Funcțiile încorporate și operatorii matematici sunt folosiți pentru a extrage rădăcina în Excel și pentru a crește o putere la o putere. Să ne uităm la exemple.

Exemple de funcții ROOT în Excel

Funcția încorporată ROOT returnează o valoare rădăcină pătrată pozitivă. În meniul „Funcții” se află în categoria „Matematică”.

Sintaxa funcției: \u003d ROOT (număr).

Singurul și obligatoriu argument este un număr pozitiv pentru care funcția calculează rădăcina pătrată. Dacă argumentul este negativ, Excel va returna eroarea # NUMĂR!

Ca argument, puteți specifica o valoare specifică sau o legătură către o celulă cu o valoare numerică.

Să ne uităm la câteva exemple.

Funcția a returnat rădăcina pătrată de 36. Argumentul este o valoare specifică.

Funcția ABS returnează valoarea absolută a numărului -36. Utilizarea sa ne-a permis să evităm erorile atunci când extragem rădăcina pătrată a unui număr negativ.

Funcția a extras rădăcina pătrată a sumei de 13 și a valorii celulei C1.



Funcția de alimentare Excel

Sintaxa funcției: \u003d DEGREZ (valoare; număr). Ambele argumente sunt necesare.

Valoare - orice valoare numerică reală. Numărul este un indicator al gradului în care ar trebui ridicată o valoare dată.

Să ne uităm la câteva exemple.

În celula C2, rezultatul pătratului numărul 10.

Funcția a returnat numărul 100 ridicat la ¾.

Extinderea la un grad folosind un operator

Pentru a ridica un număr la o putere în Excel, puteți utiliza operatorul matematic „^”. Pentru a o introduce, apăsați Shift + 6 (cu aspect de tastatură engleză).

Pentru ca Excel să perceapă informațiile introduse ca o formulă, semnul „\u003d” este pus pe primul loc. Următorul este numărul care trebuie ridicat la o putere. Și după semnul „^” - valoarea gradului.

În loc de orice valoare a acestei formule matematice, puteți utiliza referințe de celule cu numere.

Acest lucru este util dacă trebuie să ridicați o mulțime de valori.

După ce am copiat formula pe întreaga coloană, am obținut rapid rezultatele creșterii numerelor din coloana A la a treia putere.

Extragerea rădăcinilor de gradul al nouălea

ROOT este o funcție rădăcină pătrată în Excel. Și cum să extragă rădăcina gradelor 3, 4 și alte?

Reamintim una dintre legile matematice: pentru a extrage rădăcina celui de-al nouălea grad, este necesar să ridicăm numărul la puterea de 1 / n.

De exemplu, pentru a extrage rădăcina cubică, ridicăm numărul la puterea 1/3.

Folosim formula pentru a extrage rădăcinile de diferite grade în Excel.

Formula a returnat valoarea rădăcinii cubice de la numărul 21. Pentru a crește la o putere fracțională, a fost utilizat operatorul „^”.

Conversia expresiilor cu rădăcini și grade necesită adesea tranziții de la rădăcini la grade și invers. În acest articol vom analiza modul în care sunt implementate astfel de tranziții, ce se află la baza lor și în ce puncte apar erori cel mai des. Vom oferi toate acestea cu exemple tipice cu o analiză detaliată a soluțiilor.

Navigare prin pagină.

Trecerea de la grade cu exponenți fracționali la rădăcini

Posibilitatea de a trece de la un grad cu un indicator fracțional la rădăcină este dictată de însăși definiția gradului. Amintiți-vă cum este determinat: după gradul unui număr pozitiv a cu un exponent fracționat m / n, unde m este un număr întreg și n este un număr natural, se numește rădăcina celui de-al nouălea grad din am, adică unde a\u003e 0, m∈Z, n∈ N. Puterea fracțională a zero este determinată într-un mod similar. , cu singura diferență că în acest caz m este deja considerat ca nu este întreg, ci natural, astfel încât divizarea cu zero nu are loc.

Astfel, un grad poate fi întotdeauna înlocuit cu o rădăcină. De exemplu, de la poate merge la, iar gradul poate fi înlocuit cu rădăcina. Dar nu trebuie să trecem de la expresie la rădăcină, deoarece gradul nu are sens inițial (gradul numerelor negative nu este definit), în ciuda faptului că rădăcina are sens.

După cum puteți vedea, în tranziția de la gradele de numere la rădăcini nu există absolut nimic sofisticat. În mod similar, trecerea la rădăcinile gradelor cu exponenți fracționali, care se bazează pe expresii arbitrare, este realizată. Rețineți că această tranziție este efectuată pe variabilele ODZ pentru expresia inițială. De exemplu, expresia pe întregul DLD, variabila x pentru această expresie poate fi înlocuită cu rădăcina . Și din grad du-te la rădăcină , o astfel de substituție are loc pentru orice set de variabile x, y și z din ODZ pentru expresia inițială.

Înlocuirea rădăcinilor cu grade

O substituție inversă este de asemenea posibilă, adică înlocuirea rădăcinilor cu grade cu exponenți fracționali. De asemenea, se bazează pe egalitate, care în acest caz este folosită de la dreapta la stânga, adică sub formă.

Pentru a pozitiv a, tranziția indicată este evidentă. De exemplu, puteți înlocui gradul și puteți trece de la rădăcină la grad cu un indicator fracțional al speciei.

Și pentru negativ a, egalitatea nu are sens, dar și rădăcina poate avea sens. De exemplu, rădăcinile au sens, dar nu pot fi înlocuite cu grade. Deci pot fi chiar convertiți în expresii cu puteri? Este posibil, dacă se efectuează transformări preliminare, constând în tranziția la rădăcini cu numere non-negative sub ele, care apoi pot fi înlocuite cu puteri cu exponenți fracționali. Să arătăm care sunt aceste transformări preliminare și cum să le realizăm.

