Cum se investighează o funcție și se construiește graficul ei?

Se pare că încep să înțeleg chipul sufletește și plin de suflet al conducătorului proletariatului mondial, autorul lucrărilor colectate în 55 de volume ... Călătoria rapidă a început cu informații de bază despre funcții și grafice, iar acum lucrul la un subiect laborios se încheie cu un rezultat firesc - un articol despre cercetarea funcției complete. Sarcina mult așteptată este formulată după cum urmează:

Investigați o funcție folosind calculul diferențial și, pe baza rezultatelor studiului, construiți graficul acesteia

Sau pe scurt: explorați funcția și complotul.

De ce cercetare? În cazuri simple, nu ne va fi greu să ne ocupăm de funcțiile elementare, să desenăm un grafic obținut folosind transformări geometrice elementare etc. Cu toate acestea, proprietățile și imaginile grafice ale funcțiilor mai complexe sunt departe de a fi evidente, motiv pentru care este necesar un întreg studiu.

Principalele etape ale deciziei sunt rezumate în materialul de referință. Schema de cercetare a funcțiilor, acesta este ghidul dvs. de secțiune. Manechinele au nevoie de o explicație pas cu pas a subiectului, unii cititori nu știu de unde să înceapă și cum să organizeze studiul, iar studenții avansați pot fi interesați doar de câteva puncte. Dar oricine sunteți, dragă vizitator, sinopsisul propus cu indicatoare la diverse lecții vă va îndruma și vă va îndruma în direcția de interes. Robotii au strigat \u003d) Manualul a fost compilat ca un fișier pdf și a luat locul meritat pe pagină Formule și tabele matematice.

Sunt obișnuit să descompun studiul funcției în 5-6 puncte:

6) Puncte suplimentare și un grafic bazat pe rezultatele studiului.

În detrimentul acțiunii finale, cred că totul este clar pentru toată lumea - va fi foarte dezamăgitor dacă în câteva secunde va fi trecut și sarcina pentru revizuire va fi returnată. SCRECTARE CORECTĂ ȘI SIMPLĂ - acesta este principalul rezultat al deciziei! El este foarte probabil să „acopere” supravegherea analitică, în timp ce un program incorect și / sau înclinat va cauza probleme chiar și cu un studiu perfect realizat.

Trebuie menționat că, în alte surse, numărul de puncte de cercetare, ordinea punerii în aplicare a acestora și stilul de proiectare pot diferi semnificativ de schema pe care am propus-o, dar în majoritatea cazurilor este suficient. Cea mai simplă versiune a problemei constă din doar 2-3 pași și este formulată aproximativ astfel: „explorați funcția folosind derivat și complot” sau „explorați funcția cu derivatul 1 și 2, complot”.

Desigur, dacă un alt algoritm este detaliat în manualul dvs. de instruire sau profesorul dvs. necesită strict aderarea la prelegerile sale, va trebui să faceți unele ajustări ale soluției. Nu este mai dificil decât înlocuirea unei furculițe cu o lingură cu ferăstrău.

Verificați paritatea / funcția ciudată:

Apoi urmează un răspuns de șablon:
, atunci această funcție nu este pară sau ciudată.

Deoarece funcția este continuă, nu există asimptote verticale.

Nu există asimptote înclinate.

Notă : amintiți-vă că este mai mare ordinea de creșteredecât, prin urmare, limita finală este exact „ un plus infinitul ".

Aflați cum se comportă funcția la infinit:

Cu alte cuvinte, dacă mergem la dreapta, atunci graficul merge la infinit departe, dacă la stânga - infinit departe. Da, există două limite în cadrul unei singure intrări. Dacă întâmpinați dificultăți în decodarea caracterelor, vizitați lecția despre funcții infinitesimale.

Deci funcția nu se limitează de sus și nu este limitat de jos. Având în vedere că nu avem puncte de pauză, devine clar și intervalul valorii funcției: - de asemenea, orice număr real.

