УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Рассмотрим две плоскости α 1 и α 2 , заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α 1 и α 2 равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то

.

Пример. Определить угол между плоскостями x +2y -3z +4=0 и 2x +3y +z +8=0.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α 1 и α 2 параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .

Таким образом, .

Примеры.

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М 1 и вектора , параллельного этой прямой.

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая l проходит через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1), лежащую на прямой параллельно вектору .

Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что .

Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t , что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М 1 и М соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М , лежащей на прямой.

Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что , и отсюда

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты x , y и z и точка М перемещается по прямой.

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Пусть М 1 (x 1 , y 1 , z 1) – точка, лежащая на прямой l , и – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и рассмотрим вектор .

Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,

– канонические уравнения прямой.

Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t . Действительно, из параметрических уравнений получаем или .

Пример. Записать уравнение прямой в параметрическом виде.

Обозначим , отсюда x = 2 + 3t , y = –1 + 2t , z = 1 –t .

Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox . Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен Ox , следовательно, m =0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид

Исключая из уравнений параметр t , получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае условимся формально записывать канонические уравнения прямой в виде. Таким образом, еслив знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, каноническим уравнениям соответствует прямая перпендикулярная осям Ox и Oy или параллельная оси Oz .

Примеры.

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями

определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.

Примеры.

Построить прямую, заданную уравнениями

Для построения прямой достаточно найти любые две ее точки. Проще всего выбрать точки пересечения прямой с координатными плоскостями. Например, точку пересечения с плоскостью xOy получим из уравнений прямой, полагая z = 0:

Решив эту систему, найдем точку M 1 (1;2;0).

Аналогично, полагая y = 0, получим точку пересечения прямой с плоскостью xOz :

От общих уравнений прямой можно перейтик её каноническим или параметрическим уравнениям. Для этого нужно найти какую-либо точку М 1 на прямой и направляющий вектор прямой.

Координаты точки М 1 получим из данной системы уравнений, придав одной из координат произвольное значение. Для отыскания направляющего вектора, заметим, что этот вектор должен быть перпендикулярен к обоим нормальным векторам и . Поэтому за направляющий вектор прямой l можно взять векторное произведение нормальных векторов:

.

Пример. Привести общие уравнения прямой к каноническому виду.

Найдём точку, лежащую на прямой. Для этого выберем произвольно одну из координат, например, y = 0 и решим систему уравнений:

Нормальные векторы плоскостей, определяющих прямую имеют координаты Поэтому направляющий вектор прямой будет

. Следовательно, l : .

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим

Определение. Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между этими прямыми будет определяться как

Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 . Две прямые перпендикулярны, если k 1 = -1/ k 2 .

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А 1 = λА, В 1 = λВ. Если еще и С 1 = λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку

Перпендикулярно данной прямой

Определение. Прямая, проходящая через точку М 1 (х 1 , у 1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

Расстояние от точки до прямой

Теорема. Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

.

Доказательство. Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1:

(1)

Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Теорема доказана.

Пример . Определить угол между прямыми: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Пример . Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Решение . Находим: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Пример . Даны вершины треугольника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Решение . Находим уравнение стороны АВ: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b . k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Определение точки пересечения двух прямых

1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A (x 1 , y 1) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k ,

y - y 1 = k (x - x 1). (1)

Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A (x 1 , y 1), которая называется центром пучка.

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A (x 1 , y 1) и B (x 2 , y 2), записывается так:

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле

3. Углом между прямыми A и B называется угол, на который надо повернуть первую прямую A вокруг точки пересечения этих прямых против движения часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой B . Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

то угол между ними определяется по формуле

Следует обратить внимание на то, что в числителе дроби из углового коэффициента второй прямой вычитается угловой коэффициент первой прямой.

