Un vector geometric este un segment direcționat. Notarea este folosită pentru a descrie vectorii; .

Lungimea vectorului este distanța dintre punctul de plecare și punctul final al vectorului. Lungimea vectorului va fi notată sau pur și simplu AB, a.

Un vector se numește zero dacă începutul și sfârșitul acestuia coincid. Un astfel de vector nu are o direcție, lungimea sa este zero, desemnați-l ca fiind.

Vectorii sunt numiți coliniar dacă se află pe aceeași linie sau pe linii paralele. Etichetați-o ca

Vectorii se numesc coplanari dacă se află în același plan.

Doi vectori sunt numiți egali dacă sunt coliniare, au aceeași lungime și direcție.

Free este un vector care poate fi mutat în spațiu paralel cu direcția sa.

Rețineți că, pentru un vector liber, originea sa poate fi combinată cu orice punct din spațiu.

În viitor ne vom ocupa doar de vectorii liberi.

Operații liniare pe vectori și proprietățile acestora

Operațiile liniare pe vectori sunt adăugarea de vectori și înmulțirea unui vector cu un număr.

Suma a doi vectori geometrici este vectorul care poate fi construit fie prin regula unui triunghi, fie prin regula unui paralelogram.

1. După regula triunghiului

Prin transfer paralel, sfârșitul vectorului este compatibil cu începutul vectorului. Atunci suma + se va numi vector   al cărui început coincide cu începutul vectorului, iar sfârșitul cu sfârșitul vectorului.

2. Conform regulii paralelogramei

Prin transfer paralel, începutul vectorului și începutul vectorului sunt compatibile. Terminăm paralelograma la capetele vectorilor. Suma vectorilor și se va numi vector, care este diagonala paralelogramului, al cărui început coincide cu începutul vectorilor și.

Proprietăți de adăugare a vectorilor.

1. Commutativitate

2. asociativ

3. Existența unui vector zero astfel încât

4. Pentru orice vector, există un vector opus (), astfel încât

Folosind proprietățile adăugării de vectori, se poate dovedi, de asemenea, că pentru orice vectori și există un vector care, complex cu, dă un vector.

Un astfel de vector se numește diferența geometrică a vectorilor și:

Produsul unui vector cu un număr real este un vector având o lungime egală cu produsul numerelor și o direcție care coincide cu direcția vectorului dacă, și opusul dacă.

Proprietățile produsului unui vector cu un număr.

5. Asociativitatea factorilor

6. Distribuibilitatea sumei de vectori în raport cu înmulțirea cu un număr real

7. Distributivitate în raport cu suma numerelor

8. Existența numărului 1, care nu schimbă vectorul în timpul înmulțirii

Toate cele opt proprietăți ale operațiilor liniare sunt obținute din proprietățile geometrice ale vectorilor.

Puteți face altfel. Pune aceste opt proprietăți în baza definiției vectorilor.

Definiția.

Orice set de obiecte pentru care este introdusă relația de egalitate, precum și operațiile de adăugare și înmulțire cu un număr care satisface proprietățile 1-8, se numește spațiu vectorial liniar.

Elementele unui astfel de spațiu se numesc vectori sau puncte ale acestui spațiu.

Exemple de spații vectoriale liniare

1. Ansamblul tuturor vectorilor geometrici.

2. Ansamblul tuturor numerelor reale. Denumește-l prin sau.

3. O mulțime de tot felul de perechi de numere reale. Denumește-l.

Fie \u003d și \u003d elementele acestui set. Vom numi numerele și coordonatele vectorilor și. Vectori și sunt considerați egali dacă coordonatele lor sunt egale, adică și

Suma vectorilor și se va numi vectorul care are coordonatele și.

Cu această introducere a operațiilor liniare, toate proprietățile 1-8 sunt efectuate și spațiul poate fi considerat un spațiu vectorial liniar.

4. Setul de tot felul de seturi de n numere reale. Denotăm acest set. Elementele acestui set sunt seturi de numere.

10.Produsul scalar al vectorilor și proprietățile sale

Ca operații neliniare pe vectori, considerăm produsul scalar și produsul vectorial cel mai des întâlnit în aplicații.

Unghiul dintre doi vectori este unghiul care nu depășește p.

Unghiul dintre vectori va fi notat

Produsul scalar al doi vectori geometrici este numărul egal cu produsul lungimilor acestor vectori prin cosinusul unghiului dintre ei:

Dacă, atunci, pentru că .

dacă, atunci, pentru că .

dacă, atunci, pentru că .

a) Proiecția ortogonală a vectorului pe direcția specificată de vector este numărul

b) În mod similar, numărul \u003d este proiecția ortogonală a vectorului pe direcție.

Din definiția unui produs scalar rezultă că

Corolar.

Produsul scalar al doi vectori diferiți de zero este egal cu zero dacă și numai dacă acești vectori sunt ortogonali (unghiul dintre ei este egal).

Proprietățile produsului scalar.

comutativitatea

1) Asociativitate

2) Distribuibilitatea față de suma vectorilor

4) dacă și dacă

Proprietățile 1-4 sunt dovedite pe baza proprietăților geometrice ale vectorilor.

Unghiul dintre vectori.

Cunoscând lungimile vectorilor și produsul lor scalar, putem găsi unghiul dintre vectori. Într-adevăr, de atunci   atunci

11. Produs vectorial și proprietățile sale, calcul prin coordonate

Un produs vectorial de un vector de un vector este un vector (îl denotăm), care satisface următoarele condiții.

definiţie:   Lucrări de artă vectorialăo pereche de vectori ordonați a și b se numește un astfel de vector încât

Proprietățile produsului vectorial:

Declarația 2: într-un sistem de coordonate carteziene (bază) eu, j, k), a \u003d ( x 1, y 1, z 1), b \u003d ( x 2, y 2, z 2}

=> [o,b] =

=

12. Produs mixt de vectori.

definiţie: Muncă mixtă  o triplă ordonată de vectori a, b și c se numește număr , INCLUZÂND \u003d (, c).

Aprobarea: \u003d V   o ,   b ,   cdacă a, b, c este tripla potrivită sau \u003d -V   o ,   b ,   cdacă a, b, c este o triplă stângă. Aici v   o ,   b ,   c  Este volumul paralelipipedului construit pe vectorii a, b și c. (Dacă a, b și c sunt coplanari, atunci V a, b, c \u003d 0.)

Declarație: în sistemul de coordonate carteziene, dacă a \u003d ( x 1, y 1, z 1), b \u003d ( x 2, y 2, z 2},

c \u003d (( x 3, y 3, z 3}, => = .

În acest articol, vom începe o discuție despre o „baghetă magică”, care vă va permite să reduceți multe probleme în geometrie la o aritmetică simplă. Această „baghetă” vă poate ușura viața în mod semnificativ, mai ales când vă simțiți nesiguri în construirea unor figuri spațiale, secțiuni etc. Toate acestea necesită o anumită imaginație și abilități practice. Metoda, pe care vom începe să o luăm în considerare aici, vă va permite să vă deconectați aproape complet de orice fel de construcții și raționamente geometrice. Metoda se numește   „Metoda coordonatelor”. În acest articol, vom lua în considerare următoarele probleme:

1. Planul de coordonate
2. Puncte și vectori în avion
3. Construcție vectorială în două puncte
4. Lungimea vectorului (distanța dintre două puncte)
5. Coordonatele secțiunii din mijloc
6. Produs scalar al vectorilor
7. Unghiul dintre doi vectori

Cred că ați ghicit deja de ce se numește metoda coordonatei? Este adevărat că a primit un astfel de nume, deoarece nu operează cu obiecte geometrice, ci cu caracteristicile (coordonatele) lor numerice. Iar transformarea în sine, care ne permite să trecem de la geometrie la algebră, este să introducem un sistem de coordonate. Dacă figura inițială era plană, atunci coordonatele sunt bidimensionale, iar dacă figura este tridimensională, atunci coordonatele sunt tridimensionale. În acest articol vom lua în considerare doar cazul bidimensional. Și principalul obiectiv al articolului este să vă învețe cum să folosiți unele tehnici de bază ale metodei de coordonate (se dovedesc uneori utile pentru rezolvarea problemelor de planimetrie din partea B a USE). Discutarea metodelor de soluționare a problemelor C2 (problema stereometriei) este dedicată următoarelor două secțiuni pe acest subiect.

Unde ar fi logic să începeți o discuție despre metoda coordonatelor? Probabil cu conceptul de sistem de coordonate. Amintiți-vă când ați întâlnit-o pentru prima dată. Mi se pare că în clasa a VII-a, când ai aflat despre existența unei funcții liniare, de exemplu. Permiteți-mi să vă reamintesc, ați construit-o punct cu punct. Îți amintești? Ați ales un număr arbitrar, l-ați înlocuit în formulă și l-ați calculat astfel. De exemplu, dacă, atunci, dacă, atunci, etc. Ce ai obținut până la urmă? Și ai puncte cu coordonate: și. Apoi ați trasat o „cruce” (sistem de coordonate), ați selectat scala pe ea (câte celule veți avea ca un singur segment) și ați marcat pe ea punctele pe care le-ați primit, pe care le-ați conectat apoi printr-o linie dreaptă, linia rezultată este graficul funcției.

Există mai multe puncte care ar trebui explicate mai detaliat:

1. Alegeți un singur segment din motive de comoditate, astfel încât totul să se potrivească frumos și compact în imagine

2. Se acceptă faptul că axa merge de la stânga la dreapta, iar axa merge de jos în sus

3. Se intersectează în unghi drept, iar punctul intersecției lor se numește originea. Este indicat printr-o scrisoare.

4. În înregistrare, coordonatele punctului, de exemplu, la stânga între paranteze este coordonata punctului de pe axa, iar în dreapta, a axei. În special, înseamnă pur și simplu că ideea

5. Pentru a seta orice punct pe axa de coordonate, trebuie să specificați coordonatele sale (2 numere)

6. Pentru orice punct aflat pe axa,

7. Pentru orice punct aflat pe axa,

8. Axa se numește axa abscisă.

9. Axa se numește axa ordonată.

Acum, să facem următorul pas cu dvs.: marcați două puncte. Conectați aceste două puncte cu o linie. Și puneți săgeata ca și cum am trasa un segment dintr-un punct în altul: adică vom face segmentul nostru direcționat!

Vă amintiți ce altceva se numește segment direcționat? Așa este, se numește vector!

Deci, dacă conectăm un punct cu un punct, unde începutul este punctul A, iar sfârșitul este punctul B,  atunci obținem vectorul. Ați făcut și această construcție în clasa a VIII-a, vă amintiți?

Se dovedește că vectorii, la fel ca punctele, pot fi notate cu două numere: aceste numere sunt numite coordonatele vectorului. Întrebare: cum credeți, este suficient să cunoaștem coordonatele începutului și sfârșitului vectorului pentru a găsi coordonatele sale? Se dovedește că da! Și acest lucru se face foarte simplu:

Astfel, deoarece punctul este începutul în vector, iar sfârșitul este, vectorul are următoarele coordonate:

De exemplu, dacă, atunci coordonatele vectorului

Acum să facem contrariul, să găsim coordonatele vectorului. Ce trebuie să schimbăm pentru asta? Da, trebuie să schimbați începutul și sfârșitul: acum începutul vectorului va fi la un punct, iar sfârșitul la un punct. apoi:

Priviți cu atenție cum diferă vectorii și? Singura lor diferență este semnele din coordonate. Sunt opuse. Acest fapt este de obicei scris astfel:

Uneori, dacă nu este specificat în mod specific, care este punctul de început al vectorului și care este sfârșitul, atunci vectorii sunt indicați nu cu două litere majuscule, ci printr-un litere mici, de exemplu:, etc.

Acum un pic rezolva  dvs. și găsiți coordonatele următorilor vectori:

Verificați:

Acum rezolvați problema ceva mai complicată:

Un vector cu un cha-lom într-un punct are un coordonat di-na-you. Puncte Nai-di-te abs-cis-su.

La fel este destul de prozaic: Să fie coordonatele punctului. atunci

Am alcatuit un sistem pentru a determina care sunt coordonatele unui vector. Apoi punctul are coordonate. Ne interesează abscisa. atunci

Răspunsul este:

Ce mai poți face cu vectori? Da, aproape totul este la fel ca în cazul numerelor obișnuite (cu excepția cazului în care nu puteți împărți, dar puteți înmulți în două moduri, despre care vom discuta aici puțin mai târziu)

1. Vectoarele pot fi stivuite între ele.
2. Vectorii pot fi scăpați unul de la celălalt
3. Vectoarele pot fi înmulțite (sau împărțite) cu un număr nenul arbitrar
4. Vectorii pot fi înmulțiți unul cu celălalt

Toate aceste operații au o reprezentare geometrică foarte clară. De exemplu, o regulă triunghi (sau paralelogramă) pentru adunare și scădere:

Vectorul este întins sau comprimat sau schimbă direcția atunci când este înmulțit sau împărțit cu un număr:

Totuși, aici vom fi interesați de ceea ce se întâmplă cu coordonatele.