RECEPȚIE TEHNICĂ UTILĂ

Fiecare etapă a misiunii aduce noi informații despre graficul funcțiilor.prin urmare, în cursul soluției este convenabil să folosiți un LAYOUT specific. Pe proiect vom reprezenta sistemul de coordonate carteziene. Ce se știe deja cu siguranță? În primul rând, graficul nu are asimptote, prin urmare, nu trebuie să fie trase linii drepte. În al doilea rând, știm cum se comportă o funcție la infinit. Conform analizei, tragem prima aproximare:

Rețineți că, în virtutea lui continuitate funcționează și faptul că, graficul trebuie să traverseze axa cel puțin o dată. Sau poate există mai multe puncte de intersecție?

3) Zero de funcție și intervale de semn constant.

Mai întâi găsim punctul de intersecție al graficului cu axa ordonată. E simplu. Este necesar să se calculeze valoarea funcției cu:

La o jumătate și peste nivelul mării.

Pentru a găsi punctele de intersecție cu axa (zerourile funcției), este necesară rezolvarea ecuației, iar apoi ne așteaptă o surpriză neplăcută:

În cele din urmă, un membru liber a pândit, ceea ce complică semnificativ sarcina.

O astfel de ecuație are cel puțin o rădăcină reală și cel mai adesea această rădăcină este irațională. În cea mai rea poveste, ne așteaptă trei porci mici. Ecuația este rezolvabilă folosind așa-numitele formule Cardano, dar deteriorarea hârtiei este comparabilă cu aproape întregul studiu. În acest sens, este mai înțelept să încerci verbal sau pe un proiect să încerci să ridici cel puțin unul întreg rădăcină. Verificați dacă sunt numere:
- nu sunt adecvate;
- există!

Norocos aici. În caz de eșec, puteți testa și dacă aceste numere nu se potrivesc, atunci mă tem, sunt foarte puține șanse de soluție avantajoasă la ecuație. Atunci este mai bine să săriți complet punctul de cercetare - poate că ceva va deveni mai clar la ultimul pas, când se vor trece puncte suplimentare. Și dacă rădăcina (rădăcinile) este în mod clar „proastă”, atunci este mai bine să stai în liniște în general cu privire la intervalele de semn constant și să faci un desen mai atent.

Cu toate acestea, avem o rădăcină frumoasă, deci împărțim polinomul fara reziduuri:

Algoritmul pentru împărțirea unui polinom într-un polinom este discutat în detaliu în primul exemplu al lecției. Limite dificile.

Drept urmare, partea stângă a ecuației originale descompus într-o operă:

Și acum puțin despre un stil de viață sănătos. Desigur, am înțeles asta ecuatii quadratice trebuie rezolvate în fiecare zi, dar astăzi vom face o excepție: ecuația are două rădăcini valabile.

Pe linia numerică, amânăm valorile găsite și metoda intervalului definiți semnele funcției:


og astfel la intervale programul este situat
sub abscisă și la intervale - deasupra acestei axe.

Rezultatele ne permit să detaliem aspectul nostru, iar a doua aproximare a graficului este următoarea:

Vă rugăm să rețineți că funcția trebuie să aibă cel puțin un maxim pe interval și cel puțin un minim pe interval. Dar de câte ori, unde și când programul se va „bucla”, nu știm încă. Apropo, o funcție poate avea infinit de multe puncte extreme.

4) Creșterea, scăderea și extrema funcției.

Găsiți punctele critice:

Această ecuație are două rădăcini reale. Puneți-le pe linia numerică și definiți semnele derivatului:


În consecință, funcția crește cu și scade pe.
La momentul respectiv, funcția atinge maximul: .
La momentul respectiv, funcția atinge un minim: .

Faptele stabilite ne determină șablonul într-un cadru destul de rigid:

Inutil să spun, calculul diferențial este un lucru puternic. Să ne ocupăm în sfârșit de forma graficului:

5) Puncte de bombă, concavitate și inflexiune.

Găsiți punctele critice ale celei de-a doua derivate:

Definiți semnele:


Graficul funcției este convex on și concave on. Calculați ordinea punctului de inflexiune:.

