Proprietățile unui triunghi echipabil exprimă următoarele teoreme.

Teorema 1. Într-un triunghi echilibrat, unghiurile de la bază sunt egale.

Teorema 2. Într-un triunghi echilibru al Bisericii, condus la bază, este mediană și înălțime.

Teorema 3. Într-o median de triunghi echilibru, condus la bază, este un bisector și înălțime.

Teorema 4. Într-un triunghi echilibrat, înălțimea condusă la pământ este bisectorală și mediană.

Dovedem unul dintre ele, de exemplu, teorema 2.5.

Dovezi. Luați în considerare un triunghi echilibrat ABC cu baza aeronavei și demonstrăm că ∠ B \u003d ∠ S. Lăsați anunțul să fie un bisector al triunghiului ABC (figura 1). Triunghiurile ABD și ACD sunt egale cu primul semn al egalității triunghiurilor (AV \u003d AC pentru această condiție, AD este partea obișnuită, ∠ 1 \u003d ∠ 2, deoarece anunțul bisector). Din egalitatea acestor triunghiuri rezultă că teorema ∠ B \u003d ∠ S. este dovedită.

Utilizând teorema 1, se stabilește următoarea teoremă.

Teorema 5. Cel de-al treilea semn al egalității triunghiurilor. Dacă cele trei laturi ale unui triunghi sunt egale cu trei laturi ale unui alt triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale (fig.2).

Cometariu. Propunerile stabilite în exemplele 1 și 2 exprimă proprietățile perpendiculare de mijloc pe segment. Din aceste propuneri rezultă că mijlocul perpendicular pe părțile laterale ale triunghiului se intersectează la un moment dat.

Exemplul 1. Dovedește că punctul de avion, echidistant de la capetele segmentului, se află pe mijlocul perpendicular pe acest segment.

Decizie. Lăsați punctul să fie egal cu capetele segmentului AB (fig.3), adică am \u003d VM.

Apoi, Δ AMV este gratuit. Vom petrece prin punctul M și la mijlocul segmentului AV Direct P. Segmentul MO pe construcție este o mediană a unui triunghi echipabil AMV și, prin urmare, (teorema 3) și înălțimea, adică, direct Mo, există un mijloc de mijloc perpendicular pe segmentul AV.

Exemplul 2. Dovediți că fiecare punct al mijlocului perpendicular pe segment este echidistant de la capetele sale.

Decizie. Fie p un mijloc perpendicular pe segmentul AV și punctul O - mijlocul segmentului AB (vezi figura 3).

Luați în considerare un punct arbitrar m situată pe o linie dreaptă. Realizăm segmentele AM \u200b\u200bși VM. Trianglele de Aome și B sunt egale, deoarece au colțuri în partea de sus a rolelor drepte, se rotește ohms, iar Rolls OA este egală cu cateticul cu condiția. Din egalitatea triunghiurilor Aome și PM, rezultă că am \u003d vm.

Exemplul 3. În triunghiul ABC (vezi figura 4) ab \u003d 10 cm, soare \u003d 9 cm, AC \u003d 7 cm; În triunghi Def de \u003d 7 cm, EF \u003d 10 cm, FD \u003d 9 cm.

Comparați abc și def triunghiuri. Găsiți unghiuri egale în consecință.

Decizie. Aceste triunghiuri sunt egale pe a treia bază. În consecință, unghiuri egale: a și e (se află împotriva părților egale ale aeronavei și FD), B și F (se află pe partea egală a AC și DE), C și D (se află împotriva partidelor egale AB și EF) .

Exemplul 4. Figura 5 AV \u003d DC, Sun \u003d AD, ∠B \u003d 100 °.

Găsirea D.

Decizie. Luați în considerare triunghiurile ABC și ADC. Acestea sunt egale în a treia bază (AV \u003d DC, Sun \u003d AD sub starea și partea AC este generală). Din egalitatea acestor triunghiuri, rezultă că ∠ B \u003d ∠ D, dar unghiul de 100 ° este de 100 °, înseamnă că unghiul d este de 100 °.

Exemplul 5. Într-un triunghi abc fără ABC cu AC de bază, un unghi exterior la vârful C este de 123 °. Găsiți unghiul lui ABC. Răspundeți în grade.

