Definiție. Un unghi diedru este o figură formată dintr-o linie dreaptă a și două semiplane cu o limită comună a, și care nu aparține aceluiași plan.

Definiție. Măsurarea gradului unui unghi diedru este măsurarea gradului oricăruia dintre unghiurile sale liniare.

Definiție. Două plane care se intersectează sunt numite perpendiculare dacă unghiul dintre ele este de 90 o.

Un semn de perpendicularitate a două planuri.

Proprietăți.

1. Într-un paralelipiped dreptunghiular, toate cele șase fețe sunt dreptunghiuri.
2. Toate colțurile diedre ale unui paralelipiped dreptunghiular sunt corecte
3. Pătratul diagonalei unui paralelipiped dreptunghiular egală cu suma pătrate din cele trei dimensiuni ale sale.

Probleme și teste pe tema „Tema 7.” Unghiul diedru. Perpendicularitatea planurilor "."

• Unghi diedru. Perpendicularitatea planurilor
• Perpendicularitatea unei linii și a unui plan - Perpendicularitatea liniilor și a planurilor clasa 10

  Lecții: 1 Teme: 10 Teste: 1

• Perpendicular și oblic. Unghiul dintre linie și plan - Perpendicularitatea liniilor și a planurilor clasa 10

  Lecții: 2 teme: 10 teste: 1

• Paralelismul avioanelor - Paralelismul liniilor și planurilor clasa 10

  Lecții: 1 Teme: 8 Teste: 1

• Liniile drepte perpendiculare - Informații geometrice de bază nota 7

  Lecții: 1 Teme: 17 Teste: 1

Materialul subiectului rezumă și sistematizează informațiile despre perpendicularitatea liniilor drepte cunoscute de dvs. din planimetrie. Este recomandabil să combinați studiul teoremelor privind relația dintre paralelism și perpendicularitate a liniilor drepte și a planurilor în spațiu, precum și a materialului pe cele perpendiculare și înclinate, cu o repetare sistematică a materialului corespunzător din planimetrie.

Soluțiile la aproape toate problemele de calcul se reduc la aplicarea teoremei pitagoreice și a consecințelor acesteia. În multe probleme, posibilitatea aplicării teoremei lui Pitagora sau a consecințelor acesteia este justificată de teorema pe trei perpendiculare sau de proprietățile paralelismului și perpendicularității planurilor.

Dacă unul dintre cele două planuri trece printr-o linie dreaptă perpendiculară pe celălalt plan, atunci planurile date sunt perpendiculare () (Fig. 28)

α - plan, la Este o linie dreaptă perpendiculară pe ea, β este un plan care trece printr-o linie dreaptă lași din - linia dreaptă de-a lungul căreia se intersectează planurile α și β.

Consecinţă. Dacă un plan este perpendicular pe linia de intersecție a două plane date, atunci este perpendicular pe fiecare dintre aceste plane

Problema 1... Dovediți că prin orice punct al unei linii drepte din spațiu puteți trasa două linii drepte diferite perpendiculare pe ea.

Dovezi:

Conform axiomei Euexistă un punct care nu aparține unei linii drepte și.Prin teorema 2.1, prin punct LA și drept și puteți desena planul α. (Fig. 29) Prin teorema 2.3 prin punct ȘI în planul α se poate trasa o linie dreaptă și. Conform axiomei С 1 există un punct DINcare nu aparține lui α. Prin teorema 15.1 prin punct DIN și drept șiplanul β poate fi trasat. În planul β, conform teoremei 2.3, prin punctul a, se poate trasa o linie dreaptă cu și. Liniile din și cu construcția au un singur punct comun ȘI și ambele sunt perpendiculare

Obiectivul 2. Capetele superioare ale a doi stâlpi în poziție verticală, la o distanță de 3,4 m, sunt conectate printr-o bară transversală. Un stâlp are 5,8 m înălțime și celălalt 3,9 m. Găsiți lungimea barei.

