În această lecție:

• Sarcina 1. Găsiți zona de suprafață completă a piramidei
• Sarcina 2. Găsiți suprafața laterală a piramidei triunghiulare corecte

Consultați și materialele din subiect:
.

Notă . Dacă trebuie să rezolvați sarcina de geometrie, care nu este aici - scrieți despre el în forum. În sarcini, în loc de caracterul rădăcinii pătrate, funcția SQRT () este utilizată, în care SQRT este un simbol rădăcină pătrat, iar expresia placată este indicată. Pentru expresii simple de hrănire, se poate utiliza semnul "√"..

Sarcina 1.. Găsiți suprafața completă a piramidei drepte

Înălțimea bazei piramidei triunghiulare corecte este de 3 cm. Și unghiul dintre fața laterală și baza piramidei este de 45 de grade.
Găsiți zona de suprafață completă a piramidei

Decizie.

Bazat pe piramida triunghiulară dreaptă, se află un triunghi echilateral.
Prin urmare, pentru a rezolva problema, folosim proprietățile triunghiului drept:

Știm înălțimea triunghiului, unde este posibil să găsim zona sa.
h \u003d √3 / 2 a
A \u003d H / (√3 / 2)
A \u003d 3 / (√3 / 2)
A \u003d 6 / √3

De unde zona de bază va fi egală cu:
S \u003d √3 / 4 A 2
S \u003d √3 / 4 (6 / √3) 2
S \u003d 3√3.

Pentru a găsi partea laterală, calculați înălțimea kmului. Unghiul OKM sub starea problemei este de 45 de grade.
În acest fel:
Ok / mk \u003d cos 45
Folosim tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice și înlocuim valorile cunoscute.

OK / MK \u003d √2 / 2

Luăm în considerare faptul că este egală cu raza cercului inscripționat. Atunci
Ok \u003d √3 / 6 a
OK \u003d √3 / 6 * 6 / √3 \u003d 1

Atunci
OK / MK \u003d √2 / 2
1 / mk \u003d √2 / 2
Mk \u003d 2 / √2

Partea feței laterale este egală cu jumătate din înălțimea înălțimii de pe baza triunghiului.
Sbok \u003d 1/2 (6 / √3) (2 / √2) \u003d 6 / √6

Astfel, suprafața completă a piramidei va fi egală cu
S \u003d 3√3 + 3 * 6 / √6
S \u003d 3√3 + 18 / √6

Răspuns: 3√3 + 18/√6

Sarcina 2.. Găsiți suprafața laterală a piramidei drepte

În piramida triunghiulară corectă, înălțimea este de 10 cm, iar partea laterală a bazei este de 16 cm . Găsiți suprafața laterală .

Decizie.

Deoarece baza piramidei triunghiulare corecte este un triunghi echilateral, atunci AO este o rază descrisă în jurul bazei cercului.
(Rezultă din)

Radiusul cercului descris în jurul triunghiului echilateral va găsi din proprietățile sale.

De unde lungimea marginii piramidei triunghiulare corecte va fi egală cu:
Am 2 \u003d MO 2 + AO 2
Înălțimea piramidei este cunoscută prin condiție (10 cm), a \u003d 16√3 / 3
Am 2 \u003d 100 + 256/3
Am \u003d √ (556/3)

Fiecare dintre părțile laterale ale piramidei este un triunghi cu lanț. Zona unui triunghi echilibrată va găsi de la prima formulă de mai jos

S \u003d 1/2 * 16 SQRT ((√ 556/3) + 8) (√ (556/3) - 8))
S \u003d 8 SQRT ((556/3) - 64)
S \u003d 8 SQRT (364/3)
S \u003d 16 SQRT (91/3)

Deoarece toate cele trei fețe la piramida dreaptă sunt egale, atunci suprafața laterală va fi egală cu
3S \u003d 48 √ (91/3)

Răspuns: 48 √(91/3)

Sarcina 3. Găsiți zona de suprafață completă a piramidei drepte

Partea a piramidei triunghiulare corecte este de 3 cm și unghiul dintre fața laterală și baza piramidei este de 45 de grade. Găsiți suprafața completă a piramidei.