Aproape totul a devenit clar.

6) Rămâne să găsiți puncte suplimentare care să ajute la construirea mai precisă a unui grafic și la efectuarea unui autotest. În acest caz, există câteva dintre ele, dar nu vom neglija:

Să executăm desenul:

Punctul de inflexiune este marcat în verde, puncte suplimentare sunt indicate prin cruci. Graficul funcției cubice este simetric în raport cu punctul său de inflexiune, care este întotdeauna situat exact la mijloc între maxim și minim.

Pe parcursul misiunii, am dat trei desene ipotetice intermediare. În practică, este suficient să desenezi un sistem de coordonate, să marchezi punctele găsite și după fiecare punct al studiului să-ți dai seama mental cum ar putea arăta graficul funcțional. Nu este dificil pentru studenții cu un nivel bun de pregătire să efectueze o astfel de analiză exclusiv în minte, fără a implica un proiect.

Pentru o soluție independentă:

Exemplul 2

Explorați funcția și graficul.

Aici totul este mai rapid și mai distractiv, o mostră aproximativă a designului final la sfârșitul lecției.

Studiul funcțiilor raționale fracționate dezvăluie multe secrete:

Exemplul 3

Folosind metode de calcul diferențial, investigați o funcție și construiți un grafic pe baza rezultatelor studiului.

Decizie: prima etapă a studiului nu se distinge prin ceva remarcabil, cu excepția unei găuri în domeniul definiției:

1) Funcția este definită și continuă pe întreaga linie numerică, cu excepția punctului, domeniu: .

, atunci această funcție nu este pară sau ciudată.

Evident, funcția este non-periodică.

Graficul funcțional reprezintă două ramuri continue, situate în planurile semicartelor stânga și dreapta - aceasta este poate cea mai importantă concluzie a primului punct.

2) Asimptote, comportamentul unei funcții la infinit.

a) Folosind limite unilateral, examinăm comportamentul funcției în apropierea unui punct suspect, unde asimptotul vertical ar trebui să fie, evident,:

Într-adevăr, rezistă funcțiilor decalaj nesfârșit la punct
iar linia dreaptă (axa) este asimptot vertical Arte grafice .

b) Verificați dacă există asimptote oblice:

Da, directul este asimptot oblic grafică dacă.

Nu are rost să analizăm limitele, deoarece este deja clar că o funcție într-o îmbrățișare cu asimptotul său oblic nu se limitează de sus și nu este limitat de jos.

Al doilea punct al studiului a adus o mulțime de informații importante despre funcție. Haideți să facem o schiță aspră:

Concluzia nr. 1 se referă la intervale de semn constant. La infinit minus, graficul funcțional este situat în mod unic sub axa abscisei, iar la infinit minus este deasupra acestei axe. În plus, limitele unilaterale ne-au informat că funcția la stânga și la dreapta punctului este, de asemenea, mai mare decât zero. Rețineți că în jumătatea stângă, graficul trebuie să traverseze axa abscisei cel puțin o dată. Este posibil să nu existe zerouri în jumătatea plană potrivită.

Concluzia numărului 2 este că funcția crește în stânga punctului (merge „de jos în sus”). În dreapta acestui punct - funcția scade (merge „de sus în jos”). Ramura dreaptă a graficului trebuie să aibă, cu siguranță, cel puțin un minim. Extremele din stânga nu sunt garantate.

Concluzia nr. 3 oferă informații fiabile despre concavitatea graficului din vecinătatea punctului. Nu putem spune nimic despre convexitate / concavitate la infinit, deoarece linia poate fi presată la asimptotul ei atât deasupra cât și de jos. În general, există o modalitate analitică de a afla chiar acum, dar forma programului va fi „clarificată” în etapele ulterioare.

De ce atâtea cuvinte? Pentru a monitoriza următoarele puncte ale studiului și a nu greși! Calculele suplimentare nu ar trebui să contravină concluziilor făcute.

3) Punctele de intersecție ale graficului cu axele coordonate, intervale de semn constant al funcției.

