În cursul algebrei de gradul 7, am fost angajați în transformări ale expresiilor întregi, adică expresii compuse din numere și variabile folosind acțiunile de adăugare, scădere și multiplicare, precum și diviziuni la un alt număr decât zero. Deci, expresiile sunt numere întregi.

Spre deosebire de expresii

În plus față de acțiunea de adăugare, scădere și multiplicare, conțin diviziune în expresie cu variabile. Astfel de expresii se numesc expresii fracționate.

Expresiile întregi și fracționate sunt numite expresii raționale.

O expresie întregă are sens cu orice valoare a variabilelor incluse în acesta, deoarece pentru a găsi valoarea întregii expresii, trebuie să efectuați acțiuni care sunt întotdeauna posibile.

Expresia fracționată la unele valori ale variabilelor nu poate avea sens. De exemplu, expresia - nu are sens la a \u003d 0. Pentru toate celelalte valori, și această expresie are sens. Expresia are sens la acele x și y, când x ≠ y.

Valorile variabilelor în care expresia are sens se numește valori valide ale variabilelor.

Exprimarea speciei este numită, după cum știți, prin fracțiune.

Fracțiunea, număratorul și numitorul care sunt polinomi, numiți o fracțiune rațională.

Exemple de fracțiuni raționale servesc

În fracțiunea rațională, acele valori ale variabilelor în care denomotantul fracției nu sunt adresate zero.

Exemplul 1. Găsiți valorile admisibile ale variabilei în fracțiune

DeciziePentru a găsi, în ce valori, denominatorul este tras la zero, este necesar să se rezolve ecuația A (A - 9) \u003d 0. Această ecuație are două rădăcini: 0 și 9. Prin urmare, valorile admise ale variabilei a sunt toate numerele cu excepția 0 și 9.

Exemplul 2. Cu ce \u200b\u200bvaloare x valoarea fracției este egal cu zero?

DecizieFracțiunea este zero dacă și numai atunci când A - 0 și B ≠ 0.

Acest articol discută modul de găsire a valorilor expresiilor matematice. Să începem cu expresii numerice simple și apoi vom lua în considerare cazurile în timp ce își măresc complexitatea. La final, oferim o expresie care conține denumiri alfabetice, paranteze, rădăcini, semne matematice speciale, grade, funcții etc. Toată teoria, conform tradiției, furnizează exemple abundente și detaliate.

Cum să găsiți o valoare a unei expresii numerice?

Expresii numerice, printre altele, ajută la descrierea stării problemei cu limba matematică. În general, expresiile matematice pot fi atât foarte simple, constând dintr-o pereche de numere și semne aritmetice și foarte complexe, care conțin funcții, grade, rădăcini, paranteze etc. Ca parte a sarcinii, este adesea necesară găsirea unei valori a unei anumite expresii. Despre cum să o faci și vor fi discutate mai jos.

Cele mai simple cazuri

Aceste cazuri în care expresia nu conține nimic decât numerele și acțiune aritmetică. Pentru a găsi cu succes valorile unor astfel de expresii, aveți nevoie de cunoaștere a procedurii de efectuare a acțiunilor aritmetice fără paranteze, precum și capacitatea de a efectua acțiuni cu numere diferite.

Dacă există numai numere și semne aritmetice "+", "·", "-", "÷", "," - "," ÷ ", atunci acțiunile sunt efectuate de la stânga la dreapta în următoarea ordine: prima multiplicare și diviziune, apoi adăugarea și scăderea. Dăm exemple.

Exemplu 1. Valoarea expresiei numerice

Să fie necesar să se găsească valorile expresiei 14 - 2 × 15 ÷ 6 - 3.

Efectuați prima multiplicare și diviziune. Primim:

14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 \u003d 14 - 30 ÷ 6 - 3 \u003d 14 - 5 - 3.

Acum realizăm scăderea și obținem rezultatul final:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Exemplul 2. Valoarea expresiei numerice

Calculați: 0, 5 - 2, - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

În primul rând, efectuăm conversia fracțiilor, diviziunii și multiplicării:

0, 5-2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 \u003d 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12 \u003d 1 2 - (- 14) + 2 3,4 11 · 11 12 \u003d 1 2 - (- 14) + 2 9.

Acum ne vom ocupa de dependență și de scădere. Groind fracțiunea și le dau unui numitor comun:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Valoarea dorită se găsește.

Expresii cu paranteze

Dacă expresia conține paranteze, determină procedura din această expresie. În primul rând, acțiunile sunt efectuate în paranteze, apoi toate celelalte. Arătați-o pe exemplu.

Exemplul 3. Valoarea expresiei numerice

Găsiți valoarea de expresie de 0, 5 · (0, 76 - 0, 06).

În expresia există paranteze, astfel încât să efectueze mai întâi operația de scădere a paranteze și numai mai târziu - multiplicare.