Soluție video.

Primii istorici ai civilizației noastre sunt grecii antice - se referă la Egiptul ca un loc de origine a geometriei. Este dificil să nu fiți de acord cu ei, știind, cu care precizia uimitoare este mormântul uriaș al faraonilor. Structura reciprocă a avioanelor piramidelor, proporțiile lor, orientarea pe părțile laterale ale lumii - pentru a atinge o astfel de perfecțiune ar fi de neconceput, fără a cunoaște elementele de bază ale geometriei.

Cuvântul "geometrie" în sine poate fi tradus ca "măsurarea pământului". Și cuvântul "pământ" acționează ca o planetă - parte a sistemului solar, ci ca un avion. Markup-ul zonei sub menținerea agriculturii este probabil să fie cea mai inițială bază a științei pe figuri geometrice, tipurile și proprietățile acestora.

Triunghiul este cea mai simplă figură spațială a planimetriei, care conține doar trei puncte - noduri (nu mai puțin). Baza fundației poate fi pentru că este atârnată în el ceva misterios și vechi. Oco OCO din interiorul triunghiului este una dintre cele mai vechi dintre celebrele semne oculte, iar geografia distribuției sale și a intervalului de timp pur și simplu imaginația uimitoare. De la vechiul egiptean, sumerian, aztec și alte civilizații la mai multe comunități moderne de amatori de ocultism împrăștiate pe glob.

Care sunt triunghiurile

Un triunghi obișnuit versatil este o figură geometrică închisă, constând din trei segmente de diferite lungimi și trei colțuri, dintre care nici unul nu este direct. În plus față de el, există mai multe specii speciale.

Triunghiul acut are toate unghiurile mai mici de 90 de grade. Cu alte cuvinte, toate unghiurile unui astfel de triunghi sunt ascuțite.

Triunghiul dreptunghiular asupra căruia elevii au strigat din cauza abundenței teoremei, are un unghi cu o valoare de 90 de grade sau, așa cum se numește și direct.

Triunghiul stupid se caracterizează prin faptul că una dintre colțurile sale este proastă, adică valoarea sa este mai mare de 90 de grade.

Triunghiul echilateral are trei laturi de aceeași lungime. O astfel de cifră este, de asemenea, egală cu toate unghiurile.

În cele din urmă, la un triunghi echipabil de trei laturi, doi sunt între ei.

Trăsături distinctive

Proprietățile unui triunghi echipabil determină principalul său, cel mai important, diferența este egalitatea ambelor părți. Aceste părți sunt considerate a fi numite șolduri (sau, mai des, laterale laterale), dar partea terță este numită "baza".

Pe figura considerată a \u003d b.

Al doilea semn al unui triunghi echitabil rezultă din teorema sinusurilor. Deoarece părțile laterale ale A și B sunt egale cu sinele unghiurilor lor opuse:

a / SIN γ \u003d B / SIN α, de unde avem: Sin γ \u003d Sin α.

Din egalitatea sinusurilor, este urmată egalitatea unghiurilor: γ \u003d α.

Deci, al doilea semn al unui triunghi de echilibru este egalitatea a două unghiuri adiacente la baza.

Al treilea semn. Triunghiul distinge astfel de elemente ca înălțimea, bisectorul și mediană.

Dacă în procesul de rezolvare a problemei se pare că în triunghiul în cauză, două dintre aceste elemente coincid: înălțimea cu bisectorul; Bissecttrix cu mediană; Median cu o înălțime - fără echivoc, putem concluziona că triunghiul este deasupra.

Proprietățile geometrice ale figurii

1. Proprietățile unui triunghi ISCED. Una dintre trăsăturile distincte ale figurii este egalitatea unghiurilor adiacente de bază:

<ВАС = <ВСА.

2. O altă proprietate este discutată mai sus: medianul, bisectorul și înălțimea într-un triunghi echilibrat coincid dacă sunt construite din vârfurile sale la bază.

3. EGALITATEA BISSECTRILOR efectuată de la vârfurile la baza:

Dacă AE este bisectorul unghiului dvs. și CD-ul este bisectrice al unghiului BCA, apoi: AE \u003d DC.

4. Proprietățile unui triunghi echitabil asigură, de asemenea, egalitatea de înălțimi care sunt efectuate de la vârfurile de la bază.

