Nu în niciunul. Prin definiție, liniile paralele nu au puncte de intersecție.

Acum să trecem peste geometri și concepții greșite. Pretutindeni vor fi luate în considerare „avioanele”.

Geometria euclidiană. Ce a fost învățat în școală, ceea ce este mai familiar și aproape exact în viața de zi cu zi. Voi evidenția două fapte care vor fi semnificative ulterior. În primul rând: în această geometrie există o distanță, între oricare două puncte există o scurtă și, în plus, doar una (un segment de linie dreaptă). În al doilea rând: printr-un punct care nu se află pe o linie dreaptă dată, puteți desena o linie dreaptă paralelă cu cea dată și, în plus, doar una.

Aceasta corespunde cu câteva perechi de axiome din manualul lui Pogorelov, așa că îmi va fi mai convenabil să mă bazez pe asta.

Geometria lui Lobachevsky. Totul este în regulă cu distanța din el, dar ne este greu să ne imaginăm din cauza curburii negative constante (dacă nu înțelegeți, nu este înfricoșător). Paralelismul este mai dificil. Printr-un punct în afara unei linii drepte, puteți întotdeauna trasa nu doar una, ci infinit multe linii drepte paralele.

Geometrie sferică. În primul rând, ce considerăm „drept”. Linii pe o sferă - cercuri mari \u003d cercuri tăiate pe sferă cu un plan care trece prin centru \u003d cercuri de rază egală cu raza sferei. Acestea sunt linii drepte, în sensul că aceasta este cea mai scurtă cale între punctele nu foarte îndepărtate (puțin mai târziu va deveni clar care) punctează. Unii pot observa că dacă orașele sunt pe aceeași paralelă, atunci avionul nu zboară de-a lungul acestei paralele, ci de-a lungul unei traiectorii convexe către nord, în emisfera nordică. Dacă desenați, veți observa că cercul mare care leagă cele două puncte circulă spre nord de paralel.

De ce distanța pe sfera este rea? Luati puncte diametral opuse pe sfera, pentru ele exista infinit multe trasee cele mai scurte. Mai clar: mă voi uita la polul nord și sud. Toți merilii trec prin ei, toți au aceeași lungime, orice altă cale va fi mai lungă.

În acest caz, nu există deloc linii paralele, orice două linii se intersectează în puncte diametral opuse.

Planul proiectiv. Cea mai importantă și prima diferență: nu există distanță și nu poate fi. În principiu, nu poate fi introdus astfel încât să satisfacă anumite condiții naturale (păstrate în timpul „mișcărilor” planului). Astfel, geometria în sine nu știe despre nicio „linie dreaptă infinit îndepărtată”, toate acestea au fost inventate de oameni pentru a înțelege cumva planul proiectiv. Cel mai „simplu” mod: să ne imaginăm planul cu care suntem obișnuiți (așa-numita „hartă afină”) și să adăugăm la ea o linie dreaptă care este „infinit de la distanță”, iar toate liniile care erau paralele cu cele date în planul pe care le-au prezentat se vor intersecta în unele. punctează această linie „infinit de îndepărtată”. Această descriere este destul de simplă: aici am scris ceva în două propoziții și cineva a transmis deja ceva. Dar este înșelător, nu există o linie distinsă în geometria proiectivă. Dar această descriere arată deja că liniile paralele

La 7 februarie 1832, Nikolai Lobachevsky a prezentat colegilor săi prima sa lucrare asupra geometriei non-euclidiene. Această zi a marcat începutul unei revoluții în matematică, iar lucrarea lui Lobachevsky a fost primul pas către teoria relativității a lui Einstein. Astăzi „RG” a adunat cele mai frecvente cinci concepții greșite despre teoria lui Lobachevsky, care există printre oameni departe de științele matematice

Primul mit. Geometria lui Lobachevsky nu are nicio legătură cu Euclidianul.

De fapt, geometria lui Lobachevsky nu este prea diferită de geometria euclidiană cu care suntem obișnuiți. Cert este că din cele cinci postulate ale lui Euclid, Lobachevsky a lăsat neschimbate primele patru. Adică el este de acord cu Euclid că se poate trasa o linie dreaptă între oricare două puncte, că poate fi întotdeauna extinsă la infinit, că un cerc cu orice rază poate fi desenat din orice centru și că toate unghiurile drepte sunt egale între ele. Lobachevsky nu a fost de acord doar cu al cincilea, cel mai dubioasă din punctul său de vedere, postulatul lui Euclid. Formularea lui sună extrem de complicat, dar dacă îl traduceți într-un mod inteligibil om obisnuit limbaj, se dovedește că, în conformitate cu Euclid, două linii drepte non-paralele se vor intersecta în mod necesar. Lobachevsky a putut dovedi falsitatea acestui mesaj.

Al doilea mit. În teoria lui Lobachevsky, liniile paralele se intersectează

Nu este adevarat. De fapt, cel de-al cincilea postulat al lui Lobachevsky sună astfel: „Pe un avion, printr-un punct care nu se află pe o linie dreaptă dată, există mai multe linii drepte care nu intersectează cea dată”. Cu alte cuvinte, pentru o linie dreaptă, puteți desena cel puțin două linii drepte printr-un punct, care nu o vor intersecta. Adică, în acest postulat al lui Lobachevski, nu există deloc linii paralele! Se spune doar despre existența mai multor linii care nu se intersectează pe un singur plan. Astfel, presupunerea despre intersecția liniilor paralele s-a născut dintr-o banală ignoranță a esenței teoriei marelui matematician rus.

Al treilea mit. Geometria Lobachevsky este singura geometrie non-euclidiană

Geometriile non-euclidiene sunt un întreg strat de teorii în matematică, unde baza este un al cincilea postulat diferit de cel euclidian. Lobachevsky, spre deosebire de Euclid, de exemplu, descrie un spațiu hiperbolic. Există, de asemenea, o teorie care descrie spațiul sferic - aceasta este geometria lui Riemann. În el se intersectează liniile paralele. Un exemplu clasic din curiculumul scolar - meridiane de pe glob. Dacă te uiți la modelul globului, se dovedește că toate meridianele sunt paralele. Între timp, merită să desenăm un model pe sferă, deoarece vedem că toate meridianele paralele anterior converg în două puncte - la poli. Împreună, teoriile lui Euclid, Lobachevsky și Riemann sunt numite „trei mari geometrii”.

