cercurilor construite în semiplanul indicat se află pe partea unghiului dorit.

6. Construcția liniilor perpendiculare.

Desenați un cerc cu o rază arbitrară r centrată în punctul O Fig. 6. Cercul intersectează dreapta în punctele A și B. Desenați cercuri cu raza AB din punctele A și B. Fie melancolia C să fie punctul de intersecție al acestor cercuri. Am obținut punctele A și B la primul pas, atunci când construim un cerc cu o rază arbitrară.

Linia dreaptă dorită trece prin punctele C și O.

Fig. 6

Sarcini cunoscute

1. Sarcina lui Brahmagupta

Construiți un patrulater inscripționat de-a lungul celor patru laturi ale sale. O soluție folosește cercul Apollonius. Să rezolvăm problema Apollonius folosind analogia dintre un cerc cu trei și un triunghi. Cum găsim un cerc înscris într-un triunghi: construim punctul de intersecție al bisectoarelor, aruncăm perpendiculare din acesta pe laturile triunghiului, bazele perpendiculare (punctele de intersecție ale perpendicularei cu latura pe care este aruncat) și ne oferă trei puncte situate pe cercul dorit. Tragem un cerc prin aceste trei puncte - soluția este gata. La fel vom face și cu problema lui Apollonius.

2. Problema Apollonius

Folosind o busolă și o riglă, construiți un cerc tangent la cele trei cercuri date. Potrivit legendei, problema a fost formulată de Apollonius din Perga în jurul anului 220 î.Hr. e. în cartea „Atingerea”, care s-a pierdut, dar a fost restaurată în 1600 de Francois Viet, „Apolloniusul galic”, așa cum îl numeau contemporanii săi.

Dacă niciunul dintre cercurile date nu se află în celălalt, atunci această problemă are 8 soluții esențial diferite.

Crearea poligoanelor regulate.

P

corect (sau echilateral ) triunghi - aceasta este poligon regulatcu trei laturi, primul dintre poligoanele regulate. Toatelaturile unui triunghi regulat sunt egale între ele și toateunghiurile sunt de 60 °. Pentru a construi un triunghi echilateral, trebuie să împărțiți cercul în 3 părți egale. Pentru a face acest lucru, este necesar să trasăm un arc cu raza R a acestui cerc de la un singur capăt al diametrului, obținem prima și a doua diviziune. A treia diviziune se află la capătul opus al diametrului. Conectând aceste puncte, obținem un triunghi echilateral.

Hexagon regulat poate saconstruiește cu o busolă și o riglă. De mai josse dă metoda de construcție prin împărțirea cercului în 6 părți. Folosim egalitatea laturilor unui hexagon regulat cu raza cercului circumscris. De la capetele opuse unuia dintre diametrele cercului, descriem arce cu rază R. Punctele de intersecție ale acestor arce cu un cerc dat îl vor împărți în 6 părți egale. Conectând secvențial punctele găsite, veți obține un hexagon obișnuit.

Construirea unui pentagon regulat.

P
un pentagon egal poate ficonstruită folosind o busolă și o riglă sau prin încadrarea ei într-un anumitcerc sau construcție bazată pe o parte dată. Acest proces este descris de Euclidîn „Elementele” sale pe la 300 î.Hr. e.

Iată o metodă pentru construirea unui pentagon regulat într-un cerc dat:

Construiți un cerc în care va fi inscripționat pentagonul și marcați-l ca centruO ... (Acesta este cercul verde din diagrama din dreapta).

Selectați un punct de pe cercA , care va fi unul dintre vârfurile pentagonului. Construiește o linie directăO șiA .

Construiți o linie perpendiculară pe o linieOA trecând prin punctO ... Desemnați una dintre intersecțiile sale cu un cerc ca punctB .

Construiește un punctC la mijloc întreO șiB .

C prin punctA ... Marcați intersecția cu o linie dreaptăOB (în interiorul cercului original) ca punctD .

