Teorema pentru înmulțirea probabilităților a două evenimente arbitrare: probabilitatea produsului a două evenimente arbitrare este egală cu produsul probabilității unuia dintre evenimente și probabilitatea condiționată a unui alt eveniment, cu condiția ca primul să se fi întâmplat deja:

P (AB) \u003d P (A) P (B | A) \u003d P (B) P (A | B). (zece)

Dovadă (nu riguroasă): Dovediți teorema multiplicării pentru schema de cote (ipoteze echiprobabile). Să fie posibilele rezultate ale experimentului. Să presupunem că m șanse sunt favorabile evenimentului A (sunt umbrite în Fig. 11); eveniment B - k șanse; simultan cu evenimentele A și B (AB) - l șanse (în Fig. 11 au umbrire ușoară).

Figura 11

Evident, m + k-l \u003d n. Conform metodei clasice de calcul al probabilităților P (AB) \u003d l / n; P (A) \u003d m / n; P (B) \u003d k / n. Și probabilitatea P (B | A) \u003d l / m, deoarece se știe că una dintre m șansele evenimentului A a avut loc, iar evenimentul B este favorabil l astfel de șanse. Înlocuind aceste expresii în teorema (10), obținem identitatea l / n \u003d (m / n) (l / m). Teorema este dovedită.

Teorema multiplicării probabilităților a trei evenimente arbitrare:

P (ABC) \u003d | AB \u003d D | \u003d P (DC) \u003d P (D) P (C | D) \u003d P (AB) P (C | AB) \u003d P (A) P (B | A) P ( C | AB). (11)

Prin analogie, putem scrie teoremele multiplicării probabilității pentru un număr mai mare de evenimente.

Corolar 1. Dacă evenimentul A nu depinde de B, atunci evenimentul B nu depinde de A.

Dovezi. pentru că evenimentul A nu depinde de B, apoi prin definiția independenței evenimentelor P (A) \u003d P (A | B) \u003d P (A |). Este necesar să se demonstreze că P (B) \u003d P (B | A).

Prin teorema înmulțirii, P (AB) \u003d P (A) P (B | A) \u003d P (B) P (A | B), prin urmare, P (A) P (B | A) \u003d P (B) P (A ). Presupunând că P (A)\u003e 0, împărțim ambele părți ale egalității cu P (A) și obținem: P (B) \u003d P (B | A).

Din Corolarul 1 rezultă că două evenimente sunt independente dacă apariția unuia dintre ele nu schimbă probabilitatea apariției celuilalt. În practică, dependente sunt evenimente (fenomene) legate de o relație cauză-efect.

Corolar 2. Probabilitatea produsului a două evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente. Acestea. dacă evenimentele A și B sunt independente, atunci

P (AB) \u003d P (A) P (B). (unsprezece)

Dovada este evidentă, deoarece pentru evenimente independente P (B | A) \u003d P (B).

Identitatea (11), împreună cu expresiile (12) și (13), sunt condiții necesare și suficiente pentru independența a două evenimente aleatorii A și B.

P (A) \u003d P (A | B); P (A) \u003d P (A |); P (A | B) \u003d P (A |); (12)

P (B) \u003d P (B | A); P (B) \u003d P (B |); P (B | A) \u003d P (B |). (treisprezece)

Fiabilitatea unui anumit sistem este crescută prin dublă redundanță (vezi Fig. 12). Probabilitatea funcționării fără eșecuri a primului subsistem (în timpul unui anumit timp de funcționare) este de 0,9, al doilea - 0,8. Determinați probabilitatea de defecțiune a sistemului în ansamblu în timpul unui anumit timp de funcționare dacă defecțiunile subsistemelor sunt independente.

Figura 12 - Sistem redundant dublu

E: studiul fiabilității unui sistem de control dublu redundant;

A 1 \u003d (funcționare fără probleme (în anumite perioade de funcționare) a primului subsistem); P (A 1) \u003d 0,9;

A 2 \u003d (funcționarea fără eșecuri a celui de-al doilea subsistem); P (A2) \u003d 0,8;

A \u003d (funcționarea fără erori a sistemului în ansamblu); P (A) \u003d?

Decizie. Să exprimăm evenimentul A în termeni de evenimente A 1 și A 2 ale căror probabilități sunt cunoscute. Deoarece funcționarea fără probleme a sistemului este suficientă pentru funcționarea fără probleme a cel puțin unuia dintre subsistemele sale, atunci evident A \u003d A 1 A 2.

Aplicând teorema adunării probabilităților, obținem: P (A) \u003d P (A 1 A 2) \u003d P (A 1) + P (A 2) -P (A 1 A 2). Probabilitatea apariției comune a evenimentelor A 1 și A 2 este determinată de teorema multiplicării probabilității: P (A 1 A 2) \u003d P (A 1) P (A 2 | A 1). Având în vedere că (după condiție) evenimentele A 1 și A 2 sunt independente, P (A 1 A 2) \u003d P (A 1) P (A 2). Astfel, probabilitatea funcționării fără eșec a sistemului este P (A) \u003d P (A 1 A 2) \u003d P (A 1) + P (A 2) -P (A 1) P (A 2) \u003d 0,9 + 0, 8-0.90.8 \u003d 0.98.

Răspuns: probabilitatea funcționării fără defecțiuni a sistemului în timpul unui anumit timp de funcționare este de 0,98.

Cometariu. În exemplul 20, un alt mod de definire a evenimentului A este posibil prin evenimentele A 1 și A 2 :, adică eșecul sistemului este posibil dacă ambele subsisteme ale acestuia eșuează simultan. Aplicând teorema multiplicării probabilităților evenimentelor independente, obținem următoarea valoare a probabilității de eșec al sistemului :. Prin urmare, probabilitatea unei funcționări fără defecțiuni a sistemului în timpul unui anumit timp de funcționare este.

Exemplul 21 (paradoxul independenței)

E: se aruncă două monede.

A \u003d (aspectul stemei pe prima monedă), P (A) \u003d 0,5;

B \u003d (aspectul stemei pe a doua monedă), P (B) \u003d 0,5;

C \u003d (stema apare doar pe una dintre monede), P (C) \u003d 0,5.

Evenimentele A, B și C sunt independente în perechi, deoarece condițiile de independență a două evenimente (11) - (13) sunt îndeplinite:

P (A) \u003d P (A | B) \u003d 0,5; P (B) \u003d P (B | C) \u003d 0,5; P (C) \u003d P (C | A) \u003d 0,5.

Cu toate acestea, P (A | BC) \u003d 0P (A); P (A | C) \u003d 1P (A); P (B | AC) \u003d 0P (B); P (C | AB) \u003d 0P (C).

Cometariu. Independența în perechi a evenimentelor aleatorii nu înseamnă independența lor în ansamblu.

Evenimentele aleatorii sunt numite independente în agregat dacă probabilitatea apariției fiecăruia dintre ele nu se modifică odată cu apariția oricărei combinații de alte evenimente. Pentru evenimentele aleatoare A 1, A 2, ... A n, independente în agregat, este valabilă următoarea teoremă a multiplicării probabilității (o condiție necesară și suficientă pentru independență în agregatul a n evenimente aleatorii):

P (A 1 A 2 ... A n) \u003d P (A 1) P (A 2) ... P (A n). (paisprezece)

De exemplu 21, condiția (14) nu este îndeplinită: P (ABC) \u003d 0P (A) P (B) P (C) \u003d 0,50.50,5 \u003d 0,125. Prin urmare, evenimentele A, B și C independente în perechi sunt dependente în agregat.

Exemplul 22

Cutia conține 12 tranzistori, dintre care trei sunt defecte. Pentru a construi un amplificator cu două trepte, doi tranzistori sunt eliminați aleatoriu. Cât de probabil este amplificatorul asamblat să fie defect?

E: selectarea a două tranzistoare din cutie cu 9 tranzistoare bune și 3 rele;

A \u003d (amplificator asamblat defect); P (A) \u003d?

