Trigonometria este o ramură a științei matematice care studiază funcțiile trigonometrice și utilizarea lor în geometrie. Dezvoltarea trigonometriei a început în Grecia antică. În Evul Mediu, oamenii de știință din Orientul Mijlociu și India au adus o contribuție importantă la dezvoltarea acestei științe.

Acest articol este dedicat conceptelor de bază și definițiilor trigonometriei. Acesta ia în considerare definițiile principalelor funcții trigonometrice: sinus, cosinus, tangent și cotangent. Semnificația lor în contextul geometriei este clarificată și ilustrată.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Inițial, definițiile funcțiilor trigonometrice, al căror argument este un unghi, au fost exprimate prin raporturile de aspect ale unui triunghi drept.

Definițiile funcțiilor trigonometrice

Sinusul unghiului (sin α) este raportul laturii opuse a acestui unghi față de ipotenuză.

Cosinusul unghiului (cos α) este raportul piciorului alăturat față de hipotenuză.

Tangenta unghiului (t g α) este raportul dintre piciorul opus și cel alăturat.

Cotangentul unghiular (c t g α) este raportul piciorului adiacent cu piciorul opus.

Aceste definiții sunt date pentru unghiul acut al unui triunghi drept!

Dăm o ilustrare.

Într-un triunghi ABC cu unghiul drept C, sinusul unghiului A este egal cu raportul piciorului BC față de ipotenuză AB.

Definițiile sinusului, cosinului, tangentului și cotangentului ne permit să calculăm valorile acestor funcții pe lungimile cunoscute ale laturilor triunghiului.

Este important să ne amintim!

Gama de valori ale sinusului și cosinusului este de la -1 la 1. Cu alte cuvinte, sinusul și cosinul iau valori de la -1 la 1. Gama de tangentă și cotangent este întreaga linie numerică, adică aceste funcții pot lua orice valoare.

Definițiile date mai sus se referă la colțurile ascuțite. În trigonometrie, este introdus conceptul de unghi de rotație, a cărui valoare, spre deosebire de un unghi acut, nu se limitează la cadre de la 0 la 90 de grade. Unghiul de rotație în grade sau radieni este exprimat prin orice număr real de la - ∞ la + ∞.

În acest context, putem defini sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentul unui unghi de magnitudine arbitrară. Imaginează-ți un cerc unitar centrat la începutul sistemului de coordonate carteziene.

Punctul de pornire A cu coordonate (1, 0) se rotește în jurul centrului cercului unitar cu un unghi α și se duce la punctul A 1. Definiția este dată prin coordonatele punctului A 1 (x, y).

Sinusul unghiului de rotație

Sinusul unghiului de rotație α este ordonatul punctului A 1 (x, y). sin α \u003d y

Cosinusul (cos) unghiului de rotație

Cosinusul unghiului de rotație α este abscisa punctului A 1 (x, y). cos α \u003d x

Unghi tangent (tg)

Tangenta unghiului de rotație α este raportul dintre ordonatul punctului A 1 (x, y) și abscisa acestuia. t g α \u003d y x

Cotangent (ctg) unghiul de rotație

Cotangentul unghiului de rotație α este raportul dintre abscisa punctului A 1 (x, y) și ordonata sa. c t g α \u003d x y

Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi de rotație. Acest lucru este logic, deoarece abscisa și ordinea punctului după rotire pot fi determinate în orice unghi. Situația este diferită cu tangentul și cotangentul. Tangenta nu este definită atunci când un punct după o tura trece într-un punct cu abscisă zero (0, 1) și (0, - 1). În astfel de cazuri, expresia pentru tangenta t g α \u003d y x pur și simplu nu are sens, deoarece diviziunea cu zero este prezentă în ea. Situația cu cotangentul este similară. Diferența este că cotangentul nu este definit în acele cazuri când ordinul unui punct dispare.

Este important să ne amintim!

Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi α.

Tangenta este definită pentru toate unghiurile, cu excepția α \u003d 90 ° + 180 ° · k, k ∈ Z (α \u003d π 2 + π · k, k ∈ Z)

Cotangentul este definit pentru toate unghiurile, cu excepția α \u003d 180 ° k, k ∈ Z (α \u003d π k, k ∈ Z)

Atunci când rezolvă exemple practice, ei nu spun „sinusul unghiului de rotație α”. Cuvintele „unghiul de rotație” sunt omise pur și simplu, ceea ce implică faptul că este clar din context ceea ce este în joc.

Numerele

Ce să faci cu definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentului unui număr, nu un unghi de rotație?

Sinus, cosinus, tangent, cotangent al unui număr

Sinus, cosinus, tangent și cotangent al unui număr t   numit număr, respectiv egal cu sinusul, cosinusul, tangentul și cotangentul în tradiani.

De exemplu, sinusa de 10 π este egală cu sinusa unghiului de rotație de 10 π rad.

Există o altă abordare pentru a determina sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentul unui număr. Să o luăm în considerare mai detaliat.

Orice număr real t   punctul de pe cercul unității este aliniat cu centrul de la începutul sistemului dreptunghiular de coordonate carteziene. Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentul sunt determinate prin coordonatele acestui punct.

Punctul de pornire al cercului este punctul A cu coordonate (1, 0).

Număr pozitiv t

Numărul negativ t corespunde punctului în care se va duce punctul de plecare dacă se deplasează într-un cerc în sensul acelor de ceasornic și calea t trece.

Acum că relația dintre numărul și punctul de pe cerc este stabilită, ne întoarcem la definiția sinusului, cosinului, tangentului și cotangentului.

Sinus (păcat) din t

Numărul sinelui t- ordinea punctului cercului unitar corespunzător numărului t. sin t \u003d y

Cosinus (cos) din t

Cosină de număr t- abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t. cos t \u003d x

Tangenta (tg) din t

Tangent de număr t   - raportul dintre ordonate și abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t. t g t \u003d y x \u003d sin t cos t

Ultimele definiții sunt consecvente și nu contravin definiției date la începutul acestui alineat. Indicați cercul corespunzător numărului tcoincide cu punctul în care trece punctul de plecare după ce se întoarce printr-un unghi tradiani.

Funcțiile trigonometrice ale argumentelor unghiulare și numerice

Fiecare valoare a unghiului α corespunde unei anumite valori a sinusului și cosinusului acestui unghi. La fel ca toate unghiurile α, altele decât α \u003d 90 ° + 180 ° · k, k ∈ Z (α \u003d π 2 + π · k, k ∈ Z) corespunde o anumită valoare tangentă. Cotangentul, așa cum s-a menționat mai sus, este definit pentru toți α, cu excepția α \u003d 180 ° · k, k ∈ Z (α \u003d π · k, k ∈ Z).

Putem spune că sin α, cos α, t g α, c t g α sunt funcții ale unghiului alfa sau funcții ale argumentului unghiular.

În mod similar, putem vorbi despre sine, cosinus, tangent și cotangent, ca funcții ale unui argument numeric. Pentru fiecare număr real tcorespunde unei valori specifice a sinusului sau cosinusului unui număr t. Toate numerele în afară de π 2 + π · k, k ∈ Z corespund valorii tangente. În mod similar, Cotangent este definit pentru toate numerele, cu excepția π · k, k ∈ Z.

Principalele funcții ale trigonometriei

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentul sunt principalele funcții trigonometrice.

De obicei este clar din contextul cu care argumentul funcției trigonometrice (un argument unghiular sau un argument numeric) avem de-a face.

Să revenim la datele de la începutul definițiilor și al unghiului alfa, situate în intervalul de la 0 la 90 de grade. Definițiile trigonometrice ale sinusului, cosinului, tangentului și cotangentului sunt în totalitate în concordanță cu definițiile geometrice date folosind raporturile de aspect ale unui triunghi drept. Arată-l.

