Teoreme de adunare și multiplicare pentru probabilități.
Evenimente dependente și independente

Titlul arată înfricoșător, dar este de fapt foarte simplu. În această lecție, vom face cunoștință cu teoremele adunării și multiplicării probabilităților evenimentelor, precum și vom analiza problemele tipice care, împreună cu problema definiției clasice a probabilității cu siguranță vă veți întâlni sau, mai probabil, v-ați întâlnit deja în drum. Pentru a studia eficient materialele acestui articol, trebuie să cunoașteți și să înțelegeți termenii de bază. teoria probabilității și să poată efectua cele mai simple operații aritmetice. După cum puteți vedea, este foarte puțin necesar și, prin urmare, un plus în plus al activului este aproape garantat. Dar, pe de altă parte, avertizez din nou împotriva unei atitudini superficiale față de exemple practice - există și suficiente subtilități. Mult noroc:

Teorema adaosului pentru probabilitățile evenimentelor inconsistente: probabilitatea ca unul din doi să apară inconsecvent evenimente sau (indiferent de situatie), este egal cu suma probabilităților acestor evenimente:

Un fapt similar este adevărat pentru un număr mare de evenimente incompatibile, de exemplu, pentru trei evenimente incompatibile și:

Teorema visului \u003d) Totuși, un astfel de vis este supus dovezilor, care pot fi găsite, de exemplu, în V.E. Gmurman.

Ne facem cunoștință cu concepte noi, până acum neîndeplinite:

Evenimente dependente și independente

Să începem cu evenimente independente. Evenimentele sunt independent dacă probabilitate de apariție oricare dintre ei nu depinde de la apariția / neapărarea evenimentelor rămase ale setului luat în considerare (în toate combinațiile posibile). ... Dar ce este acolo pentru a șterge fraze generale:

Teorema multiplicării pentru probabilitățile evenimentelor independente: probabilitatea apariției comune a evenimentelor independente și este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente:

Să ne întoarcem la cel mai simplu exemplu din prima lecție, în care sunt aruncate două monede și următoarele evenimente:

- capetele vor fi aruncate pe prima monedă;
- capetele vor fi aruncate pe a doua monedă.

Să găsim probabilitatea evenimentului (pe prima monedă va apărea un vultur și pe a 2-a monedă va apărea un vultur - amintiți-vă cum este citit producerea de evenimente!) ... Probabilitatea de a obține capete pe o monedă nu depinde în niciun fel de rezultatul aruncării unei alte monede, prin urmare, evenimentele sunt independente.

În mod similar:
- probabilitatea ca prima monedă să aterizeze cozi și pe a 2-a coadă;
- probabilitatea ca un vultur să apară pe prima monedă și pe a 2-a coadă;
- probabilitatea ca cozile să apară pe prima monedă și pe al 2-lea vultur.

Rețineți că se formează evenimente grup complet iar suma probabilităților lor este egală cu una :.

Teorema multiplicării se extinde în mod evident la un număr mare de evenimente independente, deci, de exemplu, dacă evenimentele sunt independente, atunci probabilitatea apariției lor comune este :. Să exersăm cu exemple specifice:

Problema 3

Fiecare dintre cele trei sertare conține 10 părți. În prima casetă sunt 8 părți standard, în a doua - 7, în a treia - 9. O parte este luată la întâmplare din fiecare cutie. Găsiți probabilitatea ca toate detaliile să fie standard.

Decizie: Probabilitatea recuperării unei piese standard sau non-standard din orice casetă nu depinde de părțile care sunt recuperate din alte casete, deci problema este legată de evenimente independente. Luați în considerare următoarele evenimente independente:

- o piesă standard a fost scoasă din prima cutie;
- o piesă standard a fost scoasă din a doua cutie;
- o piesă standard a fost scoasă din a treia cutie.

Prin definiția clasică:
- probabilitățile corespunzătoare.

Eveniment de interes pentru noi (o parte standard va fi scoasă din prima casetă și de la al doilea standard și de la al treilea standard) exprimat de produs.

Prin teorema multiplicării probabilităților evenimentelor independente:

- probabilitatea ca o parte standard să fie scoasă din trei cutii.

Răspuns: 0,504

După exerciții revigorante cu cutii, nu ne așteaptă urne mai puțin interesante:

Problema 4

Trei urne conțin 6 bile albe și 4 bile negre. O minge este luată la întâmplare din fiecare urnă. Găsiți probabilitatea ca: a) toate cele trei bile să fie albe; b) toate cele trei bile vor avea aceeași culoare.

Pe baza informațiilor primite, ghiciți cum să faceți față punctului "bh" ;-) Un exemplu de soluție este conceput într-un stil academic, cu o listă detaliată a tuturor evenimentelor.

Evenimente dependente... Evenimentul este numit dependent dacă probabilitatea acestuia depinde de la unul sau mai multe evenimente care au avut loc deja. Nu trebuie să mergeți departe pentru exemple - este suficient să ajungeți la cel mai apropiat magazin:

- mâine la ora 19.00 va fi la vânzare pâine proaspătă.

Probabilitatea acestui eveniment depinde de multe alte evenimente: dacă pâinea proaspătă va fi livrată mâine, dacă va fi vândută înainte de ora 19 sau nu etc. În funcție de diferitele circumstanțe, acest eveniment poate fi atât sigur, cât și imposibil. Deci evenimentul este dependent.

Pâine ... și, așa cum cereau romanii, ochelari:

- studentul va primi un bilet simplu pentru examen.

Dacă nu mergeți mai întâi, atunci evenimentul va fi dependent, deoarece probabilitatea acestuia va depinde de biletele care au fost deja extrase de colegi.

Cum se definește dependența / independența evenimentului?

Uneori, acest lucru este afirmat direct în declarația problemei, dar mai des trebuie să efectuați o analiză independentă. Aici nu există un punct de referință fără echivoc, iar faptul de a depinde sau de a independența evenimentelor rezultă din raționamentul logic natural.

