Înainte de apariția calculatoarelor, elevii și profesorii obișnuiau să calculeze rădăcinile pătrate manual. Există mai multe moduri de a calcula manual rădăcina pătrată a unui număr. Unele dintre ele oferă doar o soluție aproximativă, altele oferă un răspuns precis.

Pași

factorizare primara

Factorizați numărul radical care este pătrat. În funcție de numărul rădăcinii, veți obține un răspuns aproximativ sau exact. Numerele pătrate sunt numere din care poate fi extras un număr întreg rădăcină pătrată... Multiplicatorii sunt numere care, atunci când sunt multiplicate, dau numărul original. De exemplu, factorii 8 sunt 2 și 4, deoarece 2 x 4 \u003d 8, 25, 36, 49 sunt numere pătrate, deoarece √25 \u003d 5, √36 \u003d 6, √49 \u003d 7. Factorii pătrati sunt factori care sunt numere pătrate. Mai întâi, încercați să păstrați numărul rădăcinii.

• De exemplu, calculați rădăcina pătrată a 400 (manual). Încercați mai întâi să păstrați 400. 400 este multiplu de 100, adică divizibil cu 25 - acesta este un număr pătrat. Dacă împărțiți 400 la 25, obțineți 16. 16 este, de asemenea, un număr pătrat. Astfel, 400 pot fi contorizați în factori pătrați de 25 și 16, adică 25 x 16 \u003d 400.
• Poate fi scris astfel: √400 \u003d √ (25 x 16).

1. Rădăcina pătrată a produsului pentru unii termeni este egală cu produsul rădăcini pătrate din fiecare termen, adică √ (a x b) \u003d √a x √b. Folosiți această regulă și luați rădăcina pătrată a fiecărui factor pătrat și înmulțiți rezultatele pentru a găsi răspunsul dvs.

   • În exemplul nostru, extrageți rădăcina lui 25 și 16.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 \u003d 20

2. Dacă numărul radical nu se descompune în doi factori pătrați (și acest lucru se întâmplă în majoritatea cazurilor), nu veți putea găsi răspunsul exact sub forma unui număr întreg. Dar puteți simplifica problema prin contorizarea rădăcinii numărului într-un factor pătrat și un factor obișnuit (un număr din care nu poate fi extrasă întreaga rădăcină pătrată). Apoi veți lua rădăcina pătrată a factorului pătrat și veți lua rădăcina factorului obișnuit.

   • De exemplu, calculați rădăcina pătrată a numărului 147. Numărul 147 nu poate fi descompus în doi factori pătrați, dar poate fi descompus în următorii factori: 49 și 3. Rezolvați problema după cum urmează:
     • \u003d √ (49 x 3)
     • \u003d √49 x √3
     • = 7√3

3. Dacă este necesar, evaluați valoarea rădăcinii. Acum puteți estima valoarea rădăcinii (găsiți o valoare aproximativă) comparând-o cu valorile rădăcinilor numerelor pătrate care sunt cele mai apropiate (pe ambele părți de pe linia numerică) de numărul rădăcinii. Veți obține valoarea rădăcinii ca o fracție zecimală, care trebuie înmulțită cu numărul din spatele semnului rădăcină.

   • Să ne întoarcem la exemplul nostru. Numărul radical 3. Cele mai apropiate numere pătrate de acesta vor fi numerele 1 (√1 \u003d 1) și 4 (√4 \u003d 2). Deci √3 este între 1 și 2. Deoarece √3 este probabil mai aproape de 2 decât 1, estimarea noastră este √3 \u003d 1.7. Înmulțim această valoare cu numărul de la semnul rădăcină: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Dacă faceți calculele pe un calculator, veți obține 12,13, ceea ce este aproape de răspunsul nostru.
     • Această metodă funcționează și cu un număr mare. De exemplu, ia în considerare √35. Numărul rădăcinii este 35. Cele mai apropiate numere pătrate de acesta sunt 25 (√25 \u003d 5) și 36 (√36 \u003d 6). Deci √35 este între 5 și 6. Deoarece √35 este mult mai aproape de 6 decât de 5 (deoarece 35 este doar 1 mai mic decât 36), putem spune că √35 este puțin mai mic decât 6. Verificarea cu un calculator ne dă un răspuns de 5,92 - am avut dreptate.