LA FEL DE \u003d 5,8 m, ВD \u003d 3,9 m, AB-? (fig. 30)

AE \u003d AC - CE \u003d AC - BD \u003d 5,8 - 3,9 \u003d 1,9 (m)

Prin teorema lui Pitagora din ∆ AEV primim:

AB 2 \u003d AE 2 + EB 2 \u003d AE 2 + CD 2 \u003d (1.9) 2 + (3.4) 2 \u003d 15.17 (m 2)

AB \u003d \u003d 3,9 (m)

Sarcini

poartă... Învață să analizezi, în cele mai simple cazuri, poziția relativă a obiectelor în spațiu, să folosești fapte și metode planimetrice atunci când rezolvi probleme stereometrice.

1. Demonstrați că prin orice punct al unei drepte din spațiu este posibil să trasați o linie dreaptă perpendiculară pe ea.

2. Liniile drepte AB, AC și AD sunt perpendiculare pe perechi. Găsiți un segment de SD dacă:

1) AB \u003d 3cm , Soare \u003d 7cm, ANUNȚ\u003d 1,5 cm;

2) VD \u003d 9 cm, ANUNȚ\u003d 5cm, Soare \u003d 16cm;

3) AB \u003d b, BC \u003d a, AD \u003d d;

4) ВD \u003d с, ВС \u003d a, АD \u003d d

3. Punctul A este la distanță adin vârfuri triunghi echilateral cu lateral și.Găsiți distanța de la punctul A la planul triunghiului.

4. Demonstrați că, dacă o linie este paralelă cu planul, atunci toate punctele sale se află la aceeași distanță de plan.

5. Un cablu telefonic de 15 m se extinde de la stâlpul telefonic, unde este atașat la 8m deasupra solului, până la casa unde a fost atașat la 20m. Găsiți distanța dintre casă și stâlp, presupunând că firul nu se lasă.

6. De la un punct la plan, se trasează două înclinate, egale cu 10 cm și 17 cm. Diferența proiecțiilor acestor înclinate este de 9 cm. Găsiți proiecțiile înclinate.

7. Din punct în plan, sunt trasate două înclinate, dintre care una este cu 26 cm mai mare decât cealaltă. Proiecțiile oblice sunt de 12 cm și 40 cm. Găsiți oblic.

8. Două linii oblice sunt trasate din punct în plan. Găsiți lungimile versanților dacă sunt 1: 2 și proiecțiile versanților sunt de 1 cm și 7 cm.

9. Din punct în plan, sunt trasate două înclinate, egale cu 23 cm și 33 cm. Găsiți

distanța de la acest punct la plan dacă proiecțiile oblicului sunt 2: 3.

10. Găsiți distanța de la mijlocul segmentului AB la planul care nu intersectează acest segment, dacă distanța de la punctele a și B la plan este egală: 1) 3, 2 cm și 5, 3 cm; 7, 4 cm și 6, 1 cm; 3) a și c.

11. Rezolvați problema anterioară, cu condiția ca segmentul de dreaptă AB să intersecteze planul.

12. Un segment lung de 1 m intersectează planul, capetele acestuia sunt îndepărtate din plan la o distanță de 0,5 m și 0,3 m. Găsiți lungimea proiecției segmentului pe plan ..

13. Din punctele A și B, perpendicularele sunt aruncate în plan. Găsiți distanța dintre punctele A și B, dacă perpendicularele sunt 3 m și 2 m, distanța dintre bazele lor este de 2,4 m, iar segmentul AB nu intersectează planul.

14. Din punctele A și B, situate în două planuri perpendiculare, perpendicularele AC și BD sunt lăsate pe linia de intersecție a planurilor. Aflați lungimea segmentului AB dacă: 1) AC \u003d 6 m, BD \u003d 7 m, CD \u003d 6 m; 2) AC \u003d 3 m, BD \u003d 4 m, CD \u003d 12 m; 3) АD \u003d 4 m, ВС \u003d 7 m, СD \u003d 1 m; 4) AD \u003d ВС \u003d 5 m, СD \u003d 1 m; 4) AC \u003d a, BD \u003d b, CD \u003d c; 5) AD \u003d a, BC \u003d b, CD \u003d c.

