Distribuția sumei variabilelor aleatoare distribuite normal. Însumarea variabilelor aleatoare independente. Exemplu: model pentru numărul de decese din accidente de aviație

07.07.2022

Să folosim metoda generală de mai sus pentru a rezolva o problemă, și anume, pentru a găsi legea distribuției pentru suma a două variabile aleatoare. Există un sistem de două variabile aleatoare (X,Y) cu densitatea distribuției f(x,y). Se consideră suma variabilelor aleatoare X și Y: și se află legea de distribuție a valorii Z. Pentru a face acest lucru, construim o dreaptă pe planul xOy, a cărei ecuație este (Fig. 7). Aceasta este o linie dreaptă care taie segmente egale cu z pe axe. Linia dreaptă împarte planul xy în două părți; în dreapta și deasupra acestuia; stânga și dedesubt.

Regiunea D în acest caz este partea din stânga jos a planului xOy, umbrită în Fig. 7. Conform formulei (16) avem:

Diferențiând această expresie față de variabila z inclusă în limita superioară a integralei interioare, obținem:

Aceasta este formula generală pentru densitatea de distribuție a sumei a două variabile aleatoare.

Din motive de simetrie a problemei față de X și Y, putem scrie o altă versiune a aceleiași formule:

care este echivalent cu primul și poate fi folosit în schimb.

Un exemplu de alcătuire a legilor normale. Luați în considerare două variabile aleatoare independente X și Y, supuse legilor normale:

Este necesar să se producă o compoziție a acestor legi, adică să se găsească legea de distribuție a cantității: .

Aplicam formula generala pentru alcatuirea legilor de distributie:

Dacă deschidem parantezele din exponentul integrandului și aducem termeni similari, obținem:

Înlocuirea acestor expresii în formula pe care am întâlnit-o deja

dupa transformari obtinem:

iar aceasta nu este altceva decât o lege normală cu un centru de dispersie

și abaterea standard

La aceeași concluzie se poate ajunge mult mai ușor cu ajutorul următorului raționament calitativ.

Fără a deschide parantezele și fără a efectua transformări în integrandul (17), ajungem imediat la concluzia că exponentul este un trinom pătrat față de x de forma

unde valoarea lui z nu este deloc inclusă în coeficientul A, coeficientul B este inclus în primul grad, iar coeficientul C este pătrat. Având în vedere acest lucru și aplicând formula (18), concluzionăm că g(z) este o funcție exponențială al cărei exponent este un trinom pătrat în raport cu z și densitatea distribuției; de acest fel corespunde legii normale. Astfel, noi; ajungem la o concluzie pur calitativă: legea distribuţiei lui z trebuie să fie normală. Pentru a afla parametrii acestei legi - și - folosim teorema adunării așteptărilor matematice și teorema adunării varianțelor. Prin teorema de adunare a așteptărilor matematice. Prin teorema de adunare a dispersiei, sau de unde urmează formula (20).

Trecând de la abaterile rădăcină-medie-pătratică la abaterile probabile proporționale cu acestea, vom primi: .

Astfel, am ajuns la următoarea regulă: atunci când sunt compuse legi normale, se obține din nou o lege normală și se însumează așteptările și variațiile matematice (sau abaterile probabile la pătrat).

Regula de compoziție pentru legile normale poate fi generalizată în cazul unui număr arbitrar de variabile aleatoare independente.

Dacă există n variabile aleatoare independente: supuse legilor normale cu centre de împrăștiere și abateri standard, atunci valoarea este supusă și legii normale cu parametri

În loc de formula (22), poate fi utilizată o formulă echivalentă:

Dacă sistemul de variabile aleatoare (X, Y) este distribuit conform legii normale, dar mărimile X, Y sunt dependente, atunci este ușor de demonstrat, la fel ca înainte, pe baza formulei generale (6.3.1), că legea de distribuţie a mărimii este şi o lege normală. Centrele de dispersie sunt încă adăugate algebric, dar pentru abaterile standard regula devine mai complicată: , unde, r este coeficientul de corelație al valorilor X și Y.

Când se adună mai multe variabile aleatoare dependente, care în totalitatea lor respectă legea normală, legea de distribuție a sumei se dovedește a fi și ea normală cu parametrii

sau abateri probabile

unde este coeficientul de corelație al mărimilor X i , X j , iar însumarea se extinde la toate combinațiile diferite de mărimi pe perechi.

