Căutați cum să rezolvați o ecuație cu paranteze? ... O soluție detaliată, cu o descriere și explicații, vă va ajuta să aflați chiar și cea mai dificilă problemă și cum să rezolvați ecuațiile între paranteze nu face excepție. Vă vom ajuta să vă pregătiți pentru temele, testele, olimpiadele, precum și pentru a intra la o universitate. Și orice exemplu, orice întrebare matematică ați introduce, avem deja o soluție. De exemplu, „cum se rezolvă o ecuație cu paranteze”.

Utilizarea diverselor probleme matematice, calculatoare, ecuații și funcții este răspândită în viața noastră. Sunt folosite în multe calcule, în construcții de clădiri și chiar în sport. Omul a folosit matematica în timpurile străvechi și de atunci utilizarea lor a crescut doar. Cu toate acestea, acum știința nu stă nemișcată și ne putem bucura de fructele activităților sale, cum ar fi, de exemplu, un calculator online care poate rezolva probleme cum ar fi cum să rezolvați o ecuație cu paranteze, cum să rezolvați ecuații între paranteze, cum să rezolvați o ecuație cu paranteze, ecuație cu paranteze cum se rezolvă, ecuație cu paranteze cum se rezolvă. Pe această pagină veți găsi un calculator care vă va ajuta să rezolvați orice întrebare, inclusiv cum să rezolvați o ecuație cu paranteze. (de exemplu, cum se rezolvă o ecuație cu paranteze).

Unde puteți rezolva orice problemă din matematică, precum și cum să rezolvați o ecuație cu paranteze online?

Puteți rezolva problema cum să rezolvați o ecuație cu paranteze pe site-ul nostru. Un rezolvator online gratuit vă va permite să rezolvați o problemă online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți datele în soluționator. De asemenea, puteți viziona o instrucțiune video și puteți afla cum să introduceți corect sarcina dvs. pe site-ul nostru web. Și dacă mai aveți întrebări, le puteți pune în chatul din partea stângă jos a paginii calculatorului.

În acest videoclip vom analiza întregul set ecuatii lineare, care sunt rezolvate conform aceluiași algoritm - de aceea sunt numite cele mai simple.

Pentru început, să definim: ce este o ecuație liniară și care este cea mai simplă dintre ele?

O ecuație liniară este una în care există o singură variabilă și numai în primul grad.

Cea mai simplă ecuație înseamnă construcția:

Toate celelalte ecuații liniare sunt reduse la cele mai simple folosind algoritmul:

1. Extindeți parantezele, dacă există;
2. Mutați termenii care conțin variabila pe o parte a semnului egal, iar termenii fără variabilă pe cealaltă;
3. Aduceți termeni similari în stânga și în dreapta semnului egal;
4. Împărțiți ecuația rezultată la coeficientul variabilei $ x $.

Desigur, acest algoritm nu ajută întotdeauna. Faptul este că uneori, după toate aceste mașinări, coeficientul la variabila $ x $ se dovedește a fi zero. În acest caz, sunt posibile două opțiuni:

1. Ecuația nu are deloc soluții. De exemplu, când primiți ceva de genul $ 0 \\ cdot x \u003d 8 $, adică există zero în stânga și un număr diferit de zero în dreapta. În videoclipul de mai jos, vom analiza simultan mai multe motive pentru care această situație este posibilă.
2. Soluția este toate numerele. Singurul caz când acest lucru este posibil este că ecuația a fost redusă la construcția $ 0 \\ cdot x \u003d 0 $. Este destul de logic ca, indiferent de $ x $ pe care îl înlocuim, vom obține în continuare „zero egal cu zero”, adică egalitate numerică corectă.

Acum să vedem cum funcționează totul în problemele din viața reală.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor

Astăzi avem de-a face cu ecuații liniare și doar cele mai simple. În general, o ecuație liniară înseamnă orice egalitate care conține exact o variabilă și merge doar la primul grad.

Astfel de construcții sunt rezolvate cam în același mod:

1. În primul rând, este necesar să deschideți parantezele, dacă există (ca în ultimul exemplu);
2. Apoi aduceți similar
3. În cele din urmă, profitați de variabilă, adică tot ceea ce este asociat cu o variabilă - termenii în care este conținută - ar trebui transferat într-o singură direcție, iar tot ceea ce rămâne fără ea ar trebui transferat pe cealaltă parte.