Luați un cerc de unitate centrat într-un sistem dreptunghiular de coordonate carteziene. Rotim punctul de pornire A (1, 0) cu un unghi de până la 90 de grade și tragem din punctul obținut A 1 (x, y) perpendicular pe axa abscisei. În triunghiul din unghiul drept rezultat, unghiul A 1 O H este egal cu unghiul de rotație α, lungimea piciorului O H este egală cu abscisa punctului A 1 (x, y). Lungimea piciorului opus colțului este egală cu ordinea punctului A 1 (x, y), iar lungimea hipotenuzei este egală cu una, deoarece este raza cercului unitar.

Conform definiției din geometrie, sinusul unghiului α este egal cu raportul laturii opuse față de ipotenuză.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Prin urmare, definiția sinusului unui unghi acut într-un triunghi drept prin raportul de aspect este echivalentă cu definiția sinusului unghiului de rotație α, cu alfa situată între 0 și 90 de grade.

În mod similar, corespondența definițiilor poate fi arătată pentru cosinus, tangent și cotangent.

Dacă observați o eroare în text, selectați-l și apăsați Ctrl + Enter

În acest articol, vom arăta cum definiții ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentului unghiului și numărului în trigonometrie. Aici vom vorbi despre notație, vom da exemple de intrări, vom da ilustrații grafice. În concluzie, tragem o paralelă între definițiile sinusului, cosinului, tangentei și cotangentului în trigonometrie și geometrie.

Navigare prin pagină.

Definiția sine, cosinus, tangent și cotangent

Să urmărim cum se formează ideea de sine, cosinus, tangent și cotangent în cursul școlar al matematicii. În clasele de geometrie este dată definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentului unui unghi acut într-un triunghi drept. Și ulterior se studiază trigonometria, care se referă la sinus, cosinus, tangent și cotangent al unghiului de rotație și al numărului. Dăm toate aceste definiții, dăm exemple și dăm comentariile necesare.

Unghiul acut într-un triunghi drept

De la cursul geometriei, sunt cunoscute definițiile sinusului, cosinului, tangentei și cotangentului unui unghi acut într-un triunghi unghi drept. Acestea sunt date ca raportul de aspect al unui triunghi dreptunghi. Dăm formulările lor.

Definiția.

Sinusul unui unghi acut într-un triunghi drept   Este raportul dintre partea opusă și hipotenuză.

Definiția.

Cosinusul unui unghi acut într-un triunghi drept   Este raportul piciorului alăturat cu hipotenuză.

Definiția.

Clar tangent într-un triunghi dreptunghiular   - acesta este raportul dintre partea opusă și cea vecină.

Definiția.

Cotangentul unui unghi acut într-un triunghi drept - acesta este raportul piciorului alăturat și opusul.

Denumirile de sine, cosinus, tangent și cotangent sunt introduse acolo - păcat, cos, tg și, respectiv, ctg.

De exemplu, dacă ABC este un triunghi dreptunghiular cu un unghi drept C, atunci sinusul unghiului ac A este egal cu raportul laturii opuse BC față de ipotenuză AB, adică sin∠A \u003d BC / AB.

Aceste definiții fac posibilă calcularea valorilor sinusului, cosinului, tangentei și cotangentului unui unghi acut de la lungimile cunoscute ale laturilor unui triunghi unghi drept, precum și lungimile celorlalte laturi din valorile cunoscute ale sinusului, cosinului, tangentei, cotangentului și lungimii uneia dintre laturi. De exemplu, dacă am ști că într-un triunghi drept piciorul AC este 3, iar ipotenuză AB este 7, atunci am putea calcula cosinele unghiului acut A prin definiție: cos∠A \u003d AC / AB \u003d 3/7.

Unghiul de rotire

În trigonometrie, acestea încep să privească unghiul mai pe larg - introduc conceptul de unghi de rotație. Valoarea unghiului de rotație, spre deosebire de un unghi acut, nu se limitează la cadre de la 0 la 90 de grade, unghiul de rotație în grade (și în radieni) poate fi exprimat prin orice număr real de la ∞ la + ∞.

În această lumină, definiția de sine, cosinus, tangent și cotangent nu mai este un unghi acut, ci un unghi de mărime arbitrară - unghiul de rotație. Ele sunt date prin coordonatele x și y ale punctului A 1, în care așa-numitul punct de plecare A (1, 0) trece după rotirea sa prin unghiul α în jurul punctului O - începutul sistemului dreptunghiular de coordonate carteziene și centrul cercului unitar.

Definiția.

Sinusul unghiului de rotație   α este ordonata punctului A 1, adică sinα \u003d y.

Definiția.

Cosinusul unghiului de rotație   α se numește abscisa punctului A 1, adică cosα \u003d x.

Definiția.

Rotire tangentă   α este raportul dintre ordonata punctului A 1 și abscisa sa, adică tgα \u003d y / x.

Definiția.

Cotangentul unghiului de rotație   α este raportul dintre abscisa punctului A 1 și ordonata sa, adică ctgα \u003d x / y.

Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi α, deoarece putem determina întotdeauna abscisa și ordonarea unui punct, care este obținut ca urmare a rotirii punctului inițial cu unghiul α. Dar tangentul și cotangentul nu sunt definiți pentru niciun unghi. Tangenta nu este definită pentru unghiurile α la care punctul de plecare trece într-un punct cu abscisă zero (0, 1) sau (0, −1) și aceasta are loc la unghiuri 90 ° + 180 ° · k, k∈Z (π / 2 + π · k rad). Într-adevăr, la astfel de unghiuri de rotație, expresia tgα \u003d y / x nu are sens, deoarece diviziunea cu zero este prezentă în ea. În ceea ce privește cotangentul, acesta nu este definit pentru unghiurile α la care punctul de plecare se îndreaptă către un punct cu ordonată zero (1, 0) sau (−1, 0), iar acest lucru are loc pentru unghiuri de 180 ° · k, k ∈Z (π · k rad).

Deci, sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi de rotație, tangenta este definită pentru toate unghiurile, cu excepția 90 ° + 180 ° · k, k∈Z (π / 2 + π · k rad), iar cotangentul este pentru toate unghiurile, cu excepția 180 ° K, k∈Z (π k rad).

Notările păcat, cos, tg și ctg deja cunoscute apar în definiții; ele sunt folosite și pentru a denota sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentul unghiului de rotație (uneori poate fi găsită notația bronzată și cotul corespunzătoare tangentei și cotangentului). Deci sinusul unghiului de rotație de 30 de grade poate fi scris ca sin30 °, înregistrările bronzate (−24 ° 17 ′) și ctgα corespund tangentei unghiului de rotație de −24 grade 17 minute și cotangentul unghiului de rotație α. Reamintim că la înregistrarea unei măsuri de unghi radian, desemnarea „rad” este adesea omisă. De exemplu, cosinusul unui unghi de rotație de trei pi rad este de obicei notat de cos3 · π.

În concluzia acestui alineat, este de remarcat faptul că, într-o conversație despre sine, cosinus, tangent și cotangent al unghiului de rotație, sintagma „unghiul de rotație” sau cuvântul „rotație” sunt deseori omise. Adică, în loc de sintagma „sinusul unghiului de rotație alfa”, sintagma „sinusul unghiului alfa” este de obicei folosită, sau chiar mai scurtă, „sine alfa”. Același lucru este valabil și pentru cosinus, tangent și cotangent.

De asemenea, spunem că definițiile sinusului, cosinului, tangentei și cotangentului unui unghi acut într-un triunghi drept sunt în concordanță cu definițiile date doar de sinus, cosinus, tangent și cotangent al unghiului de rotație de la 0 la 90 de grade. Acest lucru îl vom justifica.

Numerele

Definiția.

Sinus, cosinus, tangent și cotangent al unui număr   t este numărul egal cu sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentul unghiului de rotație, respectiv a radianților.

De exemplu, cosinusul lui 8 · π prin definiție este un număr egal cu cosinusul unui unghi de 8 · π rad. Iar cosinusul unui unghi de 8 · π rad este egal cu unul, prin urmare, cosinusul lui 8 · π este 1.