Pentru a nu strânge totul împreună, sarcini pentru evenimente dependente Voi evidenția următoarea lecție, dar deocamdată vom analiza cele mai frecvente în practică o grămadă de teoreme:

Probleme privind teoremele adunării pentru probabilități incoerente
și multiplicarea probabilităților de evenimente independente

Acest tandem, conform evaluării mele subiective, funcționează în aproximativ 80% din sarcinile pe subiectul analizat. Hiturile hiturilor și clasicele reale ale teoriei probabilității:

Problema 5

Doi trăgători au tras cu o singură lovitură la țintă. Probabilitatea de lovire pentru primul shooter este de 0,8, pentru al doilea - 0,6. Găsiți probabilitatea ca:

a) un singur trăgător lovește ținta;
b) cel puțin unul dintre trăgători lovește ținta.

Decizie: Probabilitatea de a lovi / pierde un shooter, evident, nu depinde de performanța celuilalt shooter.

Luați în considerare evenimentele:
- primul shooter lovește ținta;
- al doilea shooter lovește ținta.

După condiție:.

Să găsim probabilitățile evenimentelor opuse - că săgețile corespunzătoare vor rata:

a) Luați în considerare evenimentul: - un singur shooter lovește ținta. Acest eveniment constă din două rezultate inconsistente:

Primul shooter lovește șiAl doilea va lipsi
sau
1 va lipsi și Al doilea va lovi.

În limbă algebre de eveniment acest fapt va fi scris prin următoarea formulă:

În primul rând, folosim teorema adăugării probabilităților de evenimente inconsistente, apoi teorema multiplicării probabilităților evenimentelor independente:

- probabilitatea ca va exista o singură lovitură.

b) Luați în considerare evenimentul: - cel puțin unul dintre trăgători lovește ținta.

În primul rând, SĂ GĂNDIM - ce înseamnă condiția „MĂNIM UN”? În acest caz, aceasta înseamnă că fie primul shooter va lovi (al doilea va rata) sau Al 2-lea (primul ratat) sau ambele săgeți simultan - un total de 3 rezultate inconsistente.

Metoda unu: având în vedere probabilitatea completă a paragrafului anterior, este convenabil să prezentați evenimentul ca suma următoarelor evenimente inconsistente:

unul va primi (un eveniment care constă la rândul său în 2 rezultate inconsistente) sau
ambele săgeți vor lovi - să desemnăm acest eveniment cu o literă.

Prin urmare:

Prin teorema multiplicării probabilităților evenimentelor independente:
- probabilitatea ca primul shooter să lovească și Al doilea shooter lovește.

Prin teorema adaosului pentru probabilitățile evenimentelor inconsistente:
- probabilitatea de a atinge cel puțin o țintă.

Metoda a doua: ia în considerare evenimentul opus: - ambele săgeți ratează.

Prin teorema multiplicării probabilităților evenimentelor independente:

Ca rezultat:

Acordați o atenție specială celei de-a doua metode - în general, este mai rațională.

În plus, există o alternativă, a treia modalitate de rezolvare, bazată pe teorema adăugării de evenimente comune, care nu a fost menționată mai sus.

! Dacă citiți materialul pentru prima dată, este mai bine să treceți peste următorul paragraf pentru a evita confuzia.

Metoda trei : evenimentele sunt comune, ceea ce înseamnă că suma lor exprimă evenimentul „cel puțin un trăgător atinge ținta” (vezi. algebra evenimentelor). De teorema adiției pentru probabilitățile evenimentelor comune și teorema multiplicării pentru probabilitățile evenimentelor independente:

Să verificăm: evenimente și (0, 1 și respectiv 2 accesări) formează un grup complet, deci suma probabilităților lor trebuie să fie egală cu unul:
, care trebuia verificat.

Răspuns:

Cu un studiu amănunțit al teoriei probabilității, veți întâlni zeci de probleme militariste și, ceea ce este tipic, după aceea nu veți dori să împușcați pe nimeni - problemele sunt aproape daruri. De ce nu simplificați și șablonul? Să scurtăm intrarea:

Decizie: după condiție :, este probabilitatea de a lovi trăgătorii corespunzători. Atunci probabilitățile de ratare sunt:

a) Conform teoremelor pentru adăugarea probabilităților de evenimente inconsistente și multiplicarea probabilităților de evenimente independente:
- probabilitatea ca un singur shooter să atingă ținta.

b) Prin teorema multiplicării probabilităților evenimentelor independente:
- probabilitatea ca ambii trăgători să rateze.

Apoi: - probabilitatea ca cel puțin unul dintre trăgători să atingă ținta.

Răspuns:

În practică, puteți utiliza orice opțiune de proiectare. Bineînțeles, accesează scurtătura mult mai des, dar nu trebuie uitată prima metodă - deși este mai lungă, este mai semnificativă - este mai clară, ce, de ce și de ce adună și se înmulțește. În unele cazuri, un stil hibrid este adecvat, atunci când este convenabil să se indice doar unele evenimente cu majuscule.

Sarcini similare pentru soluția independentă:

Problema 6

Pentru a semnaliza un incendiu, sunt instalați doi senzori care funcționează independent. Probabilitățile ca senzorul să fie declanșat în caz de incendiu sunt 0,5 și 0,7 pentru primul și respectiv pentru al doilea senzor. Găsiți probabilitatea ca în caz de incendiu:

a) ambii senzori vor eșua;
b) ambii senzori vor funcționa.
c) Utilizarea teorema adăugării probabilităților evenimentelor care formează grupul complet, găsiți probabilitatea ca un singur senzor să fie declanșat într-un incendiu. Verificați rezultatul calculând direct această probabilitate (folosind teoreme de adunare și multiplicare).

Aici, independența funcționării dispozitivelor este explicată direct în stare, ceea ce, apropo, este o clarificare importantă. Soluția eșantion este proiectată într-un stil academic.