Decizie. Evident, amplificatorul în două trepte asamblat va fi defect dacă cel puțin unul dintre cele două tranzistoare selectate pentru asamblare este defect. Prin urmare, vom redefini evenimentul A după cum urmează:

A \u003d (cel puțin unul dintre cele două tranzistoare selectate este defect);

Să definim următoarele evenimente auxiliare auxiliare:

A 01 \u003d (doar primul dintre cei doi tranzistori selectați este defect);

A 10 \u003d (doar al doilea dintre cei doi tranzistori selectați este defect);

A 00 \u003d (ambii tranzistori selectați sunt defecți);

Evident, A \u003d A 01 A 10 A 00 (pentru ca evenimentul A să aibă loc, trebuie să aibă loc cel puțin unul dintre evenimentele A 01 sau A 10 sau A 00), iar evenimentele A 01, A 10 și A 00 sunt incompatibile (nu se pot întâmpla împreună) , prin urmare, probabilitatea unui eveniment va fi găsită prin teorema adunării pentru probabilitățile de evenimente inconsistente:

P (A) \u003d P (A 01 A 10 A 00) \u003d P (A 01) + P (A 10) + P (A 00).

Pentru a determina probabilitățile evenimentelor A 01, A 10 și A 00, introducem evenimente auxiliare:

B 1 \u003d (primul tranzistor selectat este defect);

B2 \u003d (al doilea tranzistor selectat este defect).

Evident, A 01 \u003d B 1; A 10 \u003d B2; A 00 \u003d B 1 B 2; prin urmare, pentru a determina probabilitățile evenimentelor A 01, A 10 și A 00 aplicăm teorema multiplicării probabilității.

P (A 01) \u003d P (B 1) \u003d P (B 1) P (| B 1),

unde P (B 1) este probabilitatea ca primul tranzistor selectat să fie defect; P (| B 1) - probabilitatea ca al doilea tranzistor selectat să fie operațional, cu condiția ca primul tranzistor selectat să fie defect. Aplicând metoda clasică de calcul al probabilităților, P (B 1) \u003d 3/12 și P (| B 1) \u003d 9/11 (deoarece după alegerea primului tranzistor defect, au rămas în cutie 11 tranzistori, dintre care 9 sunt operaționale).

Astfel, P (A 01) \u003d P (B 1) \u003d P (B 1) P (| B 1) \u003d 3/129/11 \u003d 0,20 (45). În mod similar:

P (A 10) \u003d P (B 2) \u003d P () P (B 2 |) \u003d 9/123/11 \u003d 0,20 (45);

P (A 00) \u003d P (B 1 B 2) \u003d P (B 1) P (B 2 | B 1) \u003d 3/122/11 \u003d 0,041 (6).

Înlocuiți valorile obținute ale probabilităților A 01, A 10 și A 00 în expresia probabilității evenimentului A:

P (A) \u003d P (A 01 A 10 A 00) \u003d P (A 01) + P (A 10) + P (A 00) \u003d 3/129/11 + 9/123/11 + 3/122/11 \u003d 0,45 (45).

Răspuns: Probabilitatea ca amplificatorul asamblat să fie defect este de 0,4545.

Teoreme de adunare și multiplicare pentru probabilități.
Evenimente dependente și independente

Titlul arată înfricoșător, dar este de fapt foarte simplu. În această lecție, vom face cunoștință cu teoremele adunării și multiplicării probabilităților evenimentelor, precum și vom analiza problemele tipice, care, împreună cu problema definiției clasice a probabilității cu siguranță vă veți întâlni sau, mai probabil, v-ați întâlnit deja în drum. Pentru a studia în mod eficient materialele acestui articol, trebuie să cunoașteți și să înțelegeți termenii de bază. teoria probabilității și să poată efectua cele mai simple operații aritmetice. După cum puteți vedea, este foarte puțin necesar și, prin urmare, un plus în plus al activului este aproape garantat. Dar, pe de altă parte, avertizez din nou împotriva unei atitudini superficiale față de exemplele practice - există și suficiente subtilități. Mult noroc:

Teorema adaosului pentru probabilitățile evenimentelor inconsistente: probabilitatea ca unul din doi să apară inconsecvent evenimente sau (indiferent de situatie), este egal cu suma probabilităților acestor evenimente:

Un fapt similar este adevărat pentru un număr mare de evenimente incompatibile, de exemplu, pentru trei evenimente incompatibile și:

Teorema visului \u003d) Totuși, un astfel de vis este supus dovezilor, care pot fi găsite, de exemplu, în V.E. Gmurman.

Ne facem cunoștință cu concepte noi, până acum neîndeplinite:

Evenimente dependente și independente

Să începem cu evenimente independente. Evenimentele sunt independent dacă probabilitate de apariție oricare dintre ei nu depinde de la apariția / neapărarea evenimentelor rămase ale setului luat în considerare (în toate combinațiile posibile). ... Dar ce este acolo pentru a șterge fraze generale:

Teorema multiplicării pentru probabilitățile evenimentelor independente: probabilitatea apariției comune a evenimentelor independente și este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente:

Să ne întoarcem la cel mai simplu exemplu din prima lecție, în care sunt aruncate două monede și următoarele evenimente:

- capetele vor fi aruncate pe prima monedă;
- capetele vor fi aruncate pe a doua monedă.

Să găsim probabilitatea evenimentului (pe prima monedă va apărea un vultur și pe acea a doua monedă va apărea un vultur - amintiți-vă cum este citit producerea de evenimente!) ... Probabilitatea de a obține capete pe o monedă nu depinde în niciun fel de rezultatul aruncării unei alte monede, prin urmare, evenimentele sunt independente.

În mod similar:
- probabilitatea ca prima monedă să aterizeze cozi și pe a 2-a coadă;
- probabilitatea ca un vultur să apară pe prima monedă și pe a 2-a coadă;
- probabilitatea ca cozile să apară pe prima monedă și pe al 2-lea vultur.

Rețineți că se formează evenimente grup complet iar suma probabilităților lor este egală cu una :.

Teorema multiplicării se extinde în mod evident la un număr mare de evenimente independente, deci, de exemplu, dacă evenimentele sunt independente, atunci probabilitatea apariției lor comune este :. Să exersăm cu exemple specifice:

Problema 3

Fiecare dintre cele trei cutii conține 10 părți. În prima casetă există 8 părți standard, în a doua - 7, în a treia - 9. O parte este luată la întâmplare din fiecare cutie. Găsiți probabilitatea ca toate detaliile să fie standard.

Decizie: probabilitatea de a recupera o parte standard sau non-standard din orice casetă nu depinde de ce părți sunt recuperate din alte casete, prin urmare, problema este legată de evenimente independente. Luați în considerare următoarele evenimente independente:

- o piesă standard a fost scoasă din prima cutie;
- o piesă standard a fost scoasă din a doua cutie;
- o piesă standard a fost scoasă din a treia cutie.

Prin definiția clasică:
- probabilitățile corespunzătoare.

Eveniment de interes pentru noi (o parte standard va fi scoasă din prima casetă și de la al doilea standard și de la al treilea standard) exprimat de produs.

Prin teorema multiplicării probabilităților evenimentelor independente:

- probabilitatea ca o parte standard să fie scoasă din trei cutii.

Răspuns: 0,504

După exerciții revigorante cu cutii, nu ne așteaptă urne mai puțin interesante:

Problema 4

Trei urne conțin 6 bile albe și 4 bile negre. Din fiecare urnă se ia o minge la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca: a) toate cele trei bile să fie albe; b) toate cele trei bile vor avea aceeași culoare.

Pe baza informațiilor primite, ghiciți cum să faceți față punctului "bh" ;-) Un exemplu de soluție este conceput într-un stil academic, cu o listă detaliată a tuturor evenimentelor.

Evenimente dependente... Evenimentul este numit dependent dacă probabilitatea acestuia depinde de la unul sau mai multe evenimente care au avut loc deja. Nu trebuie să mergeți departe pentru exemple - este suficient să ajungeți la cel mai apropiat magazin:

- Pâinea proaspătă va fi în vânzare mâine la ora 19.00.

Probabilitatea acestui eveniment depinde de multe alte evenimente: dacă pâinea proaspătă va fi livrată mâine, dacă va fi vândută înainte de ora 19 sau nu etc. În funcție de diferitele circumstanțe, acest eveniment poate fi atât sigur, cât și imposibil. Deci evenimentul este dependent.

Pâine ... și, așa cum cereau romanii, ochelari:

- studentul va primi un bilet simplu pentru examen.

Dacă nu mergeți primul, atunci evenimentul va fi dependent, deoarece probabilitatea acestuia va depinde de biletele care au fost deja extrase de colegi.

Cum se definește dependența / independența evenimentului?

Uneori, acest lucru este afirmat direct în declarația problemei, dar mai des trebuie să efectuați o analiză independentă. Aici nu există nicio linie directă, iar faptul de a depinde de dependența sau independența evenimentelor rezultă din raționamentul logic natural.