Decizie.
Deoarece piramida este corectă, triunghiul echilateral este în fundația sa. Prin urmare, zona de bază este egală


Astfel \u003d 9 * √3 / 4

Pentru a găsi partea laterală, calculați înălțimea kmului. Unghiul OKM sub starea problemei este de 45 de grade.
În acest fel:
Ok / mk \u003d cos 45
Folosim

Înainte de a învăța întrebări despre această formă geometrică și proprietățile sale, ar trebui să fie înțeleasă în anumite condiții. Când o persoană aude despre piramida, el păstrează clădirile extraordinare din Egipt. Așa că arată ca cea mai simplă. Dar ele vin în diferite tipuri și forme, ceea ce înseamnă că formula de calcul pentru formele geometrice va fi diferită.

Tipuri de figură

Piramida - figura geometricăcare denotă și reprezentând câteva fețe. De fapt, este același poliedron, la baza căreia se află un poligon, iar laturile sunt triunghiurile care se leagă la un punct - partea de sus. Figura este două specii principale:

• propriu;
• trunchiat.

În primul caz, în partea de jos există un poligon obișnuit. Aici toate suprafețele laterale sunt egale Între ei înșiși, figura însăși va încânta ochiul perfecționistului.

În cel de-al doilea caz, bazele sunt două sunt mari la cele de jos și mici între vârful, repetând forma principală. Cu alte cuvinte, piramida trunchiată este o poliedron cu o secțiune transversală formată în bază paralelă.

Termeni și notație

Termeni majori:

• Triunghiul corect (echilateral) - Figura cu trei colțuri identice și partide egale. În acest caz, toate unghiurile au 60 de grade. Figura este cea mai simplă din poliedra dreaptă. Dacă această figură se află la bază, atunci o astfel de poliedron va fi numită triunghiulară adecvată. Dacă există un pătrat, piramida va fi menționată ca piramida corectă cu patru grade.
• Vertex - punctul de sus în care marginile sunt converted. Înălțimea vârfului este formată dintr-o linie dreaptă care emană de la vârf la baza piramidei.
• Față - una dintre avioanele poligonului. Poate fi sub forma unui triunghi în cazul unei piramide triunghiulare sau sub forma unui trapeziu pentru o piramidă trunchiată.
• Secțiune - Figura plat formată ca rezultat al disecției. Nu este necesar să fii confundat cu o tăietură, deoarece incizia arată ceea ce este în secțiune transversală.
• Apothem. - tăiat, condus din partea de sus a piramidei la baza sa. Este, de asemenea, înălțimea marginii în cazul în care este localizat cel de-al doilea punct de înălțime. Această definiție este valabilă numai în ceea ce privește polyhedronul corect. De exemplu, dacă aceasta nu este o piramidă trunchiată, marginea va fi un triunghi. În acest caz, înălțimea acestui triunghi va deveni apoophey.

Piața formulelor

Găsiți laterale ale piramidei Orice tip poate fi în mai multe moduri. Dacă cifra nu este simetrică și este un poligon cu părți diferite, atunci în acest caz este mai ușor să se calculeze suprafața totală prin totalitatea tuturor suprafețelor. Cu alte cuvinte - este necesar să se calculeze zona fiecărei fețe și să le îndoiți împreună.

În funcție de parametrii cunoscuți, pot fi necesare formule pentru calcularea pătratului, trapezoidelor, a unui bulion arbitrare etc. Formulele în diferite cazuri De asemenea, vor avea diferențe.

În cazul cifrei corecte, găsiți zona este mult mai ușoară. Este suficient să știți doar câțiva parametri cheie. În majoritatea cazurilor, calculele sunt necesare pentru astfel de cifre. Prin urmare, formulele corespunzătoare vor fi date în continuare. În caz contrar, aș fi trebuit să pictez totul în mai multe pagini, ceea ce va confunda și respinge doar.