1. Când adunăm (scăzem) doi vectori, adăugăm (scăzem) coordonatele lor element după element. Adică:

2. Când înmulțiți (împărțind) un vector cu un număr, toate coordonatele sale sunt înmulțite (împărțite) cu acest număr:

De exemplu:

· Nai-di-te sumă ko-sau-di-nat-secol-la-ra.

Să găsim mai întâi coordonatele fiecăruia dintre vectori. Ambele au aceeași origine - punctul de origine. Capetele sunt diferite. Apoi. Acum calculăm coordonatele vectorului, apoi suma coordonatelor vectorului rezultat este egală.

Răspunsul este:

Rezolvați singur problema următoare:

· Găsiți suma coordonatelor vectorului

Verificăm:

Să analizăm acum următoarea problemă: avem două puncte pe planul de coordonate. Cum să găsești distanța dintre ele? Fie primul punct și al doilea. Indicați distanța dintre ele. Să facem următorul desen pentru claritate:

Ce am făcut? În primul rând, am conectat punctele și, de asemenea, din punct, am desenat o linie paralelă cu axa, iar din punct în care am desenat o linie paralelă cu axa. S-au intersectat la un moment dat, formând o figură minunată? Cum e minunată? Da, noi și cu toții știm despre un triunghi drept. Ei bine, teorema lui Pitagore este sigură. Segmentul dorit este ipotenuză a acestui triunghi, iar segmentele sunt picioarele. Care sunt coordonatele unui punct? Da, sunt ușor de găsit în imagine: deoarece segmentele sunt paralele cu axele și, în consecință, lungimile lor sunt ușor de găsit: dacă notăm lungimile segmentelor, respectiv, prin, atunci

Acum folosim teorema pitagoreică. Lungimile picioarelor ne sunt cunoscute, vom găsi ipotenuză:

Astfel, distanța dintre două puncte este rădăcina sumei pătratelor diferențelor față de coordonate. Sau - distanța dintre două puncte - aceasta este lungimea segmentului care le leagă. Este ușor de observat că distanța dintre puncte nu depinde de direcție. apoi:

De aici tragem trei concluzii:

Să exersăm câteva calcule ale distanței între două puncte:

De exemplu, dacă, atunci distanța dintre și este egală cu

Sau să mergem altfel: găsiți coordonatele vectorului

Și găsiți lungimea vectorului:

După cum vedeți, același lucru!

Acum exersați puțin voi înșivă:

Sarcină: găsiți distanța dintre punctele specificate:

Verificăm:

Iată câteva puzzle-uri pentru aceeași formulă, deși sună puțin diferit:

1. Pleoape de lungime pătrată Nai-di-te.

2. Lungimea pleoapelor pătrate Nai-di-te

Cred că da, le faci față cu ușurință? Verificăm:

1. Și aceasta este atentia) Am găsit deja coordonatele vectorilor înainte:. Atunci vectorul are coordonate. Pătratul lungimii sale va fi egal cu:

2. Găsiți coordonatele vectorului

Atunci pătratul lungimii sale este

Nimic complicat, nu? Aritmetica obișnuită, nimic mai mult.

Următoarele sarcini nu pot fi clasificate fără echivoc, sunt mai probabil bazate pe erudiția generală și pe capacitatea de a realiza imagini simple.

1.   Nai-di-te este sinusul unghiului punctului on-clone-on-cut-off, deci-one-nya-u-th-th, cu axa abscisă.

  și

Ce vom face aici? Este necesar să se găsească sinusul unghiului dintre și axa. Și unde știm să căutăm un sine? În dreapta, într-un triunghi drept. Deci, ce trebuie să facem? Construiți acest triunghi!

Deoarece coordonatele punctului și, segmentul este egal, iar segmentul. Trebuie să găsim sinusul unghiului. Să vă reamintesc că sinusul este raportul dintre piciorul opus și ipotenuză

Ce trebuie să facem? Găsiți ipotenuză. Puteți face acest lucru în două moduri: prin teorema lui Pitagore (picioarele sunt cunoscute!) Sau prin formula distanței dintre două puncte (de fapt, același lucru ca și prima metodă!). Voi merge pe al doilea drum:

Răspunsul este:

Următoarea sarcină vi se va părea și mai ușoară. Ea se află la coordonatele punctului.

Sarcina 2  Per-pen-di-ku-lar este omisă din punct în axa abs-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Să facem un desen:

Baza perpendicularului este punctul în care intersectează axa (axa) abscisă, acesta este punctul. Figura arată că are coordonatele:. Ne interesează abscisa - adică componenta „X”. Ea este egală.

Răspunsul este: .

Sarcina 3.  În condițiile problemei anterioare, găsiți suma distanțelor de la punctul la axele de coordonate.

Sarcina este în general elementară dacă știți care este distanța de la un punct la axe. Stii Sper, dar totuși vă amintesc:

Deci, în desenul meu, amplasat chiar mai sus, am înfățișat deja una atât de perpendiculară? La ce axa este? Spre axă. Și atunci cu ce lungime este egală? Ea este egală. Acum trageți perpendicular pe axa și găsiți lungimea acesteia. Va fi egală, nu? Atunci suma lor este egală.

Răspunsul este: .

Sarcina 4.  În condițiile problemei 2, găsiți ordinea unui punct simetric față de un punct relativ la axa abscisei.

Cred că este intuitiv pentru tine ce este simetria? Foarte multe obiecte îl posedă: multe clădiri, tabele, planuri, multe figuri geometrice: o bilă, un cilindru, un pătrat, un rom, etc. Aproape vorbind, simetria poate fi înțeleasă astfel: o figură constă din două (sau mai multe) jumătăți identice. Această simetrie se numește axial. Și atunci care este axa? Aceasta este exact linia de-a lungul căreia figura, relativ vorbind, poate fi „tăiată” în jumătăți egale (în această imagine, axa de simetrie este dreaptă):

Acum să revenim la sarcina noastră. Știm că căutăm un punct simetric în privința axei. Atunci această axă este axa de simetrie. Deci, trebuie să marcăm un astfel de punct, astfel încât axa să taie segmentul în două părți egale. Încercați să marcați singur un astfel de punct. Acum comparați cu soluția mea:

Ai procedat la fel? Bine! La punctul găsit ne interesează ordonata. Ea este egală

Răspunsul este:

Acum spune-mi, după ce am gândit câteva secunde, care va fi abscisa unui punct simetric față de punctul A în raport cu ordonata? Care este răspunsul tău? Răspunsul corect este:.

În general, o regulă poate fi scrisă astfel:

Punctul simetric față de punctul relativ la axa abscisei are coordonatele:

Un punct simetric cu un punct în raport cu axa ordonată are coordonatele:

Ei bine, acum este într-adevăr înfricoșător sarcina: Găsiți coordonatele unui punct simetric la un punct în raport cu originea. Mai întâi te gândești la tine și apoi privește desenul meu!

Răspunsul este:

acum   problemă paralelogramă:

Sarcina 5: Punctele sunt ya-ya-ya-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Nai-di-te sau-di-on-the point.

Puteți rezolva această problemă în două moduri: prin logică și prin metoda coordonatelor. Voi aplica mai întâi metoda coordonatelor și apoi vă voi spune cum o puteți rezolva diferit.

Este clar că abscisa punctului este egală. (se află pe o perpendicular trasă dintr-un punct pe axa abscisă). Trebuie să găsim ordonanța. Profităm de faptul că figura noastră este o paralelogramă, ceea ce înseamnă că. Găsiți lungimea segmentului folosind formula pentru distanța dintre două puncte:

Aruncați perpendicularul care leagă punctul de axa. Punctul de intersecție va fi notat prin scrisoare.

Lungimea segmentului este egală. (găsiți problema în sine, unde am discutat acest moment), apoi vom găsi lungimea segmentului după teorema pitagoreică:

Lungimea segmentului - coincide exact cu ordonatul său.

Răspunsul este: .

O altă soluție (voi oferi doar o imagine care o ilustrează)

Progresul soluției:

1. Conduită

2. Găsiți coordonatele și lungimea punctului

3. Dovedește că.

Încă unul sarcină pentru lungimea segmentului:

Punctele sunt ya-ya-ya-shi-on-mi tri-coal-ni-ka. Nai-di-te este lungimea liniei sale medii, paralel-fidel.

Vă amintiți care este linia de mijloc a unui triunghi? Atunci pentru tine această sarcină este elementară. Dacă nu vă amintiți, vă amintesc: linia de mijloc a unui triunghi este o linie care leagă punctele de mijloc ale laturilor opuse. Este paralel cu baza și este egal cu jumătatea sa.

Baza este un segment. A trebuit să căutăm lungimea ei mai devreme, este egală. Apoi, lungimea liniei medii este jumătate mai mare și egală.

Răspunsul este: .

Comentariu: această problemă poate fi rezolvată într-un alt mod, pe care o vom aborda puțin mai târziu.

Între timp - iată câteva sarcini pentru tine, exersează-le, sunt foarte simple, dar ajută la „umple-ți mâna” folosind metoda de coordonate!

1. Punctele sunt ya-ya-ya-shi-on-mi trapezii. Nai-di-te este lungimea liniei medii.

2. Puncte și yav-ya-ya-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Nai-di-te sau-di-on-the point.

3. Nai-di-te lungimea punctului tăiat, deci un-nya-y-th-th și

4. Zona Nai-di-te a fi-gu-riei supra-pictate pe planul ko-sau-di-nat-naty.

5. Un cerc cu un centru în na-cha-le ko-sau-di-nat trece printr-un punct. Nai-di-te ra-di-us.

6. Cercul Nai-di-te ra-di-us, opi-san aproape dreptunghi-mo-cărbune-ni-ka, ver-shi-ni-ko-ro-go au ko-op -di-on-you so-from-vet-real-but

soluţii:

1. Se știe că linia mijlocie a trapezului este egală cu jumătatea sumei bazelor sale. Baza este egală, iar baza. atunci

Răspunsul este:

2. Cel mai simplu mod de a rezolva această problemă este următorul: observați că (regula paralelogramului). Calculați coordonatele vectorilor și nu este dificil:. Când adăugați vectori, coordonatele se adaugă. Apoi are coordonatele. Punctul are aceleași coordonate, de la începutul vectorului este un punct cu coordonate. Suntem interesați de ordonată. Ea este egală.

Răspunsul este:

3. Acționăm imediat după formula distanței dintre două puncte:

Răspunsul este:

4. Priviți imaginea și spuneți-mi, între care două figuri este „umplută” zona umbrită? Este împinsă între două pătrate. Apoi aria figurii dorite este egală cu suprafața pătratului mare minus suprafața celui mic. Partea pătratului mic este un segment care leagă punctele și lungimea acestuia este

Atunci zona pătratului mic este

Procedăm la fel cu pătratul mare: latura sa este un segment care leagă punctele și lungimea acestuia este

Atunci zona pătratului mare este

Zona figurii dorite va fi găsită după formula:

Răspunsul este:

5. Dacă cercul are originea ca centru și trece prin punct, raza lui va fi exact egală cu lungimea segmentului (faceți un desen și veți înțelege de ce acest lucru este evident). Găsiți lungimea acestui segment:

Răspunsul este:

6. Se știe că raza unui cerc circumscris în jurul unui dreptunghi este egală cu jumătate din diagonală. Găsiți lungimea uneia dintre cele două diagonale (sunt egale în dreptunghi!)

Răspunsul este:

Ei bine, te-ai ocupat de toate? Nu a fost foarte dificil să descoperiți, nu? Există o singură regulă - să poți face o imagine vizuală și pur și simplu să „citești” toate datele din ea.

Ne-a mai rămas foarte puțin. Mai sunt literalmente încă două puncte despre care aș dori să discutăm.

Să încercăm să rezolvăm această simplă sarcină. Să fie acordate două puncte. Găsiți coordonatele din mijlocul segmentului. Soluția acestei probleme este următoarea: lăsați punctul să fie mijlocul dorit, apoi are coordonatele:

Adică: coordonatele din mijlocul segmentului \u003d media aritmetică a coordonatelor corespunzătoare ale capetelor segmentului.

Această regulă este foarte simplă și de obicei nu provoacă dificultăți pentru studenți. Să vedem în ce sarcini și cum este folosit:

1. Nai-di-te sau-di-on-that se-re-di-ni din-rez-ka, cu-one-nya-yu-th point and

2. Punctele sunt ya-ya-ya-shi-on-mi-you-reh-coal-ni-ka. Nai-di-te sau-di-on-the point înainte de re-se-setarea dia-sale-a-on-lei.

