Din punct de vedere practic, cea mai interesantă este utilizarea derivatului pentru a găsi cele mai mari și mai mici valori ale unei funcții. Care este motivul pentru asta? Maximizarea profiturilor, minimizarea costurilor, determinarea încărcării optime a echipamentelor ... Cu alte cuvinte, în multe domenii ale vieții trebuie să rezolvați problema optimizării oricăror parametri. Și aceasta este sarcina de a găsi cele mai mari și mai mici valori ale unei funcții.

Trebuie menționat că cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției este de obicei căutată pe un anumit interval X, care este fie întregul domeniu al funcției, fie o parte a domeniului. Intervalul X în sine poate fi un segment, un interval deschis , decalaj nesfârșit.

În acest articol, vom vorbi despre găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții date explicit de o variabilă y \u003d f (x).

Navigare prin pagină.

Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții este definirea, ilustrarea.

Scurtă-te pe definițiile de bază.

Funcția de cea mai mare valoare asta pentru orice   inegalitatea este adevărată.

Cea mai mică valoare a funcției  y \u003d f (x) pe intervalul X apelează această valoare asta pentru orice   inegalitatea este adevărată.

Aceste definiții sunt intuitive: cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții este cea mai mare (cea mai mică) valoare acceptată pe intervalul considerat cu o abscisă.

Puncte staționare  Sunt valorile argumentului la care derivata funcției devine zero.

De ce avem nevoie de puncte staționare atunci când găsim cele mai mari și mai mici valori? Răspunsul la această întrebare este dat de teorema lui Fermat. De la această teoremă rezultă că dacă o funcție diferențiată are un extrem (minim local sau maxim local) la un moment dat, atunci acest punct este staționar. Astfel, funcția ia adesea cea mai mare valoare (cea mai mică) pe intervalul X la unul dintre punctele staționare din acest interval.

De asemenea, funcția poate lua adesea cea mai mare și cea mai mică valoare în punctele în care prima derivată a acestei funcții nu există, iar funcția în sine este definită.

Răspundeți imediat la una dintre cele mai frecvente întrebări pe acest subiect: „Este întotdeauna posibil să se determine cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții”? Nu, nu întotdeauna. Uneori limitele intervalului X coincid cu limitele domeniului de definire a funcției sau intervalul X este infinit. Iar unele funcții la infinit și la granițele domeniului definiției pot lua valori infinit de mari sau infinitesimale. În aceste cazuri, nu se poate spune nimic despre cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției.

Pentru claritate, oferim o ilustrație grafică. Priviți imaginile și multe vor deveni clare.

Pe segment

În prima figură, funcția ia cele mai mari (max y) și cele mai mici (min y) valori în punctele staționare situate în interiorul intervalului [-6; 6].

Luați în considerare cazul prezentat în figura a doua. Schimbați segmentul la. În acest exemplu, cea mai mică valoare a funcției este obținută într-un punct staționar, iar cea mai mare într-un punct cu o abscisă corespunzătoare la limita dreaptă a intervalului.

În figura nr. 3, punctele de delimitare ale segmentului [-3; 2] sunt abscisele punctelor corespunzătoare celei mai mari și mai mici valori a funcției.

În intervalul deschis

În figura a patra, funcția ia cele mai mari (max y) și cele mai mici (min y) valori în punctele staționare situate în interiorul intervalului deschis (-6; 6).

La interval, nu se pot trage concluzii cu privire la cea mai mare valoare.

La infinit

În exemplul prezentat în figura a șaptea, funcția ia cea mai mare valoare (max y) într-un punct staționar cu o abscisă x \u003d 1, iar cea mai mică valoare (min y) este atinsă la limita dreaptă a intervalului. La infinit minus, valorile funcției se apropie asimptotic de y \u003d 3.

În interval, funcția nu atinge nici cea mai mică și nici cea mai mare valoare. Atunci când tinde spre x \u003d 2 pe partea dreaptă, valorile funcției tind să diminueze infinitul (linia x \u003d 2 este asimptotul vertical), iar când abscisa tinde să aducă un plus la infinit, valorile funcției se apropie asimptotic de y \u003d 3. O ilustrație grafică a acestui exemplu este prezentată în figura 8.

Algoritm pentru găsirea valorilor cele mai mari și mai mici ale unei funcții continue pe un segment.

Scriem un algoritm care ne permite să găsim cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții pe un segment.

1. Găsim domeniul de definire a funcției și verificăm dacă întregul segment este conținut în ea.
2. Găsim toate punctele la care prima derivată nu există și care sunt conținute în interval (de obicei, astfel de puncte se întâlnesc pentru funcții cu un argument sub semnul modulului și pentru funcții de putere cu un exponent rațional fracțional). Dacă nu există astfel de puncte, treceți la următorul articol.
3. Determinăm toate punctele staționare care se încadrează în segment. Pentru a face acest lucru, echivalează-l cu zero, rezolvă ecuația rezultată și selectează rădăcinile corespunzătoare. Dacă nu există puncte staționare sau niciunul dintre ele nu intră într-un segment, atunci trecem la punctul următor.
4. Calculăm valorile funcției la punctele staționare selectate (dacă există), în punctele în care prima derivată nu există (dacă există) și, de asemenea, pentru x \u003d a și x \u003d b.
5. Din valorile obținute ale funcției, selectăm cele mai mari și mai mici - acestea vor fi valorile dorite cele mai mari și, respectiv, cele mai mici.

