Să ne întoarcem la graficul funcției y \u003d x 3 - 3x 2. Se consideră vecinătatea punctului x = 0, adică. un interval care conține acest punct. Este logic că există o astfel de vecinătate a punctului x \u003d 0 încât funcția y \u003d x 3 - 3x 2 din această vecinătate ia cea mai mare valoare în punctul x \u003d 0. De exemplu, pe intervalul (- 1; 1) cea mai mare valoare egală cu 0, funcția ia în punctul x = 0. Punctul x = 0 se numește punctul maxim al acestei funcții.

În mod similar, punctul x \u003d 2 se numește punctul minim al funcției x 3 - 3x 2, deoarece în acest moment valoarea funcției nu este mai mare decât valoarea sa într-un alt punct din vecinătatea punctului x \u003d 2 , de exemplu, cartierul (1,5; 2,5).

Astfel, punctul maxim al funcției f (x) este punctul x 0 dacă există o vecinătate a punctului x 0 - astfel încât inegalitatea f (x) ≤ f (x 0) să fie satisfăcută pentru tot x din această vecinătate .

De exemplu, punctul x 0 \u003d 0 este punctul maxim al funcției f (x) \u003d 1 - x 2, deoarece f (0) \u003d 1 și inegalitatea f (x) ≤ 1 este adevărată pentru toate valorile de x.

Punctul minim al funcției f (x) se numește punctul x 0 dacă există o astfel de vecinătate a punctului x 0 încât inegalitatea f (x) ≥ f (x 0) să fie satisfăcută pentru tot x din această vecinătate.

De exemplu, punctul x 0 \u003d 2 este punctul minim al funcției f (x) \u003d 3 + (x - 2) 2, deoarece f (2) \u003d 3 și f (x) ≥ 3 pentru toate x .

Punctele extreme se numesc puncte minime și puncte maxime.

Să ne întoarcem la funcția f(x), care este definită într-o vecinătate a punctului x 0 și are o derivată în acest punct.

Dacă x 0 este un punct extrem al unei funcții diferențiabile f (x), atunci f "(x 0) \u003d 0. Această afirmație se numește teorema lui Fermat.

Teorema lui Fermat are o semnificație geometrică clară: în punctul extremum, tangenta este paralelă cu axa x și, prin urmare, panta ei.
f „(x 0) este zero.

De exemplu, funcția f (x) \u003d 1 - 3x 2 are un maxim în punctul x 0 \u003d 0, derivata sa f "(x) \u003d -2x, f "(0) \u003d 0.

Funcția f (x) \u003d (x - 2) 2 + 3 are un minim în punctul x 0 \u003d 2, f "(x) \u003d 2 (x - 2), f "(2) \u003d 0 .

Rețineți că dacă f "(x 0) \u003d 0, atunci acest lucru nu este suficient pentru a afirma că x 0 este în mod necesar punctul extremum al funcției f (x).

De exemplu, dacă f (x) \u003d x 3, atunci f "(0) \u003d 0. Cu toate acestea, punctul x \u003d 0 nu este un punct extrem, deoarece funcția x 3 crește pe întreaga axă reală.

Deci, punctele extreme ale unei funcții diferențiabile trebuie căutate numai printre rădăcinile ecuației
f "(x) \u003d 0, dar rădăcina acestei ecuații nu este întotdeauna un punct extrem.

Punctele staționare sunt puncte în care derivata unei funcții este egală cu zero.

Astfel, pentru ca punctul x 0 să fie un punct extremum, este necesar ca acesta să fie un punct staționar.

Luați în considerare condiții suficiente pentru ca un punct staționar să fie un punct extremum, de exemplu. condiţiile în care un punct staţionar este un punct minim sau maxim al unei funcţii.

Dacă derivata din stânga punctului staționar este pozitivă, iar la dreapta este negativă, adică. derivata schimbă semnul „+” în semnul „-” atunci când trece prin acest punct, atunci acest punct staționar este punctul maxim.

Într-adevăr, în acest caz, la stânga punctului staționar, funcția crește, iar la dreapta, scade, adică. acest punct este punctul maxim.

Dacă derivata își schimbă semnul „-” în semnul „+” atunci când trece printr-un punct staționar, atunci acest punct staționar este un punct minim.

Dacă derivata nu își schimbă semnul la trecerea printr-un punct staționar, i.e. derivata este pozitivă sau negativă la stânga și la dreapta punctului staționar, atunci acest punct nu este un punct extremum.

Să luăm în considerare una dintre sarcini. Găsiți punctele extreme ale funcției f (x) \u003d x 4 - 4x 3.

Soluţie.

1) Găsiți derivata: f "(x) \u003d 4x 3 - 12x 2 \u003d 4x 2 (x - 3).

2) Găsiți puncte staționare: 4x 2 (x - 3) \u003d 0, x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3.

3) Utilizând metoda intervalului, stabilim că derivata f "(x) \u003d 4x 2 (x - 3) este pozitivă pentru x\u003e 3, negativă pentru x< 0 и при 0 < х < 3.

4) Deoarece la trecerea prin punctul x 1 \u003d 0, semnul derivatei nu se schimbă, acest punct nu este un punct extremum.

5) Derivata schimbă semnul „-” în semnul „+” atunci când trece prin punctul x 2 \u003d 3. Prin urmare, x 2 \u003d 3 este punctul minim.

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Intervalele crescătoare și descrescătoare oferă informații foarte importante despre comportamentul unei funcții. Găsirea acestora face parte din procesul de explorare a funcțiilor și de trasare. În plus, punctelor extreme, la care există o schimbare de la creștere la scădere sau de la scădere la creștere, li se acordă o atenție deosebită atunci când se găsesc cele mai mari și mai mici valori ale funcției pe un anumit interval.

În acest articol, vom da definițiile necesare, vom formula un criteriu suficient pentru creșterea și scăderea unei funcții pe un interval și condiții suficiente pentru existența unui extremum și vom aplica toată această teorie la rezolvarea de exemple și probleme.

Navigare în pagină.

Funcția crescătoare și descrescătoare pe un interval.

Definiția unei funcții crescătoare.

Funcția y=f(x) crește pe intervalul X dacă pentru oricare și inegalitatea este satisfăcută. Cu alte cuvinte, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției.

Descreșterea definiției funcției.

Funcția y=f(x) scade pe intervalul X dacă pentru oricare și inegalitatea . Cu alte cuvinte, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției.

OBSERVAȚIE: dacă funcția este definită și continuă la capetele intervalului de creștere sau scădere (a;b) , adică la x=a și x=b , atunci aceste puncte sunt incluse în intervalul de creștere sau scădere. Acest lucru nu contrazice definițiile unei funcții crescătoare și descrescătoare pe intervalul X .