4. O altă modalitate este descompuneți numărul radical în factori primi . Factorii primi sunt numere care sunt divizibile numai cu 1 și ei înșiși. Scrieți factorii primi la rând și găsiți perechi de aceiași factori. Astfel de factori pot fi luați în afara semnului rădăcină.

   • De exemplu, calculați rădăcina pătrată a lui 45. Descompunem numărul radical în factori primi: 45 \u003d 9 x 5 și 9 \u003d 3 x 3. Astfel, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 poate fi luat în afara semnului rădăcină: √45 \u003d 3√5. Acum puteți estima √5.
   • Luați în considerare un alt exemplu: √88.
     • \u003d √ (2 x 44)
     • \u003d √ (2 x 4 x 11)
     • \u003d √ (2 x 2 x 2 x 11). Ai trei multiplicatori de 2; ia câteva dintre ele și plasează-le în afara semnului rădăcină.
     • \u003d 2√ (2 x 11) \u003d 2√2 x √11. Acum puteți evalua √2 și √11 și puteți găsi un răspuns dur.

   Calculul rădăcinii pătrate manual

   Diviziune lungă

   1. Această metodă implică un proces similar divizării lungi și oferă răspunsul exact. Mai întâi, trageți o linie verticală împărțind foaia în două jumătăți, apoi trageți o linie orizontală la dreapta și ușor sub marginea superioară a foii la linia verticală. Acum împărțiți numărul radicalizat în perechi de numere, începând cu partea fracțională după punctul zecimal. Deci, numărul 79520789182.47897 este scris ca „7 95 20 78 91 82, 47 89 70”.

      • De exemplu, să calculăm rădăcina pătrată a 780.14. Desenați două linii (așa cum se arată în imagine) și în partea stângă sus scrieți numărul dat ca „7 80, 14”. Este normal ca prima cifră din stânga să fie o cifră nepereche. Răspunsul (rădăcina numărului dat) va fi scris în dreapta sus.

   2. Pentru prima pereche de numere (sau un număr) din stânga, găsiți cel mai mare număr întreg al cărui pătrat este mai mic sau egal cu perechea de numere (sau un număr) în cauză. Cu alte cuvinte, găsiți numărul pătrat care este cel mai apropiat, dar mai mic decât prima pereche de numere (sau un număr) din stânga și extrageți rădăcina pătrată a acelui număr pătrat; obțineți numărul n. Scrie n găsit în dreapta sus și scrie pătratul n în dreapta jos.

      • În cazul nostru, primul număr din stânga va fi 7. În continuare, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Scade pătratul numărului n pe care tocmai l-ai găsit din prima pereche de numere din stânga (sau un număr). Notați rezultatul calculului sub scăzut (pătratul numărului n).

      • În exemplul nostru, scădeți 4 din 7 pentru a obține 3.

   4. Trageți în jos a doua pereche de numere și scrieți-o lângă valoarea obținută în pasul anterior. Apoi dublează numărul din dreapta sus și notează rezultatul din dreapta jos cu adăugarea „_ × _ \u003d”.

      • În exemplul nostru, a doua pereche de numere este „80”. Scrieți „80” după 3. Apoi, dublați numărul din dreapta sus, dă 4. Scrieți „4_ × _ \u003d” în dreapta jos.

   5. Completați cratimele din dreapta.

      • În cazul nostru, dacă în loc de liniuțe punem numărul 8, atunci 48 x 8 \u003d 384, care este mai mare de 380. Prin urmare, 8 este un număr prea mare, dar 7 o va face. Scrieți 7 în loc de liniuțe și obțineți: 47 x 7 \u003d 329. Scrieți 7 din dreapta sus - aceasta este a doua cifră în rădăcina pătrată necesară de 780.14.

   6. Scădeți numărul rezultat din numărul curent din stânga. Înregistrați rezultatul din pasul anterior sub numărul curent din stânga, găsiți diferența și notați-l sub cel scăzut.

      • În exemplul nostru, scădeți 329 din 380, adică 51.

