Starkova Kristina, clasa Student 8B

Lucrarea ia în considerare teorema de vârf și dovada sa.

Sarcini pentru găsirea zonei poligoanelor

Descarca:

Previzualizare:

Gestionarea educației generale și profesionale

Administrarea districtului municipal Ceaikovsky

Regiunea Perm.

VI Conferința Municipală de Cercetare
Elevi

Instituția secundară autonomă municipală

"Școala secundară №11"

Secțiunea: Matematică

Aplicarea formulei de alegere

Student 8 "B"

Mau Sosh №11Chakovski.

Lider: Batava L, N.,

Matematică Profesor Mou SoshNo11

g. Ceaikovsky.

Anul 2012.

I. Introducere ............................................... ............... 2.

II. Alegeți formula

2.1. Spune. Sus ............................................... ... .4.

2.2.Triangularea poligonului ........................... 5

2.3. Dovada teoremei de vârf ........................... 6

2.4 Studiul zonei poligoanelor ............ 9

2.5. Concluzie ................................................. .......... 12.

III. Activitățigometrice Sarcini cu conținut practic ... 13

IV. Concluzie ................................................. ......14.

V. Lista literaturii utilizate ............................. 16

1. Introducere

Pasiunea matematică începe adesea cu reflecție asupra unei anumite sarcini. Deci, atunci când studiați subiectul "Pieței Polygon", întrebarea a apărut dacă există sarcini, altele decât sarcinile geometriei luate în considerare în manuale. Acestea sunt sarcini pe hârtia verificată. Avem întrebări: Care este caracteristica unor astfel de sarcini, există metode și tehnici speciale pentru rezolvarea problemelor pe hârtie celulară. Văzând astfel de sarcini în materialele de control și de măsurare ale EGE și GIA, au decis să investigheze provocările privind hârtia celulară asociată cu găsirea zonei cifrei descrise.

Am început să studiez literatura, resursele de internet pe această temă. Se pare că fascinanța poate fi găsită pe planul placut, adică pe o bucată infinită de hârtie, trasă pe aceleași pătrate? Nu judecați în grabă. Se pare că sarcinile asociate cu hârtia din celulă sunt suficient de diverse. Am învățat să calculez zona poligoanelor trase pe foaia de rezervă. Pentru multe sarcini pe hârtie din celulă, nu există o regulă generală de soluții, metode și tehnici specifice. Aceasta este proprietatea lor determină valoarea lor pentru dezvoltarea unei abilități sau abilități specifice de formare, dar, în general, abilitatea de a gândi, gândi, analiza, căuta analogii, adică aceste sarcini dezvoltă abilități mentale în cea mai largă înțelegere.

Am definit:

Obiect de studiu: Sarcini pe hârtie verificată

Subiect de studiu: Sarcini pentru calcularea zonei poligonului pe hârtia, metodele și tehnicile de rezolvare a acestora.

Metode de cercetare: Modelarea, compararea, generalizarea, analogiile, studiul resurselor literare și internete, analiza și clasificarea informațiilor.

1. Scopul studiului: Pentru a obține și a verifica formulele pentru calcularea zonelor de forme geometrice utilizând formula de vârf

Pentru a atinge obiectivul, oferim decizia următoarelorsarcini:

1. Alegeți literatura necesară
2. Selectați materialul pentru cercetare, alegeți informațiile principale, interesante și ușor de înțeles
3. Analizați și sistematizați informațiile primite
4. Găsiți diferite metode și tehnici pentru rezolvarea problemelor pe hârtie celulară
5. Să creeze o prezentare electronică a muncii pentru prezentarea materialului colectat de colegii de clasă

varietatea de sarcini pe hârtie în celulă, "enormitatea" lor, lipsa regulilor și soluțiilor generale determină dificultăți în elevii de școală cu considerația lor

1. Ipoteza :. Zona cifrei calculată prin formula de vârf este egală cu figura figura calculată prin formula de planimetrie.

La rezolvarea problemelor legate de hârtia celulară, vom avea nevoie de o imaginație geometrică și informații geometrice suficient de simple pe care toată lumea le cunoaște.

II. Alegeți formula

2.1. Teste. Sules.

Luați în considerare în avion două familii de linii drepte paralele, ruperea avionului pe pătrate egale; Setul de toate punctele de intersecție a acestor directe se numește o rețea de punct sau doar cu o rețea, iar punctele în sine sunt lattice.

Noduri interne ale poligonului -roșu.

Noduri pe glandele Edgal -albastru.

Pentru a estima zona poligonului pe hârtia tabără, este suficient să se calculeze câte celule acoperă acest poligon (zona celulară pe care o acceptăm pe unitate). Mai precis, dacăS. - zona poligonului, B - numărul de celule care sunt în întregime în interiorul poligonului și G este numărul de celule care au cu innergit-ul poligonului cel puțin un punct comun.

Vom lua în considerare doar astfel de poligoane, toate vârfurile care se află în nodurile hârtiei verificate - în așa cum se intersectează liniile de grilă.

Zona oricărui triunghi trasată pe hârtia verificată este ușor de calculat, prezentându-l ca o sumă sau diferența în zonele triunghiurilor dreptunghiulare și dreptunghiul, ale cărora trec prin linii de rețea care trec prin vârfurile desenate triunghi.

2.2.tribularea poligonului

Orice poligon cu vârfuri în nodurile de rețea poate fi triunghiular - împărțit în triunghiuri "simple".

Lăsați un anumit poligon și un set finit să fie dat în avionLA Puncte situate în interiorul unui poligon și la marginea sa (și toate vârfurile poligonului aparțin setuluiK).

Triangularea cu vârfuriLA Se numește divizarea acestui poligon pe triunghiuri cu vârfuri într-un setLA astfel încât fiecare punct de laLA servește ca un vârf pentru fiecare dintre acele triunghiuri ale triangulațiilor, care aparține acest punct (adică puncte de laLA Nu intră în interiorul sau pe părțile laterale ale triunghiurilor, orezului. 1.37).

Smochin. 1.37.

Teorema 2. a) orice n -ROLIK poate fi tăiat în diagonale pentru triunghiuri, iar numărul de triunghiuri va fi egaln. - 2 (aceasta este o partiție - triangularea cu vârfuri în vârfurin-Cart).

Luați în considerare un poligon nongenerat simplu integrat (adică este conectat - orice două puncte pot fi conectate printr-o curbă continuă, întreaga coordonate sunt complet conectate în ea, iar toate vârfurile sale au coordonate întregi, limita este coerentă ruptă fără auto- intersecția și are o zonă nonzero).

Pentru a calcula zona unui astfel de poligon, puteți utiliza următoarea teoremă:

2.3. Dovada teoremei de vârf.

Fie B numărul de puncte întregi în interiorul poligonului, M - numărul de puncte întregi la graniță, - Zona lui. Apoi valabilformula de vârf: S \u003d B + G2-1

Exemplu. Pentru un poligon în desenB \u003d 23. (Puncte galbene), r \u003d 7, (puncte albastre, nu uita de topuri!) Prin urmare unități pătrate.