Am văzut o proprietate foarte importantă a legii normale: atunci când legile normale sunt combinate, se obține din nou o lege normală. Aceasta este așa-numita „proprietate de stabilitate”. Se spune că o lege de distribuție este stabilă dacă, prin alcătuirea a două legi de acest tip, se obține din nou o lege de același tip. Am arătat mai sus că legea normală este stabilă. Foarte puține legi de distribuție au proprietatea de stabilitate. Legea densității uniforme este instabilă: când am compus două legi ale densității uniforme în secțiuni de la 0 la 1, am obținut legea lui Simpson.

Stabilitatea unei legi normale este una dintre condițiile esențiale pentru aplicarea sa largă în practică. Cu toate acestea, proprietatea de stabilitate, pe lângă cea normală, este deținută și de alte legi de distribuție. O caracteristică a legii normale este că atunci când este compus un număr suficient de mare de legi de distribuție practic arbitrare, legea totală se dovedește a fi arbitrar apropiată de cea normală, indiferent de care au fost legile de distribuție a termenilor. Acest lucru poate fi ilustrat, de exemplu, prin alcătuirea a trei legi ale densității uniforme în secțiuni de la 0 la 1. Legea de distribuție rezultată g(z) este prezentată în fig. 8. După cum se poate observa din desen, graficul funcției g (z) este foarte asemănător cu graficul legii normale.

Definiție. Variabilele aleatoare Х 1 , Х 2 , …, Х n se numesc independente dacă pentru orice x 1, x 2 , …, x n evenimentele sunt independente

(ω: X 1 (ω)< x},{ω: Х 2 (ω) < x},…, {ω: Х n (ω) < x n }.

Rezultă direct din definiție că pentru variabile aleatoare independente X 1, X 2, …, X n funcția de distribuție n-variabilă aleatoare dimensională X = X 1, X 2, …, X n este egal cu produsul funcțiilor de distribuție ale variabilelor aleatoare X 1, X 2, …, X n

F(x 1 , x2, …, x n) = F(x 1)F(x2)…F(x n). (1)

Să diferențiem egalitatea (1) n ori prin x 1 , x2, …, x n, primim

p(x 1 , x2, …, x n) = p(x 1)p(x2)…p(x n). (2)

O altă definiție a independenței variabilelor aleatoare poate fi dată.

Dacă legea distribuției unei variabile aleatoare nu depinde de ce valori posibile au luat alte variabile aleatoare, atunci astfel de variabile aleatoare sunt numite independente în agregat.

De exemplu, sunt achiziționate două bilete de loterie de ediții diferite. Lăsa X– valoarea câștigurilor pentru primul bilet, Y– suma câștigurilor pentru al doilea bilet. variabile aleatoare Xși Y- independent, deoarece câștigarea unui bilet nu va afecta legea de distribuire a celuilalt. Dar dacă biletele sunt de aceeași problemă, atunci Xși Y- dependent.

Două variabile aleatoare se numesc independente dacă legea de distribuție a uneia dintre ele nu se modifică în funcție de valorile posibile luate de cealaltă variabilă.

Teorema 1(convoluții) sau „teorema privind densitatea sumei a 2 variabile aleatoare”.

Lăsa X = (X 1;X 2) este o variabilă aleatoare bidimensională continuă independentă, Y = X 1+ X 2. Apoi densitatea distribuției

Dovada. Se poate arăta că dacă , atunci

Unde X = (X 1 , X 2 , …, X n). Atunci dacă X = (X 1 , X 2), apoi funcția de distribuție Y = X 1 + X 2 poate fi definit după cum urmează (Fig. 1) -

În conformitate cu definiția, funcția este densitatea de distribuție a variabilei aleatoare Y = X 1 + X 2 , i.e.

py (t) = care urma să fie dovedit.

Să derivăm o formulă pentru găsirea distribuției de probabilitate a sumei a două variabile aleatoare discrete independente.

Teorema 2. Lăsa X 1 , X 2 – variabile aleatoare discrete independente,

Dovada. Imaginați-vă un eveniment A x = {X 1 +X 2 = X) ca sumă de evenimente incompatibile

A x = å( X 1 = X eu ; X 2 = X– X i).

pentru că X 1 , X 2 - independent atunci P(X 1 = X eu ; X 2 = X– X i) = P(X 1 = X i) P(X 2 = x-x atunci eu

P(A x) = P(å( X 1 = X eu ; X 2 = x – x i)) = å( P(X 1 = x i) P(X 2 = x-x i))

Q.E.D.