Formula de bază pentru calcularea Suprafața laterală a piramidei drepte va avea următoarea formă:

S \u003d ½ PA (P este perimetrul bazei și - apopm)

Luați în considerare unul dintre exemple. Polyhedron are o bază cu segmente A1, A2, A3, A4, A5 și toate sunt egale cu 10 cm. Atempham a lăsat să fie 5 cm. Pentru a începe, este necesar să găsiți un perimetru. Deoarece toate cele cinci fețe ale bazei sunt aceleași, este posibil să se găsească acest lucru: p \u003d 5 * 10 \u003d 50 cm. Apoi, folosim formula de bază: S \u003d ½ * 50 * 5 \u003d 125 cm într-un pătrat.

Suprafața laterală a piramidei triunghiulare corecte Calculați cel mai ușor. Formula are forma următoare:

S \u003d ½ * AB * 3, unde a este apophem, b este o bază a bazei. Multiplicatorul tripler aici înseamnă numărul de baze ale bazei, iar prima parte este suprafața laterală. Luați în considerare un exemplu. Figura cu o apofurală de 5 cm și baza bazei este de 8 cm. Calculați: S \u003d 1/2 * 5 * 8 * 3 \u003d 60 cm în pătrat.

Suprafața laterală laterală a unei piramide trunchiate Calculați un pic mai dificil. Formula arată astfel: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * A, unde p_01 și p_02 sunt perimetrele bazelor și - apopmma. Luați în considerare un exemplu. Să presupunem că dimensiunile bazelor de bază 3 și 6 cm sunt date pentru o figură quadriginală, apopmul este de 4 cm.

Aici, pentru început, este necesar să găsiți perimetrele bazei: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm; p_02 \u003d 6 * 4 \u003d 24 cm. Rămâne să înlocuiți valorile cu formula principală și obținem: S \u003d 1/2 * (12 + 24) * 4 \u003d 0,5 * 36 * 4 \u003d 72 cm în pătrat .

Astfel, puteți găsi suprafața laterală a piramidei corecte a oricărei complexități. Ar trebui să fie atent și nu confundat Aceste calcule cu suprafața totală a întregului poliedron. Și dacă trebuie încă să se facă - este suficient să se calculeze zona cea mai mare bază a poliedronului și să o adăugați la suprafața laterală a poliedronului.

Video

Aprecierea informațiilor despre cum să găsiți suprafața laterală a diferitelor piramide, acest videoclip vă va ajuta.

Piramidă - una dintre soiurile unui poligonal generat de poligoane și triunghiuri, care se află la bază și sunt fețele sale.

Mai mult, pe partea superioară a piramidei (adică la un moment dat) toate versurile sunt combinate.

Pentru a calcula zona piramidei, merită să fie determinată că suprafața sa laterală constă din mai multe triunghiuri. Și pătratul lor putem găsi cu ușurință folosind

diverse formule. În funcție de datele de triunghiuri pe care le cunoaștem, căutăm zona lor.

Listăm câteva formule cu care puteți găsi zona de triunghiuri:

1. S \u003d (A * H) / 2 . În acest caz, știm înălțimea triunghiului h. care este coborâtă în lateral a. .
2. S \u003d A * B * SINβ . Iată părțile laterale ale triunghiului a. , b. , și unghiul dintre ei - β .
3. S \u003d (R * (A + B + C)) / 2 . Iată părțile laterale ale triunghiului a, B, C . Raza cercului, care este inscripționată în triunghi - r. .
4. S \u003d (a * b * c) / 4 * r . Raza descrisă cerc în jurul triunghiului - R. .
5. S \u003d (A * B) / 2 \u003d R2 + 2 * R * R . Această formulă trebuie aplicată numai dacă triunghiul este dreptunghiular.
6. S \u003d (A² * √3) / 4 . Această formulă este aplicată unui triunghi echilateral.

Numai după calculele zonei tuturor triunghiurilor, care sunt marginile piramidei noastre, pot fi calculate zona suprafeței laterale. Pentru aceasta vom folosi formulele de mai sus.

Pentru a calcula slicerul suprafeței laterale a piramidei, nu apar dificultăți: trebuie să cunoașteți cantitatea din zona tuturor triunghiurilor. Exprimați această formulă:

Sp \u003d σsi.

Aici SI este zona primului triunghi și S. p. - suprafața laterală pătrată a piramidei.