În primul rând, observăm că formula de vârf este valabilă pentru un singur pătrat. Într-adevăr, în acest caz avem b \u003d 0, g \u003d 4 și.

Luați în considerare un dreptunghi cu părțile laterale pe linii de zăbrele. Lungimea părților sale sunt egale și . Avem în acest caz, b \u003d (A-1) (B - 1), R \u003d 2A + 2B, apoi prin formula vârfului,

Acum luăm în considerare un triunghi dreptunghiular cu clienții care se află pe axele de coordonate. Un astfel de triunghi este obținut dintr-un dreptunghi cu părțile. și considerate în cazul precedent, tăind-o în diagonală. Lăsați-i să stea pe diagonală puncte întregi. Apoi, pentru astacaz în \u003d A-1) B-1, 2 g \u003d R \u003d 2A + 2B 2 + C-1 și obțineți asta4) Luați în considerare acum un triunghi arbitrar. Se poate obține prin tăierea mai multor triunghiuri dreptunghiulare din dreptunghi și, eventual, un dreptunghi (vezi imaginile). Deoarece atât pentru un dreptunghi, cât și pentru un triunghi dreptunghiular al formulei de vârf, obținem că va fi, de asemenea, valabil pentru un triunghi arbitrar.

Rămâne să faci ultimul pas: Du-te de la triunghiuri la poligoane. Orice poligon poate fi împărțit în triunghiuri (de exemplu, diagonale). Prin urmare, este necesar să se dovedească pur și simplu că atunci când adăugați orice triunghi la un poligon arbitrar, formula de vârf rămâne adevărată. Lăsați un poligon și triunghi Au o parte comună. Să presupunem că pentruformula de vârf este corectă, dovedim că va fi adevărat pentru un poligon derivat din adăugând. Ca și eu Aveți o parte comună, apoi toate punctele întregi situate pe această parte, cu excepția a două vârfuri, devin puncte interne ale noului poligon. Vârfurile vor fi puncte limită. Denotă numărul de puncte comune prinși obțineți b \u003d mt \u003d bm + bt + c-2 - numărul de puncte întregi interne ale noului poligon, r \u003d g (m) + g (t) -2 (C-2) -2 - numărul de puncte limită ale noului poligon. Din aceste egalități obținem:BM + BT + C-2 , R \u003d g (m) + g (t) -2 (C-2) -2. De când am sugerat că teorema este adevărată pentru si pentru separat, apoi s (mt) + s (m) + s (t) \u003d (în (m) +GM2 -1) + în (t) + GT2 -1) \u003d (în (m) + în (t)) + (GM2 + GT2) -2 \u003d G (MT) - (C-2) + B (MT) +2 (C-2) +22 -2 \u003d g (MT) + B (MT) 2-1 . Cu toate acestea, formula de vârf este dovedită.

2.4 Studiul zonelor de poligon.

2) Pe hârtia verificată cu celule cu o dimensiune de 1 cm x 1 cm este descrisă triunghi. Includeți pătratul său în centimetri pătrați.
Imagine	Conform formulei de geometrie	Prin formula de vârf
	S \u003d 12ah. Shtr.abd \u003d 1/2 ad bd \u003d 1/2 ∙ 2 ∙ 1 \u003d 1 Str.BDC \u003d 1/2 dc ∙ bd \u003d 1/2 ∙ 3 \u200b\u200b∙ 1 \u003d 1,5 S stembc \u003d ster.bdc-shedr.abd \u003d 1,5-1=0,5	S \u003d B + G2-1 R \u003d 3; b \u003d 0. S \u003d 0 + 3 / 2-1 \u003d 0,5

3) Pe hârtia tabără cu celule cu o dimensiune de 1 cm x 1 cm, este descrisă un patru-coelen. Găsiți pătratul său în centimetri pătrați.
Imagine	Conform formulei de geometrie	Prin formula de vârf
	S \u003d A ∙ B Skv.kmne \u003d 7 ∙ 7 \u003d 49 S STEMKB \u003d 1/2 ∙ KB ∙ AK \u003d 1/2 ∙ 4 ∙ 4 \u003d 8 Shtrakb \u003d sc.dce \u003d 8 S stemand \u003d 1/2 ∙ nd ∙ an \u003d 1/2 ∙ 3 \u200b\u200b∙ 3 \u003d 4,5 S stem \u003d stem.bmc \u003d 4.5 SPR \u003d SPV.KMNE-STEM.AKB- stem.dce-stem. Și stem.bmc \u003d 49-8-8-4,5-4,5 \u003d 24	S \u003d B + G2-1 R \u003d 14; b \u003d 19. S \u003d 18 + 14 / 2-1 \u003d 24

4) pe hârtie celulară cu celulele dimensiune de 1 cm x 1 cm este prezentat
Imagine	Conform formulei de geometrie	Prin formula de vârf
	S1 \u003d 12A ∙ B \u003d 1/2 ∙ 7 ∙ 1 \u003d 3,5 S2 \u003d 12A ∙ B \u003d 1/2 ∙ 7 ∙ 2 \u003d 7 S3 \u003d 12A ∙ B \u003d 1/2 ∙ 4 ∙ 1 \u003d 2 S4 \u003d 12A ∙ B \u003d 1/2 ∙ 5 ∙ 1 \u003d 2,5 S5 \u003d A² \u003d 1² \u003d 1 Spv. \u003d A² \u003d 7² \u003d 49 S \u003d 49-3.5-7-2-25-1 \u003d 32cm²	S \u003d B + G2-1 R \u003d 5; b \u003d 31. S \u003d 31 + 42 -1 \u003d 32cm²
5) Pe hârtie verificată cu celule cu o dimensiune de 1 cm x 1 cm este descrisă patru pătrat. Găsiți pătratul său în centimetri pătrați.
	S \u003d A ∙ B a \u003d 36 + 36 \u003d 62 b \u003d 9 + 9 \u003d 32 S \u003d 62 ∙ 32 \u003d 36 cm 2	S \u003d B + G2-1 R \u003d 18, b \u003d 28 S \u003d 28 + 182 -1 \u003d 36cm 2
6) pe hârtie celulară cu celule Dimensiune 1 cm x 1 cm este prezentată patru pătrat. Găsește-l pătrat în centimetri pătrați
	S1 \u003d 12A ∙ B \u003d 1/2 ∙ 3 \u200b\u200b∙ 3 \u003d 4,5 S2 \u003d 12A ∙ B \u003d 1/2 ∙ 6 ∙ 6 \u003d 18 S3 \u003d 12A ∙ B \u003d 1/2 ∙ 3 \u200b\u200b∙ 3 \u003d 4,5 S \u003d 4,5 + 18 + 4.5 \u003d 27 cm²	S \u003d B + G2-1 R \u003d 18; B \u003d 28. S \u003d 28 + 182 -1 \u003d 36cm²
7) Pe hârtie celulară cu celule cu o dimensiune de 1 cm x 1 cm este descrisă patru pătrat. Găsește-l pătrat în centimetri pătrați
	S1 \u003d 12A ∙ B \u003d 1/2 ∙ 3 \u200b\u200b∙ 3 \u003d 4,5 S2 \u003d 12A ∙ B \u003d 1/2 ∙ 6 ∙ 6 \u003d 18 S3 \u003d 12A ∙ B \u003d 1/2 ∙ 3 \u200b\u200b∙ 3 \u003d 4,5 S4 \u003d 12A ∙ B \u003d 1/2 ∙ 6 ∙ 6 \u003d 18 Sqv \u003d 9² \u003d 81cm² S \u003d 81-4,5-18-4,5-18 \u003d 36cm²	S \u003d B + G2-1 R \u003d 18; B \u003d 28. S \u003d 28 + 182 -1 \u003d 36cm²