   7. Repetați pasul 4. Dacă perechea de numere demolată este partea fracțională a numărului original, atunci puneți separatorul (virgula) părților întregi și fracționare în rădăcina pătrată dorită din dreapta sus. În stânga, trageți în jos următoarea pereche de numere. Dublați numărul din dreapta sus și scrieți rezultatul în dreapta jos cu „_ × _ \u003d” adăugat.

      • În exemplul nostru, următoarea pereche de numere care va fi demolată va fi partea fracțională a numărului 780.14, așa că puneți separatorul părților întregi și fracționare în rădăcina pătrată dorită în dreapta sus. Luați 14 și scrieți în stânga jos. Numărul dublat din dreapta sus (27) este 54, deci scrieți „54_ × _ \u003d” în dreapta jos.

   8. Repetați pașii 5 și 6. Găsiți asta cel mai mare număr în loc de liniuțe spre dreapta (în loc de liniuțe, trebuie să înlocuiți același număr) astfel încât rezultatul înmulțirii să fie mai mic sau egal cu numărul curent din stânga.

      • În exemplul nostru, 549 x 9 \u003d 4941, care este mai mic decât numărul curent din stânga (5114). Scrie 9 în dreapta sus și scade înmulțirea din numărul curent din stânga: 5114 - 4941 \u003d 173.

   9. Dacă trebuie să găsiți mai multe zecimale pentru rădăcina pătrată, scrieți câteva zerouri lângă numărul curent din stânga și repetați pașii 4, 5 și 6. Repetați pașii până când obțineți precizia dorită (numărul de zecimale).

   Înțelegerea procesului

   Pentru a stăpâni această metodă, imaginați-vă numărul a cărui rădăcină pătrată doriți să o găsiți ca aria unui pătrat S. În acest caz, veți căuta lungimea laturii L a unui astfel de pătrat. Calculăm valoarea lui L pentru care L² \u003d S.

   Dați o literă pentru fiecare cifră din răspuns. Notăm cu A prima cifră din valoarea lui L (rădăcina pătrată necesară). B va fi a doua cifră, C a treia și așa mai departe.

   Specificați o literă pentru fiecare pereche de cifre anterioare. Să notăm cu S a prima pereche de cifre din valoarea lui S, cu S b - a doua pereche de cifre și așa mai departe.

   Înțelegeți relația acestei metode cu divizarea lungă. Ca și în operația de divizare, unde de fiecare dată când suntem interesați de o singură cifră următoare din numărul care urmează să fie împărțit, atunci când calculăm rădăcina pătrată, lucrăm secvențial cu o pereche de cifre (pentru a obține o cifră următoare în valoarea rădăcinii pătrate).

   1. Luați în considerare prima pereche de cifre Sa a numărului S (Sa \u003d 7 în exemplul nostru) și găsiți rădăcina sa pătrată. În acest caz, prima cifră A a valorii necesare a rădăcinii pătrate va fi o astfel de cifră, al cărei pătrat este mai mic sau egal cu S a (adică, căutăm un A astfel încât inegalitatea A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Să presupunem că doriți să împărțiți 88962 la 7; aici primul pas va fi similar: considerăm prima cifră a numărului divizibil 88962 (8) și selectăm cel mai mare număr care, atunci când este înmulțit cu 7, dă o valoare mai mică sau egală cu 8. Adică, căutăm un număr d pentru care inegalitatea este adevărată: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

Elevii întreabă întotdeauna: „De ce nu puteți folosi un calculator la un examen de matematică? Cum se extrage rădăcina pătrată a unui număr fără un calculator? " Să încercăm să răspundem la această întrebare.

Cum puteți extrage rădăcina pătrată a unui număr fără a utiliza un calculator?

act extracția rădăcinii pătrate înapoi la acțiunea pătrată.

√81= 9 9 2 =81

Dacă luăm rădăcina pătrată a unui număr pozitiv și pătrăm rezultatul, obținem același număr.

Din numere mici care sunt pătrate perfecte numere naturale, de exemplu 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 rădăcini pătrate pot fi îndepărtate oral. De obicei, la școală predă un tabel cu pătrate cu numere naturale de până la douăzeci. Cunoscând acest tabel, este ușor să extrageți rădăcinile pătrate ale numerelor 121.144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Din numere mai mari de 400, puteți extrage rădăcinile pătrate folosind câteva indicii. Să încercăm să luăm în considerare această metodă prin exemplu.