Ce se întâmplă dacă într-o problemă similară sunt date aceleași probabilități, de exemplu, 0,9 și 0,9? Trebuie să decideți în același mod! (care, de fapt, a fost deja demonstrat în exemplul cu două monede)

Problema 7

Probabilitatea de a atinge ținta de către primul shooter cu o singură lovitură este de 0,8. Probabilitatea ca ținta să nu fie lovită după ce primul și al doilea shooter lansează o singură lovitură este de 0,08. Care este probabilitatea de a lovi ținta de către cel de-al doilea shooter cu o singură lovitură?

Și acesta este un mic puzzle, care este încadrat într-un mod scurt. Condiția poate fi reformulată mai succint, dar nu voi reface originalul - în practică, trebuie să vă adânciți în fabricații mai ornamentate.

Faceți cunoștință - el este cel care a creat o cantitate nedeterminată de detalii pentru dvs. \u003d):

Problema 8

Muncitorul operează trei utilaje. Probabilitatea ca în timpul schimbului prima mașină să necesite ajustare este de 0,3, a doua este de 0,75, iar a treia este de 0,4. Găsiți probabilitatea ca în timpul schimbării:

a) toate utilajele vor necesita ajustări;
b) doar o singură mașină va necesita ajustare;
c) cel puțin o mașină va necesita ajustare.

Decizie: atâta timp cât condiția nu spune nimic despre un singur proces tehnologic, atunci munca fiecărei mașini ar trebui considerată independentă de munca altor mașini.

Prin analogie cu problema nr. 5, aici puteți lua în considerare evenimentele pe care mașinile corespunzătoare vor necesita ajustări în timpul schimbului, puteți nota probabilitățile, găsiți probabilitățile evenimentelor opuse etc. Dar cu trei obiecte, nu prea vreau să proiectez sarcina așa - se va dovedi lungă și plictisitoare. Prin urmare, este mult mai profitabil să folosiți stilul „rapid” aici:

După condiție: - probabilitatea ca în timpul schimbului mașinile corespunzătoare să necesite o tinctură. Atunci probabilitățile că nu vor necesita atenție:

Unul dintre cititori a găsit o greșeală de tipare aici, nici măcar nu o voi corecta \u003d)

a) Prin teorema multiplicării pentru probabilitățile evenimentelor independente:
- probabilitatea ca în timpul turei toate cele trei mașini să necesite ajustări.

b) Evenimentul „În timpul schimbului, doar o singură mașină va necesita ajustare” constă din trei rezultate inconsecvente:

1) prima mașină va necesita Atenţie și A 2-a mașină nu va necesita și A treia mașină nu va necesita
sau:
2) prima mașină nu va necesita Atenţie și A 2-a mașină va necesita și A treia mașină nu va necesita
sau:
3) prima mașină nu va necesita Atenţie și A 2-a mașină nu va necesita și A treia mașină va necesita.

Conform teoremelor pentru adăugarea probabilităților de inconsecvență și multiplicarea probabilităților de evenimente independente:

- probabilitatea ca în timpul turei să fie necesară ajustarea unui singur aparat.

Cred că până acum ar trebui să fii clar de unde a venit expresia

c) Calculăm probabilitatea ca mașinile să nu necesite reglare și apoi - probabilitatea evenimentului opus:
- faptul că cel puțin o mașină va necesita ajustare.

Răspuns:

Elementul „ve” poate fi rezolvat prin sumă, unde este probabilitatea ca în timpul schimbului să fie necesară ajustarea doar două mașini. La rândul său, acest eveniment include 3 rezultate incompatibile, care sunt semnate prin analogie cu clauza „fi”. Încercați să găsiți singur probabilitatea de a testa întreaga problemă cu egalitatea.

Problema 9

Trei tunuri au tras cu un voleu asupra țintei. Probabilitatea de a lovi cu o singură lovitură doar de la prima armă este de 0,7, de la a doua - 0,6, de la a treia - 0,8. Găsiți probabilitatea ca: 1) cel puțin un proiectil să atingă ținta; 2) doar două obuze vor atinge ținta; 3) ținta va fi atinsă cel puțin de două ori.

Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

Și din nou despre coincidențe: dacă, prin condiție, două sau chiar toate valorile probabilităților inițiale coincid (de exemplu, 0,7; 0,7 și 0,7), atunci ar trebui să respectați exact același algoritm de soluție.

La sfârșitul articolului, să ne uităm la un alt puzzle comun:

Problema 10

Tragerul lovește ținta cu aceeași probabilitate la fiecare lovitură. Care este această probabilitate dacă probabilitatea de cel puțin o lovitură din trei fotografii este de 0,973.

Decizie: să denotăm prin - probabilitatea de a lovi ținta cu fiecare lovitură.
iar după - probabilitatea unei ratări la fiecare lovitură.

Și totuși, să notăm evenimentele:
- cu 3 lovituri, trăgătorul va atinge ținta cel puțin o dată;
- trăgătorul va rata de 3 ori.

După condiție, atunci probabilitatea evenimentului opus este:

Pe de altă parte, prin teorema multiplicării pentru probabilitățile evenimentelor independente:

Prin urmare:

- probabilitatea unei ratări la fiecare lovitură.

Ca rezultat:
- probabilitatea de a fi lovit cu fiecare lovitură.

Răspuns: 0,7

Simplu și elegant.

În problema luată în considerare, se pot pune întrebări suplimentare cu privire la probabilitatea unui singur hit, doar a două hituri și probabilitatea de a avea trei lovituri pe țintă. Schema soluției va fi exact aceeași ca în cele două exemple anterioare:

Cu toate acestea, diferența de fond fundamentală este că teste independente repetate, care sunt efectuate secvențial, independent unul de celălalt și cu aceeași probabilitate de rezultate.

Studiul teoriei probabilității începe cu rezolvarea problemelor de adunare și multiplicare a probabilităților. Merită menționat imediat că un student, atunci când stăpânește acest domeniu de cunoaștere, se poate confrunta cu o problemă: dacă procesele fizice sau chimice pot fi vizualizate și înțelese empiric, atunci nivelul de abstractizare matematică este foarte ridicat, iar înțelegerea aici vine doar cu experiența.