0, 5 · (0, 76 - 0, 06) \u003d 0, 5 · 0, 7 \u003d 0, 35.

Valoarea expresiilor care conțin paranteze în paranteze este situată pe același principiu.

Exemplul 4. Valoarea expresiei numerice

Calculăm valoarea de 1 + 2 · 1 + 2,1 + 2 · 1 - 1 4.

Executarea acțiunilor vor începe cu cele mai multe paranteze, care se deplasează la extern.

1 + 2 · 1 + 2,1 + 2 · 1 - 1 4 \u003d 1 + 2 · 1 + 2,1 + 2 · 3 4

1 + 2 · 1 + 2,1 + 2 · 3 4 \u003d 1 + 2,1 + 2,2, 5 \u003d 1 + 2,6 \u003d 13.

În găsirea de valori ale expresiilor cu paranteze, principalul lucru este să urmați secvența de acțiuni.

Expresii cu rădăcini

Expresiile matematice ale căror valori trebuie să le găsim pot conține semne rădăcină. Mai mult, expresia în sine poate fi sub semnul rădăcinii. Cum să fii în acest caz? Mai întâi trebuie să găsiți valoarea expresiei sub rădăcină, apoi scoateți rădăcina de la numărul obținut ca rezultat. Dacă este posibil din rădăcinile din expresii numerice, este mai bine să scăpăm, înlocuind de la valori numerice..

Exemplul 5. Valoarea expresiei numerice

Calculați valoarea expresiei cu rădăcinile - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3,2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Mai întâi calculați expresiile de alimentare.

2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 \u003d - 6 - 1 + 15 3 \u003d 8 3 \u003d 2

2, 2 + 0, 1 · 0, 5 \u003d 2, 2 + 0, 05 \u003d 2, 25 \u003d 1, 5.

Acum puteți calcula valoarea întregii expresii.

2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3,2, 2 + 0, 1 · 0, 5 \u003d 2 + 3,1, 5 \u003d 6, 5

Adesea găsirea valorii expresiei cu rădăcinile adesea trebuie să efectueze mai întâi transformarea expresiei originale. Să-i explicăm unui alt exemplu.

Exemplul 6. Valoarea expresiei numerice

Câți vor fi 3 + 1 3 - 1 - 1

După cum puteți vedea, nu avem posibilitatea de a înlocui rădăcina cu o valoare exactă care complică procesul de cont. Cu toate acestea, în acest caz, puteți aplica formula pentru multiplicare abreviată.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

În acest fel:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Expresii cu grade

Dacă există grade în exprimare, valorile lor trebuie să fie calculate înainte de a începe toate celelalte acțiuni. Se întâmplă că indicatorul însuși sau fundamentul gradului este expresii. În acest caz, calculați mai întâi valoarea acestor expresii și apoi valoarea gradului.

Exemplul 7. Valoarea unei expresii numerice

Găsiți valoarea expresiei 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

Începem să calculăm în ordine.

2 3 · 4 - 10 \u003d 2 12 - 10 \u003d 2 2 \u003d 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 \u003d 16 * 0, 5 3 \u003d 16,1 8 \u003d 2.

Rămâne doar pentru a efectua adăugarea operației și pentru a afla valoarea expresiei:

2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2,1 4 \u003d 4 + 2 \u003d 6.

De asemenea, este adesea recomandabil să simplificați expresia utilizând proprietățile de gradul.

Exemplul 8. Valoarea expresiei numerice

Calculăm valoarea următoarei expresii: 2 - 2 5,4 5 - 1 + 3 1 3 6.

Indicatorii de grade sunt din nou astfel încât valorile lor numerice exacte să nu poată primi. Simplificați expresia inițială pentru a-și găsi valoarea.

2 - 2 5,4 5 - 1 + 3 1 3 6 \u003d 2 - 2 5 · 2 2 5 - 1 + 3 1 3 · 6

2 - 2 5 · 2 2 5 - 1 + 3 1 3,6 \u003d 2-25 · 22,5-2 + 3 2 \u003d 2 2,5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 · 5-2-2 5 + 3 2 \u003d 2 - 2 + 3 \u003d 1 4 + 3 \u003d 3 1 4

Expresii cu fracțiuni

Dacă expresia conține o fracțiune, atunci când se calculează o astfel de expresie, toate fracțiunile trebuie reprezentate sub formă de fracțiuni obișnuite și pot calcula valorile lor.

Dacă expresiile sunt prezente în numărător și numitor, se calculează valorile acestor expresii, iar valoarea finală a fracțiunii în sine este scrisă. Acțiunile aritmetice sunt efectuate în ordinea standard. Luați în considerare soluția exemplului.

Exemplul 9. Valoarea expresiei numerice

Găsiți valoarea expresiei care conține fracția: 3, 2 2 - 3,7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

După cum puteți vedea, există trei fracții în expresia inițială. Calculăm mai întâi valorile lor.