Exemplul 1 Lăsa X 1 , X 2 - variabile aleatoare independente având o distribuție normală cu parametri N(0;1); X 1 , X 2 ~ N(0;1).

Să găsim densitatea de distribuție a sumei lor (notăm X 1 = X, Y = X 1 +X 2)

Este ușor de observat că integrandul este densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare normale cu parametri A= , , adică integrala este 1.

Funcţie py(t) este densitatea distribuției normale cu parametrii a = 0, s = . Astfel, suma variabilelor aleatoare normale independente cu parametrii (0,1) are o distribuție normală cu parametrii (0,), adică. Y = X 1 + X 2 ~ N(0;).

Exemplul 2. Să fie date, atunci, două variabile aleatoare independente discrete cu distribuție Poisson

Unde k, m, n = 0, 1, 2, …,¥.

Prin teorema 2 avem:

Exemplul 3 Lăsa X 1, X 2 - variabile aleatoare independente cu distribuţie exponenţială . Să găsim densitatea Y= X 1 +X 2 .

Denota X = X 1. Din moment ce X 1, X 2 sunt variabile aleatoare independente, atunci folosim „teorema de convoluție”

Se poate arăta că dacă suma ( Х i au o distribuție exponențială cu parametrul l), atunci Y= are o distribuție numită distribuție Erlang ( n- 1) comanda. Această lege a fost obținută prin modelarea funcționării centralelor telefonice în primele lucrări despre teoria cozilor.

În statistica matematică, se folosesc adesea legile de distribuție a variabilelor aleatoare care sunt funcții ale variabilelor aleatoare normale independente. Să luăm în considerare trei legi întâlnite cel mai frecvent în modelarea fenomenelor aleatorii.

Teorema 3. Dacă variabilele aleatoare sunt independente X 1, ..., X n, atunci funcțiile acestor variabile aleatoare sunt și ele independente Y 1 = f 1 (X 1), ...,Y n = f n(X n).

Distribuția Pearson(de la 2 -distributie). Lăsa X 1, ..., X n sunt variabile aleatoare normale independente cu parametri A= 0, s = 1. Compuneți o variabilă aleatoare

În acest fel,

Se poate arăta că densitatea pentru x > 0 are forma , unde k n este un coeficient pentru condiția care trebuie îndeplinită. Ca n ® ¥, distribuția Pearson tinde spre distribuția normală.

Fie Х 1 , Х 2 , …, Хn ~ N(a,s), apoi variabile aleatoare ~ N(0,1). Prin urmare, variabila aleatoare are o distribuție c 2 cu n grade de libertate.

Distribuția Pearson este tabelată și utilizată în diverse aplicații ale statisticii matematice (de exemplu, atunci când se testează ipoteza conform căreia legea distribuției este consecventă).

TEMA 3
	conceptul de funcție de distribuție
	așteptări și variații matematice
	distribuție uniformă (dreptunghiulară).
	distribuție normală (gaussiană).
	Distributie
	t- Repartizarea elevilor
	F- distributie
	distribuția sumei a două variabile aleatoare independente
	exemplu: distribuția sumei a două independente cantități uniform distribuite
	transformarea variabilei aleatoare
	exemplu: distribuția unei unde armonice cu faza aleatorie
	teorema limitei centrale
	momentele unei variabile aleatoare și proprietățile acestora
SCOPUL ciclului PRELEȚII:		RAPORTAȚI INFORMAȚII INIȚIALE DESPRE CELE MAI IMPORTANTE FUNCȚII DE DISTRIBUȚIE ȘI PROPRIETĂȚILE LOR

FUNCȚII DE DISTRIBUȚIE

Lăsa x(k) este o variabilă aleatoare. Apoi pentru orice valoare fixă x un eveniment aleatoriu x(k) X definită ca ansamblul tuturor rezultatelor posibile k astfel încât x(k) x. În ceea ce privește măsura probabilității inițială dată pe spațiul eșantion, funcția de distribuțieP(x) definită ca probabilitatea atribuită unui set de puncte k x(k) x. Rețineți că setul de puncte k satisfacerea inegalitatii x(k) x, este o submulțime a mulțimii de puncte care satisfac inegalitatea x(k) . Oficial

Este evident că

Dacă intervalul de valori ale variabilei aleatoare este continuu, ceea ce se presupune mai jos, atunci probabilitate densitate(unidimensional) p(x) este determinată de relația diferențială

(4)

Prin urmare,

(6)

Pentru a putea lua în considerare cazuri discrete este necesar să se admită prezența funcțiilor delta în compoziția densității de probabilitate.