Если уравнения прямой заданы в общем виде

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

угол между ними определяется по формуле

4. Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k 1 = k 2 . (8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

5. Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

Это условие может быть записано также в виде

k 1 k 2 = -1. (11)

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Координаты точки пересечения двух прямых находят, решая систему уравнений (6). Прямые (6) пересекаются в том и только в том случае, когда

1. Напишите уравнения прямых, проходящих через точку M, одна из которых параллельна, а другая – перпендикулярна заданной прямой l.

Пусть две прямые l и m на плоскости в декартовой системе координат заданы общими уравнениями: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

Векторы нормалей к данным прямым: = (A 1 , B 1) – к прямой l,

= (A 2 , B 2) – к прямой m.

Пусть j - угол между прямыми l и m.

Так как углы с взаимно перпендикулярными сторонами либо равны, либо в сумме составляют p, то , то есть cos j = .

Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема. Пусть j - угол между двумя прямыми на плоскости, и пусть эти прямые заданы в декартовой системе координат общими уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Тогда cos j = .

Упражнения.

1) Выведите формулу для вычисления угла между прямыми, если:

(1) обе прямые заданы параметрически; (2) обе прямые заданы каноническими уравнениями; (3) одна прямая задана параметрически, другая прямая – общим уравнением; (4) обе прямые заданы уравнением с угловым коэффициентом.

2) Пусть j - угол между двумя прямыми на плоскости, и пусть эти прямые заданы декартовой системе координат уравнениями y = k 1 x + b 1 и y =k 2 x + b 2 .

Тогда tg j = .

3) Исследуйте взаимное расположение двух прямых, заданных общими уравнениями в декартовой системе координат, и заполните таблицу:

Расстояние от точки до прямой на плоскости.

Пусть на плоскости в декартовой системе координат прямая l задана общим уравнением Ax + By + C = 0. Найдем расстояние от точки M(x 0 , y 0) до прямой l.

Расстояние от точки M до прямой l – это длина перпендикуляра HM (H Î l, HM ^ l).

Вектор и вектор нормали к прямой l коллинеарны, так что | | = | | | | и | | = .

Пусть координаты точки H (x,y).

Так как точка H принадлежит прямой l, то Ax + By + C = 0 (*).

Координаты векторов и : = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax - By , см. (*))

Теорема. Пусть прямая l задана в декартовой системе координат общим уравнением Ax + By + C = 0. Тогда расстояние от точки M(x 0 , y 0) до данной прямой вычисляется по формуле: r (M; l) = .

Упражнения.

1) Выведите формулу для вычисления расстояния от точки до прямой, если: (1) прямая задана параметрически; (2) прямая задана каноническим уравнениям; (3) прямая задана уравнением с угловым коэффициентом.

2) Напишите уравнение окружности, касающейся прямой 3x – y = 0,с центром в точке Q(-2,4).

3) Напишите уравнения прямых, делящих углы, образованные пересечением прямых 2x + y - 1 = 0 и x + y + 1 = 0 , пополам.

§ 27. Аналитическое задание плоскости в пространстве

Определение . Вектором нормали к плоскости будем называть ненулевой вектор, любой представитель которого перпендикулярен данной плоскости.

Замечание. Ясно, что если хотя бы один представитель вектора перпендикулярен плоскости, то и все остальные представители вектора перпендикулярны этой плоскости.

Пусть в пространстве задана декартова система координат.

Пусть дана плоскость a, = (A, B, C) – вектор нормали к этой плоскости, точка M (x 0 , y 0 , z 0) принадлежит плоскости a.

Для любой точки N(x, y, z) плоскости a векторы и ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю: = 0. Запишем последнее равенство в координатах: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.

Пусть -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, тогда Ax + By + Cz + D = 0.

Возьмем точку К (x, y) такую, что Ax + By + Cz + D = 0. Так как D = -Ax 0 - By 0 - Cz 0 , то A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. Так как координаты направленного отрезка = (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0), то последнее равенство означает, что ^ , и, следовательно, K Î a.

Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема. Любую плоскость в пространстве в декартовой системе координат можно задать уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), где (A, B, C) – координаты вектора нормали к этой плоскости.

Верно и обратное.

Теорема. Любое уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) в декартовой системе координат задает некоторую плоскость, при этом (A, B, C) – координаты вектора нормали к этой плоскости.

Доказательство.

Возьмем точку M (x 0 , y 0 , z 0) такую, что Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 и вектор = (A, B, C) ( ≠ q).

Через точку M перпендикулярно вектору проходит плоскость (и при том только одна). По предыдущей теореме эта плоскость задается уравнением Ax + By + Cz + D = 0.

Определение. Уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) называется общим уравнением плоскости .

Пример.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (0,2,4), N (1,-1,0) и K (-1,0,5).

1. Найдем координаты вектора нормали к плоскости (MNK). Так как векторное произведение ´ ортогонально не коллинеарным векторам и , то вектор коллинеарен ´ .

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = (-11, 3, -5).

Итак, в качестве вектора нормали возьмем вектор = (-11, 3, -5).

2. Воспользуемся теперь результатами первой теоремы:

уравнение данной плоскости A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, где (A, B, C) – координаты вектора нормали, (x 0 , y 0 , z 0) – координаты точки лежащей в плоскости (например, точки M).

11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0

11x + 3y – 5z + 14 = 0

Ответ: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

Упражнения.

1) Напишите уравнение плоскости, если

(1) плоскость проходит через точку M (-2,3,0) параллельно плоскости 3x + y + z = 0;

(2) плоскость содержит ось (Ox) и перпендикулярна плоскости x + 2y – 5z + 7 = 0.

2) Напишите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

§ 28. Аналитическое задание полупространства*

Замечание* . Пусть фиксирована некоторая плоскость. Под полупространством мы будем понимать множество точек, лежащих по одну сторону от данной плоскости, то есть две точки лежат в одном полупространстве, если отрезок, их соединяющий, не пересекает данную плоскость. Данная плоскость называется границей этого полупространства . Объединение данной плоскости и полупространства будем называть замкнутым полупространством .

Пусть в пространстве фиксирована декартова система координат.

Теорема. Пусть плоскость a задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0. Тогда одно из двух полупространств, на которые плоскость a делит пространство, задается неравенством Ax + By + Cz + D > 0, а второе полупространство задается неравенством Ax + By + Cz + D < 0.

Доказательство.

Отложим вектор нормали = (A, B, С) к плоскости a от точки M (x 0 , y 0 , z 0), лежащей на данной плоскости: = , M Î a, MN ^ a. Плоскость делить пространство на два полупространства: b 1 и b 2 . Ясно, что точка N принадлежит одному из этих полупространств. Без ограничения общности будем считать, что N Î b 1 .

Докажем, что полупространство b 1 задается неравенством Ax + By + Cz + D > 0.

1) Возьмем точку K(x,y,z) в полупространстве b 1 . Угол Ð NMK – угол между векторами и - острый, поэтому скалярное произведение этих векторов положительно: > 0. Запишем это неравенство в координатах: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, то есть Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.

Так как M Î b 1 , то Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, поэтому -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Следовательно, последнее неравенство можно записать так: Ax + By + Cz + D > 0.

2) Возьмем точку L(x,y) такую, что Ax + By + Cz + D > 0.

Перепишем неравенство, заменив D на (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (так как M Î b 1 , то Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.

Вектор с координатами (x - x 0 ,y - y 0 , z - z 0) – это вектор , поэтому выражение A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) можно понимать, как скалярное произведение векторов и . Так как скалярное произведение векторов и положительно, то угол между ними острый и точка L Î b 1 .

Аналогично можно доказать, что полупространство b 2 задается неравенством Ax + By + Cz + D < 0.

Замечания.

1) Ясно, что доказательство, приведенное выше, не зависит от выбора точки M в плоскости a.

