Colțuri poliedrice. O suprafață formată dintr-un set finit de unghiuri plane A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 cu un vârf comun S, în care colțurile adiacente nu au puncte comune, cu excepția punctelor unei raze comune, iar colțurile adiacente nu au puncte comune, cu excepția unui vârf comun, va fi numită suprafață poliedrică. Figura formată din suprafața specificată și una dintre cele două părți ale spațiului delimitat de aceasta se numește unghi poliedric. Vârful comun S se numește vârful unghiului poliedric. Razele SA1,…, SAn se numesc muchiile unghiului poliedric, iar unghiurile plane A1SA2, A2SA3,…, An-1SAn, AnSA1 sunt numite fețele unghiului poliedric. Un unghi poliedric este desemnat de literele SA1 ... An, indicând vârful și punctele de pe marginile sale.

Slide 1 din prezentarea „Unghi poliedric” la lecții de geometrie pe tema „Unghiuri în spațiu”

Dimensiuni: 960 x 720 pixeli, format: jpg. Pentru a descărca un diapozitiv gratuit pentru utilizare în lecția de geometrie, faceți clic dreapta pe imagine și faceți clic pe „Salvați imaginea ca ...”. Puteți descărca întreaga prezentare „Polyhedral Angle.ppt” într-o arhivă zip de 329 KB.

Descărcați prezentarea

Unghiuri în spațiu

"Unghiul dintre linii în spațiu" - În cubul A ... D1 găsiți unghiul dintre liniile: AB1 și BC1. Unghiul dintre linii drepte în spațiu. Răspuns: 90o. Răspuns: 45o. În cubul A ... D1 găsiți unghiul dintre liniile drepte: A1C1 și B1D1. În cubul A ... D1 găsiți unghiul dintre liniile drepte: AA1 și BC. Răspuns: În cubul A ... D1 găsiți unghiul dintre liniile drepte: AA1 și BD1. În cubul A ... D1 găsiți unghiul dintre liniile drepte: AA1 și BC1.

„Colț inscripționat” - Construiește un unghi drept? La fel cu acesta? Teorema: Definiție: acceptată. Munca practica... Khasanova E.I., profesor de matematică, planul lecției: unghiuri inscripționate. Dovadă: Date: Rezumatul lecției. clasa a 8-a. B). Cum sunt unghiurile AOB și ACB asemănătoare și diferite? MOU „MSOSH No. 16”, Miass, regiunea Chelyabinsk.

Unghi poliedric - Măsurarea unghiurilor poliedrice. Cele două colțuri plane ale unghiului triunghiular sunt de 70 ° și 80 °. Prin urmare, ? ASB +? BSC +? ASC< 360° . Трехгранные углы. Таким образом, остается доказать неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC. Доказательство аналогично доказательству соответствующего свойства для трехгранного угла.

„Unghiuri adiacente” - Date :? AOC și? BOC - adiacente. Dovediți :? AOC +? BOC \u003d 180?. Colțuri adiacente și verticale. d. c. Teorema. Corolari din teorema. b. Și alăturat desfășurat? Având un arbitrar? (Ab), diferit de cel extins. Definiție. A. Lecția 11. Suma unghiurilor adiacente este 180? Dovezi.

Slide 1

Slide 2

Teorema. Într-un unghi triunghiular, suma unghiurilor plane este mai mică de 360, iar suma oricăror două dintre ele este mai mare decât a treia. Dat: Оabc - unghi triedric; (b; c) \u003d; (a; c) \u003d; (a; b) \u003d. Proprietatea principală a colțului triunghiular. Dovediți: + +< 360 ; 2) + > ; + > ; + > .

Slide 3

Dovada I. Să< 90 ; < 90 ; (ABC) с. Тогда ОВС = 90 – < ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Аналогично, ОАС = 90 – < ОAВ. Следовательно, = 180 – (ОАB + ОBA) < 180 – ((90 –) + (90 –)) = + . Если < 90 , то остальные два неравенства пункта 2) доказываются аналогично, а если 90 , то они – очевидны. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: 2) + > ; + > ; + > .