VALOREA ESTIMATA

Fie variabila aleatoare x(k) ia valori din intervalul de la -  la + . Rău(in caz contrar, valorea estimata sau valorea estimata) x(k) se calculează folosind trecerea corespunzătoare la limita în suma produselor valorilor x(k) cu privire la probabilitatea producerii acestor evenimente:

(8)

Unde E- așteptarea matematică a expresiei între paranteze drepte după index k. Așteptările matematice ale unei funcții continue reale cu o singură valoare este definită în mod similar g(X) dintr-o variabilă aleatoare x(k)

(9)

Unde p(x)- densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare x(k).În special, luarea g(x)=x, primim pătrat mediu x(k) :

(10)

Dispersiax(k) definit ca pătratul mediu al diferenței x(k)și valoarea sa medie,

adică în acest caz g(x)= și

Prin definitie, deviație standard variabilă aleatorie x(k), notat , este valoarea pozitivă a rădăcinii pătrate a varianței. Abaterea standard este măsurată în aceleași unități ca și media.

CELE MAI IMPORTANTE FUNCȚII DE DISTRIBUȚIE

DISTRIBUȚIE UNIFORMĂ (RECTANGULARĂ).

Să presupunem că experimentul constă într-o selecție aleatorie a unui punct din intervalul [ a,b] , inclusiv punctele finale ale acestuia. În acest exemplu, ca valoare a unei variabile aleatoare x(k) puteți lua valoarea numerică a punctului selectat. Funcția de distribuție corespunzătoare are forma

Prin urmare, densitatea de probabilitate este dată de formula

În acest exemplu, calculul mediei și varianței folosind formulele (9) și (11) dă

DISTRIBUȚIE NORMALĂ (GAUSSIANĂ).

, - medie aritmetică, - RMS.

Valoarea lui z corespunzătoare probabilității P(z)=1-, adică.

CHI - DISTRIBUȚIE PĂTRATĂ

Lăsa - n variabile aleatoare independente, fiecare dintre acestea având o distribuție normală cu medie zero și varianță unitară.

Variabilă aleatoare chi-pătrat cu n grade de libertate.

probabilitate densitate .

DF: 100 - puncte procentuale - distribuțiile se notează cu , i.e.

media și varianța sunt egale

t - DISTRIBUȚII STUDENTILOR

y, z sunt variabile aleatoare independente; y - are - distribuție, z - distribuit normal cu medie zero și varianță unitară.

valoare – are t- Distribuția studentului cu n grade de libertate

DF: 100 - punct procentual t - este indicată distribuția

Media și varianța sunt egale

F - DISTRIBUȚIE

Variabile aleatoare independente; are - distributie cu grade de libertate; distribuţie cu grade de libertate. Valoare aleatoare:

F este o variabilă aleatoare distribuită cu și grade de libertate.

DF: 100 - punct procentual:

Media și varianța sunt egale:

DISTRIBUȚIA SUMEI

DOUĂ VARIABILE ALEATORII

Lăsa x(k)și y(k) sunt variabile aleatoare cu o densitate de probabilitate comună p(x,y). Aflați densitatea de probabilitate a sumei variabilelor aleatoare

La un fix X avem y=z–x. De aceea

La un fix z valorile X rulați intervalul de la – la +. De aceea

(37)

de unde se poate observa că pentru a calcula densitatea dorită a sumei, trebuie să se cunoască densitatea de probabilitate comună inițială. În cazul în care un x(k)și y(k) sunt variabile aleatoare independente având densități și, respectiv, atunci și

(38)

EXEMPLU: SUMA A DOUĂ VARIABILE ALEATORII INDEPENDENTE, DISTRIBUITE UNIFORM.

Fie două variabile independente aleatoare să aibă densități de formă

In alte cazuri Să găsim densitatea de probabilitate p(z) a sumei lor z= x+ y.

Probabilitate densitate pentru adică pentru Prin urmare, X mai puțin decât z. În plus, nu este egal cu zero pentru Prin formula (38), constatăm că

Ilustrare:

Densitatea de probabilitate a sumei a două variabile aleatoare independente, distribuite uniform.