Desenați un cerc centrat laA prin punctul D, marcați intersecția acestui cerc cu originalul (cercul verde) ca puncteE șiF .

Desenați un cerc centrat laE prin punctA G .

Desenați un cerc centrat laF prin punctA ... Marcați-i cealaltă intersecție cu cercul original ca punctH .

Construiți un pentagon regulatAEGHF .

Sarcini de nerezolvat

Următoarele trei sarcini de construcție au fost stabilite în antichitate:

Unghiul de trisecție - împarte un unghi arbitrar în trei părți egale.

Cu alte cuvinte, este necesar să se construiască trisectoarele unghiului - raze care împart unghiul în trei părți egale. P. L. Vanzel a demonstrat în 1837 că problema este rezolvabilă numai atunci când, de exemplu, trisecția este fezabilă pentru unghiurile α \u003d 360 ° / n, cu condiția ca numărul întreg n să nu fie divizibil cu 3. Cu toate acestea, în presă din când în când metodele publicate (incorecte) de trisecție a unui unghi cu busolă și riglă.

Dublarea cubului - clasica problemă antică a construirii unei margini a unui cub cu o busolă și o riglă, al cărei volum este de două ori volumul unui cub dat.

În notația modernă, problema se reduce la rezolvarea ecuației. Totul se rezumă la problema construirii unui segment de linie de lungime... P. Wanzel a demonstrat în 1837 că această problemă nu poate fi rezolvată cu o busolă și o riglă.

Pătrat cercul - problema găsirii unei construcții folosind o busolă și o riglă a unui pătrat egal în suprafață cu un cerc dat.

După cum știți, cu ajutorul unei busole și a unei rigle, puteți efectua toate cele 4 operatii aritmetice și extracție rădăcină pătrată; rezultă că pătratul cercului este posibil dacă și numai dacă, folosind un număr finit de astfel de acțiuni, se poate construi un segment de lungime π. Astfel, insolvabilitatea acestei probleme rezultă din nonalgebraicitatea (transcendența) numărului π, care a fost dovedită în 1882 de Lindemann.

O altă problemă binecunoscută care nu poate fi rezolvată folosind o busolă și o riglă esteconstrucția unui triunghi de trei lungimi date de bisectoare .

Mai mult, această sarcină rămâne de nerezolvat chiar și în prezența unui trisector.

Abia în secolul al XIX-lea s-a dovedit că toate cele trei probleme sunt de nerezolvat folosind doar busole și o riglă. Problema posibilității de construcție este complet rezolvată prin metode algebrice bazate pe teoria lui Galois.

STIAI ASTA ...

(din istoria construcțiilor geometrice)

A fost odată un sens mistic în construcția poligoanelor obișnuite.

Deci, pitagoricii, adepți ai doctrinei religioase și filosofice fondate de Pitagora și care au trăit în grecia antică (VEu-eu V secole Î.Hr. BC), a adoptat un poligon în formă de stea format din diagonalele unui pentagon regulat ca semn al unirii lor.

Regulile pentru construcția geometrică strictă a unor poligoane regulate sunt prezentate în cartea „Începuturi” a matematicianului grec antic Euclid, care a trăit înIII la. Î.Hr. Pentru a realiza aceste construcții, Euclid a sugerat să se folosească doar o riglă și o busolă, care în acel moment nu avea un dispozitiv articulat pentru conectarea picioarelor (o astfel de limitare a instrumentelor era o cerință imuabilă a matematicii antice).

Poligoanele regulate sunt utilizate pe scară largă în astronomia antică. Dacă Euclid a fost interesat de construcția acestor figuri din punctul de vedere al matematicii, atunci pentru astronomul antic grec Claudius Ptolemy (aproximativ 90 - 160 d.Hr.) s-a dovedit a fi necesar ca instrument auxiliar în rezolvarea problemelor astronomice. Deci, în prima carte a „Almagesta”, întregul capitol al zecelea este dedicat construcției pentagonelor și decagonelor obișnuite.