Exemplu: Extrageți rădăcina numărului 676.

Rețineți că 20 2 \u003d 400 și 30 2 \u003d 900, ceea ce înseamnă 20< √676 < 900.

Pătratele exacte ale numerelor naturale se termină cu 0; 1; 4; cinci; 6; nouă.
Numărul 6 este dat de 4 2 și 6 2.
Deci, dacă o rădăcină este extrasă din 676, atunci este fie 24, fie 26.

Rămâne să verificăm: 24 2 \u003d 576, 26 2 \u003d 676.

Răspuns: √676 = 26 .

Inca exemplu: √6889 .

Deoarece 80 2 \u003d 6400 și 90 2 \u003d 8100, atunci 80< √6889 < 90.
Numărul 9 dă 3 2 și 7 2, apoi √6889 este fie 83, fie 87.

Verificăm: 83 2 \u003d 6889.

Răspuns: √6889 = 83 .

Dacă vi se pare greu de rezolvat prin metoda de selecție, atunci puteți factoriza expresia radicală.

De exemplu, găsiți √893025.

Factorul 893025, nu uitați că ați făcut acest lucru în clasa a șasea.

Obținem: √893025 \u003d √3 6 ∙ 5 2 ∙ 7 2 \u003d 3 3 ∙ 5 ∙ 7 \u003d 945.

Inca exemplu: √20736... Factorizați numărul 20736:

Obținem √20736 \u003d √2 8 ∙ 3 4 \u003d 2 4 ∙ 3 2 \u003d 144.

Desigur, factorizarea necesită cunoașterea criteriilor de divizibilitate și a abilităților de factorizare.

Și în cele din urmă există regula extracției rădăcinii pătrate... Să aruncăm o privire la această regulă cu exemple.

Calculați √279841.

Pentru a extrage rădăcina unui număr întreg multidigit, îl împărțim de la dreapta la stânga în fețe care conțin câte 2 cifre (poate exista o cifră în fața extremă stângă). Scriem așa 27'98'41

Pentru a obține prima cifră a rădăcinii (5), luați rădăcina pătrată a celui mai mare pătrat exact din prima parte stângă (27).
Apoi pătratul primei cifre a rădăcinii (25) este scăzut din prima fațetă și următoarea fațetă (98) este atribuită (eliminată) diferenței.
În stânga numărului rezultat 298, scrieți cifra rădăcină dublă (10), împărțiți cu ea numărul tuturor zecilor din numărul primit anterior (29/2 ≈ 2), testați coeficientul (102 ∙ 2 \u003d 204 nu trebuie să depășească 298) și scrieți (2) după prima cifră a rădăcinii.
Apoi, coeficientul obținut 204 este scăzut din 298 și următoarea fațetă (41) este atribuită (eliminată) diferenței (94).
În stânga numărului rezultat 9441, scrieți produsul dublu al cifrelor rădăcinii (52 ∙ 2 \u003d 104), împărțiți numărul tuturor zecilor din numărul 9441 (944/104 ≈ 9) la acest produs, testați coeficientul (1049 ∙ 9 \u003d 9441) ar trebui să fie 9441 și notați-l (9) după a doua cifră a rădăcinii.

Răspunsul a fost √279841 \u003d 529.

În mod similar extrageți rădăcini zecimale... Doar numărul radical trebuie împărțit în fețe, astfel încât virgula să fie între fețe.

Exemplu. Găsiți valoarea √0.00956484.

Amintiți-vă că dacă zecimal Are numar impar zecimale, rădăcina pătrată exactă nu este extrasă din ea.

Deci, acum sunteți familiarizați cu trei moduri de a extrage rădăcina. Alegeți-l pe cel care vi se potrivește cel mai bine și exersați. Pentru a învăța cum să rezolvați problemele, trebuie să le rezolvați. Și dacă aveți întrebări, înscrieți-vă la lecțiile mele.

site-ul, cu copierea completă sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

Formule de rădăcină. Proprietățile rădăcinilor pătrate.

Atenţie!
Există și alte
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care nu sunt „foarte ...”
Și pentru cei care „foarte mult ...”)