Diapozitivul 4

Formula a trei cosinusuri. Consecințe. 1) Pentru a calcula unghiul dintre o dreaptă și un plan, se aplică următoarea formulă: 2) Unghiul dintre o dreaptă și un plan este cel mai mic dintre unghiurile pe care această linie dreaptă le formează cu liniile drepte ale acestui plan.

Diapozitivul 5

II. Pe marginile acestui colț, setați punctele A ', B' și C 'astfel încât | OA' | \u003d | OB ’| \u003d | OC ’| Atunci triunghiurile A'OB ', B'OC' și C'OA 'sunt isosceli, iar unghiurile lor la bazele 1-6 sunt acute. Pentru unghiurile triedrice cu vârfurile A ', B' și C ', se aplică inegalitățile dovedite în paragraful I: C'A'B'< 1 + 6; А’B’C’ < 2 + 3; B’С’А’ < 4 + 5. Сложим эти неравенства почленно, тогда 180 < (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) = = (180 –) + (180 –) + (180 –) + + < 360 . Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > .

Diapozitivul 6

III. Luați în considerare raza c ’- o rază suplimentară c și pentru unghiul triedric Оabc’ folosim inegalitatea dovedită în punctul II pentru un unghi triunghiular arbitrar: (180 -) + (180 -) +< 360 + > ... Celelalte două inegalități sunt dovedite în mod similar. Dat: Оabc - unghi triedric; (b; c) \u003d; (a; c) \u003d; (a; b) \u003d. Dovediți: + +< 360 ; 2) + > ; +\u003e; +\u003e. din'

Diapozitivul 7

Consecinţă. Într-o piramidă triunghiulară regulată, unghiul de vârf planar este mai mic de 120.

Diapozitivul 8

Definiție. Se spune că unghiurile triunghiulare sunt egale dacă toate unghiurile lor plane și diedre corespunzătoare sunt egale. Semne de egalitate a unghiurilor triedrice. Unghiurile triedrice sunt egale dacă sunt egale: două unghiuri plane și un unghi diedru între ele; 2) două unghiuri diedre și un unghi plat între ele; 3) trei colțuri plate; 4) trei unghiuri diedre. Figura: 4b

Diapozitivul 9

... ... Dat fiind un unghi triunghiular Oabc. Lasa< 90 ; < 90 ; тогда рассмотрим (ABC) с По теореме косинусов из CАВ: |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC| |BC| cos Аналог теоремы косинусов Аналогично, из OАВ: |AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO| |BO| cos . Вычтем из второго равенства первое и учтем, что |AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2: 2|CO|2 – 2|AO| |BO| cos + 2|AC| |BC| = 0 . ; ; ; тогда cos = cos cos + sin sin cos Заменим:

Diapozitivul 10

II. Să\u003e 90; \u003e 90, apoi considerați raza c ', complementară cu c, și unghiul triedric corespunzător Oabc', în care unghiurile plane - și - sunt acute, iar unghiul plan și unghiul diedru sunt aceleași. Prin I..: Cos \u003d cos (-) cos (-) + sin (-) sin (-) cos cos \u003d cos cos + sin sin cos

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați-vă un cont Google (cont) și conectați-vă la acesta: https://accounts.google.com

Subtitrări de diapozitive:

Unghiuri diedrice Lucrare efectuată de: profesor de matematică Serebryanskaya L.A.

Un unghi diedru este partea spațiului închisă între două semiplane care au o singură margine comună.

Semiplanele α și β care formează un unghi diedru se numesc fețele sale

Alegeți un punct arbitrar C pe marginea A D a unghiului diedru și trageți prin el planul α perpendicular pe marginea AP. Planul α intersectează fețele unghiului diedru de-a lungul razelor a și b, care formează un unghi de valoare φ. Acest unghi se numește unghiul liniar al diedrului.

Când două planuri se intersectează, se formează patru unghiuri diedre. Mărimea celui mai mic dintre aceste unghiuri diedrice se numește unghiul dintre aceste plane.