În cazul rădăcinii, acestea vă permit să efectuați următoarele transformări: . Și din moment ce 4 este un număr pozitiv, ultima rădăcină poate fi înlocuită cu un grad. Și în cel de-al doilea caz determinarea rădăcinii unui grad impar dintr-un număr negativ −a (în plus, a este pozitivă), exprimată prin egalitate , permite rădăcina să fie înlocuită cu o expresie în care rădăcina cubică a două poate fi deja înlocuită cu un grad și va lua forma.

Rămâne să înțelegem cum rădăcinile sub care sunt înlocuite expresiile sunt înlocuite de gradele care conțin aceste expresii în bază. Nu este nevoie să vă grăbiți să o înlocuiți, cu litera A am desemnat o anumită expresie. Să dăm un exemplu care să explice ce se înțelege prin aceasta. Se dorește înlocuirea rădăcinii cu un grad, bazat pe egalitate. Dar o astfel de înlocuire este relevantă numai în condiția x - 3≥0 și pentru valorile rămase ale variabilei x din ODZ (care îndeplinește condiția x - 3<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.

Datorită unei astfel de aplicații inexacte a formulei, apar adesea erori la trecerea de la rădăcini la grade. De exemplu, în manual, o sarcină este prezentată pentru a prezenta o expresie sub forma unui grad cu un indicator rațional și este dat un răspuns care ridică întrebări, deoarece condiția nu specifică o restricție b\u003e 0. Și în manual este o tranziție de la exprimare cel mai probabil prin următoarele transformări ale expresiei iraționale

la exprimare. Ultima tranziție ridică, de asemenea, întrebări, deoarece îngustează DLD.

Se ridică o întrebare logică: „Cum să treci de la rădăcină la grad pentru toate valorile variabilelor din ODZ”? O astfel de înlocuire se bazează pe următoarele afirmații:

Înainte de a justifica rezultatele înregistrate, oferim câteva exemple de utilizare a acestora pentru trecerea de la rădăcini la grade. Pentru început, să revenim la expresia. A trebuit să fie înlocuit nu cu, ci cu (în acest caz, m \u003d 2 este un număr întreg, n \u003d 3 este un număr natural natural). Alt exemplu: .

Acum, justificarea promisă pentru rezultate.

Când m este un număr întreg impar și n este un număr întreg pozitiv, atunci pentru orice set de variabile din ODL pentru expresie, valoarea expresiei A este pozitivă (dacă m<0 ) или неотрицательно (если m>0). Prin urmare,.

Trecem la al doilea rezultat. Să fiu un număr întreg pozitiv, și n să fie un număr întreg pozitiv. Pentru toate valorile variabilelor din DLD, pentru care valoarea expresiei A nu este negativă, și pentru care este negativ,

Rezultatul următor este dovedit în mod similar pentru negativ întreb și impar și natural impar. Pentru toate valorile variabilelor din ODZ, pentru care valoarea expresiei A este pozitivă, și pentru care este negativ,

În cele din urmă, ultimul rezultat. Să fiu un număr întreg, n să fie un număr întreg. Pentru toate valorile variabilelor din DLD, pentru care valoarea expresiei A este pozitivă (dacă m<0 ) или неотрицательно (если m>0 ), . Și pentru care este negativ,. Astfel, dacă m este un număr întreg egal, n este orice număr întreg, atunci pentru orice set de valori ale variabilelor din ODZ pentru expresie poate fi înlocuit cu.

Bibliografie.

1. Algebră și începutul analizei: manual. pentru 10-11 celule educatie generala. instituții / A.N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova. - ediția a 14-a. M .: Educație, 2004.- 384 p., Ill. - ISBN 5-09-013651-3.
2. Algebră și începutul analizei matematice. Gradul 11: manual. pentru învățământul general. instituții: de bază și profil. niveluri / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; sub redacția din A. B. Zhizhchenko. - M .: Educație, 2009.- 336 p .: ill .- ISBN 979-5-09-016551-8.

Formule de grad utilizat în procesul de reducere și simplificare a expresiilor complexe, în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților.

Număr c este un ngradul de număr a cand:

Operații cu grade.

1. Înmulțind grade cu aceeași bază, se adaugă indicatorii lor:

un mA n \u003d a m + n.

2. În împărțirea gradelor cu aceeași bază, indicatorii lor sunt deduse:

3. Gradul produsului cu 2 sau mai mulți factori este egal cu produsul gradelor acestor factori:

(abc ...) n \u003d a n · b n · c n ...

4. Gradul fracției este egal cu raportul dintre gradele dividendului și împărțitorului:

(a / b) n \u003d a n / b n.

5. Ridicând gradul, exponenții se înmulțesc:

(a m) n \u003d a m n.

Fiecare dintre formulele de mai sus este adevărată în direcțiile de la stânga la dreapta și invers.

de exemplu. (2 · 3 · 5/15) ² \u003d 2² · 3² · 5² / 15² \u003d 900/225 \u003d 4.

Operații radiculare.

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcina relației este egală cu raportul dintre dividend și divizorul rădăcinilor:

3. Când ridicați o rădăcină la o putere, este suficient să ridicați un număr rădăcină la această putere:

4. Dacă creșteți gradul de rădăcină din n o dată și în același timp erect în n-al gradul este numărul rădăcină, atunci valoarea rădăcinii nu se va modifica:

5. Dacă reduceți gradul de rădăcină din n extrageți o dată și în același timp rădăcina ngradul numărului rădăcină, valoarea rădăcinii nu se va modifica:

Grad cu un indicator negativ.Gradul unui număr cu un indicator non-pozitiv (întreg) este definit ca o unitate divizată la gradul aceluiași număr cu un indicator egal cu valoarea absolută a indicatorului ne pozitiv:

Formula un m: a n \u003d a m - n poate fi folosit nu numai pentru m> n dar și cu m< n.

de exemplu. a 4: a 7 \u003d a 4 - 7 \u003d a -3.