În lecția anterioară, ne-am dat seama ce este o rădăcină pătrată. Este timpul să ne dăm seama care dintre ele există formule de rădăcinăce sunt proprietățile rădăcinii, și ce poți face cu toate acestea.

Formule de rădăcină, proprietăți de rădăcină și reguli pentru acțiuni cu rădăcini sunt, în esență, același lucru. Există surprinzător de puține formule pentru rădăcini pătrate. Ceea ce, desigur, îi place! Mai degrabă, puteți scrie o mulțime de tot felul de formule, dar pentru o muncă practică și sigură cu rădăcini, doar trei sunt suficiente. Restul acestor trei fluxuri. Deși mulți oameni se pierd în cele trei formule de rădăcină, da ...

Să începem cu cel mai simplu. Acolo e:

Dacă vă place acest site ...

Apropo, am câteva site-uri mai interesante pentru dvs.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și aflați nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățare - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

M-am uitat din nou la semn ... Și să mergem!

Să începem cu unul simplu:

Doar un minut. asta, ceea ce înseamnă că putem scrie astfel:

Am înțeles? Iată următoarea pentru tine:

Rădăcinile numerelor rezultate nu sunt exact extrase? Nu contează - iată câteva exemple:

Dar dacă factorii nu sunt doi, ci mai mulți? La fel! Formula de multiplicare a rădăcinilor funcționează cu orice număr de factori:

Acum complet singur:

Răspunsuri:Foarte bine! De acord, totul este foarte ușor, principalul lucru este să cunoașteți tabelul de înmulțire!

Împărțirea rădăcinilor

Am descoperit înmulțirea rădăcinilor, acum vom trece la proprietatea diviziunii.

Permiteți-mi să vă reamintesc că formula din vedere generala arată așa:

Aceasta înseamnă că rădăcina coeficientului este egală cu coeficientul rădăcinilor.

Ei bine, să ne dăm seama cu exemple:

Asta-i tot știință. Iată un exemplu:

Totul nu este la fel de lin ca în primul exemplu, dar, după cum puteți vedea, nu este nimic complicat.

Dar dacă o astfel de expresie se întâlnește:

Trebuie doar să aplicați formula în direcția opusă:

Iată un exemplu:

Puteți întâlni și această expresie:

Totul este la fel, doar aici trebuie să vă amintiți cum să traduceți fracțiile (dacă nu vă amintiți, căutați subiectul și reveniți!). Tine minte? Acum decidem!

Sunt sigur că ați făcut față cu tot, cu totul, acum să încercăm să construim rădăcini în grad.

Exponențierea

Ce se întâmplă dacă rădăcina pătrată este pătrată? Este simplu, să ne amintim de semnificația rădăcinii pătrate a unui număr - acesta este un număr a cărui rădăcină pătrată este.

Deci, dacă ridicăm un număr a cărui rădăcină pătrată este egală cu pătratul, ce obținem?

Ei bine, desigur,!

Să vedem exemple:

Este simplu, nu? Și dacă rădăcina este într-un grad diferit? Nimic în neregulă!

Urmați aceeași logică și amintiți-vă proprietățile și acțiunile posibile cu grade.

Citiți teoria pe tema „” și totul vă va deveni foarte clar.

De exemplu, iată o expresie:

În acest exemplu, gradul este par, dar dacă este ciudat? Din nou, aplicați proprietățile de putere și luați în considerare totul:

Cu aceasta, totul pare clar, dar cum să extrageți rădăcina unui număr către o putere? De exemplu, acesta este:

Destul de simplu, nu? Și dacă diploma este mai mare de două? Urmăm aceeași logică folosind proprietăți de putere:

Ei bine, este totul clar? Apoi rezolvați singur exemplele:

Iată răspunsurile:

Introducere sub semnul rădăcină

Ce n-am învățat să facem cu rădăcinile! Rămâne doar să exersezi introducerea numărului sub semnul rădăcină!

Este ușor!

Să presupunem că avem un număr

Ce putem face cu el? Ei bine, desigur, ascundeți-i pe cei trei sub rădăcină, amintindu-vă că cei trei sunt rădăcina pătrată a!