De exemplu, din proprietățile funcțiilor elementare de bază, știm că y=sinx este definit și continuu pentru toate valorile reale ale argumentului. Prin urmare, din creșterea funcției sinus pe interval, putem afirma creșterea pe interval .

Puncte extreme, funcția extremă.

Punctul este numit punct maxim funcția y=f(x) dacă inegalitatea este adevărată pentru tot x din vecinătatea lui. Se numește valoarea funcției în punctul maxim functia maxima si noteaza .

Punctul este numit punct minim funcția y=f(x) dacă inegalitatea este adevărată pentru tot x din vecinătatea lui. Se numește valoarea funcției în punctul minim funcția minimă si noteaza .

Vecinătatea unui punct este înțeleasă ca interval , unde este un număr pozitiv suficient de mic.

Se numesc punctele minime și maxime puncte extremum, iar valorile funcției corespunzătoare punctelor extreme sunt numite funcția extremă.

Nu confundați extremele funcției cu valorile maxime și minime ale funcției.

În prima figură, valoarea maximă a funcției de pe segment este atinsă în punctul maxim și este egală cu maximul funcției, iar în a doua figură, valoarea maximă a funcției este atinsă în punctul x=b , care nu este punctul maxim.

Condiții suficiente pentru creșterea și scăderea funcțiilor.

Pe baza unor conditii (semne) suficiente pentru cresterea si scaderea functiei se gasesc intervalele de crestere si scadere a functiei.

Iată formulările semnelor funcțiilor crescătoare și descrescătoare pe interval:

• dacă derivata funcției y=f(x) este pozitivă pentru orice x din intervalul X , atunci funcția crește cu X ;
• dacă derivata funcției y=f(x) este negativă pentru orice x din intervalul X , atunci funcția este descrescătoare pe X .

Astfel, pentru a determina intervalele de creștere și scădere a unei funcții, este necesar:

Luați în considerare un exemplu de găsire a intervalelor de funcții crescătoare și descrescătoare pentru a clarifica algoritmul.

Exemplu.

Aflați intervalele de creștere și scădere ale funcției.

Soluţie.

Primul pas este să găsiți domeniul de aplicare al funcției. În exemplul nostru, expresia din numitor nu ar trebui să dispară, prin urmare, .

Să trecem la găsirea derivatei funcției:

Pentru a determina intervalele de creștere și scădere ale unei funcții după un criteriu suficient, rezolvăm inegalitățile și pe domeniul definiției. Să folosim o generalizare a metodei intervalului. Singura rădăcină reală a numărătorului este x = 2 , iar numitorul dispare la x=0 . Aceste puncte împart domeniul definiției în intervale în care derivata funcției își păstrează semnul. Să notăm aceste puncte pe linia numerică. Prin plusuri și minusuri, notăm condiționat intervalele la care derivata este pozitivă sau negativă. Săgețile de mai jos arată schematic creșterea sau scăderea funcției pe intervalul corespunzător.

În acest fel, și .

La punctul x=2 functia este definita si continua, deci trebuie adaugata atat intervalului ascendent cat si descendent. La punctul x=0, funcția nu este definită, deci acest punct nu este inclus în intervalele necesare.

Prezentăm graficul funcției pentru a compara rezultatele obținute cu aceasta.

Răspuns:

Funcția crește la , scade pe intervalul (0;2] .

Condiții suficiente pentru extremul unei funcții.

Pentru a găsi maximele și minimele unei funcții, puteți folosi oricare dintre cele trei semne extreme, desigur, dacă funcția le îndeplinește condițiile. Cel mai comun și convenabil este primul dintre ele.

Prima condiție suficientă pentru un extremum.

Fie funcția y=f(x) să fie diferențiabilă într-o vecinătate a punctului și să fie continuă în punctul însuși.

Cu alte cuvinte:

Algoritm pentru găsirea punctelor extreme după primul semn al funcției extremum.

• Găsirea domeniului de aplicare al funcției.
• Găsim derivata funcției pe domeniul definiției.
• Determinăm zerourile numărătorului, zerourile numitorului derivatei și punctele domeniului în care derivata nu există (toate punctele enumerate se numesc puncte de extremum posibil, trecând prin aceste puncte, derivata doar își poate schimba semnul).
• Aceste puncte împart domeniul funcției în intervale în care derivata își păstrează semnul. Determinăm semnele derivatei pe fiecare dintre intervale (de exemplu, calculând valoarea derivatei funcției în orice punct dintr-un singur interval).
• Alegem puncte la care funcția este continuă și, trecând prin care, derivata își schimbă semnul - sunt punctele extreme.

Prea multe cuvinte, să luăm în considerare câteva exemple de găsire de puncte extreme și extreme ale unei funcții folosind prima condiție suficientă pentru extremul unei funcții.

Exemplu.

Aflați extremele funcției.

Soluţie.

Domeniul de aplicare al funcției este întregul set de numere reale, cu excepția x=2 .

Găsim derivata:

Zerurile numărătorului sunt punctele x=-1 și x=5 , numitorul merge la zero la x=2 . Marcați aceste puncte pe dreapta numerică

Determinăm semnele derivatei pe fiecare interval, pentru aceasta calculăm valoarea derivatei în oricare dintre punctele fiecărui interval, de exemplu, în punctele x=-2, x=0, x=3 și x= 6 .

Prin urmare, derivata este pozitivă pe interval (în figură punem semnul plus peste acest interval). În mod similar

Prin urmare, punem un minus peste al doilea interval, un minus peste al treilea și un plus peste al patrulea.

Rămâne de ales punctele în care funcția este continuă și derivata ei își schimbă semnul. Acestea sunt punctele extreme.

La punctul x=-1 funcția este continuă și derivata își schimbă semnul de la plus la minus, prin urmare, conform primului semn al extremului, x=-1 este punctul maxim, corespunde maximului funcției .

La punctul x=5 funcția este continuă și derivata își schimbă semnul din minus în plus, prin urmare, x=-1 este punctul minim, corespunde minimului funcției .

Ilustrație grafică.

Răspuns:

Vă rugăm să rețineți: primul semn suficient al unui extremum nu necesită ca funcția să fie diferențiabilă în punctul însuși.

Exemplu.

Găsiți punctele extreme și extremele unei funcții .

Soluţie.