Pentru a nu strânge totul împreună, sarcini pentru evenimente dependente Voi evidenția următoarea lecție, dar deocamdată vom analiza cele mai frecvente în practică o grămadă de teoreme:

Probleme privind teoremele adunării pentru probabilități incoerente
și multiplicarea probabilităților de evenimente independente

Acest tandem, conform evaluării mele subiective, funcționează în aproximativ 80% din sarcinile pe subiectul analizat. Loviturile hiturilor și clasicele reale ale teoriei probabilității:

Problema 5

Doi trăgători au tras cu o singură lovitură la țintă. Probabilitatea de lovire pentru primul shooter este de 0,8, pentru al doilea - 0,6. Găsiți probabilitatea ca:

a) un singur trăgător lovește ținta;
b) cel puțin unul dintre trăgători lovește ținta.

Decizie: Probabilitatea de a lovi / pierde un shooter, evident, nu depinde de performanța celuilalt shooter.

Luați în considerare evenimentele:
- primul shooter lovește ținta;
- al doilea shooter lovește ținta.

După condiție:.

Să găsim probabilitățile evenimentelor opuse - că săgețile corespunzătoare vor rata:

a) Luați în considerare evenimentul: - un singur shooter lovește ținta. Acest eveniment constă din două rezultate inconsistente:

Primul shooter lovește șiAl doilea va lipsi
sau
1 va lipsi și Al doilea va lovi.

În limbaj algebre de eveniment acest fapt va fi scris prin următoarea formulă:

În primul rând, folosim teorema adăugării probabilităților de evenimente inconsistente, apoi teorema multiplicării probabilităților evenimentelor independente:

- probabilitatea ca va exista o singură lovitură.

b) Luați în considerare evenimentul: - cel puțin unul dintre trăgători lovește ținta.

În primul rând, SĂ GĂNDIM - ce înseamnă condiția „MĂNIM UN”? În acest caz, aceasta înseamnă că fie primul shooter va lovi (al doilea va rata) sau Al 2-lea (primul ratat) sau ambele săgeți simultan - un total de 3 rezultate inconsistente.

Metoda unu: având în vedere probabilitatea imediată a paragrafului anterior, este convenabil să prezentați evenimentul ca suma următoarelor evenimente inconsistente:

unul va primi (un eveniment care constă, la rândul său, în 2 rezultate inconsistente) sau
ambele săgeți vor lovi - să desemnăm acest eveniment cu o literă.

În acest fel:

Prin teorema multiplicării probabilităților evenimentelor independente:
- probabilitatea ca primul shooter să lovească și Al doilea shooter lovește.

Prin teorema adaosului pentru probabilitățile evenimentelor inconsistente:
- probabilitatea de a atinge cel puțin o țintă.

Metoda a doua: ia în considerare evenimentul opus: - ambele săgeți ratează.

Prin teorema multiplicării probabilităților evenimentelor independente:

Ca rezultat:

Acordați o atenție specială celei de-a doua metode - în general, este mai rațională.

În plus, există o alternativă, a treia modalitate de rezolvare, bazată pe teorema adăugării de evenimente comune, care nu a fost menționată mai sus.

! Dacă citiți materialul pentru prima dată, este mai bine să treceți peste următorul paragraf pentru a evita confuzia.

Metoda trei : evenimentele sunt comune, ceea ce înseamnă că suma lor exprimă evenimentul „cel puțin un trăgător atinge ținta” (vezi. algebra evenimentelor). De teorema adiției pentru probabilitățile evenimentelor comune și teorema multiplicării pentru probabilitățile evenimentelor independente:

Să verificăm: evenimente și (0, 1 și respectiv 2 accesări) formează un grup complet, deci suma probabilităților lor trebuie să fie egală cu unul:
, care trebuia verificat.

Răspuns:

Cu un studiu aprofundat al teoriei probabilității, veți întâlni zeci de probleme militariste și, ceea ce este tipic, după aceea nu veți dori să împușcați pe nimeni - problemele sunt aproape daruri. De ce nu simplificați și șablonul? Să scurtăm intrarea:

Decizie: după condiție :, este probabilitatea de a lovi trăgătorii corespunzători. Atunci probabilitățile de ratare a acestora:

a) Conform teoremelor pentru adăugarea probabilităților de evenimente inconsistente și multiplicarea probabilităților de evenimente independente:
- probabilitatea ca un singur shooter să atingă ținta.

b) Prin teorema multiplicării probabilităților evenimentelor independente:
- probabilitatea ca ambii trăgători să rateze.

Apoi: - probabilitatea ca cel puțin unul dintre trăgători să atingă ținta.

Răspuns:

În practică, puteți utiliza orice opțiune de proiectare. Bineînțeles, accesează scurtătura mult mai des, dar nu trebuie uitată prima metodă - deși este mai lungă, este mai semnificativă - este mai clară în ea, ce, de ce și de ce adună și se înmulțește. În unele cazuri, un stil hibrid este adecvat, atunci când este convenabil să se desemneze doar unele evenimente cu majuscule.

Sarcini similare pentru soluția independentă:

Problema 6

Pentru a semnaliza un incendiu, sunt instalați doi senzori care funcționează independent. Probabilitățile ca senzorul să fie declanșat în caz de incendiu sunt 0,5 și 0,7 pentru primul și respectiv pentru al doilea senzor. Găsiți probabilitatea ca, în caz de incendiu:

a) ambii senzori vor eșua;
b) ambii senzori vor funcționa.
c) Utilizarea teorema adăugării probabilităților evenimentelor care formează grupul complet, găsiți probabilitatea ca un singur senzor să fie declanșat într-un incendiu. Verificați rezultatul calculând direct această probabilitate (folosind teoreme de adunare și multiplicare).

Aici, independența funcționării dispozitivelor este explicată direct în stare, ceea ce, apropo, este o clarificare importantă. Soluția eșantion este proiectată într-un stil academic.

Ce se întâmplă dacă într-o problemă similară sunt date aceleași probabilități, de exemplu, 0,9 și 0,9? Trebuie să decideți în același mod! (care, de fapt, a fost deja demonstrat în exemplul cu două monede)

Problema 7

Probabilitatea de a atinge ținta de către primul shooter cu o singură lovitură este de 0,8. Probabilitatea ca ținta să nu fie lovită după ce primul și al doilea shooter lansează o singură lovitură este de 0,08. Care este probabilitatea de a lovi ținta de către cel de-al doilea shooter cu o singură lovitură?

Și acesta este un mic puzzle, care este încadrat într-un mod scurt. Condiția poate fi reformulată mai succint, dar nu voi reface originalul - în practică, trebuie să vă adânciți în fabricații mai ornamentate.

Faceți cunoștință - el este cel care a creat o cantitate nedeterminată de detalii pentru dvs. \u003d):

Problema 8

Muncitorul operează trei utilaje. Probabilitatea ca în timpul turei prima mașină să necesite reglare este de 0,3, a doua este de 0,75, iar a treia este de 0,4. Găsiți probabilitatea ca în timpul schimbării:

a) toate utilajele vor necesita ajustări;
b) doar o singură mașină va necesita ajustare;
c) cel puțin o mașină va necesita ajustare.

Decizie: atâta timp cât condiția nu spune nimic despre un singur proces tehnologic, atunci munca fiecărei mașini ar trebui considerată independentă de munca altor mașini.

Prin analogie cu problema nr. 5, aici puteți lua în considerare evenimentele pe care mașinile corespunzătoare vor necesita ajustări în timpul schimbului, puteți nota probabilitățile, găsiți probabilitățile evenimentelor opuse etc. Dar cu trei obiecte, nu vrei cu adevărat să proiectezi sarcina așa - se va dovedi a fi lungă și plictisitoare. Prin urmare, este mult mai profitabil să folosiți stilul „rapid” aici:

După condiție: - probabilitatea ca în timpul schimbului mașinile corespunzătoare să necesite o tinctură. Atunci probabilitățile că nu vor necesita atenție:

Unul dintre cititori a găsit o greșeală de tipare aici, nici măcar nu o voi corecta \u003d)

a) Prin teorema multiplicării pentru probabilitățile evenimentelor independente:
- probabilitatea ca în timpul turei toate cele trei mașini să necesite reglare.

b) Evenimentul „În timpul schimbului, doar o singură mașină va necesita ajustare” constă din trei rezultate inconsecvente:

1) prima mașină va necesita Atenţie și A 2-a mașină nu va necesita și A treia mașină nu va necesita
sau:
2) prima mașină nu va necesita Atenţie și A 2-a mașină va necesita și A treia mașină nu va necesita
sau:
3) prima mașină nu va necesita Atenţie și A 2-a mașină nu va necesita și A treia mașină va necesita.

