Pendul matematic Este un model de pendul obișnuit. Un pendul matematic este un punct material care este suspendat pe un fir lung, fără greutate și inextensibil.

Scoateți mingea din echilibru și eliberați-o. Două forțe vor acționa asupra mingii: gravitația și tensiunea firului. Când pendulul se mișcă, forța de frecare a aerului va acționa în continuare asupra acestuia. Dar o vom considera foarte mică.

Să descompunem forța gravitațională în două componente: forța îndreptată de-a lungul firului și forța direcționată perpendicular pe tangenta la traiectoria mingii.

Aceste două forțe se adună la forța gravitațională. Forțele elastice ale firului și componentul gravitațional Fn conferă accelerării centripete mingii. Lucrul acestor forțe va fi egal cu zero și, prin urmare, vor schimba doar direcția vectorului viteză. În orice moment, va fi direcționat tangențial către arcul circular.

Sub acțiunea componentei gravitaționale Fτ, mingea se va deplasa de-a lungul unui arc al unui cerc cu o viteză care crește în valoare absolută. Valoarea acestei forțe se schimbă întotdeauna în modul; la trecerea poziției de echilibru, este egală cu zero.

Dinamica oscilatorie

Ecuația mișcării unui corp care vibrează sub influența forței elastice.

Ecuația generală a mișcării:

Oscilațiile din sistem apar sub acțiunea unei forțe elastice, care, conform legii lui Hooke, este direct proporțională cu deplasarea sarcinii

Atunci ecuația de mișcare a mingii va lua următoarea formă:

Împărțiți această ecuație la m, obținem următoarea formulă:

Și întrucât masa și coeficientul de elasticitate sunt valori constante, raportul (-k / m) va fi, de asemenea, constant. Am obținut o ecuație care descrie vibrațiile unui corp sub acțiunea unei forțe elastice.

Proiecția accelerației corpului va fi direct proporțională cu coordonata acestuia, luată cu semnul opus.

Ecuația mișcării unui pendul matematic

Ecuația de mișcare a unui pendul matematic este descrisă prin următoarea formulă:

Această ecuație are aceeași formă ca și ecuația de mișcare a unei greutăți pe un arc. În consecință, oscilațiile pendulului și mișcarea mingii pe arc se produc în același mod.

Deplasarea mingii pe arc și deplasarea corpului pendulului din poziția de echilibru se schimbă cu timpul în conformitate cu aceleași legi.

nu-ți crede afaceri. Citiți cu atenție toate aceste articole. Atunci va deveni la fel de clar ca soarele strălucitor.

Deoarece mâna și creierul nu tuturor oamenilor au o putere misterioasă, pendulul aflat și în mâinile nu tuturor oamenilor poate deveni misterios. Această putere nu este dobândită, ci se naște împreună cu o persoană. Într-o familie, una se naște bogată, iar cealaltă săracă. Nimeni nu poate face cerșetorul bogat natural sau invers. Acum înțelegi cu asta ce am vrut să-ți spun. Dacă nu înțelegi, învinovățește-te, te-ai născut așa.

Ce este un pendul? Din ce este făcut? Un pendul este orice corp în mișcare liberă atașat la un șir. În mâinile stăpânului, o trestie simplă cântă ca o privighetoare. De asemenea, în mâinile unui biomaster talentat, pendulul are impacturi incredibile în sfera ființei și a existenței umane.

Nu se întâmplă întotdeauna să purtați un pendul cu voi. Așa că într-o familie a trebuit să găsesc un inel pierdut, dar pendulul nu era cu mine. M-am uitat în jur și un dop de vin mi-a venit în ochi. Aproximativ din mijlocul dopului, am făcut o ușoară tăietură cu un cuțit și am atașat firul. Pendulul este gata.
L-am întrebat: "Vei lucra sincer cu mine?" Se învârtea puternic în sensul acelor de ceasornic, afirmativ, parcă ar răspunde vesel. Anunță-l mental: „Atunci să găsim inelul lipsă”. Pendulul se mișcă din nou de acord. Am început să mă plimb prin curte.