Să analizăm algoritmul pentru rezolvarea exemplului găsirii valorilor cele mai mari și mai mici ale unei funcții pe un segment.

Un exemplu.

Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții

• pe segment;
• pe segmentul [-4; -1].

Decizie.

Domeniul funcției este întregul set de numere reale, cu excepția zero, adică. Ambele segmente se încadrează în domeniul definiției.

Găsim derivata funcției cu privire la:

Evident, derivata funcției există în toate punctele segmentelor și [-4; -1].

Punctele staționare sunt determinate din ecuație. Singura rădăcină valabilă este x \u003d 2. Acest punct staționar se încadrează în primul segment.

Pentru primul caz, calculăm valorile funcției la capetele segmentului și la punctul staționar, adică pentru x \u003d 1, x \u003d 2 și x \u003d 4:

Prin urmare, cea mai mare valoare a funcției   obținut la x \u003d 1, iar cea mai mică valoare   - la x \u003d 2.

Pentru al doilea caz, calculăm valorile funcției numai la capetele segmentului [-4; -1] (deoarece nu conține puncte staționare):

Decizie.

Să începem cu domeniul de definire a funcției. Trinomul pătrat din numitorul fracției nu trebuie să dispară:

Este ușor de verificat dacă toate intervalele din starea problemei aparțin domeniului de definire a funcției.

Diferențiem funcția:

Evident, derivatul există pe întregul domeniu de definire a funcției.

Găsiți punctele staționare. Derivatul dispare la. Acest punct staționar se încadrează în intervalele (-3; 1] și (-3; 2).

Și acum puteți compara rezultatele obținute în fiecare alineat cu graficul funcțional. Liniile în linie albastră indică asimptote.

Aceasta poate fi completată găsind cele mai mari și mai mici valori ale funcției. Algoritmii discutați în acest articol vă permit să obțineți rezultate cu o acțiune minimă. Cu toate acestea, poate fi util să se stabilească mai întâi intervalele de creștere și scădere a funcției și abia apoi să se tragă concluzii despre cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției pe orice interval. Acest lucru oferă o imagine mai clară și o justificare riguroasă a rezultatelor.

În acest articol voi vorbi despre algoritmul de căutare cu cea mai mare și cea mai mică valoare  funcții, puncte minime și maxime.

Din teorie, cu siguranță vom veni la îndemână tabel derivat  și reguli de diferențiere. Toate acestea sunt pe această placă:

Algoritmul pentru găsirea valorilor cele mai mari și cele mai mici.

Pentru mine este mai convenabil să explic cu un exemplu concret. Luați în considerare:

Un exemplu:  Găsiți cea mai mare valoare a funcției y \u003d x ^ 5 + 20x ^ 3–65x pe intervalul [–4; 0].

Pasul 1  Luați derivatul.

Y "\u003d (x ^ 5 + 20x ^ 3–65x)" \u003d 5x ^ 4 + 20 * 3x ^ 2 - 65 \u003d 5x ^ 4 + 60x ^ 2 - 65

Pasul 2  Găsiți punctele extreme.

Punctul extrem  numim astfel de puncte în care funcția atinge valoarea cea mai mare sau cea mai mică.

Pentru a găsi punctele extremului, este necesară echivalarea derivatului funcției la zero (y "\u003d 0)

5x ^ 4 + 60x ^ 2 - 65 \u003d 0

Acum rezolvăm această ecuație biquadratică, iar rădăcinile găsite sunt punctele noastre extreme.

Rezolvăm astfel de ecuații înlocuind t \u003d x ^ 2, apoi 5t ^ 2 + 60t - 65 \u003d 0.

Reducem ecuația cu 5, obținem: t ^ 2 + 12t - 13 \u003d 0

D \u003d 12 ^ 2 - 4 * 1 * (- 13) \u003d 196

T_ (1) \u003d (-12 + sqrt (196)) / 2 \u003d (-12 + 14) / 2 \u003d 1

T_ (2) \u003d (-12 - sqrt (196)) / 2 \u003d (-12 - 14) / 2 \u003d -13

Facem schimbarea inversă x ^ 2 \u003d t:

X_ (1 și 2) \u003d ± sqrt (1) \u003d ± 1
  x_ (3 și 4) \u003d ± sqrt (-13) (excludem că nu pot exista numere negative sub rădăcină, cu excepția cazului în care vorbim despre numere complexe)

Total: x_ (1) \u003d 1 și x_ (2) \u003d -1 - acestea sunt punctele noastre extreme.

Pasul 3  Determinați cea mai mare și cea mai mică valoare.

Metoda de înlocuire.