Graficul funcțional nu traversează axa.

Prin metoda intervalelor definim semnele:

, în cazul în care un ;
, în cazul în care un .

Rezultatele alineatului sunt pe deplin în conformitate cu concluzia nr. 1. După fiecare etapă, priviți proiectul, verificați mental studiul și întocmiți graficul funcțional.

În exemplul considerat, numerotatorul este împărțit la numitor termen de la termen, ceea ce este foarte benefic pentru diferențiere:

De fapt, acest lucru a fost deja făcut atunci când au fost găsite asimptote.

- punct critic.

Definiți semnele:

crește cu și scade pe

La momentul respectiv, funcția atinge un minim: .

De asemenea, nu au existat discrepanțe cu concluzia nr. 2 și, cel mai probabil, suntem pe drumul cel bun.

Aceasta înseamnă că graficul funcției este concave pe întregul domeniu de definiție.

Grozav - și nu trebuie să desenați nimic.

Nu există puncte de inflexiune.

Concavitatea este în concordanță cu concluzia nr. 3, în plus, indică faptul că la infinit (atât acolo cât și acolo) graficul funcției este localizat superior asimptotele sale oblice.

6) Cu bună credință, identificăm sarcina cu puncte suplimentare. Aici trebuie să muncim din greu, deoarece din studiu știm doar două puncte.

Și imaginea, pe care probabil mulți o prezintă de multă vreme:

Pe parcursul misiunii, trebuie să vă asigurați cu atenție că nu există contradicții între etapele studiului, dar uneori situația este urgentă sau chiar un impas disperat. Acesta este „neconvergentul” analistului și asta este. În acest caz, recomand recepția de urgență: găsim cât mai multe puncte care aparțin programului (câtă răbdare este suficientă) și le marcăm pe planul de coordonate. O analiză grafică a valorilor găsite în majoritatea cazurilor vă va spune unde este adevărul și unde este minciuna. În plus, programul poate fi pre-construit folosind un program, de exemplu, în același Excel (desigur, acest lucru necesită abilități).

Exemplul 4

Folosind metode de calcul diferențial, investigați o funcție și construiți graficul acesteia.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă. În ea, autocontrolul este îmbunătățit de paritatea funcției - graficul este simetric față de axă, iar dacă în cercetarea dvs. ceva contrazice acest fapt, căutați o eroare.

O funcție pară sau ciudată poate fi investigată doar dacă și apoi folosiți simetria graficului. Această soluție este optimă, dar pare, în opinia mea, foarte neobișnuită. Personal, consider întreaga axă numerică, dar găsesc în continuare puncte suplimentare doar în dreapta:

Exemplul 5

Efectuați un studiu complet al funcției și construiți graficul acesteia.

Decizie: a început greu:

1) Funcția este definită și continuă pe întreaga linie numerică:.

Deci, această funcție este ciudată, graficul său este simetric în raport cu originea.

Evident, funcția este non-periodică.

2) Asimptote, comportamentul unei funcții la infinit.

Deoarece funcția este continuă, nu există asimptote verticale

Pentru o funcție care conține o exponențială, de obicei separa studiul „plus” și „minus infinit”, totuși, doar simetria graficului ne face viața mai ușoară - fie există un asimptot fie în stânga, fie în dreapta, fie nu este. Prin urmare, ambele limite infinite pot fi emise într-o singură înregistrare. În cursul soluției, folosim l’Hotel regulă:

Linia (axa) este asimptotul orizontal al graficului la.

Observați cum am evitat inteligent algoritmul complet pentru găsirea asimptotului oblic: limita este complet legală și clarifică comportamentul funcției la infinit, iar asimptotul orizontal a apărut „ca și în același timp”.

Din continuitatea și existența unui asimptot orizontal, din faptul că funcția delimitat de sus și limitat de jos.

3) Punctele de intersecție ale graficului cu axele coordonate, intervale de semn constant.

Aici scurtăm și soluția:
Graficul trece prin origine.

