Многогранные углы. Поверхность, образованную конечным набором плоских углов A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 с общей вершиной S, в которых соседние углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а не соседние углы не имеют общих точек, кроме общей вершины, будем называть многогранной поверхностью. Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом. Общая вершина S называется вершиной многогранного угла. Лучи SA1, …, SAn называются ребрами многогранного угла, а сами плоские углы A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 – гранями многогранного угла. Многогранный угол обозначается буквами SA1…An, указывающими вершину и точки на его ребрах.

Слайд 1 из презентации «Многогранный угол» к урокам геометрии на тему «Углы в пространстве»

Размеры: 960 х 720 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке геометрии, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как...». Скачать всю презентацию «Многогранный угол.ppt» можно в zip-архиве размером 329 КБ.

Скачать презентацию

Углы в пространстве

«Угол между прямыми в пространстве» - В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: AB1 и BC1. Угол между прямыми в пространстве. Ответ: 90o. Ответ: 45o. В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: A1C1 и B1D1. В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: AA1 и BC. Ответ: В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: AA1 и BD1. В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: AA1 и BC1.

«Вписанный угол» - Построить прямой угол? Равных данному? Теорема: Определение: Опирается. Практическая работа. Хасанова Е.И., учитель математики, План урока: Вписанные углы. Доказательство: Дано: Итог урока. 8 класс. Б). Чем похожи и чем различаются углы АОВ и АСВ? МОУ "МСОШ № 16", г. Миасса, Челябинской области.

«Многогранный угол» - Измерение многогранных углов. Два плоских угла трехгранного угла равны 70° и 80°. Следовательно, ? ASB + ? BSC + ? ASC < 360° . Трехгранные углы. Таким образом, остается доказать неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC. Доказательство аналогично доказательству соответствующего свойства для трехгранного угла.

«Смежные углы» - Дано: ?AOC и?BOC – смежные. Доказать: ?AOC + ?BOC = 180?. Смежные и вертикальные углы. d. c. Теорема. Следствия из теоремы. b. А смежный развернутому? Дан произвольный?(аb), отличный от развернутого. Определение. a. Урок 11. Сумма смежных углов равна 180?. Доказательство.

Cлайд 1

Cлайд 2

Теорема. В трехгранном угле сумма плоских углов меньше 360 и сумма любых двух из них больше третьего. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Основное свойство трехгранного угла. Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > .

Cлайд 3

Доказательство I. Пусть < 90 ; < 90 ; (ABC) с. Тогда ОВС = 90 – < ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Аналогично, ОАС = 90 – < ОAВ. Следовательно, = 180 – (ОАB + ОBA) < 180 – ((90 –) + (90 –)) = + . Если < 90 , то остальные два неравенства пункта 2) доказываются аналогично, а если 90 , то они – очевидны. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: 2) + > ; + > ; + > .

Cлайд 4

Формула трех косинусов. Следствия. 1) Для вычисления угла между прямой и плоскостью применима формула: 2) Угол между прямой и плоскостью – наименьший из углов, которая эта прямая, образует с прямыми этой плоскости.

Cлайд 5

II. На ребрах данного угла отложим точки A’, B’ и C’ так, что |OA’| = |OB’| = |OC’| Тогда треугольники A’OB’, B’OC’ и С’OA’ – равнобедренные, а их углы при основаниях 1 – 6 – острые. Для трехгранных углов с вершинами A’, B’ и C’ применим неравенства, доказанные в пункте I: С’А’B’ < 1 + 6; А’B’C’ < 2 + 3; B’С’А’ < 4 + 5. Сложим эти неравенства почленно, тогда 180 < (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) = = (180 –) + (180 –) + (180 –) + + < 360 . Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > .

Cлайд 6

III. Рассмотрим луч c’ – дополнительный лучу с и для трехгранного угла Оabc’ используем неравенство, доказанное в пункте II для произвольного трехгранного угла: (180 –) + (180 –) + < 360 + > . Аналогично доказываются и два остальных неравенства. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > . с’

Cлайд 7

Следствие. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине меньше 120 .