În condiție, ni s-a dat segmentul [b] [- 4; 0]. Punctul x \u003d 1 nu intră în acest segment. Deci nu o luăm în considerare. Dar, pe lângă punctul x \u003d -1, trebuie să luăm în considerare și limitele din stânga și din dreapta segmentului nostru, adică punctele -4 și 0. Pentru a face acest lucru, înlocuim toate aceste trei puncte în funcția inițială. Rețineți originalul - acesta este cel dat în condiție (y \u003d x ^ 5 + 20x ^ 3–65x), unii încep să se substituie în derivat ...

Y (-1) \u003d (-1) ^ 5 + 20 * (- 1) ^ 3 - 65 * (- 1) \u003d -1 - 20 + 65 \u003d [b] 44
  y (0) \u003d (0) ^ 5 + 20 * (0) ^ 3 - 65 * (0) \u003d 0
  y (-4) \u003d (-4) ^ 5 + 20 * (- 4) ^ 3 - 65 * (- 4) \u003d -1024 - 1280 + 260 \u003d -2044

Deci cea mai mare valoare a funcției este [b] 44 și se ajunge la punctul [b] -1, care se numește punctul maxim al funcției pe intervalul [-4; 0].

Am decis și am primit un răspuns, suntem super, puteți să vă relaxați. Dar opriți-vă! Nu credeți că numărarea y (-4) este cumva prea complicată? În condiții de timp limitat, este mai bine să folosiți o altă metodă, o numesc astfel:

La intervale de semn constant.

Aceste lacune se găsesc pentru derivata funcției, adică pentru ecuația noastră biquadratică.

O fac după cum urmează. Desenez un segment regizat. Pun punctele: -4, -1, 0, 1. În ciuda faptului că 1 nu este inclus în segmentul dat, trebuie totuși notat pentru a determina corect intervalele de semn constant. Ia un număr de mai multe ori mai mare decât 1, să zicem 100, înlocuiește-l mental în ecuația noastră biquadratică 5 (100) ^ 4 + 60 (100) ^ 2 - 65. Fără a lua în considerare nimic, devine evident că la punctul 100 funcția are plus semn. Și asta înseamnă că pentru intervale de la 1 la 100 are un semn plus. Când parcurgem 1 (mergem de la dreapta la stânga), funcția va schimba semnul în minus. La trecerea prin punctul 0, funcția își va păstra semnul, deoarece aceasta este doar limita segmentului și nu rădăcina ecuației. La trecerea prin -1, funcția schimbă din nou semnul în plus.

Din teorie, știm că unde este derivata funcției (și am desenat-o pentru ea) schimbă semnul de la plus la minus (punctul -1 în cazul nostru)  funcția atinge maximul său local (y (-1) \u003d 44, după cum a fost calculat anterior)  pe acest segment (acest lucru este logic foarte inteligibil, funcția a încetat să crească, deoarece a atins valoarea maximă și a început să scadă).

În consecință, în cazul în care derivat al funcției schimbă semnul de la minus la plusse realizează funcția minimă locală. Da, da, am găsit și punctul minim local este 1, iar y (1) este valoarea minimă a funcției pe segment, de la -1 la + ∞. Acordați mare atenție că acesta este doar un MINIM LOCAL, adică un minim pentru un anumit segment. Deoarece minimul real (global), funcția ajunge undeva acolo, la -∞.

În opinia mea, prima metodă este teoretic mai simplă, iar a doua este mai ușoară din punct de vedere al operațiilor aritmetice, dar mult mai complicată din punct de vedere al teoriei. Într-adevăr, uneori există momente în care o funcție nu schimbă semnul când traversăm rădăcina ecuației și, într-adevăr, te poți confunda cu aceste valori maxime și minime locale, cu toate că va trebui să stăpânești bine acest lucru dacă intenționezi să intri într-o universitate tehnică (și pentru de ce altfel faceți examenul de bază și rezolvați această sarcină). Dar exersați și doar practicați o dată pentru totdeauna vă vor învăța cum să rezolvați astfel de probleme. Și vă puteți antrena pe site-ul nostru. Aici.

Dacă aveți întrebări sau ceva nu este clar - asigurați-vă că întrebați. Voi fi fericit să vă răspund și să fac modificări, completări la articol. Amintiți-vă că facem acest site împreună!

Să vedem cum să explorăm o funcție folosind un grafic. Se pare că, privind tabelul, puteți afla tot ceea ce ne interesează, și anume:

• zona de definire a funcției
• intervalul valorii funcției
• zerouri de funcții
• intervale de creștere și scădere
• puncte maxime și minime
• cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției de pe segment.

Clarificați terminologia:

abscisă  este coordonata orizontală a punctului.
ordonată  - coordonată verticală.
Axa abscisă  - axa orizontală, cel mai des numită axă.
Axa ordonată  - axă verticală sau axă.

argument  - o variabilă independentă de care depind valorile funcției. Cel mai des indicat.
  Cu alte cuvinte, noi înșine alegem, înlocuim funcțiile în formulă și obținem.

regiune de determinare  funcții - setul acelor valori (și numai al acelor) argumente pentru care funcția există.
  Este desemnat: sau.