Există o altă abordare pentru a determina sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentul unui număr. Ea constă în faptul că fiecare număr real t este asociat cu un punct al cercului unitar centrat la începutul unui sistem de coordonate dreptunghiulare, iar sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentul sunt determinate prin coordonatele acestui punct. Să ne lămurim mai detaliat pe asta.

Arătăm cum se stabilește corespondența dintre numerele reale și punctele unui cerc:

• numărul 0 este asociat cu punctul de pornire A (1, 0);
• un număr pozitiv t este asociat cu punctul cercului unitar la care ajungem dacă ne deplasăm în jurul cercului din punctul de plecare în sensul contrar acelor de ceasornic și mergem pe o cale de lungime t;
• numărul negativ t este asociat cu punctul cercului unitar la care ajungem dacă ne deplasăm în jurul cercului din punctul de plecare în sensul acelor de ceasornic și mergem pe o cale de lungime | t | .

Acum apelăm la definițiile sinusului, cosinului, tangentei și cotangentului t. Să presupunem că un punct de cerc A 1 (x, y) corespunde numărului t (de exemplu, punctul A 1 (0, 1) corespunde numărului? Pi / 2;).

Definiția.

Sinusul numărului   t se numește ordinea punctului cercului unitar corespunzător numărului t, adică sint \u003d y.

Definiția.

Cosină de număr   t se numește abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t, adică cost \u003d x.

Definiția.

Tangenta numărului   t este raportul dintre ordonate și abscisa unui punct din cercul unitar corespunzător numărului t, adică tgt \u003d y / x. Într-o altă formulare echivalentă, tangenta lui t este raportul dintre sinusul acestui număr și cosinus, adică tgt \u003d sint / cost.

Definiția.

Cotangent de număr   t este raportul dintre abscisă și ordinea punctului cercului unitar corespunzător numărului t, adică ctgt \u003d x / y. O altă formulare este următoarea: tangenta lui t este raportul dintre cosinusul lui t și sinusul lui t: ctgt \u003d cost / sint.

Observăm aici că aceste definiții tocmai au fost în concordanță cu definiția dată la începutul acestui alineat. Într-adevăr, punctul cercului unitar corespunzător numărului t coincide cu punctul obținut prin întoarcerea punctului de plecare printr-un unghi de radiani t.

Merită totuși clarificat acest punct. Să spunem că avem o intrare sin3. Cum să înțelegem, vorbim despre sinusul numărului 3 sau sinusul unghiului de rotație de 3 radieni? Acest lucru este clar de obicei din context, altfel cel mai probabil nu contează.

Funcțiile trigonometrice ale argumentelor unghiulare și numerice

Conform definițiilor date în paragraful precedent, fiecare unghi de rotație α corespunde unei valori bine definite a sinα, precum și valorii cosα. În plus, toate unghiurile de rotație, altele decât 90 ° + 180 ° · k, k∈Z (π / 2 + π · k rad) corespund valorilor tgα, și altele decât 180 ° · k, k∈Z (π · k rad ) Sunt valorile ctgα. Prin urmare, sinα, cosα, tgα și ctgα sunt funcții ale unghiului α. Cu alte cuvinte, acestea sunt funcții ale argumentului unghiular.

În mod similar, putem vorbi despre funcțiile sinusoidale, cosine, tangente și cotangente ale unui argument numeric. Într-adevăr, pentru fiecare număr real t corespunde o valoare bine definită a sintului, precum și un cost. În plus, valorile tgt corespund tuturor numerelor decât π / 2 + π · k, k∈Z, iar valorile ctgt corespund numerelor π · k, k∈Z.

Funcțiile sine, cosinus, tangent și cotangent sunt numite funcții trigonometrice de bază.

Din context, este de obicei clar că avem de-a face cu funcțiile trigonometrice ale unui argument unghiular sau ale unui argument numeric. În caz contrar, putem considera o variabilă independentă ca o măsură a unghiului (argument unghiular) și ca un argument numeric.

Totuși, școala studiază în principal funcții numerice, adică funcții ale căror argumente, precum valorile corespunzătoare ale funcției, sunt numere. De aceea, atunci când vine vorba de funcții, este recomandabil să considerăm funcțiile trigonometrice ca funcții ale argumentelor numerice.

Relația dintre definiții din geometrie și trigonometrie

Dacă luăm în considerare un unghi de rotație α de la 0 la 90 de grade, atunci datele din contextul trigonometriei pentru determinarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentului unghiului de rotație sunt complet în concordanță cu definițiile sinusului, cosinului, tangentei și cotangentului unui unghi acut într-un triunghi dreptunghic, care sunt date în cursul geometriei. Justifică-l.

Să desenăm un cerc de unitate într-un sistem dreptunghiular de coordonate carteziene Oxy. Marcăm punctul de plecare A (1, 0). Rotiți-l cu un unghi α de la 0 la 90 de grade, obținem punctul A 1 (x, y). Coborâm din punctul A 1 pe axa Ox perpendiculara A 1 H.

Este ușor de observat că într-un triunghi dreptunghic, unghiul A 1 OH este egal cu unghiul de rotație α, lungimea laturii adiacente acestui colț al piciorului OH este egală cu abscisa punctului A 1, adică | OH | \u003d x, lungimea laturii opuse a laturii piciorului A 1 H este ordonată a punctului A 1 1, adică | A 1 H | \u003d y, iar lungimea hipotenuzei OA 1 este egală cu una, deoarece este raza cercului unitar. Apoi, prin definiție din geometrie, sinusul unghiului ac α în triunghiul dreptunghic A 1 OH este egal cu raportul laturii opuse față de ipotenuză, adică sinα \u003d | A 1 H | / | OA 1 | \u003d y / 1 \u003d y. Și prin definiție din trigonometrie, sinusul unghiului de rotație α este egal cu ordonatul punctului A 1, adică sinα \u003d y. Acest lucru arată că definiția sinusului unui unghi acut într-un triunghi drept este echivalentă cu definiția sinusului unghiului de rotație α pentru α de la 0 la 90 de grade.

În mod similar, se poate arăta că definițiile cosinelui, tangentei și cotangentului unui unghi acut α sunt în concordanță cu definițiile cosinusului, tangentei și cotangentului unghiului de rotație α.

Referințe.

1. Geometrie. Clasele 7-9: manual. pentru învățământul general. instituții / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev și colab.]. - ediția a 20-a M .: Educație, 2010 .-- 384 p.: Bolnav. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V.   Geometrie: manual. pentru 7-9 celule educație generală. instituții / A. V. Pogorelov. - ediția a II-a - Moscova: Educație, 2001 .-- 224 p., Ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebră și funcții elementare: Manual pentru elevii din liceul 9 / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Editat de doctorul în științe fizice și matematice O. N. Golovin - ediția a IV-a. M .: Educație, 1969.
4. algebra:   Proc. timp de 9 cl. medii. școală. / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M .: Educație, 1990.- 272 p .: Ill. - ISBN 5-09-002727-7
5. algebră   și începutul analizei: manual. pentru 10-11 celule educație generală. instituții / A.N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova. - ediția a 14-a. M .: Educație, 2004.- 384 p., Ill. - ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovici A. G.   Algebra și începutul analizei. Clasa a X-a La 2 ore, partea 1: un manual pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil) / A. G. Mordkovici, P. V. Semenov. - ediția a 4-a, ext. - M .: Mnemozin, 2007 .-- 424 p.: Bolnav. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. algebră   și începutul analizei matematice. Gradul 10: manual. pentru învățământul general. instituții: de bază și profil. niveluri / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; sub redacția din A. B. Zhizhchenko. - ediția a 3-a. - I .: Educație, 2010 .-- 368 pp .: ill .: ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bașmakov M.I.   Algebra și începutul analizei: manual. pentru 10-11 celule medii. săpt. - ediția a 3-a. - M .: Educație, 1993 .-- 351 p.: Bolnav. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V.A., Mordkovici A.G.   Matematică (un manual pentru solicitanții școlilor tehnice): manual. indemnizație.- M .; Executive. școală., 1984.-351 p., bolnav.