De ce avem nevoie de asta? Da, doar pentru a ne extinde capacitățile atunci când rezolvăm exemple:

Cum îți place această proprietate a rădăcinilor? Fac viața mult mai ușoară? Pentru mine, așa este! Numai trebuie să ne amintim că putem introduce numere pozitive numai sub semnul rădăcinii pătrate.

Rezolvați singur acest exemplu -
Ai reușit? Să vedem ce ar trebui să obțineți:

Foarte bine! Ați reușit să introduceți numărul sub semnul rădăcină! Să trecem la una la fel de importantă - să vedem cum să comparăm numerele care conțin rădăcina pătrată!

Compararea rădăcinilor

De ce ar trebui să învățăm să comparăm numerele care conțin rădăcină pătrată?

Foarte simplu. Adesea, în expresiile mari și lungi întâlnite la examen, primim un răspuns irațional (vă amintiți ce este? Am vorbit deja despre asta astăzi!)

Trebuie să plasăm răspunsurile primite pe o linie de coordonate, de exemplu, pentru a determina care interval este potrivit pentru rezolvarea ecuației. Și aici apare un obstacol: nu există un calculator la examen și fără el cum să ne imaginăm care este numărul mai mare și care este mai mic? Doar asta este!

De exemplu, definiți care este mai mare: sau?

Nu poți spune imediat. Ei bine, să folosim proprietatea analizată de a introduce un număr sub semnul rădăcină?

Apoi, continuați:

Ei bine, este evident că ce mai multe numere sub semnul rădăcină, cu atât rădăcina însăși este mai mare!

Acestea. daca atunci,.

Din aceasta concluzionăm ferm că. Și nimeni nu ne va convinge altfel!

Extragerea rădăcinilor din număr mare

Înainte de aceasta, am introdus factorul sub semnul rădăcină, dar cum să-l scoatem? Trebuie doar să o luați în calcul și să extrageți ceea ce este extras!

A fost posibil să se ia o cale diferită și să se descompună în alți factori:

Nu-i rău, nu? Oricare dintre aceste abordări este corectă, decideți ce vă convine cel mai bine.

Factorizarea este foarte utilă atunci când rezolvați sarcini nestandardizate ca aceasta:

Nu ne este frică, dar acționăm! Să descompunem fiecare factor sub rădăcină în factori separați:

Acum încercați-l singur (fără calculator! Nu va fi la examen):

Acesta este sfârșitul? Nu te opri la jumătatea drumului!

Atât, nu atât de înfricoșător, nu?

S-a întâmplat? Bravo, asa este!

Acum încercați să rezolvați acest exemplu:

Și un exemplu este o piuliță dură de rupt, așa că pur și simplu nu vă puteți da seama cum să o abordați. Dar noi, desigur, o putem rezista.

Ei bine, vom începe să facem cont? Rețineți imediat că puteți împărți un număr la (rețineți criteriile de divizibilitate):

Acum, încercați singur (din nou, fără calculator!):

Ei bine, ce s-a întâmplat? Bravo, asa este!

Să rezumăm

1. Rădăcina pătrată (rădăcină pătrată aritmetică) a unui număr non-negativ este un număr non-negativ al cărui pătrat este egal cu.
   .
2. Dacă luăm doar rădăcina pătrată a ceva, obținem întotdeauna un rezultat non-negativ.
3. Proprietăți radiculare aritmetice:
4. Atunci când se compară rădăcinile pătrate, trebuie să ne amintim că cu cât numărul este mai mare sub semnul rădăcină, cu atât rădăcina în sine este mai mare.

Cum îți place rădăcina pătrată? Toate clare?

Am încercat să vă explicăm fără apă tot ce trebuie să știți la examenul de rădăcină pătrată.

E randul tau. Scrieți-ne dacă este sau nu un subiect dificil.

Ai învățat ceva nou sau totul era deja clar.

Scrieți în comentarii și noroc la examene!

GRAD CU INDICATOR RATIONAL,

FUNCȚIA DE GRAD IV

Secțiunea 79. Extragerea rădăcinilor dintr-o operă și dintr-un anumit lucru

Teorema 1. Rădăcină p -grada produsului numerelor pozitive este egal cu produsul rădăcinilor p gradul al factorilor, adică pentru și > 0, b \u003e 0 și natural p

n √ab = n √a n √b . (1)

Dovezi. Reamintim că rădăcina p -a puterea unui număr pozitiv ab există un număr atât de pozitiv, p -al doilea grad este ab ... Prin urmare, dovedirea egalității (1) este aceeași cu dovedirea egalității

(n √a n √b ) n = ab .