8) pe hârtie celulară cu celule Dimensiune 1 cm x 1 cm este descrisă patru pătrat. Găsește-l pătrat în centimetri pătrați
Imagine	Conform formulei de geometrie	Prin formula de vârf
	S1 \u003d 12A ∙ B \u003d 1/2 ∙ 2 ∙ 4 \u003d 4 S2 \u003d 12AH \u003d 1/2 ∙ 4 ∙ 4 \u003d 8 S3 \u003d 12AH \u003d 1/2 ∙ 8 ∙ 2 \u003d 8 S4 \u003d 12AH \u003d 1/2 ∙ 4 ∙ 1 \u003d 2 SPR. \u003d A ∙ B \u003d 6 ∙ 8 \u003d 48 S5 \u003d 48-4-8-8-2 \u003d 24 cm²	S \u003d R + B2-1 R \u003d 16; B \u003d 17. S \u003d 17 + 162 -1 \u003d 24 cm²

Ieșire

1. Comparând rezultatele din tabele și dovedește teorema de vârf, am ajuns la concluzia că cifra figura calculată de formula de vârf este egală cu zona din figura calculată în conformitate cu formula de planimetrie derivată

Deci, ipoteza mea a fost credincioasă

III Sarcini cu conținut practic.

Ne va ajuta formula vârfului și rezolvăm sarcini geometrice cu conținut practic.

Sarcina 9. Găsiți zona masivului forestier (în m²) descrisă pe plan cu o plasă pătratică 1 × 1 (cm) pe o scară de 1 cm - 200 m (figura 10)

Decizie.

Smochin. 10 V \u003d 8, g \u003d 7. S \u003d 8 + 7/2 - 1 \u003d 10,5 (cm²)

1 cm² - 2002 m²; S \u003d 40000 · 10,5 \u003d 420 000 (m²)

Răspuns: 420.000 m²

Sarcina 10. . Găsiți zona de câmp (în m²) descrisă pe plan cu o plasă pătrat 1 × 1 (cm) pe o scară de 1 cm - 200 m. (Fig.11)

Decizie. Vom găsi o zonă cu patru brunuri descrisă pe hârtia tabără conform formulei de vârf: S \u003d B + - 1

B \u003d 7, g \u003d 4. S \u003d 7 + 4/2 - 1 \u003d 8 (cm²)

Smochin. 11 1 cm² - 200² m²; S \u003d 40000 · 8 \u003d 320 000 (m²)

Răspuns: 320.000 m²

Concluzie

În procesul de cercetare, am studiat referința, literatura științei populare, învățată să lucrez în programul Notebook. am invatat aceasta

Sarcina de a găsi zona unui poligon cu vârfuri în nodurile grilajului cu suspendarea matematicii de vârf austriacă în 1899 pentru a dovedi o formulă minunată a vârfului.

Ca urmare a muncii mele, mi-am extins cunoștințele despre rezolvarea problemelor asupra hârtiei verificate, identificate clasificarea sarcinilor studiate, a fost convinsă de diversitatea lor.

Am învățat cum să calculez zona poligonilor trasați pe frunza checkerată a sarcinilor considerate au un nivel diferit de dificultate - de la simplu la olimpiadă. Toată lumea poate găsi printre acestea sarcinile nivelului de decontare a complexității, împingând din care, va fi posibil să se deplaseze mai dificilă în soluție.

Am ajuns la concluzia că subiectul care mă interesează este destul de multiplicat, sarcinile pe hârtia verificată sunt diverse, metodele și tehnicile deciziilor lor sunt, de asemenea, diverse. Prin urmare, am decis să continuu să lucrez în această direcție.

Literatură

1.Gometrie pe hârtie celulară. Mic mehmat msu.

2.Jarkovskaya N. M., RISS E. A. Geometria hârtiei verificate. Formula de vârf // Matematică, 2009, nr. 17, p. 24-25.

3. Sarcini de bănci în aer liber în Matematică FiI, 2010 - 2011

4.V.V.VAVILOV, A.V.USTINOV. Injecțiile de pe laturi. M. MCNMO, 2006.

5. Etudes.etudes.ru.

6.L.ANTANSAYAN, V.F. Butuzov, S.B. KADOMTSEV și Drgometrie. 7-9 clase. Iluminarea, 2010.

Alegeți formula

Sazhina Valery Andreevna, student 9 Magazin de clasă "SoshNrow11" G Ust-Ilimsk Irkutsk Region

Lider: Gubar Oksana Mikhailovna, Profesor de matematică din cea mai mare categorie de calificare MOU "SoshNrow11" Dl. Ust-Ilimsk Irkutsk Region

2016 an

Introducere

Când studiați subiectul geometriei "Pieței Polygon", am decis să aflu: Există o modalitate de a găsi alte pătrate decât cele pe care le-am studiat în lecții?

În acest fel, există o formulă de vârf. L. V. Gorina în "Materiale pentru găsirea de auto-educație" descris această formulă: "Introducere în formula de vârf este deosebit de relevantă în ajunul livrării utilizării și a GIA. Cu această formulă, puteți rezolva cu ușurință o clasă mare de sarcini oferite pe examene - acestea sunt sarcini pentru a găsi zona poligonului descris pe hârtia tabără. Formula Little Peak va înlocui un întreg set de formule necesare pentru rezolvarea acestor sarcini. Formula vârfului va funcționa "unul pentru toți ..."! ".

În materialele examenului, am îndeplinit sarcinile cu conținutul practic al terenurilor de teren. Am decis să verific dacă această formulă este aplicabilă pentru a găsi zona zonei școlare, cartierele orașului, zona. Precum și utilizarea sa este rațional pentru a rezolva problemele.

Obiectul studiului: Formula de vârf.

Subiectul cercetării: aplicarea raționalității formulei de vârf la rezolvarea sarcinilor.

Scopul lucrării este de a justifica raționalitatea utilizării formulei de vârf atunci când se rezolvă sarcinile pentru a găsi zona de cifre descrise pe hârtia verificată.

Metode de cercetare: modelarea, compararea, generalizarea, analogiile, studiul resurselor literare și de internet, analiza și clasificarea informațiilor.