Sunt specificate relațiile dintre principalele funcții trigonometrice - sine, cosinus, tangent și cotangent formule trigonometrice. Și întrucât există o mulțime de conexiuni între funcțiile trigonometrice, acest lucru explică abundența formulelor trigonometrice. Unele formule se referă la funcțiile trigonometrice cu același unghi, altele - funcțiile unghiului multiplu, a treia - vă permit să coborâți gradul, în al patrulea rând - să exprimați toate funcțiile prin tangenta unghiului jumătate etc.

În acest articol, enumerăm în ordine toate formulele trigonometrice de bază care sunt suficiente pentru a rezolva marea majoritate a problemelor de trigonometrie. Pentru comoditatea memorizării și utilizării, le vom grupa în funcție de scopul lor și le vom introduce în tabele.

Navigare prin pagină.

Identități trigonometrice de bază

Identități trigonometrice de bază   definiți relația dintre sinus, cosinus, tangent și cotangent dintr-un unghi. Ele pornesc de la definiția sinusului, cosinului, tangentului și cotangentului, precum și conceptul de cerc de unitate. Acestea vă permit să exprimați o funcție trigonometrică prin oricare alta.

Pentru o descriere detaliată a acestor formule de trigonometrie, a derivării lor și a exemplelor de aplicare, consultați articolul.

Formule de turnare

Formule de turnare   urmează proprietățile sinusului, cosinusului, tangentului și cotangentului, adică reflectă proprietatea de periodicitate a funcțiilor trigonometrice, proprietatea de simetrie și, de asemenea, proprietatea unei deplasări cu un unghi dat. Aceste formule trigonometrice vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare la cele cu unghiuri cuprinse între zero și 90 de grade.

Motivul pentru aceste formule, regula mnemotică pentru amintirea lor și exemple ale aplicării lor pot fi studiate în articol.

Formule de adăugare

Formule adiționale trigonometrice   arată cum sunt exprimate funcțiile trigonometrice ale sumei sau diferenței a două unghiuri prin funcțiile trigonometrice ale acestor unghiuri. Aceste formule servesc drept bază pentru derivarea următoarelor formule trigonometrice.

Formule duble, triple, etc. unghi

Formule duble, triple, etc. unghiul (se mai numesc formule cu unghi multiplu) arată modul în care funcțiile trigonometrice ale dublei, triplelor etc. unghiurile () sunt exprimate în termenii funcțiilor trigonometrice ale unui unghi unic. Concluzia lor se bazează pe formule de adăugare.

Informații mai detaliate sunt colectate în formulele articolului dublu, triplu etc. unghi.

Formule cu jumătate de unghi

Formule cu jumătate de unghi   arată cum sunt exprimate funcțiile trigonometrice ale jumătății unghiului prin cosinusul unghiului întreg. Aceste formule trigonometrice provin din formulele cu unghi dublu.

Concluzia lor și exemple de aplicare pot fi găsite în articol.

Formule de downgrade

Formule de reducere trigonometrice   sunt concepute pentru a facilita trecerea de la gradele naturale ale funcțiilor trigonometrice la sinusuri și cosinus în primul grad, dar multiple unghiuri. Cu alte cuvinte, ele permit scăderea gradului de funcții trigonometrice la prima.

Formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice

Scopul principal formule ale sumei și diferenței funcțiilor trigonometrice   constă în trecerea la produsul funcțiilor, care este foarte util în simplificarea expresiilor trigonometrice. Aceste formule sunt de asemenea utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, deoarece ne permit să factorizăm suma și diferența sinelor și cosinuselor.

Formule pentru produsul păcatelor, cosinusilor și sinusului spre cosinus

Trecerea de la produsul funcțiilor trigonometrice la sumă sau diferență se realizează prin formulele pentru produsul de păcate, cosinus și sine la cosinus.

Bașmakov M.I.   Algebra și începutul analizei: manual. pentru 10-11 celule medii. săpt. - ediția a 3-a. - M .: Educație, 1993 .-- 351 p.: Bolnav. - ISBN 5-09-004617-4.

algebră   și începutul analizei: manual. pentru 10-11 celule educație generală. instituții / A.N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova. - ediția a 14-a. M .: Educație, 2004.- 384 p., Ill. - ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V.A., Mordkovici A.G.   Matematică (un manual pentru solicitanții școlilor tehnice): manual. indemnizație.- M .; Executive. școală., 1984.-351 p., bolnav.

Drepturi de autor de către cleverstudents

Toate drepturile rezervate.
  Protejat de legea dreptului de autor. Nici o parte a site-ului www.site, inclusiv materiale interne și design extern, nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau folosită fără permisiunea prealabilă în scris a titularului dreptului de autor.

Există multe formule în trigonometrie.

A-ți aminti mecanic este foarte dificil, aproape imposibil. În sala de clasă, mulți școlari și elevi folosesc printuri pe cărțile de manuale și caiete, afișe pe pereți, foi de înșelat, în cele din urmă. Și cum rămâne cu examenul?

Cu toate acestea, dacă aruncați o privire mai atentă asupra acestor formule, veți constata că toate sunt interconectate și au o anumită simetrie. Să le analizăm ținând cont de definițiile și proprietățile funcțiilor trigonometrice, pentru a determina minimul care merită cu adevărat de învățat de la inimă.

Eu grup. Identități de bază

sin 2 α + cos 2 α \u003d 1;

tgα \u003d ____ sinα cosα;   ctgα \u003d ____ cosα sinα ;

tgα ctgα \u003d 1;

1 + tg 2 α \u003d _____ 1 cos 2 α;   1 + ctg 2 α \u003d _____ 1 sin 2 α.

Acest grup conține cele mai simple și căutate formule. Majoritatea studenților îi cunosc. Dar dacă mai există dificultăți, atunci să vă amintiți primele trei formule, imaginați-vă mental un triunghi drept cu o ipotenuză egală cu una. Atunci picioarele sale vor fi egale, respectiv, cu sinα prin definiția sinusului (raportul laturii opuse față de ipotenuză) și cosα prin definiția cosinusului (raportul dintre partea adiacentă și ipotenuză).

Prima formulă este teorema pitagoreică pentru un astfel de triunghi - suma pătratelor picioarelor este egală cu pătratul hipotenuzei (1 2 \u003d 1), a doua și a treia sunt definițiile tangentei (raportul laturii opuse față de cel adiacent) și cotangent (raportul dintre latura adiacentă și opusul).
  Produsul tangentei de cotangent este 1, deoarece cotangentul scris sub formă de fracție (formula trei) este tangenta inversată (formula a doua). A doua considerație, apropo, ne permite să excludem din numărul de formule care trebuie memorate, toate formulele lungi ulterioare cu cotangent. Dacă întâlniți ctgα în orice sarcină dificilă, pur și simplu înlocuiți-o cu o fracție ___ 1 tgα   și utilizați formulele tangente.

Ultimele două formule nu pot fi amintite personaj după caracter. Sunt mai puțin obișnuite. Și dacă este necesar, atunci le puteți afișa din nou într-un proiect. Pentru a face acest lucru, este suficient să înlocuiți tangenta sau contangentul pentru definirea lor printr-o fracție (formele două și, respectiv, trei) și să aduceți expresia la un numitor comun. Dar este important să ne amintim că există astfel de formule care leagă pătratele tangentei și cosinului, și pătratele cotangentului și sinusului. În caz contrar, este posibil să nu fi ghicit care sunt transformările necesare pentru a rezolva o anumită problemă.

Grupa II. Formule de adăugare

sin (α + β) \u003d sinα · cosβ + cosα · sinβ;

sin (α - β) \u003d sinα cos β - cos α sin β;

cos (α + β) \u003d cosα · cosβ - sinα · sinβ;

cos (α - β) \u003d cosα · cosβ + sinα · sinβ;

tg (α + β) \u003d   tgα + tgβ _________ 1 - tgα · tgβ;

tg (α - β) \u003d

Reamintim proprietățile funcțiilor trigonometrice impar / impar:

sin (−α) \u003d - sin (α); cos (−α) \u003d cos (α); tg (−α) \u003d - tg (α).