Conform teoremelor pentru adăugarea probabilităților de inconsecvență și multiplicarea probabilităților de evenimente independente:

- probabilitatea ca în timpul schimbului să fie necesară ajustarea unei singure mașini.

Cred că acum ar trebui să fii clar de unde a venit expresia

c) Calculăm probabilitatea ca mașinile să nu necesite reglare și apoi - probabilitatea evenimentului opus:
- faptul că cel puțin o mașină va necesita ajustare.

Răspuns:

Elementul „ve” poate fi rezolvat prin sumă, unde este probabilitatea ca în timpul schimbului să fie necesară ajustarea doar două mașini. La rândul său, acest eveniment include 3 rezultate incompatibile, care sunt semnate prin analogie cu clauza „fi”. Încercați să găsiți singur probabilitatea de a testa întreaga problemă cu egalitatea.

Problema 9

Trei tunuri au tras cu un voleu asupra țintei. Probabilitatea de a lovi cu o singură lovitură doar de la prima armă este de 0,7, de la a doua - 0,6, de la a treia - 0,8. Găsiți probabilitatea ca: 1) cel puțin un proiectil să atingă ținta; 2) doar două obuze vor atinge ținta; 3) ținta va fi atinsă cel puțin de două ori.

Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

Și din nou despre coincidențe: dacă, prin condiție, două sau chiar toate valorile probabilităților inițiale coincid (de exemplu, 0,7; 0,7 și 0,7), atunci ar trebui să respectați exact același algoritm de soluție.

La sfârșitul articolului, să ne uităm la un alt puzzle comun:

Problema 10

Tragerul lovește ținta cu aceeași probabilitate la fiecare lovitură. Care este această probabilitate dacă probabilitatea de cel puțin o lovitură din trei fotografii este de 0,973.

Decizie: să denotăm prin - probabilitatea de a lovi ținta cu fiecare lovitură.
iar după - probabilitatea unei ratări la fiecare lovitură.

Și totuși vom nota evenimentele:
- cu 3 lovituri, trăgătorul va atinge ținta cel puțin o dată;
- trăgătorul va rata de 3 ori.

După condiție, atunci probabilitatea evenimentului opus este:

Pe de altă parte, prin teorema multiplicării pentru probabilitățile evenimentelor independente:

În acest fel:

- probabilitatea unei ratări la fiecare lovitură.

Ca rezultat:
- probabilitatea de a fi lovit cu fiecare lovitură.

Răspuns: 0,7

Simplu și elegant.

În problema luată în considerare, se pot pune întrebări suplimentare cu privire la probabilitatea unui singur hit, doar a două hituri și probabilitatea de a avea trei lovituri pe țintă. Schema soluției va fi exact aceeași ca în cele două exemple anterioare:

Cu toate acestea, diferența de fond fundamentală este că teste independente repetate, care sunt efectuate secvențial, independent unul de celălalt și cu aceeași probabilitate de rezultate.

De asemenea, vor exista sarcini pentru o soluție independentă, la care puteți vedea răspunsurile.

Formularea generală a problemei: probabilitățile unor evenimente sunt cunoscute, dar trebuie să calculați probabilitățile altor evenimente care sunt asociate cu aceste evenimente. În aceste sarcini, apare nevoia unor astfel de acțiuni asupra probabilităților precum adunarea și multiplicarea probabilităților.

De exemplu, la vânătoare, se trag două focuri. Eveniment A - lovirea unei rațe din prima lovitură, eveniment B - lovitura din a doua lovitură. Apoi suma evenimentelor A și B - lovit de la primul sau al doilea tir sau din două lovituri.

Sarcini de alt tip. Se dau mai multe evenimente, de exemplu, moneda este aruncată de trei ori. Este necesar să se găsească probabilitatea ca fie stema să fie abandonată de toate trei ori, fie că stema să fie trasă cel puțin o dată. Aceasta este o problemă a multiplicării probabilităților.

Adăugarea probabilităților de evenimente inconsistente

Adăugarea probabilității este utilizată atunci când trebuie să calculați probabilitatea unei combinații sau a unei sume logice de evenimente aleatorii.

Suma evenimentelor A și B denota A + B sau A ∪ B... Suma a două evenimente este un eveniment care apare dacă și numai atunci când apare cel puțin unul dintre evenimente. Înseamnă că A + B - un eveniment care apare dacă și numai dacă un eveniment a avut loc în timpul observației Asau eveniment B, sau simultan Ași B.

Dacă evenimente Ași Bsunt incompatibile reciproc și probabilitățile lor sunt date, atunci probabilitatea ca unul dintre aceste evenimente să apară ca urmare a unui test este calculată utilizând adăugarea probabilităților.

Teorema adunării pentru probabilități. Probabilitatea ca unul dintre cele două evenimente incompatibile să apară este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:

De exemplu, se trag două focuri în timpul vânătorii. Eveniment ȘI - lovirea unei rațe din prima lovitură, eveniment LA- lovitură din a doua lovitură, eveniment ( ȘI+ LA) - lovit de la prima sau a doua lovitură sau din două lovituri. Deci dacă două evenimente ȘIși LA - evenimente incompatibile, atunci ȘI+ LA- debutul a cel puțin unul dintre aceste evenimente sau două evenimente.

Exemplul 1.În cutie sunt 30 de bile de aceeași dimensiune: 10 roșii, 5 albastre și 15 albe. Calculați probabilitatea ca o minge colorată (nu albă) să fie luată fără a privi.

Decizie. Să presupunem că evenimentul ȘI- „se ia mingea roșie”, și evenimentul LA- „se ia o minge albastră”. Apoi evenimentul este „se ia o minge colorată (nu albă)”. Găsiți probabilitatea unui eveniment ȘI:

și evenimente LA:

Dezvoltări ȘIși LA - incompatibile reciproc, deoarece dacă se ia o minge, atunci mingi de diferite culori nu pot fi luate. Prin urmare, folosim adăugarea probabilităților:

Teorema adăugării probabilităților pentru mai multe evenimente inconsistente. Dacă evenimentele alcătuiesc setul complet de evenimente, atunci suma probabilităților lor este 1:

Suma probabilităților evenimentelor opuse este, de asemenea, 1:

Evenimentele opuse formează un set complet de evenimente, iar probabilitatea unui set complet de evenimente este 1.

Probabilitățile evenimentelor opuse sunt de obicei notate cu litere mici p și q... În special,

din care urmează următoarele formule pentru probabilitatea evenimentelor opuse:

Exemplul 2.Ținta din zona de tragere este împărțită în 3 zone. Probabilitatea ca un anumit trăgător să tragă asupra țintei în prima zonă este de 0,15, în a doua zonă - 0,23, în a treia zonă - 0,17. Găsiți probabilitatea ca shooter-ul să atingă ținta și probabilitatea ca shooter-ul să rateze ținta.

Soluție: Găsiți probabilitatea ca trăgătorul să atingă ținta:

Să găsim probabilitatea ca trăgătorul să rateze ținta:

Sarcini mai dificile, în care trebuie să aplicați atât adunarea, cât și înmulțirea probabilităților - pe pagina „Diverse probleme privind adunarea și înmulțirea probabilităților”.

Adăugarea probabilităților de evenimente reciproc compatibile

Două evenimente aleatoare sunt numite comune dacă apariția unui eveniment nu exclude apariția unui al doilea eveniment în aceeași observație. De exemplu, atunci când arunci o moară, evenimentul ȘIse ia în considerare căderea numărului 4 și evenimentul LA- un număr par a renunțat. Deoarece numărul 4 este un număr par, cele două evenimente sunt compatibile. În practică, există sarcini pentru calcularea probabilităților unuia dintre evenimentele reciproc comune.