Cu toate acestea, pe lângă lucrările pur științifice, construirea de poligoane obișnuite a fost o parte integrantă a cărților pentru constructori, artizani și artiști. Capacitatea de a descrie aceste figuri a fost mult timp necesară în arhitectură, bijuterii și arte vizuale.

În „Zece cărți despre arhitectură” ale arhitectului roman Vitruvius (care a trăit în jurul anilor 63-14 î.Hr.), se spune că zidurile orașului ar trebui să aibă forma unui poligon regulat, iar turnurile cetății „ar trebui făcute rotunde sau poligonale, pentru patrulater mai degrabă distrus de armele de asediu ".

Planificarea urbană a fost de mare interes pentru Vitruvius, care a crezut că este necesar să planifice străzile, astfel încât vânturile principale să nu sufle de-a lungul lor. S-a presupus că există opt astfel de vânturi și că acestea suflă în anumite direcții.

În Renaștere, construcția poligoanelor regulate, și în special a pentagonului, nu a fost simplă joc de matematică, dar era o condiție prealabilă necesară pentru construirea cetăților.

Hexagonul obișnuit a făcut obiectul unui studiu special al marelui astronom și matematician german Johannes Kepler (1571-1630), despre care vorbește în cartea sa „Cadou de Anul Nou sau fulgi de zăpadă hexagonali”. El a discutat motivele pentru care fulgii de zăpadă au o formă hexagonală, remarcând, în special, următoarele: „... planul poate fi acoperit fără goluri doar de următoarele figuri: triunghiuri echilaterale, pătrate și hexagone regulate. Printre aceste cifre, un hexagon obișnuit acoperă cea mai mare suprafață "

Unul dintre cei mai renumiți oameni de știință implicați în construcții geometrice a fost marele artist și matematician german Albrecht Durer (1471-1528), care le-a dedicat o mare parte din cartea sa „Ghiduri ...”. El a propus reguli pentru construirea poligoanelor regulate cu 3,4, 5 ... 16 laturi. Metodele de împărțire a cercului propuse de Durer nu sunt universale; în fiecare caz, se folosește o tehnică individuală.

Dürer a folosit metode pentru construirea poligoanelor obișnuite în practica artistică, de exemplu, atunci când a creat diverse tipuri de ornamente și modele pentru parchet. Aceste modele au fost schițate de el în timpul unei călătorii în Olanda, unde au fost găsite podele cu parchet în multe case.

Dürer a realizat ornamente din poligoane obișnuite, care sunt conectate în inele (inele de șase triunghiuri echilaterale, patru patrulatere, trei sau șase hexagone, paisprezece heptagoni, patru octogonuri).

Concluzie

Asa de,construcții geometrice este o modalitate de a rezolva o problemă în care răspunsul este obținut grafic. Construcțiile sunt realizate cu instrumente de desen cu precizie maximă și precizie de lucru, deoarece soluția corectă depinde de aceasta.

Datorită acestei lucrări, am făcut cunoștință cu istoria originii busolei, am făcut cunoștință mai detaliată cu regulile de realizare a construcțiilor geometrice, am dobândit noi cunoștințe și le-am aplicat în practică.
Rezolvarea problemelor de construcție cu o busolă și o riglă este o distracție utilă care vă permite să aruncați o privire nouă proprietăți cunoscute forme geometrice și elementele lor.Această lucrare ia în considerare cele mai urgente probleme asociate cu construcțiile geometrice folosind o busolă și o riglă. Principalele sarcini sunt luate în considerare și soluțiile lor sunt date. Sarcinile prezentate prezintă un interes practic semnificativ, consolidează cunoștințele dobândite în geometrie și pot fi utilizate pentru munca practica.
Astfel, scopul muncii a fost atins, sarcinile au fost finalizate.