Pentru că nora a spus că nu a avut încă timp să intre în casă când a observat că nu are inel pe deget. Ea a mai spus că a vrut de mult să meargă la bijutier, deoarece degetele ei slăbiseră, iar inelul a început să cadă. Dintr-o dată pendulul de pe mâinile mele s-a mișcat puțin, s-a întors puțin în spate, pendulul a devenit tăcut. Am mers înainte, dar pendulul s-a mișcat din nou. Am continuat, m-am liniștit din nou, am fost uimit. În stânga, pendulul este tăcut, înainte este tăcut. Drept să nu merg nicăieri. Există un șanț mic de irigare. Deodată am luminat și am ținut pendulul direct deasupra apei. Pendulul a început să se rotească intens în sensul acelor de ceasornic. Am sunat-o pe nora mea și am arătat locația inelului.
Cu bucurie în ochi, a început să scotocească prin șanțul de irigație și a găsit repede inelul. Se pare că și-a spălat mâinile în șanț și, în acel moment, inelul a căzut, dar nu a observat. Toți cei prezenți au admirat munca dopului de vin.

Nu toți oamenii se nasc ghicitori sau ghicitori. Nu toți ghicitorii sau ghicitorii funcționează cu succes. Unii predictori funcționează cu erori mai mici și mulți trișează ca țiganii. La fel și pendulul. El este un lucru inutil pentru o persoană ineptă, deși este făcut din aur, nu contează. În mâinile unui adevărat maestru, o bucată de piatră obișnuită sau nuci face minuni.
Îmi amintesc ca ieri. La o întâlnire, mi-am scos jacheta și am ieșit o vreme. Când m-am întors, inima mea a simțit că ceva nu este în regulă. Mecanic începu să scotocească în buzunar. S-a dovedit că cineva îmi luase pendulul de argint. Am tăcut și nu am povestit nimănui despre ce s-a întâmplat.
Au trecut multe zile și, într-o zi, unul dintre acei oameni care stăteau cu noi la ședința unde mi s-a pierdut pendulul, a venit la mine acasă. Îi părea profund rău și mi-a dat un pendul. Se pare că el a crezut că toată puterea se află pe pendulul meu și a crezut că acest pendul va funcționa atât pentru el, cât și pentru mine.
Când și-a dat seama de greșeala lui, conștiința l-a chinuit mult timp și a decis în cele din urmă să returneze pendulul proprietarului său. I-am acceptat scuzele, l-am tratat cu ceai și chiar l-am diagnosticat. Am găsit multe boli în el cu un pendul și i-am pregătit medicamente adecvate.
Unii oameni au un dar natural pentru vindecare și ghicire. Acest talent nu iese de ani de zile pentru ei. Uneori, ocazional, se ciocnesc cu un expert, iar acesta îi arată drumul său de viață.
Recent, o femeie de vârstă mijlocie a venit pentru un diagnostic. Din aspectul ei nu se poate spune că este bolnavă. Ea s-a plâns de căldura ridicată a extremităților sale, atât din palmă, cât și din tălpile căldurii care au ieșit în mod constant, și a simțit adesea dureri sălbatice de explozie în cap în regiunea coroanei. În primul rând, diagnosticându-l prin puls, observând o creștere a tonusului vascular, am început să măsoară tensiunea arterială cu un aparat semiautomat. Ca rezultat, valorile s-au scurs atât pentru sistolică, cât și pentru diastolică. Au indicat 135-241, iar ritmul cardiac a fost sub normal, pentru o astfel de hipertensiune: 62 bătăi pe minut. O femeie cu o presiune atât de crescută stătea calmă în fața mea. Ca și cum nu simțiți disconfort, din starea lor de vase de sânge. Hipertensiunea esențială (de neînțeles) nu a apăsat-o.

