Confidențialitatea dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dvs. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și anunțați-ne dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi utilizate pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Vi se poate solicita să furnizați informațiile dvs. personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când lăsați o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dvs. personale:

• Colectate de noi informatii personale ne permite să vă contactăm și să raportăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dvs. personale pentru a trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem utiliza informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea unui audit, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, o competiție sau un eveniment promoțional similar, putem folosi informațiile pe care le furnizați pentru a gestiona astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dvs. către terți.

excepţii:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, sistemul judiciar, în procedurile judiciare și / sau pe baza unor anchete publice sau anchete ale autorităților de stat din Federația Rusă - dezvăluie informațiile dvs. personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dvs. dacă stabilim că o asemenea divulgare este necesară sau adecvată pentru securitate, forțele de ordine sau alte scopuri publice. cazuri importante.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terța parte corespunzătoare, destinatarul.

Protecția informațiilor personale

Ne luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale de pierderi, furturi și abuzuri, precum și de acces neautorizat, dezvăluire, modificare și distrugere.

Păstrarea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dvs. personale sunt în siguranță, comunicăm regulile de confidențialitate și securitate angajaților noștri și monitorizăm strict implementarea măsurilor de confidențialitate.

Mediana unui triunghi, precum și înălțimea, servesc ca un parametru grafic care determină întregul triunghi, valoarea laturilor și unghiurilor sale. Trei valori: medii, înălțimi și bisectoare - aceasta este, ca un cod de bare pe un produs, sarcina noastră este pur și simplu să o putem citi.

Definiție

Mediana este linia care leagă înălțimea și mijlocul laturii opuse. Există trei vârfuri în triunghi și, prin urmare, există trei mediane. Medienii nu coincid întotdeauna cu înălțimi sau bisectoare. Cel mai adesea acestea sunt segmente separate.

Proprietăți Med

• Mediana triunghiului izoscel, desenat la bază, coincide cu înălțimea și bisectoarea. Într-un triunghi echilateral, toate medianele coincid cu bisectoare și înălțimi.
• Toate medianele triunghiului se intersectează într-un punct.
• Mediana împarte triunghiul în două dimensiuni egale și trei mediane, în 6 triunghiuri de dimensiuni egale.

Triunghiurile ale căror zone sunt egale se numesc egale.

Fig. 1. Trei mediani formează 6 triunghiuri egale.

• Punctul de intersecție al medianilor le împarte într-un raport 2: 1, numărând de sus.
• Mediana atrasă de hipotenuză a unui triunghi drept este jumătate din ipotenuză.

Sarcini

Toate aceste proprietăți sunt ușor de reținut, sunt ușor de fixat în practică. Pentru o mai bună înțelegere a subiectului, vom rezolva mai multe probleme:

• LA triunghi dreptunghic picioarele sunt cunoscute care sunt egale cu a \u003d 3 și b \u003d 4. Găsiți valoarea medianei m atrasă de ipotenuză c.

Fig. 2. Figurați sarcina.

Pentru a găsi valoarea mediană, trebuie să găsim ipotenuză, deoarece mediana atrasă de ipotenuză este egală cu jumătatea sa. Hipotenuză prin teorema pitagoreică: $$ a ^ 2 + b ^ 2 \u003d c ^ 2 $$

$$ c \u003d \\ sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) \u003d \\ sqrt (9 + 16) \u003d \\ sqrt (25) \u003d 5 $$

Găsiți valoarea mediană: $$ m \u003d (c \\ over2) \u003d (5 \\ over2) \u003d 2.5 $$ - numărul rezultat este valoarea mediană.

Valorile mediane din triunghi nu sunt egale. Prin urmare, este imperativ să ne imaginăm exact ce cantitate trebuie găsită.

• Valorile laturilor sunt cunoscute în triunghi: a \u003d 7; b este 8; c \u003d 9. Găsiți valoarea medianei coborâtă la partea b.

Fig. 3. Figurați sarcina.

Pentru a rezolva această problemă, trebuie să utilizați una dintre cele trei formule pentru a găsi mediana de pe laturile triunghiului:

$$ m ^ 2 \u003d (1 \\ over2) * (a ^ 2 + c ^ 2-b ^ 2) $$

După cum puteți vedea, principalul lucru aici este să vă amintiți coeficientul dintre paranteze și semnele valorii laturilor. Semnele sunt cele mai ușor de reținut - partea în care este coborâtă mediana este întotdeauna dedusă. În cazul nostru, este b, dar poate fi oricare altul.