Pentru a formula un m: a n \u003d a m - n a devenit corect atunci când m \u003d n, aveți nevoie de prezența unui grad zero.

Grad cu un indicator zero.Gradul oricărui număr non-zero cu un exponent zero este egal cu unul.

de exemplu. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad cu indicator fracțional.Pentru a construi un număr real și in masura m / ntrebuie să extragă rădăcina ngradul de mgradul acestui număr și.

Operații cu grade și rădăcini. Grad negativ ,

zero și fracționat indicator. Despre expresii care nu au sens.

Operații cu grade.

1. Când înmulțesc grade cu aceeași bază, indicatorii lor se adaugă:

un m · a n \u003d a m + n.

2. La împărțirea gradelor cu aceeași bază, indicatorii acestora deductibile .

3. Gradul produsului a doi sau mai mulți factori este egal cu produsul gradelor acestor factori.

( abc… ) n \u003d a n· b n · c n…

4. Gradul raportului (fracției) este egal cu raportul dintre gradele dividendului (numărător) și al divizorului (numitorului):

( a / b ) n \u003d a n / b n.

5. La ridicarea unui grad la un grad, indicatorii acestora se înmulțesc:

(un m ) n \u003d a m n.

Toate formulele de mai sus sunt citite și executate în ambele direcții de la stânga la dreapta și invers.

PRI mine R. (2 3 5/15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² \u003d 900/225 \u003d 4 .

Operații radiculare. În toate formulele de mai jos, simbolul mijloace rădăcină aritmetică (expresia radicală este pozitivă).

1. Rădăcina produsului a mai mulți factori este egală cu produsul rădăcinile acestor factori:

2. Rădăcina relației este egală cu raportul rădăcinilor dividendului și al divizorului:

3. Când ridicați o rădăcină la o putere, este suficient să o ridicați la această putere număr radical:

4. Dacă crești gradul de rădăcină dinm o dată și simultan ridicați în m -un grad este numărul rădăcinii, atunci valoarea rădăcinii nu se va modifica:

5. Dacă reduceți gradul de rădăcină dinm extrageți o dată și simultan rădăcina m a numărului rădăcină, atunci valoarea rădăcinii nu estese va schimba:

Extinderea conceptului de grad. Până în prezent, am avut în vedere doar gradele cu un indicator natural;dar acțiuni cu grade și rădăcini pot duce și la negativ, zero și fracționar indicatori. Toți acești exponenți necesită definiții suplimentare.

Grad cu un indicator negativ. Gradul unui număr cu un indicator negativ (întreg) este definit ca o unitate împărțită la după gradul aceluiași număr cu un indicator egal cu valoarea absolută indicator negativ:

Tacum formula un m: a n= un m - n poate fi folosit nu numai pentrummai mare ca n dar și cu m mai puțin decât n .

PRI mine R. a 4 : A 7 \u003d a 4 - 7 \u003d a - 3 .

Dacă vrem formulaun m : a n= un m - nera valabil cândm \u003d n, avem nevoie de o definiție de grad zero.

Grad cu un indicator zero. Puterea oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este 1.

EXEMPLE 2 0 \u003d 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Grad cu indicator fracțional. Pentru a construi un număr real și la puterea m / n trebuie să extragă rădăcina n grad de m gradul acestui număr și :

Despre expresii care nu au sens. Există mai multe astfel de expresii.orice număr.

De fapt, presupunând că această expresie este egală cu un anumit număr x, după definiția operației de divizare avem: 0 \u003d 0 · x . Dar această egalitate ține orice număr x, după cum este necesar.

Cazul 3

0 0 - orice număr.

Într-adevăr,

Soluție. Avem în vedere trei cazuri principale:

1) x = 0 – această valoare nu satisface această ecuație

(De ce?).

2) când x \u003e 0 primim: x / x \u003d 1, adică 1 \u003d 1, de unde urmează

ce X - orice număr; dar ținând cont că în

Cazul nostru x \u003e 0, răspunsul estex > 0 ;

3) când x < 0 получаем: – x / x \u003d 1, adică, de ex . –1 \u003d 1, prin urmare,

În acest caz, nu există o soluție.

În acest fel, X > 0.

Felicitări: astăzi vom sorta rădăcinile - una dintre cele mai teme subiecte din clasa a VIII-a. :)

Multe sunt confundate în rădăcini, nu pentru că sunt complexe (ceea ce este complicat acolo - câteva definiții și câteva proprietăți), ci pentru că în majoritatea manualelor școlare rădăcinile sunt determinate prin astfel de sălbatici, încât numai autorii manualelor pot înțelege acest scrib. Și apoi doar cu o sticlă de whisky bun. :)

Prin urmare, acum voi da cea mai corectă și cea mai competentă definiție a rădăcinii - singura pe care ar trebui să o rețineți cu adevărat. Și atunci voi explica: de ce toate acestea sunt necesare și cum să le punem în practică.

Dar mai întâi, amintiți-vă un punct important pe care mulți compilatori de manuale din anumite motive „uită” despre:

Rădăcinile sunt de un grad egal (favoritul nostru $ \\ sqrt (a) $, precum și tot felul de $ \\ sqrt (a) $ și chiar $ \\ sqrt (a) $) și un grad ciudat (tot felul de $ \\ sqrt (a) $, $ \\ Iar definiția rădăcinii unui grad ciudat este oarecum diferită de aceeași.