3. Nai-di-te abs-cis-su centrul cercului, opi-san aproape de pătrat-mo-cărbune-ni-ka, vârfurile de top ale ko-ro-go au ko-sau-di-na-tu așa-de-vet-real-dar.

soluţii:

1. Prima sarcină este doar un clasic. Acționăm imediat prin definiția mijlocului segmentului. Are coordonate. Ordonanța este egală.

Răspunsul este:

2. Este ușor de observat că acest patrulater este o paralelogramă (chiar și un romboi!). Tu însuți îl poți dovedi calculând lungimile laturilor și comparându-le între ele. Ce știu despre o paralelogramă? Diagonalele sale sunt împărțite în jumătate de punctul de intersecție! Aha! Deci, punctul de intersecție al diagonalelor este ce? Acesta este mijlocul oricărei dintre diagonale! Voi alege, în special, diagonala. Apoi punctul are coordonatele.Ordinatul punctului este egal.

Răspunsul este:

3. Care este centrul cercului circumscris în jurul dreptunghiului? Coincide cu punctul de intersecție al diagonalelor sale. Ce știi despre diagonalele unui dreptunghi? Sunt egale, iar punctul de intersecție este împărțit la jumătate. Sarcina a fost redusă la cea anterioară. Luați, de exemplu, diagonala. Atunci dacă este centrul cercului circumscris, atunci este mijlocul. În căutarea coordonatelor: Abscisa este egală.

Răspunsul este:

Acum exersați puțin pe cont propriu, voi oferi doar răspunsuri la fiecare sarcină, astfel încât să vă puteți testa singur.

1. Cercul Nai-di-te ra-di-us, opi-san lângă tre-cărbune-ni-ka, ver-shi-ni ko-ro-go au ko-sau-di -on-te

2. Nai-di-te sau-di-on-that-center-cerc, opi-san aproape de tre-coal-ni-ka, ver-shi-ni-ko-ro-go are co-op-de-la-te

3. Ar trebui să existe un cerc cu un centru într-un punct astfel încât să fie tangent cu axa abscisei?

4. Nai-di-te sau-di-on-the-point înainte de re-se-th-ax și decupat, deci un-y-th-th point și

răspunsuri:

Ați reușit? Sper chiar da! Acum - ultima descoperire. Fii deosebit de atent acum. Materialul pe care îl voi explica acum este direct legat nu doar de probleme simple din metoda de coordonate din partea B, dar se găsește peste tot în Problema C2.

Care dintre promisiunile mele nu am ținut? Vă amintiți ce operații pe vectori mi-am promis că le voi introduce și care am introdus în cele din urmă? Cu siguranță nu am uitat nimic? Am uitat! Am uitat să explic ce înseamnă înmulțirea vectorială.

Există două moduri de a multiplica un vector cu un vector. În funcție de metoda aleasă, vom obține obiecte de natură diferită:

Vectorul este destul de complicat. Cum se face și de ce este nevoie, vom discuta cu tine în articolul următor. Și în aceasta ne vom concentra asupra produsului scalar.

Există deja două moduri în care îl putem calcula:

După cum ați ghicit, rezultatul ar trebui să fie același! Deci, să ne uităm mai întâi la primul mod:

Produs scalar prin coordonate

Găsiți: - desemnarea comună a unui produs scalar

Formula de calcul este următoarea:

Adică produsul scalar \u003d suma produselor din coordonatele vectorilor!

Un exemplu:

Nai di te

soluţie:

Găsiți coordonatele fiecăruia dintre vectori:

Calculăm produsul scalar după formula:

Răspunsul este:

Vedeți, absolut nimic complicat!

Ei bine, încearcă acum singur:

· Nai-di-te scalar pro-de-ve-de-de-secol la moat și

Ai făcut-o? Poate s-a observat o mică captură? Să verificăm:

Coordonate vectoriale, ca în sarcina anterioară! Răspuns :.

Pe lângă coordonată, există o altă modalitate de a calcula produsul scalar, și anume, prin lungimile vectorilor și cosinusul unghiului dintre ele:

Indică unghiul dintre vectori și.

Adică, produsul scalar este egal cu produsul lungimilor vectorilor prin cosinusul unghiului dintre ei.

De ce avem nevoie de această a doua formulă, dacă o avem pe prima, care este mult mai simplă, cel puțin nu există cosinuri în ea. Și avem nevoie pentru ca noi și cu mine să putem deduce din prima și a doua formulă cum să găsim unghiul dintre vectori!

Apoi amintiți-vă formula pentru lungimea vectorului!

Apoi, dacă înlocuiesc aceste date în formula scalară a produsului, atunci primesc:

Pe de altă parte:

Deci ce avem și cu mine? Avem acum o formulă care ne permite să calculăm unghiul dintre doi vectori! Uneori, pentru scurtitate, este scris și după cum urmează:

Adică algoritmul de calcul al unghiului dintre vectori este următorul:

1. Calculăm produsul scalar prin coordonate
2. Găsiți lungimile vectorilor și multiplicați-le
3. Împărțiți rezultatul alineatului 1 la rezultatul alineatului (2)

Să exersăm cu exemple:

1. Nai-di-te unghiul dintre pleoape și. Dați răspunsul în grad do sah.

2. În condițiile sarcinii anterioare, găsiți cosinusul între vectori

Vom face acest lucru: te voi ajuta să rezolvi prima problemă și să încerci să o faci pe a doua! Sunteți de acord? Atunci începem!

1. Acești vectori sunt vechii noștri prieteni. Am considerat deja produsul lor scalar și a fost egal. Coordonatele lor sunt:. Apoi găsim lungimile lor:

Apoi căutăm cosinul dintre vectori:

Care este cosinusul unghiului? Acesta este colțul.

Răspunsul este:

Ei bine, acum rezolvă singur a doua problemă și apoi comparați! Voi oferi doar o soluție foarte scurtă:

2. are coordonate, are coordonate.

Fie unghiul dintre vectori și, apoi

Răspunsul este:

Trebuie menționat că problemele direct pe vector și metoda de coordonate din partea B a lucrării de examen sunt destul de rare. Cu toate acestea, marea majoritate a problemelor C2 poate fi rezolvată cu ușurință apelând la introducerea unui sistem de coordonate. Așadar, puteți considera acest articol fundamentul, pe baza căruia vom face construcții destul de complicate, pe care le vom avea nevoie pentru a rezolva probleme complexe.

COORDONATE ȘI VECTORI. MEDIE LA NIVEL

Tu și cu mine continuăm să studiem metoda coordonatelor. În ultima parte, am derivat o serie de formule importante care permit:

1. Găsiți coordonatele vectoriale
2. Găsiți lungimea unui vector (alternativ: distanța dintre două puncte)
3. Adăugați, scăpați vectori. Înmulțiți-le cu un număr real
4. Găsiți mijlocul unui segment
5. Calculați produsul scalar al vectorilor
6. Găsiți unghiul dintre vectori

Desigur, întreaga metodă de coordonate nu se încadrează în aceste 6 puncte. Este la baza unei științe precum geometria analitică, pe care va trebui să le cunoști la o universitate. Vreau doar să construiesc o fundație care să vă permită să rezolvați problemele într-un singur stat. examen. Cu sarcinile din partea B, ne-am dat seama. Acum este timpul să trecem la un nivel cu totul nou! Acest articol va fi dedicat metodei de rezolvare a acestor probleme C2, în care va fi rezonabil să mergeți la metoda de coordonate. Această raționalitate este determinată de ceea ce este necesar să se găsească în problemă și ce cifră este dată. Așadar, aș aplica metoda de coordonate dacă se pun întrebări:

1. Găsiți unghiul dintre două planuri
2. Găsiți unghiul dintre o linie și un plan
3. Găsiți unghiul dintre două linii drepte
4. Găsiți distanța de la un punct la un avion
5. Găsiți distanța de la un punct la o linie
6. Găsiți distanța de la o linie la un avion
7. Găsiți distanța dintre două linii

Dacă figura dată în starea problemei este un corp de revoluție (bilă, cilindru, con ...)

Cifrele adecvate pentru metoda coordonatelor sunt:

1. Cutie dreptunghiulară
2. Piramidă (triunghiulară, pătrată, hexagonală)

Tot în experiența mea este imposibil să se utilizeze metoda de coordonate pentru:

1. Găsirea zonelor transversale
2. Calcule ale volumului corpului

Cu toate acestea, trebuie menționat imediat că trei situații „dezavantajoase” pentru metoda coordonatelor sunt destul de rare în practică. În majoritatea sarcinilor, el poate deveni salvatorul tău, mai ales dacă nu ești foarte puternic în construcțiile tridimensionale (care sunt uneori destul de complexe).

Care sunt toate cifrele pe care le-am enumerat mai sus? Nu mai sunt plate, cum ar fi un pătrat, un triunghi, un cerc, ci voluminoase! În consecință, trebuie să luăm în considerare nu un sistem bidimensional, ci un sistem tridimensional de coordonate. Este construit destul de ușor: doar pe lângă abscisă și ordonate, vom introduce o altă axă, axa aplicată. Figura arată schematic poziția lor relativă:

Toate sunt perpendiculare reciproc, se intersectează la un moment dat, ceea ce vom numi originea. Axa abscisă, ca mai înainte, va fi notată de axa ordonată, iar axa aplicată introdusă cu.

Dacă mai devreme fiecare punct din plan a fost caracterizat de două numere - abscisa și ordonată, atunci fiecare punct din spațiu este deja descris de trei numere - abscisa, ordonata și aplicata. De exemplu:

În consecință, abscisa punctului este egală, ordonata este și aplicata este.

Uneori, abscisa unui punct se mai numește proiecția unui punct pe axa abscisei, ordonata este proiecția unui punct pe axa ordonată și aplicata se numește proiecția unui punct pe axa aplicată. În consecință, dacă este specificat un punct, atunci un punct cu coordonate:

numită proiecția unui punct pe un plan

numită proiecția unui punct pe un plan

Se ridică întrebarea firească: toate formulele deduse pentru cazul bidimensional sunt valabile în spațiu? Răspunsul este da, sunt corecte și au același aspect. Pentru un mic detaliu. Cred că tu chiar tu ați ghicit care dintre ele. În toate formulele, va trebui să adăugăm încă un membru responsabil pentru axa aplicației. Și anume.

1. Dacă se acordă două puncte :, atunci:

• Coordonate vectoriale:
• Distanța dintre două puncte (sau lungimea vectorului)
• Mijlocul segmentului are coordonate

2. Dacă se dau doi vectori: și, atunci:

• Produsul lor scalar este egal cu:
• Cosinusul unghiului dintre vectori este egal cu:

Totuși, spațiul nu este atât de simplu. După cum știți, adăugarea unei alte coordonate introduce o varietate semnificativă în spectrul figurilor care „trăiesc” în acest spațiu. Și pentru o narație suplimentară, trebuie să prezint o „generalizare” a liniei. Această „generalizare” este planul. Ce știi despre avion? Încercați să răspundeți la întrebare, ce este un avion? Foarte greu de spus. Cu toate acestea, cu toții ne imaginăm intuitiv cum arată:

Aproape vorbind, acesta este un fel de „frunză” nesfârșită lipită în spațiu. „Infinit” trebuie înțeles că avionul se extinde în toate direcțiile, adică aria sa este egală cu infinitul. Totuși, această explicație „pe degete” nu oferă nici cea mai mică idee despre structura planului. Și ne vom interesa.

Să reamintim una dintre axiomele de bază ale geometriei:

• o linie dreaptă trece prin două puncte diferite din avion, în plus, doar unul:

Sau analogul său în spațiu:

Desigur, vă amintiți cum să obțineți ecuația liniei din două puncte date, nu este deloc dificil: dacă primul punct are coordonate: iar al doilea, ecuația liniei va fi următoarea:

Tu ai fost cel care a trecut în clasa a VII-a. În spațiu, ecuația liniei arată astfel: să presupunem că avem două puncte cu coordonate:, atunci ecuația liniei care trece prin ele are forma:

De exemplu, prin puncte, trece o linie dreaptă:

Cum trebuie înțeles acest lucru? Acest lucru trebuie înțeles după cum urmează: un punct se află pe o linie dreaptă dacă coordonatele sale satisfac următorul sistem:

Nu vom fi foarte interesați de ecuația liniei, dar trebuie să fim atenți la conceptul foarte important al vectorului de direcție al liniei. - orice vector diferit care se află pe o anumită linie sau paralel cu ea.

De exemplu, ambii vectori direcționează vectori ai liniei. Să fie un punct întins pe o linie dreaptă și să fie vectorul său de direcție. Apoi ecuația liniei poate fi scrisă în următoarea formă:

Încă o dată, nu mă interesează foarte mult ecuația dreptei, dar chiar am nevoie să vă amintiți ce este un vector direcțional! Inca o data: este ORICE vector diferit de zero care se află pe o linie sau paralel cu ea.

retrage ecuația unui plan în trei puncte date nu mai este atât de banal și de obicei această întrebare nu este luată în considerare într-un curs de liceu. Dar degeaba! Această tehnică este vitală atunci când recurgem la metoda coordonatelor pentru a rezolva probleme complexe. Totuși, presupun că ești plin de dorința de a învăța ceva nou? Mai mult, îți vei putea impresiona profesorul la universitate atunci când se va dovedi că știi deja să faci cu tehnica care este de obicei predată în cursul geometriei analitice. Așa că hai să începem.