Înlocuiți valorile din formulă și găsiți valoarea mediană: $$ m \u003d \\ sqrt ((1 \\ over2) * (a ^ 2 + c ^ 2-b ^ 2)) $$

$$ m \u003d \\ sqrt ((1 \\ over2) * (49 + 81-64)) \u003d \\ sqrt (33) $$ - lăsați rezultatul ca rădăcină.

• Într-un triunghi izoscel, mediana trasă la bază este 8, iar baza în sine este 6. Împreună cu cele două rămase, această mediană împarte triunghiul în 6 triunghiuri. Găsiți zona fiecăruia dintre ei.

Medienii rup un triunghi în șase egali. Prin urmare, zonele triunghiurilor mici vor fi egale între ele. Este suficient să găsești zona celor mai mari și să o împarți la 6.

Având în vedere mediana, atrasă de bază, într-un triunghi izoscel, este o bisectoare și înălțime. Deci în triunghi se cunosc baza și înălțimea. Puteți găsi zona.

$$ S \u003d (1 \\ over2) * 6 * 8 \u003d 24 $$

Zona fiecărui triunghi mic: $$ (24 \\ peste6) \u003d 4 $$

Ce am învățat?

Am învățat ce este o mediană. Am determinat proprietățile mediane și am găsit o soluție la problemele tipice. Am vorbit despre greșelile de bază și ne-am dat seama cum să ne amintim rapid și ușor formula pentru a găsi mediana prin laturile unui triunghi.

Test asociat

Evaluarea articolului

Rata medie: 4.7. Total evaluări primite: 75.

Proprietățile acordurilor

1. Diametrul (raza), perpendicular pe coardă, împarte această coardă și ambele arcuri contractate de ea pe jumătate. Teorema inversă este de asemenea adevărată: dacă diametrul (raza) se înjumătățește coarda, atunci este perpendicular pe această coardă.

2. Arcurile închise între coarde paralele sunt egale.

3. Dacă există două coarde ale unui cerc, Ab și CD se intersectează într-un punct M, atunci produsul segmentelor unei acorduri este egal cu produsul segmentelor celuilalt acord: AM MB \u003d CM MD.

Proprietățile cercului

1. O linie dreaptă nu poate avea puncte comune cu un cerc; au un punct comun cu cercul ( tangentă); au două puncte în comun cu ea ( secantă).

2. Prin trei puncte care nu se află pe o linie dreaptă, puteți desena un cerc și, în plus, doar unul.

3. Punctul de contact al celor două cercuri se află pe linia care leagă centrele.

Teoremă tangentă și secventă

Dacă o tangentă și o secantă sunt trase dintr-un punct aflat în afara cercului, atunci pătratul lungimii tangentei este egal cu produsul secantului și al părții sale exterioare: MC 2 \u003d MA MB.

Teorema Secant

Dacă două secante sunt trase dintr-un punct aflat în afara cercului, atunci produsul unui secant și al părții sale exterioare este egal cu produsul celuilalt secant și al părții sale exterioare. MA MB \u003d MC MD.

Unghiuri de cerc

Centralun unghi într-un cerc este un unghi plat cu un vertex în centrul său.

Se numește un unghi al cărui vertex se află pe un cerc și laturile se intersectează cu acest cerc unghi inscripționat.

Orice două puncte ale unui cerc îl împart în două părți. Fiecare dintre aceste părți este numită un arccercuri. O măsură a arcului poate fi o măsură a unghiului central corespunzător.

Arcul se numește semicercdacă segmentul care leagă capetele este un diametru.

Proprietățile din colțul cercului

1. Unghiul introdus este fie egal cu jumătate din unghiul central corespunzător sau completează jumătate din acest unghi la 180 °.

2. Unghiurile înscrise într-un cerc și care se sprijină pe același arc sunt egale.

3. Unghiul înscris, pe baza diametrului, este de 90 °.

5. Unghiul format de tangenta față de cerc și de secantul tras prin punctul de tangență este egal cu jumătatea arcului încheiat între laturile sale.

Lungimi și zone

1. Circumferința Crază R calculat după formula: C \u003d2 R.

2. Zona Sraza cercului R calculat după formula: S \u003d R2.

3. Lungimea arcului circular L rază R cu unghiul central măsurată în radieni se calculează după formula: L \u003d R .

4. Zona Ssectoare de rază Rcu un unghi central în radieni se calculează după formula: S \u003d R2 .

Cercuri înscrise și încercuite

Cerc și triunghi

· Centrul cercului înscris - punctul de intersecție al bisectoarelor triunghiului, raza acestuia rcalculat după formula:

r \u003dUnde S este aria triunghiului și - semi-perimetru;

· Centrul cercului circumscris este punctul de intersecție al perpendicularelor medii, raza lui R este calculată după formula:

R \u003d R \u003d;

· Centrul cercului circumscris lângă un triunghi drept se află în mijlocul hipotenuzei;

· Centrul cercurilor circumscrise și inscripționate al triunghiului coincide numai dacă acest triunghi este regulat.