15. Din vârfurile A și B ale triunghiului echilateral ABC, perpendicularele AA 1 și BB 1 sunt restabilite în planul triunghiului. Aflați distanța de la vârful C la mijlocul segmentului A 1 B 1 dacă AB \u003d 2 m, CA 1 \u003d 3 m, SV 1 \u003d 7 m și segmentul A 1 B 1 nu intersectează planul triunghiului

16. Din vârfurile A și B ale unghiurilor acute triunghi dreptunghic ABC a restabilit perpendicularele AA 1 și BB 1 pe planul triunghiului. Găsiți distanța de la vârful C la mijlocul segmentului A 1 B 1, dacă A 1 C \u003d 4 m, AA 1 \u003d 3 m, CB 1 \u003d 6 m, BB 1 \u003d 2 m și segmentul A 1 B 1 nu intersectează planul triunghiului.

Prelegere pe tema „Semnul perpendicularității a două planuri”

Ideea unui plan în spațiu vă permite să obțineți, de exemplu, suprafața unei mese sau a unui perete. Cu toate acestea, o masă sau un perete are dimensiuni finite, iar planul se extinde dincolo de limitele lor până la infinit.

Luați în considerare două planuri care se intersectează. Când se intersectează, formează patru unghiuri diedre cu o margine comună.

Să ne amintim ce este un unghi diedru.

În realitate, întâlnim obiecte care au forma unui unghi diedru: de exemplu, o ușă ușor deschisă sau un dosar pe jumătate deschis.

Când două planuri alfa și beta se intersectează, obținem patru unghiuri diedrice. Fie unul dintre unghiurile diedrice (phi), apoi al doilea este (180 0 -), al treilea, al patrulea (180 0 -).

α șiβ, 0°< 90 °

Luați în considerare cazul când unul dintre unghiurile diedrice este 90 0 .

Apoi, toate unghiurile diedrice în acest caz sunt egale cu 90 0 .

unghi diedru între planuriα șiβ,

90º

Să introducem definiția planurilor perpendiculare:

Două plane se numesc perpendiculare dacă unghiul diedru dintre ele este de 90 °.

Unghiul dintre planurile sigma și epsilon este de 90 de grade, ceea ce înseamnă că planurile sunt perpendiculare

pentru că \u003d 90 °

Să dăm exemple de planuri perpendiculare.

Perete și tavan.

Peretele lateral și blatul mesei.

Perete și tavan

Să formulăm un criteriu pentru perpendicularitatea a două planuri:

TEOREMA:Dacă unul dintre cele două planuri trece printr-o linie dreaptă perpendiculară pe celălalt plan, atunci aceste plane sunt perpendiculare.

Să dovedim această caracteristică.

Prin presupunere, se știe că linia dreaptăAM se află în planul α, linia AM este perpendiculară pe planul β,

Demonstrați: planurile α și β sunt perpendiculare.

Dovezi:

1) Planurile α șiβ intersectează într-o linie dreaptă AR, în timp ce AM este AR, deoarece AM β prin condiție, adică AM este perpendiculară pe orice linie dreaptă situată în planul β.

2) Trageți o linie dreaptă în planul βAT perpendicularAR.

Obținem unghiul TAM este unghiul liniar al unghiului diedru. Dar unghiul TAM \u003d 90 °, deoarece MA β. Prin urmare, α β.

Q.E.D.

TEOREMA:Dacă un plan trece printr-o linie dreaptă perpendiculară pe un alt plan, atunci aceste plane sunt perpendiculare.

Dat:α, β, AM α, AMβ, AM∩ \u003d A

Dovediți: αβ.