Dintre toate funcțiile trigonometrice, doar cosinusul este o funcție echivalentă și nu își schimbă semnul atunci când schimbăm semnul argumentului (unghiul), restul funcțiilor este ciudat. Oddness-ul unei funcții înseamnă, de fapt, că semnul minus poate fi introdus și scos din semnul funcției. Prin urmare, dacă întâlniți o expresie trigonometrică cu o diferență de două unghiuri, o puteți înțelege întotdeauna ca suma unghiurilor pozitive și negative.

De exemplu păcat x   - 30º) \u003d păcat ( x   + (−30º)).
  În continuare, folosim formula pentru suma a două unghiuri și tratăm semnele:
păcat x   + (−30º)) \u003d păcat xCos (−30º) + cos xPăcat (−30º) \u003d
\u003d păcat xCos30º - cos x· Sin30º.

Astfel, toate formulele care conțin diferența de unghi pot fi ignorate pur și simplu în timpul primei memorizări. Apoi, merită să învățați să le restabiliți în formă generală, mai întâi pe un draft și apoi mental.

De exemplu, tg (α - β) \u003d tg (α + (−β)) \u003d   tgα + tg (−β) ___________ 1 - tgαtg (−β) =   tgα - tgβ _________ 1 + tgα · tgβ.

Acest lucru va ajuta în viitor să ghicească rapid ce transformări trebuie aplicate pentru a rezolva o anumită problemă din trigonometrie.

W grup. Formule de argumente multiple

sin2α \u003d 2 sinα cosα;

cos2α \u003d cos 2 α - sin 2 α;

tg2α \u003d   2tgα _______ 1 - tg 2 α;

sin3α \u003d 3sinα - 4sin 3 α;

cos3α \u003d 4cos 3 α - 3cosα.

Nevoia de a utiliza formule pentru sinusul și cosinusul cu un unghi dublu apare foarte des, pentru tangentă, de asemenea, nu este neobișnuit. Aceste formule trebuie cunoscute de inimă. Mai mult decât atât, nu există dificultăți în memorarea lor. În primul rând, formulele sunt scurte. În al doilea rând, ele sunt ușor controlate de formulele grupului precedent, bazate pe faptul că 2α \u003d α + α.
De exemplu:
  sin (α + β) \u003d sinα · cosβ + cosα · sinβ;
  sin (α + α) \u003d sinα · cosα + cosα · sinα;
  sin2α \u003d 2sinα cosα.

Cu toate acestea, dacă ați învățat rapid aceste formule, și nu pe cele anterioare, atunci puteți face opusul: puteți aminti formula pentru suma a două unghiuri folosind formula corespunzătoare pentru un unghi dublu.

De exemplu, dacă aveți nevoie de o formulă cosinică pentru suma a două unghiuri:
  1) reamintiti formula pentru cosinusul unui unghi dublu: cos2 x   \u003d cos 2 x   - păcat 2 x;
  2) o vopsim lung: cos ( x + x) \u003d cos x· cos x   - păcat x· păcat x;
  3) înlocuiți unul x   pe α, a doua pe β: cos (α + β) \u003d cosα · cosβ - sinα · sinβ.

De asemenea, exersați restaurarea formulelor pentru sinusul sumei și tangența sumei. În cazuri critice, cum ar fi de exemplu USE, verificați acuratețea formulelor restabilite în funcție de primul trimestru cunoscut: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

Verificarea formulei anterioare (obținută prin înlocuire la linia 3):
  lasa α \u003d 60 °, β \u003d 30 °, α + β \u003d 90 °,
atunci cos (α + β) \u003d cos90 ° \u003d 0, cosα \u003d cos60 ° \u003d 1/2, cosβ \u003d cos30 ° \u003d √3 _ / 2, sinα \u003d sin60 ° \u003d √3 _ / 2, sinβ \u003d sin30 ° \u003d 1/2;
  înlocuim valorile din formula: 0 \u003d (1/2) · ( √3_ /2) − (√3_ / 2) · (1/2);
0 ≡ 0, nu au fost găsite erori.

În opinia mea, formulele pentru triplul unghi nu trebuie să se „înghesuie” în mod specific. Sunt destul de rare la examene, cum ar fi examenul. Ele sunt ușor derivate din formulele care au fost mai mari, deoarece sin3α \u003d sin (2α + α). Și pentru acei studenți care, din anumite motive, încă mai trebuie să învețe aceste formule din inimă, vă sfătuiesc să acordați atenție anumitor „simetrii” și să vă amintiți nu de formulele în sine, ci de regulile mnemonice. De exemplu, ordinea în care numerele sunt situate în două formule "33433433" etc.

Grupul IV. Suma / diferența - pe produs

sinα + sinβ \u003d 2 α + β ____ 2· cos α - β ____ 2 ;

sinα - sinβ \u003d 2 α - β ____ 2· cos α + β ____ 2 ;

cosα + cosβ \u003d 2 α + β ____ 2· cos α - β ____ 2 ;

cosα - cosβ \u003d −2 păcat α - β ____ 2· păcat α + β ____ 2 ;

tgα + tgβ \u003d păcat (α + β) ________ cosα cosβ ;

tgα - tgβ \u003d păcat (α - β) ________ cosα .

Utilizarea proprietăților ciudate ale funcțiilor sinusoidale și tangente: sin (−α) \u003d - sin (α); tg (−α) \u003d - tg (α),
  este posibil să se reducă formulele pentru diferențele a două funcții la formulele pentru sumele lor. De exemplu

sin90º - sin30º \u003d sin90º + sin (−30º) \u003d 2 90º + (−30º) __________ 2· cos 90º - (−30º) __________ 2 =

2 · sin30º · cos60º \u003d 2 · (1/2) · (1/2) \u003d 1/2.

Astfel, formulele diferenței de păcate și tangențe nu trebuie să memoreze imediat.
  Suma și diferența cosinusilor este mai complicată. Aceste formule nu sunt schimbabile. Dar apoi din nou, folosind paritatea cosinului, puteți să vă amintiți următoarele reguli.

Suma cosα + cosβ nu își poate schimba semnul în nicio modificare a semnelor unghiurilor, de aceea produsul ar trebui să fie format și din funcții uniforme, adică. două cosinusuri.

Semnul diferenței cosα - cosβ depinde de valorile funcțiilor în sine, deci semnul produsului trebuie să depindă de raportul unghiurilor, de aceea produsul ar trebui să fie format din funcții impare, adică. doi sinari.

Cu toate acestea, acest grup de formule nu este cel mai ușor de reținut. Acesta este cazul când este mai bine să înghesuiți mai puțin, dar să verificați mai multe. Pentru a preveni greșelile din formula din examenul responsabil, asigurați-vă că scrieți-o mai întâi într-un proiect și verificați în două moduri. Mai întâi, substituțiile β \u003d α și β \u003d −α, apoi din valorile cunoscute ale funcțiilor pentru unghiuri simple. Pentru a face acest lucru, este mai bine să luați 90 ° și 30º, așa cum s-a făcut în exemplul de mai sus, deoarece jumătatea sumei și jumătatea diferenței acestor valori dau din nou unghiuri simple și puteți vedea cu ușurință cum egalitatea devine o identitate pentru opțiunea corectă. Sau, dimpotrivă, nu este executat dacă ați făcut o greșeală.

exempluverifică formula cosα - cosβ \u003d 2 α - β ____ 2· păcat α + β ____ 2   pentru diferența de cosinuri cu o eroare !

1) Fie β \u003d α, apoi cosα - cosα \u003d 2 α - α _____ 2· păcat α + α _____ 2   \u003d 2sin0; sinα \u003d 0; sinα \u003d 0. cosα - cosα ≡ 0.

2) Fie β \u003d - α, apoi cosα - cos (- α) \u003d 2 α - (−α) _______ 2· păcat α + (−α) _______ 2   \u003d 2sinα sin0 \u003d 0 sinα \u003d 0. cosα - cos (- α) \u003d cosα - cosα ≡ 0.