O teoremă a adaosului de probabilitate pentru evenimente comune. Probabilitatea ca unul dintre evenimentele comune să apară este egală cu suma probabilităților acestor evenimente, din care se scade probabilitatea apariției comune a ambelor evenimente, adică produsul probabilităților. Formula pentru probabilitățile evenimentelor comune este următoarea:

De la evenimente ȘIși LA compatibil, eveniment ȘI+ LAapare dacă apare unul din cele trei evenimente posibile: sau AB... Conform teoremei adăugării evenimentelor inconsistente, calculăm după cum urmează:

Eveniment ȘIva apărea dacă apare unul dintre cele două evenimente inconsistente: sau AB... Cu toate acestea, probabilitatea ca un eveniment să apară din mai multe evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților tuturor acestor evenimente:

În mod similar:

Înlocuind expresiile (6) și (7) în expresia (5), obținem formula probabilității pentru evenimente comune:

Atunci când se utilizează formula (8), trebuie avut în vedere faptul că evenimentele ȘI și LApoate:

• reciproc independenți;
• reciproc dependente.

Formula de probabilitate pentru evenimente reciproc independente:

Formula de probabilitate pentru evenimente reciproc dependente:

Dacă evenimente ȘIși LAsunt inconsistente, atunci coincidența lor este un caz imposibil și, astfel, P(AB) \u003d 0. A patra formulă de probabilitate pentru evenimente inconsistente este după cum urmează:

Exemplul 3.Într-o cursă auto, când conduci prima mașină, există șansa de a câștiga, când conduci în a doua mașină. A găsi:

• probabilitatea ca ambele mașini să câștige;
• probabilitatea ca cel puțin o mașină să câștige;

1) Probabilitatea ca prima mașină să câștige nu depinde de rezultatul celei de-a doua mașini, deci de evenimente ȘI(prima mașină câștigă) și LA (a doua mașină câștigă) - evenimente independente. Să găsim probabilitatea ca ambele mașini să câștige:

2) Găsiți probabilitatea ca una dintre cele două mașini să câștige:

Sarcini mai dificile, în care trebuie să aplicați atât adunarea, cât și înmulțirea probabilităților - pe pagina „Diverse probleme privind adunarea și înmulțirea probabilităților”.

Rezolvați problema de adăugare a probabilității dvs. și apoi vedeți soluția

Exemplul 4. Se aruncă două monede. Eveniment A - căderea din stemă pe prima monedă. Eveniment B - căderea din stemă pe a doua monedă. Găsiți probabilitatea unui eveniment C = A + B .

Multiplicarea probabilităților

Multiplicarea probabilității este utilizată la calcularea probabilității produsului logic al evenimentelor.

În acest caz, evenimentele aleatorii trebuie să fie independente. Două evenimente sunt numite independente reciproc dacă apariția unui eveniment nu afectează probabilitatea apariției celui de-al doilea eveniment.

Teorema multiplicării pentru probabilități pentru evenimente independente. Probabilitatea apariției simultane a două evenimente independente ȘIși LAeste egal cu produsul probabilităților acestor evenimente și se calculează prin formula:

Exemplul 5.Moneda este aruncată de trei ori la rând. Găsiți probabilitatea ca stema să fie lăsată să cadă de trei ori.

Decizie. Probabilitatea ca la prima aruncare a monedei să apară stema, a doua oară, a treia oară. Să găsim probabilitatea ca stema să fie trasă de trei ori:

Rezolvați singur problemele de multiplicare a probabilității și apoi vedeți soluția

Exemplul 6. Există o cutie cu nouă mingi noi de tenis. Pentru joc, iau trei mingi, după joc sunt puse înapoi. La alegerea mingilor, jocurile și jocurile nu se disting. Care este probabilitatea ca după trei jocuri să nu mai rămână bile în careu?

Exemplul 7. Pe cărțile alfabetului împărțit sunt scrise 32 de litere ale alfabetului rus. Cinci cărți sunt scoase la întâmplare una după alta și așezate pe masă în ordinea apariției. Găsiți probabilitatea ca literele să formeze cuvântul „sfârșit”.

Exemplul 8. Patru cărți sunt extrase dintr-un pachet complet de cărți (52 de coli). Găsiți probabilitatea ca toate aceste patru cărți să fie de costume diferite.

Exemplul 9. Aceeași problemă ca în exemplul 8, dar după ce a fost scoasă, fiecare carte este returnată la pachet.

Sarcini mai complexe, în care trebuie să aplicați atât adunarea, cât și multiplicarea probabilităților, precum și calcularea produsului mai multor evenimente - pe pagina „Diverse probleme privind adunarea și multiplicarea probabilităților”.

Probabilitatea ca cel puțin unul dintre evenimentele reciproc independente să apară poate fi calculată prin scăderea de la 1 a produsului probabilităților de evenimente opuse, adică folosind formula.

\\ (\\ blacktriangleright \\) Dacă executarea evenimentului \\ (C \\) necesită executarea ambelor evenimente comune (care pot apărea simultan) \\ (A \\) și \\ (B \\) (\\ (C \u003d \\ (A \\) și \\ ( B \\) \\)), atunci probabilitatea evenimentului \\ (C \\) este egală cu produsul probabilităților evenimentelor \\ (A \\) și \\ (B \\).

Rețineți că, dacă evenimentele sunt inconsistente, atunci probabilitatea apariției lor simultane este \\ (0 \\).

\\ (\\ blacktriangleright \\) Fiecare eveniment poate fi marcat cu un cerc. Apoi, dacă evenimentele sunt comune, atunci cercurile trebuie să se intersecteze. Probabilitatea unui eveniment \\ (C \\) este probabilitatea de a lovi ambele cercuri în același timp.

\\ (\\ blacktriangleright \\) De exemplu, când arunci un zar, găsește probabilitatea \\ (C \u003d \\) (apariția numărului \\ (6 \\)).
Evenimentul \\ (C \\) poate fi formulat ca \\ (A \u003d \\) (apariția unui număr par) și \\ (B \u003d \\) (apariția unui număr divizibil cu trei).
Atunci \\ (P \\, (C) \u003d P \\, (A) \\ cdot P \\, (B) \u003d \\ dfrac12 \\ cdot \\ dfrac13 \u003d \\ dfrac16 \\).

Sarcina 1 # 3092

Nivel de atribuire: egal cu examenul

Magazinul vinde adidași de la două companii: Dike și Ananas. Probabilitatea ca o pereche de adidași aleasă la întâmplare să fie făcută de Dike este \\ (0,6 \\). Fiecare companie poate face o greșeală în scrierea numelui pe adidași. Probabilitatea ca compania Dike să scrie greșit numele este \\ (0,05 \\); probabilitatea ca Ananas să scrie greșit numele este \\ (0,025 \\). Găsiți probabilitatea ca o pereche de adidași cumpărați la întâmplare să fie scrisă corect.

Evenimentul A: „o pereche de adidași cu numele corect” este egală cu suma evenimentelor B: „o pereche de adidași va fi făcută de Dike și cu numele corect” și C: „o pereche de adidași vor fi de la Ananas și cu numele corect”.
Probabilitatea evenimentului B este egală cu produsul probabilităților evenimentelor „adidașii vor fi fabricați de Dike” și „numele companiei Dike a scris corect”: \\ Similar pentru evenimentul C: \ Prin urmare, \

Răspuns: 0,96

Quest 2 # 166

Nivel de atribuire: egal cu examenul

Dacă Timur joacă cu dame albe, atunci câștigă împotriva lui Vanya cu o probabilitate de 0,72. Dacă Timur joacă cu dame negre, atunci câștigă împotriva lui Vanya cu o probabilitate de 0,63. Timur și Vanya joacă două jocuri, iar în al doilea joc își schimbă culoarea damelor. Găsiți probabilitatea ca Vanya să câștige de ambele ori.

Vanya câștigă cu alb cu probabilitate \\ (0,37 \\), iar negru cu probabilitate \\ (0,28 \\). Evenimentele „din două jocuri Vanya a câștigat cu alb” \\ (\\ \\) și „din două jocuri Vanya a câștigat cu negru” \\ (\\ \\) - sunt independente, atunci probabilitatea apariției lor simultane este \\

Răspuns: 0,1036

Quest 3 # 172

Nivel de atribuire: egal cu examenul

Intrarea în muzeu este păzită de doi gardieni. Probabilitatea ca cel mai mare dintre ei să uite radioul este \\ (0,2 \\), iar probabilitatea ca cel mai mic dintre ei să uite radioul este \\ (0,1 \\). Care este probabilitatea ca ei să nu aibă radio?