Ridicați literatura necesară, analizați și sistematizați informațiile obținute;

Luați în considerare diverse metode și tehnici de rezolvare a problemelor pe hârtie celulară;

Verificați experimental prin raționalitatea utilizării formulei de vârf;

Luați în considerare utilizarea acestei formule.

Ipoteza: Dacă aplicați formula de vârf pentru a găsi zona poligonului, atunci puteți găsi zona teritoriului, iar soluția de sarcini pe hârtia verificată va fi mai rațională.

Parte principală

Partea teoretică

Hârtie de hârtie (mai precis - nodurile sale) pe care preferăm adesea să remizăm și să remizăm, este unul dintre cele mai importante exemple ale laticii punctului din avion. Deja această rețea simplă a servit K. Gauss prin punctul de plecare pentru compararea zonei cercului cu numărul de puncte cu coordonate întregi în interiorul acestuia. Faptul că unele afirmații geometrice simple despre cifrele din plan au consecințe profunde în studiile aritmetice, a fost observat în mod explicit de orașul Minkowski în 1896, când el pentru prima dată pentru examinarea problemelor teoretice și numerice atrase metode geometrice.

Desenați un poligon pe hârtia verificată (apendicele 1, figura 1). Să încercăm să calculăm zona sa. Cum să o facă? Probabil, cea mai ușoară modalitate de ao sparge pe triunghiuri dreptunghiulare și un trapeziu, a cărui zonă este deja ușor de calculat și pliabil rezultatele obținute.

Metoda utilizată este simplă, dar foarte greoaie, în plus, nu este adecvată pentru niciun poligon. Deci, următorul poligon nu poate fi defalcat pe triunghiuri dreptunghiulare, așa cum am făcut-o în cazul precedent (apendicele 2, figura 2). Puteți încerca, de exemplu, să o adăugați la "bun" necesar pentru noi, adică zona de care vom putea calcula metoda descrisă, apoi de la numărul rezultat al zonei parte adăugată.

Cu toate acestea, se pare că există o formulă foarte simplă care vă permite să calculați zona unor astfel de poligoane cu vârfuri în nodurile grila pătrată.

Această formulă a fost deschisă de vârful de matematică austriacă Georg Alexandrov (1859 - 1943) în 1899. În plus față de această formulă, vârful Georg a deschis teorema de vârf, vârf - Julia, vârf - Nevalin, a demonstrat inegalitatea lui Schwartz - vârf.

Această formulă a rămas neobservată de ceva timp după ce vârful l-au publicat, dar în 1949 matematicianul polonez al lui Hugo Stensause a inclus teorema faimosului său "kaleidoscop matematic". Din acest timp, teorema de vârf a devenit cunoscută pe scară largă. În Germania, formula de vârf este inclusă în manualele școlare.

Este un rezultat clasic al geometriei combinatoriale și geometriei numerelor.

Dovada formulei vârfului

Lăsați ABS-ul să fie un dreptunghi cu vârfuri în nodurile și partidele care rulează de-a lungul liniilor de rețea (apendicele 3, figura 3).

Denotați de B - numărul de noduri situate în interiorul dreptunghiului și prin G este numărul de noduri de la granița sa. Deplasați grila pe poli la dreapta și la adăpost

jos. Apoi, zona dreptunghiului poate fi "distribuită" între noduri după cum urmează: fiecare dintre nodurile "controlează" întreaga celulă a rețelei strămutate și fiecare dintre noduri - 4 noduri non-unghiulare - jumătate din Celulă și fiecare dintre punctele unghiulare este un sfert de celule. Prin urmare, zona dreptunghiului S este egală

S. \u003d B +. + 4 · \u003d B +. - 1 .

Deci, pentru dreptunghiuri cu vârfuri în noduri și petreceri care merg pe liniile de rețea, am setat formula S \u003d B + - 1 . Aceasta este o formulă de vârf.

Se pare că această formulă este adevărată nu numai pentru dreptunghiuri, ci și pentru poligoane arbitrare cu vârfuri în nodurile de rețea.

Partea practică

Găsirea zonei cifrelor printr-o metodă geometrică și prin formula de vârf

Am decis să mă asigur că formula de vârf este valabilă pentru toate exemplele considerate.

Se pare că, dacă un poligon poate fi tăiat în triunghiuri cu vârfuri în nodurile de rețea, atunci este adevărat pentru forma de vârf.

Am analizat câteva provocări cu privire la hârtia celulară cu celule de 1 cm1 cm și au efectuat o analiză comparativă pentru a rezolva problemele (tabelul # 1).

Tabelul # 1 Rezolvarea sarcinilor în diferite moduri.

Imagine

Conform formulei de geometrie

Prin formula de vârf

Numărul de sarcină 1.

S \u003d S. etc. - (2s. 1 + 2S. 2 )

S. etc. =4*5=20 cm 2

S. 1 =(2*1)/2=1 cm 2

S. 2 =(2*4)/2=4 cm 2

S \u003d 20- (2 * 1 + 2 * 4) \u003d 10cm 2

Răspuns :10 cm ².

B \u003d 8, r \u003d 6

S. \u003d 8 + 6/2 - 1 \u003d 10 (cm²)

Răspuns: 10 cm².

Numărul de sarcină 2.

a \u003d 2, H \u003d 4

S \u003d A * H \u003d 2 * 4 \u003d 8cm 2

Răspuns : 8 cm ².

B \u003d 6, r \u003d 6

S. \u003d 6 + 6/2 - 1 \u003d 8 (cm²)

Răspuns: 8 cm².

Numărul de sarcină 3.

S \u003d S. kv. - (S. 1 + 2S. 2 )

S. kv. =4 2 =16 cm 2

S. 1 \u003d (3 * 3) / 2 \u003d 4,5 cm 2

S. 2 \u003d (1 * 4) / 2 \u003d 2cm 2

S.\u003d 16- (4,5 + 2 * 2) \u003d 7,5 cm2

B \u003d 6, g \u003d 5

S. \u003d 6 + 5/2 - 1 \u003d 7,5 (cm²)

Răspuns: 7,5 cm².

Numărul de sarcină 4.

S \u003d S. etc. - (S. 1 + S. 2+ S. 3 )

S. etc. =4 * 3=12 cm 2

S. 1 =(3*1)/2=1,5 cm 2

S. 2 =(1*2)/2=1 cm 2

S. 3 =(1+3)*1/2=2 cm 2

S \u003d 12- (1,5 + 1 + 2) \u003d 7,5cm 2

B \u003d 5, g \u003d 7

S. \u003d 5 + 7/2 - 1 \u003d 7,5 (cm²)

Răspuns: 7,5 cm².

Numărul de sarcini 5.

S \u003d S. etc. - (S. 1 + S. 2+ S. 3 )

S. etc. =6 * 5=30 cm 2

S. 1 =(2*5)/2=5 cm 2

S. 2 =(1*6)/2=3 cm 2

S. 3 =(4*4)/2=8 cm 2

S \u003d 30- (5 + 3 + 8) \u003d 14cm 2

Răspuns: 14 cm²

B \u003d 12, r \u003d 6

S. \u003d 12 + 6/2 - 1 \u003d 14 (cm²)

Răspuns: 14 cm²

O sarcină №6.