Ecuația planului nu este prea diferită de ecuația unei linii pe plan și anume, are forma:

unele numere (nu toate egale cu zero), dar variabile, de exemplu: etc. După cum puteți vedea, ecuația planului nu este foarte diferită de ecuația unei funcții directe (liniare). Cu toate acestea, îți amintești ce ai reclamat tu și eu? Am spus că dacă avem trei puncte care nu se află pe o linie dreaptă, atunci ecuația plană este reconstruită în mod unic din ele. Dar cum? Voi încerca să vă explic.

Deoarece ecuația planului are forma:

Și punctele aparțin acestui plan, atunci când înlocuim coordonatele fiecărui punct în ecuația planului, ar trebui să obținem identitatea corectă:

Astfel, apare nevoia de a rezolva trei ecuații deja cu necunoscute! Dilema! Cu toate acestea, se poate presupune întotdeauna că (pentru aceasta trebuie să vă împărțiți). Astfel, obținem trei ecuații cu trei necunoscute:

Cu toate acestea, nu vom rezolva un astfel de sistem, ci scriem o expresie misterioasă care rezultă din acesta:

Ecuația unui avion care trece prin trei puncte date

\\ [\\ left | (\\ begin (array) (* (20) (c)) (x - (x_0)) & ((x_1) - (x_0)) & ((x_2) - (x_0)) \\\\ (y - (y_0) ) & ((y_1) - (y_0)) & ((y_2) - (y_0)) \\\\ (z - (z_0)) & ((z_1) - (z_0)) & ((z_2) - (z_0)) \\ end (array)) \\ right | \u003d 0 \\]

Oprește-te! Ce este asta? Un modul foarte neobișnuit! Cu toate acestea, obiectul pe care îl vedeți în fața dvs. nu are nicio legătură cu modulul. Acest obiect se numește determinant de ordinul al treilea. De acum înainte, când vă veți ocupa de metoda coordonatelor din avion, foarte des veți întâlni acești acei determinanți. Ce este un determinant de ordinul trei? Ciudat, acesta este doar un număr. Rămâne să înțelegem ce număr specific vom compara cu determinantul.

Să notăm mai întâi determinantul de ordinul trei într-o formă mai generală:

Unde sunt câteva numere. Mai mult, prin primul index ne referim la numărul de rând, iar la index este numărul coloanei. De exemplu, înseamnă că acest număr se află la intersecția celui de-al doilea rând și a treia coloană. Să ne punem următoarea întrebare: în ce fel vom calcula un astfel de determinant? Adică, ce număr specific vom asorta pentru el? Pentru un determinant exact al celui de-al treilea ordin, există o regulă euristică (vizuală) a unui triunghi, arată astfel:

1. Produsul elementelor diagonalei principale (din colțul din stânga sus la dreapta jos) produsul elementelor care formează primul triunghi „perpendicular” pe diagonala principală produsul elementelor care formează al doilea triunghi „perpendicular” pe diagonala principală
2. Produsul elementelor diagonalei laterale (de la colțul din dreapta sus la stânga jos) produsul elementelor care formează primul triunghi „perpendicular” pe diagonala laterală produsul elementelor care formează al doilea triunghi „perpendicular” al diagonalei laterale.
3. Atunci determinantul este egal cu diferența valorilor obținute la pas și

Dacă notăm toate acestea în număr, obținem următoarea expresie:

Cu toate acestea, nu este necesar să vă amintiți metoda de calcul în această formă, este suficient să păstrați triunghiurile în capul vostru și ideea despre ceea ce se adaugă și din ce se scade apoi).

Să ilustrăm metoda triunghiului cu un exemplu:

1. Calculați determinantul:

Să ne dăm seama ce adăugăm și ce scăzem:

Termenii care vin cu „plus”:

Aceasta este diagonala principală: produsul elementelor este egal cu

Primul triunghi, „perpendicular pe diagonala principală: produsul elementelor este egal cu

Al doilea triunghi, „perpendicular pe diagonala principală: produsul elementelor este egal cu

Adăugați trei numere:

Termenii care vin cu „minus”

Aceasta este o diagonală laterală: produsul elementelor este egal cu

Primul triunghi, „perpendicular pe diagonala laterală: produsul elementelor este egal cu

Al doilea triunghi, „perpendicular pe diagonala laterală: produsul elementelor este egal cu

Adăugați trei numere:

Nu mai rămâne decât să scădem din suma termenilor plus suma termenilor minus:

În acest fel

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat și neobișnuit în calcularea determinanților de ordinul al treilea. Pur și simplu este important să vă amintiți despre triunghiuri și să evitați erorile aritmetice. Acum încearcă să-ți dai seama de tine:

Verificăm:

1. Primul triunghi perpendicular pe diagonala principală:
2. Al doilea triunghi perpendicular pe diagonala principală:
3. Suma termenilor cu un plus:
4. Primul triunghi perpendicular pe diagonala laterală:
5. Al doilea triunghi perpendicular pe diagonala laterală:
6. Suma termenilor cu un minus:
7. Suma termenilor cu un plus minus suma termenilor cu un minus:

Aici aveți doi determinanți, calculați-vă singuri valorile și comparați cu răspunsurile:

răspunsuri:

Ei bine, totul a coincis? Bine, atunci poți merge mai departe! Dacă există dificultăți, atunci sfatul meu este acesta: pe Internet există o grămadă de programe de calcul on-line de determinare. Tot ce ai nevoie este să-ți faci propriul determinant, să-l calculezi singur și apoi să-l compari cu ceea ce consideră programul. Și așa mai departe, până când rezultatele încep să se potrivească. Sunt sigur că acest moment nu va dura mult!

Acum să revenim la determinantul pe care l-am scris când am vorbit despre ecuația unui avion care trece prin trei puncte date:

Tot ce trebuie să faci este să-i calculezi direct valoarea (prin metoda triunghiurilor) și să echivalează rezultatul la zero. Desigur, deoarece acestea sunt variabile, veți obține o expresie care depinde de ele. Această expresie va fi ecuația planului care trece prin trei puncte date, care nu se află pe o linie dreaptă!

Să ilustrăm ce s-a spus cu un exemplu simplu:

1. Construiți ecuația planului care trece prin puncte

Compunem un factor determinant pentru aceste trei puncte:

simplificând:

Acum îl calculăm direct după regula triunghiurilor:

\\ [(\\ left | (\\ begin (array)) (* (20) (c)) (x + 3) & 2 & 6 \\\\ (y - 2) & 0 & 1 \\\\ (z + 1) & 5 & 0 \\ end (array)) \\ \\ cdot 5 \\ cdot 6 -) \\]

Astfel, ecuația planului care trece prin puncte are forma:

Încercați acum să rezolvați singuri o problemă și apoi o vom discuta:

2. Găsiți ecuația planului care trece prin puncte

Ei bine, hai să discutăm soluția acum:

Compunem determinantul:

Și calculăm valoarea acesteia:

Atunci ecuația planului are forma:

Sau, după reducerea lor, primim:

Acum există două sarcini pentru autocontrol:

1. Construiți ecuația unui avion care trece prin trei puncte:

răspunsuri:

A coincis totul? Din nou, dacă există anumite dificultăți, atunci sfatul meu este acesta: luați trei puncte din cap (cu un grad ridicat de probabilitate că nu vor sta pe o linie dreaptă), construiți un avion de-a lungul lor. Și apoi te verifici online. De exemplu, pe site:

Cu toate acestea, cu ajutorul determinanților vom construi nu numai ecuația planului. Amintiți-vă, v-am spus că vectorii nu sunt definiți doar ca un produs scalar. Există, de asemenea, un vector, precum și o lucrare mixtă. Și dacă produsul scalar al doi vectori este numărul, atunci produsul vectorial al doi vectori va fi vectorul, iar acest vector va fi perpendicular pe cele date:

Mai mult, modulul său va fi egal cu aria paralelogramei, construită pe vectori și. Avem nevoie de acest vector pentru a calcula distanța de la un punct la o linie. Cum considerăm produsul vectorial al vectorilor și, dacă sunt date coordonatele lor? Determinantul celui de-al treilea ordin vine din nou în ajutorul nostru. Cu toate acestea, înainte de a trece la algoritmul pentru calcularea unui produs vectorial, sunt obligat să fac o mică digresiune lirică.

Această digresiune se referă la vectori de bază.

Schematic sunt prezentate în figură:

De ce crezi că sunt numite de bază? Cert este că:

Sau în imagine:

Valabilitatea acestei formule este evidentă, deoarece:

Lucrări de artă vectorială

Acum pot începe să introduc produsul vectorial:

Un produs vectorial de doi vectori este un vector care este calculat conform următoarei reguli:

Acum, vom da câteva exemple de calcul al unui produs vectorial:

Exemplul 1: Găsiți produsul vectorial al vectorilor:

Soluție: alcătuiți determinantul:

Și calculați-l:

Acum, de la înregistrarea prin vectori de bază, voi reveni la înregistrarea obișnuită a unui vector:

În acest fel:

Acum încercați.

Ești gata? Verificăm:

Și în mod tradițional două sarcini pentru control:

1. Găsiți produsul vectorial al următorilor vectori:
2. Găsiți produsul vectorial al următorilor vectori:

răspunsuri:

Produs mixt format din trei vectori

Ultima construcție de care am nevoie este un produs mixt format din trei vectori. La fel ca scalarul, este un număr. Există două moduri de a-l calcula. - prin determinant; - printr-un produs mixt.

Anume, să avem trei vectori:

Apoi, produsul mixt de trei vectori, notat prin poate fi calculat ca:

1. - adică un produs mixt este produsul scalar al unui vector prin produsul vectorial al altor doi vectori

De exemplu, produsul mixt de trei vectori este:

Încercați să-l calculați singur printr-un produs vectorial și asigurați-vă că rezultatele se potrivesc!

Și din nou, două exemple pentru o soluție independentă:

răspunsuri:

Selectarea sistemului de coordonate

Ei bine, acum avem toate fundamentele necesare cunoștințelor pentru a rezolva probleme stereometrice complexe în geometrie. Cu toate acestea, înainte de a trece direct la exemplele și algoritmii de soluționare a acestora, cred că va fi util să ne gândim la o altă întrebare: cât de exact alege un sistem de coordonate pentru o anumită figură.  Într-adevăr, alegerea poziției relative a sistemului de coordonate și a cifrei din spațiu determină în cele din urmă cât de greoaie vor fi calculele.

Reamintesc că în această secțiune avem în vedere următoarele cifre:

1. Cutie dreptunghiulară
2. Prismă directă (triunghiulară, hexagonală ...)
3. Piramidă (triunghiulară, pătrată)
4. Tetraedru (unul și același ca o piramidă triunghiulară)

Pentru o cutie dreptunghiulară sau cub, vă recomand următoarea construcție:

Adică voi pune figura „în colț”. Cubul și cutia sunt figuri foarte bune. Pentru ei, puteți găsi întotdeauna cu ușurință coordonatele vârfurilor sale. De exemplu, dacă (așa cum se arată în figură)

atunci coordonatele vârfurilor sunt următoarele:

Desigur, nu este necesar să ne amintim acest lucru, cu toate acestea, este de dorit să ne amintim cât de bine să poziționăm cubul sau cutia dreptunghiulară.

Prismă directă

Prisma este o cifră mai nocivă. Poate fi poziționat în spațiu în moduri diferite. Cu toate acestea, următoarea opțiune mi se pare cea mai acceptabilă:

Prismă triunghiulară:

Adică punem complet una dintre laturile triunghiului pe axă, iar unul dintre vârfuri coincide cu originea.

Prisma hexagonală:

Adică unul dintre vârfurile coincide cu originea, iar una dintre laturi se află pe axă.

Piramidă quadrangulară și hexagonală:

O situație similară cu un cub: combinăm două laturi ale bazei cu axele de coordonate, combinăm unul dintre vârfurile cu originea. Singura mică dificultate va fi calcularea coordonatelor punctului.

Pentru o piramidă hexagonală - la fel ca pentru o prismă hexagonală. Sarcina principală va fi din nou găsirea coordonatelor vertexului.

Tetraedru (piramidă triunghiulară)

Situația este foarte asemănătoare cu cea pe care am citat-o \u200b\u200bpentru o prismă triunghiulară: un vertex coincide cu originea, o parte se află pe axa de coordonate.