Apoi, de regulă, trebuie să aduceți altele similare pe fiecare parte a egalității rezultate, iar după aceea rămâne doar să împărțiți la coeficientul de la „x” și vom obține răspunsul final.

În teorie, acest aspect arată frumos și simplu, dar în practică, chiar și elevii cu experiență din liceu pot face greșeli ofensatoare în ecuații liniare destul de simple. De obicei, greșelile se fac fie la extinderea parantezelor, fie la calcularea „plusurilor” și „minusurilor”.

În plus, se întâmplă ca o ecuație liniară să nu aibă deloc soluții sau astfel încât soluția să fie întreaga linie numerică, adică orice număr. Vom analiza aceste subtilități în lecția de astăzi. Dar vom începe, așa cum ați înțeles deja, chiar de la sarcini simple.

Schema pentru rezolvarea celor mai simple ecuații liniare

Mai întâi, permiteți-mi să scriu din nou întreaga schemă pentru rezolvarea celor mai simple ecuații liniare:

1. Extindeți parantezele, dacă există.
2. Secretăm variabilele, adică tot ceea ce conține „x” este transferat pe o parte și fără „x” - pe cealaltă.
3. Prezentăm termeni similari.
4. Împărțim totul în coeficient la „x”.

Desigur, această schemă nu funcționează întotdeauna, există anumite subtilități și trucuri în ea, iar acum le vom cunoaște.

Rezolvarea exemplelor din viața reală de ecuații liniare simple

Problema numărul 1

Primul pas necesită extinderea parantezelor. Dar nu sunt în acest exemplu, așa că omitem această etapă. În al doilea pas, trebuie să profităm de variabile. Notă: este vorba numai despre termeni individuali. Hai să scriem:

Oferim termeni similari în stânga și în dreapta, dar acest lucru a fost deja făcut. Prin urmare, trecem la al patrulea pas: împărțiți la coeficient:

\\ [\\ frac (6x) (6) \u003d - \\ frac (72) (6) \\]

Așa că am primit răspunsul.

Problema numărul 2

În această problemă, putem observa parantezele, deci să le extindem:

Atât la stânga cât și la dreapta vedem aproximativ aceeași construcție, dar să continuăm în conformitate cu algoritmul, adică secretăm variabilele:

Iată altele similare:

La ce rădăcini se efectuează. Răspuns: pentru orice. Prin urmare, putem scrie că $ x $ este orice număr.

Problema numărul 3

A treia ecuație liniară este mai interesantă:

\\ [\\ left (6-x \\ right) + \\ left (12 + x \\ right) - \\ left (3-2x \\ right) \u003d 15 \\]

Există câteva paranteze aici, dar nu sunt înmulțite cu nimic, au doar semne diferite în față. Să le deschidem:

Efectuăm al doilea pas deja cunoscut de noi:

\\ [- x + x + 2x \u003d 15-6-12 + 3 \\]

Hai să numărăm:

Realizăm ultimul pas - împărțim totul la coeficientul la "x":

\\ [\\ frac (2x) (x) \u003d \\ frac (0) (2) \\]

Lucruri de reținut atunci când rezolvați ecuații liniare

În afară de sarcinile prea simple, aș dori să spun următoarele:

• După cum am spus mai sus, nu orice ecuație liniară are o soluție - uneori pur și simplu nu există rădăcini;
• Chiar dacă există rădăcini, poate fi zero între ele - nu este nimic în neregulă cu asta.

Zero este același număr ca și restul, nu ar trebui să îl discriminați în niciun fel sau să presupuneți că, dacă obțineți zero, atunci ați făcut ceva greșit.

O altă caracteristică este legată de extinderea parantezei. Vă rugăm să rețineți: când există un „minus” în fața lor, atunci îl eliminăm, dar între paranteze schimbăm semnele în opus... Și apoi îl putem deschide conform algoritmilor standard: vom obține ceea ce am văzut în calculele de mai sus.

Înțelegerea acestui fapt simplu vă va permite să evitați greșelile stupide și dureroase din liceu, atunci când astfel de acțiuni sunt luate de la sine.

Rezolvarea ecuațiilor liniare complexe

Să trecem la ecuații mai complexe. Acum, construcțiile vor deveni mai complexe și va apărea o funcție pătratică atunci când se efectuează diverse transformări. Cu toate acestea, nu trebuie să vă fie frică de acest lucru, deoarece dacă, conform intenției autorului, rezolvăm o ecuație liniară, atunci în procesul de transformare, toți monomii care conțin o funcție pătratică se vor anula în mod necesar.