S. TR \u003d (4 + 9) / 2 * 3 \u003d 19,5 cm 2

Răspuns: 19,5 cm 2

B \u003d 12, g \u003d 17

S. \u003d 12 + 17/2 - 1 \u003d 19,5 (cm²)

Răspuns: 19,5 cm 2

O sarcină №7. Găsiți zona masivului forestier (în m²) descrisă pe plan cu o plasă pătratică 1 × 1 (cm) pe o scară de 1 cm - 200 m

S \u003d S. 1 + S. 2+ S. 3

S. 1 =(800*200)/2=80000 m. 2

S. 2 =(200*600)/2=60000 m. 2

S. 3 =(800+600)/2*400=

280000 m. 2

S \u003d.80000+60000+240000=

420000M 2.

Răspuns: 420.000 m²

B \u003d 8, g \u003d 7. S. \u003d 8 + 7/2 - 1 \u003d 10,5 (cm²)

1 cm² - 2002 m²; S. \u003d 40000 · 10.5 \u003d 420 000 (m²)

Răspuns: 420.000 m²

Numărul de sarcină 8. . Găsiți zona de câmp (în m²) descrisă pe plan cu o plasă pătrată 1 × 1 (cm) pe scară

1 cm - 200 m.

S.= S. KV -2 ( S. TR +. S. scară)

S. kv \u003d 800 * 800 \u003d 640000 m 2

S. TR \u003d (200 * 600) / 2 \u003d 60000m 2

S. Capcane \u003d (200 + 800) / 2 * 200 \u003d

100000m 2.

S.=640000-2(60000+10000)=

320000 m 2.

Răspuns: 320.000 m²

Decizie. Găsi S. Zona Quadriclei descrisă pe hârtia verificată prin formula de vârf:S. \u003d B + - 1

B \u003d 7, g \u003d 4. S. \u003d 7 + 4/2 - 1 \u003d 8 (cm²)

1 cm² - 2002 m²; S. \u003d 40000 · 8 \u003d 320 000 (m²)

Răspuns: 320.000 m²

Numărul de sarcină 9. . Găsește pătrat.S. sectoare, numărarea celulelor pătrate egale cu 1. Ca răspuns, specificați .

Sectorul este o a patra parte a cercului și, prin urmare, zona sa este egală cu o a patra zonă a cercului. Zona de cerc este egală cu πR. 2 Unde R. - Radius cerc. În cazul nostruR. =√5 Și, prin urmare, zonaS. sectoarele sunt 5π / 4. DinS./ π \u003d 1,25.

Răspuns. 1.25.

R \u003d 5, b \u003d 2, S. \u003d B + G / 2 - 1 \u003d 2 + 5/2 - 1 \u003d 3,5, ≈ 1,11

Răspuns. 1,11.

Numărul de sarcină 10. Găsește pătrat. S. inele, numărarea celulelor pătrate egale cu 1. Ca răspuns, specificați .

Zona inelelor este egală cu diferența în zona cercurilor externe și interioare. RazăR. cercul exterior egal

2, raza r. cercul interior este 2. În consecință, zona inelelor este de 4 Prin urmare, . Răspuns: 4.

R \u003d 8, b \u003d 8, S. \u003d B + G / 2 - 1 \u003d 8 + 8/2 - 1 \u003d 11, ≈ 3,5

Răspuns: 3.5.

Concluzii: Sarcinile considerate sunt similare cu sarcina de la opțiunile de măsurare a materialelor examenului în matematică (sarcini nr. 5.6),.

Din deciziile de sarcină considerate, am văzut că unele dintre ele, cum ar fi sarcinile nr. 2.6, este mai ușor de rezolvat, aplicând formule geometrice, deoarece înălțimea și baza pot fi definite în figură. Dar majoritatea sarcinilor necesită o divizare a figurii la un mai simplu (numărul de sarcini 7) sau completarea unui dreptunghi (sarcini nr. 14,5), un pătrat (sarcini nr. 3,8).

Din rezolvarea problemelor nr. 9 și nr. 10, am văzut că utilizarea unei formule de vârf pentru figuri care nu sunt poligoane, oferă un rezultat aproximativ.

Pentru a testa raționalitatea aplicării formulei de vârf, am efectuat un studiu pentru timpul petrecut (apendicele 4, tabelul nr. 2).

Concluzie: Din tabelul și diagrama (apendicele 4, graficul 1) se poate observa că atunci când rezolvați problemele cu formula vârfului, timpul este cheltuit mult mai puțin.

Găsirea zonei formularelor spațiale

Verificați aplicabilitatea acestei formule la formularele spațiale (apendicele 5, figura 4).

Găsiți zona de suprafață completă a paralelipipepei dreptunghiulare, numărătoarea părții celulelor pătrate egale cu 1.

Aceasta este o lipsă de formulă.

Aplicarea formulei de vârf pentru găsirea zonei teritoriului

Rezolvarea sarcinilor cu conținut practic (sarcini numărul 7.8; Tabelul nr. 1), am decis să aplice această metodă pentru a găsi zona teritoriului nostru școlar, cartierele orașului Ust-Ilimsk, regiunea Irkutsk.

După ce am citit "Proiectul limitelor terenului MausoshNroth 11 G. Nast-Ilimsk" (Anexa 6), am găsit zona teritoriului nostru școlar și comparativ cu o zonă de limite de teren (Anexa 9 , Tabelul 3).

Având în vedere malul drept al UST-ILIMSK (Anexa 7), am calculat zona microdistriconului și comparativ cu datele din "UST-ILIMSK" din regiunea Irkutsk ". Rezultatele prezentate în tabel (apendicele 9, tabelul 4).

După ce a considerat harta regiunii Irkutsk (apendicele 7), am găsit zona teritoriului și comparativ cu datele din Wikipedia. Rezultatele prezentate în tabel (apendicele 9, tabelul 5).

După analizarea rezultatelor, am ajuns la concluzia: În conformitate cu formula de vârf, aceste zone pot fi găsite mult mai ușor, dar rezultatele sunt aproximative.

Din studiile efectuate, cea mai exactă importantă pe care am primit-o atunci când găsesc zona teritoriului școlar (apendicele 10, graficul 2). O discrepanță mai mare în rezultate a reușit când pătratul regiunii Irkutsk (Anexa 10, Graficul 3). Acest lucru se datorează faptului. Că nu toate limitele din regiune sunt părțile la poligoane, iar vârfurile nu sunt puncte nodale.

Concluzie

Ca rezultat al muncii mele, mi-am extins cunoștințele despre rezolvarea problemelor pe hârtie verificată, a determinat clasificarea sarcinilor studiate.

Atunci când efectuați lucrarea, sarcinile au fost rezolvate pentru a găsi zona poligoanelor descrise pe hârtia verificată în două moduri: geometrică și folosind formula de vârf.