Ei bine, acum noi și cu mine suntem în sfârșit să ne apropiem de rezolvarea problemelor. Din ceea ce am spus la începutul articolului, puteți trage următoarea concluzie: majoritatea sarcinilor C2 sunt împărțite în 2 categorii: sarcini unghi și sarcini la distanță. În primul rând, tu și cu mine vom avea în vedere sarcina de a găsi unghiul. La rândul lor, sunt împărțite în următoarele categorii (pe măsură ce complexitatea crește):

Sarcini de căutare în colț

1. Găsirea unghiului dintre două linii drepte
2. Găsirea unghiului dintre două planuri

Să analizăm secvențial aceste probleme: începeți prin a găsi unghiul dintre cele două linii. Ei bine, amintește-ți, dar tu și eu am rezolvat astfel de exemple înainte? Amintiți-vă, aveam deja ceva similar ... Căutam unghiul dintre doi vectori. Vă amintesc dacă se dau doi vectori: și atunci unghiul dintre ei se găsește din raportul:

Acum avem un obiectiv - găsirea unghiului dintre două linii. Haideți să apelăm la „imaginea plată”:

Câte unghiuri am obținut la intersecția a două linii? Deja lucrurile. Adevărat, doar doi dintre ei nu sunt egali, ceilalți sunt verticali (și, prin urmare, coincid cu ei). Deci, ce unghi ar trebui să luăm în considerare unghiul dintre două linii: sau? Aici regula este: unghiul dintre două linii drepte nu este întotdeauna mai mult de grade. Adică, din două unghiuri, vom alege întotdeauna unghiul cu cea mai mică măsură. Adică în această imagine unghiul dintre cele două linii este egal. Pentru a nu deranja de fiecare dată căutarea celui mai mic din două unghiuri, matematicienii vicleani au sugerat utilizarea unui modul. Astfel, unghiul dintre două linii este determinat de formula:

Tu, în calitate de cititor atent, ar trebui să ai o întrebare: de unde, de fapt, vom primi aceste numere de care avem nevoie pentru a calcula cosinusul unghiului? Răspuns: îi vom lua de la direcționarea vectorilor de linii! Astfel, algoritmul pentru găsirea unghiului dintre două linii este următorul:

1. Aplicăm formula 1.

Sau mai detaliat:

1. Căutăm coordonatele vectorului de direcție a primei linii
2. Căutăm coordonatele vectorului de direcție a celei de-a doua linii
3. Calculăm modulul produsului scalar
4. Căutăm lungimea primului vector
5. Căutăm lungimea celui de-al doilea vector
6. Înmulțiți rezultatele alineatului 4 cu rezultatele alineatului 5
7. Împărțiți rezultatul alineatului 3 la rezultatul alineatului 6. Obținem cosinusul unghiului dintre linii
8. Dacă acest rezultat vă permite să calculați cu precizie unghiul, căutați-l
9. În caz contrar, scrieți prin arccosină

Ei bine, acum este momentul să trecem la problemele: voi demonstra soluția la primele două în detaliu, voi prezenta soluția la alta într-o formă scurtă și voi da doar răspunsuri la ultimele două probleme, trebuie să faceți toate calculele pentru ele.

obiective:

1. În tetra-ed-re-find-di-unghiul din dreapta, unghiul dintre cea mai înaltă tetra-ed-ra și fața me-di-a-bo-ko-voy.

2. În sh-sti-cărbunele drept pi-pa-mi-de, sutele de roți ale bazei de wo-niya sunt egale, iar marginile mai mari sunt egale, găsiți unghiul dintre liniile drepte și.

3. Lungimile tuturor marginilor din dreapta-patru-peh-cărbune-py-ra-mi-dy sunt egale între ele. Găsiți unghiul dintre liniile drepte și dacă de la-rezok - tu-așa-că dat, pi-ra-mi-dy, punctul - se-re-di-on-bo-ko- a doua coaste

4. Pe marginea cubului există un punct astfel încât unghiul dintre linii și

5. Punctul - se re-di-pe marginile cubului Nai-di-te unghiul dintre liniile drepte și.

Nu este o coincidență că am aranjat sarcinile în această ordine. Până când aveți timp să începeți să vă orientați în metoda coordonatelor, voi analiza eu cele mai „problematice” figuri și vă voi lăsa să vă ocupați cu cel mai simplu cub! Treptat, veți învăța cum să lucrați cu toate cifrele, voi crește complexitatea sarcinilor de la subiect la subiect.

Trecerea la rezolvarea problemelor:

1. Desenați un tetraedru, puneți-l în sistemul de coordonate așa cum am sugerat mai devreme. Deoarece tetraedrul este corect, toate fețele sale (inclusiv baza) sunt triunghiuri regulate. Întrucât nu ni se oferă lungimea părții, atunci pot să o iau egală. Cred că înțelegeți că unghiul nu va depinde cu adevărat de cât de mult este „întins” tetraedrul nostru ?. Voi atrage, de asemenea, înălțimea și mediana în tetraedru. Pe parcurs, îi voi atrage temelia (ne va fi de asemenea util).

Trebuie să găsesc unghiul dintre și. Ce știm? Cunoaștem doar coordonatul punctului. Deci, trebuie să găsim coordonatele punctelor. Acum ne gândim: punctul este punctul de intersecție al înălțimilor (sau bisectoarelor sau medianelor) triunghiului. Iar punctul este un punct ridicat. Punctul este mijlocul segmentului. Apoi, în sfârșit, trebuie să găsim: coordonatele punctelor:.

Să începem cu cele mai simple: coordonatele unui punct. Priviți imaginea: Este clar că punctul aplicat este zero (punctul se află pe plan). Ordonanța sa este (întrucât - mediana). Este mai dificil să-i găsești abscisa. Totuși, acest lucru se face cu ușurință pe baza teoremei pitagoreene: Considerăm un triunghi. Hipotenuză este egală, iar unul dintre picioare este atunci:

În cele din urmă avem:.

Acum găsiți coordonatele punctului. Este clar că aplicația ei este din nou zero, iar ordonata este aceeași cu cea a punctului, adică. Găsește-i abscisa. Acest lucru se face destul de banal, dacă vă amintiți acest lucru înălțimile unui triunghi echilateral sunt împărțite la un punct de intersecție proporționalsocotind de sus. Din moment ce:, atunci abscisa dorită a punctului, egală cu lungimea segmentului, este:. Astfel, coordonatele punctului sunt:

Găsiți coordonatele punctului. Este clar că abscisa și ordonata ei coincid cu abscisa și ordinea punctului. Și aplicația este egală cu lungimea segmentului. - Acesta este unul dintre picioarele triunghiului. Ipotenuză a unui triunghi este un segment - un picior. Este căutat din motive pe care le-am evidențiat cu caractere aldine:

Un punct este mijlocul unei linii. Atunci trebuie să reamintim formula pentru coordonatele din mijlocul segmentului:

Ei bine, asta este, acum putem căuta coordonatele vectorilor de direcție:

Ei bine, totul este gata: înlocuim toate datele din formulă:

În acest fel

Răspunsul este:

Nu trebuie să vă fie frică de astfel de răspunsuri „înfricoșătoare”: pentru sarcinile C2, aceasta este o practică obișnuită. Aș prefera să fiu surprins de răspunsul „frumos” din această parte. De asemenea, așa cum ați observat, practic nu am recurs la altceva decât la teorema pitagoreică și la proprietatea înălțimilor unui triunghi echilateral. Adică, pentru a rezolva problema stereometrică, am folosit foarte puțin stereometria. Câștigul în acest sens este parțial „stins” prin calcule destul de greoaie. Dar sunt destul de algoritmi!

2. Desenăm o piramidă hexagonală regulată împreună cu sistemul de coordonate, precum și baza acesteia:

Trebuie să găsim unghiul dintre linii și. Astfel, sarcina noastră este să căutăm coordonatele punctelor:. Din desenul mic vom găsi coordonatele ultimelor trei și vom găsi coordonata vertexului prin coordonatul punctului. Lucrați în vrac, dar trebuie să-l începem!

a) Coordonată: este clar că aplicata și ordonata ei sunt egale cu zero. Găsiți abscisa. Pentru a face acest lucru, luați în considerare un triunghi drept. Din păcate, în ea cunoaștem doar hipotenuză, care este egală. Vom încerca să găsim piciorul (căci este clar că dubla lungime a piciorului ne va da abscisa punctului). Cum o căutăm? Să ne amintim ce fel de figură avem la baza piramidei? Acesta este un hexagon obișnuit. Ce înseamnă asta? Aceasta înseamnă că el are toate părțile și toate unghiurile sunt egale. Ar trebui să găsească un astfel de unghi. Aveți idei? Există o mulțime de idei, dar există o formulă:

Suma unghiurilor unui n-gon obișnuit este .

Astfel, suma unghiurilor unui hexagon regulat este de grade. Atunci fiecare dintre unghiuri este egal cu:

Ne uităm din nou la poză. Este clar că segmentul este bisectorul unghiului. Apoi unghiul este de grade. apoi:

Apoi de unde.

Deci are coordonatele

b) Acum putem găsi cu ușurință coordonata punctului:.

c) Găsiți coordonatele punctului. Deoarece abscisa sa coincide cu lungimea segmentului, atunci este egală. Găsirea ordonatei nu este, de asemenea, foarte dificilă: dacă conectăm punctele și denotăm punctul de intersecție al liniei, spuneți pentru. (Construcție simplă DIY). Așadar, ordinea punctului B este egală cu suma lungimilor segmentelor. Să ne întoarcem din nou la triunghi. atunci

Apoi de atunci, punctul are coordonate

d) Acum găsim coordonatele punctului. Luați în considerare dreptunghiul și demonstrați că, astfel, coordonatele punctului:

e) Rămâne să găsim coordonatele vertexului. Este clar că abscisa și ordonata ei coincid cu abscisa și ordinea punctului. Găsiți aplicația. De atunci. Luați în considerare un triunghi drept. În funcție de starea problemei, o margine laterală. Aceasta este ipotenuză a triunghiului meu. Atunci înălțimea piramidei este un picior.

Apoi punctul are coordonatele:

Ei bine, asta este, am coordonatele tuturor punctelor care mă interesează. În căutarea coordonatelor de direcționare a vectorilor de linii:

Căutăm unghiul dintre acești vectori:

Răspunsul este:

Din nou, la rezolvarea acestei probleme, nu am folosit nicio tehnică sofisticată, cu excepția formulei pentru suma unghiurilor unui n-gon obișnuit, precum și pentru definirea cosinului și sinusului unui triunghi drept.

3. Deoarece nu ni se oferă din nou lungimile marginilor din piramidă, atunci le voi considera egale cu unitatea. Astfel, din moment ce TOATE marginile, și nu numai marginile laterale, sunt egale între ele, atunci la baza piramidei și mine se află un pătrat, iar fețele laterale sunt triunghiuri regulate. Vom prezenta o astfel de piramidă, precum și baza acesteia pe plan, notând toate datele date în textul problemei:

Căutăm unghiul dintre și. Voi face calcule foarte scurte când voi căuta coordonatele punctelor. Va trebui să le „decriptați”:

b) este mijlocul segmentului. Coordonatele sale:

c) Voi găsi lungimea segmentului prin teorema pitagoreică într-un triunghi. Îl găsesc după teorema pitagoreică într-un triunghi.

coordonate:

d) este mijlocul segmentului. Coordonatele sale sunt egale

e) Coordonatele vectoriale

f) Coordonatele vectoriale

g) Cautam un unghi:

Cubul este cea mai simplă figură. Sunt sigur că veți face față singur. Răspunsurile la problemele 4 și 5 sunt următoarele:

Găsirea unghiului dintre o linie și un plan

Ei bine, timpul simplelor puzzle-uri s-a terminat! Acum exemplele vor fi și mai complicate. Pentru a găsi unghiul dintre linie și plan, vom face următoarele:

1. Folosind trei puncte, construim ecuația planului
   ,
      folosind un determinant de ordine a treia.
2. Pentru două puncte, căutăm coordonatele vectorului de direcție:
3. Folosim formula pentru a calcula unghiul dintre linie și plan:

După cum puteți vedea, această formulă este foarte similară cu cea pe care am folosit-o pentru a căuta unghiurile între două linii. Structura părții drepte este exact aceeași, iar în stânga căutăm acum un sinus, nu un cosinus, ca mai înainte. Ei bine, a fost adăugată o acțiune urâtă - căutarea ecuației avionului.

Nu vom renunța exemple de rezolvare:

1. Os-nu-va-ni-em-direct-premiu-noi-este-la-este-la fel de sărac-triunghiular-porecla Tu-așa-că premiu-suntem egali. Nai di te unghiul dintre drept și plat

2. În linia dreaptă-cărbune-paralel-le-le-pi-pe-de-de-vest-Nai-di-te, unghiul dintre drept și plat

3. În dreapta-ea-sti-cărbune-premiu-mine toate marginile sunt egale. Nai-di-te este unghiul dintre drept și plat.