Cerc și cvadratele

· Un cerc poate fi descris în jurul unui cadran convex dacă și numai dacă suma unghiurilor sale interne opuse este de 180 °:

180 °;

un cerc poate fi înscris într-un patrulater dacă și numai dacă sumele sale de laturi opuse sunt egale a + c \u003d b + d;

lângă un paralelogram se poate descrie un cerc dacă și numai dacă este un dreptunghi;

· Un cerc poate fi descris în jurul unui trapez, dacă și numai dacă acest trapez este isoscel; centrul cercului se află la intersecția axei de simetrie a trapezului cu mijlocul perpendicular pe laterală;

· Un cerc poate fi introdus într-un paralelogram dacă și numai dacă este un rombo.

triunghiurile

Proprietățile medianelor unui triunghi

1. Mediana împarte triunghiul în două triunghiuri ale aceleiași zone.

2. Medianele triunghiului se intersectează într-un punct, care împarte fiecare dintre ele într-un raport 2: 1, numărându-se de sus. Acest punct este numit centrul de greutatetriunghiul.

3. Întregul triunghi este împărțit de medianele sale în șase triunghiuri egale.

Proprietățile bisectoarelor triunghiului

1. Biserica unui unghi este locusul punctelor echidistante din laturile acestui unghi.

2. Biserica colțului interior al triunghiului împarte partea opusă în segmente proporționale cu laturile adiacente:.

3. Punctul de intersecție al bisectoarelor triunghiului este centrul cercului înscris în acest triunghi.

Proprietăți înălțimi triunghi

1. Într-un triunghi drept, înălțimea trasă din vârf unghi drept, o împarte în două triunghiuri, similare cu originalul.

2. În triunghi acut cele două înălțimi ale acestuia au tăiat triunghiuri similare din ea.

Conținând acest segment. Se numește punctul de intersecție al medianei cu latura triunghiului baza medianei.

• Puteți introduce și conceptul mediana externă triunghiul.

YouTube enciclopedic

1 / 3

✪ MEDIANE ale unei bisectoare și înălțimea unui triunghi - Gradul 7

✪ Mediana triunghiului. Constructie. Proprietăți

✪ bisectoare, mediană, înălțimea triunghiului. Gradul de geometrie 7

Subtitrare

Proprietăți

Proprietatea principală

Toate cele trei medii ale triunghiului se intersectează într-un punct, care se numește centroid sau centrul de greutate al triunghiului și sunt împărțite în două părți de acest punct într-un raport de 2: 1, numărând de sus.

Proprietățile medianelor triunghi isoscelelor

• Într-un triunghi izoscel, două medii trase pe laturile egale ale triunghiului sunt egale, iar a treia mediană este atât o bisectoare cât și o înălțime.
• De asemenea, conversația este adevărată: dacă două mediane sunt egale într-un triunghi, atunci triunghiul este izoscel, iar a treia mediană este simultan bisectoarea și înălțimea unghiului la vertexul său.
• La triunghi echilateral toate cele trei mediane sunt egale.

Proprietăți de bază

• Teorema lui Euler pentru un cerc de nouă puncte: baza celor trei înălțimi ale unui triunghi arbitrar, mijlocul celor trei laturi ale acestuia ( bazele medianelor sale) și mijlocul celor trei segmente care leagă vârfurile cu ortocentrul, toate se află pe același cerc (așa-numitul cerc de nouă puncte).
• Linia trasată motive orice două mediane ale unui triunghi, este linie mijlocie . Linia de mijloc a unui triunghi este întotdeauna paralelă cu acea parte a triunghiului cu care nu are puncte comune.
  • Corolar (teorema lui Thales pe paralel segmente). Linia mijlocie a unui triunghi este jumătate din lungimea laturii triunghiului la care este paralel.