Dacă construiți înălțimea triunghiului ABS (în cazul în care AV \u003d Sun) de la vârfurile A și C, atunci segmentele CD-ului obținut și AE vor fi egale.

5. Medianiurile petrecute din colțuri de la bază vor fi, de asemenea, egale.

Deci, dacă AE și DC sunt medii, adică ad \u003d db, și be \u003d EC, atunci AE \u003d DC.

Înălțimea unui triunghi inaccesibil

Egalitatea laturilor laterale și colțurile cu ele introduce câteva caracteristici în calcularea lungimilor elementelor figurii în cauză.

Înălțimea într-un triunghi echivalent împarte figura pe 2 triunghiuri dreptunghiulare simetrice, cu hipotenusuri în care sunt laturile laterale. Înălțimea în acest caz este determinată în funcție de teorema Pythagora, cum ar fi cattat.

Triunghiul poate fi egal cu toate cele trei laturi, apoi va fi numit echilateral. Înălțimea în triunghiul echilateral este determinată în același mod, numai pentru calcule este suficientă pentru a cunoaște doar o singură valoare - lungimea laterală a acestui triunghi.

Puteți determina înălțimea și altă modalitate, de exemplu, cunoașterea bazei și unghiul adiacent la acesta.

Mediană este un triunghi precedat

Tipul de triunghi este considerat, datorită caracteristicilor geometrice, este rezolvată destul de simplu la setul minim de date sursă. Deoarece mediana într-un triunghi echilibrată este egală cu înălțimea sa, și bisectorul său, algoritmul definiției sale nu diferă de ordinea calculării acestor elemente.

De exemplu, este posibil să se determine lungimea mediană în partea bine cunoscută și magnitudinea unghiului de sus.

Cum se determină perimetrul

De la figura planimetrică în cauză, cele două părți sunt întotdeauna egale, atunci este suficient să cunoaștem lungimea bazei și lungimea uneia dintre părți pentru a determina perimetrul.

Luați în considerare un exemplu când trebuie să determinați perimetrul triunghiului pe baza binecunoscută și înălțimea.

Perimetrul este egal cu suma bazei și de două ori lungimea laterală. Partea laterală, la rândul său, este determinată utilizând teorema Pythagora ca hipotensiune dreptunghiulară. Lungimea sa este egală cu pătratul rădăcină al sumei pătratului înălțimii și pătratului de jumătate din bază.

Pătrat de un triunghi în mod egal

Nu provoacă, de regulă, dificultăți și calcule a unei zone triunghiul egal. Regula universală de determinare a zonei triunghiului ca jumătate din produsul bazei pe înălțimea sa este valabilă, desigur, în cazul nostru. Cu toate acestea, proprietățile unui triunghi echilibrat facilitează din nou sarcina.

Să presupunem că înălțimea și unghiul adiacent la baza sunt cunoscute. Este necesar să se determine zona figurii. Puteți face acest lucru în acest fel.

Deoarece suma unghiurilor oricărui triunghi este de 180 °, atunci nu este dificil să se determine colțul. Apoi, folosind proporția compilată conform teoremei sinusale, este determinată lungimea bazei triunghiului. Totul, baza și înălțimea - date suficiente pentru a determina zona - sunt disponibile.

Alte proprietăți ale unui triunghi de echilibru

Poziția centrului cercului descris în jurul unui triunghi echilibru depinde de magnitudinea unghiului vârfului. Deci, dacă un triunghi anoscel este acut, centrul cercului este situat în interiorul cifrei.

Centrul cercului, care este descris în jurul unui triunghi issicsit prost, se află în afara acestuia. Și, în cele din urmă, dacă amploarea unghiului de la vârf este de 90 °, centrul se află exact în mijlocul bazei și prin baza însăși trece diametrul cercului.

Pentru a determina raza cercului descris în apropierea unui triunghi echilibru, este suficient să împărțiți partea laterală la cosinoasa dublă a jumătății unghiului colțului de la vârf.