Exemplul nr. 1

Evident, primul pas este extinderea parantezelor. Să o facem foarte atent:

Acum pentru confidențialitate:

\\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x \u003d -12 \\]

Iată altele similare:

Evident, această ecuație nu are soluții, așa că vom scrie în răspuns:

\\ [\\ varnothing \\]

sau fără rădăcini.

Exemplul nr. 2

Urmăm aceiași pași. Primul pas:

Mutați totul cu variabila la stânga și fără ea la dreapta:

Iată altele similare:

Evident, această ecuație liniară nu are o soluție, așa că o scriem astfel:

\\ [\\ varnothing \\],

sau nu există rădăcini.

Nuanțe de soluție

Ambele ecuații sunt complet rezolvate. Folosind aceste două expresii ca exemplu, ne-am asigurat încă o dată că, chiar și în cele mai simple ecuații liniare, totul poate să nu fie atât de simplu: pot exista fie o rădăcină, fie nici una, sau infinit multe. În cazul nostru, am considerat două ecuații, în ambele pur și simplu nu există rădăcini.

Dar aș vrea să vă atrag atenția asupra unui alt fapt: cum să lucrați cu paranteze și cum să le deschideți dacă există un semn minus în fața lor. Luați în considerare această expresie:

Înainte de a dezvălui, trebuie să înmulțiți totul cu „X”. Notă: se înmulțește fiecare termen individual... În interior există doi termeni - respectiv, doi termeni și înmulțiți.

Și numai după efectuarea acestor transformări aparent elementare, dar foarte importante și periculoase, puteți extinde parantezele din punctul de vedere al faptului că există un semn minus după ea. Da, da: abia acum, când transformările sunt finalizate, ne amintim că există un semn minus în fața parantezelor, ceea ce înseamnă că tot ce coboară doar schimbă semnele. În acest caz, parantezele în sine dispar și, cel mai important, dispare și minusul principal.

Facem același lucru cu a doua ecuație:

Nu întâmplător atrag atenția asupra acestor fapte mici, aparent nesemnificative. Deoarece rezolvarea ecuațiilor este întotdeauna o succesiune de transformări elementare, în care incapacitatea de a efectua în mod clar și competent acțiuni simple duce la faptul că elevii de liceu vin la mine și învață din nou să rezolve astfel de ecuații simple.

Desigur, va veni ziua și veți perfecționa aceste abilități la automatism. Nu mai trebuie să efectuați atât de multe transformări de fiecare dată, veți scrie totul într-un singur rând. Dar, în timp ce doar înveți, trebuie să scrii fiecare acțiune separat.

Rezolvarea ecuațiilor liniare chiar mai complexe

Este dificil să numim ceea ce vom rezolva acum drept cea mai simplă sarcină, dar sensul rămâne același.

Problema numărul 1

\\ [\\ left (7x + 1 \\ right) \\ left (3x-1 \\ right) -21 ((x) ^ (2)) \u003d 3 \\]

Să multiplicăm toate elementele din prima parte:

Să facem reclamația:

Iată altele similare:

Realizăm ultimul pas:

\\ [\\ frac (-4x) (4) \u003d \\ frac (4) (- 4) \\]

Iată răspunsul nostru final. Și, în ciuda faptului că în procesul de rezolvare am avut coeficienți cu funcție pătratică, aceștia s-au anihilat reciproc, ceea ce face ca ecuația să fie exact liniară, nu pătrată.

Problema numărul 2

\\ [\\ left (1-4x \\ right) \\ left (1-3x \\ right) \u003d 6x \\ left (2x-1 \\ right) \\]

Să facem primul pas cu grijă: înmulțiți fiecare element din prima paranteză cu fiecare element din a doua. În total, ar trebui să existe patru termeni noi după transformări:

Acum, să efectuăm cu atenție multiplicarea în fiecare termen:

Să mutăm termenii cu „x” la stânga și fără - la dreapta:

\\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x \u003d -1 \\]

Iată termeni similari:

Din nou, am primit răspunsul final.