Al patrulea mit. Geometria Lobachevsky nu se aplică în viața reală

Dimpotriva, stiinta moderna ajunge la înțelegerea faptului că geometria euclidiană este doar un caz special al geometriei lui Lobachevski și că lumea reală este descrisă mai exact de formulele savantului rus. Cea mai puternică apăsare către dezvoltare ulterioară Geometria lui Lobachevsky a devenit teoria relativității de Albert Einstein, care a arătat că însuși spațiul Universului nostru nu este liniar, ci este o sferă hiperbolică. Între timp, Lobachevsky însuși, în ciuda faptului că toată viața sa a lucrat la dezvoltarea teoriei sale, a numit-o „geometrie imaginară”.

Al cincilea mit. Lobachevsky a fost primul care a creat geometrie non-euclidiene

Acest lucru nu este în întregime adevărat. În paralel cu el și independent de el, matematicianul maghiar Janos Bolyai și faimosul om de știință german Karl Friedrich Gauss au ajuns la concluzii similare. Cu toate acestea, lucrările lui Janos nu au fost observate de publicul larg și Karl Gauss a ales să nu publice deloc. Prin urmare, omul de știință este cel care este considerat un pionier în această teorie. Cu toate acestea, există un punct de vedere oarecum paradoxal că Euclid însuși a fost primul care a inventat geometria non-euclidiană. Cert este că, prin urmare, el a considerat autocritic cel de-al cincilea postulat al său, nu evident cel mai a dovedit din teoremele sale fără a recurge la el.

Avion Lobachevsky

Geometria lui Lobachevsky (geometrie hiperbolică) este una dintre geometriile non-euclidiene, o teorie geometrică bazată pe aceleași premise de bază ca geometria euclidiană obișnuită, cu excepția axiomului paralel, care este înlocuit de axioma paralelă a lui Lobachevsky.

Axiomul paralel euclidian spune:

printr-un punct care nu se află pe o linie dreaptă dată, există o singură linie dreaptă care se întinde cu această dreaptă într-un singur plan și nu o intersectează.

În geometria lui Lobachevsky, în schimb, este acceptată următoarea axiomă:

printr-un punct care nu se află pe o linie dreaptă dată, există cel puțin două linii drepte situate cu această linie dreaptă într-un singur plan și care nu o intersectează.

Geometria lui Lobachevsky are aplicații extinse atât în \u200b\u200bmatematică, cât și în fizică. Semnificația sa istorică constă în faptul că, construind-o, Lobachevsky a arătat posibilitatea unei geometrii diferite de cea euclidiană, care a marcat o nouă eră în dezvoltarea geometriei și a matematicii în general.

Istorie

Încercări de a dovedi al cincilea postulat

Punctul de plecare al geometriei lui Lobachevsky a fost postulatul V al lui Euclid - un axiom echivalent cu axioma paralelă. El a fost inclus în lista postulatelor din Elementele lui Euclid). Complexitatea relativă și unintuitivitatea formulării sale au provocat un sentiment al naturii sale secundare și au dat naștere încercărilor de deducere a acestuia din restul postulatelor lui Euclid.

Printre cei care au încercat să dovedească au fost următorii oameni de știință:

• matematicieni greci antici Ptolemeu (sec. II), Proclus (sec. V) (bazat pe presupunerea că distanța dintre două paralele este finită),
• Ibn al-Haytham din Irak (secolele târzii - începutul secolelor) (pe baza presupunerii că sfârșitul unei mișcări perpendiculare pe o linie dreaptă descrie o linie dreaptă),
• matematicienii iranieni Omar Khayyam (a doua jumătate - începutul secolului al XII-lea) și Nasir ad-Din at-Tusi (secolul al XIII-lea) (pe baza presupunerii că două linii drepte convergente nu pot deveni divergente fără intersecție atunci când continuă),
• matematicianul german Clavius \u200b\u200b(),
• matematicieni italieni
  • Cataldi (pentru prima dată în 1603 a publicat o lucrare dedicată în întregime chestiunii paralelei),
• matematicianul englez Wallis (, publicat în) (bazat pe presupunerea că pentru fiecare figură există o cifră similară, dar nu egală),
• matematicianul francez Legendre () (bazat pe presupunerea că o linie dreaptă poate fi trasată prin fiecare punct din interiorul unui unghi acut, intersectând ambele părți ale unghiului; el a avut și alte încercări de a o dovedi).

În aceste încercări de a demonstra cel de-al cincilea postulat, matematicienii au introdus unele afirmații noi, care li s-au părut mai evidente.

S-au încercat folosirea probei prin contradicție:

• matematicianul italian Saccheri () (după ce a formulat o declarație care contrazice postulatul, a derivat o serie de consecințe și, recunoscând greșit unele dintre ele drept contradictorii, el a considerat postulatul dovedit),
• matematicianul german Lambert (despre, publicat în) (după ce a efectuat cercetări, a recunoscut că nu poate găsi contradicții în sistemul pe care l-a construit).

În cele din urmă, a început să se înțeleagă că este posibil să se construiască o teorie bazată pe postulatul opus:

• matematicienii germani F. Schweickart () și Taurinus (), însă, nu și-au dat seama că o astfel de teorie ar fi logic ca la fel de armonioasă).

Crearea geometriei non-euclidiene

Lobachevsky în lucrarea sa „Pe principiile geometriei” (), prima sa lucrare publicată asupra geometriei non-euclidiene, a declarat clar că postulatul V nu poate fi dovedit pe baza altor premise ale geometriei euclidiene și că asumarea unui postulat opus celui al euclidianului permite construirea geometriei în același mod semnificativ, ca euclidian, și lipsit de contradicții.