Analiza soluțiilor și a experimentului pentru a determina timpul petrecut a arătat că aplicarea formulei face posibilă rezolvarea sarcinii de a găsi zona poligonului, mai rațional. Acest lucru economisește timp la examenul din matematică.

Găsirea zonei diferitelor cifre descrise pe hârtia verificată a făcut posibilă concluzia că utilizarea unei formule de vârf pentru calcularea zonei sectorului circular și a inelului este nepractică, deoarece oferă un rezultat aproximativ și că acesta Formula de vârf nu se aplică pentru rezolvarea problemelor în spațiu.

De asemenea, în lucrarea au fost găsite zone de diferite teritorii prin formula de vârf. Se poate concluziona: Este posibilă utilizarea formulei de găsire a zonei diferitelor teritorii, dar rezultatele sunt aproximative.

Ipoteza nominalizată de mine a fost confirmată.

Am ajuns la concluzia că subiectul care mă interesează este destul de multiplicat, sarcinile pe hârtia verificată sunt diverse, metodele și tehnicile deciziilor lor sunt, de asemenea, diverse. Prin urmare, am decis să continuu să lucrez în această direcție.

Literatură

Volkov S.D .. Proiectul limitelor terenului, 2008, p. şaisprezece.

Gorina L.V., Matematică. Tot pentru profesor, M: Știință, 2013 g. Nr. 3, p. 28.

PROKOPIEVA V.P., PETROV A.G. Planul general al orașului Ust-Ilimsk, regiunea Irkutsk, Gosstroy Rusia, 2004. Cu. 65.

RISS E. A., Zharkovskaya N. M., Geometria hârtiei verificate. Formula de vârf. - Moscova, 2009, № 17, p. 24-25.

Smirnova I. M. ,. Smirnov V. A, Geometria pe hârtie celulară. - Moscova, iazuri pure, 2009, p. 120.

Smirnova I. M., Smirnov V. A., sarcini geometrice cu conținut practic. - Moscova, iazuri pure, 2010, p. 150.

Obiectivele sarcinilor bancare deschise în matematică FIPI, 2015.

Harta orașului Ust-Ilimsk.

Harta regiunii Irkutsk.

Wikipedia.

Există o formulă minunată care vă permite să citiți zona Polygon. Pe grila de coordonate aproape fără erori. Nici măcar nu este o formulă, ci o adevărată teorema. La prima vedere, poate părea complexă. Dar este suficient să rezolvăm câteva sarcini - și veți înțelege cât de cool este cipul. Așadar!

Pentru a începe, introducem o nouă definiție:

Nodul de stivă de coordonate este orice punct situat pe intersecția liniilor verticale și orizontale ale acestei rețele.

Desemnare:

În prima imagine, nodurile nu sunt schimbate deloc. Pe al doilea indicat 4 noduri. În cele din urmă, toate cele 16 noduri sunt indicate în a treia imagine.

Ce are de-a face cu sarcina B5? Faptul este că vârfurile poligonului în astfel de sarcini mereu La nodurile de rețea. Ca urmare, următoarele teoreme funcționează pentru ei:

Teorema. Luați în considerare un poligon pe grila de coordonate, ale căror noduri se află în nodurile acestei rețele. Apoi zona poligonului este egală cu:

unde n este numărul de noduri din acest poligon, K este numărul de noduri care se află la granița sa (noduri de graniță).

De exemplu, luați în considerare triunghiul obișnuit pe grila de coordonate și încercați să marcați nodurile interne și limită.

În prima imagine, triunghiul obișnuit este dat. În al doilea rând, nodurile sale interne sunt marcate, numărul căruia este n \u003d 10. Nodurile care stau la graniță sunt marcate pe a treia imagine, ele sunt doar k \u003d 6.

Poate că mulți cititori sunt incomprehensibilă cum să numără numerele N și K. Începeți cu noduri interne. Totul este evident aici: vopsesc triunghiul cu un creion și privesc cât de multe noduri au căzut în sat.

Cu noduri limite un pic mai complicat. Frontiera poligon - resturi închisecare traversează grila de coordonată la mai multe puncte. Cea mai ușoară modalitate de a menționa un punct de pornire "și apoi ajungeți în jurul restului.

Nodurile de graniță vor fi doar punctele de pe rupte, în care se intersectează simultan trei linii:

1. De fapt, rupt;
2. Linia grilă de coordonată orizontală;
3. Linie verticala.

Să vedem cum funcționează totul în sarcini reale.

O sarcină. Găsiți zona triunghiului dacă dimensiunea celulei este de 1 x 1 cm:

Pentru a începe, notăm nodurile care se află în interiorul triunghiului, precum și la granița sa:

Se pare că nodul intern este doar unul: n \u003d 1. noduri de graniță - până la șase: trei coincid cu vârfuri ale unui triunghi, și trei mai multe minciuni pe laturi. Total k \u003d 6.

Acum considerăm că zona conform formulei:

Asta e tot! Sarcina este rezolvată.

O sarcină. Găsiți zona Quadricle descrisă pe hârtia celulară cu o dimensiune celulară de 1 cm la 1 cm. Petreceți răspunsul în centimetri pătrați.

Repetați din nou nodurile interne și limită. Noduri interne de n \u003d 2. Noduri de graniță: k \u003d 7, din care 4 sunt vârful Quadrangle.Și 3 mai multe minciuni pe laturi.

Rămâne să înlocuiți numărul N și K în formula pătrată:

Acordați atenție ultimului exemplu. Această sarcină a fost oferită într-adevăr la lucrările de diagnosticare în 2012. Dacă lucrați în conformitate cu schema standard, va trebui să faceți o mulțime de construcții suplimentare. Și metoda de noduri este rezolvată aproape orală.

Un comentariu important asupra pătratelor

Dar formula nu este totul. Să rescriem o mică formulă, aducând alinierea în dreapta la un numitor comun. Primim:

Numerele N și K sunt numărul de noduri, sunt întotdeauna întregi. Deci, întregul numerotare este, de asemenea, întregi. Îi împartă la 2, de la care rezultă un fapt important:

Zona este exprimată întotdeauna într-un număr întreg sau fracție. Și la sfârșitul fracției se află întotdeauna "cinci zecimi": 10,5; 17,5 etc.

Astfel, zona din problema B5 este întotdeauna exprimată într-un număr întreg sau o fracțiune de tip ***, 5. Dacă răspunsul este obținut de altul, înseamnă că o eroare se face undeva. Amintiți-vă acest lucru când luați un examen real în matematică!

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea diapozitivelor este utilizată exclusiv în scopuri informaționale și nu pot oferi idei despre toate capacitățile de prezentare. Dacă sunteți interesat de această lucrare, descărcați versiunea completă.

Ofițeri:

• Tatyana Mikhailovna poate
• Derryushkin Oksana Valerievna.

Motto de proiect:

"Dacă doriți să învățați să înoți, apoi intrați cu îndrăzneală în apă.
Și dacă doriți să învățați să rezolvați problemele, apoi să le rezolvăm. "
D. Santa.

Alegerea temei de proiect nu este accidentală. Modalități de a găsi zona poligonului trasată pe "celulele" un subiect foarte interesant.