În figura noastră, domeniul de definire a funcției este un segment. Pe acest segment este desenat graficul funcțional. Numai aici există această funcție.

Intervalul valorii funcției  este ansamblul valorilor pe care le ia o variabilă. În figura noastră, acesta este un segment de la valoarea cea mai mică la cea mai mare.

Funcția zero  - puncte în care valoarea funcției este zero, adică. În figura noastră, acestea sunt puncte și.

Valorile funcției sunt pozitive  în cazul în care. În figura noastră, acestea sunt lacune și.
Valorile funcției sunt negative  în cazul în care. Avem acest interval (sau interval) de la to.

Cele mai importante concepte sunt crește și scade funcția  pe un set. Ca set, puteți lua un segment, un interval, o uniune de spații sau întreaga linie numerică.

funcție este în creștere

Cu alte cuvinte, cu atât mai mult, cu atât mai mult, adică graficul merge spre dreapta și în sus.

funcție scade pe set, dacă există și aparține setului, inegalitatea rezultă din inegalitate.

Pentru o funcție în scădere, o valoare mai mare corespunde unei valori mai mici. Graficul merge dreapta și jos.

În figura noastră, funcția crește în decalaj și scade în intervale și.

Definiți ce puncte maxime și minime ale funcției.

Punct maxim  este un punct intern al domeniului de definiție, astfel încât valoarea funcției din ea este mai mare decât în \u200b\u200btoate punctele suficient de aproape de ea.
  Cu alte cuvinte, punctul maxim este un astfel de punct, valoarea funcției la care mai maredecât în \u200b\u200bcele vecine. Aceasta este o „movilă” locală pe grafic.

În figura noastră, punctul maxim.

Punct minim  este punctul intern al domeniului de definiție, astfel încât valoarea funcției din ea este mai mică decât în \u200b\u200btoate punctele suficient de aproape de ea.
  Adică, punctul minim este astfel încât valoarea funcției în ea să fie mai mică decât în \u200b\u200bcele vecine. În grafic, aceasta este o "gaură" locală.

În figura noastră, punctul minim.

Ideea este granița. Nu este un punct intern al domeniului de definiție și, prin urmare, nu se încadrează în definiția punctului maxim. La urma urmei, nu are vecini în stânga. În același mod, în graficul nostru nu poate fi un punct minim.

Punctele maxime și minime sunt apelate colectiv puncte extreme ale funcției. În cazul nostru, acesta este.

Și ce să faci dacă trebuie să găsești, de exemplu, funcție minimă  pe segment? În acest caz, răspunsul este:. deoarece funcție minimă  este valoarea sa în punctul minim.

În mod similar, maximul funcției noastre este egal. Se ajunge la un moment dat.

Putem spune că extrema funcției este egală cu și.

Uneori în sarcini trebuie să le găsiți cele mai mari și mai mici valori ale funcției  pe un segment dat. Ele nu coincid neapărat cu extremele.

În cazul nostru cea mai mică valoare a funcției  pe interval este egal cu și coincide cu minimul funcției. Dar valoarea sa cea mai mare în acest segment este egală. Se ajunge la capătul stâng al segmentului.

În orice caz, cele mai mari și mai mici valori ale funcției continue pe segment sunt atinse fie în punctele extremului, fie la capetele segmentului.

Iar pentru a rezolva este nevoie de o minimă cunoaștere a temei. Anul universitar următor se încheie, toată lumea își dorește o vacanță, iar pentru a aduce acest moment mai aproape ajung imediat la afaceri:

Să începem cu zona. Zona respectivă în condiție este limitat închis   multe puncte ale avionului. De exemplu, un set de puncte delimitate de un triunghi, inclusiv triunghiul ALL (dacă de la hotarele  „Lipiți” cel puțin un punct, apoi zona nu va mai fi închisă). În practică există și zone cu forme dreptunghiulare, rotunde și ușor mai complexe. Trebuie menționat că definițiile stricte sunt date în teoria analizei matematice limitările, izolarea, limitele etc.Dar, cred, toată lumea este conștientă de aceste concepte la nivel intuitiv, dar acum nu sunt necesare mai multe.

O regiune plană este notată în mod standard printr-o literă și, de regulă, este definită analitic prin mai multe ecuații (nu neapărat liniar); mai rar inegalități. Circulația verbală tipică: „o zonă închisă delimitată de linii”.

O parte integrantă a sarcinii în cauză este construcția zonei din desen. Cum se face? Este necesar să desenați toate liniile enumerate (în acest caz, 3 direct) și analizați ce s-a întâmplat. Zona dorită este de obicei ușor eclozionată, iar marginea ei este evidențiată cu o linie îndrăzneață:


  Aceeași zonă poate fi setată și inegalități liniare:, care din anumite motive sunt mai des notate de o listă de enumerare, mai degrabă decât sistemul.
  Deoarece limita aparține regiunii, atunci toate inegalitățile, desigur, lax.