Nu există alte puncte de intersecție cu axele coordonatelor. Mai mult decât atât, intervalele de semn constant sunt evidente, iar axa nu poate fi desenată:, ceea ce înseamnă că semnul funcției depinde doar de „x”:
, în cazul în care un ;
, în cazul în care un .

4) Ascendent, descendent, extrema funcției.


- puncte critice.

Punctele sunt simetrice aproximativ zero, așa cum ar trebui să fie.

Definiți semnele derivatului:


Funcția crește în interval și scade în intervale

La momentul respectiv, funcția atinge maximul: .

În virtutea proprietății (ciudățea funcției) minimul nu poate fi calculat:

Deoarece funcția scade pe interval, atunci, evident, la „minus infinit” se află graficul sub asimptotul său. La interval, funcția scade și ea, dar aici este invers - după ce trece prin punctul maxim, linia se apropie de axa deja de sus.

Din cele de mai sus rezultă de asemenea că graficul funcției este convex la „minus infinit” și concave la „plus infinit”.

După acest punct al studiului, s-a trasat gama valorilor funcției:

Dacă aveți vreo înțelegere greșită a vreunui punct, vă îndemn din nou să desenați axele de coordonate în caiete și cu un creion în mâini pentru a reanaliza fiecare ieșire a sarcinii.

5) Convexitate, concavitate, inflexiuni ale graficului.

- puncte critice.

Simetria punctelor este păstrată și, cel mai probabil, nu greșim.

Definiți semnele:


Graficul funcției este convex și concave pe .

Amestecul / concavitatea la intervale extreme a fost confirmat.

În toate punctele critice, există grafice în exces. Găsiți ordonatele punctelor de inflexiune, reducând din nou numărul de calcule folosind ciudățile funcției:

Dacă problema necesită un studiu complet al funcției f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 cu construcția graficului său, atunci vom lua în considerare acest principiu în detaliu.

Pentru a rezolva acest tip de problemă, ar trebui să folosiți proprietățile și graficele funcțiilor elementare de bază. Algoritmul de cercetare include etapele:

Găsirea unui scop

Deoarece studiile sunt realizate în domeniul definirii funcției, este necesar să începem cu acest pas.

Exemplul 1

Exemplul dat implică găsirea zerourilor numitorului pentru a le exclude de la ODZ.

4 x 2 - 1 \u003d 0 x \u003d ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; + ∞

Drept urmare, puteți obține rădăcinile, logaritmele și așa mai departe. Atunci ODL poate fi căutat pentru o rădăcină uniformă de tip g (x) 4 prin inegalitatea g (x) ≥ 0, pentru logaritmul log a g (x) de inegalitatea g (x)\u003e 0.

Cercetarea limitelor DLD și găsirea asimptotelor verticale

Există asimptote verticale la granițele funcției, când limitele unilaterale în astfel de puncte sunt infinite.

Exemplul 2

Ca un exemplu, luați în considerare punctele de frontieră egale cu x \u003d ± 1 2.

Apoi, este necesar să efectuați un studiu al funcției pentru a găsi o limită unidirecțională. Atunci obținem că: lim x → - 1 2 - 0 f (x) \u003d lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 2) · - 0 \u003d + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) \u003d lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 \u003d \u003d lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 2) · (+ 0) \u003d - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 0) 2 \u003d - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 ( + 0) 2 \u003d + ∞

Acest lucru arată că limitele unilaterale sunt infinite, deci liniile drepte x \u003d ± 1 2 sunt asimptotele verticale ale graficului.

Funcționarea și paritatea sau cercetarea ciudății

Când condiția y (- x) \u003d y (x) este satisfăcută, funcția este considerată echitabilă. Acest lucru sugerează că graficul este situat simetric față de O y. Când condiția y (- x) \u003d - y (x) este îndeplinită, funcția este considerată impare. Aceasta înseamnă că simetria este relativă la origine. Dacă cel puțin o inegalitate nu este satisfăcută, obținem o funcție a formei generale.