Cлайд 8

Определение. Трехгранные углы называются равными если равны все их соответствующие плоские и двугранные углы. Признаки равенства трехгранных углов. Трехгранные углы равны, если у них соответственно равны: два плоских угла и двугранный угол между ними; 2) два двугранных угла и плоский угол между ними; 3) три плоских угла; 4) три двугранных угла. Рис. 4б

Cлайд 9

. . Дан трехгранный угол Оabc. Пусть < 90 ; < 90 ; тогда рассмотрим (ABC) с По теореме косинусов из CАВ: |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC| |BC| cos Аналог теоремы косинусов Аналогично, из OАВ: |AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO| |BO| cos . Вычтем из второго равенства первое и учтем, что |AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2: 2|CO|2 – 2|AO| |BO| cos + 2|AC| |BC| = 0 . ; ; ; тогда cos = cos cos + sin sin cos Заменим:

Cлайд 10

II. Пусть > 90 ; > 90 , тогда рассмотрим луч с’, дополнительный к с, и соответствующий трехгранный угол Оаbс’, в котором плоские углы – и – – острые, а плоский угол и двугранный угол – те же самые. По I.: cos = cos(–) cos(–) + sin(–) sin(–) cos cos = cos cos + sin sin cos

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Двугранные углы Работу выполнила: учитель математики Серебрянская Л. А.

Двугранный угол – это часть пространства, заключенная между двумя полуплоскостями, имеющими одну общую границу.

Полуплоскости α и β , образующие двугранный угол, называются его гранями

Выберем на ребре A D двугранного угла произвольную точку C и проведем через нее плоскость α перпендикулярно ребру AP Плоскость α пересекает грани двугранного угла по лучам a и b , которые образуют некоторый угол величиной φ . Этот угол называется линейным углом двугранного угла

При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Величина меньшего из этих двугранных углов называется углом между этими плоскостями.

Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0° по определению. Если φ – величина угла между двумя плоскостями, то 0°

Задача В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между плоскостями BC 1 D и BA 1 D . А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1

Задача Дано: куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Найти: угол между плоскостями BC 1 D и BA 1 D Решение: А В С D А 1 В 1 С 1 D 1 О ∆ BDA 1 и ∆ DC 1 B – равные равнобедренные АО и С 1 О перпендикулярны DB =» А 1 О С 1 искомый С 1 О- диагональ квадрата со стороной равной 1.

http:// old.college.ru/mathematics/courses/stereometry/content/chapter3/section/paragraph6/theory.html http://e-science.ru/math/theory/? t=320

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Одной из основных тем в стереометрии является тема “Двугранные углы”. Несмотря на то, что понятия двугранного угла и его линейного угла учащиеся усваивают легко, возникает много затруднений при решени...

Cлайд 1

МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом. Общая вершина S называется вершиной многогранного угла. Лучи SA1, …, SAn называются ребрами многогранного угла, а сами плоские углы A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 – гранями многогранного угла. Многогранный угол обозначается буквами SA1…An, указывающими вершину и точки на его ребрах. Поверхность, образованную конечным набором плоских углов A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 с общей вершиной S, в которых соседние углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а не соседние углы не имеют общих точек, кроме общей вершины, будем называть многогранной поверхностью.

Cлайд 2

МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ В зависимости от числа граней многогранные углы бывают трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д.

Cлайд 3

ТРЕХГРАННЫЕ УГЛЫ Теорема. Всякий плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. Доказательство. Рассмотрим трехгранный угол SABC. Пусть наибольший из его плоских углов есть угол ASC. Тогда выполняются неравенства ASB ASC

Cлайд 4

ТРЕХГРАННЫЕ УГЛЫ Свойство. Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°. Аналогично, для трехгранных углов с вершинами B и С имеют место неравенства: ABС

Cлайд 5

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ Многогранный угол называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок. На рисунке приведены примеры выпуклого и невыпуклого многогранных углов. Свойство. Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°. Доказательство аналогично доказательству соответствующего свойства для трехгранного угла.

Cлайд 6

Вертикальные многогранные углы На рисунках приведены примеры трехгранных, четырехгранных и пятигранных вертикальных углов Теорема. Вертикальные углы равны.