4. În pi-pa-mi-de triunghiular dreptunghiular cu baza-dar-wa-ni-e de pe coastele vestice ale unghiului Nai-di te, ob-ra-zo-van -axa-axa-plat-și-dreaptă-și-dreaptă, care trece prin se-re-di-ri a coastelor și

5. Lungimile tuturor marginilor pira-mi-dy quadrangulare drepte cu vârful sunt egale între ele. Găsiți unghiul dintre linia dreaptă și planul, dacă punctul este se-re-di-on mai mult decât decât coastele pi-pa-mi-dy.

Din nou, voi rezolva în detaliu primele două probleme, a treia - pe scurt și vă voi lăsa ultimele două pentru o soluție independentă. În plus, ați avut deja de-a face cu piramidele triunghiulare și quadrangulare, dar cu prisme - încă nu.

soluţii:

1. Prezentăm prisma, precum și baza acesteia. Să o combinăm cu sistemul de coordonate și să notăm toate datele care sunt furnizate în condițiile problemei:

Îmi cer scuze pentru unele nerespectări ale proporțiilor, dar pentru soluționarea problemei, acest lucru, de fapt, nu este atât de important. Un avion este doar „peretele din spate” al prismei mele. Este suficient doar să ghicești că ecuația unui astfel de plan are forma:

Cu toate acestea, acest lucru poate fi arătat direct:

Alegeți trei puncte arbitrare pe acest plan: de exemplu.

Compunem ecuația planului:

Exercitați-vă: să calculați în mod independent acest determinant. Ai făcut-o? Atunci ecuația plană are forma:

Sau doar

În acest fel

Pentru a rezolva exemplul, trebuie să găsesc coordonatele vectorului de direcție al liniei. Deoarece punctul a coincis cu originea, coordonatele vectorului coincid pur și simplu cu coordonatele punctului. Pentru a face acest lucru, mai întâi găsim coordonatele punctului.

Pentru a face acest lucru, luați în considerare triunghiul. Desenați înălțime (este de asemenea mediana și bisectoarea) de sus. De atunci, atunci ordinea punctului este egală. Pentru a găsi abscisa acestui punct, trebuie să calculăm lungimea segmentului. Prin teorema lui Pitagore, avem:

Apoi punctul are coordonatele:

Un punct este „ridicat” la un punct:

Apoi coordonatele vectorului:

Răspunsul este:

După cum puteți vedea, nu este nimic fundamental complicat în rezolvarea unor astfel de probleme. De fapt, procesul simplifică puțin „directitatea” unei astfel de figuri ca o prismă. Acum să trecem la următorul exemplu:

2. Desenăm o casetă, desenăm un plan și o linie dreaptă în ea și, de asemenea, desenăm baza inferioară separată:

Mai întâi găsim ecuația planului: Coordonatele celor trei puncte aflate în el:

(primele două coordonate au fost obținute într-un mod evident, și puteți găsi cu ușurință ultima coordonată din imagine din punct). Apoi facem ecuația planului:

Calculăm:

Căutăm coordonatele vectorului de ghid: Este clar că coordonatele sale coincid cu coordonatele punctului, nu-i așa? Cum se găsesc coordonatele? Acestea sunt coordonatele punctului ridicat de-a lungul axei aplicate! . Atunci căutăm unghiul dorit:

Răspunsul este:

3. Desenăm o piramidă hexagonală regulată, apoi desenăm în ea un plan și o linie dreaptă.

Aici este chiar dificil să desenezi un avion, ca să nu mai vorbim de rezolvarea acestei probleme, cu toate acestea, metoda de coordonate nu contează! Prin versatilitatea sa este principalul său avantaj!

Avionul trece prin trei puncte:. Căutăm coordonatele lor:

1). Tipăriți coordonatele pentru ultimele două puncte. Veți găsi util să rezolvați problema cu o piramidă hexagonală!

2) Construim ecuația planului:

Căutăm coordonatele vectorului:. (vezi din nou problema piramidei triunghiulare!)

3) Cautam un unghi:

Răspunsul este:

După cum puteți vedea, nu există nimic supranatural complex în aceste sarcini. Trebuie doar să fii foarte atent cu rădăcinile. La ultimele două sarcini voi da doar răspunsuri:

După cum puteți vedea, tehnica de rezolvare a problemelor este aceeași peste tot: sarcina principală este de a găsi coordonatele vârfurilor și de a le înlocui în unele formule. Rămâne să luăm în considerare o altă clasă de probleme pentru calcularea unghiurilor, și anume:

Calculul unghiurilor între două planuri

Algoritmul soluției va fi următorul:

1. În trei puncte, căutăm ecuația primului plan:
2. În celelalte trei puncte căutăm ecuația celui de-al doilea plan:
3. Aplicăm formula:

După cum puteți vedea, formula este foarte asemănătoare cu cele două anterioare, cu ajutorul cărora am căutat unghiurile dintre linii și între linie și plan. Așadar, să vă amintiți acest lucru nu vă este dificil. Accesați imediat analiza sarcinilor:

1. Costul premiului triunghiular dreptunghiular este egal cu, iar diametrul feței mari este egal. Găsiți unghiul dintre planul și planul axei prismei.

2. În pătratul corect, toate marginile sunt egale, găsiți sinusul unghiului dintre plan și plan trecând prin punctul per-pen-di-cu-lar-dar drept.

3. În prisma corectă cu patru poli, cărbune, laturile sunt egale, dar marginile sunt egale. Pe o margine dintr-un punct, astfel încât. Găsiți unghiul dintre avion și

4. În premiul drept în patru unghiuri, suta de roze sunt egale, dar marginile mari sunt egale. Există un punct pe margine, astfel încât Nai-di este unghiul dintre planuri și.

5. În cubul nai-di-te ko-si-nus al unghiului dintre planul ko-stya-mi și

Rezolvarea problemelor:

1. Desenez o prismă triunghiulară regulată (la bază - un triunghi echilateral) și notez pe ea planurile care apar în condiția problemei:

Trebuie să găsim ecuațiile a două planuri: Ecuația de bază este banală: puteți întocmi determinantul corespunzător în trei puncte, dar voi întocmi ecuația imediat:

Acum găsim ecuația Punctul are coordonatele Punctul - Deoarece este mediana și înălțimea triunghiului, se găsește cu ușurință în triunghi de către teorema pitagoreică. Apoi punctul are coordonatele: Găsiți aplicarea punctului. Pentru a face acest lucru, luați în considerare un triunghi drept

Atunci obținem aceste coordonate: compunem ecuația planului.

Calculăm unghiul dintre planuri:

Răspunsul este:

2. Realizați un desen:

Cel mai dificil este să înțelegem ce fel de avion misterios este, care trece prin punct perpendicular. Ei bine, principalul lucru este ce? Principalul lucru este atentia! De fapt, linia este perpendiculară. Linia dreaptă este de asemenea perpendiculară. Atunci avionul care trece prin aceste două linii va fi perpendicular pe linie și, apropo, va trece prin punctul. Acest avion trece și prin vârful piramidei. Apoi, planul dorit - Un avion deja ne-a fost dat. Căutăm coordonatele punctelor.

Găsim coordonatul punctului prin punctul respectiv. Este ușor de dedus din desenul mic că coordonatele punctului vor fi: Ce rămâne de găsit pentru a găsi coordonatele vârfului piramidei? Încă trebuie să-i calculezi înălțimea. Aceasta se realizează folosind aceeași teoremă pitagoreică: mai întâi se dovedește că (banala triunghiurilor mici formând un pătrat la bază). Întrucât, după condiție, avem:

Acum totul este gata: coordonatele vertexului:

Facem ecuația planului:

Sunteți deja special în calcularea determinanților. Fără dificultate veți primi:

Sau altfel (dacă înmulțim ambele părți cu rădăcina a două)

Acum găsim ecuația planului:

(Nu ați uitat cum obținem ecuația avionului, nu? Dacă nu înțelegeți de unde provine acest minus, reveniți la definiția ecuației avionului! Întotdeauna înainte de aceasta, originea coordonatelor a aparținut avionului meu!)

Calculăm determinantul:

(Puteți observa că ecuația planului a coincis cu ecuația unei linii care trece prin puncte și! Gândiți-vă de ce!)

Acum calculăm unghiul:

Trebuie să găsim sinusul:

Răspunsul este:

3. O întrebare complicată: ce este o prismă dreptunghiulară, ce crezi? Acesta este doar un paralelipiped cunoscut pentru tine! Faceți imediat un desen! Nici măcar nu puteți înfățișa separat baza, există câteva avantaje din aceasta:

Avionul, așa cum am observat deja, este scris sub forma unei ecuații:

Acum faceți un avion

Elaborați imediat ecuația planului:

Cautam un unghi:

Acum răspunsurile la ultimele două sarcini:

Ei bine, acum este momentul să facem o pauză, pentru că noi și cu mine am făcut o treabă grozavă!

Coordonate și vectori. Nivel avansat

În acest articol, vom discuta cu voi o altă clasă de probleme care pot fi rezolvate prin metoda coordonatelor: probleme de calculare a distanței. Anume, vom lua în considerare următoarele cazuri:

1. Calculul distanței dintre liniile de trecere.

Am eficientizat datele de repartizare pe măsură ce complexitatea lor a crescut. Cel mai ușor de găsit distanța de la punct la avioniar cel mai greu este să găsești distanța dintre liniile de trecere. Deși, desigur, nimic nu este imposibil! Să nu o punem într-o cutie lungă și să începem imediat să luăm în considerare prima clasă de sarcini:

Calculul distanței de la un punct la un plan

De ce avem nevoie pentru a rezolva această problemă?

1. Coordonatele punctului

Deci, imediat ce obținem toate datele necesare, aplicăm formula:

Cum construim ecuația planului, ar trebui să știți deja din sarcinile anterioare pe care le-am examinat în ultima parte. Să trecem imediat la sarcini. Schema este următoarea: 1, 2 te ajut să decizi și, într-un detaliu destul de detaliat, 3,4 - doar răspunsul, cheltuiești singur decizia și compari. Începeți!

obiective:

1. Dan cub Lungimea marginii cubului este egală. Nai-di-te dis-sute-I-set de lo-re-di-ne-decupată ka COSV up-to-STI

2. Având în vedere dreapta-wil-th-th-reh-coal-n-th pi-pa-mi-da Coasta bos-th este egală cu o sută-ro-on-os-no-va-niya. Nai-di-te este distanța dintre punctul și planul în care - se-re-di-coaste.

3. În pi-pa-mi-de-triunghiular dreptunghiular cu os-no-va-ni-em, bos-coast-ul este egal, și sută-ro-on-os-no-va niya este egală cu. Nai-di-te este distanța de la vârf la avion.

4. În partea dreaptă, ea-ste-cărbune-premiul-mine, toate marginile sunt egale. Nai-di-te este distanța de la punctul la avion.

soluţii:

1. Desenați un cub cu marginile unității, construiți un segment și un plan, denotați prin scrisoare mijlocul segmentului

.

În primul rând, să începem cu ușor: găsiți coordonatele punctului. De atunci (amintiți-vă coordonatele din mijlocul segmentului!)

Acum facem ecuația avionului în trei puncte

\\ [\\ left | (\\ begin (array) (* (20) (c)) x & 0 & 1 \\\\ y & 1 & 0 \\\\ z & 1 & 1 \\ end (array)) \\ right | \u003d 0 \\]

Acum pot începe căutarea distanței:

2. Încă o dată, începem cu un desen în care marcăm toate datele!

Ar fi util ca piramida să-și atragă baza separat.

Chiar și faptul că desenez ca un pui cu laba nu ne va împiedica să rezolvăm cu ușurință această problemă!

Acum este ușor să găsiți coordonatele punctului

Deoarece coordonatele punctului, atunci

2. Deoarece coordonatele punctului a sunt punctul mediu al segmentului, atunci

Fără probleme, vom găsi coordonatele a încă două puncte pe plan. Facem ecuația planului și o simplificăm:

\\ [\\ left | (\\ left | (\\ begin (array) (* (20) (c)) x & 1 & (\\ frac (3) (2)) \\\\ y & 0 & (\\ frac (3) (2)) \\\\ z & 0 & (\\ frac ( (\\ sqrt 3)) (2)) \\ end (array)) \\ right |) \\ right | \u003d 0 \\]

Deoarece punctul are coordonatele:, calculăm distanța:

Răspunsul (foarte rar!):

Ei bine, mi-am dat seama? Mi se pare că totul aici este la fel de tehnic ca în acele exemple pe care le-am examinat cu dvs. în partea precedentă. Așadar, sunt sigur că, dacă ați stăpânit acel material, nu vă va fi dificil să rezolvați cele două probleme rămase. Voi da doar răspunsuri:

Calcularea distanței de la o linie dreaptă la un plan

De fapt, nu este nimic nou aici. Cum pot fi amplasate o linie și un plan unul față de celălalt? Au toate posibilitățile: să se intersecteze sau o linie dreaptă paralelă cu planul. Ce credeți, care este distanța de la linia la planul cu care se intersectează această linie? Mi se pare că aici este clar că o astfel de distanță este zero. Caz neinteresant.