Ia în considerare pe exemplu. Piramida dreaptă este dată, fețele sale laterale sunt formate din mai multe triunghiuri echilaterale,

« Geometria este cea mai puternică instrument pentru sofisticarea abilităților noastre mentale.».

Galileo Galilei.

iar pătratul este baza piramidei. Mai mult, piramidele de nervi au o lungime de 17 cm. Noi găsim suprafața laterală a acestei piramide.

Ne certăm așa: știm că marginile piramidei sunt triunghiuri, ele sunt echilaterale. Știm, de asemenea, ce lungimea coastei are această piramidă. De aici se pare că toate triunghiurile au laturi laterale egale, lungimea lor este de 17 cm.

Pentru a calcula zona fiecăruia dintre aceste triunghiuri, puteți utiliza o astfel de formulă:

S \u003d (17² * √3) / 4 \u003d (289 * 1.732) / 4 \u003d 125.137 cm²

Deci, știm că pătratul se află la baza piramidei, iese că avem patru triunghiuri echilaterale. Aceasta înseamnă că zona suprafeței laterale a piramidei este ușor de calculat în conformitate cu următoarea formulă: 125.137 cm² * 4 \u003d 500.548 cm²

Răspunsul nostru este după cum urmează: 500.548 cm² - Aceasta este zona suprafeței laterale a acestei piramide.

Definiție. Latură - Acesta este un triunghi, în care un colț se află în vârful piramidei, iar partidul sa opus să coincide cu partea de bază (poligon).

Definiție. Marginile laterale. - Acestea sunt partea comună a fețelor laterale. Piramida are atât de multe coaste Câte colțuri au un poligon.

Definiție. Înălțimea piramidei - Aceasta este o perpendiculară, coborâtă din partea de sus la baza piramidei.

Definiție. Apothem. - Aceasta este o perpendiculară a feței laterale a piramidei, coborâtă din partea superioară a piramidei în partea laterală a bazei.

Definiție. Secțiunea diagonală - Aceasta este o secțiune transversală a unei piramide cu un plan care trece prin partea superioară a piramidei și diagonala de bază.

Definiție. Piramida dreaptă - Aceasta este o piramidă în care baza este poligonul potrivit, iar înălțimea se încadrează în centrul bazei.

Volumul și suprafața piramidei

Formulă. Volumul piramidei. Prin zona de bază și înălțimea:

Proprietățile piramidei

Dacă toate coastele laterale sunt egale, atunci în jurul bazei piramidei pot fi descrise și centrul de bază coincide cu centrul cercului. De asemenea, perpendicular, coborât din partea de sus trece prin centrul de bază (cercul).

Dacă toate coastele laterale sunt egale, atunci ele sunt înclinate la planul de bază în aceleași unghiuri.

Robele laterale sunt egale atunci când se formează cu planul unghiurilor egale de bază sau dacă cercul poate fi descris în jurul bazei piramidei.

Dacă fețele laterale sunt înclinate la planul de bază la un unghi, atunci în baza piramidei puteți intra în cerc și vârful piramidei este proiectat în centrul său.

Dacă fețele laterale sunt înclinate la planul de bază la un unghi, atunci apofemele fețelor laterale sunt egale.

Proprietățile piramidei drepte

1. Vârful piramidei este echidistant din toate colțurile bazei.

2. Toate coastele laterale sunt egale.

3. Toate marginile laterale sunt înclinate în aceleași colțuri la bază.

4. Apomofiile tuturor fețelor laterale sunt egale.

5. Zonele din toate fețele laterale sunt egale.

6. Toate fețele au același unghi dihedral (plat).

7. În jurul piramidei puteți descrie sfera. Centrul sferei descrise este punctul de intersecție al perpendiclurilor, care trec prin mijlocul coastelor.

8. În piramida puteți intra în sferă. Centrul sferei inscripționate va fi punctul de intersecție al bisectorului emanând din colțul dintre margine și bază.

9. Dacă centrul sferei inscripționate coincide cu centrul sferei descrise, atunci suma colțurilor plate din partea superioară este egală cu π sau invers, un unghi este π / n, unde n este numărul de unghiuri la baza piramidei.