Printre toate triunghiurile există două tipuri speciale: triunghiuri dreptunghiulare și triunghiuri echitabile. Care sunt aceste tipuri de triunghiuri atât de speciale? Ei bine, în primul rând, astfel de triunghiuri sunt extrem de adesea principalele "persoane" ale sarcinilor Emei din prima parte. În al doilea rând, sarcinile despre triunghiurile dreptunghiulare și echivalente sunt rezolvate mult mai ușor decât alte sarcini de geometrie. Trebuie doar să cunoașteți mai multe reguli și proprietăți. Toate cele mai interesante sunt discutate în subiectul relevant, iar acum vom lua în considerare o triunghiuri echitabile. Și în primul rând, ce este un triunghi echipabil. Sau, așa cum spune matematica, care este definiția unui triunghi echilibrat?

Vedeți cum arată:

Ca un triunghi dreptunghiular, un triunghi inaccesibil are nume speciale pentru părți. Sunt numite două părți egale lateral, iar partea terță - baza.

Și din nou atenția la imagine:

Poate, desigur, și așa:

Deci, fii atent: partea laterală este una din cele două părți egale. într-un triunghi egal tranzacționat și baza este terță parte.

Ceea ce este atât de bun un triunghi de echilibru? Pentru a înțelege acest lucru, să petrecem înălțimea la bază. Îți amintești ce este înălțimea?

Ce s-a întâmplat? Unul dintre aceleași triunghi izobid a dovedit două dreptunghiulare.

Este deja bun, dar se va dovedi în orice, cel mai "numit" triunghi.

Care este diferența dintre o imagine pentru un triunghi fără anose? Vezi din nou:

Ei bine, în primul rând, desigur, acest matematicieni ciudați doar o văd - trebuie să dovedești cu siguranță. Și apoi, dintr-o dată, aceste triunghiuri sunt puțin diferite și le vom lua în considerare la fel.

Dar nu vă faceți griji: în acest caz, este aproape la fel de ușor ca să vedem.

Să începem? Uită-te cu atenție, avem:

Și înseamnă! De ce? Da, vom găsi doar și din teorema Pythagora (amintindu-ne chiar și în același timp

A te asigura? Ei bine, acum avem

Și pentru trei partide - cel mai simplu (al treilea) semn al egalității triunghiurilor.

Ei bine, triunghiul nostru de echilibru a fost împărțit în două dreptunghiulare identice.

Vedeți cât de interesant? S-a dovedit ca:

Ce zici de acest lucru este obișnuit să vorbești de la matematicieni? Haide în ordine:

(Îmi amintesc aici că mediana este o linie condusă de la vârf, care împarte partea în jumătate și Bissecttrix - unghi.)

Ei bine, aici am discutat că binele poate fi văzut dacă există un triunghi echitabil. Am derivat că un colț de triunghi de echilibru la bază sunt egale, iar înălțimea, bisecul și mediană, condusă la baza coincid.

Și acum apare o altă întrebare: cum să afli un triunghi de echilibru? Adică, așa cum spune matematica, ce sunt Semne de triunghi echipabil?

Și se pare că trebuie doar să "întoarceți" toate declarațiile dimpotrivă. Deci, desigur, nu se întâmplă întotdeauna, dar un triunghi echitabil este încă un lucru minunat! Ce se întâmplă după "întoarcerea"?

Uite:
Dacă înălțimea și mediana coincid, atunci:

Dacă înălțimea și bisecul coincid, atunci:


Dacă Bisektris și Median coincid, atunci:

Ei bine, nu uitați și utilizați:

• Dacă există un triunghi echitabil triunghi, petreceți cu îndrăzneală înălțimea, obțineți două triunghiuri dreptunghiulare și decideți deja sarcina despre triunghiul dreptunghiular.
• Dacă este dat două colțuri sunt egale, apoi triunghi desigur Echiba și poate fi efectuată altitudine și .... (casa pe care Jack a construit ...).
• Dacă sa dovedit că înălțimea este împărțită de partea laterală în jumătate, atunci triunghiul este un prezidat cu toate bonusurile rezultate.
• Dacă sa dovedit că înălțimea împărțită colțul podelei este, de asemenea, o isică!
• Dacă bisectorul a împărțit partea în jumătate sau mediană - un unghi, atunci se întâmplă și ea numai Într-un triunghi egal tranzacționat

Să vedem cum arată în sarcini.

Sarcina 1.(cea mai simplă)

În triunghi, părțile sunt egale, dar. A găsi.