Și acum esența sarcinii. Imaginează-ți că o axă merge direct de la origine la tine. Luați în considerare o funcție care continuu în fiecare  zona punctului. Graficul acestei funcții reprezintă unele suprafațași o mică fericire este că pentru a rezolva problema de astăzi nu trebuie să știm cum arată această suprafață. Poate fi localizat mai sus, mai jos, pentru a traversa avionul - toate acestea nu sunt importante. Iar următoarele sunt importante: conform teoreme ale Weierstrass, continuu  în limitat închisfuncția atinge cea mai mare (cea mai mare)  iar cel mai mic (cel mai mic)  valori care trebuie găsite. Astfel de valori sunt atinse. sau  în puncte staționare, deținut de zonăD , sauîn punctele care se află la granița acestei zone. Ceea ce urmează este un algoritm de soluție simplu și transparent:

Exemplul 1

Într-o zonă închisă restrânsă

decizie: În primul rând, trebuie să descoperiți zona din desen. Din păcate, din punct de vedere tehnic îmi este dificil să fac un model interactiv al problemei și, prin urmare, voi da imediat ilustrația finală, care arată toate punctele „suspecte” găsite în timpul studiului. De obicei, acestea sunt aplicate una după alta, deoarece sunt detectate:

Pe baza preambulului, soluția este împărțită în mod convenabil în două puncte:

I) Găsiți punctele staționare. Aceasta este o acțiune standard pe care am efectuat-o în mod repetat în lecție. despre extrema mai multor variabile:

Am găsit punctul staționar aparține  domenii: (marcați-l în desen)ceea ce înseamnă că ar trebui să calculăm valoarea funcției la un moment dat:

  - ca în articol Cele mai mari și mai mici valori ale funcției de pe segment, Voi evidenția rezultatele importante cu caractere aldine. Într-un caiet sunt încercuite convenabil cu un creion.

Atenție la a doua fericire - nu are rost să verificăm condiție suficientă pentru extrem. De ce? Chiar dacă la un moment dat funcția atinge, de exemplu, minim local, ACEASTA NU ÎNTREBUIE să fie valoarea primită minim  în toată zona (vezi începutul lecției despre extremele necondiționate) .

Ce se întâmplă dacă punctul staționar NU aparține regiunii? Aproape nimic! Trebuie menționat acest lucru și treceți la paragraful următor.

II) Studiem limita regiunii.

Deoarece granița este formată din laturile triunghiului, este convenabil să împărțiți studiul în 3 subclauze. Dar este mai bine să nu o faci oricum. Din punctul meu de vedere, la început este mai profitabil să luăm în considerare segmente paralele cu axele de coordonate și, în primul rând, - situate pe axe în sine. Pentru a surprinde întreaga secvență și logica acțiunilor, încercați să studiați finalul „dintr-o dată”:

1) Înțelegeți partea de jos a triunghiului. Pentru a face acest lucru, înlocuim direct în funcția:

Ca opțiune, o puteți aranja astfel:

Geometric, asta înseamnă că planul de coordonate (care este dat și de ecuație)  „Sculptură” afară suprafață  Parabola „spațială”, a cărei vârf intră imediat sub suspiciune. Află unde este ea?:

  - valoarea obținută a „scăzut” în regiune și poate fi foarte bine ca la momentul respectiv (notă pe desen)  funcția atinge cea mai mare sau cea mai mică valoare din întreaga zonă. Într-un fel sau altul, efectuăm calculele:

Alți „candidați” sunt, desigur, capetele unui segment. Calculăm valorile funcției în puncte (notă pe desen):

Aici, apropo, puteți efectua o mini-verificare orală pe versiunea „dezbrăcată”:

2) Pentru a studia partea dreaptă a triunghiului, înlocuiți-l în funcție și „restabiliți ordinea acolo”:

Aici vom efectua imediat o verificare a proiectului, „sunând” capătul segmentului care a fost deja procesat:
Excelent.

Situația geometrică este legată de punctul precedent:

  - valoarea obținută a „intrat și în sfera intereselor noastre”, ceea ce înseamnă că trebuie să calculăm care este funcția în punctul care apare:

Examinăm al doilea capăt al segmentului:

Utilizarea funcției , efectuați o verificare:

3) Probabil, toată lumea ghicește cum să exploreze partea rămasă. Înlocuim funcția și efectuăm simplificări:

Capetele segmentului deja investigat, dar în proiect, încă verificăm dacă am găsit funcția corect :
  - a coincis cu rezultatul primului paragraf;
  - a coincis cu rezultatul celui de-al doilea paragraf.

Rămâne să aflăm dacă există ceva interesant în interiorul segmentului:

  - există! Substituind o linie dreaptă în ecuație, obținem ordinea acestui „interesant”:

Marcăm punctul din desen și găsim valoarea funcției corespunzătoare:

Controlăm calculele pe versiunea „buget” :
Procedura.

Și ultimul pas: Uită-te cu atenție la toate numerele „îndrăznețe”, pentru începători recomand chiar să alcătuiești o singură listă:

  din care selectăm valorile cele mai mari și mai mici. Răspunsul  scriem în stilul problemei de a găsi cele mai mari și mai mici valori ale funcției de pe segment:

În caz că voi face din nou comentarii asupra sensului geometric al rezultatului:
  - aici este cel mai înalt punct de suprafață din zonă;
  - aici este cel mai mic punct de suprafață din zonă.