3, 2 2 \u003d 3, 2 ÷ 2 \u003d 1, 6

7 - 2 · 3 6 \u003d 7 - 6 6 \u003d 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 \u003d 1 + 2 + 3 9 - 3 \u003d 6 6 \u003d 1.

Rescriem expresia noastră și calculați valoarea sa:

1, 6 - 3,1 6 ÷ 1 \u003d 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 \u003d 1, 1

Adesea, la exprimarea valorilor, este convenabil să se reducă fracțiunile. Există o regulă verificată: orice expresie înainte de a-și găsi valoarea este cea mai bună pentru a simplifica maximul, reducerea tuturor calculelor la cele mai simple cazuri.

Exemplul 10. Valoarea expresiei numerice

Calculăm expresia 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Cu toate acestea, nu putem ridica rădăcina de cinci, putem simplifica expresia inițială prin transformări.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Expresia inițială ia forma:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Calculați valoarea acestei expresii:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Expresii cu logaritms.

Când logaritmii sunt prezenți în expresie, valoarea lor, dacă este posibil, este calculată încă de la început. De exemplu, în log 2 4 + 2 · 4 puteți scrie imediat valoarea acestui logaritm și apoi efectuați toate acțiunile. Obținem: log 2 4 + 2,4 \u003d 2 + 2 · 4 \u003d 2 + 8 \u003d 10.

Sub semnul logaritmului însuși și în fundația sa, pot exista și expresii numerice. În acest caz, primul lucru este semnificația lor. Luați logul de expresie 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Avem:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 \u003d log 3 27 + 7 \u003d 3 + 7 \u003d 10.

Dacă este imposibil să se calculeze valoarea exactă a logaritmului, simplificarea expresiei ajută la găsirea valorii acesteia.

Exemplul 11. Valoarea expresiei numerice

Vom găsi valoarea logului de expresie 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.

log 2 log 2 256 \u003d log 2 8 \u003d 3.

De către proprietatea logaritmilor:

log 6 2 + log 6 3 \u003d log 6 (2 · 3) \u003d log 6 6 \u003d 1.

Recomandarea proprietăților logaritmilor, pentru ultima fracțiune din expresia pe care o obținem:

log 5 729 Log 0, 2 27 \u003d log 5 729 log 1 5 27 \u003d log 5 729 - log 5 27 \u003d - log 27 729 \u003d - Log 27 27 2 \u003d - 2.

Acum puteți merge la calculul valorii expresiei originale.

log 2 log 2 256 + log 6 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 \u003d 3 + 1 + - 2 \u003d 2.

Expresii cu funcții trigonometrice

Se întâmplă că în expresie există funcții trigonometrice de sinus, cosin, tangente și catangente, precum și funcții, le inversează. Din valoarea se calculează înainte de a efectua toate celelalte acțiuni aritmetice. În caz contrar, expresia este simplificată.

Exemplul 12. Valoarea expresiei numerice

Găsiți valoarea expresiei: t g 2 4 π 3 - SIN - 5 π 2 + COSπ.

În primul rând, calculați valorile funcțiilor trigonometrice incluse în expresie.

sIN - 5 π 2 \u003d - 1

Înlocuim valorile în expresie și calculați valoarea acestuia:

t G 2 4 π 3 - SIN - 5 π 2 + COSπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Valoarea expresiei este găsită.

Adesea pentru a găsi valoarea expresiei cu funcții trigonometriceEste pre-convertit-o. Să explicăm de exemplu.

Exemplul 13. Valoarea expresiei numerice

Este necesar să găsiți valoarea expresiei Cos 2 π 8 - SIN 2 π 8 Cos 5 π 36 COS π 9 - SIN 5 π 36 SIN π 9 - 1.

Pentru conversie, vom folosi formule trigonometrice cu unghiul dual și cantitățile cosinoase.

cos 2 π 8 - SIN 2 π 8 COS 5 π 36 COS π 9 - SIN 5 π 36 SIN π 9 - 1 \u003d Cos 2 π 8 Cos 5 π 36 + π 9 - 1 \u003d COS π 4 COS π 4 - 1 \u003d 1 - 1 \u003d 0.

Cazul general de expresie numerică

În general, expresia trigonometrică poate conține toate elementele descrise mai sus: paranteze, grade, rădăcini, logaritmi, funcții. Formulăm regula generală de a găsi valori ale unor astfel de expresii.

Cum să găsiți o valoare de expresie

1. Rădăcini, diplome, logaritmi etc. Înlocuit cu valorile lor.
2. Acțiunile sunt efectuate în paranteze.
3. Acțiunile rămase sunt efectuate în ordinea de la stânga la dreapta. Primul - multiplicare și diviziune, apoi adăugarea și scăderea.