Egalitatea y (- x) \u003d y (x) înseamnă că funcția este uniformă. Când se construiește, este necesar să se țină cont de faptul că va exista simetrie în raport cu O y.

Pentru a rezolva inegalitatea, perioadele de creștere și descreștere sunt utilizate cu condițiile f "(x) ≥ 0 și, respectiv, f" (x) ≤ 0.

Definiția 1

Puncte staționare- acestea sunt punctele care transformă derivatul la zero.

Puncte critice - acestea sunt puncte interne din domeniul definiției în care derivata funcției este zero sau nu există.

La luarea deciziei, trebuie luate în considerare următoarele puncte:

• pentru intervale existente de inegalități crescând și descrescătoare ale formei f "(x)\u003e 0, punctele critice nu sunt incluse în soluție;
• punctele la care funcția este definită fără un derivat finit trebuie să fie incluse în intervalele de creștere și descreștere (de exemplu, y \u003d x 3, unde punctul x \u003d 0 face ca funcția să fie definită, derivatul are o valoare a infinitului în acest punct, y "\u003d 1 3 · x 2 3, y "(0) \u003d 1 0 \u003d ∞, x \u003d 0 este inclus în intervalul de creștere);
• pentru a evita dezacordurile, se recomandă utilizarea literaturii matematice recomandate de Ministerul Educației.

Includerea punctelor critice în intervalele de creștere și descreștere dacă satisfac domeniul de definire a funcției.

Definiția 2

Pentru determinarea intervalelor de creștere și scădere a funcției trebuie găsită:

• derivat;
• puncte critice;
• rupeți domeniul de definiție folosind puncte critice în intervale;
• determinați semnul derivatului la fiecare dintre intervale, unde + este o creștere și - este o scădere.

Exemplul 3

Găsiți derivatul pe domeniul f "(x) \u003d x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 \u003d - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Decizie

Pentru a o rezolva, aveți nevoie de:

• găsiți puncte staționare, acest exemplu are x \u003d 0;
• găsiți zerourile numitorului, exemplul ia valoarea zero pentru x \u003d ± 1 2.

Stabilim puncte pe axa numerică pentru a determina derivata în fiecare interval. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați orice punct din gol și să efectuați calculul. Dacă rezultatul este pozitiv, reprezentăm + pe grafic, ceea ce înseamnă o creștere a funcției și - înseamnă scăderea acesteia.

De exemplu, f "(- 1) \u003d - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, ceea ce înseamnă că primul interval din stânga are semnul +. Luați în considerare linia numerică.

Răspuns:

• există o creștere a funcției în intervalul - ∞; - 1 2 și (- 1 2; 0];
• există o scădere a intervalului [0; 1 2) și 1 2; + ∞.

Pe diagramă, cu ajutorul + și - sunt redate pozitivitatea și negativitatea funcției, iar săgețile sunt scăderea și creșterea.

Punctele extreme ale unei funcții sunt punctele în care funcția este definită și prin care semnul se schimbă derivat.

Exemplul 4

Dacă luăm în considerare un exemplu în care x \u003d 0, atunci valoarea funcției din ea este f (0) \u003d 0 2 4 · 0 2 - 1 \u003d 0. Dacă schimbați semnul derivatului de la + la - și treceți prin punctul x \u003d 0, atunci punctul cu coordonate (0; 0) este considerat punctul maxim. Când semnul se schimbă de la - la + obținem punctul minim.

Convexitatea și concavitatea sunt determinate atunci când se rezolvă inegalitățile formei f "" (x) ≥ 0 și f "" (x) ≤ 0. Mai puțin obișnuită este denumirea bombată în loc de concavitate și înlocuire în loc de bombă.

Definiția 3

Pentru definirea golurilor de concavitate și convexitate necesar:

• găsiți al doilea derivat;
• găsiți zerourile funcției celui de-al doilea derivat;
• împărți aria de definiție la punctele apărute în intervale;
• definiți semnul gol.

Exemplul 5

Găsiți a doua derivată din domeniu.