Aceste verificări au arătat că funcțiile din formulă au fost utilizate corect, dar datorită faptului că identitatea s-a dovedit a fi 0 ≡ 0, a putut fi ratată o eroare cu un semn sau un coeficient. Facem a treia verificare.

3) Fie α \u003d 90º, β \u003d 30º, apoi cos90º - cos30º \u003d 2 · sin 90º - 30º ________ 2· păcat 90º + 30º ________ 2   \u003d 2sin30º sin60º \u003d 2 · (1/2) · (√3 _ /2) = √3_ /2.

cos90 - cos30 \u003d 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.

Greșeala a fost cu adevărat în semn și numai în semn înainte de lucrare.

Grupul V Produs - în cantitate / diferență

sinα sin sin \u003d 1 _ 2 (Cos (α - β) - cos (α + β));

cosα cosβ \u003d 1 _ 2 (Cos (α - β) + cos (α + β));

sinα cosβ \u003d 1 _ 2 (Sin (α - β) + sin (α + β)).

Însuși numele celui de-al cincilea grup de formule sugerează că aceste formule sunt invers grupului anterior. Este clar că în acest caz este mai ușor să restabiliți formula pe schiță decât să o înveți din nou, crescând riscul de a crea o „mizerie în cap”. Singurele lucruri pe care are sens să se concentreze pentru o recuperare mai rapidă a formulei sunt următoarele egalități (verificați-le):

α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2.

lua în considerare exemplu:   nevoie pentru a converti produsul sin5 x· COS3 x   în suma a două funcții trigonometrice.
Întrucât lucrarea include atât sinusul, cât și cosinusul, preluăm din grupul anterior formula pentru suma sinelor pe care le-am învățat deja și o scriem într-un draft.

sinα + sinβ \u003d 2 α + β ____ 2· cos α - β ____ 2

Fie 5 x = α + β ____ 2   și 3 x = α - β ____ 2   atunci α \u003d α + β ____ 2 + α - β ____ 2 = 5x + 3x = 8x, β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2 = 5x − 3x = 2x.

Înlocuim în formula de pe schița valorile unghiurilor exprimate în termenii variabilelor α și β cu valorile unghiurilor exprimate în termeni de variabilă x.
  obținem sin8 x   + sin2 x   \u003d 2 sin5 x· COS3 x

Împărțiți ambele părți ale soluției la 2 și scrieți-le pe curățător de la dreapta la stânga sin5 x· COS3 x = 1 _ 2   (sin8 x   + sin2 x).   Răspunsul este gata.

Ca exercițiu:   Explicați de ce în manualul de formule pentru conversia unei sume / diferențe la un produs de 6 și invers (pentru a converti un produs în sumă sau diferență) - doar 3?

Grupul VI. Formule de downgrade

cos 2 α \u003d 1 + cos2α _________ 2;

sin 2 α \u003d 1 - cos2α _________ 2;

cos 3 α \u003d 3cosα + cos3α ____________ 4;

sin 3 α \u003d 3sinα - sin3α ____________ 4.

Primele două formule ale acestui grup sunt foarte necesare. Ele sunt adesea utilizate în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, inclusiv nivelul unui singur examen, precum și în calcularea integrelor care conțin integranțe de tip trigonometric.

Este posibil să fie mai ușor să le amintiți în următoarea formă „cu o singură poveste”
2cos 2 α \u003d 1 + cos2α;
2 sin 2 α \u003d 1 - cos2α,
  și puteți împărți întotdeauna cu 2 în minte sau pe un schiță.

Nevoia de a utiliza următoarele două formule (cu cuburi de funcții) la examene este mult mai puțin frecventă. Într-o altă setare, veți avea întotdeauna timp să utilizați schița. Sunt posibile următoarele opțiuni:
  1) Dacă vă amintiți ultimele două formule ale grupului III, atunci utilizați-le pentru a exprima sin 3 α și cos 3 α prin transformări simple.
  2) Dacă în ultimele două formule ale acestui grup observați elemente de simetrie care contribuie la memorarea lor, atunci scrieți „schițele” formulelor într-un proiect și verificați-le cu valorile unghiurilor principale.
  3) Dacă, pe lângă faptul că există astfel de formule pentru scăderea gradului, nu știți nimic despre ele, atunci rezolvați problema în etape, pornind de la faptul că sin 3 α \u003d sin 2 α · sinα și alte formule învățate. Veți avea nevoie de o formulă de reducere a gradului pentru un pătrat și o formulă pentru a converti un produs într-o sumă.

Grupul VII. Jumătate argument

păcat α _ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 2;_____

cos α _ 2 = ± √ 1 + cosα ________ 2;_____

tg α _ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 1 + cosα._____

Nu văd niciun motiv în memorarea acestui grup de formule sub forma în care sunt prezentate în manuale și cărți de referință. Dacă înțelegeți asta α este jumătate din 2α,   atunci acest lucru este suficient pentru a deduce rapid formula dorită pentru jumătatea argumentului, pe baza primelor două formule pentru scăderea gradului.

Acest lucru se aplică, de asemenea, tangentei cu jumătate de unghi, a cărei formulă este obținută prin împărțirea expresiei pentru sine la expresia corespunzătoare pentru cosinus.

Nu uitați să puneți un semn doar atunci când extrageți rădăcina pătrată ± .

Grupa VIII. Căutare universală

sinα \u003d   2tg (α / 2) _________ 1 + tg 2 (α / 2);

cosα \u003d 1 - tg 2 (α / 2) __________ 1 + tg 2 (α / 2);

tgα \u003d   2tg (α / 2) _________ 1 - tg 2 (α / 2).

Aceste formule pot fi extrem de utile pentru rezolvarea problemelor trigonometrice de tot felul. Acestea vă permit să implementați principiul „un argument - o singură funcție”, care vă permite să faceți modificări variabile care reduc expresiile trigonometrice complexe la cele algebrice. Nu este de mirare că această substituție se numește universal.
Primele două formule sunt necesare. A treia poate fi obținută prin împărțirea primelor două una de cealaltă prin definiția tangentei tgα \u003d sinα ___ cosα

Grupul IX. Formule de turnare

  Pentru a face față acestui grup de formule trigonometrice, treceți

Grupul X Valori pentru unghiurile principale.

  Sunt date valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile principale ale primului trimestru

Așa, facem concluzie: Formulele trigonometriei trebuie cunoscute. Cu cât mai mult, cu atât mai bine. Dar ce să-ți dedici timpul și efortul în memorarea formulelor sau refacerea lor în procesul de soluționare a problemelor, fiecare trebuie să decidă pentru sine.

Un exemplu de sarcină a utilizării formulelor de trigonometrie

  Rezolvați ecuația sin5 x· COS3 x   - păcat8 x· cos6 x = 0.

Avem două funcții diferite sin () și cos () și patru! argument diferit 5 x, 3x, 8x   și 6 x. Fără transformări preliminare, nu se va putea reduce la cele mai simple tipuri de ecuații trigonometrice. Prin urmare, încercăm mai întâi să înlocuim produsul cu suma sau diferența funcțiilor.
  O facem la fel ca în exemplul de mai sus (vezi secțiunea).

păcatul (5 x + 3x) + păcat (5 x − 3x) \u003d 2 sin5 x· COS3 x
  sin8 x   + sin2 x   \u003d 2 sin5 x· COS3 x

păcatul (8 x + 6x) + păcat (8 x − 6x) \u003d 2 sin8 x· cos6 x
  sin14 x   + sin2 x   \u003d 2 x· cos6 x

Exprimând produsul din aceste egalități, le înlocuim în ecuație. Obținem:

(sin8 x   + sin2 x) / 2 - (sin14 x   + sin2 x)/2 = 0.

Înmulțim ambele părți ale ecuației cu 2, deschidem parantezele și dăm termeni similari

Sin8 x   + sin2 x   - păcat14 x   - sin2 x = 0;
  sin8 x   - păcat14 x = 0.