Nu am observat din pulsul ei și, în timpul diagnosticării pulsului, nu a fost, de asemenea, nimic în neregulă. Am diagnosticat-o cu o hipertensiune esențială (cauză inexplicabilă) mai puțin frecventă. Dacă un medic obișnuit i-ar măsura tensiunea arterială, el a chemat imediat o ambulanță și a pus-o pe o targă. Nici măcar n-o las să se miște. Faptul este că la o persoană cu o astfel de creștere a presiunii, se ia în considerare o criză hipertensivă. Poate fi urmat de un accident vascular cerebral cerebral sau de un atac de cord.
Potrivit acesteia, se simte mult mai rău din cauza medicamentelor antihipertensive convenționale, încât chiar se simte rău după ele. La insistența fiului ei, a învățat să folosească pendulul atunci când capul îi doare grav, întreabă pendulul dacă bea sau nu aspirină sau pentalgin. Mai rar, cu acordul pendulului, ia un decoct de frunze de salcie sau un decoct de frunze de gutui, pe care medicul Muhiddin i le-a recomandat acum patru ani. Dacă îi doare rău capul, atunci bea aspirină, în cazuri extrem de severe, ia pentalgin. Medicii și vecinii pacienților hipertensivi râd de automedicația ei.
Am verificat cu pendulul meu toate medicamentele pe care le ia pentru durerile de cap și hipertensiunea arterială. Toate s-au dovedit a fi eficiente. Am întrebat și pendulul. „Își va îmbunătăți sănătatea dacă începe să vindece oamenii cu căldura ei?”, Pendulul a oscilat imediat puternic în sensul acelor de ceasornic, afirmativ. Așa că i-am prescris ea însăși tratament, pentru a scăpa de hipertensiunea arterială esențială, trebuie să se ocupe de tratamentul bolilor altor persoane, punându-și mâinile sau picioarele pe ele. Acum, eu însumi îi trimit adesea pe pacienți la ea și ea îi tratează cu succes. pase psihice... Pentru bolile către talie, direcționează căldura mâinii, pentru bolile de sub talie, în poziție culcată deasupra pacientului, el ține piciorul drept sau respectiv stâng, într-o zonă cu probleme.
Atât ea, cât și pacienții sunt mulțumiți de rezultate. De doi ani încoace, ea nu mai ia aspirină și nici pentalgin, iar pendulul îi permite uneori să bea un decoct de frunze de salcie sau gutui, cu dureri de cap minore.
Cine are nevoie de ajutorul ei, scrie-mi, te va ajuta contra unei taxe mici. Am învățat-o chiar să trateze oamenii care se aflau la distanțe mari într-un mod fără contact.
O persoană care lucrează cu adevărat cu pendulul în timpul funcționării pendulului trebuie să fie în comunicare sincronă cu acesta și trebuie să știe și să simtă în prealabil către ce canal este direcționată acțiunea pendulului acest moment... Cu potențialul energetic al creierului său, persoana care ține firul pendulului ar trebui să-l ajute subconștient, și nu speculativ, în acțiuni ulterioare asupra acestui obiect și să nu privească indiferent acțiunea pendulului ca spectator.
Pendulul a fost și este încă folosit de aproape toată lumea oameni faimosi în Mesopotamia, Asiria, Urartu, India, China, Japonia, în roma antică, Egipt, Grecia, Asia, Africa, America, Europa, Est și multe țări din întreaga lume.
Datorită faptului că multe instituții internaționale proeminente, figuri proeminente din diferite domenii ale științei nu au apreciat încă suficient acțiunea și scopul pendulului în favoarea coexistenței omenirii cu natura înconjurătoare, simbiotică și armonioasă. Opiniile pseud științifice asupra universului Normalului Universal la nivelul științei naturale moderne nu au abandonat încă complet umanitatea. Etapa ștergerii graniței cunoașterii dintre religie, esoterism și științe naturale este în curs. Bineînțeles, știința naturii ar trebui să devină baza tuturor științelor fundamentale, fără nici o vedere laterală.
Se speră că știința pendulului va ocupa și un loc demn în viața oamenilor, alături de știința informației. La urma urmei, a existat un moment în care liderii țării noastre multinaționale au declarat cibernetica ca pseudostiință și nu au permis nu doar studierea, nici chiar implicarea în institutii de invatamant.
Așa că acum la nivelul celui mai înalt eșalon stiinta moderna, privesc ideea unui pendul ca și cum ar fi o industrie înapoiată. Este necesar să sistematizați pendulul, radiestezia, cadrul într-o singură secțiune de informatică și trebuie să creați un modul de program pentru computer.
Cu ajutorul acestui modul, oricine poate găsi lucruri lipsă, localiza obiecte și, în final, diagnostica oameni, animale, păsări, insecte, în general, întreaga natură.
Pentru aceasta, este necesar să se studieze ideile lui L. G. Puchko despre medicina multidimensională și munca psihicului Geller, precum și ideile vindecătorului bulgar Kanaliev și munca multor altor oameni care au obținut rezultate uimitoare cu ajutorul unui pendul.