Decizie

f "" (x) \u003d - 2 x (4 x 2 - 1) 2 "\u003d \u003d (- 2 x)" (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 "(4 x 2 - 1) 4 \u003d 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Găsim zerourile numărătorului și numitorului, unde în exemplul exemplului nostru avem că zerourile numitorului x \u003d ± 1 2

Acum este necesar să se atragă puncte pe axa numerică și să se determine semnul celei de-a doua derivate din fiecare interval. Obținem asta

Răspuns:

• funcția este convexă de la interval - 1 2; 12;
• funcția este concavă de la intervale - ∞; - 1 2 și 1 2; + ∞.

Definiția 4

Punct de inflexiune Este un punct al formei x 0; f (x 0). Când conține o tangentă a graficului funcției, atunci când trece prin x 0, funcția schimbă semnul în sens opus.

Cu alte cuvinte, acesta este punctul prin care trece a doua derivată și schimbă semn, iar în punctele în sine este egal cu zero sau nu există. Toate punctele sunt considerate o zonă de definire a funcției.

S-a văzut în exemplu că nu există puncte de inflexiune, deoarece a doua derivată se schimbă semn în timp ce trece prin punctele x \u003d ± 1 2. La rândul lor, acestea nu sunt incluse în zona de definiție.

Găsirea asimptotelor orizontale și înclinate

Atunci când definiți o funcție la infinit, trebuie să căutați asimptote orizontale și înclinate.

Definiția 5

Asimptote Inclinatesunt reprezentate de linii definite de ecuația y \u003d k x + b, unde k \u003d lim x → ∞ f (x) x și b \u003d lim x → ∞ f (x) - k x.

Pentru k \u003d 0 și b nu este egal cu infinitul, obținem că asimptotul oblic devine orizontală.

Cu alte cuvinte, asimptotele sunt liniile la care se apropie graficul funcției la infinit. Aceasta contribuie la construcția rapidă a graficului funcțional.

Dacă nu există asimptote, dar funcția este determinată la ambele infinități, este necesar să se calculeze limita funcției la aceste infinități pentru a înțelege cum se comportă graficul funcției.

Exemplul 6

De exemplu, consideră că

k \u003d lim x → ∞ f (x) x \u003d lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x \u003d 0 b \u003d lim x → ∞ (f (x) - kx) \u003d lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 \u003d 1 4 ⇒ y \u003d 1 4

este un asimptot orizontal. După examinarea funcției, puteți începe să o construiți.

Calcularea unei valori a funcției în puncte intermediare

Pentru a face o grafică cât mai exactă, se recomandă găsirea mai multor valori ale funcției în punctele intermediare.

Exemplul 7

Din exemplul considerat de noi, este necesar să găsim valorile funcției în punctele x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Deoarece funcția este echitabilă, obținem că valorile coincid cu valorile din aceste puncte, adică obținem x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Scriem și decidem:

F (- 2) \u003d f (2) \u003d 2 2 4 · 2 2 - 1 \u003d 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) \u003d 1 2 4 · 1 2 - 1 \u003d 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 \u003d f 3 4 \u003d 3 4 2 4 3 4 2 - 1 \u003d 9 20 \u003d 0, 45 f - 1 4 \u003d f 1 4 \u003d 1 4 2 4 · 1 4 2 - 1 \u003d - 1 12 ≈ - 0,08

Pentru a determina maximele și minimele funcției, punctele de inflexiune, punctele intermediare, este necesar să se construiască asimptote. Pentru o desemnare convenabilă, sunt fixate intervalele de creștere, scădere, convexitate, concavitate. Luați în considerare figura de mai jos.

Este necesar să trasați liniile grafice prin punctele marcate, ceea ce va face posibilă abordarea asimptotelor, urmând săgețile.

Astfel se încheie studiul complet al funcției. Există cazuri de construire a unor funcții elementare pentru care se aplică transformări geometrice.