Vom analiza un exemplu.

Exemplul 14. Valoarea expresiei numerice

Calculați, ceea ce este egal cu valoarea expresiei - 2 · SIN π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 LN E 2 + 1 + 3 9.

Expresia este destul de complexă și greoaie. Nu am ales accidental un astfel de exemplu, având în vedere toate cazurile descrise mai sus. Cum să găsiți semnificația unei astfel de expresii?

Se știe că atunci când se calculează valoarea unei vizualizări fracționare complexe, mai întâi separat există valorile numărătorului și respectiv a numitorului fracției. Vom converti și simplifica această expresie.

În primul rând, calculează valoarea expresiei de alimentare 2 · SIN π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți valoarea sinusurilor și expresii, care este argumentul unei funcții trigonometrice.

π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 \u003d π 6 + 2 · 2 π + 3 π 5 \u003d π 6 + 2 · 5 π 5 \u003d π 6 + 2 π

Acum puteți afla valoarea sinusoitului:

sIN π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 \u003d SIN π 6 + 2 π \u003d SIN π 6 \u003d 1 2.

Calculați valoarea expresiei de alimentare:

2 · SIN π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 \u003d 2 · 1 2 + 3 \u003d 4

2 · SIN π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 \u003d 4 \u003d 2.

Cu numitor, fracțiunea este din ce în ce mai mult:

Acum putem scrie valoarea întregii fracțiuni:

2 · SIN π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 LN E 2 \u003d 2 2 \u003d 1.

Având în vedere acest lucru, scriem toată expresia:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Rezultat final:

2 · SIN π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 LN E 2 + 1 + 3 9 \u003d 27.

În acest caz, am reușit să calculam valorile exacte ale rădăcinilor, logaritmilor, sinusurilor etc. Dacă nu există o astfel de posibilitate, puteți încerca să scăpați de transformările matematice.

Calculul valorilor expresiilor prin metode raționale

Calculați valorile numerice trebuie să fie secvențial și îngrijite. Acest proces poate fi raționalizat și accelerat folosind diferite proprietăți ale acțiunilor cu numere. De exemplu, se știe că lucrarea este zero dacă zero este egală cu cel puțin unul dintre multiplicatori. Având în vedere această proprietate, puteți spune imediat că expresia 2 · 386 + 5 + 589 4 1 - SIN 3 π 4 · 0 este zero. În același timp, nu este deloc necesar să se efectueze acțiuni în ordinea descrisă în articolul de mai sus.

Este, de asemenea, convenabil să utilizați proprietatea deducere a numerelor egale. Nu efectuarea niciunei acțiuni, se poate ordona ca valoarea expresiei 56 + 8 - 3, 789 ln E 2 - 56 + 8-3, 789 LN E 2 este, de asemenea, zero.

O altă tehnică care vă permite să accelerați procesul - utilizarea transformărilor identice, cum ar fi o grupare de termeni și multiplicatori și un factor comun pentru paranteze. O abordare rațională a calculării expresiilor cu fracțiunile este de a reduce aceleași expresii într-un numitor și numitor.

De exemplu, luăm expresia 2 3 - 1 5 + 3,289 · 3 4 3 · 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4. Nu efectuați acțiuni în paranteze, dar prin reducerea fracțiunii, putem spune că valoarea expresiei este de 1 3.

Găsirea valorilor expresiilor cu variabile

Valoarea expresiei și expresiei literei cu variabile este pentru valori specifice specifice ale literelor și variabilelor.

Găsirea valorilor expresiilor cu variabile

Pentru a găsi valoarea expresiei literei și a expresiilor cu variabile, este necesar să se înlocuiască valorile specificate ale literelor și variabilelor în expresia originală, după care este posibilă calcularea valorii numărului de expresie numerică.

Exemplul 15. Valoarea expresiei cu variabilele

Calculați valoarea expresiei 0, 5 x - y la x \u003d 2, 4 și y \u003d 5.

Înlocuim valorile variabilelor la expresie și calculați:

0, 5 x - y \u003d 0, 5 · 2, 4 - 5 \u003d 1, 2 - 5 \u003d - 3, 8.

Uneori puteți converti o expresie astfel încât să obțineți valoarea sa, indiferent de valorile literelor și variabilelor. Pentru a face acest lucru, de la litere și variabile în expresie, este necesar să se scoată de transformările de identitate, proprietățile acțiunilor aritmetice și toate alte metode posibile.

De exemplu, expresia X + 3 arată, evident, are o valoare de 3 și pentru a calcula această valoare, nu este deloc necesar să cunoaștem valoarea variabilei ICS. Valoare această expresie La fel de trei pentru toate valorile variabilei ex de la valoarea sa validă.

Un alt exemplu. Valoarea expresiei x x este egală cu una pentru toate IC-urile pozitive.