Domeniul funcției este întregul set de numere reale. Funcția în sine poate fi scrisă ca:

Să găsim derivata funcției:

La punctul x=0, derivata nu există, deoarece valorile limitelor unilaterale nu coincid atunci când argumentul tinde spre zero:

În același timp, funcția inițială este continuă în punctul x=0 (vezi secțiunea privind investigarea unei funcții pentru continuitate):

Găsiți valorile argumentului la care derivata dispare:

Marcam toate punctele obtinute pe dreapta reala si determinam semnul derivatei pe fiecare dintre intervale. Pentru a face acest lucru, calculăm valorile derivatei în puncte arbitrare ale fiecărui interval, de exemplu, când x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Acesta este,

Astfel, conform primului semn al unui extremum, punctele minime sunt , punctele maxime sunt .

Calculăm minimele corespunzătoare ale funcției

Calculăm maximele corespunzătoare ale funcției

Ilustrație grafică.

Răspuns:

.

Al doilea semn al extremului funcției.

După cum puteți vedea, acest semn al extremului funcției necesită existența unei derivate cel puțin până la ordinul doi în punctul .

Un algoritm simplu pentru găsirea extremelor...

• Găsirea derivatei unei funcții
• Echivalează această derivată cu zero
• Găsim valorile variabilei expresiei rezultate (valorile variabilei la care derivata este convertită la zero)
• Împărțim linia de coordonate în intervale cu aceste valori (în același timp, nu ar trebui să uităm de punctele de întrerupere, care trebuie, de asemenea, trasate pe linie), toate aceste puncte sunt numite puncte „suspecte” pentru extremum
• Calculăm pe care dintre aceste intervale derivata va fi pozitivă și pe care va fi negativă. Pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuiți valoarea din interval în derivată.

Dintre punctele suspectate de un extremum, este necesar să se găsească exact . Pentru a face acest lucru, ne uităm la golurile noastre pe linia de coordonate. Dacă, la trecerea printr-un punct, semnul derivatei se schimbă de la plus la minus, atunci acest punct va fi maxim, iar dacă de la minus la plus, atunci minim.

Pentru a găsi cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții, trebuie să calculați valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele extreme. Apoi alegeți cea mai mare și cea mai mică valoare.

Luați în considerare un exemplu
Găsim derivata și o echivalăm cu zero:

Aplicăm valorile obținute ale variabilelor la linia de coordonate și calculăm semnul derivatei pe fiecare dintre intervale. Ei bine, de exemplu, pentru prima luare-2 , atunci derivata va fi-0,24 , pentru a doua luare0 , atunci derivata va fi2 , iar pentru al treilea luăm2 , atunci derivata va fi-0,24. Punem jos semnele potrivite.

Vedem că la trecerea prin punctul -1, derivata își schimbă semnul din minus în plus, adică va fi un punct minim, iar la trecerea prin 1, respectiv din plus în minus, acesta este un punct maxim.

2) găsiți prima derivată;

3) găsirea punctelor critice;

2) Aflați derivata

5) Calculați valoarea funcției

2) Aflați derivata

5) Calculați extremul funcției

2) Calculați derivata

Vezi materiale:

Este dată o definiție a extremului unei funcții și este dat un exemplu despre cum să găsiți extremul unei funcții folosind un calculator online.

Exemplu

Există o funcție (x^3 -exp(x) + x)/(1+x^2).

Să-l punem în calculator funcția de cercetare online:

Obtinem urmatorul rezultat:

Pentru a găsi extremele, trebuie să rezolvați ecuația $$\frac(d)(d x) f(\left (x \right)) = 0$$ (derivata este egală cu zero), iar rădăcinile lui această ecuație va fi extremele acestei funcții: $ $\frac(d)(d x) f(\left (x \right)) = $$ Derivată prima $$- \frac(2 x)(\left(x^ (2) + 1\right)^(2 )) \left(x + x^(3) - e^(x)\right) + \frac(3 x^(2) - e^(x) + 1 )(x^(2) + 1) = 0$$ Rezolvați această ecuație
Rădăcinile acestei ecuații $$x_(1) = 0$$ $$x_(2) = 3,28103090528$$ $$x_(3) = -0,373548376565$$ Zn. extreme în puncte:
(0, -1)
(3.28103090528, 1.01984828342285)
(-0.373548376565, -0.977554081645009)
Intervalele funcției crescătoare și descrescătoare:
Să găsim intervalele în care funcția crește și descrește, precum și minimele și maximele funcției, pentru aceasta ne uităm la modul în care funcția se comportă la extreme cu cea mai mică abatere de la extremă:
Minime ale funcției la puncte: $$x_(3) = 0$$ Maxime ale funcției la puncte: $$x_(3) = 3,28103090528$$ $$x_(3) = -0,373548376565$$ Scăderi pe intervale
(-oo, -0,373548376565] U U

Găsirea maximelor și minimelor locale nu este completă fără diferențiere și este necesară în studiul funcției și construcția graficului acesteia.

Un punct se numește punct de maxim local (sau minim) al unei funcții dacă există o astfel de vecinătate a acestui punct care aparține domeniului de definiție al funcției și pentru toată această vecinătate inegalitatea (sau ) este satisfăcută.

Punctele de maxim și minim sunt numite puncte extreme ale funcției, iar valorile funcției la punctele extreme se numesc valorile sale extreme.

CONDIȚIE NECESARĂ PENTRU Extremum LOCAL:

Dacă o funcție are un extremum local într-un punct, atunci fie derivata este zero, fie nu există.

Punctele care îndeplinesc cerințele de mai sus se numesc puncte critice.

Cu toate acestea, în fiecare punct critic, funcția are un extremum.

Conceptul de extremum al unei funcții

Răspunsul la întrebarea: va fi punctul critic un punct extrem este dat de următoarea teoremă.

CONDIȚIE SUFICIENTĂ PENTRU EXISTENȚA UNUI Extrem de Funcție

Teorema I. Fie ca funcția să fie continuă într-un interval care conține un punct critic și diferențiată în toate punctele acestui interval (cu posibila excepție a punctului însuși).

Atunci, pentru un punct, funcția are un maxim dacă condiția este îndeplinită pentru argumentele că derivata este mai mare decât zero, iar pentru condiție, derivata este mai mică decât zero.

Dacă pentru derivata este mai mică decât zero și pentru este mai mare decât zero, atunci funcția are un minim pentru punct.

Teorema II. Fie funcția să fie de două ori diferențiabilă într-o vecinătate a punctului și derivata egală cu zero. Atunci, în acel punct, funcția are un maxim local dacă derivata a doua este mai mică decât zero și un minim local dacă invers.

Dacă derivata a doua este egală cu zero, atunci punctul poate să nu fie un punct extremum.

Când se investighează funcții pentru extreme, se folosesc ambele teoreme. Prima este mai simplă în practică, deoarece nu necesită găsirea derivatei a doua.