Alte proprietăți

• Dacă triunghiul multilateral (scalen), atunci bisectoarea sa extrasă de pe orice vertex se află între mediana și înălțimea desenată din același vertex.
• Mediana împarte triunghiul în două triunghiuri egale (în zonă).
• Un triunghi este împărțit de trei mediane în șase triunghiuri egale.
• Din segmentele care formează medianele, puteți face un triunghi, a cărui suprafață va fi egală cu 3/4 din întregul triunghi. Lungimile medianelor satisfac inegalitatea triunghiului.
• Într-un triunghi cu unghi drept, mediana trasă dintr-un vertex cu un unghi drept este egală cu jumătate din ipotenuză.
• Latura mai mare a triunghiului corespunde medianei mai mici.
• Segment de linie, simetric sau conjugat izogonal mediana interioară în raport cu bisectoarea interioară, este numită Simedianul triunghiului. Trei symedians trece printr-un punct - punctul Lemoine.
• Median unghi triunghi conjugat izotomic pentru mine.

Principalele relații

În special, suma pătratelor medianelor unui triunghi arbitrar este 3/4 din suma pătratelor laturilor sale: ma 2 + mb 2 + mc 2 \u003d 3 4 (a 2 + b 2 + c 2) (\\ displaystyle m_ (a) ^ (2) + m_ (b) ^ (2) + m_ (c) ^ (2) \u003d (\\ frac (3) (4)) (a ^ (2) + b ^ (2) + c ^ (2))).

• Dimpotrivă, puteți exprima lungimea unei părți arbitrare a triunghiului în termeni medieni:

a \u003d 2 3 2 (mb 2 + mc 2) - ma 2 (\\ displaystyle a \u003d (\\ frac (2) (3)) (\\ sqrt (2 (m_ (b) ^ (2) + m_ (c) ^) (2)) - m_ (a) ^ (2))))Unde m a, m b, m c (\\ displaystyle m_ (a), m_ (b), m_ (c)) mediane pe laturile corespunzătoare ale triunghiului, a, b, c (\\ displaystyle a, b, c) - latura triunghiului.

Triunghi Med este segmentul care leagă partea superioară a triunghiului cu mijlocul laturii opuse a acestui triunghi.

Proprietățile medianelor unui triunghi

1. Mediana împarte triunghiul în două triunghiuri ale aceleiași zone.

2. Medianele triunghiului se intersectează într-un punct, care împarte fiecare dintre ele într-un raport 2: 1, numărându-se de sus. Acest punct se numește centrul de greutate al triunghiului (centroid).

3. Întregul triunghi este împărțit de medianele sale în șase triunghiuri egale.

Lungimea medianului desenată în lateral: (dovada completării la paralelogramă și folosirea egalității în paralelogramul sumei dublate a pătratelor laturilor și suma pătratelor diagonalelor )

T1. Cele trei mediane ale triunghiului se intersectează într-un punct M, care împarte fiecare dintre ele într-un raport 2: 1, numărând de la vârfurile triunghiului. Date: ∆ ABC SS 1, AA 1, BB 1 - mediani
∆Abc. Dovedește: și

D-in: Fie M punctul de intersecție al medianelor CC 1, AA 1 a triunghiului ABC. Notă A 2 - mijlocul segmentului AM și C 2 - mijlocul segmentului CM. Apoi A 2 C 2 - linie mijlocie triunghiul AMC. Mijloace A 2 C2|| AC

și A2C2 \u003d 0,5 * AC. CU 1 ȘI 1 este linia de mijloc a triunghiului ABC. Deci A 1 CU 1 || AC și A 1 CU 1 \u003d 0,5 * AC.

Patrulater A 2 C 1 A 1 C 2 - o paralelogramă, deoarece laturile sale opuse A 1 CU 1 și A 2 C2 sunt egale și paralele. Prin urmare, A 2 M \u003d MA 1 și C2 M \u003d MC 1 . Aceasta înseamnă că punctele A 2 și M împărtășiți med AA 2 în trei părți egale, adică AM \u003d 2MA2. În mod similar CM \u003d 2MC 1 . Deci, punctul M al intersecției a două mediane AA 2 și CC 2 triunghiul ABC împarte fiecare dintre ele într-un raport 2: 1, numărând de la vârfurile triunghiului. Este dovedit exact în același mod în care punctul de intersecție al medianelor AA 1 și BB 1 împarte fiecare dintre ele într-un raport 2: 1, numărând de la vârfurile triunghiului.

Pe AA mediană, un astfel de punct este punctul M, deci, punctul M și există punctul de intersecție al medianelor AA 1 și BB 1.

În acest fel, n

T2. Demonstrați că segmentele care conectează centroidul cu vârfurile triunghiului îl împart în trei părți egale. Date: ∆ABC, - medianele lui.