În același timp și în mod independent, Janos Bolyai a ajuns la concluzii similare, iar Karl Friedrich Gauss a ajuns la asemenea concluzii chiar mai devreme. Cu toate acestea, scrierile lui Boyai nu au atras atenția, iar el a abandonat curând subiectul, iar Gauss în general s-a abținut de la publicare, iar opiniile sale nu pot fi apreciate decât prin câteva scrisori și intrări din jurnal. De exemplu, într-o scrisoare din 1846 astronomului G. H. Schumacher, Gauss vorbește despre opera lui Lobachevsky:

Această lucrare conține fundamentele geometriei care ar fi trebuit să aibă loc și, în plus, ar fi constituit un întreg strict consecvent, dacă geometria euclidiană nu ar fi adevărată ... Lobachevsky o numește „geometrie imaginară”; Știți că timp de 54 de ani (din 1792) împărtășesc aceleași opinii cu o anumită dezvoltare a acestora, pe care nu vreau să le menționez aici; astfel, nu am găsit pentru mine nimic practic nou în lucrarea lui Lobachevsky. Dar în dezvoltarea subiectului, autorul nu a urmat calea pe care eu am urmat-o eu; ea este executată de Lobachevsky magistral într-un spirit cu adevărat geometric. Mă consider obligat să vă atrag atenția asupra acestei compoziții, care, probabil, vă va oferi o plăcere absolut excepțională.

Drept urmare, Lobachevsky a acționat ca primul propagandist cel mai strălucitor și mai consistent al acestei teorii.

Deși geometria lui Lobachevsky s-a dezvoltat ca o teorie speculativă și Lobachevsky însuși a numit-o „geometrie imaginară”, totuși, Lobachevsky a considerat-o nu ca un joc al minții, ci ca o posibilă teorie a relațiilor spațiale. Cu toate acestea, dovada coerenței sale a fost dată mai târziu, când s-au indicat interpretările sale și astfel problema semnificației sale reale, a consistenței logice a fost complet rezolvată.

Declarația geometriei lui Lobachevsky

unghiul este și mai dificil.

Model Poincaré

Conținutul geometriei lui Lobachevsky

O fâșie de linii drepte paralele în geometria lui Lobachevsky

Lobachevsky și-a construit geometria, pornind de la conceptele geometrice de bază și axiomul său și a dovedit teoreme printr-o metodă geometrică, așa cum se face în geometria lui Euclid. Teoria liniilor paralele a servit ca bază, deoarece aici începe diferența dintre geometria lui Lobachevsky și geometria lui Euclid. Toate teoremele care nu depind de axioma paralelă sunt comune ambelor geometrii și formează așa-numita geometrie absolută, căreia, de exemplu, teoremele privind egalitatea triunghiurilor aparțin. Urmând teoria paralelelor, au fost construite alte secțiuni, inclusiv trigonometria și începuturile geometriei analitice și diferențiale.

Să cităm (în nota modernă) mai multe fapte ale geometriei lui Lobachevski, care o deosebesc de geometria lui Euclid și stabilite de însuși Lobachevsky.

Prin punct Pnu mintind pe linia dată R (vezi figura), există infinit de multe linii drepte care nu se intersectează R și sunt în același plan cu acesta; printre ele sunt două extreme x, y, care se numesc linie paralelă R în sensul lui Lobachevsky. În modelele Klein (Poincaré), acestea sunt înfățișate de coarde (arcuri de cercuri) având o coardă (arc) R un scop comun (care, prin definiția modelului, este exclus, astfel încât aceste linii să nu aibă puncte comune).

Unghi între perpendicular PB de P pe R și fiecare dintre paralele (numite unghi de paralelism) pe măsură ce punctul este eliminat P dintr-o linie dreaptă scade de la 90 ° la 0 ° (în modelul Poincaré, unghiurile în sensul obișnuit coincid cu unghiurile în sensul Lobachevsky și, prin urmare, acest fapt poate fi văzut direct pe acesta). Paralel x pe de o parte (a y cu opusul) abordări asimptotice șiși, pe de altă parte, se îndepărtează la infinit de ea (în modele, distanțele sunt greu de determinat și, prin urmare, acest fapt nu este direct vizibil).

Pentru un punct situat de la o linie dreaptă la o distanță PB \u003d a (vezi figura), Lobachevsky a dat o formulă pentru unghiul paralelismului P (a) :

Aici q - unele constante asociate cu curbura spațiului Lobachevsky. Poate servi drept unitate absolută de lungime în același mod ca în geometria sferică, o poziție specială este ocupată de raza unei sfere.

Dacă liniile drepte au o perpendiculară comună, atunci acestea se diverge la infinit în ambele direcții de la ea. Pentru oricare dintre ele, puteți restaura perpendiculare care nu ating o altă linie dreaptă.

În geometria lui Lobachevsky nu există triunghiuri similare, dar inegale; triunghiurile sunt egale dacă unghiurile lor sunt egale.

Suma unghiurilor oricărui triunghi este mai mică decât π și poate fi în mod arbitrar aproape de zero. Acest lucru se vede direct în modelul Poincaré. Diferența δ \u003d π - (α + β + γ), unde α, β, γ sunt unghiurile triunghiului, este proporțională cu aria sa:

Formula arată că există o suprafață maximă a unui triunghi și acesta este un număr finit: π q 2 .

O linie de distanțe egale față de o linie dreaptă nu este o linie dreaptă, ci o curbă specială numită linie echidistantă sau hypercycle.

Limita cercurilor cu rază în continuă creștere nu este o linie dreaptă, ci o curbă specială numită circumferința limităsau un horociclu.

Limita sferelor cu o rază de creștere infinită nu este un plan, ci o suprafață specială - o sferă limită sau horosferă; este remarcabil faptul că geometria euclidiană are loc pe ea. Aceasta a servit drept bază pentru derivarea lui Lobachevsky a formulelor de trigonometrie.

Circumferința nu este proporțională cu raza, dar crește mai repede. În special, în geometria lui Lobachevsky, numărul π nu poate fi definit ca raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul său.