Cu toate acestea, jocul merită lumânarea, deoarece formulele - atât cele luate în considerare în acest articol, cât și cele mai complexe - sunt folosite pretutindeni astăzi și pot fi utile în muncă.

Origine

În mod ciudat, impulsul dezvoltării acestei secțiuni de matematică a fost ... jocurile de noroc. Într-adevăr, zarurile, aruncarea de monede, pokerul, ruleta sunt exemple tipice care utilizează adunarea și multiplicarea probabilităților. Acest lucru poate fi văzut clar în exemplul sarcinilor din orice manual. Oamenii erau interesați să învețe cum să își mărească șansele de câștig și trebuie să spun că unii au reușit în acest sens.

De exemplu, deja în secolul 21, o persoană, al cărei nume nu o vom dezvălui, a folosit aceste cunoștințe acumulate de-a lungul secolelor pentru a „jefui” literalmente cazinoul, câștigând câteva zeci de milioane de dolari la ruletă.

Cu toate acestea, în ciuda interesului crescut pentru subiect, abia în secolul al XX-lea s-a dezvoltat o bază teoretică care l-a făcut pe „teoreticul” deplin. Astăzi, în aproape orice știință, se pot găsi calcule folosind metode probabiliste.

Aplicabilitate

Un punct important atunci când se utilizează formule pentru adunarea și multiplicarea probabilităților, probabilitățile condiționate este satisfacerea teoremei limitei centrale. În caz contrar, deși elevul nu își dă seama de acest lucru, toate calculele, oricât de plauzibile ar părea, vor fi incorecte.

Da, un student extrem de motivat este tentat să folosească noi cunoștințe cu fiecare ocazie. Dar, în acest caz, ar trebui să încetiniți puțin și să conturați strict domeniul de aplicare.

Teoria probabilității se ocupă de evenimente aleatorii, care, în termeni empirici, sunt rezultatele experimentelor: putem arunca un zar cu șase laturi, putem scoate o carte dintr-un pachet, putem prezice numărul de piese defecte dintr-un lot. Cu toate acestea, în unele întrebări, este categoric imposibil să se utilizeze formule din această secțiune a matematicii. Vom discuta caracteristicile luării în considerare a probabilităților unui eveniment, teoremele adunării și multiplicării evenimentelor la sfârșitul articolului, dar deocamdată vom trece la exemple.

Noțiuni de bază

Un eveniment aleatoriu înseamnă un proces sau un rezultat care poate sau nu să apară ca urmare a unui experiment. De exemplu, aruncăm un sandviș - poate cădea ulei în sus sau în jos. Oricare dintre cele două rezultate va fi aleatoriu și nu știm în prealabil care dintre ele va avea loc.

Când studiem adunarea și multiplicarea probabilităților, avem nevoie de încă două concepte.

Evenimentele comune sunt astfel de evenimente, apariția unuia dintre ele nu exclude apariția altuia. Să presupunem că două persoane trag în același timp asupra unei ținte. Dacă unul dintre ei are succes, nu va afecta capacitatea celui de-al doilea de a lovi cu ochii de taur sau de a rata.

Astfel de evenimente vor fi inconsistente, a căror apariție este simultan imposibilă. De exemplu, scoțând o singură minge din cutie, nu puteți obține atât albastru, cât și roșu simultan.

Desemnare

Conceptul de probabilitate este notat cu litera majusculă latină P. Apoi, între paranteze, există argumente care indică unele evenimente.

În formulele teoremei adunării, probabilității condiționale, teorema multiplicării, veți vedea expresii între paranteze, de exemplu: A + B, AB sau A | B. Ele vor fi calculate în diferite moduri, acum ne vom întoarce la ele.

Plus

Să luăm în considerare cazurile în care sunt utilizate formulele pentru adunarea și multiplicarea probabilităților.

Pentru evenimente incoerente, cea mai simplă formulă de adăugare este relevantă: probabilitatea oricăruia dintre rezultatele aleatorii va fi egală cu suma probabilităților fiecăruia dintre aceste rezultate.

Să presupunem că există o cutie cu 2 bile albastre, 3 roșii și 5 galbene. În total, există 10 articole în cutie. Care este adevărul afirmației că vom scoate mingea albastră sau roșie? Va fi 2/10 + 3/10, adică cincizeci la sută.

În cazul evenimentelor inconsistente, formula devine mai complicată, deoarece se adaugă un termen suplimentar. Să revenim la el într-un paragraf, după ce am analizat o altă formulă.

Multiplicare

Adunarea și multiplicarea probabilităților evenimentelor independente sunt utilizate în diferite cazuri. Dacă, conform condițiilor experimentului, suntem mulțumiți de oricare dintre cele două rezultate posibile, vom calcula suma; dacă vrem să obținem două rezultate, unul după altul, vom recurge la utilizarea unei formule diferite.

Revenind la exemplul din secțiunea anterioară, vrem să scoatem mai întâi mingea albastră, apoi cea roșie. Primul număr pe care îl știm este 2/10. Ce se întâmplă în continuare? Au mai rămas 9 bile, mai sunt tot atâtea roșii - trei. Conform calculelor, obțineți 3/9 sau 1/3. Dar acum ce să faci cu două numere? Răspunsul corect este să vă înmulțiți pentru a obține 2/30.

Evenimente comune

Acum puteți reveni la formula sumă pentru evenimente comune. De ce am deviat de la subiect? Pentru a afla cum se înmulțesc probabilitățile. Acum aceste cunoștințe ne vor fi utile.

Știm deja care vor fi primii doi termeni (la fel ca în formula de adunare considerată anterior), dar acum trebuie să scădem produsul probabilităților, pe care tocmai am învățat să îl calculăm. Pentru claritate, scriem formula: P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB). Se pare că aceeași expresie folosește atât adunarea, cât și multiplicarea probabilităților.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm oricare dintre cele două probleme pentru a obține credit. Primul îl putem rezolva cu o probabilitate de 0,3, iar al doilea - 0,6. Soluție: 0,3 + 0,6 - 0,18 \u003d 0,72. Rețineți că doar însumarea numerelor nu va fi suficientă aici.