Știm diferite modalități de a îndeplini astfel de sarcini: metoda de adăugare, metoda de scădere etc.

Suntem foarte interesați de acest subiect, am studiat o mulțime de literatură și altfel a fost găsit bucuria noastră uriașă, o modalitate care nu este cunoscută pentru programul școlar, dar metoda este minunată! Calculul zonei care utilizează formula derivată de omul de știință austriac este Matematica Georg vârf.

Am decis să explorăm formula vârfului, cu care să îndeplinească sarcini pentru găsirea zonei foarte ușor!

Scopul studiului

1. Studiul formulei de vârf.

2. Extinderea cunoștințelor despre varietatea de sarcini pe hârtie verificată, despre recepțiile și metodele de rezolvare a acestor sarcini.

Sarcini:

1. Selectați materialul pentru studiu, alegeți informațiile principale, interesante și ușor de înțeles

2. Analizați și sistematizați informațiile primite

3. Creați o prezentare electronică a muncii pentru prezentarea materialului colectat de colegii de clasă

4. Faceți concluzii pe baza rezultatelor muncii.

5. Ridicați cele mai interesante exemple vizuale.

Metode de cercetare:

1. Modelarea

2. Construcția

3. Analiza și clasificarea informațiilor

4. Comparație, generalizare

5. Studiul resurselor literare și de internet

Georg Peak - om de știință austriacă - matematician. Vârful a intrat în Universitatea din Viena în 1875. Am publicat primul meu loc de muncă la vârsta de 17 ani. Cercul interesului său matematic a fost extrem de larg. 67 din lucrările sale sunt dedicate multor secțiuni de matematică, cum ar fi: algebra liniară, calculul integral, geometria, analiza funcțională, teoria potențială.

Teorema binecunoscută a apărut în colecția de lucrări de vârf în 1899.

Teorema a atras o mulțime de atenție și a început să provoace admirație pentru simplitatea și eleganța sa.

Formula vârfului, formula pentru calcularea zonei poligonului descris pe hârtie în celulă este utilă în rezolvarea sarcinilor de utilizare și oge. Este, prin urmare, ea este foarte interesată de noi.

Formula de vârf este rezultatul clasic al geometriei combinatoriale și geometria numerelor.

Pe teorema de vârf, zona poligonului este egală cu:

G: 2 + B - 1

G - numărul de noduri de lattice la granița poligonului

B - Numărul de noduri de zăbrele din interiorul poligonului.

În primul rând, am stabilit sarcina: aflați ce noduri de zăbrele sunt și cum să calculeze cantitatea lor. Sa dovedit, este foarte simplu. Dăm câteva exemple.

Lăsați un triunghi arbitrar dat. Nodurile de la frontieră sunt descrise cu portocaliu, nodurile din interior sunt prezentate în albastru. Găsiți noduri și calculați numărul lor este foarte ușor.

În acest caz, r \u003d 15, b \u003d 35

Exemplul nr. 2.Noduri la granița 18, adică R \u003d 18, noduri în interiorul 20, b \u003d 20.

Și încă un exemplu. Dan Poligon arbitrar. Considerăm noduri la graniță. Acestea sunt 14. Un nod în interiorul unui poligon 43. G \u003d 14, B \u003d 43.

Cu prima sarcină pe care am făcut-o!

A doua fază a lucrării noastre: calcularea zonelor poligoanelor.

Luați în considerare mai multe exemple.

Exemplul nr. 1.

R \u003d 14, b \u003d 43, s \u003d + 43 - 1 \u003d 49

Exemplul nr. 2.

R \u003d 11, b \u003d 5, s \u003d + 5 - 1 \u003d 9,5

Exemplu numărul 3.

R \u003d 15, b \u003d 22, s \u003d + 22 - 1 \u003d 28,5

Exemplu numărul 4.

R \u003d 8, b \u003d 16, s \u003d + 16 - 1 \u003d 19

Exemplu numărul 5.

R \u003d 10, b \u003d 30, s \u003d + 30 - 1 \u003d 34

Pentru examinare a cinci exemple, am petrecut doar 1-2 minute. Calculați zona în funcție de formula de vârf nu numai rapid, ci și foarte ușoară!

Dar am avut o întrebare foarte serioasă în fața noastră:

Este posibil să aveți încredere în teorema de vârf?

Sunt aceleași rezultate la calcularea zonelor în mai multe moduri?

Vom găsi zona de poligon conform formulei de vârf și în mod obișnuit, folosind formulele geometriei și modalităților de completitudine sau partiții în părți. Acestea sunt rezultatele pe care le-am primit:

Exemplul nr. 1.

Calculați zona poligon utilizând formula de vârf:

Calculați numărul de noduri de la graniță și în interior. R \u003d 3, b \u003d 6.

Calculați zona: S \u003d 6 + - 1 \u003d 6,5

Aruncați un poligon la un dreptunghi. Zona dreptunghiului este: 3 * 5 \u003d 15, S? \u003d \u003d 3, S? \u003d 3, S \u003d \u003d 2,5

S \u003d 15-3-3-2,5 \u003d 6,5

Rezultatul este același.

Exemplul nr. 2.

R \u003d 4, b \u003d 9, s \u003d 9 + - 1 \u003d 10

Arunca la un dreptunghi.

Zona dreptunghiului este: 5 * 4 \u003d 20, S 1 \u003d 2 * 1 \u003d 2, S 2 \u003d 3,

S \u003d \u003d 2, S \u003d 1,5, S \u003d \u003d 2,5

Zona dreptunghiului este egală

S \u003d 20 - 2 - 3 - 2 - 1.5 - 2.5 \u003d 10

Am primit din nou aceleași rezultate.

Luați în considerare un alt exemplu.

Exemplu numărul 3.

Calculăm zona conform formulei de vârf.

R \u003d 5, b \u003d 6, s \u003d 6 + - 1 \u003d 7,5

Calculăm zona utilizând metoda de disperare.

Zona dreptunghiului este egală cu 5 · 4 \u003d 20

S 1 \u003d 2 * 1 \u003d 2, S 2 \u003d 1, S 3 \u003d 2 * 1 \u003d 2, S 4 \u003d 1, S 5 \u003d 1, S 6 \u003d 2,5

S \u003d 20 - 2 -1- 2 - 1 - 1 - 2,5 - 3 \u003d 7,5

Rezultatul este același.

În prezentare, am analizat trei exemple, dar de fapt ne-am uitat la o mulțime de exemple diferite. Rezultatul a fost întotdeauna același: calculul zonei în funcție de formula de vârf și alte metode dă același rezultat.

Concluzie: Formula de vârf poate fi de încredere! Oferă rezultatul exact.

Suntem incantati!

Și o altă întrebare stătea în fața noastră: Care este modul în care cel mai rațional calcul este cel mai convenabil pentru utilizare?

Pentru a răspunde la această întrebare, este suficient să utilizați întreaga lucrare anterioară. Dar luați în considerare alte trei exemple care vă vor permite să obțineți un răspuns la întrebarea noastră.