Deoarece evenimentele luate în considerare sunt independente, probabilitatea apariției lor simultane este egală cu produsul probabilităților lor. Atunci probabilitatea necesară este \\

Răspuns: 0,02

Quest 4 # 167

Nivel de atribuire: egal cu examenul

Sărind de la o înălțime de 1 metru, Kostya își rupe piciorul cu o probabilitate de \\ (0,05 \\). Sărind de la o înălțime de 1 metru, Vanya își rupe piciorul cu o probabilitate de \\ (0,01 \\). Sărind de la o înălțime de 1 metru, Anton își rupe piciorul cu o probabilitate de \\ (0,01 \\). Kostya, Vanya și Anton sar simultan de la o înălțime de 1 metru. Care este probabilitatea ca doar Kostya să-și rupă piciorul? Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată a mia.

Evenimente „când a sărit de la o înălțime de 1 metru, Kostya și-a rupt piciorul” \\ (, \\ \\) „când a sărit de la o înălțime de 1 metru, Vanya nu și-a rupt piciorul” \\ (\\ \\) și „când a sărit de la o înălțime de 1 metru, Anton nu și-a rupt piciorul” \\ ( \\ \\) - sunt independenți, prin urmare, probabilitatea apariției lor simultane este egală cu produsul probabilităților lor: \ După rotunjire, obținem în cele din urmă \\ (0,049 \\).

Răspuns: 0,049

Sarcina 5 # 170

Nivel de atribuire: egal cu examenul

Maxim și Vanya au decis să joace bowling. Maxim a estimat pe bună dreptate că, în medie, el aruncă o lovitură o dată la opt aruncări. Vanya a estimat pe bună dreptate că, în medie, lovește o dată la cinci aruncări. Maxim și Vanya fac exact o singură aruncare (indiferent de rezultat). Care este probabilitatea ca nu vor exista greve printre ele?

Deoarece evenimentele luate în considerare sunt independente, probabilitatea apariției lor simultane este egală cu produsul probabilităților lor. În acest caz, probabilitatea ca Maxim să nu lovească greva este egală cu \ Probabilitatea ca Vanya să nu lovească greva este \\ (1 - 0,2 \u003d 0,8 \\). Atunci probabilitatea necesară este \\ [\\ dfrac (7) (8) \\ cdot 0.8 \u003d 0.7. \\]

Răspuns: 0,7

Sarcina 6 # 1646

Nivel de atribuire: egal cu examenul

Anton și Kostya joacă tenis de masă. Probabilitatea ca Kostya să lovească masa cu lovitura sa de semnătură este \\ (0,9 \\). Probabilitatea ca Anton să câștige un miting în care Kostya a încercat să dea o lovitură de semnătură este \\ (0.3 \\). Kostya a încercat să lovească masa cu lovitura sa de semnătură. Care este probabilitatea ca Kostya să lovească cu adevărat cu lovitura sa de semnătură și să câștige acest raliu în cele din urmă?

Deoarece evenimentele luate în considerare sunt independente, probabilitatea apariției lor simultane este egală cu produsul probabilităților lor. În același timp, probabilitatea ca Anton să nu câștige raliul în care Kostya a încercat să-și facă lovitura de semnătură este \\ (1 - 0,3 \u003d 0,7 \\). Atunci probabilitatea necesară este \\

Știm deja că probabilitatea este o măsură numerică a posibilității producerii unui eveniment aleatoriu, adică un eveniment care poate sau nu să aibă loc într-un anumit set de condiții. Când se modifică setul de condiții, probabilitatea unui eveniment aleator se poate modifica. Ca o condiție suplimentară, putem lua în considerare apariția unui alt eveniment. Deci, dacă complexul de condiții în care apare un eveniment aleatoriu ȘI, adăugați încă unul, constând în apariția unui eveniment aleatoriu LA, apoi probabilitatea evenimentului ȘI se va numi condițional.

Probabilitatea condiționată a evenimentului A - probabilitatea apariției evenimentului A, cu condiția ca evenimentul B. Probabilitatea condițională este notată (A).

Exemplul 16. Cutia conține 7 bile albe și 5 bile negre, care diferă doar prin culoare. Experiența constă în faptul că o minge este scoasă la întâmplare și, fără a o coborî înapoi, o altă minge este scoasă. Care este probabilitatea ca a doua minge trasă să fie neagră dacă prima minge este scoasă?

Decizie.

Avem în față două evenimente aleatorii: un eveniment ȘI - prima minge scoasă este albă, LA - a doua minge scoasă este neagră. A și B sunt evenimente incompatibile, vom folosi definiția clasică a probabilității. Numărul rezultatelor elementare la scoaterea primei bile este 12, iar numărul rezultatelor favorabile pentru a obține bila albă este 7. Prin urmare, probabilitatea P (A) = 7/12.

Dacă prima minge s-a dovedit a fi albă, atunci probabilitatea condiționată a evenimentului LA - apariția celei de-a doua mingi negre (cu condiția ca prima bilă să fie albă) - egală cu (LA) \u003d 5/11, deoarece înainte de a scoate a doua minge au mai rămas 11 bile, dintre care 5 sunt negre.

Rețineți că probabilitatea ca o bilă neagră să apară la a doua extracție nu ar depinde de culoarea primei bile scoase dacă, după scoaterea primei bile, o punem înapoi în cutie.

Luați în considerare două evenimente aleatorii A și B. Să fie cunoscute probabilitățile P (A) și (B). Să determinăm la ce probabilitate de apariție atât evenimentul A cât și evenimentul B este egală, adică lucrările acestor evenimente.

Teorema multiplicării probabilității. Probabilitatea produsului a două evenimente este egală cu produsul probabilității unuia dintre ele prin probabilitatea condiționată a celuilalt, calculată cu condiția ca primul eveniment să aibă loc:

P (A × B) \u003d P (A) × (B).

Deoarece pentru calcularea probabilității unui produs nu contează care dintre evenimentele luate în considerare ȘI și LA a fost primul și care a fost al doilea, apoi puteți scrie:

P (A × B) \u003d P (A) × (B) = P (B) × (A).

Teorema poate fi extinsă la produsul a n evenimente:

P (A 1 A 2. A p) \u003d P (A x) P (A 2 / A 1) .. P (A p / A 1 A 2 ... A p-1).

Exemplul 17.Pentru condițiile exemplului anterior, calculați probabilitatea de a extrage două bile: a) prima bilă albă și a doua bilă neagră; b) două bile negre.

Decizie.

a) Din exemplul anterior, cunoaștem probabilitățile de a scoate mingea albă din cutie mai întâi și a doua bilă neagră, cu condiția ca mingea albă să fie scoasă mai întâi. Pentru a calcula probabilitatea ca ambele evenimente să apară împreună, folosim teorema multiplicării probabilității: P (A × B) \u003d P (A) × (B) \u003d .

b) În mod similar, calculăm probabilitatea de a scoate două bile negre. Probabilitatea de a obține primul mingea neagră . Probabilitatea de a obține mingea neagră a doua oară, cu condiția să nu punem prima bilă neagră scoasă înapoi în cutie (au mai rămas 4 bile negre și sunt 11 bile în total). Probabilitatea rezultată poate fi calculată folosind formula P (A × B) \u003d P (A) × (B) 0,152.

Teorema multiplicării probabilității are o formă mai simplă dacă evenimentele A și B sunt independente.

Evenimentul B este numit independent de evenimentul A dacă probabilitatea evenimentului B nu se schimbă de la evenimentul A sau nu. Dacă evenimentul B este independent de evenimentul A, atunci condiționalul său (B) este egal cu probabilitatea obișnuită P (B):

Se pare că dacă evenimentul LA va fi independent de eveniment ȘI, apoi evenimentul ȘIva fi independent de LA, adică (A) \u003d P (A).

Să dovedim. Înlocuiți egalitatea din definiția independenței evenimentului LA de la eveniment ȘI în teorema multiplicării probabilității: P (A × B) \u003d P (A) × (B) \u003d P (A) × (B).Dar în alt mod P (A × B)= P (B) × (A).Mijloace P (A) × (B) \u003d P (B) × (A)și (A) \u003d P (A).

Astfel, proprietatea independenței (sau dependenței) evenimentelor este întotdeauna reciprocă și se poate da următoarea definiție: se numesc două evenimente independentdacă apariția unuia dintre ei nu schimbă probabilitatea apariției celuilalt.