Dacă observați o greșeală în text, selectați-o și apăsați CTRL + ENTER

Deci, dacă expresia numerică este alcătuită din numere și semne +, -, · și:, atunci pentru a merge direct, trebuie să efectuați mai întâi multiplicare și diviziune, apoi adăugarea și scăderea, care vă va permite să găsiți expresia dorită valoare.

Să dăm o soluție pentru exemple pentru a explica.

Exemplu.

Calculați valoarea expresiei 14-2 · 15: 6-3.

Decizie.

Pentru a găsi valoarea expresiei, trebuie să efectuați toate acțiunile specificate în IT în conformitate cu procedura adoptată de aceste acțiuni. Inițial, pentru a lăsa dreptul, facem multiplicare și diviziune, ajungem 14-2 · 15: 6-3 \u003d 14-30: 6-3 \u003d 14-5-3. Acum, în ordine, pe dreapta stânga, efectuați acțiunile rămase: 14-5-3 \u003d 9-3 \u003d 6. Așa că am găsit valoarea expresiei originale, este egală cu 6.

Răspuns:

14-2 · 15: 6-3 \u003d 6.

Exemplu.

Găsiți valoarea expresiei.

Decizie.

În acest exemplu, trebuie mai întâi să îndeplinim multiplicarea 2 · (-7) și diviziune cu multiplicare în expresie. Amintiți-vă cum este efectuată, găsim 2 · (-7) \u003d - 14. Și să efectueze mai întâi acțiuni în expresie , atunci Și să efectueze: .

Înlocuim valorile obținute în expresia originală :.

Și cum să fie atunci când o expresie numerică este sub semnul rădăcinii? Pentru a obține valoarea unei astfel de rădăcini, trebuie să găsiți mai întâi valoarea expresiei de alimentare, aderarea la procedura luată de acțiune. De exemplu, .

În expresii numerice, rădăcinile trebuie luate ca niște numere, iar rădăcinile sunt recomandate imediat înlocuite cu valorile lor, după care găsesc valoarea expresiei rezultate fără rădăcini, efectuând acțiuni în secvența primită.

Exemplu.

Găsiți valoarea expresiei cu rădăcini.

Decizie.

Vom găsi valoarea rădăcină. . Pentru aceasta, în primul rând, calculăm valoarea expresiei de hrănire, avem -2 · 3-1 + 60: 4 \u003d -6-1 + 15 \u003d 8. Și în al doilea rând, găsim valoarea rădăcinii.

Acum calculam valoarea celei de-a doua rădăcini din expresia inițială :.

În cele din urmă, putem găsi valoarea expresiei originale, înlocuind rădăcinile prin valorile lor :.

Răspuns:

Este de multe ori suficient pentru a face posibilă găsirea valorii expresiei cu rădăcinile, pre-conduce transformarea acesteia. Afișim soluția de exemplu.

Exemplu.

Care este valoarea expresiei .

Decizie.

Nu avem capacitatea de a înlocui rădăcina a trei dintre ele cu o valoare exactă, care nu ne permite să calculam valoarea acestei expresii descrise mai sus. Cu toate acestea, putem calcula valoarea acestei expresii prin efectuarea unor transformări necomplicate. aplica formula de diferență pătrată:. Având în vedere, obtinerea . Astfel, valoarea expresiei inițiale este de 1.

Răspuns:

.

Cu grade

Dacă baza și indicatorul gradului sunt numere, valoarea lor se calculează prin determinarea gradului, de exemplu, 3 2 \u003d 3,3 \u003d 9 sau 8 -1 \u003d 1/8. Există, de asemenea, înregistrări atunci când baza și / sau indicatorul gradului sunt câteva expresii. În aceste cazuri, trebuie să găsiți valoarea expresiei la bază, valoarea expresiei din indicator, după care este posibilă calcularea valorii gradului în sine.

Exemplu.

Găsiți valoarea expresiei cu grade de vedere 2 3 · 4-10 + 16 · (1-1 / 2) 3,5-2 · 1/4.

Decizie.

În expresia inițială, două grade 2 3,4-10 și (1-1 / 2) 3,5-2 · 1/4. Valorile lor trebuie să fie calculate înainte de a efectua alte acțiuni.

Să începem cu gradul 2 3 · 4-10. În indicatorul său există o expresie numerică, calculează valoarea: 3,4-10 \u003d 12-10 \u003d 2. Acum puteți găsi valoarea gradului în sine: 2 3 · 4-10 \u003d 2 2 \u003d 4.

Pe baza și indicatorul (1-1 / 2) 3,5-2 · 1/4, există expresii, calculați valorile lor pentru a găsi apoi valoarea gradului. Avea (1-1 / 2) 3,5-2 · 1/4 \u003d (1/2) 3 \u003d 1/8.