Noi decidem:

Primul desen.

Ce este aici - baza? Sigur, .

Amintiți-vă că dacă, atunci.

Desen actualizat:

Denotă de. Care este cantitatea de unghiuri de triunghi? ?

Folosim:

Asta e Răspuns: .

Este usor? Chiar și înălțimea nu a trebuit să facă.

Sarcina 2. (De asemenea, nu foarte complicat, dar trebuie să repetați subiectul)

Într-un triunghi ,. A găsi.

Noi decidem:

Triunghiul este în curs de desfășurare! Realizăm înălțimea (acesta este accentul, cu care va decide acum).

Acum "trecerea din viață", luați în considerare numai.

Deci, în noi:

Amintiți-vă valoarea tabară a cosiniei (bine sau priviți în foaia de înșelătorie ...)

Rămâne să găsești :.

Răspuns: .

Rețineți că suntem aici foarte Cunoștințe privind triunghiul dreptunghiular și sinusurile "tabulare" și cosinoara. Foarte des, se întâmplă: Teme, "un triunghi echilibrat" și în sarcini merg în pachete, iar cu alte subiecte nu sunt prea prieteni.

Triunghi isoscel. Nivel mediu.

Aceste două părți egale numit. lateral, dar a treia parte este baza unui triunghi inaccesibil.

Uită-te la figura: și - părțile laterale, baza unui triunghi inaccesibil.

Haide într-un desen pe care îl vom înțelege de ce iese. Noi cheltuim din înălțimea punctului.

Deci, ele sunt egale cu toate elementele corespunzătoare.

Tot! O tăietură (înălțime) a fost dovedită de toate acuzațiile.

Și vă amintiți: Pentru a rezolva sarcina despre un triunghi echilibru, este adesea foarte util să coborâți înălțimea de pe baza unui triunghi echilibru și să o împiscăm în două triunghiuri dreptunghiulare egale.

Semne de triunghi echipabil

Situațiile străine sunt adevărate:

Aproape toate aceste afirmații pot fi din nou dovedite cu "Unul căzut".

1. Deci, lăsați-i să se dovedească a fi egali și.

Ajutor. Atunci

2. a) Acum lăsați într-un triunghi altitudinea și bisectorul coincid.

2. b) și dacă înălțimea și mediana coincid? Totul este aproape la fel, nu mai greu!

- în două categorii

2. b) Dar dacă nu există înălțime, care este omisă pe baza unui triunghi echipabil, atunci nu există triunghiuri rectangulare inițial. Rău!

Dar există o cale de ieșire - citiți-o la următorul nivel al teoriei, deoarece dovada este mai cuprinzătoare, dar pentru moment ei sunt doar amintiți că, dacă medianul și bisecul au coincis, triunghiul va fi, de asemenea, în mod egal format și înălțimea este încă coincidă cu aceste bisector și mediană.

Să rezumăm:

1. Dacă triunghiul este precedat, atunci colțurile de la bază sunt egale, iar înălțimea, bisecul și mediană, efectuate la bază coincid.
2. Dacă există două unghiuri egale într-un triunghi sau unele dintre cele trei linii (Biseric, Mediană, înălțime) coincid, atunci un astfel de triunghi este un lanț.

Triunghi isoscel. Scurtă descriere și formule de bază

Un triunghi echilibrat este un triunghi care are două părți egale.

Semne de triunghi echipabil:

1. Dacă în unele triunghi două colțuri sunt egale, atunci este un prezidat în mod egal.
2. Dacă într-un triunghi coincid:
   dar) Înălțime și bisector. sau
   b) Înălțime și mediană sau
   în) median și Bissektris.,
   Conducat la o parte, atunci un astfel de triunghi este un prezidat.

Restul de articole 2/3 sunt disponibile numai studenților de Yourclever!

Deveniți student Yourclever,

Pregătiți-vă pentru Oge sau EGE în matematică la prețul "Cupa de cafea pe lună",

Și, de asemenea, pentru a obține accesul inconspicut la manualul "YouClever", programul de instruire (RESHEBNIK) "100gia", examen nelimitat de testare și oge, 6000 de sarcini cu decizii de soluții și alte servicii Yourclever și 100GIA.