REGULI PENTRU GĂSIREA EXTREMELOR (MAXIM ȘI MINIM) CU PRIMUL DERIVAT

1) găsiți domeniul definiției;

2) găsiți prima derivată;

3) găsirea punctelor critice;

4) investigați semnul derivatei pe intervalele care au fost obținute din împărțirea domeniului de definiție în puncte critice.

În acest caz, punctul critic este un punct minim dacă, la trecerea prin el de la stânga la dreapta, derivata își schimbă semnul din negativ în pozitiv, în caz contrar este un punct maxim.

În loc de această regulă, puteți defini derivata a doua și investigați conform celei de-a doua teoreme.

5) calculați valorile funcției la punctele extreme.

Să luăm acum în considerare studiul unei funcții pentru extreme folosind exemple specifice.

Colecția V.Yu. Klepko, V.L. Golets „Matematică superioară în exemple și probleme”

1) Domeniul de definiție va fi mulțimea numerelor reale

2) Aflați derivata

3) Calculați punctele critice

Ele împart domeniul definiției în următoarele intervale

4) Investigam semnul derivatei pe intervalele gasite prin metoda substitutiei valorilor

Astfel, primul punct este punctul minim, iar al doilea este punctul maxim.

5) Calculați valoarea funcției

1) Domeniul de definiție va fi mulțimea numerelor reale, deci rădăcina este întotdeauna mai mare decât unu

iar funcția arctangentă este definită pe toată axa reală.

2) Aflați derivata

3) Din condiția ca derivata să fie egală cu zero, găsim punctul critic

Împarte domeniul în două intervale

4) Determinați semnul derivatei în fiecare dintre regiuni

Astfel, constatăm că în punctul critic funcția capătă o valoare minimă.

5) Calculați extremul funcției

1) Funcția este definită atunci când numitorul nu se transformă în zero

De aici rezultă că domeniul definiției este format din trei intervale

2) Calculați derivata

3) Echivalăm derivata cu zero și găsim punctele critice.

4) Setăm semnul derivatei în fiecare dintre regiuni prin înlocuirea valorilor corespunzătoare.

Astfel, punctul este un punct maxim local și un minim local. În avem o inflexiune a funcției, dar va fi mai mult material despre aceasta în articolele viitoare.

5) Găsiți valoarea în punctele critice

În ciuda faptului că valoarea funcției este , primul punct este un punct maxim local, iar arcul este un punct minim. Nu vă fie teamă dacă obțineți rezultate similare, atunci când determinați extreme locale, astfel de situații sunt acceptabile.

Vezi materiale:

Literatură

1. Bogomolov N.V. Lecții practice de matematică. - M .: Mai sus. scoala, 2009

2. P.T.Apanasov, M.I.Orlov. Culegere de probleme de matematică. - M .: Mai sus. scoala, 2009

Instrucțiuni

Investigarea funcţiilor cu ajutorul unei derivate. Găsirea intervalelor de monotonitate

Teorema 1. Dacă funcția f(x) este definită și continuă pe intervalul (a;b) și f '(x) este peste tot pozitivă (f '(x)>0), atunci funcția este crescătoare pe intervalul (a;b). ).

Teorema 2. Dacă funcția f(x) este definită și continuă pe intervalul (a;b) și f ‘(x) este peste tot negativă (f ‘(x)<0), тогда функция убывает на промежутке (а;b).

Exemplul 1. Investigați monotonitatea y = .

Rezolvare: y'=2x-1

Axa numerică este împărțită în două intervale

Aceasta înseamnă că funcția este în scădere în intervalul (-;5) și funcția este în creștere în intervalul (5;).

Găsirea extremelor unei funcții

Funcția f(x) are un maxim (minim) în punctul x0 dacă acest punct are o vecinătate în care f(x) f(x0)) pentru xx0.

Maximul și minimul sunt combinate cu numele extremum.

Teorema 1. (condiție necesară pentru un extremum). Dacă punctul x0 este punctul extrem al funcției y \u003d f (x) și în acest punct există o derivată f '(x0), atunci este egal cu zero: f '(x) \u003d 0.

Punctele în care f ‘(x)=0 sau nu există sunt numite critice.

Teorema 2. (condiție suficientă). Fie funcția f(x) continuă în punctul x0 și să aibă o derivată în vecinătatea ei, cu excepția, poate, a punctului x0 însuși. Apoi

a) dacă derivata f ‘(x) își schimbă semnul din plus în minus la trecerea prin punctul x0, atunci punctul x0 este punctul maxim al funcției f (x);

b) dacă derivata f ‘(x) își schimbă semnul din minus în plus la trecerea prin punctul x0, atunci punctul x0 este punctul minim al funcției f(x);

c) dacă există o vecinătate (x0-; x0+) a punctului x0 în care derivata f ‘(x) își păstrează semnul, atunci în punctul x0 această funcție f(x) nu are un extremum.

Exemplul 2 Investigați extremul funcției y \u003d 3 -5x - .

Rezolvare: y'= -5-2x

La trecerea prin punctul x \u003d - 2,5, derivata y 'schimbă semnul de la "+" la "-" ==> x \u003d -2,5 punct maxim.

Condiții suficiente pentru extremul unei funcții.

xmax= - 2,5; ymax = 9,25.

Nu ați găsit ceea ce căutați? Utilizați căutarea:

Citeste si:

Găsirea maximelor și minimelor locale nu este completă fără diferențiere și este necesară în studiul funcției și construcția graficului acesteia.

Un punct se numește punct de maxim local (sau minim) al unei funcții dacă există o astfel de vecinătate a acestui punct care aparține domeniului de definiție al funcției și pentru toată această vecinătate inegalitatea (sau ) este satisfăcută.

Punctele de maxim și minim sunt numite puncte extreme ale funcției, iar valorile funcției la punctele extreme se numesc valorile sale extreme.

CONDIȚIE NECESARĂ PENTRU Extremum LOCAL:

Dacă o funcție are un extremum local într-un punct, atunci fie derivata este zero, fie nu există.

Punctele care îndeplinesc cerințele de mai sus se numesc puncte critice.

Cu toate acestea, în fiecare punct critic, funcția are un extremum. Răspunsul la întrebarea: va fi punctul critic un punct extrem este dat de următoarea teoremă.

CONDIȚIE SUFICIENTĂ PENTRU EXISTENȚA UNUI Extrem de Funcție

Teorema I. Fie ca funcția să fie continuă într-un interval care conține un punct critic și diferențiată în toate punctele acestui interval (cu posibila excepție a punctului însuși).