Acum ne întoarcem la expresia inițială, înlocuim gradele în el și găsim valoarea expresiei de care avem nevoie: 2 3 · 4-10 + 16 · (1-1 / 2) 3,5-2 · 1/4 \u003d 4 + 16 · 1/8 \u003d 4 + 2 \u003d 6.

Răspuns:

2 3 · 4-10 + 16 · (1-1 / 2) 3,5-2 · 1/4 \u003d 6.

Este demn de remarcat faptul că cazurile sunt mai frecvente atunci când este recomandabil să se efectueze un preliminar simplificați expresia cu grade pe bază.

Exemplu.

Găsiți valoarea expresiei .

Decizie.

Judecând după indicatorii de grade care se află în această expresie, valorile exacte ale gradelor nu pot fi obținute. Să încercăm să simplificăm expresia originală, poate fi ajuta la găsirea sensului său. Avea

Răspuns:

.

Diplomele din expresii merg adesea mână în mână cu logaritmii, dar vom vorbi despre găsirea de valori ale expresiilor cu logaritmi într-unul din.

Găsiți valoarea expresiei cu fracțiuni

Expresiile numerice în înregistrarea lor pot conține drobi. . Când este necesar să se găsească valoarea unei astfel de expresii, alte fracțiuni decât fracțiunile obișnuite ar trebui înlocuite cu valorile lor înainte de a efectua alte acțiuni.

Într-un numitor și numitor, fracțiunile (care sunt diferite de fracțiunile obișnuite) pot fi atât numere, cât și expresii. Pentru a calcula valoarea unei astfel de fracții, trebuie să calculați valoarea expresiei în numărător, calculați valoarea expresiei în numitor, apoi calculați valoarea fracțiunii în sine. O astfel de ordine este explicată prin faptul că fracțiunea A / B, în care A și B este unele expresii, de fapt este o viziune privată (a): (b), deoarece.

Luați în considerare soluția exemplului.

Exemplu.

Găsiți valoarea expresiei cu fracțiuni .

Decizie.

În expresia numerică inițială, trei fracții și. Pentru a găsi valoarea expresiei inițiale, avem mai întâi nevoie de aceste fracții, înlocuiți-le cu valori. S-o facem.

În numărător și numitor, fracțiunile sunt numere. Pentru a găsi valoarea unei astfel de fracții, înlocuiți caracteristica fracționată a diviziunii și efectuați această acțiune: .

Într-un numitor, fracțiunea este expresia 7-2 · 3, valoarea sa este ușor de găsit: 7-2 · 3 \u003d 7-6 \u003d 1. În acest fel, . Puteți să vă mutați la găsirea valorii celei de-a treia fracțiuni.

A treia fracțiune din numărător și numitor conține expresii numerice, prin urmare, trebuie mai întâi să calculați valorile lor, iar acest lucru vă va permite să găsiți valoarea FRACI în sine. Avea .

Rămâne să înlocuiți valorile găsite în expresia originală și să efectueze acțiunile rămase :.

Răspuns:

.

Adesea, atunci când trebuie să se efectueze valori ale expresiilor cu fracțiuni simplificați expresii fracționate, Pe baza unei acțiuni efectuate cu fracțiuni și la reducerea fracțiunilor.

Exemplu.

Găsiți valoarea expresiei .

Decizie.

Rădăcina a cinci nu este extrasă, astfel încât să găsească valoarea expresiei inițiale, îl simplifică să înceapă. Pentru aceasta scapă de iraționalitate în numitor Primul FRACI: . După aceea, expresia inițială va lua forma . După scăderea fracțiunilor, rădăcinile vor dispărea că ne va permite să găsim valoarea expresiei specificate inițial :.

Răspuns:

.

Cu Logaritmami.

Dacă expresia numerică conține și dacă este posibil să scape de ele, atunci acest lucru se face înainte de a efectua alte acțiuni. De exemplu, atunci când găsiți valoarea expresiei log 2 4 + 2 · 3, logaritmul 2 4 este înlocuit cu valoarea sa 2, după care celelalte acțiuni sunt efectuate în ordinea obișnuită, adică log 2 4 + 2 · 3 \u003d 2 + 2 · 3 \u003d 2 + 6 \u003d 8.

Când se află sub semnul logaritmului și / sau în fundația sa, există expresii numerice, ele sunt valorile lor, după care se calculează valoarea logaritmului. De exemplu, ia în considerare expresia cu logaritmul . La baza logaritmului și sub semnul său sunt expresii numerice, găsim semnificațiile lor :. Acum găsim logaritm, după care completați calculele :.

Dacă logaritmii nu sunt calculați cu siguranță, simplificarea preliminară poate fi ajutată pentru a găsi valoarea expresiei inițiale. În același timp, trebuie să dețineți un material la articol transformarea expresiilor logaritmice.

Exemplu.

Găsiți valoarea expresiilor cu logaritmi .