Nuanțe de soluție

Cea mai importantă notă despre aceste două ecuații este următoarea: de îndată ce începem să înmulțim parantezele în care există mai mult decât este un termen, atunci acest lucru se face în conformitate cu următoarea regulă: luăm primul termen din primul și înmulțim cu fiecare element din al doilea; apoi luăm al doilea element din primul și înmulțim în mod similar cu fiecare element din al doilea. Ca rezultat, obținem patru termeni.

Suma algebrică

Cu ultimul exemplu, aș dori să le reamintesc elevilor ce este o sumă algebrică. În matematica clasică, cu 1-7 $ înțelegem o construcție simplă: scădeți șapte dintr-una. În algebră, înțelegem prin aceasta următoarele: la numărul „unu” adăugăm un alt număr, și anume „minus șapte”. Astfel diferă suma algebrică de cea aritmetică obișnuită.

Odată ce, când efectuați toate transformările, fiecare adunare și multiplicare, începeți să vedeți construcții similare cu cele descrise mai sus, pur și simplu nu veți avea probleme în algebră atunci când lucrați cu polinoame și ecuații.

În concluzie, să analizăm câteva exemple care vor fi chiar mai complexe decât cele pe care tocmai le-am analizat și, pentru a le rezolva, va trebui să ne extindem ușor algoritmul standard.

Rezolvarea ecuațiilor cu o fracție

Pentru a rezolva astfel de probleme, va trebui să adăugăm încă un pas algoritmului nostru. Dar mai întâi, voi reaminti algoritmul nostru:

1. Extindeți parantezele.
2. Secretați variabile.
3. Aduceți altele similare.
4. Împărțiți după factor.

Din păcate, acest minunat algoritm, cu toată eficacitatea sa, nu este pe deplin adecvat atunci când ne confruntăm cu fracțiuni. Și în ceea ce vom vedea mai jos, avem o fracție în stânga și în dreapta în ambele ecuații.

Cum se lucrează în acest caz? Totul este foarte simplu! Pentru a face acest lucru, trebuie să adăugați încă un pas la algoritm, care se poate face atât înainte, cât și după prima acțiune, și anume, scăpați de fracțiuni. Astfel, algoritmul va fi după cum urmează:

1. Scapă de fracțiuni.
2. Extindeți parantezele.
3. Secretați variabile.
4. Aduceți altele similare.
5. Împărțiți după factor.

Ce înseamnă „a scăpa de fracțiuni”? Și de ce se poate face acest lucru atât după cât și înainte de primul pas standard? De fapt, în cazul nostru, toate fracțiile sunt numerice cu numitorul, adică peste tot în numitor este doar un număr. Prin urmare, dacă înmulțim ambele părți ale ecuației cu acest număr, atunci scăpăm de fracții.

Exemplul nr. 1

\\ [\\ frac (\\ left (2x + 1 \\ right) \\ left (2x-3 \\ right)) (4) \u003d ((x) ^ (2)) - 1 \\]

Să scăpăm de fracțiile din această ecuație:

\\ [\\ frac (\\ left (2x + 1 \\ right) \\ left (2x-3 \\ right) \\ cdot 4) (4) \u003d \\ left ((((x) ^ (2)) - 1 \\ right) \\ cdot 4 \\]

Atenție: totul se înmulțește cu „patru” o dată, adică. Doar pentru că aveți două paranteze nu înseamnă că trebuie să le înmulțiți cu patru. Hai să scriem:

\\ [\\ left (2x + 1 \\ right) \\ left (2x-3 \\ right) \u003d \\ left (((x) ^ (2)) - 1 \\ right) \\ cdot 4 \\]

Acum să deschidem:

Rezolvați variabila:

Reducem termeni similari:

\\ [- 4x \u003d -1 \\ left | : \\ left (-4 \\ right) \\ right. \\]

\\ [\\ frac (-4x) (- 4) \u003d \\ frac (-1) (- 4) \\]

Avem soluția finală, trecem la a doua ecuație.

Exemplul nr. 2

\\ [\\ frac (\\ left (1-x \\ right) \\ left (1 + 5x \\ right)) (5) + ((x) ^ (2)) \u003d 1 \\]

Aici efectuăm aceleași acțiuni:

\\ [\\ frac (\\ left (1-x \\ right) \\ left (1 + 5x \\ right) \\ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \\ cdot 5 \u003d 5 \\]

\\ [\\ frac (4x) (4) \u003d \\ frac (4) (4) \\]

Problema a fost rezolvată.

De fapt, asta este tot ce am vrut să spun astăzi.