Aici în acest nenorocit „ușor diferit” este ascuns, probabil 95% din toate erorile și neînțelegerile asociate rădăcinilor. Prin urmare, să tratăm o dată pentru totdeauna terminologia:

Definiție Chiar și rădăcină n de la numărul $ a $ este orice non-negativ un număr $ b $ astfel încât $ ((b) ^ (n)) \u003d a $. Iar rădăcina unui grad ciudat de la același număr $ a $ este, în general, orice număr $ b $ pentru care există aceeași egalitate: $ ((b) ^ (n)) \u003d a $.

În orice caz, rădăcina este notată astfel:

\\ (A) \\]

Numărul $ n $ dintr-o astfel de înregistrare se numește exponentul rădăcinii, iar numărul $ a $ se numește expresia radicală. În special, pentru $ n \u003d 2 $ obținem rădăcina noastră pătrată „preferată” (apropo, aceasta este o rădăcină de grad egal), iar pentru $ n \u003d 3 $ obținem o rădăcină cubică (grad ciudat), care se găsește adesea în probleme și ecuații.

Exemple. Exemple clasice de rădăcini pătrate:

\\ [\\ begin (align) & \\ sqrt (4) \u003d 2; \\\\ & \\ sqrt (81) \u003d 9; \\\\ & \\ sqrt (256) \u003d 16. \\\\ \\ end (aliniere) \\]

Apropo, $ \\ sqrt (0) \u003d 0 $, și $ \\ sqrt (1) \u003d 1 $. Acest lucru este destul de logic, deoarece $ ((0) ^ (2)) \u003d 0 $ și $ ((1) ^ (2)) \u003d 1 $.

Rădăcinile cubice sunt de asemenea comune - nu vă temeți de ele:

\\ [\\ begin (align) & \\ sqrt (27) \u003d 3; \\\\ & \\ sqrt (-64) \u003d - 4; \\\\ & \\ sqrt (343) \u003d 7. \\\\ \\ end (aliniere) \\]

Ei bine, câteva exemple "exotice":

\\ [\\ begin (align) & \\ sqrt (81) \u003d 3; \\\\ & \\ sqrt (-32) \u003d - 2. \\\\ \\ end (aliniere) \\]

Dacă nu înțelegeți care este diferența dintre un grad egal și un impar, citiți din nou definiția. Este foarte important!

Între timp, vom lua în considerare o caracteristică rădăcină neplăcută, din cauza căreia a trebuit să introducem o definiție separată pentru indicatorii pari și impari.

De ce este nevoie de rădăcini deloc?

După ce au citit definiția, mulți studenți vor întreba: „Ce au fumat matematicienii când au inventat-o?” Într-adevăr: de ce avem nevoie de toate aceste rădăcini?

Pentru a răspunde la această întrebare, să revenim la clasele elementare pentru o clipă. Nu uitați: în acele perioade îndepărtate, când copacii erau mai verzi și găluște mai gustoase, principala noastră preocupare era să înmulțim corect numerele. Ei bine, ceva în spiritul „cinci câte cinci - douăzeci și cinci”, asta este totul. Dar puteți înmulți numerele nu pe perechi, ci prin tripluri, patru și, în general, seturi întregi:

\\ [\\ begin (aliniere) & 5 \\ cdot 5 \u003d 25; \\\\ & 5 \\ cdot 5 \\ cdot 5 \u003d 125; \\\\ & 5 \\ cdot 5 \\ cdot 5 \\ cdot 5 \u003d 625; \\\\ & 5 \\ cdot 5 \\ cdot 5 \\ cdot 5 \\ cdot 5 \u003d 3125; \\\\ & 5 \\ cdot 5 \\ cdot 5 \\ cdot 5 \\ cdot 5 \\ cdot 5 \u003d 15 \\ 625. \\ end (aliniere) \\]

Totuși, acesta nu este ideea. Trucul este diferit: matematicienii sunt oameni leneși, așa că au fost nevoiți să scrie multiplicarea a zece cinci în resturi de acest fel:

Prin urmare, au venit cu grade. De ce să nu scrieți numărul de factori ca un superscript în loc de o linie lungă? Ca acesta:

Acest lucru este foarte convenabil! Toate calculele sunt reduse uneori și nu puteți cheltui o grămadă de foi de note de pergament pe scrierea a aproximativ 5.183. O astfel de înregistrare a fost numită gradul de număr, în ea au fost găsite o mulțime de proprietăți, dar fericirea s-a dovedit a fi de scurtă durată.

După marea zvâcnire, care a fost organizată tocmai pentru „descoperirea” gradelor, un matematician în special încăpățânat a întrebat brusc: „Și dacă știm gradul numărului, dar numărul în sine nu este cunoscut?” Acum, într-adevăr, dacă știm că un anumit număr $ b $, de exemplu, dă 523 puterii a 5-a, atunci cum putem ghici care este numărul însuși $ b $?

Această problemă s-a dovedit a fi mult mai globală decât ar putea părea la prima vedere. Pentru că s-a dovedit că pentru majoritatea gradelor „terminate” nu există astfel de numere „inițiale”. Judecă-te pentru tine:

\\ [\\ begin (aliniere) & (b) ^ (3)) \u003d 27 \\ Rightarrow b \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 3 \\ Rightarrow b \u003d 3; \\\\ & ((b) ^ (3)) \u003d 64 \\ Rightarrow b \u003d 4 \\ cdot 4 \\ cdot 4 \\ Rightarrow b \u003d 4. \\\\ \\ end (aliniere) \\]

Dar dacă $ ((b) ^ (3)) \u003d 50 $? Se dovedește că trebuie să găsiți un anumit număr, care, triplat de unul singur, ne va da 50. Dar care este acest număr? Este clar mai mare decât 3, deoarece 3 3 \u003d 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 > 50. adică acest număr se află undeva între trei și patru, dar pentru ceea ce este egal - figurile înțeleg.