2) Ясно, что одно и то же полупространство можно задать различными неравенствами.

Верно и обратное.

Теорема. Любое линейное неравенство вида Ax + By + Cz + D > 0 (или Ax + By + Cz + D < 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Доказательство.

Уравнение Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) в пространстве задает некоторую плоскость a (см. § …). Как было доказано в предыдущей теореме одно из двух полупространств, на которые плоскость делит пространство задается неравенством Ax Ax + By + Cz + D > 0.

Замечания.

1) Ясно, что замкнутое полупространство можно задать нестрогим линейным неравенством, и любое нестрогое линейное неравенство в декартовой системе координат задает замкнутое полупространство.

2) Любой выпуклый многогранник можно задать как пересечение замкнутых полупространств (границы которых – это плоскости, содержащие грани многогранника), то есть аналитически – системой линейных нестрогих неравенств.

Упражнения.

1) Докажите две представленные теоремы для произвольной аффинной системы координат.

2) Верно ли обратное, что любая ли система нестрогих линейных неравенств задает выпуклый многоугольник?

Упражнение.

1) Исследуйте взаимное расположение двух плоскостей, заданных общими уравнениями в декартовой системе координат, и заполните таблицу.

Угол φ общими уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, вычисляется по формуле:

Угол φ между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями (x-x 1)/m 1 = (y-y 1)/n 1 и (x-x 2)/m 2 = (y-y 2)/n 2 , вычисляется по формуле:

Расстояние от точки до прямой

Каждую плоскость в пространстве можно представить как линейное уравнение, называемое общим уравнением плоскости

Частные случаи .

o Если в уравнении (8) , то плоскость проходит через начало координат.

o При (,) плоскость параллельна оси(оси, оси) соответственно.

o При (,) плоскость параллельна плоскости(плоскости, плоскости).

Решение: используем (7)

Ответ: общее уравнение плоскости .

Пример.

Плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz задана общим уравнением плоскости . Запишите координаты всех нормальных векторов этой плоскости.

Нам известно, что коэффициенты при переменных x, y и z в общем уравнении плоскости являются соответствующими координатами нормального вектора этой плоскости. Следовательно, нормальный вектор заданной плоскостиимеет координаты. Множество всех нормальных векторов можно задать как.

Напишите уравнение плоскости, если в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве она проходит через точку , а- нормальный вектор этой плоскости.

Приведем два решения этой задачи.

Из условия имеем . Подставляем эти данные в общее уравнение плоскости, проходящей через точку:

Напишите общее уравнение плоскости параллельной координатной плоскости Oyz и проходящей через точку .

Плоскость, которая параллельна координатной плоскости Oyz, может быть задана общим неполным уравнением плоскости вида . Так как точкапринадлежит плоскости по условию, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению плоскости, то есть, должно быть справедливо равенство. Отсюда находим. Таким образом, искомое уравнение имеет вид.

Решение. Векторное произведение по определению 10.26 ортогонально векторам p и q. Следовательно, оно ортогонально искомой плоскости и вектор можно взять в качестве ее нормального вектора. Найдем координаты вектора n:

то есть . Используя формулу (11.1), получим

Раскрыв в этом уравнении скобки, приходим к окончательному ответу.

Ответ: .

Перепишем вектор нормали в виде и найдём его длину:

Согласно вышесказанному:

Ответ :

У параллельных плоскостей один и тот же вектор нормали. 1) Из уравнения найдём вектор нормали плоскости:.

2) Уравнение плоскости составим по точкеи вектору нормали:

Ответ :

Векторное уравнение плоскости в пространстве

Параметрическое уравнение плоскости в пространстве

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная декартова система координат. Сформулируем следующую задачу:

Составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку M (x 0, y 0, z 0) перпендикулярно данному вектору n = {A , B , C } .