Puncte cheie

Principalele constatări sunt următoarele:

• Cunoașteți algoritmul pentru rezolvarea ecuațiilor liniare.
• Abilitatea de a deschide paranteze.
• Nu vă faceți griji dacă apare undeva funcții pătraticeacestea sunt susceptibile să scadă în procesul de transformări ulterioare.
• Rădăcinile în ecuații liniare, chiar și cele mai simple, sunt de trei tipuri: o singură rădăcină, întreaga linie numerică este o rădăcină, nu există deloc rădăcini.

Sper că această lecție te va ajuta să stăpânești un subiect simplu, dar foarte important pentru înțelegerea în continuare a tuturor matematicii. Dacă ceva nu este clar, accesați site-ul, rezolvați exemplele prezentate acolo. Fii atent la multe lucruri mai interesante!

Parantezele sunt folosite pentru a indica ordinea în care acțiunile sunt efectuate în expresii numerice, literale și variabile. Este convenabil să treceți de la o expresie cu paranteze la o expresie identică egală fără paranteze. Această tehnică se numește expansiune paranteză.

Extinderea parantezelor înseamnă a scăpa de expresia din acele paranteze.

Încă un punct merită o atenție specială, care se referă la particularitățile înregistrării deciziilor la deschiderea parantezelor. Putem scrie expresia inițială cu paranteze și rezultatul obținut după extinderea parantezelor ca egalitate. De exemplu, după extinderea parantezelor, în loc de expresie
3− (5−7) obținem expresia 3−5 + 7. Putem scrie ambele expresii ca egalitatea 3− (5−7) \u003d 3−5 + 7.

Și încă un punct important. În matematică, pentru a scurta înregistrările, se obișnuiește să nu scrieți un semn plus dacă apare mai întâi într-o expresie sau între paranteze. De exemplu, dacă adăugăm două numere pozitive, de exemplu, șapte și trei, atunci nu scriem + 7 + 3, ci pur și simplu 7 + 3, în ciuda faptului că șapte este, de asemenea, un număr pozitiv. În mod similar, dacă vedeți, de exemplu, expresia (5 + x) - știți că există un plus în fața parantezei, care nu este scris, iar în fața celor cinci există plus + (+ 5 + x).

Regula pentru extinderea parantezelor în plus

La extinderea parantezelor, dacă există un plus în fața parantezelor, atunci acest plus este omis împreună cu parantezele.

Exemplu. Extindeți parantezele în expresia 2 + (7 + 3) Înainte de paranteze, plus, astfel încât semnele din fața numerelor din paranteze să nu se schimbe.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Regula de extindere a parantezei pentru scădere

Dacă există un minus în fața parantezelor, atunci acest minus este omis împreună cu parantezele, dar termenii care erau în paranteze își schimbă semnul în opus. Absența unui semn în fața primului termen între paranteze implică un semn +.

Exemplu. Extindeți parantezele în expresia 2 - (7 + 3)

Există un minus în fața parantezelor, ceea ce înseamnă că trebuie să schimbați semnele înainte de numerele din paranteze. Nu există niciun semn între paranteze înainte de numărul 7, aceasta înseamnă că șapte sunt pozitive, se consideră că există un semn + în fața sa.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

La extinderea parantezelor, eliminăm din exemplu minusul care se afla în fața parantezelor și parantezele în sine 2 - (+ 7 + 3), iar semnele care erau în paranteze sunt inversate.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Extinderea parantezelor în timpul multiplicării

Dacă există un semn de multiplicare în fața parantezelor, atunci fiecare număr din paranteze este înmulțit cu factorul din fața parantezelor. În acest caz, înmulțirea minus cu minus dă un plus și înmulțirea minus cu plus, precum și multiplicarea plus cu minus oferă un minus.

Astfel, parantezele din lucrări sunt extinse în conformitate cu proprietatea distribuțională a multiplicării.

Exemplu. 2 (9 - 7) \u003d 2 9 - 2 7

Când înmulțiți o paranteză cu o paranteză, fiecare membru al primei paranteze este înmulțit cu fiecare membru al celei de-a doua paranteze.

(2 + 3) (4 + 5) \u003d 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

De fapt, nu este nevoie să memorăm toate regulile, este suficient să ne amintim doar un singur lucru, acesta: c (a-b) \u003d ca-cb. De ce? Pentru că dacă înlocuiți unul în loc de c, veți obține regula (a - b) \u003d a - b. Și dacă substituim minus unul, obținem regula - (a - b) \u003d - a + b. Ei bine, dacă în loc de c înlocuiți o altă paranteză, puteți obține ultima regulă.