Dovezi:

1) α ∩β \u003d AR, în timp ce AM AR, deoarece AM β prin condiție, adică AM este perpendiculară pe orice linie dreaptă situată în planul β.

2) ATβ,ATAR.

TAM este unghiul liniar al unghiului diedru. TAM \u003d 90 °, deoarece MA β. Prin urmare, α β.

Q.E.D

Din semnul perpendicularității a două planuri, avem o consecință importantă:

CONSECINŢĂ:Un plan perpendicular pe o linie de-a lungul căruia se intersectează două planuri este perpendicular pe fiecare dintre aceste plane.

Să dovedim acest corolar: dacă planul gamma este perpendicular pe dreapta c, atunci prin paralelismul celor două planuri, gama este perpendiculară pe alfa. La fel, gama este perpendiculară pe beta

Adică: dacă α∩β \u003d с și γс, atunci γα și γβ.

de candγс și сα din criteriul de perpendicularitate γα.

În mod similar γ β

Reformulăm acest corolar pentru un unghi diedru:

Planul care trece prin unghiul liniar al unui diedru este perpendicular pe marginea și fețele acestui diedru. Cu alte cuvinte, dacă am construit un unghi liniar al unui unghi diedru, atunci planul care trece prin el este perpendicular pe marginea și fețele acestui diedru.

Sarcină.

Dat fiind: ΔАВС, С \u003d 90 °, АС se află în planul α, unghiul dintre planurile α șiABC \u003d 60 °, AC \u003d 5 cm, AB \u003d 13 cm.

Găsiți: distanța de la punctul B la planul α.

Decizie:

1) Construim un VC α. Atunci CS este proiecția BC pe acest plan.

2) BC AC (prin condiție), prin urmare, prin teorema pe trei perpendiculare (TPP), KS AC. Prin urmare, VSC este unghiul liniar al unghiului diedru dintre planul α și planul triunghiului ABC. Adică VSC \u003d 60 °.

3) Din ΔВСА conform teoremei lui Pitagora:

De la ΔVKS:

Perpendicularitatea planurilor Definiție. Două planuri se numesc perpendiculare dacă unghiul liniar de la marginea unghiului diedru dintre aceste plane este o linie dreaptă.
Semn perpendicularitatea planurilor. Dacă un plan trece printr-o linie dreaptă perpendiculară pe un alt plan, atunci aceste plane sunt perpendiculare.
Dovezi. Lasa ași? - două planuri care se intersectează, din- linia intersecției lor și și- drept perpendicular pe plan? și întins în aviona... A - punctul de intersecție al liniilor dreptea și din.Într-un avion? din punct Și să restabilimperpendicular și lăsați-l să fie drept b. Drept șiperpendicularavion? , ceea ce înseamnă că este perpendiculară pe orice linie dreaptă din acest plan, adică linii drepte bși din perpendicular . Unghi între linii drepte șiși B -planuri liniare a și? și este egal cu 90 °, deci la fel de drept șiperpendicular pe o linie dreaptăb(arătat) .Prin definiția planuluia și? perpendicular.

Teorema 1. Dacă dintr-un punct aparținând unuia dintre cele două planuri perpendiculare, desenați perpendicular pe un alt plan, atunci această perpendiculară se află în întregime în primul plan.
Dovezi. Lasa a și? - planuri perpendiculare și din -linia intersecției lor, punctul A întins într-un avion ași care nu aparțin directului din.Să fie perpendiculară pe plan? tras din punctul A nu se află în plan a, atunci punctul C este baza această perpendiculară se află înavion? și nu aparține directului din. Din punctul A scădem perpendicularul AB direct din.Linia AB este perpendicularăavion (folosesc teorema 2).Prin linia AB și punctul Cvom trage un avion? (o linie și un punct definesc un plan și doar unul). Vedem asta înavion ? de la un punct A la dreapta BC, se trasează două perpendiculare, care nu pot fi, apoi dreapta AC coincide cu linia AB, iar linia AB, la rândul ei, se află în întregime în plan a.