Решение. Пусть P (x , y , z ) - произвольная точка пространства. Точка P принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда вектор MP = {x − x 0, y − y 0, z − z 0} ортогонален вектору n = {A , B , C } (рис.1).

Написав условие ортогональности этих векторов (n, MP ) = 0 в координатной форме, получим:

A (x − x 0) + B (y − y 0) + C (z − z 0) = 0

Уравнение плоскости по трем точкам

В векторном виде

В координатах

Взаимное расположение плоскостей в пространстве

– общие уравнения двух плоскостей. Тогда:

1) если , то плоскости совпадают;

2) если , то плоскости параллельны;

3) если или , то плоскости пересекаются и системауравнений

(6)

является уравнениями прямой пересечения данных плоскостей.

Решение : Канонические уравнения прямой составим по формуле: Ответ :

Берём полученные уравнения и мысленно «отщипываем», например, левый кусочек: . Теперь этот кусочек приравниваем к любому числу (помним, что ноль уже был), например, к единице: . Так как , то и два других «куска» тоже должны быть равны единице. По сути, нужно решить систему:

Составить параметрические уравнения следующих прямых:

Решение : Прямые заданы каноническими уравнениями и на первом этапе следует найти какую-нибудь точку, принадлежащую прямой, и её направляющий вектор.

а) Из уравнений снимаем точку и направляющий вектор: . Точку можно выбрать и другую (как это сделать – рассказано выше), но лучше взять самую очевидную. Кстати, во избежание ошибок, всегда подставляйте её координаты в уравнения.

Составим параметрические уравнения данной прямой:

Удобство параметрических уравнений состоит в том, что с их помощью очень легко находить другие точки прямой. Например, найдём точку , координаты которой, скажем, соответствуют значению параметра :

Таким образом: б) Рассмотрим канонические уравнения . Выбор точки здесь несложен, но коварен: (будьте внимательны, не перепутайте координаты!!!). Как вытащить направляющий вектор? Можно порассуждать, чему параллельна данная прямая, а можно использовать простой формальный приём: в пропорции находятся «игрек» и «зет», поэтому запишем направляющий вектор , а на оставшееся место поставим ноль: .

Составим параметрические уравнения прямой:

в) Перепишем уравнения в виде , то есть «зет» может быть любым. А если любым, то пусть, например, . Таким образом, точка принадлежит данной прямой. Для нахождения направляющего вектора используем следующий формальный приём: в исходных уравнениях находятся «икс» и «игрек», и в направляющем векторе на данных местах записываем нули : . На оставшееся место ставим единицу : . Вместо единицы подойдёт любое число, кроме нуля.

Запишем параметрические уравнения прямой:

Каждому школьнику, который готовится к ЕГЭ по математике, будет полезно повторить тему «Нахождение угла между прямыми». Как показывает статистика, при сдаче аттестационного испытания задачи по данному разделу стереометрии вызывают трудности у большого количества учащихся. При этом задания, требующие найти угол между прямыми, встречаются в ЕГЭ как базового, так и профильного уровня. Это значит, что уметь их решать должны все.

Основные моменты

В пространстве существует 4 типа взаимного расположения прямых. Они могут совпадать, пересекаться, быть параллельными или скрещивающимися. Угол между ними может быть острым или прямым.

Для нахождения угла между прямыми в ЕГЭ или, например, в решении , школьники Москвы и других городов могут использовать несколько способов решения задач по данному разделу стереометрии. Выполнить задание можно путем классических построений. Для этого стоит выучить основные аксиомы и теоремы стереометрии. Школьнику нужно уметь логически выстраивать рассуждение и создавать чертежи, для того чтобы привести задание к планиметрической задаче.

Также можно использовать векторно-координатный метод, применяя простые формулы, правила и алгоритмы. Главное в этом случае - правильно выполнить все вычисления. Отточить свои навыки решения задач по стереометрии и другим разделам школьного курса вам поможет образовательный проект «Школково».