Extinderea parantezelor în diviziune

Dacă există un semn de diviziune după paranteze, atunci fiecare număr din paranteze este împărțit la divizorul de după paranteze și invers.

Exemplu. (9 + 6): 3 \u003d 9: 3 + 6: 3

Cum se extinde parantezele imbricate

Dacă există paranteze imbricate în expresie, acestea sunt extinse în ordine, începând cu cele exterioare sau interioare.

În același timp, atunci când deschideți una dintre paranteze, este important să nu atingeți celelalte paranteze, rescriindu-le pur și simplu așa cum sunt.

Exemplu. 12 - (a + (6 - b) - 3) \u003d 12 - a - (6 - b) + 3 \u003d 12 - a - 6 + b + 3 \u003d 9 - a + b

O ecuație cu o necunoscută, care după deschiderea parantezelor și reducerea termenilor similari ia forma

ax + b \u003d 0, unde a și b sunt numere arbitrare, se numește ecuație liniară cu o necunoscută. Astăzi vom afla cum să rezolvăm aceste ecuații liniare.

De exemplu, toate ecuațiile:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x \u003d 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - liniar.

Se numește valoarea necunoscutului care transformă ecuația într-o adevărată egalitate decizie sau rădăcina ecuației .

De exemplu, dacă în ecuația 3x + 7 \u003d 13 în loc de x necunoscut pentru a înlocui numărul 2, atunci obținem egalitatea corectă 3 · 2 +7 \u003d 13. Aceasta înseamnă că valoarea x \u003d 2 este soluția sau rădăcina ecuației.

Și valoarea x \u003d 3 nu transformă ecuația 3x + 7 \u003d 13 într-o adevărată egalitate, deoarece 3 · 2 +7 ≠ 13. Prin urmare, valoarea x \u003d 3 nu este o soluție sau o rădăcină a ecuației.

Rezolvarea oricăror ecuații liniare se reduce la rezolvarea ecuațiilor de formă

ax + b \u003d 0.

Mutând termenul liber din partea stângă a ecuației spre dreapta, schimbând semnul din fața lui b în opus, obținem

Dacă a ≠ 0, atunci x \u003d - b / a .

Exemplul 1. Rezolvați ecuația 3x + 2 \u003d 11.

Mutați 2 din partea stângă a ecuației spre dreapta, în timp ce schimbați semnul din fața lui 2 în opus, obținem
3x \u003d 11 - 2.

Scade apoi
3x \u003d 9.

Pentru a găsi x, trebuie să împărțiți produsul la un factor cunoscut, adică
x \u003d 9: 3.

Prin urmare, valoarea x \u003d 3 este soluția sau rădăcina ecuației.

Răspuns: x \u003d 3.

Dacă a \u003d 0 și b \u003d 0, atunci obținem ecuația 0x \u003d 0. Această ecuație are infinit de multe soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0 obținem 0, dar b este, de asemenea, egal cu 0. Orice număr este o soluție la această ecuație.

Exemplul 2.Rezolvați ecuația 5 (x - 3) + 2 \u003d 3 (x - 4) + 2x - 1.

Să extindem parantezele:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Iată termeni similari:
0x \u003d 0.

Răspuns: x este orice număr.

Dacă a \u003d 0 și b ≠ 0, atunci obținem ecuația 0x \u003d - b. Această ecuație nu are soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0, obținem 0, dar b ≠ 0.

Exemplul 3.Rezolvați ecuația x + 8 \u003d x + 5.

Să grupăm termenii care conțin necunoscute în stânga și membrii liberi în dreapta:
x - x \u003d 5 - 8.

Iată termeni similari:
0x \u003d - 3.

Răspuns: nu există soluții.

Pe poza 1 arată schema de rezolvare a ecuației liniare

Să întocmim o schemă generală pentru rezolvarea ecuațiilor cu o singură variabilă. Luați în considerare soluția la exemplul 4.

Exemplul 4. Să se rezolve ecuația

1) Înmulțiți toți termenii ecuației cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor, egal cu 12.

2) După reducere, obținem
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 \u003d 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Pentru a separa membrii care conțin membri necunoscuți și liberi, extindem parantezele:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Să grupăm într-o parte membrii care conțin necunoscute, iar în cealaltă - membri liberi:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Iată termeni similari:
- 22x \u003d - 154.