În sarcina dezasamblată, am identificat 7 puncte „suspecte”, dar numărul acestora variază de la sarcină la sarcină. Pentru o regiune triunghiulară, „setul de cercetare” minim constă din trei puncte. Acest lucru se întâmplă când setează o funcție, de exemplu avionul  - este clar că nu există puncte staționare, iar funcția poate atinge cele mai mari / mici valori doar la vârfurile triunghiului. Dar astfel de exemple o dată, de două ori și eronate greșit - de obicei trebuie să se ocupe de oricare suprafața de ordinul 2.

Dacă rezolvați astfel de sarcini, atunci capul poate merge rotund din triunghiuri și, prin urmare, am pregătit exemple neobișnuite pentru ca tu să-l faci pătrat :))

Exemplul 2

Găsiți cele mai mari și mai mici valori ale funcției   într-o zonă închisă delimitată de linii

Exemplul 3

Găsiți cele mai mari și mai mici valori ale unei funcții într-un domeniu închis delimitat.

Acordați o atenție deosebită ordinii și tehnicii raționale de studiere a limitelor regiunii, precum și lanțului de verificări intermediare, care va evita aproape complet erorile de calcul. În general, îl puteți rezolva așa cum doriți, dar în unele probleme, de exemplu, în același Exemplu 2, există toate șansele să vă complicați semnificativ viața. Un eșantion de proiectare finală a sarcinilor la sfârșitul lecției.

Sistematizăm algoritmul soluției și chiar cu sârguința mea de păianjen, s-a pierdut cumva în firul lung al comentariilor din primul exemplu:

- La primul pas, construim o regiune, este de dorit să o facem umbrită și să evidențiem granița cu o linie îndrăzneață. În timpul soluției, vor apărea puncte care trebuie puse pe desen.

- Găsiți punctele staționare și calculați valorile funcției numai în aceia dintre eicare aparțin zonei. Valorile obținute sunt evidențiate în text (de exemplu, facem cerc cu un creion). Dacă punctul staționar NU aparține regiunii, atunci marcăm acest fapt cu un simbol sau verbal. Dacă nu există deloc puncte staționare, atunci tragem o concluzie scrisă că acestea sunt absente. În orice caz, acest articol nu trebuie să fie omis!

- Explorați zona de frontieră. În primul rând, este benefic să abordăm linii care sunt paralele cu axele coordonatelor (dacă există). Valorile funcției calculate la punctele „suspecte” sunt de asemenea evidențiate. Mai multe s-au spus mai sus despre tehnica soluției și altceva se va spune mai jos - citiți, citiți, descoperiți!

- Din numerele selectate, selectați cele mai mari și mai mici valori și dați un răspuns. Uneori se întâmplă ca o funcție să atingă astfel de valori simultan în mai multe puncte - în acest caz, toate aceste puncte ar trebui reflectate în răspuns. Să, de exemplu,   și s-a dovedit a fi cea mai mică valoare. Apoi scriem asta

Exemplele finale sunt dedicate altor idei utile care vor fi utile în practică:

Exemplul 4

Găsiți cele mai mari și mai mici valori ale unei funcții într-un domeniu închis .

Am păstrat formularea autorului, în care regiunea este dată ca o dublă inegalitate. Această condiție poate fi scrisă într-un sistem echivalent sau într-o formă mai tradițională pentru această sarcină:

Îți amintesc asta cu neliniara  am întâlnit inegalități și dacă nu înțelegeți semnificația geometrică a înregistrării, atunci vă rugăm să nu amânați și să clarificați situația chiar acum ;-)

decizie, ca întotdeauna, începe cu construcția zonei, care este un fel de „talpă”:

Hmm, uneori trebuie să muști nu numai granitul științei ...

I) Găsiți punctele staționare:

Sistemul este visul unui idiot :)

Punctul staționar aparține regiunii și anume se află la limita ei.

Și deci, nu este nimic ... lecția distractivă nu a decurs - asta înseamnă să bei ceaiul potrivit \u003d)

II) Studiem limita regiunii. Fără alte detalii, să începem cu axa abscisă:

1) Dacă, atunci

Găsiți unde este partea de sus a parabolei:
  - apreciază astfel de momente - „lovește” direct în punctul din care totul este deja clar. Dar oricum nu uitați de verificare:

Calculăm valorile funcției la capetele segmentului:

2) Ne vom ocupa de partea de jos a „tălpii” „într-o singură ședință” - fără complexe, o vom înlocui în funcție și vom fi interesați doar de segment:

de control:

Acum acest lucru aduce deja o renaștere la călătoria monotonă de-a lungul rutului. Găsiți punctele critice:

rezolva ecuația pătratică, îți amintești mai multe despre asta? ... Cu toate acestea, amintiți-vă, desigur, altfel nu ar fi citit aceste rânduri \u003d) Dacă în cele două exemple anterioare calculele în fracții zecimale ar fi convenabile (ceea ce, apropo, este o raritate), atunci așteptăm fracțiile obișnuite. Găsim rădăcinile „x” și, folosind ecuația, determinăm coordonatele „jocului” corespunzătoare ale punctelor „candidat”:


  Calculăm valorile funcției în punctele găsite:

Verificați singur funcția.