CONVERSIE ALEATORIE

VALORI

Lăsa x(t)- variabilă aleatoare cu densitate de probabilitate p(x), lăsați-l să plece g(x) este o funcție reală continuă cu o singură valoare a X. Luați în considerare mai întâi cazul în care funcția inversă x(g) este, de asemenea, o funcție continuă cu o singură valoare a g. Probabilitate densitate p(g), corespunzătoare unei variabile aleatorii g(x(k)) = g(k), poate fi determinată din densitatea de probabilitate p(x) variabilă aleatorie x(k)și derivată dg/dxîn ipoteza că derivata există și este diferită de zero, și anume:

(12)

Prin urmare, în limită dg/dx#0

(13)

Folosind această formulă, urmează pe partea dreaptă în loc de o variabilă Xînlocuiți valoarea corespunzătoare g.

Luați în considerare acum cazul în care funcția inversă x(g) este valabil n-funcţia valorificată a g, Unde n este un număr întreg și toate n valorile sunt la fel de probabile. Apoi

(14)

EXEMPLU:

DISTRIBUȚIA FUNCȚIEI ARMONICE.

Funcție armonică cu amplitudine fixă X si frecventa f va fi o variabilă aleatorie dacă unghiul său de fază inițial  =  (k)- valoare aleatorie. În special, lasă t fix și egal t o, iar variabila aleatoare armonică are forma

Să ne prefacem că  (k) are o densitate de probabilitate uniformă p( ) drăguț

Aflați densitatea de probabilitate p(x) variabilă aleatorie x(k).

În acest exemplu, funcția directă X( ) fără ambiguitate și funcția inversă  (X) ambiguu.

Un obiect extrem de important al teoriei probabilităților este suma variabilelor aleatoare independente. Studiul distribuției sumelor variabilelor aleatoare independente este cel care a pus bazele dezvoltării metodelor analitice ale teoriei probabilităților.

Distribuția sumei variabilelor aleatoare independente

În această secțiune, vom obține o formulă generală care ne permite să calculăm funcția de distribuție a sumei variabilelor aleatoare independente și să luăm în considerare câteva exemple.

Distribuția sumei a două variabile aleatoare independente. Formula de convoluție

variabile aleatoare independente cu funcţii de distribuţie

respectiv

Apoi funcția de distribuție F sume ale variabilelor aleatoare

poate fi calculat folosind următoarea formulă ( formula de convoluție)

Pentru a demonstra acest lucru, folosim teorema lui Fubini.

A doua parte a formulei este demonstrată în mod similar.

Densitatea de distribuție a sumei a două variabile aleatoare independente

Dacă distribuțiile ambelor variabile aleatoare au densități, atunci densitatea sumei acestor variabile aleatoare poate fi calculată prin formula

Dacă distribuția unei variabile aleatoare (sau ) are o densitate, atunci densitatea sumei acestor variabile aleatoare poate fi calculată prin formula

Pentru a demonstra aceste afirmații, este suficient să folosim definiția densității.

Convoluții multiple

Calculul sumei unui număr finit de variabile aleatoare independente se realizează folosind aplicarea secvenţială a formulei de convoluţie. Funcția de distribuție a sumei k variabile aleatoare independente distribuite identic cu o funcție de distribuție F

numit k–convoluția pliului a funcției de distribuție Fși notat

Exemple de calcul al distribuției sumelor variabilelor aleatoare independente

În acest paragraf sunt date exemple de situații, la însumarea variabilelor aleatoare, se păstrează forma distribuției. Demonstrațiile sunt exerciții de însumare și calcul de integrale.

Sumele variabilelor aleatoare independente. Distributie normala

Sume ale variabilelor aleatoare independente.Distribuție binomială

Sume ale variabilelor aleatoare independente.distribuția Poisson

Sume ale variabilelor aleatoare independente Distribuția gamma

Procesul Poisson

o secvență de variabile aleatoare independente distribuite identic având o distribuție exponențială cu parametru

Secvență aleatorie de puncte

pe semiaxa nenegativă se numește Proces Poisson (punct)..