Probabilitate condițională

În cele din urmă, există conceptul de probabilitate condițională, ale cărui argumente sunt indicate între paranteze și separate printr-o bară verticală. Notația P (A | B) citește după cum urmează: "probabilitatea evenimentului A dat evenimentului B".

Să vedem un exemplu: un prieten îți dă un dispozitiv, lasă-l să fie un telefon. Poate fi rupt (20%) sau reparabil (80%). Puteți repara orice dispozitiv care a căzut în mâinile dvs. cu o probabilitate de 0,4 sau nu puteți face acest lucru (0,6). În cele din urmă, dacă dispozitivul este în stare de funcționare, puteți ajunge la persoana potrivită cu o probabilitate de 0,7.

Este ușor de văzut cum se manifestă probabilitatea condițională în acest caz: nu veți putea ajunge la o persoană dacă telefonul este rupt și, dacă este reparabil, nu trebuie să îl reparați. Astfel, pentru a obține rezultate la „al doilea nivel”, trebuie să aflați ce eveniment a fost executat pe primul.

Calcule

Să luăm în considerare exemple de rezolvare a problemelor legate de adunarea și multiplicarea probabilităților, folosind datele din paragraful anterior.

În primul rând, să găsim probabilitatea ca dvs. să reparați dispozitivul dat. Pentru a face acest lucru, în primul rând, trebuie să fie defect și, în al doilea rând, trebuie să faceți față reparației. Aceasta este o problemă tipică folosind înmulțirea: obținem 0,2 * 0,4 \u003d 0,08.

Care este probabilitatea de a ajunge imediat la persoana potrivită? La fel de ușor ca decojirea pere: 0,8 * 0,7 \u003d 0,56. În acest caz, ați constatat că telefonul funcționează corect și ați apelat cu succes.

În cele din urmă, ia în considerare această opțiune: ai primit un telefon stricat, l-ai remediat, apoi ai format un număr și cealaltă persoană a luat telefonul. Aici este deja necesară înmulțirea a trei componente: 0,2 * 0,4 * 0,7 \u003d 0,056.

Dar dacă aveți două telefoane care nu funcționează simultan? Cât de probabil sunteți să remediați cel puțin una dintre ele? la adunarea și multiplicarea probabilităților, deoarece sunt utilizate evenimente comune. Soluție: 0,4 + 0,4 - 0,4 * 0,4 \u003d 0,8 - 0,16 \u003d 0,64. Astfel, dacă puneți mâna pe două dispozitive sparte, veți face față reparației în 64% din cazuri.

Utilizare atentă

După cum sa menționat la începutul articolului, utilizarea teoriei probabilității trebuie să fie deliberată și deliberată.

Cu cât seria de experimente este mai mare, cu atât se apropie valoarea teoretic previzionată de cea obținută în practică. De exemplu, aruncăm o monedă. Teoretic, știind despre existența formulelor pentru adăugarea și multiplicarea probabilităților, putem prezice de câte ori vor ieși „capete” și „cozi” dacă vom efectua experimentul de 10 ori. Am efectuat un experiment și, prin coincidență, raportul dintre laturi a scăzut a fost de 3 la 7. Dar dacă executăm o serie de 100, 1000 sau mai multe încercări, se dovedește că graficul de distribuție se apropie de cel teoretic: 44 la 56, 482 la 518 și așa mai departe.

Acum imaginați-vă că acest experiment nu se realizează cu o monedă, ci cu producerea unei substanțe chimice noi, a cărei probabilitate nu o cunoaștem. Am desfășura 10 experimente și, fără a obține un rezultat reușit, am putea generaliza: „este imposibil să se obțină o substanță”. Dar cine știe, dacă am face a unsprezecea încercare - am fi realizat sau nu obiectivul?

Astfel, dacă vă îndreptați către necunoscut, spre zona neexplorată, teoria probabilității poate să nu se aplice. Fiecare încercare ulterioară în acest caz poate avea succes și generalizări precum „X nu există” sau „X este imposibil” vor fi premature.

Cuvânt final

Deci, am acoperit două tipuri de adunări, multiplicări și probabilități condiționale. Pe măsură ce explorați mai departe această zonă, trebuie să învățați să faceți distincția între situațiile în care este utilizată fiecare formulă specifică. În plus, trebuie să vă imaginați dacă metodele probabiliste sunt în general aplicabile pentru rezolvarea problemei dumneavoastră.

Dacă exersați, după un timp veți începe să efectuați toate operațiunile necesare exclusiv în mintea voastră. Pentru cei cărora le plac jocurile de cărți, această abilitate poate fi considerată extrem de valoroasă - îți vei crește semnificativ șansele de câștig, doar calculând probabilitatea unei anumite cărți sau a unui costum. Cu toate acestea, cunoștințele acumulate le puteți găsi cu ușurință în alte domenii de activitate.

Lasa ȘI și ÎN - două evenimente luate în considerare la acest test. În acest caz, debutul unuia dintre evenimente poate afecta posibilitatea apariției altuia. De exemplu, apariția unui eveniment ȘI poate influența evenimentul ÎN sau vice versa. Pentru a lua în considerare o astfel de dependență de unele evenimente de altele, se introduce conceptul de probabilitate condițională.

Definiție. Dacă probabilitatea unui eveniment ÎN se prevede că evenimentul ȘI sa întâmplat, apoi probabilitatea primită a evenimentului ÎN numit probabilitate condițională evenimente ÎN... Următoarele simboluri sunt utilizate pentru a indica această probabilitate condițională: r ȘI ( ÎN) sau r(IN / ȘI).

Observația 2... Spre deosebire de probabilitatea condițională, probabilitatea „necondiționată” este, de asemenea, luată în considerare atunci când există condiții pentru apariția unui eveniment ÎN absent.