Cu cât zona este mai mică în spațiu sau pe planul Lobachevsky, cu atât mai puțin relațiile geometrice din această zonă diferă de relațiile din geometria euclidiană. Putem spune că geometria euclidiană are loc într-o regiune infinit de mică. De exemplu, cu cât triunghiul este mai mic, cu atât suma unghiurilor sale diferă de π; cu cât cercul este mai mic, cu atât raportul dintre lungimea sa și raza diferă de 2π etc. O scădere a ariei este echivalentă formal cu o creștere a unității de lungime, prin urmare, cu o creștere infinită a unității de lungime, formulele de geometrie Lobachevsky se transformă în formulele geometriei euclidiene. Geometria euclidiană este, în acest sens, cazul „limitativ” al geometriei lui Lobachevski.

Aplicații

• Lobachevsky însuși și-a aplicat geometria la calculul integrelor definite.
• În teoria funcțiilor unei variabile complexe, geometria lui Lobachevsky a ajutat la construirea teoriei funcțiilor automorfe. Legătura cu geometria lui Lobachevsky a fost aici punctul de plecare al cercetării lui Poincaré, care a scris că „geometria non-euclidiană este cheia rezolvării întregii probleme”.
• Geometria lui Lobachevsky este folosită și în teoria numerelor, în metodele sale geometrice, unite sub denumirea „geometria numerelor”.
• O legătură strânsă a fost stabilită între geometria lui Lobachevsky și cinematica teoriei speciale (particulare) a relativității. Această legătură se bazează pe faptul că egalitatea, care exprimă legea propagării luminii

atunci când este împărțit de t 2, adică pentru viteza luminii, dă - ecuația unei sfere în spațiu cu coordonate v x , v y , v z - componente de viteză de-a lungul axelor x, la, z (în „spațiul vitezei”). Transformările Lorentz păstrează această sferă și, deoarece sunt liniare, transformă liniile drepte ale spațiului de viteză în linii drepte. Prin urmare, conform modelului Klein, în spațiul de viteză din interiorul sferei de rază din, adică pentru viteze mai mici decât viteza luminii, are loc geometria Lobachevsky.

• Geometria lui Lobachevsky a găsit o aplicație remarcabilă în teoria generală a relativității. Dacă presupunem că distribuția maselor de materie în Univers este uniformă (această aproximare pe scările cosmice este permisă), atunci se dovedește a fi posibil ca anumite condiții spațiul are geometria lui Lobachevsky. Astfel, ipoteza lui Lobachevsky despre geometria sa ca posibilă teorie a spațiului real a fost justificată.
• Folosind modelul Klein, se oferă o dovadă foarte simplă și scurtă

Geometria lui Lobachevsky

(1) Geometrie euclidiană; (2) geometrie Riemann; (3) Geometria lui Lobachevsky

Geometria lui Lobachevsky (geometrie hiperbolică) este una dintre geometriile non-euclidiene, o teorie geometrică bazată pe aceleași premise de bază ca geometria euclidiană obișnuită, cu excepția axiomului paralel, care este înlocuit de axioma paralelă a lui Lobachevsky.

Axioma paralelă euclidiană (mai precis, una dintre afirmațiile echivalente) spune:

Printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, există cel mult o linie dreaptă care se află cu această dreaptă într-un singur plan și nu o intersectează.

În geometria lui Lobachevsky, în schimb, este acceptată următoarea axiomă:

Printr-un punct care nu se află pe o linie dreaptă dată, există cel puțin două linii drepte care se află cu această dreaptă în același plan și nu o intersectează.

Există o concepție greșită răspândită că liniile paralele se intersectează în geometria lui Lobachevsky. Geometria lui Lobachevsky are aplicații extinse atât în \u200b\u200bmatematică, cât și în fizică. Semnificația sa istorică și filosofică constă în faptul că, construind-o, Lobachevsky a arătat posibilitatea altor geometrii decât cele euclidiene, ceea ce a marcat o nouă eră în dezvoltarea geometriei, matematicii și științei în general.

Istorie

Încercări de a dovedi al cincilea postulat

Punctul de plecare al geometriei lui Lobachevsky a fost postulatul V al lui Euclid - un axiom echivalent cu axioma paralelă. El a fost inclus în lista postulatelor din Elementele lui Euclid. Complexitatea relativă și unintuitivitatea formulării sale au provocat un sentiment al naturii sale secundare și au dat naștere încercărilor de a o deriva ca teoremă din restul postulatelor lui Euclid.

Printre mulți care au încercat să dovedească al cincilea postulat au fost, în special, următorii oameni de știință de seamă.

În aceste încercări de a demonstra cel de-al cincilea postulat, matematicienii au introdus (explicit sau implicit) o \u200b\u200bnouă afirmație, care li s-a părut mai evidentă.

S-au încercat folosirea probei prin contradicție:

• matematicianul italian Saccheri () (după ce a formulat o declarație care contrazice postulatul, a derivat o serie de consecințe și, recunoscând greșit unele dintre ele drept contradictorii, el a considerat postulatul dovedit),
• matematicianul german Lambert (despre, publicat în) (după ce a efectuat cercetări, a recunoscut că nu poate găsi contradicții în sistemul pe care l-a construit).

În cele din urmă, a început să se înțeleagă că este posibil să se construiască o teorie bazată pe postulatul opus:

• matematicienii germani Schweickart () și Taurinus (), însă, nu și-au dat seama că o astfel de teorie ar fi logic la fel de coerentă).

Crearea geometriei non-euclidiene

Lobachevsky în lucrarea sa „Pe principiile geometriei” (), prima sa lucrare publicată asupra geometriei non-euclidiene, a declarat clar că postulatul V nu poate fi dovedit pe baza altor premise ale geometriei euclidiene și că asumarea unui postulat opus celui al euclidianului permite construirea geometriei în același mod semnificativ, ca euclidian, și lipsit de contradicții.