Decizie.

Să începem cu calcularea logului 2 (log 2 256). Din 256 \u003d 2 8, apoi log 2 256 \u003d 8, prin urmare, log 2 (log 2 256) \u003d log 2 8 \u003d log 2 2 3 \u003d 3.

Logaritmii Log 6 2 și Log 6 3 pot fi grupate. Suma logaritmilor Log 6 2 + Log 6 3 este egală cu logaritmul lucrărilor Log 6 (2 · 3), deci log 6 2 + log 6 3 \u003d log 6 (2 · 3) \u003d log 6 6 \u003d 1.

Acum ne vom da seama cu frația. Pentru a începe, baza logaritmului din numitor va rescrie sub forma unei fracțiuni obișnuite ca 1/5, după care vom folosi proprietățile logaritmilor, care ne vor permite să obținem valoarea FRACI:
.

Rămâne doar pentru a înlocui rezultatele obținute în expresia originală și finalizarea găsirii valorii sale:

Răspuns:

Cum să găsiți valoarea unei expresii trigonometrice?

Când expresia numerică conține sau, etc., valorile lor sunt calculate înainte de a efectua celelalte acțiuni. Dacă există expresii numerice sub semnul funcțiilor trigonometrice, atunci se calculează valorile lor, după care sunt valorile funcțiilor trigonometrice.

Exemplu.

Găsiți valoarea expresiei .

Decizie.

Întorcându-se la articolul pe care îl obținem și cosπ \u003d1. Înlocuim aceste valori în expresia originală, este nevoie . Pentru a-și găsi semnificația, trebuie mai întâi să fugi într-o diplomă, apoi terminați calculele :.

Răspuns:

.

Este demn de remarcat că calculul valorilor expresiilor cu sinusul, cosinul etc. Adesea necesită preliminar transformarea unei expresii trigonometrice.

Exemplu.

Care este valoarea unei expresii trigonometrice .

Decizie.

Transformăm expresia inițială folosind, în acest caz, vom avea nevoie de o formulă de cosinie cu unghi dual și o sumă formulată de cosinie:

Transformarea făcută ne-a ajutat să găsim valoarea expresiei.

Răspuns:

.

General

În cazul general, expresia numerică poate conține rădăcini, grade și fracții, precum și orice funcție și paranteze. Găsirea valorilor astfel de expresii este de a efectua următoarele acțiuni:

• primele rădăcini, grade, fracțiuni etc. Înlocuit cu valorile lor,
• acțiuni suplimentare în paranteze,
• Și pentru a părăsi dreptul, acțiunile rămase sunt efectuate - multiplicare și diviziune și în spatele lor - adăugarea și scăderea.

Acțiunile enumerate sunt efectuate până la obținerea rezultatului final.

Exemplu.

Găsiți valoarea expresiei .

Decizie.

Vederea acestei expresii este destul de complicată. În această expresie, vedem fracțiunea, rădăcinile, gradele, sinusul și logaritmul. Cum să-și găsească semnificația?

Mutat scriind la stânga pentru dreapta, ne împiedicăm fracția speciei . Știm că atunci când lucrați cu fracțiuni de vedere complexă, trebuie să calculam separat valoarea numărătorului, separat - numitorul și, în final, găsim valoarea fracțiunii.

În numărator avem o rădăcină a formei . Pentru a determina valoarea sa, trebuie mai întâi să calculați valoarea expresiei de alimentare . Există sinus aici. Găsiți valoarea sa putem doar după calcularea valorii expresiei . Acest lucru putem face :. Atunci unde și .

Cu numitorul, totul este simplu :.

În acest fel, .

După ce a înlocuit acest rezultat în expresia originală, va lua forma. Expresia rezultată conține o diplomă. Pentru a-și găsi semnificația, va trebui mai întâi să găsiți valoarea indicatorului, avem .

Asa de, .

Răspuns:

.

Dacă nu este posibilă calcularea valorilor exacte ale rădăcinilor, gradelor etc., atunci puteți încerca să scăpați de ele cu orice transformări, după care aceasta revine la calculul valorii în conformitate cu schema specificată.

Moduri raționale de calculare a expresiilor

Calculul valorilor de expresie numerice necesită secvență și precizie. Da, este necesar să adere la secvența de acțiuni efectuate înregistrate în paragrafele anterioare, dar nu trebuie să facă orbește și mecanic. Prin aceasta vrem să spunem că puteți raționaliza adesea procesul de găsire a valorii expresiei. De exemplu, pentru a accelera semnificativ și a simplifica constatarea expresiei, permiteți unele proprietăți ale acțiunilor cu numere.