6) Împărțiți la - 22, Primim
x \u003d 7.

După cum puteți vedea, rădăcina ecuației este șapte.

În general, așa ecuațiile pot fi rezolvate conform următoarei scheme:

a) aduceți ecuația la întreaga sa formă;

b) deschideți parantezele;

c) grupați termenii care conțin necunoscutul într-o parte a ecuației și termenii liberi în cealaltă;

d) aduc membri similari;

e) rezolvați o ecuație de forma ax \u003d b, care a fost obținută după aducerea unor termeni similari.

Cu toate acestea, această schemă nu este necesară pentru fiecare ecuație. Când rezolvați multe ecuații mai simple, trebuie să începeți nu cu prima, ci cu a doua ( Exemplu. 2), al treilea ( Exemplu. 13) și chiar din etapa a cincea, ca în exemplul 5.

Exemplul 5.Rezolvați ecuația 2x \u003d 1/4.

Găsiți necunoscutul x \u003d 1/4: 2,
x \u003d 1/8 .

Luați în considerare soluția unor ecuații liniare găsite la examenul principal de stare.

Exemplul 6.Rezolvați ecuația 2 (x + 3) \u003d 5 - 6x.

2x + 6 \u003d 5 - 6x

2x + 6x \u003d 5-6

Răspuns: - 0, 125

Exemplul 7.Rezolvați ecuația - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

- 30 + 18x \u003d 8x - 7

18x - 8x \u003d - 7 +30

Răspuns: 2.3

Exemplul 8. Rezolvați ecuația

3 (3x - 4) \u003d 4,7x + 24

9x - 12 \u003d 28x + 24

9x - 28x \u003d 24 + 12

Exemplul 9.Găsiți f (6) dacă f (x + 2) \u003d 3 7

Decizie

Deoarece trebuie să găsim f (6) și știm f (x + 2),
atunci x + 2 \u003d 6.

Rezolvați ecuația liniară x + 2 \u003d 6,
obținem x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.

Dacă x \u003d 4, atunci
f (6) \u003d 3 7-4 \u003d 3 3 \u003d 27

Răspuns: 27.

Dacă mai aveți întrebări, există dorința de a aborda mai bine soluția ecuațiilor. Voi fi bucuros să vă ajut!

De asemenea, TutorOnline vă sfătuiește să urmăriți un nou tutorial video de la profesorul nostru Olga Alexandrovna, care vă va ajuta să înțelegeți atât ecuațiile liniare, cât și altele.

site-ul blogului, cu copierea completă sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

O ecuație cu o necunoscută, care după deschiderea parantezelor și reducerea termenilor similari ia forma

ax + b \u003d 0, unde a și b sunt numere arbitrare, se numește ecuație liniară cu o necunoscută. Astăzi vom afla cum să rezolvăm aceste ecuații liniare.

De exemplu, toate ecuațiile:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x \u003d 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - liniar.

Se numește valoarea necunoscutului care transformă ecuația într-o adevărată egalitate decizie sau rădăcina ecuației .

De exemplu, dacă în ecuația 3x + 7 \u003d 13 în loc de x necunoscut pentru a înlocui numărul 2, atunci obținem egalitatea corectă 3 · 2 +7 \u003d 13. Aceasta înseamnă că valoarea x \u003d 2 este soluția sau rădăcina ecuației.

Și valoarea x \u003d 3 nu transformă ecuația 3x + 7 \u003d 13 într-o adevărată egalitate, deoarece 3 · 2 +7 ≠ 13. Prin urmare, valoarea x \u003d 3 nu este o soluție sau o rădăcină a ecuației.

Rezolvarea oricăror ecuații liniare se reduce la rezolvarea ecuațiilor de formă

ax + b \u003d 0.

Mutând termenul liber din partea stângă a ecuației spre dreapta, schimbând semnul din fața lui b în opus, obținem

Dacă a ≠ 0, atunci x \u003d - b / a .

Exemplul 1. Rezolvați ecuația 3x + 2 \u003d 11.

Mutați 2 din partea stângă a ecuației spre dreapta, în timp ce schimbați semnul din fața lui 2 în opus, obținem
3x \u003d 11 - 2.

Scade apoi
3x \u003d 9.