Atunci, pentru un punct, funcția are un maxim dacă condiția este îndeplinită pentru argumentele că derivata este mai mare decât zero, iar pentru condiție, derivata este mai mică decât zero.

Dacă pentru derivata este mai mică decât zero și pentru este mai mare decât zero, atunci funcția are un minim pentru punct.

Teorema II. Fie funcția să fie de două ori diferențiabilă într-o vecinătate a punctului și derivata egală cu zero.

Funcția extrema: semne de existență, exemple de soluții

Atunci, în acel punct, funcția are un maxim local dacă derivata a doua este mai mică decât zero și un minim local dacă invers.

Dacă derivata a doua este egală cu zero, atunci punctul poate să nu fie un punct extremum.

Când se investighează funcții pentru extreme, se folosesc ambele teoreme. Prima este mai simplă în practică, deoarece nu necesită găsirea derivatei a doua.

REGULI PENTRU GĂSIREA EXTREMELOR (MAXIM ȘI MINIM) CU PRIMUL DERIVAT

1) găsiți domeniul definiției;

2) găsiți prima derivată;

3) găsirea punctelor critice;

4) investigați semnul derivatei pe intervalele care au fost obținute din împărțirea domeniului de definiție în puncte critice.

În acest caz, punctul critic este un punct minim dacă, la trecerea prin el de la stânga la dreapta, derivata își schimbă semnul din negativ în pozitiv, în caz contrar este un punct maxim.

În loc de această regulă, puteți defini derivata a doua și investigați conform celei de-a doua teoreme.

5) calculați valorile funcției la punctele extreme.

Să luăm acum în considerare studiul unei funcții pentru extreme folosind exemple specifice.

Colecția V.Yu. Klepko, V.L. Golets „Matematică superioară în exemple și probleme”

1) Domeniul de definiție va fi mulțimea numerelor reale

2) Aflați derivata

3) Calculați punctele critice

Ele împart domeniul definiției în următoarele intervale

4) Investigam semnul derivatei pe intervalele gasite prin metoda substitutiei valorilor

Astfel, primul punct este punctul minim, iar al doilea este punctul maxim.

5) Calculați valoarea funcției

1) Domeniul de definiție va fi mulțimea numerelor reale, deci rădăcina este întotdeauna mai mare decât unu

iar funcția arctangentă este definită pe toată axa reală.

2) Aflați derivata

3) Din condiția ca derivata să fie egală cu zero, găsim punctul critic

Împarte domeniul în două intervale

4) Determinați semnul derivatei în fiecare dintre regiuni

Astfel, constatăm că în punctul critic funcția capătă o valoare minimă.

5) Calculați extremul funcției

1) Funcția este definită atunci când numitorul nu se transformă în zero

De aici rezultă că domeniul definiției este format din trei intervale

2) Calculați derivata

3) Echivalăm derivata cu zero și găsim punctele critice.

4) Setăm semnul derivatei în fiecare dintre regiuni prin înlocuirea valorilor corespunzătoare.

Astfel, punctul este un punct maxim local și un minim local. În avem o inflexiune a funcției, dar va fi mai mult material despre aceasta în articolele viitoare.

5) Găsiți valoarea în punctele critice

În ciuda faptului că valoarea funcției este , primul punct este un punct maxim local, iar arcul este un punct minim. Nu vă fie teamă dacă obțineți rezultate similare, atunci când determinați extreme locale, astfel de situații sunt acceptabile.

Vezi materiale:

Matematică superioară » Funcții ale mai multor variabile » Extremul unei funcții a două variabile

Extremul unei funcții a două variabile. Exemple de studiere a funcțiilor pentru extremum.

Fie definită funcția $z=f(x,y)$ într-o vecinătate a punctului $(x_0,y_0)$. Se spune că $(x_0,y_0)$ este un punct de maxim (local) dacă pentru toate punctele $(x,y)$ dintr-o vecinătate a $(x_0,y_0)$ inegalitatea $f(x,y)< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, atunci punctul $(x_0,y_0)$ se numește punct minim (local).

Punctele înalte și scăzute sunt adesea menționate prin termenul generic puncte extremum.

Dacă $(x_0,y_0)$ este un punct maxim, atunci valoarea funcției $f(x_0,y_0)$ în acest punct se numește maximul funcției $z=f(x,y)$. În consecință, valoarea funcției în punctul minim se numește minimul funcției $z=f(x,y)$. Minimele și maximele unei funcții sunt unite printr-un termen comun - extremele unei funcții.

Algoritm pentru studierea funcției $z=f(x,y)$ pentru un extremum

1. Găsiți derivatele parțiale ale lui $\frac(\partial z)(\partial x)$ și $\frac(\partial z)(\partial y)$. Compuneți și rezolvați sistemul de ecuații $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 .\ end(aligned) \right.$ Punctele ale căror coordonate satisfac sistemul specificat sunt numite staționare.
2. Găsiți $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$, $\frac(\partial^2z)(\partial x\partial y)$, $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ și calculați valoarea $\Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\ frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$ la fiecare punct staționar. După aceea, utilizați următoarea schemă:

1. Dacă $\Delta > 0$ și $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (sau $\frac(\partial^2z)(\partial^2) > 0$), atunci la punctul studiat este punctul minim.
2. Dacă $\Delta > 0$ și $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
3. Dacă $\Delta< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
4. Dacă $\Delta = 0$, atunci nu se poate spune nimic cert despre prezența unui extremum; sunt necesare cercetări suplimentare.

Notă (de dorit pentru o mai bună înțelegere a textului): show\hide

Dacă $\Delta > 0$ atunci $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\ partial ^2z)(\partial x\partial y) \right)^2 > 0$. Și de aici rezultă că $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z) ) (\partial x\partial y) \right)^2 ≥ 0$. Acestea. $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Dacă produsul unor cantități este mai mare decât zero, atunci aceste cantități au același semn. Adică, de exemplu, dacă $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$, atunci $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Pe scurt, dacă $\Delta > 0$, atunci semnele lui $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ și $\frac(\partial^2z)(\partial^2)$ sunt aceeași.

Exemplul #1

Investigați funcția $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ pentru un extremum.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=8x-6y-34; \frac(\partial z)(\partial y)=-6x+10y+42. $$

$$ \left \( \begin(aligned) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \end(aligned) \right. $$

Să reducem fiecare ecuație a acestui sistem cu $2$ și să transferăm numerele în partea dreaptă a ecuațiilor:

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \end(aligned) \right. $$

Am obținut un sistem de ecuații algebrice liniare. În această situație, mi se pare cea mai convenabilă aplicare a metodei lui Cramer pentru a rezolva sistemul rezultat.

$$ \begin(aligned) & \Delta=\left| \begin(array) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(array)\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \ & \Delta_x=\left| \begin(array) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \end(array)\right|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \ & \Delta_y=\left| \begin(array) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \end(array)\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(aliniat) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

Valorile $x=2$, $y=-3$ sunt coordonatele punctului staționar $(2;-3)$.