Exemplu... Există 5 bile în urnă, inclusiv 3 roșii și 2 albastre. O minge pe rând este scoasă din ea, cu și fără întoarcere. Găsiți probabilitatea condiționată de a scoate bila roșie pentru a doua oară, cu condiția ca prima dată să fie îndepărtată: a) bila roșie; b) bila albastra.

Lasă evenimentul ȘI - recuperarea mingii roșii pentru prima dată și a evenimentului ÎN - scoaterea mingii roșii a doua oară. Este evident că r(ȘI) \u003d 3/5; apoi în cazul în care mingea îndepărtată pentru prima dată este returnată în urnă, r(ÎN) \u003d 3/5. În cazul în care mingea scoasă nu este returnată, probabilitatea de a scoate mingea roșie este r(ÎN) depinde de mingea care a fost extrasă pentru prima dată - roșu (eveniment ȘI) sau albastru (eveniment). Apoi, în primul caz r ȘI ( ÎN) \u003d 2/4, iar în al doilea ( ÎN) = 3 / 4.

O teoremă pentru înmulțirea probabilităților evenimentelor, dintre care una apare în condiția celuilalt

Probabilitatea produsului a două evenimente este egală cu produsul probabilității unuia dintre ele prin probabilitatea condiționată a celuilalt, constatată în ipoteza că primul eveniment a avut loc:

r(A ∙ B) = r(ȘI) ∙ r ȘI ( ÎN) . (1.7)

Dovezi. Într-adevăr, lasă n - numărul total al rezultatelor procesului la fel de posibile și inconsistente (elementare). Lăsați-l să plece n 1 - numărul de rezultate favorabile evenimentului ȘI, care apare la început și m - numărul de rezultate în care apare evenimentul ÎN presupunând că evenimentul ȘI a venit. Prin urmare, m Numărul de rezultate este favorabil evenimentului ÎN.Apoi primim:

Acestea. probabilitatea produsului mai multor evenimente este egală cu produsul probabilității unuia dintre aceste evenimente de probabilitățile condiționate ale altora, probabilitatea condiționată a fiecărui eveniment ulterior fiind calculată pe ipoteza că s-au produs toate evenimentele anterioare.

Exemplu. Există 4 maeștri ai sportului într-o echipă de 10 sportivi. 3 sportivi sunt selectați din echipă prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca toți sportivii selectați să fie maeștri ai sportului?

Decizie. Să reducem problema la modelul „urnei”, adică vom presupune că o urnă care conține 10 bile conține 4 bile roșii și 6 albe. Din această urnă sunt extrase la întâmplare 3 bile (eșantion S \u003d 3). Lasă evenimentul ȘI constă în extragerea a 3 bile. Problema poate fi rezolvată în două moduri: conform schemei clasice și conform formulei (1.9).

Prima modalitate, bazată pe formula combinatorie:

A doua cale (prin formula (1.9)). 3 bile sunt scoase din urnă succesiv fără a se întoarce. Lasa ȘI 1 - prima minge extrasă este roșie, ȘI 2 - a doua bilă extrasă este roșie, ȘI 3 - a treia minge scoasă este roșie. Lasă și evenimentul ȘI înseamnă că toate cele 3 bile trase sunt roșii. Apoi: ȘI = ȘI 1 ∙ (ȘI 2 / ȘI 1) ∙ ȘI 3 / (ȘI 1 ∙ ȘI 2), adică

Exemplu. Lăsați dintr-un set de cărți a, a, p, b, o, t cărțile sunt retrase secvențial unul câte unul. Care este probabilitatea de a primi cuvântul „ loc de munca”Când le pliați secvențial într-o singură linie de la stânga la dreapta?

Lasa ÎN - evenimentul la care este primit cuvântul declarat. Apoi prin formula (1.9) obținem:

r(ÎN) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

Teorema multiplicării probabilității ia forma cea mai simplă atunci când produsul este format din evenimente independente una de cealaltă.

Definiție. Eveniment ÎN numit independent de la eveniment ȘIdacă probabilitatea sa nu se schimbă față de evenimentul survenit ȘI sau nu. Două evenimente sunt numite independente (dependente) dacă apariția unuia dintre ele nu schimbă (modifică) probabilitatea celeilalte. Astfel, pentru evenimente independente p (B /A) = r(ÎN) sau \u003d r(ÎN), și pentru evenimente dependente r(ÎN/A)

Teorema. Probabilitatea sumei evenimentelor inconsistente este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:

Corolarul 1. Folosind metoda inducției matematice, formula (3.10) poate fi generalizată la orice număr de evenimente incompatibile perechi:

Corolarul 2. Deoarece evenimentele opuse sunt inconsistente, iar suma lor este un eveniment de încredere, atunci, folosind (3.10), avem:

Adesea, la rezolvarea problemelor, formula (3.12) este utilizată sub forma:

(3.13)

Exemplul 3.29. În experimentul cu aruncarea unui zar, găsiți probabilitățile de a obține mai mult de 3 și mai puțin de 6 puncte pe limita superioară.

Să denotăm evenimentele asociate cu pierderea unui punct pe fața superioară a zarurilor, prin U 1 , două puncte prin U 2 , ..., șase puncte în U 6 .

Lasă evenimentul U - numărul de puncte mai mare de 3 și mai mic de 6 cade pe marginea superioară a zarurilor. Acest eveniment va avea loc dacă apare cel puțin unul dintre evenimente U 4 sau U 5 , prin urmare, poate fi reprezentat ca suma acestor evenimente:. De la evenimente U 4 și U 5 sunt inconsistente, apoi pentru a găsi probabilitatea sumei lor, folosim formula (3.11). Având în vedere că probabilitățile evenimentelor U 1 , U 2 ,…,U 6 sunt egali, obținem:

Cometariu.Anterior, problemele de acest tip au fost rezolvate prin numărarea numărului de rezultate favorabile. Într-adevăr, evenimentul U este favorizat de două rezultate și doar șase rezultate elementare, prin urmare, folosind abordarea clasică a conceptului de probabilitate, obținem:

Cu toate acestea, abordarea clasică a conceptului de probabilitate, spre deosebire de teorema privind probabilitatea sumei de evenimente inconsistente, este aplicabilă numai pentru rezultate la fel de probabile.