În același timp și în mod independent, Janos Bolyai a ajuns la concluzii similare, iar Karl Friedrich Gauss a ajuns la asemenea concluzii chiar mai devreme. Cu toate acestea, scrierile lui Boyai nu au atras atenția, iar el a abandonat curând subiectul, iar Gauss în general s-a abținut de la publicare, iar opiniile sale nu pot fi apreciate decât prin câteva scrisori și intrări din jurnal. De exemplu, într-o scrisoare din 1846 către astronomul G. H. Schumacher, Gauss a vorbit despre opera lui Lobachevsky:

Această lucrare conține fundamentele geometriei care ar fi trebuit să aibă loc și, în plus, ar fi constituit un întreg strict consecvent, dacă geometria euclidiană nu ar fi adevărată ... Lobachevsky o numește „geometrie imaginară”; Știți că timp de 54 de ani (din 1792) împărtășesc aceleași opinii cu o anumită dezvoltare a acestora, pe care nu vreau să le menționez aici; astfel, nu am găsit pentru mine nimic practic nou în lucrarea lui Lobachevsky. Dar în dezvoltarea subiectului, autorul nu a urmat calea pe care eu am urmat-o eu; ea este executată de Lobachevsky magistral într-un spirit cu adevărat geometric. Mă consider obligat să vă atrag atenția asupra acestei compoziții, care, probabil, vă va oferi o plăcere absolut excepțională.

Drept urmare, Lobachevsky a apărut ca cel mai strălucitor și mai consistent propagandist al noii geometrii. Deși geometria lui Lobachevsky s-a dezvoltat ca o teorie speculativă, iar Lobachevsky însuși a numit-o „geometrie imaginară”, totuși el a fost cel care a propus-o în mod deschis nu ca joc al minții, ci ca o posibilă și utilă teorie a relațiilor spațiale. Cu toate acestea, dovada coerenței sale a fost dată mai târziu, când au fost indicate interpretările (modelele) sale.

Declarația geometriei lui Lobachevsky

Model Poincaré

Conținutul geometriei lui Lobachevsky

Lobachevsky și-a construit geometria, pornind de la conceptele geometrice de bază și axiomul său și a dovedit teoreme printr-o metodă geometrică, așa cum se face în geometria lui Euclid. Teoria liniilor paralele a servit ca bază, deoarece de aici începe diferența dintre geometria lui Lobachevsky și geometria lui Euclid. Toate teoremele care nu depind de axioma paralelă sunt comune ambelor geometrii; ele formează așa-numita geometrie absolută, căreia îi aparțin, de exemplu, teoreme privind egalitatea triunghiurilor. Urmând teoria paralelelor, au fost construite alte secțiuni, inclusiv trigonometria și începuturile geometriei analitice și diferențiale.

Să cităm (în nota modernă) mai multe fapte ale geometriei lui Lobachevski, care o deosebesc de geometria lui Euclid și stabilite de însuși Lobachevsky.

Prin punct Pnu mintind pe linia dată R (vezi figura), există infinit de multe linii drepte care nu se intersectează R și sunt în același plan cu acesta; printre ele sunt două extreme x, y, care se numesc linie paralelă R în sensul lui Lobachevsky. În modelele Klein (Poincaré), acestea sunt înfățișate de coarde (arcuri de cercuri) având o coardă (arc) R un scop comun (care, prin definiția modelului, este exclus, astfel încât aceste linii să nu aibă puncte comune).

Unghi între perpendicular PB de P pe R și fiecare dintre paralele (numite unghi de paralelism) pe măsură ce punctul este eliminat P dintr-o linie dreaptă scade de la 90 ° la 0 ° (în modelul Poincaré, unghiurile în sensul obișnuit coincid cu unghiurile în sensul Lobachevsky și, prin urmare, acest fapt poate fi văzut direct pe acesta). Paralel x pe de o parte (a y cu opusul) abordări asimptotice șiși, pe de altă parte, se îndepărtează la infinit de ea (în modele, distanțele sunt greu de determinat și, prin urmare, acest fapt nu este direct vizibil).

Pentru un punct situat de la o linie dreaptă la o distanță PB \u003d a (vezi figura), Lobachevsky a dat o formulă pentru unghiul paralelismului P (a) :

Aici q - unele constante asociate cu curbura spațiului Lobachevsky. Poate servi drept unitate absolută de lungime în același mod ca în geometria sferică, o poziție specială este ocupată de raza unei sfere.

Dacă liniile drepte au o perpendiculară comună, atunci acestea se diverge la infinit în ambele direcții de la ea. Pentru oricare dintre ele, puteți restaura perpendiculare care nu ating o altă linie dreaptă.

În geometria lui Lobachevsky nu există triunghiuri similare, dar inegale; triunghiurile sunt egale dacă unghiurile lor sunt egale.

Suma unghiurilor oricărui triunghi este mai mică și poate fi în mod arbitrar aproape de zero. Acest lucru se vede direct în modelul Poincaré. Diferența, unde, sunt unghiurile triunghiului, este proporțională cu aria sa:

Formula arată că există o suprafață maximă a unui triunghi, iar acesta este un număr finit:.

O linie de distanțe egale față de o linie dreaptă nu este o linie dreaptă, ci o curbă specială numită linie echidistantă sau hypercycle.

Limita cercurilor cu rază în continuă creștere nu este o linie dreaptă, ci o curbă specială numită circumferința limităsau un horociclu.

Limita sferelor cu o rază de creștere infinită nu este un plan, ci o suprafață specială - o sferă limită sau horosferă; este remarcabil faptul că geometria euclidiană are loc pe ea. Aceasta a servit drept bază pentru derivarea lui Lobachevsky a formulelor de trigonometrie.

Circumferința nu este proporțională cu raza, dar crește mai repede. În special, în geometria lui Lobachevsky, numărul nu poate fi definit ca raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul său.

Cu cât zona este mai mică în spațiu sau pe planul Lobachevsky, cu atât mai puțin relațiile geometrice din această zonă diferă de relațiile din geometria euclidiană. Putem spune că geometria euclidiană are loc într-o regiune infinit de mică. De exemplu, cu cât triunghiul este mai mic, cu atât este mai mică suma unghiurilor sale; cu cât cercul este mai mic, cu atât raportul dintre lungimea sa și raza diferă de el etc. O scădere a ariei este echivalentă formal cu o creștere a unității de lungime, prin urmare, cu o creștere nelimitată a unității de lungime, formulele de geometrie Lobachevsky se transformă în formulele geometriei euclidiene. Geometria euclidiană este, în acest sens, cazul „limitativ” al geometriei lui Lobachevski.