Trebuie remarcat faptul că independența evenimentelor se bazează pe independența naturii fizice a originii lor. Aceasta înseamnă că seturile de factori aleatori care duc la unul sau alt rezultat al testării unuia și altui eveniment aleatoriu sunt diferite. Deci, de exemplu, lovirea unei ținte cu un singur shooter nu are în niciun fel (cu excepția cazului în care, bineînțeles, nu există motive exotice) asupra probabilității de a atinge ținta cu al doilea shooter. În practică, evenimentele independente sunt foarte frecvente, deoarece relația cauzală a fenomenelor în multe cazuri este absentă sau nesemnificativă.

Teorema multiplicării pentru probabilități pentru evenimente independente. Probabilitatea produsului a două evenimente independente este egală cu produsul probabilității acestor evenimente: P (A × B) \u003d P (A) × P (B).

Următorul corolar rezultă din teorema multiplicării pentru probabilități pentru evenimente independente.

Dacă evenimentele A și B sunt inconsistente și P (A) ¹0, P (B) ¹0, atunci ele sunt dependente.

Să dovedim acest lucru prin contradicție. Să presupunem evenimente inconsistente ȘI și LA independent. Atunci P (A × B) \u003d P (A) × P (B).Și de atunci P (A) ¹0, P (B) ¹0, adică dezvoltări ȘI și LA nu sunt imposibile, atunci P (A × B) ¹0.Dar, pe de altă parte, evenimentul ȘIž LAeste imposibil ca produs al unor evenimente incompatibile (acest lucru a fost discutat mai sus). Mijloace P (A × B) \u003d 0.a primit o contradicție. Astfel, presupunerea noastră inițială este incorectă. Dezvoltări ȘI și LA - dependent.

Exemplul 18... Să ne întoarcem acum la problema nerezolvată a două împușcături care trag asupra unei ținte. Amintiți-vă că, cu probabilitatea de a lovi ținta de către primul shooter este de 0,8, iar al doilea este de 0,7, este necesar să găsiți probabilitatea de a lovi ținta.

Dezvoltări ȘI și LA - lovirea țintei, respectiv, de primul și al doilea shooter - deci, comun, pentru a găsi probabilitatea sumei evenimentelor ȘI + LA - lovirea țintei cu cel puțin un shooter - trebuie să utilizați formula: P (A+B) \u003d P (A) + P (B)–P (Až LA).Dezvoltări ȘI și LA independent, deci P (A × B) \u003d P (A) × P (B).

Asa de, P (A+B) \u003d P (A) + P (B) - P (A) × P (B).

P (A+B) \u003d0,8 + 0,7 - 0,8 × 0,7 \u003d 0,94.

Exemplul 19.

Două împușcături independente se trag pe aceeași țintă. Probabilitatea de a lovi prima lovitură este de 0,6, iar a doua este de 0,8. Găsiți probabilitatea de a lovi ținta cu două lovituri.

1) Să desemnăm hitul de la prima fotografie ca eveniment
A 1, cu al doilea - ca eveniment A 2.

Atingerea țintei presupune cel puțin o lovitură: fie numai în timpul primei lovituri, fie numai în timpul celei de-a doua, sau ambele în timpul primei și celei de-a doua. Prin urmare, în problemă este necesar să se determine probabilitatea sumei a două evenimente comune A 1 și A 2:

P (A 1 + A 2) \u003d P (A 1) + P (A 2) -P (A 1 A 2).

2) Deoarece evenimentele sunt independente, atunci P (A 1 A 2) \u003d P (A 1) P (A 2).

3) Obținem: P (A 1 + A 2) \u003d 0,6 + 0,8 - 0,6 0,8 \u003d 0,92.
Dacă evenimentele sunt inconsistente, atunci P (AB) \u003d 0 și P (A + B) \u003d \u003d P (A) + P (B).

Exemplul 20.

Urna conține 2 bile albe, 3 roșii și 5 albastre de aceeași dimensiune. Care este probabilitatea ca o minge trasă la întâmplare dintr-o urnă să fie colorată (nu albă)?

1) Fie evenimentul A extragerea mingii roșii din urnă,
evenimentul B - desenarea unei bile albastre. Apoi evenimentul (A + B)
există o extracție a unei bile colorate dintr-o urnă.

2) P (A) \u003d 3/10, P (B) \u003d 5/10.

3) Evenimentele A și B sunt inconsistente, doar din moment ce
o minge. Apoi: P (A + B) \u003d P (A) + P (B) \u003d 0,3 + 0,5 \u003d 0,8.

Exemplul 21.

Urna conține 7 bile albe și 3 bile negre. Care este probabilitatea: 1) îndepărtarea unei bile albe din urnă (eveniment A); 2) scoaterea unei bile albe din urnă după scoaterea unei bile din ea, care este albă (evenimentul B); 3) îndepărtarea unei bile albe din urnă după scoaterea unei bile din ea, care este neagră (evenimentul C)?

1) P (A) \u003d \u003d 0,7 (vezi probabilitatea clasică).

2) Р В (А) \u003d \u003d 0, (6).

3) Р С (А) \u003d | \u003d 0, (7).

Exemplul 22.

Mecanismul este asamblat din trei părți identice și este considerat inoperant dacă toate cele trei părți sunt defecte. Au mai rămas 15 piese în atelierul de asamblare, dintre care 5 sunt non-standard (defecte). Care este probabilitatea ca un mecanism asamblat din părțile rămase luate la întâmplare să fie inoperant?

1) Notăm evenimentul dorit prin A, alegerea primei părți non-standard prin A 1, a doua prin A 2, a treia prin A 3

2) Evenimentul A va apărea dacă se întâmplă atât evenimentul A 1 cât și evenimentul A 2 și evenimentul A 3, adică

A \u003d A 1 A 2 A 3,

întrucât logicul „și” corespunde produsului (vezi secțiunea „Algebra propozițiilor. Operații logice”).

3) Evenimentele A 1, A 2, A 3 sunt dependente, prin urmare P (A 1 A 2 A 3) \u003d
\u003d P (A 1) P (A 2 / A 1) P (A 3 / A 1 A 2).

4) P (A 1) \u003d, P (A 2 / A 1) \u003d, P (A 3 / A 1 A 2) \u003d. Atunci

P (A 1 A 2 A 3) \u003d 0,022.

Pentru evenimente independente: P (A B) \u003d P (A) P (B).

Pe baza celor de mai sus, criteriul pentru independența a două evenimente A și B:

P (A) \u003d P B (A) \u003d P (A), P (B) \u003d P A (B) \u003d P (B).

Exemplul 23.

Probabilitatea de a atinge ținta de către primul shooter (eveniment A) este de 0,9, iar probabilitatea de a atinge ținta de către cel de-al doilea shooter (eveniment B) este de 0,8. Care este probabilitatea ca ținta să fie lovită de cel puțin un shooter?

1) Fie C evenimentul care ne interesează; evenimentul opus este că ambii trăgători dor.

3) Deoarece un shooter nu interferează cu celălalt atunci când trage, evenimentele sunt independente.

Avem: P () \u003d P () P () \u003d \u003d (1 - 0,9) (1 - 0,8) \u003d

0,1 0,2 = 0,02.

4) P (C) \u003d 1 -P () \u003d 1 -0,02 \u003d 0,98.

Formula probabilității totale

Să se întâmple evenimentul A ca rezultat al manifestării unui singur eveniment H i (i \u003d 1,2, ... n) dintr-un grup complet de evenimente incompatibile H 1, H 2, ... H n. Evenimentele din acest grup sunt denumite în mod obișnuit ipoteze.

Formula probabilității totale. Probabilitatea evenimentului A este egală cu suma produselor împerecheate ale probabilităților tuturor ipotezelor care formează grupul complet de probabilitățile condiționate corespunzătoare ale acestui eveniment A:

P (A) \u003d , unde \u003d 1.

Exemplul 24.

Există 3 urne identice. În prima - 2 bile albe și 1 neagră, în a doua - 3 bile albe și 1 neagră, în a treia urnă - 2 bile albe și 2 bile negre. 1 minge este aleasă din urna aleasă la întâmplare. Care este probabilitatea ca el să devină alb?

Toate urnele sunt considerate aceleași, prin urmare, probabilitatea de a alege prima urnă este

Р (H i) \u003d 1/3, unde i \u003d 1, 2, 3.

2) Probabilitatea de a scoate bila albă din prima urnă: (A) \u003d.

Probabilitatea de a scoate bila albă din a doua urnă: (A) \u003d.

Probabilitatea de a scoate bila albă din a treia urnă: (A) \u003d.

3) Căutarea probabilității:

P (A) \u003d =0.63(8)

Exemplul 25.