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=8; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=10; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=-6. $$

Să calculăm valoarea lui $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$

Deoarece $\Delta > 0$ și $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$, conform algoritmului, punctul $(2;-3)$ este punctul minim al funcția $z$. Găsim minimul funcției $z$ înlocuind coordonatele punctului $(2;-3)$ în funcția dată:

$$ z_(min)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ cdot(-3)+7=-90. $$

Răspuns: $(2;-3)$ - punct minim; $z_(min)=-90$.

Exemplul #2

Investigați funcția $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ pentru un extrem.

Vom urma algoritmul de mai sus. Mai întâi, să găsim derivatele parțiale de ordinul întâi:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\partial z)(\partial y)=6xy-12. $$

Compuneți sistemul de ecuații $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \ sfârșit (aliniat)\right.$:

$$ \left \( \begin(aligned) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \end(aligned) \right. $$

Reduceți prima ecuație cu 3 și a doua cu 6.

$$ \left \( \begin(aligned) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \end(aligned) \right. $$

Dacă $x=0$, atunci a doua ecuație ne va conduce la o contradicție: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. De aici concluzia: $x\neq 0$. Atunci din a doua ecuație avem: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$. Înlocuind $y=\frac(2)(x)$ în prima ecuație, avem:

$$ x^2+\left(\frac(2)(x) \right)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

Avem o ecuație biquadratică. Facem substituția $t=x^2$ (reținem că $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(aligned) $$

Dacă $t=1$, atunci $x^2=1$. Prin urmare, avem două valori ale lui $x$: $x_1=1$, $x_2=-1$. Dacă $t=4$, atunci $x^2=4$, adică. $x_3=2$, $x_4=-2$. Reținând că $y=\frac(2)(x)$, obținem:

\begin(aligned) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2)=-1. \end(aliniat)

Deci, avem patru puncte staționare: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. Aceasta completează primul pas al algoritmului.

Acum să trecem la a doua etapă a algoritmului. Să găsim derivate parțiale de ordinul doi:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=6y. $$

Găsiți $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$

Acum vom calcula valoarea $\Delta$ la fiecare dintre punctele staționare găsite anterior. Să începem de la punctul $M_1(1;2)$. În acest moment avem: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$. Din moment ce $\Delta(M_1)< 0$, то согласно алгоритму в точке $M_1$ экстремума нет.

Să explorăm punctul $M_2(-1;-2)$. În acest moment avem: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. Din moment ce $\Delta(M_2)< 0$, то согласно алгоритму в точке $M_2$ экстремума нет.

Să examinăm punctul $M_3(2;1)$. În acest moment obținem:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$

Deoarece $\Delta(M_3) > 0$ și $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, atunci conform algoritmului $M_3( 2 ;1)$ este punctul minim al funcției $z$. Găsim minimul funcției $z$ înlocuind coordonatele punctului $M_3$ în funcția dată:

$$ z_(min)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$

Rămâne de explorat punctul $M_4(-2;-1)$. În acest moment obținem:

$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

Deoarece $\Delta(M_4) > 0$ și $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)< 0$, то согласно алгоритму $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(max)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$

Studiul extremum este finalizat. Rămâne doar să scrieți răspunsul.

• $(2;1)$ - punct minim, $z_(min)=-27$;
• $(-2;-1)$ - punct maxim, $z_(max)=29$.

Notă

În cazul general, nu este nevoie să calculăm valoarea $\Delta$, deoarece ne interesează doar semnul, și nu valoarea specifică a acestui parametru. De exemplu, pentru exemplul nr. 2 considerat mai sus, în punctul $M_3(2;1)$ avem $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$. Aici este evident că $\Delta > 0$ (deoarece ambii factori $36$ și $(2^2-1^2)$ sunt pozitivi) și este posibil să nu găsiți o anumită valoare a $\Delta$. Adevărat, această remarcă este inutilă pentru calculele tipice - necesită ca calculele să ajungă la un număr 🙂

Exemplul #3

Investigați funcția $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ pentru un extremum.

Să urmăm algoritmul. Mai întâi, să găsim derivatele parțiale de ordinul întâi:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=4x^3-4x+4y; \frac(\partial z)(\partial y)=4y^3+4x-4y. $$

Compuneți sistemul de ecuații $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \ sfârșit (aliniat)\right.$:

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \end(aligned) \right. $$

Să reducem ambele ecuații cu $4$:

$$ \left \( \begin(aligned) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \end(aligned) \right. $$

Să adăugăm prima ecuație la a doua și să exprimăm $y$ în termeni de $x$:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$

Înlocuind $y=-x$ în prima ecuație a sistemului, vom avea:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

Din ecuația rezultată avem: $x=0$ sau $x^2-2=0$. Din ecuația $x^2-2=0$ rezultă că $x=-\sqrt(2)$ sau $x=\sqrt(2)$. Deci, se găsesc trei valori ale lui $x$ și anume: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$. Deoarece $y=-x$, atunci $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$.

Primul pas al soluției s-a încheiat.

Cum să găsiți extremul (punctele minime și maxime) ale unei funcții

Avem trei puncte staționare: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

Acum să trecem la a doua etapă a algoritmului. Să găsim derivate parțiale de ordinul doi:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=12x^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=12y^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=4. $$

Găsiți $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2 -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1). $$

Acum vom calcula valoarea $\Delta$ la fiecare dintre punctele staționare găsite anterior. Să începem de la punctul $M_1(0;0)$. În acest moment avem: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$. Deoarece $\Delta(M_1) = 0$, atunci, conform algoritmului, sunt necesare cercetări suplimentare, deoarece nu se poate spune nimic cert despre prezența unui extremum în punctul considerat. Să lăsăm acest punct în pace pentru moment și să trecem la alte puncte.