Dacă planurile sunt paralele, atunci unghiul dintre ele este 0 ° prin definiție. Dacă φ este unghiul dintre două plane, atunci 0 °

Problemă În cubul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, găsiți unghiul dintre planurile BC 1 D și BA 1 D. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1

Problemă dată: cubul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Găsiți: unghiul dintre planurile BC 1 D și BA 1 D Soluție: А В С D А 1 В 1 С 1 D 1 О ∆ BDA 1 și ∆ DC 1 B sunt izoscele egale AO și C 1 O sunt perpendiculare pe DB \u003d »A 1 O C 1 C 1 O dorită este diagonala unui pătrat cu latura egală cu 1.

http: // old.college.ru/mathematics/courses/stereometry/content/chapter3/section/paragraph6/theory.html http://e-science.ru/math/theory/? t \u003d 320

Pe subiect: evoluții metodologice, prezentări și note

Unul dintre subiectele principale din stereometrie este subiectul „Unghiuri diedrice”. În ciuda faptului că elevii învață cu ușurință conceptele de unghi diedru și unghiul său liniar, există multe dificultăți în rezolvare ...

Slide 1

UNGHIURI POLIFACIALE Figura formată din suprafața specificată și una dintre cele două părți ale spațiului delimitat de aceasta se numește unghi poliedric. Vârful comun S se numește vârful unghiului poliedric. Razele SA1,…, SAn se numesc muchiile unghiului poliedric, iar unghiurile plane A1SA2, A2SA3,…, An-1SAn, AnSA1 sunt numite fețele unghiului poliedric. Un unghi poliedric este desemnat de literele SA1 ... An, indicând vârful și punctele de pe marginile sale. O suprafață formată dintr-un set finit de unghiuri plane A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 cu un vârf comun S, în care colțurile adiacente nu au puncte comune, cu excepția punctelor unei raze comune, iar colțurile adiacente nu au puncte comune, cu excepția unui vârf comun, se va numi suprafață poliedrică.

Slide 2

UNGHIURILE POLIFACEI În funcție de numărul fețelor, colțurile poliedrice sunt triunghiulare, tetraedrice, pentaedrice etc.

Slide 3

Teorema unghiurilor tradiționale. Orice unghi plan al unui unghi triedric este mai mic decât suma celorlalte două unghiuri plane ale acestuia. Dovezi. Luați în considerare un colț triedric SABC. Fie cel mai mare dintre unghiurile sale plate să fie unghiul ASC. Apoi inegalitățile ASB ASC

Diapozitivul 4

TRIANGLE CORNERS Proprietate. Suma unghiurilor plane ale unui unghi triunghiular este mai mică de 360 \u200b\u200b°. În mod similar, pentru unghiurile triedrice cu vârfurile B și C, se mențin următoarele inegalități: ABC

Diapozitivul 5

Unghiuri poliedrice convexe Un unghi poliedric se numește convex dacă este o figură convexă, adică, împreună cu oricare dintre punctele sale, conține în întregime segmentul care le conectează. Figura prezintă exemple de unghiuri poliedrice convexe și neconvexe. Proprietate. Suma tuturor unghiurilor plane ale unui unghi poliedric convex este mai mică de 360 \u200b\u200b°. Dovada este similară cu cea a proprietății corespunzătoare pentru un unghi triedric.

Diapozitivul 6

Unghiuri verticale poliedrice Figurile prezintă exemple de unghiuri verticale triedrale, tetraedrice și pentaedrice. Teorema. Unghiurile verticale sunt egale.

Diapozitivul 7

Măsurarea unghiurilor poliedrice Întrucât valoarea gradului unghiului diedru desfăcut este măsurată de valoarea gradului unghiului liniar corespunzător și este egală cu 180 °, vom presupune că valoarea gradului întregului spațiu, care constă din două unghiuri diedre desfăcute, este de 360 \u200b\u200b°. Mărimea unui unghi poliedric, exprimată în grade, arată cât din spațiul pe care îl are un unghi poliedric dat. De exemplu, un colț cu trei fețe al unui cub ocupă o optime din spațiu și, prin urmare, valoarea gradului său este de 360 \u200b\u200b°: 8 \u003d 45 °. Colț triunghiular corect prisma unghiului n egal cu jumătate din unghiul diedru la coasta laterală. Având în vedere că acest unghi diedru este egal, obținem că unghiul triedric al prismei este.