Exemplul nr. 2.

Exemplu numărul 3.

Cu ajutorul formulei de vârf, este ușor de calculat zona poligonului chiar și cea mai bizară formă. Luați în considerare un exemplu:

Concluzia este lipsită de ambiguitate: cea mai rațională modalitate de a calcula zona poligonului descris pe hârtie în cușcă: Formula de vârf!

Oferim fiecare dintre voi pentru a calcula zona poligonului folosind formula de vârf:

Calculați numărul de noduri la graniță. Ele sunt descrise în galben.

Calculați numărul de noduri din interior, roșu.

Înlocuiți în formula, denumiți rezultatul. Ați calculat zona într-un minut.

Deci, formula de vârf are o serie de avantaje față de alte modalități de calculare a zonelor poligoanelor pe hârtie celulară:

Pentru a calcula zona poligonului, trebuie să cunoașteți o singură formulă:

S \u003d G: 2 + B - 1.

Formula de vârf este foarte simplă pentru memorare.

Formula de vârf este foarte convenabilă și ușor de utilizat.

Poligonul, din care trebuie calculat zona poate fi oricare dintre cele mai bizare formă.

Aplicarea formulei de vârf este ușor de realizat sarcina utilizării și Oge.

Dăm câteva exemple de calcul al zonei din opțiunile EGE-2015.

Am decis să învățăm să folosim formula elevilor din 9 - 11 clase ale școlii noastre. A petrecut festivalul "Formula de vârf".

Toți elevii s-au familiarizat cu un mare interes cu prezentarea, au învățat să folosească formula vârfului.

În 30 de minute de muncă practică, elevii au efectuat un număr mare de sarcini. Fiecare student a primit o memento "Peak Formula".

Le-am ajutat în pregătirea pentru examen și oge!

După o lună de lucru, am efectuat un studiu al studenților în clasa 9-11.

A precizat următoarele întrebări:

Întrebarea numărul 1:

Formula de vârf este o modalitate rațională de a calcula zona Polygon?

"Da" - 100% dintre studenți.

Întrebarea numărul 2:

Folosești o formulă de vârf?

"Da" - 100% dintre studenți

Lucrarea noastră nu era în zadar! Suntem incantati!

Am postat proiectul nostru pe Internet. Multe viziuni și descărcări ale muncii noastre.

Am emis albumul "Formula de vârf". Ei în mod constant, mai ales prima dată, au folosit studenții școlii noastre.

Rezultatele proiectului:

În procesul de lucru la proiectul studiat de referință, literatura de știință populară pe tema cercetării.

• A studiat teorema de vârf, a învățat să găsească pătratele figurilor descrise pe hârtie în cușcă pur și simplu rațional.
• Ei și-au extins cunoștințele despre rezolvarea problemelor legate de lucrarea celulară, determinată clasificarea sarcinilor studiate, au fost convinși de colectorul lor.
• Am cheltuit cele 9-11 festivaluri de "formula de vârf" pentru studenți, le-a învățat să găsească o zonă, folosind această formulă. A postat o mulțime de exemple interesante.
• A creat o prezentare electronică pentru a-și ajuta colegii.
• Am făcut un album "Peak Formula", care utilizează în mod constant elevii de școală.

Vă invită să executați două sarcini, astfel încât să fiți convinși de raționalitatea muncii noastre.

Multumesc pentru atentie!

Desenați un poligon pe hârtia verificată. De exemplu, așa cum se arată în figura 1.

Să încercăm să calculăm zona sa. Cum să o facă? Probabil cea mai ușoară modalitate de ao sparge asupra triunghiurilor dreptunghiulare și dreptunghiuri, care sunt deja ușor de calculat și de a plia rezultatele obținute. Folosit de mine este simplu, dar foarte greoi, în plus, nu este potrivit pentru niciun poligon.

Luați în considerare un poligon integrat nedegenerat (adică este conectat - oricare două puncte poate fi conectat printr-o curbă continuă, în întregime în acesta este conținut și toate vârfurile sale au coordonate întregi, marginea sa este o coerentă ruptă fără auto-intersecție, și are o zonă nonzero). Pentru a calcula zona unui astfel de poligon, puteți utiliza următoarea teoremă:

Teorema de vârf. Lăsați numărul de puncte întregi în interiorul poligonului - numărul de puncte întregi la granița sa - zona sa. Apoi valabil alegeți formula:

Exemplu. Pentru un poligon din figura 1 (puncte galbene), (puncte albastre, nu uitați de vârfuri!), Prin urmare, unități pătrate.

Dovada teoremei de vârf. În primul rând, observăm că formula de vârf este valabilă pentru un singur pătrat. Într-adevăr, în acest caz avem și

Luați în considerare un dreptunghi cu părțile laterale pe linii de zăbrele. Lungimea părților sale sunt egale și. Avem în acest caz, conform formulei de vârf,

Acum luăm în considerare un triunghi dreptunghiular cu clienții care se află pe axele de coordonate. Un astfel de triunghi este obținut dintr-un dreptunghi cu părțile și, considerat în cazul precedent, tăind-l pe diagonală. Lăsați diagonalele să stabilească puncte întregi. Apoi, pentru această ocazie și ajungem asta

Acum ia în considerare un triunghi arbitrar. Se poate obține prin tăierea mai multor dreptunghiuri dreptunghiulare din dreptunghi și, eventual, un dreptunghi (vezi figurile 2 și 3). Deoarece atât pentru un dreptunghi, cât și pentru un triunghi dreptunghiular al formulei de vârf, obținem că va fi, de asemenea, valabil pentru un triunghi arbitrar.

Rămâne să faci ultimul pas: Du-te de la triunghiuri la poligoane. Orice poligon poate fi împărțit în triunghiuri (de exemplu, diagonale). Prin urmare, este necesar să se dovedească pur și simplu că atunci când adăugați orice triunghi la un poligon arbitrar, formula de vârf rămâne adevărată.

Lăsați poligonul și triunghiul să aibă o parte comună. Să presupunem că pentru formula de vârf, vom demonstra că va fi corect pentru un poligon obținut din plus. Deoarece au partea totală, atunci toate punctele întregi situate pe această parte, cu excepția a două vârfuri, devin puncte interne ale noului poligon. Vârfurile vor fi puncte limită. Denotă numărul de puncte comune prin intermediul și obțineți

Numărul de puncte întregi interne ale noului poligon,

Numărul de puncte limită ale noului poligon.

Din aceste egalități primim

De când am sugerat că teorema este adevărată pentru și pentru separat,

Astfel, formula de vârf este dovedită.

Această formulă a fost deschisă de vârful de matematică austriacă Georg Alexandrov (1859 - 1943) în 1899. În plus față de această formulă, vârful Georg a deschis teorema de vârf, vârf - Julia, vârf - Nevalin, a demonstrat inegalitatea lui Schwartz - vârf. ÎN Anexa 1. Puteți vedea sarcinile non-standard considerate de mine pentru a aplica formula de vârf.