Un pendul matematic se numește punct material suspendat pe un fir imponderabil și inextensibil atașat la suspensie și situat în câmpul de greutate (sau altă forță).

Să studiem oscilațiile unui pendul matematic într-un cadru de referință inerțial, relativ la care punctul suspendării sale este în repaus sau se mișcă uniform în linie dreaptă. Vom neglija forța de rezistență la aer (pendulul matematic ideal). Inițial, pendulul se sprijină în poziția de echilibru C. În acest caz, forța de greutate și forța elastică F? Ynp a firului care acționează asupra acestuia sunt compensate reciproc.

Să scoatem pendulul din poziția de echilibru (prin devierea acestuia, de exemplu, în poziția A) și să-l lăsăm fără viteză inițială (Fig. 1). În acest caz, forțele nu se echilibrează reciproc. Componenta tangențială a forței gravitaționale care acționează asupra pendulului îi conferă o accelerație tangențială a ?? (componenta accelerației totale îndreptate de-a lungul tangentei la traiectoria pendulului matematic), iar pendulul începe să se deplaseze spre poziția de echilibru cu viteza crescând în magnitudine. Componenta tangențială a gravitației este astfel o forță de refacere. Componenta normală a gravitației este îndreptată de-a lungul firului împotriva forței elastice. Rezultatul forțelor conferă accelerării normale pendulului, care schimbă direcția vectorului vitezei, iar pendulul se deplasează de-a lungul arcului ABCD.

Cu cât pendulul se apropie de poziția de echilibru C, cu atât devine mai mică valoarea componentei tangențiale. În poziția de echilibru, este egal cu zero, iar viteza atinge valoarea maximă, iar pendulul se deplasează mai departe prin inerție, crescând într-un arc în sus. În acest caz, componenta este îndreptată împotriva vitezei. Odată cu creșterea unghiului de deviere a, modulul de forță crește, iar modulul vitezei scade, iar în punctul D viteza pendulului devine zero. Pendulul se oprește pentru o clipă și apoi începe să se deplaseze în direcția opusă poziției de echilibru. După ce l-a trecut din nou prin inerție, pendulul, încetinindu-și mișcarea, va ajunge la punctul A (nu există frecare), adică va face un swing complet. După aceea, mișcarea pendulului va fi repetată în secvența deja descrisă.

Să obținem o ecuație care descrie oscilațiile libere ale unui pendul matematic.

Fie pendulul la un moment dat de timp să fie în punctul B. Deplasarea sa S din poziția de echilibru în acest moment este egală cu lungimea arcului SV (adică, S \u003d | SV |). Să notăm lungimea firului de suspensie ca l și masa pendulului ca m.

Figura 1 arată că, unde. Prin urmare, la unghiuri mici () devierea pendulului

Semnul minus din această formulă este setat deoarece componenta tangențială a forței gravitaționale este direcționată către poziția de echilibru, iar deplasarea este numărată din poziția de echilibru.