Al doilea caz este mai complicat: există deja o distanță non-zero. Cu toate acestea, deoarece linia este paralelă cu planul, fiecare punct al liniei este echidistant față de acest plan:

În acest fel:

Și asta înseamnă că sarcina mea a fost redusă la cea anterioară: căutăm coordonatele oricărui punct de pe linie, căutăm ecuația planului, calculăm distanța de la punctul la plan. De fapt, astfel de sarcini la examen sunt extrem de rare. Am reușit să găsesc o singură sarcină, iar datele din ea au fost astfel încât metoda de coordonate să nu îi fie foarte aplicabilă!

Acum să trecem la o altă clasă de sarcini mult mai importantă:

Calculul distanței unui punct față de o linie

De ce avem nevoie?

1. Coordonatele punctului de la care căutăm distanța:

2. Coordonatele oricărui punct care se află pe o linie

3. Coordonatele vectorului de direcție al liniei

Ce formulă folosim?

Ce înseamnă pentru tine numitorul acestei fracții și deci ar trebui să fie clar: aceasta este lungimea vectorului de direcție al liniei. Iată un numărător foarte complicat! Expresia înseamnă modulul (lungimea) produsului vectorial al vectorilor și Cum să calculăm produsul vectorial, am studiat în partea anterioară a lucrării. Reîmprospătați-vă cunoștințele, acestea ne vor fi foarte utile acum!

Astfel, algoritmul de rezolvare a problemelor va fi următorul:

1. Căutăm coordonatele punctului din care căutăm distanța:

2. Căutăm coordonatele oricărui punct de pe linia la care căutăm distanța:

3. Construirea unui vector

4. Construiți un vector de direcție al liniei

5. Calculați produsul vectorial

6. Cautăm lungimea vectorului rezultat:

7. Calculați distanța:

Avem multă muncă, iar exemplele vor fi destul de complicate! Așa că acum concentrează-ți toată atenția!

1. Având în vedere dreptul-wil-naya tre-cărbune-naya pi-pa-mi-da cu un top-shi-nr. O sută-ro-pe baza unui pi-pa-mi-dy este egală, tu ești egal. Nai-di-te este distanța de la se-re-di-ny a coastei bo-ko-in-th până la linia dreaptă, unde punctele și sunt se-re-di-ny ale coastelor și co-de BET-guvernamentale, dar.

2. Lungimile coastei și pătratul-cărbune-dar-pa-ral-le-le-pi-pe-da sunt egale cu distanța corespunzătoare și Nai-di-te-distanță de la ver-shi-ni la drept

3. În premiul cărbunelui drept-unghi drept, toate marginile unui roi sunt egale pentru a găsi distanța de la un punct la o linie dreaptă

soluţii:

1. Realizăm un desen îngrijit, pe care marcăm toate datele:

Avem multă muncă cu tine! În primul rând, aș dori să descriu în cuvinte ce vom căuta și în ce ordine:

1. Coordonatele punctelor și

2. Coordonatele punctului

3. Coordonatele punctelor și

4. Coordonatele vectorilor și

5. Produsul lor vectorial

6. Lungimea vectorului

7. Lungimea produsului vectorial

8. Distanța de la

Ei bine, avem mult de lucru! Coborâți până la ea, rostogoliți-vă mânecile!

1. Pentru a găsi coordonatele înălțimii piramidei, trebuie să știm că coordonatele punctului aplicat al acesteia este zero, iar ordonata este egală cu abscisa acesteia este egală cu lungimea segmentului, deoarece este înălțimea unui triunghi echilateral, atunci este împărțită în relație, numărând de sus, de aici. În cele din urmă, am obținut coordonatele:

Coordonatele punctului

2. - mijlocul segmentului

3. - secțiunea mijlocie

Secțiunea mijlocie

4. Coordonate

Coordonatele vectoriale

5. Calculați produsul vectorial:

6. Lungimea vectorială: este mai ușor să înlocuiți faptul că segmentul este linia mijlocie a triunghiului, ceea ce înseamnă că este egal cu jumătate din bază. Deci ce.

7. Considerăm lungimea produsului vectorial:

8. În sfârșit, găsim distanța:

Phew, asta este! Să vă spun adevărul: rezolvarea acestei probleme prin metode tradiționale (prin construcție) ar fi mult mai rapid. Dar aici am redus totul la un algoritm gata! Cred că algoritmul soluției îți este clar? Prin urmare, vă voi ruga să rezolvați singur cele două probleme rămase. Comparați răspunsurile?

Din nou, repet: aceste sarcini sunt mai ușor (mai rapid) de rezolvat prin construcție și nu recurgând la metoda coordonatelor. Am demonstrat această metodă de soluție doar pentru a vă arăta o metodă universală care vă permite să „terminați de construit nimic”.

În cele din urmă, luați în considerare ultima clasă de sarcini:

Calcularea distanței dintre intersectarea liniilor

Aici algoritmul de rezolvare a problemelor va fi similar cu cel precedent. Ce avem:

3. Orice vector care leagă punctele primei și celei de-a doua linii:

Cum căutăm distanța dintre linii?

Formula este următoarea:

Numerotatorul este modulul produsului mixt (l-am introdus în partea anterioară), iar numitorul este același ca în formula anterioară (modulul produsului vectorial de direcționare a vectorilor de linii, distanța dintre care căutăm).

Îți voi aminti asta

atunci formula distanței poate fi rescrisă ca:

Un fel de determinant împărțit la un determinant! Deși, ca să fiu sincer, nu glumesc deloc aici! Această formulă, de fapt, este foarte greoaie și duce la calcule destul de complicate. Dacă aș fi fost tu, aș fi recurs la ea doar ca ultimă soluție!

Să încercăm să rezolvăm mai multe probleme folosind metoda de mai sus:

1. În prisma triunghiulară dreaptă, toate marginile sunt egale una cu cealaltă, găsiți distanța dintre liniile drepte și.

2. Având în vedere premiul dreptunghiular-triunghiular-prismatic, toate marginile de la bază la roți sunt egale cu secțiunea transversală, trecând prin secțiunea transversală coaste și se-re-di-bine-coaste este un quad-ra-tom. Nai-di-te este distanța dintre direcții și

Eu decid primul, și bazându-mă pe ea, tu decizi al doilea!

1. Desenez o prismă și notez liniile și

Coordonatele punctului C: atunci

Coordonatele punctului

Coordonatele vectoriale

Coordonatele punctului

Coordonatele vectoriale

Coordonatele vectoriale

\\ [\\ left ((B, \\ overrightarrow (A (A_1)) \\ \\ overrightarrow (B (C_1))] \\ right) \u003d \\ left | (\\ begin (array) (* (20) (l)) (\\ begin (array) (* (20) (c)) 0 & 1 & 0 \\ end (array)) \\\\ (\\ begin (array) (* (20) (c)) 0 & 0 & 1 \\ end (array)) \\\\ (\\ begin (array) (* (20) (c)) (\\ frac ((\\ sqrt 3)) (2)) & (- \\ frac (1) (2)) & 1 \\ end (array)) \\ end (array)) \\ right | \u003d \\ frac ((\\ sqrt 3)) (2) \\]

Considerăm produsul vectorial între vectori și

\\ [\\ overrightarrow (A (A_1)) \\ cdot \\ overrightarrow (B (C_1)) \u003d \\ left | \\ begin (array) (l) \\ begin (array) (* (20) (c)) (\\ overrightarrow i) & (\\ overrightarrow j) & (\\ overrightarrow k) \\ end (array) \\\\\\ begin (array) ) (* (20) (c)) 0 & 0 & 1 \\ end (array) \\\\\\ begin (array) (* (20) (c)) (\\ frac ((\\ sqrt 3)) (2)) & (- \\ - \\ frac ((\\ sqrt 3)) (2) \\ overrightarrow k + \\ frac (1) (2) \\ overrightarrow i \\]

Acum ia în considerare lungimea sa:

Răspunsul este:

Acum încercați să finalizați cu atenție a doua sarcină. Răspunsul la acesta va fi:.

Coordonate și vectori. Scurta descriere și formule de bază

Vectorul este un segment direcționat. - începutul vectorului, - sfârșitul vectorului.
  Vectorul este notat cu sau.

Valoarea absolutăvectori - lungimea segmentului reprezentând vectorul. Este desemnat ca.

Coordonate vectoriale:

,
  unde sunt capetele vectorului \\ displaystyle a.

Suma vectorilor:.

Produsul vectorilor:

Produs scalar al vectorilor:

Produsul scalar al vectorilor este egal cu produsul valorilor lor absolute prin cosinusul unghiului dintre ei:

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citiți aceste rânduri, atunci sunteți foarte fain.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva de unul singur. Și dacă ai citit până la sfârșit, atunci ai intrat în aceste 5%!

Acum cel mai important lucru.

V-ați dat seama de o teorie pe acest subiect. Și din nou, asta ... este doar super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a semenilor tăi.

Problema este că este posibil să nu fie suficient ...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a examenului, pentru admiterea la institut la buget și, MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, spune doar un lucru ...

Oamenii care primesc o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au făcut-o. Este vorba despre statistici.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că acestea sunt MAI MULTE FĂRĂ (există astfel de studii). Poate pentru că deschid mult mai multe oportunități și viața devine mai strălucitoare? Nu stiu ...

Dar, gândește-te pentru tine ...

Ce este necesar pentru a fi cu siguranță mai bun decât alții din SUA și pentru a fi în cele din urmă ... mai fericit?

BĂTĂȚI-ȚI MÂNA, SOLUȚIONând PROBLEMELE PE ACEST SUBIECT.

La examen nu vi se va cere o teorie.

Veți avea nevoie rezolvați problemele la timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), Veți fi sigur că veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să repetați de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți unde doriți colecția, neapărat cu soluții, analiză detaliată  și decide, decide, decide!

Puteți profita de sarcinile noastre (nu este necesar) și cu siguranță le recomandăm.

Pentru a vă umple mâna cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să ajutați să extindeți viața manualului YouClever pe care îl citiți acum.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol -
2. Acces deschis la toate sarcinile ascunse în toate cele 99 de articole din manual - Cumpărați un manual - 899 de ruble

Da, avem 99 de astfel de articole în manual și puteți deschide imediat accesul la toate sarcinile și la toate textele ascunse din ele.

Accesul la toate sarcinile ascunse este oferit la TOATE ori există site-ul.

Și în concluzie ...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Eu pot decide” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți sarcini și rezolvați!

Introducem direct conceptul de vector, precum și conceptele de adăugare a acestora, înmulțirea cu un număr și egalitatea acestora.

Pentru a introduce definiția unui vector geometric, amintim ce este un segment. Vă prezentăm următoarea definiție.

Definiția 1

Un segment este o parte a unei linii care are două chenare sub formă de puncte.

Un segment poate avea 2 direcții. Pentru a indica direcția, vom numi una dintre limitele segmentului începutul acesteia, iar cealaltă graniță - sfârșitul acesteia. Direcția este indicată de la începutul său până la sfârșitul segmentului.

Definiția 2

Un vector sau un segment direcționat va fi denumit segment pentru care se știe care dintre limitele segmentului este considerat începutul și care este sfârșitul acestuia.

Desemnare: În două litere: $ \\ overline (AB) $ - (unde $ A $ este începutul și $ B $ este sfârșitul său).

Într-o literă mică: $ \\ overline (a) $ (Fig. 1).

Vă prezentăm câteva alte concepte legate de conceptul de vector.

Pentru a introduce definiția egalității a doi vectori, trebuie să abordați mai întâi concepte precum colinearitatea, codirecționalitatea, direcția opusă a doi vectori și lungimea vectorului.

Definiția 3

Doi vectori diferiți de zero vor fi numiți colinear dacă se află pe aceeași linie sau pe linii paralele între ele (Fig. 2).

Definiția 4

Doi vectori diferiți de zero vor fi numiți codirecționali dacă îndeplinesc două condiții:

1. Acești vectori sunt coliniari.
2. Dacă sunt direcționate într-o direcție (Fig. 3).

Desemnare: $ \\ overline (a) \\ overline (b) $

Definiția 5

Doi vectori diferiți de zero vor fi numiți direcți opus dacă îndeplinesc două condiții:

1. Acești vectori sunt coliniari.
2. Dacă sunt direcționate în direcții diferite (Fig. 4).

Desemnare: $ \\ overline (a) ↓ \\ overline (d) $

Definiția 6

Lungimea vectorului $ \\ overline (a) $ este lungimea segmentului $ a $.