Umplerea planului și a spațiului cu politopuri regulate

Placarea planului Lobachevsky cu triunghiuri regulate ((3; 7))

Planul Lobachevsky poate fi placat nu numai de triunghiuri, pătrate și hexagoane obișnuite, ci și de orice alte poligoane obișnuite. În același timp, cel puțin 7 triunghiuri, 5 pătrate, 4 pentagoni și hexagoni și 3 poligoane cu mai mult de 6 laturi trebuie să convergă la un vertex al parchetului. Fiecare gresie (M-N-gons converg la un vertex) necesită o dimensiune strict definită a unității N-gon , în special, suprafața sa ar trebui să fie egală cu:

Umplerea spațiului Lobachevsky cu dodecaedre obișnuite ((5,3,4))

Spre deosebire de spațiul obișnuit, care poate fi umplut cu poliedre obișnuite într-un singur mod (8 cuburi la vârf), spațiul tridimensional Lobachevsky poate fi umplut cu poliedre obișnuite în patru moduri:

• (3,5,3) (12 icosaedri la vârf)
• (4,3,5) (20 de cuburi în vârf)
• (5,3,4) (8 dodecaedre la vârf)
• (3,5,3) (20 dodecaedre la vârf)

În plus, există 11 moduri de a umple spațiul Lobachevsky cu horosfere obișnuite de mozaic.

Aplicații

• Lobachevsky însuși și-a aplicat geometria la calculul integrelor definite.
• În teoria funcțiilor unei variabile complexe, geometria lui Lobachevsky a ajutat la construirea teoriei funcțiilor automorfe. Legătura cu geometria lui Lobachevsky a fost aici punctul de plecare al cercetării lui Poincaré, care a scris că „geometria non-euclidiană este cheia rezolvării întregii probleme”.
• Geometria lui Lobachevsky este folosită și în teoria numerelor, în metodele sale geometrice, unite sub denumirea „geometria numerelor”.
• O legătură strânsă a fost stabilită între geometria lui Lobachevsky și cinematica teoriei speciale (particulare) a relativității. Această legătură se bazează pe faptul că egalitatea, care exprimă legea propagării luminii

atunci când este împărțit, adică pentru viteza luminii, dă - ecuația unei sfere în spațiu cu coordonate, - componentele vitezei de-a lungul axelor x, la, z (în „spațiul vitezei”). Transformările Lorentz păstrează această sferă și, deoarece sunt liniare, transformă liniile drepte ale spațiului de viteză în linii drepte. Prin urmare, conform modelului Klein, în spațiul de viteză din interiorul sferei de rază din, adică pentru viteze mai mici decât viteza luminii, are loc geometria Lobachevsky.

• Geometria lui Lobachevsky a găsit o aplicație remarcabilă în teoria generală a relativității. Dacă considerăm distribuția maselor de materie în Univers ca fiind uniformă (această aproximare este permisă pe o scară cosmică), atunci se dovedește a fi posibil ca în anumite condiții, spațiul să aibă geometria Lobachevsky. Astfel, ipoteza lui Lobachevsky despre geometria sa ca posibilă teorie a spațiului real a fost justificată.
• Folosind modelul Klein, se oferă o probă foarte simplă și scurtă a teoremei fluturelor din geometria euclidiană.

Vezi si

notițe

Lucrările fondatorilor

• N. I. Lobachevsky „Cercetări geometrice asupra teoriei liniilor paralele”. - 1941.
• Pe fundamentele geometriei. O colecție de lucrări clasice despre geometria lui Lobachevsky și dezvoltarea ideilor ei. Moscova: Gostekhizdat, 1956.

Literatură

• Alexandrov A.D., Netsvetaev N. Yu. Geometrie, - Știință, Moscova, 1990.
• Alexandrov P.S. Ce este geometria non-euclidiană - URSS, Moscova, 2007.
• Delone B.N. O dovadă elementară a consecvenței planimetriei Lobachevski, Gostekhizdat, Moscova, 1956.
• Iovlev N.N. „O introducere în geometria elementară și trigonometria lui Lobachevsky”. - M.-L .: Giz., 1930 .-- P. 67.
• Klein F. „Geometrie non-euclidiene”. - M.-L .: ONTI, 1936 .-- S. 356.
• A. G. Popov

Geometria Lobachevsky este o teorie geometrică bazată pe aceleași premise de bază ca geometria euclidiană obișnuită, cu excepția axiomului paralel, care este înlocuit de axioma paralelă a lui Lobachevsky. Axioma paralelă euclidiană spune: printr-un punct care nu se află pe o linie dată, trece o singură linie, care se află cu o linie dată într-un singur plan și nu o intersectează. În geometria lui Lobachevsky, în locul ei, se acceptă următoarea axiomă: printr-un punct care nu se află pe o linie dreaptă dată, există cel puțin două linii drepte care se întind cu o linie dreaptă dată într-un singur plan și nu o intersectează. S-ar părea că această axiomă contrazice ideile extrem de obișnuite. Cu toate acestea, atât acest axiom, cât și toată geometria lui Lobachevsky au un sens foarte real. Geometria Lobachevsky a fost creată și dezvoltată de NI Lobachevsky, care a raportat pentru prima dată în 1826. Geometria lui Lobachevsky se numește geometrie non-euclidiană, deși de obicei termenul „geometrie non-euclidiană” i se oferă un sens mai larg, inclusiv aici și alte teorii care au apărut după geometria lui Lobachevsky și, de asemenea, bazat pe o schimbare a premiselor de bază ale geometriei euclidiene. Geometria lui Lobachevsky se numește în special geometria non-euclidiană hiperbolică (spre deosebire de geometria eliptică a lui Riemann).