Conform celei de-a doua legi a lui Newton. Să proiectăm cantitățile vectoriale ale acestei ecuații pe direcția tangentei la traiectoria pendulului matematic

Din aceste ecuații obținem

Ecuația dinamică a mișcării unui pendul matematic. Accelerația tangențială a unui pendul matematic este proporțională cu deplasarea acestuia și este direcționată spre poziția de echilibru. Această ecuație poate fi scrisă ca a

Comparându-l cu ecuația vibrației armonice , putem concluziona că pendulul matematic efectuează oscilații armonice. Și întrucât oscilațiile considerate ale pendulului s-au produs sub acțiunea numai a forțelor interne, atunci acestea au fost oscilații libere ale pendulului. În consecință, oscilațiile libere ale unui pendul matematic cu mici abateri sunt armonice.

Denotăm

Frecvența ciclică a pendulului.

Perioada de pendulare a pendulului. Prin urmare,

Această expresie se numește formula lui Huygens. Determină perioada de oscilații libere a pendulului matematic. Din formula rezultă că, la unghiuri mici de abatere de la poziția de echilibru, perioada de oscilație a pendulului matematic este:

1. nu depinde de masa și amplitudinea vibrațiilor sale;
2. proporțional cu rădăcina pătrată a lungimii pendulului și invers proporțional cu rădăcina pătrată a accelerației cădere liberă.

Acest lucru este în concordanță cu legile experimentale ale micilor oscilații ale unui pendul matematic, care au fost descoperite de G. Galileo.

Subliniem că această formulă poate fi utilizată pentru a calcula perioada în care sunt îndeplinite simultan două condiții:

1. oscilațiile pendulului trebuie să fie mici;
2. punctul de suspensie al pendulului trebuie să fie în repaus sau să se deplaseze uniform rectiliniu în raport cu cadrul de referință inerțial în care este situat.

Dacă punctul de suspensie al pendulului matematic se mișcă cu accelerația, atunci se modifică forța de tensiune a firului, ceea ce duce la o modificare a forței de refacere și, în consecință, în frecvența și perioada oscilațiilor. Calculele arată că perioada de oscilație a pendulului în acest caz poate fi calculată prin formulă

unde este accelerația „efectivă” a pendulului într-un cadru de referință non-inerțial. Este egal cu suma geometrică a accelerației de cădere liberă și vectorul opus vectorului, adică poate fi calculat prin formula

Pendul matematic.

Un pendul matematic este un punct material suspendat pe un fir inextensibil fără greutate care oscilează într-un singur plan vertical sub acțiunea gravitației.

Un astfel de pendul poate fi considerat o bilă grea de masă m suspendată de un fir subțire, a cărui lungime l este mult mai mare decât dimensiunea mingii. Dacă este deviat sub un unghi α (Figura 7.3.) De la linia verticală, atunci sub influența forței F - una dintre componentele greutății P, va oscila. Cealaltă componentă îndreptată de-a lungul firului nu este luată în considerare, deoarece echilibrat de tensiunea firului. La unghiuri mici de deplasare și, atunci coordonata x poate fi măsurată de-a lungul direcției orizontale. Figura 7.3 arată că componenta greutății perpendiculare pe fir este

Momentul de forță relativ la punctul O :, și momentul de inerție:
M \u003d FL .
Moment de inerție J în acest caz
Accelerație unghiulară:

Având în vedere aceste valori, avem:

(7.8)

Decizia lui
,

unde și

(7.9)

După cum puteți vedea, perioada de oscilații a unui pendul matematic depinde de lungimea acestuia și de accelerația gravitației și nu depinde de amplitudinea oscilațiilor.

Pendul fizic.

Pendulul fizic se numește solid, fixat pe o axă orizontală fixă \u200b\u200b(axă de suspensie), care nu trece prin centrul de greutate și oscilează în jurul acestei axe sub acțiunea gravitației. Spre deosebire de un pendul matematic, masa unui astfel de corp nu poate fi considerată în sens punctual.