Pentru aceasta matematicienii au venit cu rădăcinile gradului $ n $. Pentru aceasta, a fost introdusă pictograma radicală $ \\ sqrt (*) $. Pentru a denota chiar numărul $ b $, ceea ce într-o anumită măsură ne va oferi o valoare cunoscută

\\ [\\ sqrt [n] (a) \u003d b \\ Rightarrow ((b) ^ (n)) \u003d a \\]

Nu mă cert: de multe ori aceste rădăcini sunt ușor numărate - am văzut mai multe astfel de exemple mai sus. Dar totuși, în majoritatea cazurilor, dacă ghiciți un număr arbitrar și apoi încercați să extrageți din el o rădăcină de un grad arbitrar, vă veți confrunta cu un zgomot crud.

Da, acolo! Chiar și cel mai simplu și cunoscut $ \\ sqrt (2) $ nu poate fi imaginat în forma obișnuită - ca un număr întreg sau un creeper. Și dacă introduceți acest număr în calculator, veți vedea acest lucru:

\\ [\\ sqrt (2) \u003d 1.414213562 ... \\]

După cum puteți vedea, după punctul zecimal este o secvență nesfârșită de numere care nu se supun nici unei logici. Puteți, desigur, să rotunjiți acest număr pentru a putea compara rapid cu alte numere. De exemplu:

\\ [\\ sqrt (2) \u003d 1.4142 ... \\ aprox 1.4 \\ lt 1.5 \\]

Sau un alt exemplu:

\\ [\\ sqrt (3) \u003d 1.73205 ... \\ aprox 1,7 \\ gt 1,5 \\]

Dar toate aceste rotunjiri sunt, în primul rând, destul de crude; și în al doilea rând, trebuie să poți lucra și cu valori aproximative, altfel poți prinde o grămadă de erori care nu sunt evidente (apropo, abilitatea de comparație și rotunjire este verificată obligatoriu la examenul de bază).

Prin urmare, matematica serioasă nu se poate descurca fără rădăcini - sunt aceiași reprezentanți egali ai mulțimii tuturor numerelor reale $ \\ mathbb (R) $, ca fracțiile și numerele întregi care ne sunt familiare.

Incapacitatea de a reprezenta rădăcina ca o fracție a formei $ \\ frac (p) (q) $ înseamnă că această rădăcină nu este un număr rațional. Astfel de numere sunt numite iraționale și nu pot fi reprezentate cu exactitate decât prin utilizarea radicalului sau a altor construcții special concepute pentru acest lucru (logaritmi, grade, limite etc.). Dar despre asta - altă dată.

Luați în considerare câteva exemple în care, după toate calculele, numerele iraționale vor rămâne în continuare în răspuns.

\\ [\\ begin (align) & \\ sqrt (2+ \\ sqrt (27)) \u003d \\ sqrt (2 + 3) \u003d \\ sqrt (5) \\ aprox 2.236 ... \\\\ & \\ sqrt (\\ sqrt (-32) )) \u003d \\ sqrt (-2) \\ aprox -1.2599 ... \\\\ \\ end (aliniere) \\]

În mod natural, în ceea ce privește aspectul rădăcinii, este aproape imposibil de ghicit ce numere vor merge după punctul zecimal. Cu toate acestea, puteți conta pe un calculator, dar chiar și cel mai avansat calculator pentru date ne oferă doar primele câteva cifre ale unui număr irațional. Prin urmare, este mult mai corect să scrieți răspunsurile sub forma $ \\ sqrt (5) $ și $ \\ sqrt (-2) $.

Acesta este motivul pentru care au fost inventate. Pentru a înregistra în mod convenabil răspunsurile.

De ce sunt necesare două definiții?

Un cititor atent a observat probabil că toate rădăcinile pătrate date în exemple sunt extrase din numere pozitive. Ei bine, ca ultimă soluție de la zero. Dar rădăcinile cubice sunt extrase cu calm din absolut orice număr - chiar pozitiv, chiar negativ.

De ce se întâmplă? Aruncați o privire la graficul funcției $ y \u003d ((x) ^ (2)) $:

Graficul unei funcții cvadratice dă două rădăcini: pozitiv și negativ

Să încercăm să calculăm $ \\ sqrt (4) $ cu acest grafic. Pentru aceasta, pe grafic este desenată linia orizontală $ y \u003d 4 $ (marcată cu roșu), care se intersectează cu parabola în două puncte: $ ((x) _ (1)) \u003d 2 $ și $ ((x) _ (2)) \u003d -2 $. Acest lucru este destul de logic, deoarece

Cu primul număr, totul este clar - este pozitiv, de aceea este rădăcina:

Dar atunci ce să faci cu al doilea punct? Cei patru au două rădăcini simultan? La urma urmei, dacă pătrați numărul −2, obținem 4. De asemenea, de ce nu scrieți $ \\ sqrt (4) \u003d - 2 $? Și de ce profesorii privesc astfel de înregistrări ca și cum ar vrea să te gâdilă? :)

Problema este că, dacă nu impuneți condiții suplimentare, atunci cele patru vor avea două rădăcini pătrate - pozitive și negative. Și orice număr pozitiv dintre ele va avea și două. Numerele negative nu vor avea însă rădăcini - puteți vedea totul în același program, deoarece parabola nu scade niciodată sub axa y, adică nu acceptă valori negative.