Exemplul 3.30. Probabilitatea de a lovi ținta de către trăgător este de 0,7. Care este probabilitatea ca trăgătorul să rateze ținta?

Fie ca evenimentul să fie cel care trage pe țintă, atunci evenimentul în care trăgătorul nu lovește ținta este opusul evenimentului, deoarece, ca urmare a fiecărui test, are loc întotdeauna unul și unul dintre aceste evenimente. Folosind formula (3.13), obținem:

3.2.10. Probabilitatea de a produce evenimente

Definiție. Evenimentul este numit dependent de la eveniment dacă probabilitatea unui eveniment depinde dacă evenimentul a avut loc sau nu.

Definiție. Se apelează probabilitatea unui eveniment calculat cu condiția să se fi produs un eveniment probabilitate condițională evenimente și indicate

Teorema. Probabilitatea produsului evenimentelor este egală cu produsul probabilității unuia dintre ele prin probabilitatea condiționată a celuilalt, calculată cu condiția ca prima să aibă loc:

Starea independenței evenimentului față de eveniment poate fi scris ca Din această afirmație rezultă că pentru evenimente independente se menține următoarea relație:

adică probabilitatea produsului de evenimente independente și este egală cu produsul probabilităților lor.

Cometariu.Probabilitatea produsului mai multor evenimente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente, iar probabilitatea fiecărui eveniment următor din ordine este calculată cu condiția să aibă loc toate cele anterioare:

Dacă evenimentele sunt independente, atunci avem:

Exemplul 3.31. Există 5 bile albe și 3 bile negre în cutie. Două bile sunt scoase din el la întâmplare, succesiv, fără a reveni. Găsiți probabilitatea ca ambele bile să fie albe.

Să fie evenimentul apariția unei bile albe la prima îndepărtare, - apariția unei bile albe la a doua îndepărtare. Având în vedere acest lucru, (probabilitatea apariției celei de-a doua bile albe, cu condiția ca prima minge scoasă să fie albă și să nu fie returnată în casetă). Deoarece evenimentele sunt dependente, probabilitatea produsului lor se găsește prin formula (3.15):

Exemplul 3.32. Probabilitatea de a atinge ținta de către primul shooter este de 0,8; al doilea - 0,7. Fiecare trăgător a tras pe o țintă. Care este probabilitatea ca cel puțin un shooter să atingă ținta? Care este probabilitatea ca un trăgător să atingă ținta?

Permiteți evenimentului să atingă ținta de către primul shooter, de către al doilea. Toate opțiunile posibile pot fi reprezentate ca tabelul 3.5, unde „+” înseamnă că evenimentul s-a întâmplat și „-” - nu s-a întâmplat.

Tabelul 3.5

Să fie evenimentul lovit de cel puțin un shooter pe țintă, atunci evenimentul este suma evenimentelor independente, prin urmare, este imposibil să se aplice teorema asupra probabilității sumei evenimentelor incompatibile în această situație.

Luați în considerare un eveniment opus unui eveniment care apare atunci când niciun shooter nu atinge ținta, adică este un produs de evenimente independente Folosind formule (3.13) și (3.15), obținem:

Lăsați evenimentul să fie un singur shooter care atinge ținta. Acest eveniment poate fi reprezentat după cum urmează:

Evenimentele și sunt independente, evenimentele sunt, de asemenea, independente. Evenimente care sunt produse de evenimente și sunt incompatibile. Folosind formulele (3.10) și (3.15) obținem:

Proprietăți de adunare și multiplicare a evenimentelor:

3.2.11. Formula probabilității totale. Formula Bayes

Să se întâmple evenimentul numai împreună cu unul dintre evenimentele pereche incompatibile (ipoteze) ,, ... ,, formând un grup complet, adică

Probabilitatea unui eveniment se găsește prin formulă probabilitate deplină:

Dacă evenimentul a avut loc deja, atunci probabilitățile ipotezelor pot fi reestimate folosind formula Bayesian:

(3.17)

Exemplul 3.33. Există două urne identice cu bile. Prima urnă conține 5 bile albe și 10 bile negre, a doua conține 3 bile albe și 7 bile negre. Alegeți o urnă la întâmplare și scoateți o minge din ea.

Găsiți probabilitatea ca această minge să fie albă.

O minge albă a fost scoasă dintr-o urnă aleasă la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca mingea să fie scoasă din prima urnă.

Definiție. După produs sau intersecție evenimentele A și B numesc un eveniment care constă în apariția simultană a evenimentelor atât ale lui A, cât și B. Denumirea produsului: AB sau A B.

Exemplu... O lovitură dublă asupra țintei este produsul a două evenimente. Răspunsul la ambele întrebări de pe biletul de examen este produsul a două evenimente.

Evenimentele A și B sunt numite inconsecventdacă produsul lor este un eveniment imposibil, adică AB \u003d V.

Evenimentele A - căderea emblemei și B - căderea dintr-o cifră cu o singură aruncare a unei monede nu pot avea loc simultan, producția lor este imposibilă, evenimentele A și B sunt incompatibile.

Conceptele de sumă și produs de evenimente au o interpretare geometrică clară.

Figura: 6.4. Interpretarea geometrică a produsului (a) și suma (b) a două evenimente comune

Fie evenimentul A un set de puncte ale zonei A; evenimentul B - un set de puncte ale zonei B. Zona umbrită corespunde evenimentului AB din Fig.6.4, a; eveniment din Figura 6.4, b.

Pentru evenimente incoerente A și B avem: AB \u003d V (Figura 6.5, a). Zona umbrită din Figura 6.5, b corespunde evenimentului A + B.

Figura: 6.5. Interpretarea geometrică a produsului (a) și suma (b) a două evenimente incompatibile

Evenimente și sunt numite opusdacă sunt inconsistente și se adaugă la un eveniment de încredere, adică

De exemplu, să facem o singură lovitură la țintă: eveniment - trăgătorul lovește ținta, nu lovește; o monedă aruncată: eveniment - vultur, - figură; școlarii scriu testul: eveniment - nici măcar o greșeală în test, - există greșeli în test; elevul a venit să treacă testul: evenimentul A - a trecut testul, - nu a trecut testul.