Piramida cu sfera

În jurul piramidei, puteți descrie sfera când la baza piramidei se află o poliedron în jurul căreia puteți descrie cercul (condiția necesară și suficientă). Centrul sferei este punctul de intersecție al avioanelor care trec perpendicular prin mijlocul coastelor laterale ale piramidelor.

În jurul oricărei piramide triunghiulare sau corecte poate fi întotdeauna descrisă de sferă.

În piramida, puteți intra în sferă în cazul în care avioanele sectorului biss ale colțurilor interne ale piramidelor se intersectează la un punct (condiție necesară și suficientă). Acest punct va fi centrul sferei.

Piramida conexiune cu con

Conul este numit inscripționat în piramida dacă nodurile lor coincid și baza conului este înscrisă în baza piramidei.

Conul poate fi introdus în piramida dacă apofemele piramidelor sunt egale unul cu celălalt.

Conul se numește piramida descrisă în jurul valorii de, dacă nodurile lor coincid și baza conului este descrisă în jurul bazei piramidei.

Conul poate fi descris în jurul piramidei dacă toate coastele laterale ale piramidei sunt egale unul cu celălalt.

Piramida cu cilindru

Piramida este numită inscripționată în cilindru dacă partea superioară a piramidei se află pe o bază a cilindrului, iar baza piramidei este scrisă într-o altă bază a cilindrului.

Cilindrul poate fi descris în jurul piramidei dacă în jurul bazei piramidei puteți descrie cercul.

Definiție. Piramida trunchiată (prisma piramidală) - Acesta este un polhedron, care este între baza piramidei și planul secțiunilor, paralel cu baza. Astfel, piramida are o bază mare și o fundație mai mică care este similară. Fețele laterale sunt trapezoide.

Definiție. Piramida triunghiulară (Quadrup) - Aceasta este o piramidă în care trei fețe și baza sunt triunghiuri arbitrare.

Cele patru fețe și patru vârfuri și patru vârfuri și șase coaste, în care oricare două coaste nu au noduri comune, dar nu au intrat în contact.

Fiecare vârf constă din trei fețe și coaste care formează trei colț.

Segmentul care leagă vârful tetraedrului cu centrul feței opuse este numit median tetraedron. (Gm).

Bimedian. Se numește un segment care leagă nervurile mijlocii opuse care nu intră în contact (KL).

Toți bimedi și medii din tetraedral se intersectează la un punct (e). În același timp, bimedișii sunt împărțiți la jumătate, iar medii cu privire la 3: 1 pornind de la vârf.

Definiție. Piramidă înclinată - Aceasta este o piramidă în care una dintre coaste formează un unghi stupid (β) cu baza.

Definiție. Piramida dreptunghiulară - Aceasta este o piramidă în care una dintre fețele laterale este perpendiculară pe bază.

Definiție. Piramida acreditată - Aceasta este o piramidă în care apopodul este mai mult de jumătate din lungimea părții de bază a bazei.

Definiție. Piramidă proastă - Aceasta este o piramidă în care apopmul este mai mic decât jumătate din lungimea părții de bază.

Definiție. Tettrahedron dreapta - Un tetraedru care are toate cele patru fețe - triunghiuri echilaterale. Este unul dintre cei cinci poligoane dreapta. În tetraedruul drept, toate unghiurile din lemn (între margini) și unghiurile triunghiulare (în partea superioară) sunt egale.

Definiție. Tetrahedron dreptunghiular O tetraedru se numește un unghi drept între trei coaste în partea de sus (coaste perpendiculare). Trei se confruntă cu trei fețe colțul triunghiular dreptunghiular Și fețele sunt triunghiuri dreptunghiulare și baza unui triunghi arbitrar. Apotenul oricărei fețe este egal cu jumătate din partea temeiului pe care apopmul cade.

Definiție. O tetraedru de spălare Tetraedrul se numește fațetele laterale sunt egale unul cu celălalt, iar baza este triunghiul drept. O astfel de tetraedru servește un triunghiuri izolate.

Definiție. Orthocentric Tetrahedron. O tetraedru se numește toate înălțimile (perpendiculare), care este omisă de partea de sus la fața opusă, se intersectează la un moment dat.

Definiție. Star Pyramid. Polyhedron este numit baza este steaua.