O problemă similară apare pentru toate rădăcinile cu un exponent egal:

1. Strict vorbind, fiecare număr pozitiv are două rădăcini cu un exponent egal $ n $;
2. Din numere negative, o rădăcină cu chiar $ n $ nu este extrasă deloc.

De aceea, definiția unei rădăcini cu un număr egal $ n $ prevede în mod specific că răspunsul trebuie să fie un număr non-negativ. Deci scăpăm de ambiguitate.

Însă pentru un număr ciudat de $ n $ nu există această problemă. Pentru a verifica acest lucru, aruncăm o privire la graficul funcției $ y \u003d ((x) ^ (3)) $:

Parabola cubică ia orice valoare, deci rădăcina cubică este extrasă din orice număr

Din acest grafic se pot trage două concluzii:

1. Ramurile unei parabole cubice, în contrast cu cea obișnuită, merg la infinit în ambele direcții - atât în \u200b\u200bsus, cât și în jos. Prin urmare, indiferent de ce înălțime desenăm o linie orizontală, această linie se va intersecta în mod necesar cu programul nostru. În consecință, rădăcina cubică poate fi extrasă întotdeauna, absolut din orice număr;
2. În plus, o astfel de intersecție va fi întotdeauna singura, deci nu trebuie să vă gândiți la ce număr este considerată rădăcina „corectă” și care să o înscrieți. Acesta este motivul pentru care determinarea rădăcinilor pentru un grad ciudat este mai simplă decât pentru unul egal (nu există nicio cerință de non-negativitate).

Pacat ca aceste lucruri simple nu sunt explicate in majoritatea manualelor. În schimb, creierul începe să plutească cu tot felul de rădăcini aritmetice și proprietățile lor.

Da, nu mă cert: care este rădăcina aritmetică - trebuie să știți și voi. Și voi vorbi despre acest lucru în detaliu într-o lecție separată. Astăzi vom vorbi și despre el, pentru că fără el toate gândurile despre rădăcinile $ n $ -a multiplicitate ar fi incomplete.

Dar mai întâi, trebuie să înțelegeți clar definiția pe care am dat-o mai sus. În caz contrar, din cauza abundenței de termeni din capul dvs., va începe o astfel de încurcătură, încât până la urmă nu veți înțelege nimic.

Și toate acestea sunt necesare pentru a înțelege diferența dintre indicatorii impari și impari. Prin urmare, din nou colectăm tot ceea ce trebuie să știți despre rădăcini:

1. Rădăcina unui grad egal există doar dintr-un număr ne negativ și este întotdeauna un număr ne negativ. Pentru numere negative, o astfel de rădăcină nu este definită.
2. Dar rădăcina unui grad ciudat există de la orice număr și poate fi el însuși orice număr: pentru numere pozitive, este pozitiv, iar pentru numere negative, așa cum indică capacul, negativ.

Este greu? Nu, nu este dificil. Clar? Da, în general evident! Prin urmare, acum vom practica câteva calcule.

Caracteristici și limitări cheie

Rădăcinile au multe proprietăți și limitări ciudate - aceasta va fi o lecție separată. Prin urmare, acum vom lua în considerare doar cel mai important „cip”, care se aplică numai rădăcinilor cu un indicator egal. Scriem această proprietate sub forma unei formule:

\\ [\\ sqrt (((x) ^ (2n))) \u003d \\ left | x \\ right | \\]

Cu alte cuvinte, dacă ridicăm numărul până la un grad egal, iar apoi extragem rădăcina de același grad din aceasta, nu obținem numărul inițial, ci modulul său. Aceasta este o teoremă simplă care poate fi dovedită cu ușurință (este suficient să luăm în considerare separat cele negative $ x $, apoi separat cele negative). Profesorii vorbesc în permanență despre asta, este oferit în fiecare manual de școală. Dar imediat ce vine vorba de rezolvarea ecuațiilor iraționale (adică ecuații care conțin semnul radical), elevii uită în unanimitate această formulă.

Pentru a înțelege în detaliu problema, să uităm toate formulele pentru un minut și să încercăm să număram două numere înainte de timp:

\\ [\\ sqrt (((3) ^ (4))) \u003d? \\ quad \\ sqrt (((\\ stânga (-3 \\ dreapta)) ^ (4))) \u003d? \\]

Acestea sunt exemple foarte simple. Primul exemplu va fi decis de majoritatea oamenilor, dar în cel de-al doilea, mulți rămân. Pentru a rezolva orice astfel de prostii fără probleme, luați în considerare întotdeauna procedura:

1. În primul rând, numărul este ridicat la a patra putere. Ei bine, este cam ușor. Obțineți un număr nou, care poate fi găsit chiar și în tabelul de înmulțire;
2. Și acum din acest nou număr este necesar să extragem rădăcina gradului al patrulea. Acestea. nu se produce „reducerea” rădăcinilor și a gradelor - acestea sunt acțiuni secvențiale.

Să lucrăm cu prima expresie: $ \\ sqrt (((3) ^ (4))) $. Evident, mai întâi trebuie să calculați expresia sub rădăcină:

\\ [(((3) ^ (4)) \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 3 \\ cdot 3 \u003d 81 \\]

Apoi extragem a patra rădăcină a numărului 81:

Acum faceți același lucru cu a doua expresie. Mai întâi ridicăm numărul 3 până la a patra putere, pentru care trebuie să-l înmulțiți de la sine de 4 ori:

\\ [(((\\ left (-3 \\ right)) ^ (4)) \u003d \\ left (-3 \\ right) \\ cdot \\ left (-3 \\ right) \\ cdot \\ left (-3 \\ right) \\ cdot \\ Am obținut un număr pozitiv, deoarece numărul total de minusuri în lucrare este de 4 bucăți și toate vor fi distruse reciproc (până la urmă, minus la minus dă un plus). Apoi extragem din nou rădăcina:

În principiu, această linie nu a putut fi scrisă, deoarece pentru arici este clar că răspunsul va fi același. Acestea. o rădăcină uniformă din același grad egal „arde” contra, iar în acest sens, rezultatul nu se distinge de modulul obișnuit:

\\ [\\ begin (align) & \\ sqrt (((3) ^ (4))) \u003d \\ left | 3 \\ right | \u003d 3; \\\\ & \\ sqrt (((\\ left (-3 \\ right)) ^ (4))) \u003d \\ left | -3 \\ right | \u003d 3. \\\\ \\ end (aliniere) \\]

Aceste calcule sunt în acord cu determinarea rădăcinii unui grad echitabil: rezultatul este întotdeauna non-negativ, iar semnul radicalului are întotdeauna un număr non-negativ. În caz contrar, rădăcina nu este definită.