Cлайд 7

Измерение многогранных углов Поскольку градусная величина развернутого двугранного угла измеряется градусной величиной соответствующего линейного угла и равна 180о, то будем считать, что градусная величина всего пространства, которое состоит из двух развернутых двугранных углов, равна 360о. Величина многогранного угла, выраженная в градусах, показывает какую часть пространства занимает данный многогранный угол. Например, трехгранный угол куба занимает одну восьмую часть пространства и, значит, его градусная величина равна 360о:8 = 45о. Трехгранный угол в правильной n-угольной призме равен половине двугранного угла при боковом ребре. Учитывая, что этот двугранный угол равен, получаем, что трехгранный угол призмы равен.

Cлайд 8

Измерение трехгранных углов* Выведем формулу, выражающую величину трехгранного угла через его двугранные углы. Опишем около вершины S трехгранного угла единичную сферу и обозначим точки пересечения ребер трехгранного угла с этой сферой A, B, C. Плоскости граней трехгранного угла разбивают эту сферу на шесть попарно равных сферических двуугольников, соответствующих двугранным углам данного трехгранного угла. Сферический треугольник ABC и симметричный ему сферический треугольник A"B"C" являются пересечением трех двуугольников. Поэтому удвоенная сумма двугранных углов равна 360о плюс учетверенная величина трехгранного угла, или SA + SB + SC = 180о + 2 SABC.

Cлайд 9

Измерение многогранных углов* Пусть SA1…An – выпуклый n-гранный угол. Разбивая его на трехгранные углы, проведением диагоналей A1A3, …, A1An-1 и применяя к ним полученную формулу, будем иметь: SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2 SA1…An. Многогранные углы можно измерять и числами. Действительно, тремстам шестидесяти градусам всего пространства соответствует число 2π. Переходя от градусов к числам в полученной формуле, будем иметь: SA1+ …+ SAn = π (n – 2) + 2 SA1…An.

Cлайд 10

Упражнение 1 Может ли быть трехгранный угол с плоскими углами: а) 30°, 60°, 20°; б) 45°, 45°, 90°; в) 30°, 45°, 60°? Ответ: а) Нет; б) нет; в) да.

Cлайд 11

Упражнение 2 Приведите примеры многогранников, у которых грани, пересекаясь в вершинах, образуют только: а) трехгранные углы; б) четырехгранные углы; в) пятигранные углы. Ответ: а) Тетраэдр, куб, додекаэдр; б) октаэдр; в) икосаэдр.

Cлайд 12

Упражнение 3 Два плоских угла трехгранного угла равны 70° и 80°. В каких границах находится третий плоский угол? Ответ: 10о < < 150о.

Cлайд 13

Упражнение 4 Плоские углы трехгранного угла равны 45°, 45° и 60°. Найдите величину угла между плоскостями плоских углов в 45°. Ответ: 90о.

Cлайд 14

Упражнение 5 В трехгранном угле два плоских угла равны по 45°; двугранный угол между ними прямой. Найдите третий плоский угол. Ответ: 60о.

Cлайд 15

Упражнение 6 Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. На его ребрах от вершины отложены равные отрезки OA, OB, OC. Найдите двугранный угол между плоскостью угла в 90° и плоскостью ABC. Ответ: 90о.

Cлайд 16

Упражнение 7 Каждый плоский угол трехгранного угла равен 60°. На одном из его ребер отложен от вершины отрезок, равный 3 см, и из его конца опущен перпендикуляр на противоположную грань. Найдите длину этого перпендикуляра.

Cлайд 17

Упражнение 8 Найдите геометрическое место внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от его граней. Ответ: Луч, вершиной которого является вершина трехгранного угла, лежащий на линии пересечения плоскостей, делящих двугранные углы пополам.

Cлайд 18

Упражнение 9 Найдите геометрическое место внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от его ребер. Ответ: Луч, вершиной которого является вершина трехгранного угла, лежащий на линии пересечения плоскостей, проходящих через биссектрисы плоских углов и перпендикулярных плоскостям этих углов.