Dacă observați o eroare în text, selectați-l și apăsați Ctrl + Enter

Cercetător Kuznetsova.
III Diagrame

Sarcina 7. Efectuați un studiu complet al funcției și construiți graficul acesteia.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp Înainte de a începe descărcarea opțiunilor, încercați să rezolvați problema conform exemplului de mai jos pentru opțiunea 3. Unele dintre opțiuni sunt arhivate în format .rar.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7.3 Efectuați un studiu complet al funcției și descrieți-l

Decizie.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 1) Domeniu de aplicare: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp sau & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp, adică & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.
.
Astfel: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 2) Nu există puncte de intersecție cu axa Ox. Într-adevăr, ecuația & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp nu are soluții.
Nu există puncte de intersecție cu axa Oy, deoarece & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 3) Funcția nu este nici uniformă și ciudată. Nu există o simetrie cu privire la axa ordonată. Nu există nici o simetrie cu privire la origine. La fel de
.
Vedem că & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp și & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 4) Funcția este continuă în zona de definiție
.

; .

; .
Prin urmare, punctul & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp este un punct de pauză de al doilea fel (pauză infinită).

5) Asimptote verticale: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Găsim asimptotul oblic & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp. Aici

;
.
Prin urmare, avem un asimptot orizontal: y \u003d 0. Nu există asimptote înclinate.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 6) Găsiți primul derivat. Prima derivată:
.
Si de aceea
.
Găsiți punctele staționare în care derivatul este zero, adică
.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7) Găsiți a doua derivată. Al doilea derivat:
.
Și este ușor de văzut, de atunci

De ceva timp, TheBat (nu este clar din ce motiv) baza de certificate încorporată pentru SSL încetează să funcționeze corect.

Când verificați postările, apare o eroare:

Certificat CA necunoscut
Serverul nu a prezentat certificatul rădăcină în sesiune și certificatul rădăcină corespunzător nu a fost găsit în agenda de adrese.
Este posibil ca această conexiune să nu fie secretă. Cu plăcere
Contactați administratorul serverului.

Iar alegerea răspunsurilor este oferită - DA / NU. La fel și de fiecare dată când eliminați e-mailul.

Decizie

În acest caz, trebuie să înlocuiți standardul de implementare S / MIME și TLS cu Microsoft CryptoAPI în setările TheBat!

Întrucât am avut nevoie să combin toate fișierele într-unul, am transformat mai întâi toate fișierele doc într-un singur fișier pdf (folosind Acrobat), apoi l-am transferat la fb2 printr-un convertor online. De asemenea, puteți converti fișierele individual. Formatele pot fi absolut orice (sursă) și doc, și jpg, și chiar o arhivă zip!

Numele site-ului corespunde esenței :) Photoshop online.

Actualizare mai 2015

Am găsit un alt site minunat! Chiar și mai convenabil și funcțional pentru a crea un colaj complet arbitrar! Acesta este site-ul http://www.fotor.com/en/collage/. Utilizare pentru sănătate. Și eu îl voi folosi și eu.

Față de repararea sobelor electrice. Am făcut deja o mulțime de lucruri, am învățat o mulțime de lucruri, dar cumva nu prea aveam de a face cu dale. A trebuit să înlocuiesc contactele de pe regulatoare și arzătoare. A apărut întrebarea - cum să determinați diametrul arzătorului unei sobe electrice?

Răspunsul a fost simplu. Nu este nevoie să măsurați nimic, puteți determina cu calm ochi de ce dimensiune aveți nevoie.

Cel mai mic arzătoreste de 145 de milimetri (14,5 centimetri)

Arzător mediu - Acesta este de 180 de milimetri (18 centimetri).

Și în sfârșit, cel mai mult arzător mare - Acesta este 225 de milimetri (22,5 centimetri).

Este suficient să determinați dimensiunea după ochi și să înțelegeți ce diametru aveți nevoie de un arzător. Când nu știam acest lucru, creșteam cu aceste dimensiuni, nu știam cum să măsoresc, pe ce margine să navighez etc. Acum sunt intelept :) sper si te-am ajutat!

În viață, confruntat cu o astfel de sarcină. Cred că nu sunt singurul.