Teorema 2. Dacă într-unul din cele două planuri perpendiculare, trasați o perpendiculară pe linia lorintersecție, atunci această perpendiculară va fi perpendiculară pe al doilea plan.
Dovezi. Lasa ași? - două planuri perpendiculare, din -linia intersecției lor și și -drept perpendicular pe linia dreaptă dinși întins în aviona... A - punctul de intersecție al liniilor drepte șiși din.In avion? din punctul A restabilim perpendicularul și lăsăm să fie o linie dreaptă b.Unghi între linii drepte șișib- liniar unghi la marginea unghiului diedru între avioane a și? și este egal cu 90 °, deoarece planurilea și? perpendicular. Drept șiperpendicular pe o linie dreaptăb(așa cum s-a dovedit) și direct dindupă condiție.Înseamnă drept șiperpendicular pe plan? (

Două linii drepte în spațiu se numesc perpendiculare dacă unghiul dintre ele este de 90 o.

fig. 37

Liniile perpendiculare se pot intersecta și pot fi traversate. Lemă. Dacă una dintre cele două linii paralele este perpendiculară pe a treia linie, atunci cealaltă linie este perpendiculară pe această linie. Definiție. O dreaptă se numește perpendiculară pe plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă care se află în plan. Se mai spune că planul este perpendicular pe dreapta a.

fig. 38

Dacă linia dreaptă a este perpendiculară pe plan, atunci evident intersectează acest plan. Într-adevăr, dacă linia dreaptă a nu ar intersecta planul, atunci s-ar afla în acest plan sau ar fi paralelă cu acesta. Dar în ambele cazuri, ar exista linii drepte în plan care nu sunt perpendiculare pe linia dreaptă, ci, de exemplu, linii drepte paralele cu aceasta, ceea ce este imposibil. Prin urmare, linia dreaptă a intersectează planul.

Relația dintre paralelismul liniilor drepte și perpendicularitatea lor față de plan.

Un semn de perpendicularitate a unei linii și a unui plan.

Observații.

1. Prin orice punct din spațiu, există un plan perpendicular pe o dreaptă dată și, în plus, singurul.
2. O linie dreaptă perpendiculară pe un plan dat trece prin orice punct din spațiu și, în plus, doar unul.
3. Dacă două plane sunt perpendiculare pe o linie dreaptă, atunci ele sunt paralele.

Sarcini și teste pe tema „Tema 5.„ Perpendicularitatea unei linii și a unui plan ”.

• Perpendicularitatea unei linii și a unui plan
• Unghi diedru. Perpendicularitatea planurilor - Perpendicularitatea liniilor și a planurilor clasa 10

  Lecții: 1 Teme: 10 Teste: 1

• Perpendicular și oblic. Unghiul dintre linie și plan - Perpendicularitatea liniilor și a planurilor clasa 10

  Lecții: 2 teme: 10 teste: 1

• Paralelismul liniilor drepte, dreptei și plane - Paralelismul liniilor și planurilor clasa 10

  Lecții: 1 Teme: 9 Teste: 1

• Liniile drepte perpendiculare - Informații geometrice de bază nota 7

  Lecții: 1 Teme: 17 Teste: 1

Materialul subiectului rezumă și sistematizează informațiile despre perpendicularitatea liniilor drepte cunoscute de dvs. din planimetrie. Este recomandabil să combinați studiul teoremelor privind relația dintre paralelism și perpendicularitate a liniilor drepte și a planurilor în spațiu, precum și a materialului pe cele perpendiculare și înclinate, cu o repetare sistematică a materialului corespunzător din planimetrie.

Soluțiile la aproape toate problemele de calcul se reduc la aplicarea teoremei pitagoreice și a consecințelor acesteia. În multe probleme, posibilitatea aplicării teoremei lui Pitagora sau a consecințelor acesteia este justificată de teorema pe trei perpendiculare sau de proprietățile paralelismului și perpendicularității planurilor.