Să examinăm punctul $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$. În acest moment obținem:

\begin(aligned) & \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \end(aliniat)

Deoarece $\Delta(M_2) > 0$ și $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2) > 0$, atunci conform $M_2(- \sqrt(2),\sqrt(2))$ este punctul minim al funcției $z$. Găsim minimul funcției $z$ înlocuind coordonatele punctului $M_2$ în funcția dată:

$$ z_(min)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Similar punctului anterior, examinăm punctul $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$. În acest moment obținem:

\begin(aligned) & \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \end(aliniat)

Deoarece $\Delta(M_3) > 0$ și $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, atunci conform $M_3(\ sqrt(2),-\sqrt(2))$ este punctul minim al funcției $z$. Găsim minimul funcției $z$ înlocuind coordonatele punctului $M_3$ în funcția dată:

$$ z_(min)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2) ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Este timpul să revenim la punctul $M_1(0;0)$, unde $\Delta(M_1) = 0$. Conform algoritmului, sunt necesare cercetări suplimentare. Această expresie evazivă înseamnă „fă ce vrei” :). Nu există o modalitate generală de a rezolva astfel de situații - și acest lucru este de înțeles. Dacă ar exista o astfel de metodă, atunci ar fi intrat în toate manualele cu mult timp în urmă. Între timp, trebuie să căutăm o abordare specială pentru fiecare punct în care $\Delta = 0$. Ei bine, să investigăm comportamentul funcției în vecinătatea punctului $M_1(0;0)$. Observăm imediat că $z(M_1)=z(0;0)=3$. Să presupunem că $M_1(0;0)$ este un punct minim. Atunci pentru orice punct $M$ dintr-o vecinătate a punctului $M_1(0;0)$ obținem $z(M) > z(M_1) $, adică. $z(M) > 3$. Ce se întâmplă dacă orice vecinătate conține puncte în care $z(M)< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

Luați în considerare punctele pentru care $y=0$, adică. puncte de forma $(x,0)$. În aceste puncte, funcția $z$ va lua următoarele valori:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2)+3. $$

În toate cartierele suficient de mici $M_1(0;0)$ avem $x^2-2< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

Dar poate punctul $M_1(0;0)$ este un punct maxim? Dacă este așa, atunci pentru orice punct $M$ dintr-o vecinătate a punctului $M_1(0;0)$ obținem $z(M)< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3$? Atunci cu siguranță nu va exista un maxim în punctul $M_1$.

Luați în considerare punctele pentru care $y=x$, adică. puncte de forma $(x,x)$. În aceste puncte, funcția $z$ va lua următoarele valori:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

Deoarece în orice vecinătate a punctului $M_1(0;0)$ avem $2x^4 > 0$, atunci $2x^4+3 > 3$. Concluzie: orice vecinătate a punctului $M_1(0;0)$ conține puncte unde $z > 3$, deci punctul $M_1(0;0)$ nu poate fi un punct maxim.

Punctul $M_1(0;0)$ nu este nici maxim, nici minim. Concluzie: $M_1$ nu este deloc un punct extrem.

Răspuns: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ sunt puncte minime ale funcției $z$. În ambele puncte $z_(min)=-5$.

Cursuri online de matematică superioară

Punctul extremum al unei funcții este punctul din domeniul funcției, la care valoarea funcției ia o valoare minimă sau maximă. Valorile funcției din aceste puncte se numesc extreme (minime și maxime) ale funcției.

Definiție. Punct X1 domeniul de aplicare al funcției f(X) se numește punctul maxim al funcției , dacă valoarea funcției în acest punct este mai mare decât valorile funcției în puncte suficient de apropiate de ea, situate la dreapta și la stânga acesteia (adică inegalitatea f(X0 ) > f(X 0 + Δ X) X1 maxim.

Definiție. Punct X2 domeniul de aplicare al funcției f(X) se numește punctul minim al funcției, dacă valoarea funcției în acest punct este mai mică decât valorile funcției în puncte suficient de apropiate de ea, situate la dreapta și la stânga acesteia (adică inegalitatea f(X0 ) < f(X 0 + Δ X) ). În acest caz, se spune că funcția are la punctul X2 minim.

Să spunem ideea X1 - punctul maxim al functiei f(X). Apoi în intervalul până la X1 funcția crește, deci derivata funcției este mai mare decât zero ( f "(X) > 0 ), iar în intervalul de după X1 funcția este în scădere, deci derivată de funcție mai putin de zero ( f "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Să presupunem, de asemenea, că ideea X2 - punctul minim al funcției f(X). Apoi în intervalul până la X2 funcția este descrescătoare și derivata funcției este mai mică decât zero ( f "(X) < 0 ), а в интервале после X2 funcția este în creștere și derivata funcției este mai mare decât zero ( f "(X) > 0 ). În acest caz și la punct X2 derivata functiei este zero sau nu exista.

Teorema lui Fermat (un criteriu necesar pentru existența unui extremum al unei funcții). Dacă punct X0 - punctul extremum al funcției f(X), atunci în acest moment derivata funcției este egală cu zero ( f "(X) = 0 ) sau nu există.

Definiție. Sunt numite punctele în care derivata unei funcții este egală cu zero sau nu există puncte critice .

Exemplul 1 Să luăm în considerare o funcție.

La punctul X= 0 derivata functiei este egala cu zero, deci punctul X= 0 este punctul critic. Cu toate acestea, după cum se poate vedea pe graficul funcției, aceasta crește în întregul domeniu de definiție, deci punctul X= 0 nu este un punct extrem al acestei funcții.

Astfel, condițiile ca derivata unei funcții într-un punct să fie egală cu zero sau să nu existe sunt condiții necesare pentru un extremum, dar nu suficiente, deoarece pot fi date și alte exemple de funcții pentru care aceste condiții sunt îndeplinite, dar funcția nu are un extremum în punctul corespunzător. De aceea trebuie să aibă suficiente indicații, permițând să se judece dacă există un extremum într-un anumit punct critic și care unul - un maxim sau un minim.

Teoremă (primul criteriu suficient pentru existența unui extremum al unei funcții). Punct critic X0 f(X) , dacă derivata funcției își schimbă semnul la trecerea prin acest punct, iar dacă semnul se schimbă de la „plus” la „minus”, atunci punctul maxim, iar dacă de la „minus” la „plus”, atunci punctul minim .

Dacă aproape de punct X0 , la stânga și la dreapta acesteia, derivata își păstrează semnul, asta înseamnă că funcția fie doar scade, fie crește doar într-o vecinătate a punctului X0 . În acest caz, la punctul X0 nu există extremum.

Asa de, pentru a determina punctele extreme ale funcției, trebuie să faceți următoarele :

1. Aflați derivata unei funcții.
2. Echivalează derivata cu zero și determină punctele critice.
3. Mental sau pe hârtie, marcați punctele critice pe axa numerică și determinați semnele derivatei funcției în intervalele obținute. Dacă semnul derivatei se schimbă de la „plus” la „minus”, atunci punctul critic este punctul maxim, iar dacă de la „minus” la „plus”, atunci punctul critic este punctul minim.
4. Calculați valoarea funcției la punctele extreme.