Pentru a găsi x, trebuie să împărțiți produsul la un factor cunoscut, adică
x \u003d 9: 3.

Prin urmare, valoarea x \u003d 3 este soluția sau rădăcina ecuației.

Răspuns: x \u003d 3.

Dacă a \u003d 0 și b \u003d 0, atunci obținem ecuația 0x \u003d 0. Această ecuație are infinit de multe soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0 obținem 0, dar b este, de asemenea, egal cu 0. Orice număr este o soluție la această ecuație.

Exemplul 2.Rezolvați ecuația 5 (x - 3) + 2 \u003d 3 (x - 4) + 2x - 1.

Să extindem parantezele:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Iată termeni similari:
0x \u003d 0.

Răspuns: x este orice număr.

Dacă a \u003d 0 și b ≠ 0, atunci obținem ecuația 0x \u003d - b. Această ecuație nu are soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0, obținem 0, dar b ≠ 0.

Exemplul 3.Rezolvați ecuația x + 8 \u003d x + 5.

Să grupăm termenii care conțin necunoscute în stânga și membrii liberi în dreapta:
x - x \u003d 5 - 8.

Iată termeni similari:
0x \u003d - 3.

Răspuns: nu există soluții.

Pe poza 1 arată schema de rezolvare a ecuației liniare

Să întocmim o schemă generală pentru rezolvarea ecuațiilor cu o singură variabilă. Luați în considerare soluția la exemplul 4.

Exemplul 4. Să se rezolve ecuația

1) Înmulțiți toți termenii ecuației cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor, egal cu 12.

2) După reducere, obținem
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 \u003d 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Pentru a separa membrii care conțin membri necunoscuți și liberi, extindem parantezele:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Să grupăm într-o parte membrii care conțin necunoscute, iar în cealaltă - membri liberi:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Iată termeni similari:
- 22x \u003d - 154.

6) Împărțiți la - 22, Primim
x \u003d 7.

După cum puteți vedea, rădăcina ecuației este șapte.

În general, așa ecuațiile pot fi rezolvate conform următoarei scheme:

a) aduceți ecuația la întreaga sa formă;

b) deschideți parantezele;

c) grupați termenii care conțin necunoscutul într-o parte a ecuației și termenii liberi în cealaltă;

d) aduc membri similari;

e) rezolvați o ecuație de forma ax \u003d b, care a fost obținută după aducerea unor termeni similari.

Cu toate acestea, această schemă nu este necesară pentru fiecare ecuație. Când rezolvați multe ecuații mai simple, trebuie să începeți nu cu prima, ci cu a doua ( Exemplu. 2), al treilea ( Exemplu. 13) și chiar din etapa a cincea, ca în exemplul 5.

Exemplul 5.Rezolvați ecuația 2x \u003d 1/4.

Găsiți necunoscutul x \u003d 1/4: 2,
x \u003d 1/8 .

Luați în considerare soluția unor ecuații liniare găsite la examenul principal de stare.

Exemplul 6.Rezolvați ecuația 2 (x + 3) \u003d 5 - 6x.

2x + 6 \u003d 5 - 6x

2x + 6x \u003d 5-6

Răspuns: - 0, 125

Exemplul 7.Rezolvați ecuația - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

- 30 + 18x \u003d 8x - 7

18x - 8x \u003d - 7 +30

Răspuns: 2.3

Exemplul 8. Rezolvați ecuația

3 (3x - 4) \u003d 4,7x + 24

9x - 12 \u003d 28x + 24

9x - 28x \u003d 24 + 12

Exemplul 9.Găsiți f (6) dacă f (x + 2) \u003d 3 7

Decizie

Deoarece trebuie să găsim f (6) și știm f (x + 2),
atunci x + 2 \u003d 6.

Rezolvați ecuația liniară x + 2 \u003d 6,
obținem x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.

Dacă x \u003d 4, atunci
f (6) \u003d 3 7-4 \u003d 3 3 \u003d 27

Răspuns: 27.

Dacă mai aveți întrebări, dacă doriți să înțelegeți mai bine soluția ecuațiilor, înscrieți-vă la lecțiile mele din PROGRAM. Voi fi bucuros să vă ajut!

De asemenea, TutorOnline vă sfătuiește să urmăriți un nou tutorial video de la profesorul nostru Olga Alexandrovna, care vă va ajuta să înțelegeți atât ecuațiile liniare, cât și altele.

site-ul, cu copierea completă sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.