La unghiuri mici de deviere α (Fig. 7.4), pendulul fizic efectuează, de asemenea, oscilații armonice. Vom presupune că greutatea pendul fizic aplicată centrului său de greutate în punctul C. Forța care readuce pendulul în poziția de echilibru, în acest caz, va fi componenta gravitației - forța F.

Semnul minus din partea dreaptă înseamnă că forța F este îndreptată spre o scădere a unghiului α. Ținând cont de micimea unghiului α

Pentru a obține legea mișcării pendulelor matematice și fizice, folosim ecuația de bază a dinamicii mișcării de rotație

Momentul puterii: nu poate fi definit în mod explicit. Luând în considerare toate cantitățile incluse în ecuația diferențială originală a oscilațiilor pendulului fizic are forma.

Un sistem mecanic care constă din punct material (corpul) atârnat pe un fir inextensibil fără greutate (masa acestuia este neglijabilă în comparație cu greutatea corpului) într-un câmp gravitațional uniform se numește pendul matematic (un alt nume este oscilator). Există și alte tipuri ale acestui dispozitiv. O tijă fără greutate poate fi utilizată în locul unui fir. Un pendul matematic poate dezvălui în mod clar esența multor fenomene interesante. Cu o mică amplitudine a vibrațiilor, mișcarea sa se numește armonică.

Informații generale despre sistemul mecanic

Formula pentru perioada de oscilație a acestui pendul a fost derivată de omul de știință olandez Huygens (1629-1695). Acest contemporan al lui I. Newton era foarte pasionat de acest sistem mecanic. În 1656 a creat primul ceas cu pendul. Au măsurat timpul cu o precizie excepțională pentru acele vremuri. Această invenție a devenit cea mai importantă etapă în dezvoltarea experimentelor fizice și a activităților practice.

Dacă pendulul este în echilibru (atârnat vertical), acesta va fi echilibrat de forța de tensiune a firului. Un pendul plan pe un fir inextensibil este un sistem cu două grade de libertate cu o constrângere. Când schimbați doar o componentă, caracteristicile tuturor părților sale se schimbă. Deci, dacă firul este înlocuit cu o tijă, atunci acest sistem mecanic va avea doar 1 grad de libertate. Ce proprietăți are un pendul matematic? În acest sistem cel mai simplu, haosul apare sub influența tulburărilor periodice. În cazul în care punctul de suspensie nu se mișcă, ci oscilează, apare o nouă poziție de echilibru la pendul. Cu vibrații rapide în sus și în jos, acest sistem mecanic ia o poziție inversă stabilă. Are și propriul său nume. Se numește pendulul Kapitsa.

Proprietățile pendulului

Pendulul matematic are proprietăți foarte interesante. Toate acestea sunt confirmate de legi fizice bine cunoscute. Perioada de oscilație a oricărui alt pendul depinde de diferite circumstanțe, cum ar fi dimensiunea și forma corpului, distanța dintre punctul de suspensie și centrul de greutate și distribuția masei în jurul unui punct dat. De aceea, determinarea perioadei unui corp agățat este o sarcină destul de dificilă. Este mult mai ușor să calculați perioada unui pendul matematic, a cărui formulă va fi dată mai jos. Ca urmare a observațiilor unor astfel de sisteme mecanice, este posibil să se stabilească următoarele tipare:

Dacă, păstrând aceeași lungime a pendulului, suspendăm greutăți diferite, atunci perioada oscilațiilor lor va fi aceeași, deși masele lor vor fi foarte diferite. În consecință, perioada unui astfel de pendul nu depinde de masa sarcinii.

Dacă, la pornirea sistemului, pendulul este deviat cu unghiuri nu prea mari, ci diferite, atunci va începe să oscileze cu aceeași perioadă, dar la amplitudini diferite. Atâta timp cât abaterile de la centrul de echilibru nu sunt prea mari, oscilațiile în forma lor vor fi suficient de apropiate de armonice. Perioada unui astfel de pendul nu depinde în niciun fel de amplitudinea oscilatorie. Această proprietate a acestui sistem mecanic se numește izocronism (tradus din grecescul "cronos" - timp, "isos" - egal).