De exemplu, știm o astfel de proprietate de multiplicare: dacă unul dintre multiplicatorii din lucrare este zero, atunci valoarea produsului este zero. Folosind această proprietate, putem spune imediat că valoarea expresiei 0 · (2 \u200b\u200b· 3 + 893-3234: 54 · 65-79 · 56 · 2.2) · (45,36-2,4 + 456: 3,43) la fel de zero. Dacă am aderat la procedura standard pentru efectuarea acțiunilor, am avut pentru prima oară să calculam valorile expresiilor voluminoase în paranteze, iar acest lucru ar dura mult timp și, ca rezultat, ar fi în continuare zero.

De asemenea, este convenabil să se utilizeze verificarea numărului egal: dacă numărul egal cu acesta este egal, atunci rezultatul este zero. Această proprietate poate fi considerată mai largă: diferența dintre două expresii numerice identice este zero. De exemplu, fără a calcula valorile expresiilor în paranteze, puteți găsi valoarea expresiei (54 · 6-12 · 47362: 3) - (54 · 6-12 · 47362: 3)Este egal cu zero, deoarece expresia inițială este diferența dintre aceleași expresii.

Calculul rațional al valorilor expresiilor poate contribui transformări identice . De exemplu, este util gruparea termenilor și multiplicatorilor nu mai puțin utilizate multiplicator pentru paranteze . Astfel încât valoarea expresiei 53 · 5 + 53,7-53 · 11 + 5 este foarte ușor după efectuarea unui multiplicator 53 pe paranteze: 53 · (5 + 7-11) + 5 \u003d 53 · 1 + 5 \u003d 53 + 5 \u003d 58. Calculul direct ar dura mult mai mult timp.

În concluzia acestui articol, atragem atenția asupra unei abordări raționale a valorilor expresiilor cu fracțiuni - aceiași factori din numărator și numitor al fracțiunii sunt reduse. De exemplu, reducerea acelorași expresii într-un numitor și denomoter Vă permite să găsiți imediat valoarea acestuia, care este 1/2.

Găsirea valorii expresiei literei și a expresiilor cu variabile

Valoarea expresiei literei și a expresiilor cu variabile Se află pentru valori specifice specifice ale literelor și variabilelor. I.E, vorbim La găsirea valorii expresiei literei pentru aceste valori ale literelor sau pentru găsirea valorilor expresiei cu variabile pentru valorile variabile selectate.

Regulă De stabilire a valorii expresiei literei sau a expresiei cu variabile pentru aceste valori ale literelor sau a valorilor selectate ale variabilelor este: în expresia originală trebuie să înlocuiți aceste valori ale literelor sau variabilelor și calculați valoarea Din expresia numerică obținută, este valoarea dorită.

Exemplu.

Calculați valoarea de expresie de 0,5 · x-y la x \u003d 2,4 și y \u003d 5.

Decizie.

Pentru a găsi valoarea necesară a expresiei, trebuie mai întâi să înlocuiți valorile valorilor variabilelor în expresia originală, apoi să efectuați acțiuni: 0,5 · 2.4-5 \u003d 1,2-5 \u003d -3.8.

Răspuns:

−3,8 .

În concluzie, observăm că, uneori, realizarea transformărilor de expresii alfabetice și expresiile cu variabile face posibilă obținerea valorilor acestora, indiferent de valorile literelor și variabilelor. De exemplu, expresia X + 3-X poate fi simplificată, după care va lua forma 3. De aici putem concluziona că valoarea expresiei x + 3-X este 3 pentru orice valori ale variabilei x de la ea zonele de valori admise (OTZ) . Un alt exemplu: valoarea expresiei este 1 pentru toate valorile pozitive x, astfel încât suprafața valorilor admise ale variabilei X în expresia inițială este un set de numere pozitive, iar egalitatea are loc în această zonă.

Bibliografie.

• Matematică: studii. pentru 5 cl. educatie generala. Instituții / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chestanokov, S. I. Schwartzburg. - Axa a 21-a., CHED. - M.: Mnemozina, 2007. - 280 p.: Il. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematică. Gradul 6: Studii. Pentru educația generală. Instituții / [N. Ya. Vilenkin și colab.] - Ed., Actul. - M.: Mnemozina, 2008. - 288 p.: Il. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebră: studii. pentru 7 cl. educatie generala. Instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. Telikovsky. - A 17-a Ed. - M.: Iluminare, 2008. - 240 s. : Il. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebră: studii. Pentru 8 cl. educatie generala. Instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. Telikovsky. - A șasea ed. - M.: Iluminare, 2008. - 271 p. : Il. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebră: Gradul 9: Studii. Pentru educația generală. Instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. Telikovsky. - A șasea ed. - M.: Iluminare, 2009. - 271 p. : Il. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebră și analiza inițială: studii. Pentru 10-11 cl. educatie generala. Instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn, etc.; Ed. A. N. Kolmogorova.-14-lea ed. - M.: Iluminare, 2004.- 384 c.: IL.- ISBN 5-09-013651-3.