Geometria Lobachevsky este o teorie bogată în conținut și are aplicații atât în \u200b\u200bmatematică, cât și în fizică. Semnificația sa istorică constă în faptul că, construind-o, Lobachevsky a arătat posibilitatea unei geometrii în afară de euclidian, care a marcat o nouă eră în dezvoltarea geometriei și a matematicii în general (vezi Geometrie). Din punct de vedere modern, se poate da, de exemplu, următoarea definiție a geometriei lui Lobachevsky pe un plan: nu este altceva decât geometria din interiorul unui cerc pe un plan obișnuit (euclidian), exprimată doar într-un mod special. Anume, vom lua în considerare un cerc pe un plan obișnuit (Fig. 1) și interiorul său, adică, cercul, cu excepția circumferinței care îl limitează, va fi numit „plan”. Punctul „planului” va fi un punct din interiorul cercului. Orice coardă (de exemplu, a, b, b`, MN) (cu capetele excluse, deoarece cercul unui cerc este exclus din „plan”) va fi denumit „drept”. Prin „mișcare” ne referim la orice transformare a unui cerc în sine, care transformă acordurile în acorduri.

În consecință, cifrele din interiorul cercului sunt numite egale, care sunt traduse una în alta prin astfel de transformări. Apoi, se dovedește că orice fapt geometric descris într-un astfel de limbaj reprezintă o teoremă sau o axiomă a geometriei lui Lobachevski. Cu alte cuvinte, orice afirmație a geometriei lui Lobachevsky pe un plan nu este decât o afirmație a geometriei euclidiene referitoare la figurile din interiorul unui cerc, doar retold în acești termeni. Axiomul paralel euclidian nu este clar satisfăcut aici, deoarece printr-un punct O care nu se află pe o acordă dată a (adică „linie”), există tot atâtea acorduri („linii”) care nu o intersectează (de exemplu, b, B`). În mod similar, geometria lui Lobachevsky în spațiu poate fi definită ca geometria din interiorul mingii, exprimată în termeni adecvați („liniile drepte” sunt acorduri, „planurile” sunt secțiuni plane ale interiorului mingii, figuri „egale” sunt cele care sunt transformate unele în altele prin transformări care transferă mingea în sine și coarde la coarde). Astfel, geometria lui Lobachevsky are un sens complet real și este la fel de consistentă cu geometria lui Euclid. Descrierea acelorași fapte în termeni diferiți sau, dimpotrivă, descrierea unor fapte diferite în aceiași termeni este o caracteristică a matematicii. Se evidențiază clar, de exemplu, atunci când aceeași linie este dată în coordonate diferite de ecuații diferite sau, dimpotrivă, aceeași ecuație în coordonate diferite reprezintă linii diferite.

Apariția geometriei lui Lobachevsky

Sursa de geometrie a lui Lobachevsky a fost întrebarea axiomului paralel, care este cunoscut și sub numele de V postulat al lui Euclid (sub acest număr, o listă echivalentă cu axioma paralelă de mai sus apare în lista postulatelor din Elementele lui Euclid). Acest postulat, datorită complexității sale în comparație cu alții, a determinat încercări de a-și da dovada pe baza postatelor rămase.

Iată o listă incompletă de oameni de știință care au fost implicați în dovada postulatului V până în sec. sfârșitul secolului 10 - începutul secolului al XI-lea) (Ibn al-Haytham a încercat să dovedească postulatul V, pornind de la presupunerea că sfârșitul unei mișcări perpendiculare pe o linie dreaptă descrie o linie dreaptă), matematicianul Tadjik Omar Khayyam (a doua jumătate a XI-a - începutul secolului al XII-lea), Matematicianul azerbaidian Nasiraddin Tuei (secolul al XIII-lea) (Khayyam și Nasiraddin, în dovedirea postulatului V, au pornit de la presupunerea că două linii drepte convergente nu pot deveni divergente fără intersecție dacă continuă), matematicianul german K. Clavius \u200b\u200b(Schlussel, 1574), matematicienii italieni P. Cataldi (pentru prima dată în 1603 a publicat o lucrare dedicată în întregime problemei paralelei), J. Borelli (1658), J. Vitale (1680), matematicianul englez J. Wallis (1663, publicat în 1693) (Wallis găsește doc. Dovada postulatului V se presupune că pentru orice cifră există o cifră similară, dar nu egală). Dovada geometrilor enumerați mai sus s-a redus la înlocuirea postulatului V cu o altă presupunere care părea mai evidentă.

Matematicianul italian J. Saccheri (1733) a făcut o încercare de a demonstra postulatul V prin contradicție. Acceptând o propunere care contravine postulatului lui Euclid, Saccheri a dezvoltat consecințe destul de ample din aceasta. Recunoscând în mod eronat unele dintre aceste consecințe ca ducând la contradicții, Saccheri a concluzionat că postulatul lui Euclid a fost dovedit. Matematicianul german I. Lambert (aproximativ 1766, publicat în 1786) a întreprins cercetări similare, dar nu a repetat greșelile lui Saccheri, dar a recunoscut neputința sa de a găsi o contradicție logică în sistemul pe care l-a construit. În secolul al XIX-lea s-au făcut și încercări de dovedire a postulatului. Aici ar trebui să notăm lucrările matematicianului francez A. Legendre; una dintre dovezile sale (1800) se bazează pe presupunerea că prin fiecare punct din interiorul unui unghi acut se poate trasa o linie dreaptă care intersectează ambele părți ale unghiului, adică, ca toți predecesorii săi, el a înlocuit postulatul cu o altă presupunere. Matematicienii germani F. Schweikart (1818) și F. Taurinus (1825) s-au apropiat destul de mult de construcția geometriei lui Lobachevsky, dar nu aveau o idee clar exprimată că teoria pe care au planificat-o ar fi logic la fel de perfectă ca geometria lui Euclid.