Perioada pendulului matematic

Acest indicator reprezintă o perioadă În ciuda formulării complexe, procesul în sine este foarte simplu. Dacă lungimea firului pendulului matematic este L și accelerația gravitației este g, atunci această valoare este egală cu:

Perioada micilor oscilații naturale nu depinde în niciun fel de masa pendulului și de amplitudinea oscilațiilor. În acest caz, pendulul se mișcă ca unul matematic cu o lungime redusă.

Oscilațiile unui pendul matematic

Un pendul matematic oscilează, care poate fi descris printr-o ecuație diferențială simplă:

x + ω2 sin x \u003d 0,

unde x (t) este o funcție necunoscută (acesta este unghiul de deviere de la poziția de echilibru inferior la momentul t, exprimat în radiani); ω este o constantă pozitivă, care se determină din parametrii pendulului (ω \u003d √g / L, unde g este accelerația de cădere liberă și L este lungimea pendulului matematic (suspensie).

Ecuația vibrațiilor mici în apropierea poziției de echilibru (ecuația armonică) arată astfel:

x + ω2 sin x \u003d 0

Mișcări oscilatorii ale pendulului

Un pendul matematic care face mici oscilații se mișcă de-a lungul unui sinusoid. Ecuația diferențială de ordinul doi îndeplinește toate cerințele și parametrii unei astfel de mișcări. Pentru a determina traiectoria, este necesar să setați viteza și coordonatele, de la care se determină apoi constante independente:

x \u003d Un păcat (θ 0 + ωt),

unde θ 0 este faza inițială, A este amplitudinea vibrației, ω este frecvența ciclică determinată din ecuația mișcării.

Pendul matematic (formule pentru amplitudini mari)

Acest sistem mecanic, care oscilează cu o amplitudine semnificativă, respectă legile mai complexe ale mișcării. Pentru un astfel de pendul, acestea sunt calculate prin formula:

sin x / 2 \u003d u * sn (ωt / u),

unde sn este sinusul Jacobi, care pentru u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым sinus trigonometric... Valoarea u este determinată de următoarea expresie:

u \u003d (ε + ω2) / 2ω2,

unde ε \u003d E / mL2 (mL2 este energia pendulului).

Determinarea perioadei de oscilație a unui pendul neliniar se realizează prin formula:

unde Ω \u003d π / 2 * ω / 2K (u), K este o integrală eliptică, π - 3,14.

Mișcarea pendulului de-a lungul separatrixului

O separatrix este traiectoria unui sistem dinamic cu un spațiu de fază bidimensional. Pendulul matematic se mișcă de-a lungul acestuia ne-periodic. Într-un moment infinit îndepărtat, cade din poziția extremă superioară în lateral cu viteză zero, apoi îl ridică treptat. În cele din urmă se oprește, revenind la poziția sa inițială.

Dacă amplitudinea oscilațiilor pendulului se apropie de număr π , acest lucru sugerează că mișcarea pe planul de fază se apropie de separatrix. În acest caz, sub influența unei mici forțe periodice de forțare, sistemul mecanic prezintă un comportament haotic.

Când pendulul matematic se abate de la poziția de echilibru cu un anumit unghi φ, apare o gravitație tangențială Fτ \u003d -mg sin φ. Semnul minus înseamnă că această componentă tangentă este direcționată în direcția opusă abaterii pendulului. Când x denotă deplasarea unui pendul de-a lungul unui arc al unui cerc cu raza L, deplasarea sa unghiulară este φ \u003d x / L. A doua lege pentru proiecții și forțe va da valoarea dorită:

mg τ \u003d Fτ \u003d -mg sin x / L

Pe baza acestui raport, este clar că acest pendul este un sistem neliniar, deoarece forța care tinde să îl readucă în poziția de echilibru este întotdeauna proporțională nu cu deplasarea x, ci cu sin x / L.