Dovedi: S AMB =S BMC =S AMC.Dovada. LA,au în comun. deoarece temeiuri egale și înălțimea trasă din vârf Mau în comun. Apoi

Într-un mod similar, se dovedește că S AMB \u003d S AMC.În acest fel, S AMB \u003d S AMC \u003d S CMB.n

Bisectorul unui triunghi. Teoreme legate de bisectoarele unui triunghi. Formule bisectoare

Bisectorul unghiular- o rază cu început la vârful unui unghi care împarte unghiul în două unghiuri egale.

Biserica unui unghi este locul geometric al punctelor din interiorul unghiului echidistant de laturile unghiului.

Proprietăți

1. Teorema bisectoarei: bisectoarea colțului interior al unui triunghi împarte partea opusă într-un raport egal cu raportul a două laturi adiacente

2. Bisectoarele unghiurilor interioare ale triunghiului se intersectează într-un punct - stimulatorul - centrul cercului înscris în acest triunghi.

3. Dacă două bisectoare sunt egale într-un triunghi, atunci triunghiul este izoscel (teorema Steiner - Lemus).

Calculul lungimii bisectoarei

l c este lungimea bisectoarei trase pe latura c,

a, b, c sunt laturile triunghiului față de vârfurile A, B, C, respectiv,

p este semiperimetrul triunghiului,

a l, b l - lungimile segmentelor în care bisectora l c împarte partea c,

α, β, γ sunt unghiurile interne ale triunghiului pentru vârfurile A, B, C respectiv,

h c este înălțimea triunghiului coborât pe partea c.

Metoda zonei.

Caracteristica metodei. Din denumire rezultă că obiectul principal al acestei metode este zona. Pentru un număr de figuri, de exemplu pentru un triunghi, zona este exprimată destul de simplu prin diferite combinații de elemente ale figurii (triunghi). Prin urmare, o tehnică este foarte eficientă atunci când sunt comparate diverse expresii pentru zona unei cifre date. În acest caz, apare o ecuație care conține elementele cunoscute și căutate ale figurii, rezolvându-l pe care îl definim necunoscutul. Aici se manifestă caracteristica principală a metodei zonei - de la problemă geometrică el „face” algebric, reducând totul la rezolvarea unei ecuații (și uneori un sistem de ecuații).

1) Metoda de comparație: asociată cu un număr mare de formule S din aceleași figuri

2) Metoda de relație S: bazată pe urmele sarcinilor de sprijin:

Teorema lui Cheva

Punctele A ", B", C "se află pe liniile BC, CA, AB ale triunghiului. Liniile AA", BB ", CC" se intersectează într-un punct dacă și numai dacă

Dovada.

Notăm după punctul de intersecție al segmentelor și. Omitem perpendicularele de la punctele C și A până la linia BB 1 până când se intersectează cu ea la punctele K și respectiv L (a se vedea figura).

Deoarece triunghiurile au o latură comună, zonele lor sunt denumite înălțimile trase pe această parte, adică. AL și CK:

Ultima egalitate este adevărată, deoarece triunghiurile drepte sunt similare în unghi acut.

În mod similar, obținem și

Înmulțiți aceste trei egalități:

quod erat demonstrandum

Cometariu. Un segment (sau o extensie a unui segment) care leagă un vertex al unui triunghi cu un punct situat pe partea opusă sau extinderea acestuia se numește cheviana.

Teorema (teorema inversă a lui Cheva). Punctele A ", B", C "se află pe laturile BC, CA și respectiv ale triunghiului ABC. Fie relația

Apoi segmentele AA ", BB", CC "și se intersectează la un moment dat.

Teorema lui Menelaus

Teorema lui Menelaus. Fie că linia intersectează triunghiul ABC, unde C1 este punctul intersecției sale cu latura AB, A 1 este punctul intersecției sale cu partea BC, iar B 1 este punctul intersecției sale cu continuarea laturii AC. Apoi

evidență . Desenați o linie paralelă cu AB prin punctul C. Fie K punctul de intersecție cu linia B 1 C 1.

Triunghiurile AC 1 B 1 și CKB 1 sunt similare (∟C 1 AB 1 \u003d ∟KCB 1, ∟AC 1 B 1 \u003d ∟CKB 1). Prin urmare,

Triunghiurile BC 1 A 1 și CKA 1 sunt de asemenea similare (∟BA 1 C 1 \u003d ∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 \u003d ∟CKA 1). Mijloace

Din fiecare egalitate exprimăm CK:

De unde Quod erat demonstrandum

Teorema (teorema Menelaus inversă). Să se dea triunghiul ABC. Punctul C 1 se află pe partea AB, punctul A 1 pe partea BC și punctul B 1 pe extensia laturii AC și relația

Apoi punctele A 1, B 1 și C 1 se află pe aceeași linie.