Notă de procedură

Notația $ \\ sqrt (((a) ^ (2))) $ înseamnă că mai întâi pătrăm numărul $ a $, apoi extragem rădăcina pătrată din valoarea rezultată. Prin urmare, putem fi siguri că un număr non-negativ stă întotdeauna sub semnul rădăcină, deoarece $ ((a) ^ (2)) \\ ge 0 $ în orice caz;

1. Dar notația $ ((\\ stânga (\\ sqrt (a) \\ right))) ^ (2)) $, dimpotrivă, înseamnă că mai întâi extragem rădăcina dintr-un anumit număr $ a $ și abia apoi pătrundem rezultatul. Prin urmare, numărul $ a $ în niciun caz nu poate fi negativ - aceasta este o cerință obligatorie inerentă definiției.
2. Astfel, în niciun caz nu se poate reduce fără rădăcină rădăcinile și gradele, presupunând astfel „simplificarea” expresiei originale. Pentru că dacă un număr negativ este la rădăcină, iar indicatorul său este egal, avem o grămadă de probleme.

Cu toate acestea, toate aceste probleme sunt relevante numai pentru indicatori uniformi.

Eliminarea minusului de sub semnul rădăcină

Desigur, rădăcinile cu exponanți ciudat au și propriul cip, ceea ce, în principiu, nu se întâmplă în niciunul. Și anume:

\\ [\\ sqrt (-a) \u003d - \\ sqrt (a) \\]

Pe scurt, puteți scoate minusul de sub semnul rădăcinilor unui grad ciudat. Aceasta este o proprietate foarte utilă care vă permite să "aruncați" toate contrariile:

\\ [\\ begin (align) & \\ sqrt (-8) \u003d - \\ sqrt (8) \u003d - 2; \\\\ & \\ sqrt (-27) \\ cdot \\ sqrt (-32) \u003d - \\ sqrt (27) \\ cdot \\ left (- \\ sqrt (32) \\ right) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (27) \\ cdot \\ sqrt (32) \u003d \\\\ & \u003d 3 \\ cdot 2 \u003d 6. \\ end (aliniere) \\]

{!LANG-298a366e36ce62d929573086dcfe4dba!}

Această proprietate simplifică foarte mult multe calcule. Acum nu trebuie să vă faceți griji: ce se întâmplă dacă o expresie negativă se arunca sub rădăcină și gradul de la rădăcină s-a dovedit a fi egal? Este suficient să „lovi” toate minusurile din rădăcini, după care pot fi înmulțite una de cealaltă, împărțite și, în general, fac multe lucruri suspecte, care în cazul rădăcinilor „clasice” sunt garantate să ne conducă la o eroare.

Și aici vine o altă definiție - cea cu care majoritatea școlilor încep să studieze expresiile iraționale. Și fără de care raționamentul nostru ar fi incomplet. Întâlnește-te cu mine!

Rădăcina aritmetică

Să presupunem pentru o clipă că sub semnul rădăcinii pot exista doar numere pozitive sau, în cazuri extreme, zero. Uitați de indicatori pari / impari, uitați de toate definițiile date mai sus - vom lucra doar cu numere non-negative. Ce atunci?

Și atunci obținem rădăcina aritmetică - se intersectează parțial cu definițiile noastre „standard”, dar diferă în continuare de ele.

Definiție O rădăcină aritmetică a gradului $ n $ th dintr-un număr non-negativ $ a $ este un număr non-negativ $ b $ astfel încât $ ((b) ^ (n)) \u003d a $.

După cum vedeți, nu ne mai interesează paritatea. În locul ei a apărut o nouă restricție: expresia radicală este întotdeauna non-negativă, iar rădăcina în sine este de asemenea non-negativă.

Pentru a înțelege mai bine cum diferă rădăcina aritmetică de cea obișnuită, aruncați o privire la graficele deja familiare ale unei parabole pătrate și cubice:

   Zona de căutare a rădăcinii aritmetice - numere non-negative

După cum puteți vedea, de acum înainte ne interesează doar acele bucăți de grafice care sunt situate în primul trimestru de coordonate - unde coordonatele $ x $ și $ y $ sunt pozitive (sau cel puțin zero). Nu mai trebuie să te uiți la indicator pentru a înțelege: avem dreptul de a rădăcina sau nu un număr negativ. Deoarece numerele negative nu mai sunt considerate în principiu.

Vă puteți întreba: „Ei, de ce avem nevoie de o astfel de definiție neutilizată?” Sau: „De ce nu ne putem descurca cu definiția standard dată mai sus?”