Prin proprietatea gradului produsului

(n √a n √b ) n = (n √a ) n (n √b ) n =.

Dar prin definiția rădăcinii p -grada ( n √a ) n = și , (n √b ) n = b .

Prin urmare ( n √a n √b ) n = ab ... Teorema este dovedită.

Cerere și > 0, b \u003e 0 este esențial numai pentru niveluri uniforme p întrucât pentru negativ și și b și chiar p rădăcini n √a și n √b nedefinit. Dacă p este impar, atunci formula (1) este valabilă pentru oricare și și b (atât pozitiv cât și negativ).

Exemple: √16 121 \u003d √16 √121 \u003d 4 11 \u003d 44.

3 √-125 27 = 3 √-125 3 √27 = -5 3 = - 15

Formula (1) este utilă pentru calcularea rădăcinilor atunci când expresia radicală este reprezentată ca un produs de pătrate exacte. De exemplu,

√153 2 -72 2 = √ (153+ 72) (153-72) = √225 81 = 15 9 = 135.

Am demonstrat teorema 1 pentru cazul în care sub semnul radical din partea stângă a formulei (1) este produsul a două numere pozitive. De fapt, această teoremă este adevărată pentru orice număr de factori pozitivi, adică pentru orice natură k > 2:

Consecinţă. Citind această identitate de la dreapta la stânga, obținem următoarea regulă pentru multiplicarea rădăcinilor cu aceeași.

Pentru a înmulți rădăcinile cu aceiași indicatori, este suficient să multiplicați expresiile radicale, lăsând la fel indicatorul rădăcină.

De exemplu, √3 √8 √6 \u003d √3 8 6 \u003d √144 \u003d 12.

Teorema 2. Rădăcină p-al gradul al unei fracții, al cărui numărător și numitor sunt numere pozitive, este egal cu coeficientul împărțirii rădăcinii aceluiași grad de la numărător la rădăcina aceluiași grad de la numitor, adică pentru și \u003e 0 și b > 0

(2)

A dovedi egalitatea (2) înseamnă a arăta că

Conform regulii ridicării unei fracțiuni la o putere și a definiției rădăcinii n -grada avem:

Aceasta dovedește teorema.

Cerere și \u003e 0 și b \u003e 0 este esențial doar pentru egalitate p ... Dacă p este impar, atunci formula (2) este valabilă și pentru valorile negative și și b .

Consecinţă. Citirea identității de la dreapta la stânga, obținem următoarea regulă pentru împărțirea rădăcinilor cu aceiași indicatori:

Pentru a împărți rădăcinile cu aceiași indici, este suficient să împărțiți expresiile radicale, lăsând exponentul rădăcinii la fel.

De exemplu,

Exerciții

554. Unde în proba teoremei 1 am folosit faptul că și și b sunt pozitive?

De ce ciudat p formula (1) este valabilă și pentru numere negative și și b ?

La ce valori x datele privind egalitatea sunt corecte (nr. 555-560):

555. √x 2 - 9 = √x -3 √x + 3 .

556. 4 √ (x - 2) (8 - x ) = 4 √x - 2 4 √ 8 - x

557. 3 √ (x + 1) (x - 5) = 3 √x +1 3 √x - 5 .

558. √ x (x + 1) (x + 2) = √ x √ (x + 1) √ (x + 2)

559. √ (x - a ) 3 = (√ x - a ) 3 .

560. 3 √ (x - 5) 2 = (3 √ x - 5 ) 2 .

561. Calculați:

a) √ 173 2 - 52 2; la) √ 200 2 - 56 2 ;

b) √ 373 2 - 252 2; d) √ 242,5 2 - 46,5 2 .

562. B triunghi dreptunghic hipotenuza are 205 cm, iar una dintre picioare are 84 cm. Găsiți celălalt picior.

563. De câte ori:

555. x > 3. 556. 2 < x < 8. 557. x - orice număr. 558. x > 0. 559. x > și . 560. x - orice număr. 563. a) De trei ori.