Ecuația este mult simplificată, dar rezolvați-o atât de sin8 x   \u003d sin14 xprin urmare 8 x = 14x   + T, unde T este perioada, este incorectă, deoarece nu știm semnificația acestei perioade. Prin urmare, profităm de faptul că pe partea dreaptă a egalității este 0, cu care este ușor să compari factori în orice expresie.
  Pentru a descompune păcatul8 x   - păcat14 x   la factori, trebuie să treceți de la diferență la produs. Pentru a face acest lucru, puteți utiliza formula pentru diferența dintre sinusuri, sau din nou pentru formula sinelor și a ciudății funcției sinusoidale (a se vedea exemplul din secțiune).

sin8 x   - păcat14 x   \u003d sin8 x   + păcat (−14 x) \u003d 2 8x + (−14x) __________ 2 · cos 8x − (−14x) __________ 2   \u003d păcat (−3 x) Cos11 x   \u003d −sin3 x· cos11 x.

Deci ecuația este sin8 x   - păcat14 x   \u003d 0 este echivalent cu ecuația sin3 x· cos11 x   \u003d 0, care, la rândul său, este echivalent cu combinația a două ecuații simple sin3 x   \u003d 0 și cos11 x   \u003d 0. Rezolvând acestea din urmă, obținem două serii de răspunsuri
x   1 \u003d π n/3, nεZ
x   2 \u003d π / 22 + π k/11, kεZ

Dacă găsiți o greșeală sau o eroare de scris în text, vă rugăm să o raportați la adresa de e-mail [email protected]. Aș fi foarte recunoscător.

Atenție © mathematichka. Copierea directă a materialelor pe alte site-uri este interzisă. Pune link-uri.

Conceptele de sine, cosinus, tangent și cotangent sunt principalele categorii de trigonometrie - o ramură a matematicii și sunt legate inextricabil cu definiția unghiului. Stăpânirea acestei științe matematice necesită memorarea și înțelegerea formulelor și teoremelor, precum și gândirea spațială dezvoltată. Din acest motiv, pentru școlari și elevi, calculele trigonometrice cauzează adesea dificultăți. Pentru a le depăși, ar trebui să vă familiarizați cu funcțiile și formulele trigonometrice.

Concepte în trigonometrie

Pentru a înțelege conceptele de bază ale trigonometriei, trebuie mai întâi să decideți ce este un triunghi drept și un unghi într-un cerc și de ce toate asociațiile de bază sunt asociate cu acestea. Un triunghi în care unul dintre unghiuri are o magnitudine de 90 de grade este dreptunghiular. Istoric, această figură a fost adesea folosită de oameni în arhitectură, navigație, artă, astronomie. În consecință, studiind și analizând proprietățile acestei cifre, oamenii au ajuns la calculul raporturilor corespunzătoare ale parametrilor săi.

Principalele categorii asociate triunghiurilor drepte sunt hipotenuză și catete. Hipotenuză - latura unui triunghi întins pe un unghi drept. Picioarele, respectiv, sunt celelalte două părți. Suma unghiurilor oricărui triunghi este întotdeauna de 180 de grade.

Trigonometria sferică este o ramură a trigonometriei care nu este studiată la școală, dar în științele aplicate precum astronomia și geodezia, oamenii de știință o folosesc. Particularitatea unui triunghi în trigonometria sferică este aceea că are întotdeauna o sumă de unghiuri de peste 180 de grade.

Unghiuri triunghi

Într-un triunghi unghi drept, sinusul unghiului este raportul dintre picior, opus unghiului dorit, și ipotenuză a triunghiului. În consecință, cosinusul este raportul dintre catetul și hipotenuză adiacente. Ambele valori au întotdeauna o valoare mai mică decât unitatea, deoarece hipotenuză este întotdeauna mai lungă decât piciorul.

Tangenta unui unghi este o valoare egală cu raportul dintre piciorul opus și piciorul adiacent al unghiului dorit sau sinusul cu cosinul. La rândul său, Cotangent este raportul dintre piciorul adiacent al unghiului dorit și piciorul opus. Cotangentul unui unghi poate fi obținut de asemenea prin divizarea unității la valoarea tangentă.

Cerc unitar

Un cerc unitar în geometrie este un cerc a cărui rază este unitatea. Un astfel de cerc este construit într-un sistem de coordonate carteziene, în timp ce centrul cercului coincide cu originea, iar poziția inițială a vectorului de rază este determinată de direcția pozitivă a axei X (axa abscisă). Fiecare punct al cercului are două coordonate: XX și YY, adică coordonatele absciselor și ordonatelor. Selectând orice punct al cercului în planul XX și scăzând perpendicular pe abscisa din acesta, obținem un triunghi drept format de raza până la punctul selectat (notat cu litera C), perpendicular desenat pe axa X (punctul de intersecție este notat cu litera G), iar segmentul axa abscisă între origine (punctul este notat cu litera A) și punctul de intersecție G. Triunghiul ACG rezultat este un triunghi dreptunghiular înscris într-un cerc, unde AG este hipotenuză, iar AC și GC sunt picioarele. Unghiul dintre raza cercului AC și segmentul axei de abscisă cu denumirea AG, este definit ca α (alfa). Deci, cos α \u003d AG / AC. Având în vedere că AS este raza cercului unitar și este egală cu unitatea, se dovedește că cos α \u003d AG. În mod similar, sin α \u003d CG.

În plus, cunoscând aceste date, este posibil să se determine coordonata punctului C de pe cerc, deoarece cos α \u003d AG și sin α \u003d CG, ceea ce înseamnă că punctul C are coordonatele date (cos α; sin α). Știind că tangenta este egală cu raportul dintre sinus și cosinus, putem determina că tan α \u003d y / x și ctan α \u003d x / y. Având în vedere unghiurile dintr-un sistem de coordonate negative, se poate calcula că valorile sinusului și cosinusului unor unghiuri pot fi negative.

Calcule și formule de bază

Valorile funcțiilor trigonometrice

După ce am examinat esența funcțiilor trigonometrice printr-un cerc unitar, putem deduce valorile acestor funcții pentru unele unghiuri. Valorile sunt listate în tabelul de mai jos.

Cele mai simple identități trigonometrice

Ecuațiile în care o valoare necunoscută este prezentă sub semnul unei funcții trigonometrice se numesc trigonometrice. Identitățile cu valoarea sin x \u003d α, k sunt orice număr întreg:

1. sin x \u003d 0, x \u003d πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x \u003d a, | a | \u003e 1, fără soluții.
5. sin x \u003d a, | a | ≦ 1, x \u003d (-1) ^ k * arcsin α + πk.

Identități cu cos x \u003d a, unde k este orice număr întreg:

1. cos x \u003d 0, x \u003d π / 2 + πk.
2. cos x \u003d 1, x \u003d 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x \u003d a, | a | \u003e 1, fără soluții.
5. cos x \u003d a, | a | ≦ 1, x \u003d ± arccos α + 2πk.

Identități cu valoarea tan x \u003d a, unde k este orice număr întreg:

1. tg x \u003d 0, x \u003d π / 2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctan α + πk.

Identități cu valoarea ctg x \u003d a, unde k este orice număr întreg:

1. ctg x \u003d 0, x \u003d π / 2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Formule de turnare

Această categorie de formule constante indică metode cu care puteți trece de la funcțiile trigonometrice ale formei la funcțiile argumentului, adică aduceți sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentul unui unghi cu orice valoare la indicatorii unghiului de intervale corespunzători de la 0 la 90 de grade pentru o mai mare comoditate a calculelor.

Formulele de reducere a funcției pentru sinusul unghiului sunt următoarele:

• păcat (900 - α) \u003d α;
• sin (900 + α) \u003d cos α;
• păcat (1800 - α) \u003d sin α;
• sin (1800 + α) \u003d -sin α;
• sin (2700 - α) \u003d -cos α;
• sin (2700 + α) \u003d -cos α;
• sin (3600 - α) \u003d -sin α;
• sin (3600 + α) \u003d sin α.