Ei bine, permiteți-mi să vă ofer o singură proprietate, din cauza căreia o nouă definiție devine potrivită. De exemplu, regula de exponențiere:

\\ [\\ sqrt [n] (a) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (k))) \\]

Vă rugăm să rețineți: putem ridica expresia radicală la orice grad și, în același timp, înmulțim indexul rădăcină cu același grad - iar rezultatul va fi același număr! Aici sunt cateva exemple:

\\ [\\ begin (align) & \\ sqrt (5) \u003d \\ sqrt (((5) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (25) \\\\ & \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (((2) ^ (4))) \u003d \\ sqrt (16) \\\\ \\ end (aliniere) \\]

Păi, ce e în neregulă cu asta? De ce nu puteam face asta înainte? Și iată de ce. Luați în considerare o expresie simplă: $ \\ sqrt (-2) $ - acest număr este destul de normal în sensul nostru clasic, dar absolut inacceptabil din punctul de vedere al rădăcinii aritmetice. Să încercăm să o convertim:

$ \\ begin (align) & \\ sqrt (-2) \u003d - \\ sqrt (2) \u003d - \\ sqrt (((2) ^ (2))) \u003d - \\ sqrt (4) \\ lt 0; \\\\ & \\ sqrt (-2) \u003d \\ sqrt (((\\ stânga (-2 \\ dreapta)) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (4) \\ gt 0. \\\\ \\ end (aliniere) $

După cum vedeți, în primul caz am scos minusul de sub radical (avem toate drepturile, pentru că indicatorul este ciudat), iar în al doilea - am folosit formula de mai sus. Acestea. din punct de vedere al matematicii, totul se face conform regulilor.

WTF ?! Cum poate fi același număr atât pozitiv, cât și negativ? În nici un caz. Doar formula de exponențiere, care funcționează excelent pentru numerele pozitive și zero, începe să dea o erezie completă în cazul numerelor negative.

Aici, pentru a scăpa de o asemenea ambiguitate, au venit cu rădăcini aritmetice. O lecție mare separată le este dedicată, unde le analizăm în detaliu toate proprietățile lor. Așa că acum nu ne vom lăsa pe ei - lecția s-a dovedit deja prea lungă.

Rădăcina algebră: pentru cei care vor să afle mai multe

M-am gândit mult timp: să pun acest subiect într-un paragraf separat sau nu. Până la urmă, am decis să plec de aici. Acest material este destinat celor care doresc să înțeleagă și mai bine rădăcinile - nu la nivelul mediu de „școală”, ci la un nivel apropiat olimpiei.

Așadar: pe lângă definiția „clasică” a rădăcinii gradului $ n $ -th de la numărul și diviziunea aferentă în indicatori pari și impari, există o definiție mai „adultă” care nu depinde deloc de paritate și alte subtilități. Aceasta se numește rădăcina algebră.

Definiție Rădăcina algebrică a gradului $ n $ th de la orice $ a $ este ansamblul tuturor numerelor $ b $ astfel încât $ ((b) ^ (n)) \u003d a $. Pentru astfel de rădăcini nu există o desemnare stabilită, așa că trebuie doar să puneți o linie deasupra:

\\ [\\ overline (\\ sqrt [n] (a)) \u003d \\ left \\ (b \\ left | b \\ in \\ mathbb (R); ((b) ^ (n)) \u003d a \\ right. \\ right \\) \\]

Diferența fundamentală față de definiția standard dată la începutul lecției este că rădăcina algebrică nu este un număr specific, ci un set. Și din moment ce lucrăm cu numere reale, acest set este de doar trei tipuri:

1. Set gol. Se produce atunci când este necesar să se găsească rădăcina algebrică cu un grad egal de la un număr negativ;
2. Un set format dintr-un singur element. Toate rădăcinile de grade impare, precum și rădăcinile de grade zero de la zero se încadrează în această categorie;
3. În cele din urmă, setul poate include două numere - același $ ((x) _ (1)) $ și $ ((x) _ (2)) \u003d - ((x) _ (1)) $, pe care le-am văzut pe grafic funcție quadratică. În consecință, această aliniere este posibilă numai atunci când extrageți rădăcina unui grad egal dintr-un număr pozitiv.

Acest din urmă caz \u200b\u200bmerită o analiză mai detaliată. Să numărăm câteva exemple pentru a înțelege diferența.

Exemplu. Calculați expresiile:

\\ [\\ overline (\\ sqrt (4)); \\ quad \\ overline (\\ sqrt (-27)); \\ quad \\ overline (\\ sqrt (-16)). \\]

Decizie. Prima expresie este simplă:

\\ [\\ overline (\\ sqrt (4)) \u003d \\ left \\ (2; -2 \\ right \\) \\]

Este vorba despre două numere care fac parte din set. Pentru că fiecare dintre ei într-un pătrat dă câte patru.

\\ [\\ overline (\\ sqrt (-27)) \u003d \\ left \\ (-3 \\ right \\) \\]

Aici vedem un set format dintr-un singur număr. Acest lucru este destul de logic, deoarece exponentul rădăcină este ciudat.

În cele din urmă, ultima expresie:

\\ [\\ overline (\\ sqrt (-16)) \u003d \\ varnothing \\]

Am un set gol. Deoarece nu există un singur număr real care, atunci când este ridicat la al patrulea grad (adică chiar!), Ne va oferi un număr negativ −16.

Observație finală. Vă rugăm să rețineți: nu am observat din greșeală peste tot că lucrăm cu numere reale. Deoarece există încă numere complexe - este foarte posibil să se calculeze $ \\ sqrt (-16) $ și multe alte lucruri ciudate.

Cu toate acestea, în cursul școlii moderne de matematică, numere complexe nu sunt aproape niciodată găsite. Au fost șterse din majoritatea manualelor, deoarece oficialii noștri consideră că acest subiect este „prea complicat de înțeles”.

Asta e tot. În lecția următoare, vom lua în considerare toate proprietățile cheie ale rădăcinilor și vom învăța în final cum să simplificăm expresiile iraționale. :)