Diapozitivul 8

Măsurarea unghiurilor triedrice * Să derivăm o formulă care exprimă valoarea unui unghi triedric prin unghiurile sale diedre. Descriem sfera unitară lângă vârful S al unghiului triedric și denotăm punctele de intersecție ale marginilor unghiului triedric cu această sferă A, B, C. Planurile fețelor unghiului triedric împart această sferă în șase diagonale sferice egale în perechi corespunzătoare unghiurilor diedre ale acestui unghi triedric. Triunghiul sferic ABC și triunghiul sferic simetric A "B" C "sunt intersecția a trei diedre. Prin urmare, suma dublată a unghiurilor diedrice este de 360 \u200b\u200b° plus cvadruplu unghiul triunghiular, sau SA + SB + SC \u003d 180 ° + 2 SABC.

Diapozitivul 9

Măsurarea unghiurilor poliedrice * Fie SA1 ... An un unghi convex n-lateral. Împărțindu-l în unghiuri triunghiulare, trasând diagonale A1A3,…, A1An-1 și aplicându-le formula rezultată, vom avea: SA1 +… + SAn \u003d 180® (n - 2) + 2 SA1 ... An. Unghiurile poliedrice pot fi măsurate cu numere. Într-adevăr, numărul 2π corespunde la trei sute șaizeci de grade din întregul spațiu. Trecând de la grade la numere în formula rezultată, vom avea: SA1 + ... + SAn \u003d π (n - 2) + 2 SA1 ... An.

Diapozitivul 10

Exercițiul 1 Poate exista un unghi triedric cu unghiuri plane: a) 30 °, 60 °, 20 °; b) 45 °, 45 °, 90 °; c) 30 °, 45 °, 60 °? Nici un raspuns; b) nu; c) da.

Diapozitivul 11

Exercițiul 2 Dați exemple de poliedre ale căror fețe, intersectate la vârfuri, formează numai: a) colțuri triedrice; b) colțuri tetraedrice; c) colțuri pentaedrice. Răspuns: a) Tetraedru, cub, dodecaedru; b) octaedru; c) icosaedru.

Diapozitivul 12

Exercițiul 3 Cele două colțuri plane ale unui colț triunghiular sunt de 70 ° și 80 °. Care sunt limitele celui de-al treilea colț plat? Răspuns: 10o< < 150о.

Diapozitivul 13

Exercițiul 4 Unghiurile plane ale unui colț triunghiular sunt de 45 °, 45 ° și 60 °. Găsiți unghiul de 45 ° dintre planurile unghiurilor plane. Răspuns: 90o.

Diapozitivul 14

Exercițiul 5 Într-un colț triunghiular, două unghiuri plane sunt egale cu 45 °; unghiul diedru dintre ele este drept. Găsiți al treilea colț plat. Răspuns: 60o.

Diapozitivul 15

Exercițiul 6 Unghiurile plane ale unui colț triunghiular sunt de 60 °, 60 ° și 90 °. Segmentele egale OA, OB, OC sunt așezate pe marginile sale de la vârf. Găsiți unghiul diedru dintre planul unghiului de 90 ° și planul ABC. Răspuns: 90o.

Diapozitivul 16

Exercițiul 7 Fiecare colț plan al unui colț triunghiular este de 60 °. Pe una dintre margini, un segment egal cu 3 cm este așezat de sus și o perpendiculară este coborâtă de la capătul său către fața opusă. Găsiți lungimea acestei perpendiculare.

Diapozitivul 17

Exercițiul 8 Găsiți locusul punctelor interioare ale unui colț triedric echidistant de fețele sale. Răspuns: O rază, al cărei vârf este vârful unui unghi triedric, așezat pe linia de intersecție a planurilor care împart unghiurile diedre în jumătate.