Numai atunci când pendulul matematic efectuează mici oscilații este un oscilator armonic. Cu alte cuvinte, devine un sistem mecanic capabil să efectueze vibrații armonice. Această aproximare este practic valabilă pentru unghiuri de 15-20 °. Oscilațiile pendulului cu amplitudini mari nu sunt armonice.

Legea lui Newton pentru micile oscilații ale unui pendul

Dacă un anumit sistem mecanic efectuează vibrații mici, a doua lege a lui Newton va arăta astfel:

mg τ \u003d Fτ \u003d -m * g / L * x.

Pe baza acestui fapt, putem concluziona că pendulul matematic este proporțional cu deplasarea sa cu un semn minus. Aceasta este condiția datorită căreia sistemul devine un oscilator armonic. Modulul raportului de aspect dintre deplasare și accelerație este egal cu pătratul frecvenței unghiulare:

ω02 \u003d g / L; ω0 \u003d √ g / L.

Această formulă reflectă frecvența naturală a micilor oscilații ale acestui tip de pendul. Bazat pe acest lucru,

T \u003d 2π / ω0 \u003d 2π√ g / L.

Calcule bazate pe legea conservării energiei

Proprietățile unui pendul pot fi, de asemenea, descrise folosind legea conservării energiei. Trebuie avut în vedere faptul că pendulul din câmpul gravitațional este egal cu:

E \u003d mg∆h \u003d mgL (1 - cos α) \u003d mgL2sin2 α / 2

Plin este egal cu potențial cinetic sau maxim: Epmax \u003d Ekmsx \u003d E

După notarea legii conservării energiei, se ia derivata laturilor din dreapta și din stânga ale ecuației:

Deoarece derivata constantelor este 0, atunci (Ep + Ek) "\u003d 0. Derivata sumei este egală cu suma derivatelor:

Ep "\u003d (mg / L * x2 / 2)" \u003d mg / 2L * 2x * x "\u003d mg / L * v + Ek" \u003d (mv2 / 2) \u003d m / 2 (v2) "\u003d m / 2 * 2v * v "\u003d mv * α,

prin urmare:

Mg / L * xv + mva \u003d v (mg / L * x + m α) \u003d 0.

Pe baza ultimei formule, găsim: α \u003d - g / L * x.

Aplicarea practică a pendulului matematic

Accelerarea se modifică de la latitudinedin moment ce densitatea crustă de-a lungul planetei nu este același lucru. Acolo unde apar roci cu densitate mai mare, aceasta va fi ușor mai mare. Accelerarea unui pendul matematic este adesea utilizată pentru explorarea geologică. Diverse minerale sunt căutate în ea. Pur și simplu numărând numărul de oscilații ale pendulului, puteți găsi cărbune sau minereu în intestinele Pământului. Acest lucru se datorează faptului că astfel de fosile au o densitate și o masă mai mari decât rocile libere care stau la baza lor.

Oamenii de știință remarcabili precum Socrate, Aristotel, Platon, Plutarh, Arhimede au folosit pendulul matematic. Mulți dintre ei credeau că acest sistem mecanic ar putea influența soarta și viața unei persoane. Arhimede a folosit un pendul matematic în calculele sale. În zilele noastre, mulți ocultiști și psihici folosesc acest sistem mecanic pentru a-și îndeplini profețiile sau pentru a căuta oameni dispăruți.

Celebrul astronom și naturalist francez K. Flammarion a folosit, de asemenea, un pendul matematic pentru cercetările sale. El a susținut că, cu ajutorul său, a fost capabil să prezică descoperirea unei noi planete, apariția Meteoritul Tunguska și alte evenimente importante. În timpul celui de-al doilea război mondial, un institut specializat Pendulum a lucrat în Germania (Berlin). În prezent, Institutul de Parapsihologie din München este angajat în cercetări similare. Angajații acestei instituții își numesc munca cu pendulul „radioestezie”.