Acum studiați cu atenție trofeele câștigate și scrieți raspunsul:

Aceștia sunt „candidații”, deci „candidații”!

Pentru o soluție independentă:

Exemplul 5

Găsiți cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții   într-o zonă închisă

Înregistrarea cu bretele scrie astfel: „o mulțime de puncte, așa că”.

Uneori în astfel de exemple se folosește metoda de multiplicare Lagrange, dar este puțin probabil să apară adevărata nevoie de aplicare. Deci, de exemplu, dacă o funcție este dată cu aceeași regiune „de”, atunci după înlocuirea ei, ea este derivată fără dificultăți; în plus, totul este întocmit într-o „linie unică” (cu semne), fără a fi nevoie să luați în considerare separat semicercurile superioare și inferioare. Dar, desigur, există cazuri mai complicate în care fără funcția Lagrange (unde, de exemplu, aceeași ecuație a unui cerc)  dificil de gestionat - cât de dificil este să faci fără o odihnă bună!

Este bine ca toată lumea să treacă sesiunea și să ne vedem curând în sezonul viitor!

Decizii și răspunsuri:

Exemplul 2: decizie: desenează zona din desen:

Uneori, sarcinile B15 întâlnesc funcții „proaste” pentru care este dificil să găsești un derivat. Anterior, aceasta a fost doar pe sonde, dar acum aceste sarcini sunt atât de comune încât nu mai pot fi ignorate în pregătirea acestui examen.

În acest caz, alte trucuri funcționează, dintre care unul este monotonie.

O funcție f (x) se numește creșterea monotonă pe un segment dacă, pentru orice puncte x 1 și x 2 ale acestui segment, se menține următoarele:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

O funcție f (x) se numește descrește monoton pe un segment dacă pentru orice puncte x 1 și x 2 ale acestui segment, se menține următoarele:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1)\u003e f ( x 2).

Cu alte cuvinte, pentru o funcție în creștere, cu cât este mai mare x, cu atât este mai mare f (x). Pentru o funcție în scădere, opusul este adevărat: x mai mare, mai puțin  f (x).

De exemplu, logaritmul crește monoton dacă baza a\u003e 1 și scade monoton dacă 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) \u003d log a x (a\u003e 0; a ≠ 1; x\u003e 0)

Rădăcina aritmetică pătrată (și nu numai pătrată) crește monoton pe întregul domeniu:

Funcția exponențială se comportă similar cu logaritmul: crește la\u003e 1 și scade la 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) \u003d a x (a\u003e 0)

În cele din urmă, grade cu indicator negativ. Le puteți scrie ca fracție. Au un punct de pauză la care se încălcă monotonia.

Toate aceste funcții nu se găsesc niciodată în forma lor pură. Ele adaugă polinoame, fracții și alte prostii, din cauza cărora devine dificil să ia în considerare derivatul. Ce se întâmplă în același timp - acum vom analiza.

Coordonatele vertexului parabolei

Cel mai adesea, argumentul funcției este înlocuit cu trinomial pătrat  de forma y \u003d ax 2 + bx + c. Programul său este o parabolă standard în care ne interesează:

1. Ramurile de parabolă - pot urca (pentru\u003e 0) sau în jos (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Vertexul unei parabole este punctul extrem al unei funcții pătratice la care această funcție își are cea mai mică (pentru\u003e 0) sau cea mai mare (a< 0) значение.

Cel mai mare interes este tocmai top parabolaa căror abscisă este calculată după formula:

Deci, am găsit punctul extrem al unei funcții cvadratice. Dar dacă funcția inițială este monotonă, pentru ea punctul x 0 va fi și un punct extrem. Astfel, formulăm o regulă cheie:

Punctele extreme ale trinomului pătrat și funcția complexă în care intră coincid. Prin urmare, puteți căuta x 0 pentru trinomul cvadratic și punctarea pe funcție.

Din considerentele de mai sus, rămâne neclar exact ce punct obținem: maxim sau minim. Cu toate acestea, sarcinile sunt special concepute astfel încât să nu conteze. Judecă-te pentru tine:

1. Nu există linie în starea sarcinii. Prin urmare, f (a) și f (b) nu trebuie să fie calculate. Rămâne să luăm în considerare doar puncte extreme;
2. Dar există doar un astfel de punct - acesta este vertexul parabolei x 0, ale cărui coordonate sunt calculate literalmente și fără derivate.

Astfel, soluția problemei este mult simplificată și se reduce la doar doi pași:

1. Scrieți ecuația parabolei y \u003d ax 2 + bx + c și găsiți vertexul după formula: x 0 \u003d −b / 2a;
2. Găsiți valoarea funcției originale în acest moment: f (x 0). Dacă nu există condiții suplimentare, acesta va fi răspunsul.