Pentru cosinusul unui unghi:

• cos (900 - α) \u003d sin α;
• cos (900 + α) \u003d -sin α;
• cos (1800 - α) \u003d -cos α;
• cos (1800 + α) \u003d -cos α;
• cos (2700 - α) \u003d -sin α;
• cos (2700 + α) \u003d sin α;
• cos (3600 - α) \u003d cos α;
• cos (3600 + α) \u003d cos α.

Utilizarea formulelor de mai sus este posibilă sub rezerva a două reguli. În primul rând, dacă unghiul poate fi reprezentat ca valoare (π / 2 ± a) sau (3π / 2 ± a), valoarea funcției se modifică:

• de la păcat la cos;
• de la cos la păcat;
• de la tg la ctg;
• de la ctg la tg.

Valoarea funcției rămâne neschimbată dacă unghiul poate fi reprezentat ca (π ± a) sau (2π ± a).

În al doilea rând, semnul funcției date nu se schimbă: dacă inițial a fost pozitiv, rămâne așa. În mod similar cu funcțiile negative.

Formule de adăugare

Aceste formule exprimă valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentului sumei și diferenței a două unghiuri de rotație prin funcțiile lor trigonometrice. De obicei, unghiurile sunt notate ca α și β.

Formulele sunt următoarele:

1. sin (α ± β) \u003d sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos (α ± β) \u003d cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tg (α ± β) \u003d (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg (α ± β) \u003d (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Aceste formule sunt valabile pentru orice unghi α și β.

Formule cu unghi dublu și triplu

Formulele trigonometrice ale unghiurilor duble și triple sunt formule care raportează funcțiile unghiurilor 2α și, respectiv, 3α, cu funcțiile trigonometrice ale unghiului α. Derivat din formulele de adăugare:

1. sin2α \u003d 2sinα * cosα.
2. cos2α \u003d 1 - 2sin ^ 2 α.
3. tg2α \u003d 2tgα / (1 - tg ^ 2 α).
4. sin3α \u003d 3sinα - 4sin ^ 3 α.
5. cos3α \u003d 4cos ^ 3 α - 3cosα.
6. tg3α \u003d (3tgα - tg ^ 3 α) / (1-tg ^ 2 α).

Tranziția de la cantitate la produs

Având în vedere că 2sinx * confortabil \u003d sin (x + y) + sin (x-y), simplificând această formulă, obținem identitatea sinα + sinβ \u003d 2sin (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2. În mod similar, sinα - sinβ \u003d 2sin (α - β) / 2 * cos (α + β) / 2; cosα + cosβ \u003d 2cos (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2; cosα - cosβ \u003d 2sin (α + β) / 2 * sin (α - β) / 2; tanα + tanβ \u003d sin (α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ \u003d sin (α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα \u003d √2sin (π / 4 ∓ α) \u003d √2cos (π / 4 ± α).

Trecerea de la o lucrare la o sumă

Aceste formule provin din identitățile tranziției unei sume într-un produs:

• sinα * sinβ \u003d 1/2 *;
• cosα * cosβ \u003d 1/2 *;
• sinα * cosβ \u003d 1/2 *.

Formule de downgrade

În aceste identități, gradele pătrate și cubice ale sinusului și cosinusului pot fi exprimate în termenii sinusului și cosinului din primul grad al unghiului multiplu:

• sin ^ 2 α \u003d (1 - cos2α) / 2;
• cos ^ 2 α \u003d (1 + cos2α) / 2;
• sin ^ 3 α \u003d (3 * sinα - sin3α) / 4;
• cos ^ 3 α \u003d (3 * cosα + cos3α) / 4;
• sin ^ 4 α \u003d (3 - 4cos2α + cos4α) / 8;
• cos ^ 4 α \u003d (3 + 4cos2α + cos4α) / 8.

Căutare universală

Formulele de substituție trigonometrice universale exprimă funcții trigonometrice în termenii tangenței cu unghi unghi.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), în timp ce x \u003d π + 2πn;
• cos x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (1 + tg ^ 2 x / 2), unde x \u003d π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), unde x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), în timp ce x \u003d π + 2πn.

Cazuri speciale

Cazurile speciale ale celor mai simple ecuații trigonometrice sunt prezentate mai jos (k este orice număr întreg).

Privat pentru sine:

Valoarea sin x	Valoarea X
0	πk
1	π / 2 + 2πk
-1	-π / 2 + 2πk
1/2	π / 6 + 2πk sau 5π / 6 + 2πk
-1/2	-π / 6 + 2πk sau -5π / 6 + 2πk
√2/2	π / 4 + 2πk sau 3π / 4 + 2πk
-√2/2	-π / 4 + 2πk sau -3π / 4 + 2πk
√3/2	π / 3 + 2πk sau 2π / 3 + 2πk
-√3/2	-π / 3 + 2πk sau -2π / 3 + 2πk

Privat pentru cosinus:

Valoarea Cos x	Valoarea X
0	π / 2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	± π / 3 + 2πk
-1/2	± 2π / 3 + 2πk
√2/2	± π / 4 + 2πk
-√2/2	± 3π / 4 + 2πk
√3/2	± π / 6 + 2πk
-√3/2	± 5π / 6 + 2πk

Privat pentru tangent:

Valoarea Tg x	Valoarea X
0	πk
1	π / 4 + πk
-1	-π / 4 + πk
√3/3	π / 6 + πk
-√3/3	-π / 6 + πk
√3	π / 3 + πk
-√3	-π / 3 + πk

Privat pentru cotangent:

Ctg x valoarea	Valoarea X
0	π / 2 + πk
1	π / 4 + πk
-1	-π / 4 + πk
√3	π / 6 + πk
-√3	-π / 3 + πk
√3/3	π / 3 + πk
-√3/3	-π / 3 + πk

teoremă

Teorema sinusului

Există două versiuni ale teoremei - simplă și extinsă. O teoremă sinusoidală simplă: a / sin α \u003d b / sin β \u003d c / sin γ. Mai mult, a, b, c sunt laturile triunghiului, iar α, β, γ sunt unghiurile opuse, respectiv.

Teorema sinusurilor extinse pentru un triunghi arbitrar: a / sin α \u003d b / sin β \u003d c / sin γ \u003d 2R. În această identitate, R denumește raza cercului în care este înscris triunghiul dat.

Teorema cosinusului

Identitatea este afișată după cum urmează: a ^ 2 \u003d b ^ 2 + c ^ 2 - 2 * b * c * cos α. În formula a, b, c sunt laturile triunghiului și α este unghiul opus față de latura a.

Teorema tangentelor

Formula exprimă relația dintre tangențele a două unghiuri și lungimea laturilor opuse. Lățile sunt desemnate ca a, b, c și unghiurile opuse corespunzătoare sunt α, β, γ. Formula teoremei tangente este: (a - b) / (a \u200b\u200b+ b) \u003d tg ((α - β) / 2) / tg ((α + β) / 2).

Teorema Cotangentului

Asociază raza unui cerc înscris într-un triunghi cu lungimea laturilor sale. Dacă a, b, c sunt laturile triunghiului, respectiv A, B, C, unghiurile opuse față de ele, r este raza cercului înscris, iar p este semiperimetrul triunghiului, sunt valabile următoarele identități:

• ctg A / 2 \u003d (p-a) / r;
• ctg B / 2 \u003d (p-b) / r;
• ctg C / 2 \u003d (p-c) / r.

cererile de

Trigonometria nu este doar o știință teoretică legată de formule matematice. Proprietățile, teoremele și regulile sale sunt utilizate în practică de diverse ramuri ale activității umane - astronomie, navigație aeriană și pe mare, teoria muzicii, geodezie, chimie, acustică, optică, electronică, arhitectură, economie, inginerie mecanică, lucrări de măsurare, grafică computerizată, cartografie, oceanografie, și multe altele.

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentul sunt conceptele de bază ale trigonometriei, cu ajutorul cărora din punct de vedere matematic este posibilă exprimarea relației dintre unghiurile și lungimile laturilor într-un triunghi și găsirea valorilor dorite prin identități, teoreme și reguli.