Să calculăm distribuția numărului de puncte

Procesul Poisson în intervalul (0,t)

echivalente, deci

Dar distribuția variabilei aleatoare

este o distribuție Erlang de ordin k, deci

Astfel, distribuția numărului de puncte ale procesului Poisson în intervalul (o,t) este o distribuție Poisson cu parametrul

Procesul Poisson este utilizat pentru a simula momentele apariției unor evenimente aleatoare - procesul de dezintegrare radioactivă, momentele de primire a apelurilor către centrala telefonică, momentele apariției clienților în sistemul de service, momentele de defecțiune a echipamentului.

Se consideră suma variabilelor aleatoare X și Y: și se află legea de distribuție a valorii Z. Pentru a face acest lucru, construim o dreaptă pe planul xOy, a cărei ecuație (Fig. 6.3.1). Aceasta este o linie dreaptă care decupează segmente egale cu z pe axe. Drept împarte planul xy în două părți; la dreapta si sus ; stânga și dedesubt

Regiunea D în acest caz este partea din stânga jos a planului xOy, umbrită în Fig. 6.3.1. Conform formulei (6.3.2) avem:

Aceasta este formula generală pentru densitatea de distribuție a sumei a două variabile aleatoare.

Din motive de simetrie a problemei față de X și Y, putem scrie o altă versiune a aceleiași formule:

Este necesar să se producă o compoziție a acestor legi, adică să se găsească legea de distribuție a cantității: .

Aplicam formula generala pentru alcatuirea legilor de distributie:

Înlocuirea acestor expresii în formula pe care am întâlnit-o deja

iar aceasta nu este altceva decât o lege normală cu un centru de dispersie

La aceeași concluzie se poate ajunge mult mai ușor cu ajutorul următorului raționament calitativ.

Fără a deschide parantezele și fără a face transformări în integrandul (6.3.3), ajungem imediat la concluzia că exponentul este un trinom pătrat față de x de forma

unde valoarea lui z nu este inclusă deloc în coeficientul A, este inclusă în coeficientul B de gradul I, iar coeficientul C este inclus în pătrat. Având în vedere acest lucru și aplicând formula (6.3.4), concluzionăm că g(z) este o funcție exponențială, al cărei exponent este un trinom pătrat în raport cu z și densitatea distribuției; de acest fel corespunde legii normale. Astfel, noi; ajungem la o concluzie pur calitativă: legea distribuţiei lui z trebuie să fie normală. Pentru a găsi parametrii acestei legi - și - folosiți teorema adunării așteptărilor matematice și teorema adunării varianțelor. Conform teoremei de adunare a așteptărilor matematice . Conform teoremei adunării varianței sau de unde urmează formula (6.3.7).

Trecând de la abaterile rădăcină pătratică medie la abaterile probabile proporționale cu acestea, obținem:
.

Regula de compoziție pentru legile normale poate fi generalizată în cazul unui număr arbitrar de variabile aleatoare independente.

Dacă există n variabile aleatoare independente: supuse legilor normale cu centre de dispersie și abateri standard, atunci valoarea este supusă și legii normale cu parametri

Dacă sistemul de variabile aleatoare (X, Y) este distribuit conform legii normale, dar mărimile X, Y sunt dependente, atunci este ușor de demonstrat, la fel ca înainte, pe baza formulei generale (6.3.1), că legea de distribuţie a mărimii este şi o lege normală. Centrele de împrăștiere adaugă în continuare algebric, dar pentru abaterile standard regula devine mai complicată: , unde, r este coeficientul de corelație al valorilor X și Y.

Când se adună mai multe variabile aleatoare dependente, care în totalitatea lor respectă legea normală, legea de distribuție a sumei se dovedește a fi și ea normală cu parametrii

unde este coeficientul de corelație al mărimilor X i , X j , iar însumarea se extinde la toate combinațiile diferite în perechi ale mărimilor.

Stabilitatea unei legi normale este una dintre condițiile esențiale pentru aplicarea sa largă în practică. Cu toate acestea, proprietatea de stabilitate, pe lângă cea normală, este deținută și de alte legi de distribuție. O caracteristică a legii normale este că atunci când este compus un număr suficient de mare de legi de distribuție practic arbitrare, legea totală se dovedește a fi arbitrar apropiată de cea normală, indiferent de care au fost legile de distribuție a termenilor. Acest lucru poate fi ilustrat, de exemplu, prin alcătuirea a trei legi ale densității uniforme în secțiuni de la 0 la 1. Legea de distribuție rezultată g(z) este prezentată în fig. 6.3.1. După cum se poate observa din desen, graficul funcției g(z) este foarte asemănător cu graficul legii normale.