În clasă sunt băieți și fete, elevi excelenți, elevi buni și studenți C, care studiază engleza și germana. Fie ca evenimentul M să fie un băiat, un elev excelent, un elev care învață limba engleză. Un elev care părăsește accidental clasa ar putea fi un băiat, un elev excelent și un elev care învață engleza? Acesta va fi produsul sau intersecția evenimentelor din MOA.

Exemplu... Se aruncă un zar - un cub format dintr-un material omogen, ale cărui margini sunt numerotate. Observați numărul (numărul de puncte) care cade pe marginea superioară. Fie evenimentul A - apariția unui număr impar, evenimentul B - apariția unui multiplu de trei. Găsiți rezultatele care alcătuiesc fiecare dintre evenimente: U, A, A + B, AB și indicați semnificația lor.

Decizie... Rezultat - apariția pe marginea superioară a oricăruia dintre numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6. Setul tuturor rezultatelor constituie spațiul evenimentelor elementare Este clar că un eveniment, un eveniment

Eveniment - apariția fie a unui număr impar, fie a unui multiplu de trei. La enumerarea rezultatelor, se ia în considerare faptul că fiecare rezultat din set poate fi conținut o singură dată.

Eveniment - apariția atât a unui număr impar, cât și a unui multiplu de trei.

Exemplu. Teme verificate pentru trei elevi. Fie ca evenimentul să fie îndeplinirea sarcinii de către student, Care este semnificația evenimentelor: și?

Decizie. Eveniment - finalizarea sarcinii de către cel puțin un student, adică sau oricare student (sau primul, sau al doilea sau al treilea), sau oricare doi, sau toți trei.

Eveniment - sarcina nu a fost finalizată de niciun student: nici primul, nici al doilea, nici al treilea. Eveniment - finalizarea sarcinii de către trei studenți: primul și al doilea și al treilea.

Atunci când se ia în considerare apariția în comun a mai multor evenimente, este posibil ca apariția unuia dintre ele să afecteze posibilitatea apariției altuia. De exemplu, dacă ziua este însorită toamna, este mai puțin probabil ca vremea să se înrăutățească (va începe să plouă). Dacă soarele nu este vizibil, atunci există șanse mai mari să plouă.

Definiție. Evenimentul A este chemat independent evenimentul B, dacă probabilitatea evenimentului A nu se modifică în funcție de evenimentul B. sau nu. În caz contrar, evenimentul A se numește dependent de evenimentul B. Două evenimente A și B sunt numite independent, dacă probabilitatea uneia dintre ele nu depinde de apariția sau neaparitia celeilalte, dependentă - altfel. Evenimentele sunt numite independente în perechi dacă fiecare dintre ele sunt independente una de cealaltă.

Teorema. (Multiplicarea probabilităților) Probabilitatea produsului a două evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente:

P (A B) \u003d P (A) P (B)

Această teoremă este valabilă pentru orice număr finit de evenimente, doar dacă acestea sunt independente în agregat, adică probabilitatea oricăruia dintre ele nu depinde dacă au avut loc sau nu alte evenimente.

Exemplu... Elevul susține trei examene. Probabilitatea de a trece primul examen este de 0,9, al doilea este de 0,65, iar al treilea este de 0,35. Găsiți probabilitatea ca el să nu promoveze cel puțin un examen.

Decizie: Să desemnăm A - eveniment în care studentul nu a promovat cel puțin un examen. Apoi P (A) \u003d 1- P (ùA), unde ùA este evenimentul opus, studentul a trecut toate examenele. Deoarece promovarea fiecărui examen nu depinde de alte examene, atunci P (A) \u003d 1-P (ùA) \u003d 1- 0,9 * 0,65 * 0,35 \u003d 0,7953.

Definiție... Probabilitatea evenimentului A, calculată cu condiția ca evenimentul B să aibă loc, se numește probabilitate condițională evenimentul A, cu condiția ca B să apară și să fie notat cu P B (A) sau P (A / B).

TeoremaProbabilitatea apariției produsului a două evenimente este egală cu produsul probabilității unuia dintre ele prin probabilitatea condițională a celui de-al doilea, calculată cu condiția ca primul eveniment să aibă loc:

P (A B) \u003d P (A) P A (B) \u003d P (B) P B (A). (*)

Exemplu... Un student extrage de două ori un bilet din 34. Care este probabilitatea ca acesta să promoveze examenul dacă are 30 de bilete pregătite și biletul nereușit este scos prima dată?

Decizie: Să evenimentul A constă în faptul că prima dată când s-a primit un bilet rău, evenimentul B - a doua oară când a fost scos un bilet de succes. Apoi A · B - studentul va trece examenul (în circumstanțele specificate). Evenimentele A și B sunt dependente, deoarece probabilitatea de a alege un bilet de succes la a doua încercare depinde de rezultatul primei alegeri. Prin urmare, folosim formula (6):

P (A B) \u003d P (A) PA (B) \u003d (4/34) * (30/33) \u003d 20/187

Rețineți că probabilitatea obținută în soluție este ≈0.107. De ce este atât de mică probabilitatea de a trece examenul dacă se învață 30 de bilete din 34 și se fac două încercări?!

Teorema. (Teorema adaosului extins) Probabilitatea sumei a două evenimente este egală cu suma probabilităților acestor evenimente fără probabilitatea apariției lor comune (produs):

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) -P (A · B).

Exemplu... Doi elevi rezolvă o problemă. Probabilitatea ca primul elev să rezolve problema (evenimentul A) este de 0,9; probabilitatea ca al doilea elev să rezolve problema (evenimentul B) este 0,8. Care este probabilitatea ca problema să fie rezolvată?

La găsirea probabilităților evenimentelor s-a folosit definiția clasică a probabilității.