Diapozitivul 18

Exercițiul 9 Găsiți locusul punctelor interioare ale unui colț triedric echidistant de marginile sale. Răspuns: O rază, al cărei vârf este vârful unui unghi triedric, situată pe linia de intersecție a planurilor care trec prin bisectoarele unghiurilor plane și perpendiculare pe planurile acestor unghiuri.

Dezvoltarea metodologică a lecției teoretice include materialul teoretic al programului secțiunii „Poliedre”, material pentru studierea conceptelor de bază în stereometrie: unghi diedru, unghiuri triunghiulare, unghiuri poliedrice, poliedre, prismă, paralelipiped, cub, piramidă, poliedre regulate de către elevi și evaluarea cunoștințelor, întrebărilor și exerciții de consolidare a lecției teoretice.

Semenova Albina Mihailovna

Descrierea dezvoltării

Tipul lecției: Lecție de însușire a abilităților și abilităților, lecție combinată - cu elemente de conversație și exerciții.

Obiectivele lecției:

Educațional - formarea cunoștințelor în asimilarea conceptelor în studiu: Diedru unghi. Multifacetat colțuri... Poliedre. Prisma. Continuați studiul sistematic al poliedrelor în cursul rezolvării problemelor pentru a le calcula.

Dezvoltarea - dezvoltarea operațiilor mentale prin concretizare, dezvoltarea memoriei vizuale, necesitatea autoeducării, pentru a promova dezvoltarea proceselor cognitive.

Educațional - încurajarea activității cognitive, simțul responsabilității, respectul reciproc, înțelegerea reciprocă, încrederea în sine; educarea unei culturi a comunicării. Încurajează conștientizarea și interesul învățării

Mijloace de educație:

Dezvoltare metodică pe subiect.

Prezentare electronică a subiectului.

Calculator personal, proiector media.

Comunicări intra-subiect: Diedru unghi, poliedre, sinus, cosinus și tangenta numerelor.

Comunicări interdisciplinare: geometrie, algebră.

Elevul ar trebui să știe:

Determinarea unghiului diedru, triunghiular și multifacetică colţ, definiție prismă.

Studentul ar trebui să poată:

Rezolvați problemele legate de găsirea înălțimii, diedru colţ la bază, marginile poliedrelor.

Planul lecției

1. Organizarea timpului - 2 minute.

2. Motivație introductivă: stabilirea obiectivelor, prezentarea planului de lecție - 3 min.

3. Verificare teme pentru acasă - 10 minute.

4. Învățarea materialului nou - 35 min.

Materialul principal, folosind o prezentare electronică pe tema: "Mnogoranniki"

5. Consolidarea materialului: rezolvarea problemelor nr. 1 - 2, 17, 18, 20 la paginile 66 - 67. - 35 min.

6. Rezumând - 3 min.

7. Temele - 2 min. § 5 (20) Exercițiul nr. 19, 33, 38.

În timpul orelor:

1. Organizarea timpului.

2. Motivația introductivă: stabilirea obiectivelor, prezentarea planului de lecție.

3. Verificarea temelor: decideți în scris pe tablă nr. 69 § 19.

4. Învățarea de materiale noi:

Unghi diedru.

Un unghi diedru este o figură formată din două semiplane cu o linie comună care le limitează (Fig. 398). Semiplanele sunt numite fețe, iar linia lor de limitare se numește muchia unui unghi diedru.

Un plan perpendicular pe marginea unui unghi diedru își intersectează fețele de-a lungul a două jumătăți de linie. Unghiul format de aceste jumătăți de linie se numește unghiul liniar al unghiului diedru.

Măsura unghiului diedru este luată ca măsură a unghiului liniar corespunzător. Toate unghiurile liniare ale unui unghi diedru sunt aliniate prin traducere paralelă, ceea ce înseamnă că sunt egale. Prin urmare, măsura unghiului diedru este independentă de alegerea unghiului liniar.

Problema (1). Din punctele A și B, situate în fețele unghiului diedru, perpendicularele AA 1 și BB 1 sunt lăsate la marginea colțului. Aflați lungimea segmentului AB dacă AA 1 \u003d a, BB 1 \u003d b, A 1 B 1 \u003d c și unghiul diedru este