La prima vedere, acest algoritm și justificarea lui pot părea complicate. În mod intenționat nu stabilesc o schemă de soluție „goală”, deoarece aplicarea fără gând a unor astfel de reguli este plină de erori.

Luați în considerare problemele reale din examenul de testare în matematică - aici este cea mai des întâlnită această tehnică. În același timp, ne vom asigura că în acest fel multe dintre sarcinile B15 devin aproape verbale.

Sub rădăcină este o funcție patratică y \u003d x 2 + 6x + 13. Graficul acestei funcții este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece coeficientul a \u003d 1\u003e 0.

Partea de sus a parabolei:

x 0 \u003d −b / (2a) \u003d −6 / (2 · 1) \u003d −6/2 \u003d −3

Deoarece ramurile parabolei sunt direcționate în sus, în punctul x 0 \u003d −3, funcția y \u003d x 2 + 6x + 13 ia cea mai mică valoare.

Rădăcina crește monoton, deci x 0 este punctul minim al întregii funcții. Avem:

Sarcină. Găsiți cea mai mică valoare a funcției:

y \u003d jurnal 2 (x 2 + 2x + 9)

Sub logaritm este din nou o funcție patratică: y \u003d x 2 + 2x + 9. Graficul este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece a \u003d 1\u003e 0.

Partea de sus a parabolei:

x 0 \u003d −b / (2a) \u003d −2 / (2 · 1) \u003d −2/2 \u003d −1

Deci, la punctul x 0 \u003d −1, funcția cvadratică ia cea mai mică valoare. Dar funcția y \u003d log 2 x este monotonă, prin urmare:

y min \u003d y (−1) \u003d log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) \u003d ... \u003d log 2 8 \u003d 3

Exponentul are o funcție patratică y \u003d 1 - 4x - x 2. O rescriem în forma sa normală: y \u003d −x 2 - 4x + 1.

Evident, graficul acestei funcții este parabola, se ramifică în jos (a \u003d −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 \u003d −b / (2a) \u003d - (- 4) / (2 · (−1)) \u003d 4 / (- 2) \u003d −2

Funcția inițială este exponențială, este monotonă, deci valoarea cea mai mare va fi la punctul găsit x 0 \u003d −2:

Un cititor atent va observa probabil că nu am scris zona valorilor admise ale rădăcinii și logaritmului. Dar acest lucru nu a fost necesar: există funcții în interior, ale căror valori sunt întotdeauna pozitive.

Consecințe din domeniul definirii funcției

Uneori, pentru a rezolva problema B15, nu este suficient doar să găsești partea de sus a parabolei. Valoarea dorită poate fi la sfârșitul segmentului, dar deloc în punctul extrem. Dacă sarcina nu specifică deloc un segment, ne uităm interval admis  funcția sursă. Și anume:

Vă rugăm să rețineți: zero poate fi sub rădăcină, dar niciodată în logaritm sau numitor al fracției. Să vedem cum funcționează acest lucru pe exemple specifice:

Sarcină. Găsiți cea mai mare valoare a funcției:

Sub rădăcină este din nou o funcție patratică: y \u003d 3 - 2x - x 2. Graficul ei este o parabolă, dar se ramifică, deoarece a \u003d −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Notăm aria valorilor admise (ODZ):

3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x - 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Acum găsiți partea de sus a parabolei:

x 0 \u003d −b / (2a) \u003d - (- 2) / (2 · (−1)) \u003d 2 / (- 2) \u003d −1

Punctul x 0 \u003d −1 aparține segmentului ODZ - și acest lucru este bun. Acum avem în vedere valoarea funcției la punctul x 0, precum și la capetele SDL:

y (−3) \u003d y (1) \u003d 0

Deci, am obținut numerele 2 și 0. Ni se cere să găsim cel mai mare - acesta este numărul 2.

Sarcină. Găsiți cea mai mică valoare a funcției:

y \u003d log 0,5 (6x - x 2 - 5)

În interiorul logaritmului există o funcție cvadratică y \u003d 6x - x 2 - 5. Aceasta este o parabolă cu ramurile în jos, dar nu poate exista numere negative în logaritm, prin urmare scriem ODZ:

6x - x 2 - 5\u003e 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Vă rugăm să rețineți: inegalitatea este strictă, astfel încât scopurile nu aparțin de ODZ. Aceasta diferă de logaritmul rădăcinii, unde capetele segmentului suntem destul de mulțumiți.

Căutăm partea de sus a parabolei:

x 0 \u003d −b / (2a) \u003d −6 / (2 · (−1)) \u003d −6 / (- 2) \u003d 3

Vertexul parabolei se încadrează în ODZ: x 0 \u003d 3 ∈ (1; 5). Dar, deoarece capetele segmentului nu ne interesează, considerăm valoarea funcției doar la punctul x 0:

y min \u003d y (3) \u003d log 0,5 (6 · 3 - 3 2 - 5) \u003d log 0,5 (18 - 9 - 5) \u003d log 0,5 4 \u003d −2