Întrebarea despre postulatul V al lui Euclid, care a ocupat geometrii de mai bine de două milenii, a fost rezolvată de Lobachevsky. Această soluție se reduce la faptul că postulatul nu poate fi dovedit pe baza altor premise ale geometriei euclidiene și că asumarea unui postulat opus postulatului euclidian permite construirea unei geometrii la fel de semnificative ca cea a euclidianului și lipsită de contradicții. Lobachevsky a făcut un raport despre acest lucru în 1826, iar în 1829-30 a publicat lucrarea „Pe principiile geometriei” cu o expunere a teoriei sale. În 1832, a fost publicată o lucrare cu un conținut similar de matematicianul maghiar J. Bolyai. După cum s-a dovedit mai târziu, matematicianul german C.F. Gauss a ajuns și la ideea posibilității existenței unei geometrii non-euclidiene consistente, dar a ascuns-o, temându-se să fie înțeleasă greșit. Deși geometria lui Lobachevsky s-a dezvoltat ca o teorie speculativă și Lobachevsky însuși a numit-o „geometrie imaginară”, totuși, Lobachevsky a considerat-o nu ca un joc al minții, ci ca o posibilă teorie a relațiilor spațiale. Cu toate acestea, dovada coerenței sale a fost dată mai târziu, când s-au indicat interpretările sale și astfel problema semnificației sale reale, consistența logică a fost complet rezolvată.

Geometria Lobachevsky studiază proprietățile „planului Lobachevsky” (în planimetrie) și „spațiul Lobachevsky” (în stereometrie). Planul Lobachevsky este un plan (set de puncte) în care sunt definite linii drepte, precum și mișcările figurilor (în același timp, distanțe, unghiuri etc.), ascultând toate axiomele geometriei euclidiene, cu excepția axiomului paralel, care este înlocuit de axioma de mai sus Lobachevsky. Spațiul Lobachevsky este definit într-un mod similar. Sarcina de a elucida semnificația reală a geometriei lui Lobachevski a constat în găsirea de modele ale planului și spațiului lui Lobachevsky, adică în găsirea unor astfel de obiecte în care să fie realizate dispozițiile adecvate interpretate ale planimetriei și stereometriei geometriei lui Lobachevski.

Iată câteva fapte ale geometriei lui Lobachevski, care o deosebesc de geometria euclidiană și stabilite de însuși Lobachevsky

1) În geometria lui Lobachevsky nu există triunghiuri similare, dar inegale; triunghiurile sunt egale dacă unghiurile lor sunt egale. Prin urmare, există o unitate absolută de lungime, adică un segment care se distinge prin proprietățile sale, la fel cum un unghi drept se distinge prin proprietățile sale. Un astfel de segment poate fi, de exemplu, partea triunghi regulat cu o sumă dată de unghiuri.

2) Suma unghiurilor oricărui triunghi este mai mică decât p și poate fi în mod arbitrar aproape de zero. Acest lucru se vede direct în modelul Poincaré. Diferența p - (a + b + g), unde a, b, g sunt unghiurile unui triunghi, este proporțională cu aria sa.

3) Prin punctul O, care nu se află pe o linie dată a, există la infinit multe linii drepte care nu intersectează a și se află în același plan cu ea; printre ele se află două extreme b, b`, care sunt numite paralele cu linia a în sensul lui Lobachevsky. În modelele Klein (Poincaré), acestea sunt reprezentate de coarde (arcuri de cercuri) având un final comun cu o coardă (arc) (care, prin definiția modelului, este exclus, astfel încât aceste linii să nu aibă puncte comune) (Fig. 1, 3). Unghiul dintre linia dreaptă b (sau b`) și perpendiculara de la O la a este așa-numita. unghiul de paralelism - pe măsură ce punctul O se îndepărtează de linia dreaptă, acesta scade de la 90 ° la 0 ° (în modelul Poincaré, unghiurile în sensul obișnuit coincid cu unghiurile din sensul Lobachevsky și, prin urmare, acest fapt poate fi văzut direct pe el). Paralela b de o parte (și b` de opus) se apropie asimptotic de a, iar pe de altă parte - se îndepărtează la infinit de ea (în modele, distanțele sunt dificil de determinat și, prin urmare, acest fapt nu este direct vizibil).

4) Dacă liniile drepte au o perpendiculară comună, atunci acestea se diverge la infinit în ambele direcții de la ea. Pentru oricare dintre ele, puteți restaura perpendiculare care nu ating o altă linie dreaptă.

5) O linie de distanțe egale față de o linie dreaptă nu este o linie dreaptă, ci o curbă specială numită linie echidistantă sau hipercicletă.

6) Limita cercurilor cu o rază de creștere infinită nu este o linie dreaptă, ci o curbă specială numită cerc limită, sau horociclu.

7) Limita sferelor cu o rază de creștere infinită nu este un plan, ci o suprafață specială - o sferă limită sau o horosferă; este remarcabil faptul că geometria euclidiană are loc pe ea. Aceasta a servit drept bază pentru derivarea lui Lobachevsky a formulelor de trigonometrie.

8) Circumferința nu este proporțională cu raza, dar crește mai repede.

9) Cu cât zona este mai mică în spațiu sau pe planul Lobachevsky, cu atât relațiile geometrice din această zonă diferă de relațiile din geometria euclidiană. Putem spune că geometria euclidiană are loc într-o regiune infinit de mică. De exemplu, cu cât triunghiul este mai mic, cu atât suma unghiurilor sale diferă de p; cu cât cercul este mai mic, cu atât raportul dintre lungimea acestuia și raza diferă de 2p, etc. O scădere a ariei este echivalentă formal cu o creștere a unității de lungime, prin urmare, cu o creștere infinită a unității de lungime, formulele lui Lobachevsky se transformă în formule ale geometriei euclidiene. Geometria euclidiană este, în acest sens, cazul „limitativ” al geometriei lui Lobachevski.

Geometria Lobachevsky continuă să fie dezvoltată de mulți geometri; studiază: soluția problemelor de construcție, poliedre, sisteme regulate de cifre, teoria generală a curbelor și suprafețelor etc. O serie de geometri au dezvoltat și mecanica în spațiul Lobachevsky. Aceste studii nu au găsit aplicații directe în mecanică, dar au dat naștere unor idei geometrice fructuoase. În general, geometria Lobachevsky este o arie de studiu extinsă, similară cu geometria euclidiană.