Definiție. Bipiramid. - un polhedron constând din două piramide diferite (poate fi, de asemenea, tăiat de pe piramide) având o bază comună, iar vârfurile se află pe margini diferite din planul de bază.

Ce fel de figură numim piramida? În primul rând, acesta este un poliedron. În al doilea rând, la baza acestui poliedron există un poligon arbitrar, iar părțile laterale ale piramidei (fețe laterale) au în mod necesar forma de triunghiuri convergente într-un vertex total. Acum, înțeles cu termenul, aflați cum să găsiți suprafața piramidei.

Este clar că suprafața unui astfel de corp geometric va fi alcătuită din suma zonei de bază și a întregii sale suprafețe laterale.

Calculul zonei de bază a piramidei

Alegerea formulei calculate depinde de forma unui poligon care stă la baza piramidei noastre. Poate fi corect, adică cu părțile laterale de aceeași lungime sau incorectă. Luați în considerare ambele opțiuni.

Pe baza poligonului drept

Din cursul școlii este cunoscut:

• piața pătratului va fi egală cu lungimea părții sale, ridicată în pătrat;
• zona triunghiului echilaterală este egală cu pătratul său, împărtășită pe 4 și înmulțită pe rădăcina pătrată a trei.

Dar există o formulă generală pentru calcularea zonei oricărui poligon corect (SN): Este necesar să se multiplice valoarea perimetrului acestui poligon (P) la raza inscripționată în IT (R) și apoi împărțiți rezultatul rezultat în două: SN \u003d 1 / 2P * r.

Pe baza unui poligon greșit

Schema de constatare a zonei sale este de a împărți mai întâi întregul poligon pe triunghiuri, calculați zona fiecăruia cu formula: 1 / 2a * h (unde A este baza triunghiului, H este înălțimea înălțimii la această bază), pliați toate rezultatele.

Suprafața laterală pătrată a piramidei

Acum calculam zona suprafeței laterale a piramidei, adică Suma pătratelor din întreaga ei. Există, de asemenea, 2 opțiuni aici.

1. Să avem o piramirată arbitrară, adică. Astfel, la baza căreia - un poligon neregulat. Apoi, zona fiecărei fețe trebuie calculată și pliată rezultatele. Deoarece numai triunghiurile pot fi laturile laterale ale piramidei, atunci calculul se bazează pe formula menționată mai sus: S \u003d 1 / 2A * h.
2. Lăsați piramida noastră să fie corectă, adică În fundația sa se află poligonul potrivit, iar proiecția vârfului piramidei se dovedește a fi în centrul său. Apoi, pentru a calcula suprafața laterală (SB), este suficient să găsiți jumătate din munca perimetrului bazei poligonului (P) la înălțimea (H) a laterală (aceeași pentru toate marginile): SB \u003d 1 / 2 p * h. Perimetrul poligonului este determinat prin adăugarea lungimilor tuturor laturilor sale.

Suprafața totală a piramidei drepte se datorează sumării zonei bazei sale cu suprafața întregii suprafețe laterale.

Exemple

De exemplu, calculați suprafața algebrică a mai multor piramide.

Piramida triunghiulară de suprafață de suprafață

Pe baza unei astfel de piramide - un triunghi. Conform formulei SO \u003d 1 / 2A * H găsim zona de bază. Aceeași formulă este utilizată pentru a găsi zona fiecărei fețe a piramidei, având și o formă triunghiulară și obținem 3 zone: S1, S2 și S3. Zona suprafeței laterale a piramidei este suma tuturor zonelor: SB \u003d S1 + S2 + S3. După plierea laterală a lateralului și a bazei, obținem suprafața completă a piramidei dorite: SP \u003d SO + SB.

Suprafața piramidei quadrangulare

Suprafața laterală este suma de 4-desăvârșită: SB \u003d S1 + S2 + S3 + S4, fiecare dintre acestea fiind calculată prin formula zonei triunghiului. Iar zona de bază va trebui să caute, în funcție de forma unui cvadrangle - corectă sau incorectă. Zona suprafeței complete a piramidei va duce din nou la adăugarea zonei de bază și a suprafeței complete a piramidei predeterminate.