Exemplul 2 Găsiți extremele unei funcții .

Soluţie. Să găsim derivata funcției:

Echivalează derivata cu zero pentru a găsi punctele critice:

.

Deoarece pentru orice valoare a lui „x” numitorul nu este egal cu zero, atunci echivalăm numărătorul cu zero:

Am un punct critic X= 3 . Determinăm semnul derivatei în intervalele delimitate de acest punct:

în intervalul de la minus infinit la 3 - semnul minus, adică funcția scade,

în intervalul de la 3 la plus infinit - un semn plus, adică funcția crește.

Adică punctul X= 3 este punctul minim.

Găsiți valoarea funcției în punctul minim:

Astfel, punctul extremum al funcției se găsește: (3; 0) , și este punctul minim.

Teoremă (al doilea criteriu suficient pentru existența unui extremum al unei funcții). Punct critic X0 este punctul extremum al funcției f(X), dacă derivata a doua a funcției în acest punct nu este egală cu zero ( f ""(X) ≠ 0 ), în plus, dacă derivata a doua este mai mare decât zero ( f ""(X) > 0 ), atunci punctul maxim și dacă derivata a doua este mai mică decât zero ( f ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Observaţie 1. Dacă la un moment dat X0 atât prima cât și a doua derivată dispar, atunci în acest moment este imposibil să judecăm prezența unui extremum pe baza celui de-al doilea semn suficient. În acest caz, trebuie să utilizați primul criteriu suficient pentru extremul funcției.

Observația 2. Al doilea criteriu suficient pentru extremul unei funcții este de asemenea inaplicabil atunci când derivata întâi nu există în punctul staționar (atunci nici derivata a doua nu există). În acest caz, este necesar să se folosească și primul criteriu suficient pentru extremul funcției.

Natura locală a extremelor funcției

Din definițiile de mai sus rezultă că extremul unei funcții are un caracter local - aceasta este cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției în comparație cu cele mai apropiate valori.

Să presupunem că luați în considerare câștigurile dvs. într-un interval de timp de un an. Dacă în luna mai ați câștigat 45.000 de ruble, iar în aprilie 42.000 de ruble, iar în iunie 39.000 de ruble, atunci câștigurile din mai sunt funcția de câștig maxim față de cele mai apropiate valori. Dar în octombrie ai câștigat 71.000 de ruble, în septembrie 75.000 de ruble și în noiembrie 74.000 de ruble, deci câștigurile din octombrie sunt minimul funcției de câștig în comparație cu valorile din apropiere. Și puteți observa cu ușurință că maximul dintre valorile lunilor aprilie-mai-iunie este mai mic decât cel minim din septembrie-octombrie-noiembrie.

În general, o funcție poate avea mai multe extreme pe un interval și se poate dovedi că orice minim al funcției este mai mare decât orice maxim. Deci, pentru funcția prezentată în figura de mai sus, .

Adică, nu trebuie să credem că maximul și minimul unei funcții sunt, respectiv, valorile maxime și minime ale acesteia pe întregul segment luat în considerare. În punctul maxim, funcția are cea mai mare valoare numai în comparație cu acele valori pe care le are în toate punctele suficient de aproape de punctul maxim, iar în punctul minim, valoarea cea mai mică numai în comparație cu acele valori care are în toate punctele suficient de aproape de punctul minim.

Prin urmare, putem rafina conceptul de mai sus de puncte extreme ale unei funcții și numim punctele minime puncte minime locale, iar punctele maxime - puncte maxime locale.

Căutăm împreună extremele funcției

Exemplul 3

Rezolvare.Funcția este definită și continuă pe întreaga dreaptă numerică. Derivatul său există și pe întreaga linie numerică. Prin urmare, în acest caz, numai cele la care , adică, servesc ca puncte critice. , de unde și . Puncte critice și împărțiți întregul domeniu al funcției în trei intervale de monotonitate: . Selectăm câte un punct de control în fiecare dintre ele și găsim semnul derivatei în acest punct.

Pentru interval, punctul de referință poate fi : găsim . Luând un punct din interval, obținem , iar luând un punct din interval, avem . Deci, în intervalele și , și în intervalul . Conform primului semn suficient al unui extremum, nu există un extrem în punct (deoarece derivata își păstrează semnul în intervalul ), iar funcția are un minim în punct (deoarece derivata își schimbă semnul din minus în plus când trece). prin acest punct). Găsiți valorile corespunzătoare ale funcției: , și . În interval, funcția scade, deoarece în acest interval , iar în interval crește, deoarece în acest interval.

Pentru a clarifica construcția graficului, găsim punctele de intersecție ale acestuia cu axele de coordonate. Când obținem o ecuație ale cărei rădăcini și , adică două puncte (0; 0) și (4; 0) din graficul funcției se găsesc. Folosind toate informațiile primite, construim un grafic (vezi la începutul exemplului).

Pentru autoverificare în timpul calculelor, puteți utiliza calculator de derivate online .

Exemplul 4 Găsiți extremele funcției și construiți graficul acesteia.

Domeniul funcției este întreaga dreaptă numerică, cu excepția punctului, adică. .

Pentru a scurta studiul, putem folosi faptul că această funcție este pară, deoarece . Prin urmare, graficul său este simetric față de axă Oi iar studiul poate fi efectuat numai pentru intervalul .

Găsirea derivatei și punctele critice ale funcției:

1) ;

2) ,

dar funcția suferă o întrerupere în acest punct, deci nu poate fi un punct extremum.

Astfel, funcția dată are două puncte critice: și . Ținând cont de paritatea funcției, verificăm doar punctul după al doilea semn suficient al extremului. Pentru a face acest lucru, găsim derivata a doua si determinam semnul acestuia la : obtinem . Deoarece și , atunci este punctul minim al funcției, în timp ce .

Pentru a obține o imagine mai completă a graficului funcției, să aflăm comportamentul acesteia la limitele domeniului de definiție:

(aici simbolul indică dorința X la zero în dreapta și X rămâne pozitivă; în mod similar înseamnă aspirație X la zero în stânga și X rămâne negativ). Astfel, dacă , atunci . În continuare, găsim

,

acestea. daca atunci .

Graficul funcției nu are puncte de intersecție cu axele. Imaginea este la începutul exemplului.

Pentru autoverificare în timpul calculelor, puteți utiliza calculator de derivate online .

Continuăm să căutăm împreună extreme ale funcției

Exemplul 8 Aflați extremele funcției.

Soluţie. Găsiți domeniul funcției. Deoarece inegalitatea trebuie să se mențină, obținem din .

Să găsim prima derivată a funcției.