Magazinul primește produse de la trei fabrici de vânzare, ale căror cote relative sunt: \u200b\u200bI - 50%, II - 30%, III - 20%. Pentru produsele fabricilor, căsătoria este respectiv: I - 2%, P - 2%, III - 5%. Care este probabilitatea ca un produs al acestui produs, achiziționat accidental într-un magazin, să fie de bună calitate (eveniment A)?

1) Următoarele trei ipoteze sunt posibile aici: H 1, H 2, H 3 -
articolul achiziționat a fost elaborat respectiv la fabricile I, II, III; sistemul acestor ipoteze este complet.

Probabilități: P (H 1) \u003d 0,5; P (H2) \u003d 0,3; P (H 3) \u003d 0,2.

2) Probabilitățile condiționale corespunzătoare ale evenimentului A sunt egale: (A) \u003d 1-0,02 \u003d 0,98; (A) \u003d 1-0,03 \u003d 0,97; (A) \u003d \u003d 1-0,05 \u003d 0,95.

3) Conform formulei probabilității totale, avem: P (A) \u003d 0,5 0,98 + + 0,3 0,97 + 0,2 0,95 \u003d 0,971.

Formula de probabilitate posterioară (Formula Bayes)

Să luăm în considerare situația.

Există un grup complet de ipoteze inconsistente H 1, H 2, ... H n, probabilitățile cărora (i \u003d 1, 2, ... n) sunt cunoscute înainte de experiment (probabilitățile sunt a priori). Se efectuează un experiment (test), în urma căruia este înregistrată apariția evenimentului A și se știe că ipotezele noastre au atribuit anumite probabilități acestui eveniment (i \u003d 1, 2, ... n). Care vor fi probabilitățile acestor ipoteze după experiment (probabilități a posteriori)?

Răspunsul la această întrebare este dat de formula de probabilitate posterioară (formula lui Bayes):

, unde i \u003d 1,2, ... p.

Exemplul 26.

Probabilitatea de a lovi o aeronavă cu o singură lovitură pentru primul sistem de rachete (evenimentul A) este de 0,2, iar pentru al doilea (evenimentul B) - 0,1. Fiecare dintre complexe declanșează o singură lovitură și se înregistrează o lovitură în avion (evenimentul C). Care este probabilitatea ca o lovitură de succes să aparțină primului sistem de rachete?

Decizie.

1) Înainte de experiment, sunt posibile patru ipoteze:

H 1 \u003d А В - planul este lovit de primul complex și planul este lovit de al doilea complex (produsul corespunde logicii „și”),

H 2 \u003d А В - avionul este lovit de primul complex și avionul nu este lovit de al doilea complex,

H 3 \u003d А В - avionul nu este lovit de primul complex și avionul este lovit de al doilea complex,

H 4 \u003d А В - avionul nu este lovit de primul complex și avionul nu este lovit de al doilea complex.

Aceste ipoteze formează un grup complet de evenimente.

2) Probabilități corespunzătoare (cu acțiune independentă a complexelor):

P (H 1) \u003d 0,2 0,1 \u003d 0,02;

P (H2) \u003d 0,2 (1-0,1) \u003d 0,18;

P (H 3) \u003d (1-0,2) 0,1 \u003d 0,08;

P (H 4) \u003d (1-0,2) (1-0,1) \u003d 0,72.

3) Deoarece ipotezele formează un grup complet de evenimente, egalitatea \u003d 1 trebuie îndeplinită.

Verificăm: P (H 1) + P (H 2) + P (H 3) + P (H 4) \u003d 0,02 + 0,18 + + 0,08 + 0,72 \u003d 1, astfel grupul în cauză ipoteza este corectă.

4) Probabilitățile condiționate pentru evenimentul observat С în cadrul acestor ipoteze vor fi: (С) \u003d 0, deoarece în funcție de starea problemei a fost înregistrat un hit, iar ipoteza H 1 presupune două hituri:

(C) \u003d 1; (C) \u003d 1.

(С) \u003d 0, deoarece, conform declarației problemei, a fost înregistrat un hit și ipoteza H 4 nu presupune niciun hit. În consecință, ipotezele H 1 și H 4 dispar.

5) Probabilitățile ipotezelor H 2 și H 3 sunt calculate utilizând formula Bayes:

0,7, 0,3.

Astfel, cu o probabilitate de aproximativ 70% (0,7), se poate argumenta că o lovitură reușită aparține primului sistem de rachete.

5.4. Variabile aleatoare. Legea distribuției unei variabile aleatorii discrete

Destul de des în practică, sunt luate în considerare astfel de teste, ca urmare a implementării cărora se obține aleator un anumit număr. De exemplu, atunci când arunci un zar, numărul de puncte scade de la 1 la 6, când iei 6 cărți de pe pachet, poți obține de la 0 la 4 ași. Pentru o anumită perioadă de timp (să zicem, o zi sau o lună), un anumit număr de infracțiuni se înregistrează în oraș, se produce un anumit număr de accidente rutiere. Un foc este tras din pistol. Intervalul proiectilului capătă, de asemenea, o anumită valoare la întâmplare.

În toate aceste teste, ne confruntăm cu așa-numitele variabile aleatorii.

Se numește o valoare numerică care ia una sau alta valoare ca rezultat al implementării testului în mod aleatoriu variabilă aleatorie.

Conceptul de variabilă aleatorie joacă un rol foarte important în teoria probabilității. Dacă teoria „clasică” a probabilității a studiat în principal evenimente aleatorii, atunci teoria modernă a probabilității se ocupă în principal de variabile aleatorii.

În cele ce urmează, vom desemna variabile aleatorii prin majuscule latine X, Y, Z etc., și valorile posibile ale acestora - prin minusculele corespunzătoare x, y, z. De exemplu, dacă o variabilă aleatorie are trei valori posibile, atunci le vom denumi astfel: ,,.

Deci, exemple de variabile aleatorii pot fi:

1) numărul de puncte scăzute pe marginea superioară a zarurilor:

2) numărul de ași, când se iau 6 cărți de pe pachet;

3) numărul infracțiunilor înregistrate pe zi sau lună;

4) numărul de lovituri pe țintă cu patru lovituri de la pistol;

5) distanța pe care o va zbura proiectilul atunci când este tras din pistol;

6) creșterea unei persoane luate la întâmplare.

Se poate observa că în primul exemplu variabila aleatoare poate lua una din șase valori posibile: 1, 2, 3, 4, 5 și 6. În al doilea și al patrulea exemplu, numărul de valori posibile ale variabilei aleatoare este de cinci: 0, 1, 2, 3, 4 În al treilea exemplu, valoarea variabilei aleatoare poate fi orice număr (teoretic) natural sau 0. În exemplele a cincea și a șasea, variabila aleatoare poate lua orice valoare reală dintr-un anumit interval ( și, b).

Dacă o variabilă aleatorie poate lua un set finit sau numărabil de valori, atunci se numește discret (distribuit discret).

Continuu o variabilă aleatorie este o variabilă aleatorie care poate lua toate valorile dintr-un anumit interval finit sau infinit.

Pentru a specifica o variabilă aleatorie, nu este suficient să enumerați toate valorile sale posibile. De exemplu, în al doilea și al treilea exemplu, variabilele aleatoare ar putea lua aceleași valori: 0, 1, 2, 3 și 4. Cu toate acestea, probabilitățile cu care aceste variabile aleatoare își iau valorile vor fi complet diferite. Prin urmare, pentru a specifica o variabilă discretă aleatorie, pe lângă o listă cu toate valorile posibile ale acesteia, trebuie să indicați și probabilitățile acestora.

Se numește corespondența dintre valorile posibile ale unei variabile aleatorii și probabilitățile acestora legea distributiei variabila aleatorie discreta. , ..., X \u003d

Poligonul de distribuție, precum și seria de distribuție, caracterizează complet variabila aleatorie. Este o formă a legii distribuției.

Exemplul 27. O monedă este aruncată la întâmplare. Construiți o serie și un poligon de distribuție a numărului de embleme căzute.

O variabilă aleatorie egală cu numărul stemelor abandonate poate lua două valori: 0 și 1. Valoarea 1 corespunde unui eveniment - a fost scăzută o stemă, o valoare 0 - la o coadă. Probabilitățile de a obține stema și căderea cozilor sunt aceleași și egale. Acestea. probabilitățile cu care variabila aleatorie ia valorile 0 și 1 sunt egale. Seria de distribuție este după cum urmează:

X
p