Desemnare: $ | \\ overline (a) | $

Procedăm la definirea egalității a doi vectori

Definiția 7

Doi vectori vor fi numiți egali dacă îndeplinesc două condiții:

1. Sunt co-regizate;
2. Lungimile lor sunt egale (Fig. 5).

Rămâne să introducem conceptul de adăugare a vectorilor, precum și înmulțirea lor cu un număr.

Definiția 8

Suma vectorilor $ \\ overline (a + b) $ este vectorul $ \\ overline (c) \u003d \\ overline (AC) $, care este construit astfel: Dintr-un punct arbitrar A, puneți $ \\ overline (AB) \u003d \\ overline (a) $, apoi din punctul $ B $ am dat deoparte $ \\ overline (BC) \u003d \\ overline (b) $ și conectăm punctul $ A $ cu punctul $ C $ (Fig. 6).

Definiția 9

Produsul vectorului $ \\ overline (a) $ cu $ k∈R $ este vectorul $ \\ overline (b) $ care va satisface condițiile:

1. $ | \\ overline (b) | \u003d | k || \\ overline (a) | $;
2. $ \\ overline (a) \\ overline (b) $ pentru $ k≥0 $ și, $ \\ overline (a) ↓ \\ overline (b) $ pentru $ k

  Proprietăți de adăugare vectorială

Vom introduce proprietățile de adăugare pentru cei trei vectori $ \\ overline (α) $, $ \\ overline (β) $ și $ \\ overline (γ) $:

Adăugarea comutativă a vectorilor:

$ \\ overline (α) + \\ overline (β) \u003d \\ overline (β) + \\ overline (α) $

Asociativitatea celor trei vectori de adăugare:

$ (\\ overline (α) + \\ overline (β)) + \\ overline (γ) \u003d \\ overline (α) + (\\ overline (β) + \\ overline (γ)) $

Adăugarea vectorului zero:

$ \\ overline (α) + \\ overline (0) \u003d \\ overline (α) $

Adăugarea vectorilor opuși

$ \\ overline (α) + (\\ overline (-α)) \u003d \\ overline (0) $

Toate aceste proprietăți pot fi verificate cu ușurință construind astfel de vectori folosind definiția 8. În primii doi, comparând vectorii construiți pe laturile din dreapta și stânga egalității, iar în al treilea și al patrulea construind vectorul din partea stângă.

  Proprietăți de înmulțire a unui vector cu un număr

Introducem proprietățile de multiplicare pentru cei doi vectori $ \\ overline (α) $, $ \\ overline (β) $ și numerele $ a $ și $ b $.

1. $ a (\\ overline (α) + \\ overline (β)) \u003d a \\ overline (α) + a \\ overline (β) $
2. $ \\ overline (α) (a + b) \u003d \\ overline (α) a + \\ overline (α) b $
3. $ (ab) \\ overline (α) \u003d a (b \\ overline (α)) \u003d b (a \\ overline (α)) $
4. $ 1 \\ cdot \\ overline (α) \u003d \\ overline (α) $

Toate aceste proprietăți pot fi verificate cu ușurință folosind Definițiile 8 și 9. În primele două prin compararea vectorilor construiți pe partea dreaptă și stângă a egalității, în al treilea prin compararea tuturor vectorilor incluși în egalitate, iar în al patrulea prin construirea vectorului pe partea stângă.

  Exemplu de activitate

Exemplul 1

Adăugați vectori

$ 2 \\ overline (AB) + (2 \\ overline (BC) +3 \\ overline (AC)) $

Folosind proprietatea de adăugare 2, obținem:

$ 2 \\ overline (AB) + (2 \\ overline (BC) +3 \\ overline (AC)) \u003d (2 \\ overline (AB) +2 \\ overline (BC)) + 3 \\ overline (AC) $

Folosind proprietatea de a multiplica cu numărul 1, obținem:

$ (2 \\ overline (AB) +2 \\ overline (BC)) + 3 \\ overline (AC) \u003d 2 (\\ overline (AB) + \\ overline (BC)) + 3 \\ overline (AC) \u003d 2 \\ overline ( BC) +3 \\ overline (AC) \u003d 5 \\ overline (AC) $

Definiție standard: „Vectorul este un segment direcționat”. De obicei, aceasta este situația în care cunoștințele absolventului de vectori sunt limitate. Cine are nevoie de un fel de „segmente direcționate”?

Dar, de fapt, care sunt vectorii și de ce sunt?
  Prognoza meteo. "Vânt de nord-vest, 18 metri pe secundă." Trebuie să admiteți că atât direcția vântului (de unde bate), cât și modulul (adică valoarea absolută) a vitezei sale contează.

Valorile care nu au o direcție se numesc scalare. Masa, munca, sarcina electrică nu sunt direcționate nicăieri. Se caracterizează numai printr-o valoare numerică - „câți kilograme” sau „câte joule”.

Cantitățile fizice care nu numai că au valoare absolută, ci și direcție, se numesc vectoriale.

Viteza, forța, accelerația sunt vectori. Pentru ei, „cât de mult” este important și „unde” este important. De exemplu, accelerația gravitației este direcționată către suprafața Pământului, iar magnitudinea ei este de 9,8 m / s 2. Momentul, rezistența câmpului electric, inducerea câmpului magnetic sunt, de asemenea, cantități vectoriale.

Vă amintiți că cantitățile fizice sunt notate cu litere, latină sau greacă. Săgeata de deasupra literei indică faptul că valoarea este vector:

Iată un alt exemplu.
  Mașina se deplasează de la A la B. Rezultatul final este mișcarea sa din punctul A în punctul B, adică trecerea la un vector .

Acum este clar de ce vectorul este un segment direcționat. Observați că sfârșitul vectorului este locul unde se află săgeata. Lungimea vectorului  numită lungimea acestui segment. Este desemnat: sau

Până în prezent, am lucrat cu cantități scalare, în conformitate cu regulile aritmeticii și algebrei elementare. Vectorii sunt un concept nou. Aceasta este o clasă diferită de obiecte matematice. Pentru ei, propriile lor reguli.

Odată nu știam nimic despre numere. Cunoașterea cu ei a început în clasele elementare. S-a dovedit că numerele pot fi comparate între ele, adăugate, scăzute, înmulțite și împărțite. Am aflat că există un număr unu și un număr zero.
  Acum vom cunoaște vectorii.

Conceptele de „mai mult” și „mai puțin” pentru vectori nu există - deoarece direcțiile lor pot fi diferite. Puteți compara doar lungimile vectorului.

Conceptul de egalitate pentru vectori este însă.
egal  numiți vectori având aceeași lungime și aceeași direcție. Aceasta înseamnă că vectorul poate fi transferat paralel cu el însuși în orice punct al planului.
unitate numit vector a cărui lungime este 1. Zero - un vector a cărui lungime este zero, adică începutul său coincide cu sfârșitul.

Cel mai convenabil este să lucrați cu vectori într-un sistem de coordonate dreptunghiulare - același în care desenăm grafice funcționale. Fiecare punct din sistemul de coordonate corespunde a două numere - coordonatele sale de-a lungul x și y, abscisa și ordonată.
  Vectorul este, de asemenea, specificat prin două coordonate:

Aici, coordonatele vectorului sunt scrise între paranteze - în x și în y.
  Sunt localizate simplu: coordonata sfârșitului vectorului minus coordonata începutului său.

Dacă sunt date coordonatele vectorului, lungimea acestuia este găsită după formulă

Adaos vectorial

Există două moduri de a adăuga vectori.

1. Regula paralelogramă. Pentru a adăuga vectori și, punem începutul ambelor la un moment dat. Terminăm construirea paralelogramului și tragem diagonala paralelogramei din același punct. Aceasta va fi suma vectorilor și.

Vă amintiți de fabula de lebădă, crab și știucă? Au încercat foarte mult, dar nu au mișcat niciodată căruța. Până la urmă, suma vectorială a forțelor aplicate de cărucior a fost zero.

2. A doua modalitate de a adăuga vectori este regula triunghiului. Luăm aceiași vectori și. La sfârșitul primului vector atașăm începutul celui de-al doilea. Acum conectați începutul primului și sfârșitul celui de-al doilea. Aceasta este suma vectorilor și.

După aceeași regulă, se pot adăuga mai mulți vectori. Le atașăm unul câte unul și apoi conectăm începutul primului cu sfârșitul ultimului.

Imaginați-vă că mergeți din punctul A în punctul B, de la B la C, de la C la D, apoi la E și la F. Rezultatul final al acestor acțiuni este o mutare de la A la F.

Când adăugăm vectori și obținem:

Scăderea vectorilor

Vectorul este direcționat opus vectorului. Lungimile vectorilor și sunt egale.

Acum este clar care este scăderea vectorilor. Diferența dintre vectori și este suma vectorului și a vectorului.

Înmulțirea unui vector cu un număr

Înmulțind vectorul cu numărul k, se obține un vector a cărui lungime este k ori diferită de lungime. Este co-direcțional cu vectorul dacă k este mai mare decât zero și este direcționat opus dacă k este mai mic decât zero.

Produs scalar al vectorilor

Vectoarele pot fi înmulțite nu numai prin numere, ci și unele cu altele.

Produsul scalar al vectorilor este produsul lungimilor vectorilor de către cosinusul unghiului dintre ei.

Vă rugăm să rețineți - am înmulțit doi vectori și obținem un scalar, adică un număr. De exemplu, în fizică, munca mecanică este egală cu produsul scalar al doi vectori - forța și deplasarea:

Dacă vectorii sunt perpendiculari, produsul lor scalar este zero.
  Deci produsul scalar este exprimat prin coordonatele vectorilor și:

Din formula pentru produsul scalar, puteți găsi unghiul dintre vectori:

Această formulă este utilă în special în stereometrie. De exemplu, în Problema 14 a examenului de profil în matematică, trebuie să găsiți unghiul dintre liniile care se intersectează sau între linie și plan. Adesea prin metoda vectorială, problema 14 este rezolvată de câteva ori mai rapid decât cea clasică.

În programul școlar în matematică, este studiat doar produsul scalar al vectorilor.
  Se pare că, pe lângă scalar, există și un produs vectorial, când, ca urmare a înmulțirii a doi vectori, obținem un vector. Cine trece examenul în fizică, știe care este puterea lui Lorentz și puterea lui Ampere. Formulele pentru găsirea acestor forțe includ cu exactitate produse vectoriale.

Vectorii sunt un instrument util matematic. Vei fi convins de asta în primul an.

definiție   O colecție ordonată (x 1, x 2, ..., x n) se numește n numere reale   vectorul n-dimensional, și numerele x i (i \u003d) -   componente  sau   coordonate,

Un exemplu.   Dacă, de exemplu, o fabrică de mașini trebuie să producă 50 de mașini, 100 de camioane, 10 autobuze, 50 de seturi de piese de schimb pentru mașini și 150 de seturi pentru autocamioane și autobuze, atunci programul de producție al acestei instalații poate fi scris ca vector (50, 100 , 10, 50, 150) având cinci componente.

Desemnări.   Vectoarele sunt indicate cu litere mici sau cu litere mici, cu o bară sau o săgeată în partea de sus, de exemplu,   osau. Se numesc doi vectori   egaldacă au același număr de componente și componentele respective sunt egale.

Componentele vectorului nu pot fi schimbate, de exemplu, (3, 2, 5, 0, 1)și (2, 3, 5, 0, 1) sunt vectori diferiți.
Operații pe vectori.Lucrarea x  \u003d (x 1, x 2, ..., x n) per număr realλ   numit vectorλ x  \u003d (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

sumă  x  \u003d (x 1, x 2, ..., x n) și y  \u003d (y 1, y 2, ..., y n) este vectorul x + y  \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ..., x n + + y n).

Spațiul vectorilor.  N -spațiu vectorial dimensional R  n este definit ca ansamblul tuturor vectorilor n-dimensionali pentru care sunt definite operațiile de înmulțire cu numere reale și adăugare.

Ilustrație economică.   Ilustrație economică a spațiului vectorial dimensional: spațiu de mărfuri (de bunuri). dedesubt produsvom înțelege unele bunuri sau servicii care au fost scoase la vânzare la un moment dat într-un anumit loc. Să presupunem că există un număr finit de bunuri în numerar n; cantitățile din fiecare cumpărate de consumator sunt caracterizate printr-un set de mărfuri

x  \u003d (x 1, x 2, ..., x n),

unde x i indică cantitatea bunului dobândit de consumator. Presupunem că toate produsele au proprietatea unei divizibilități arbitrare, astfel încât orice cantitate non-negativă din fiecare dintre ele poate fi cumpărată. Atunci toate seturile de produse posibile sunt vectori spațiali ai produsului C \u003d ( x  \u003d (x 1, x 2, ..., x n)  x i ≥ 0, i \u003d).

Independență liniară.   Sistemul e 1 , e 2 , ... , e  m vectori n-dimensionali numiți   liniar dependentdacă există asemenea numereλ 1, λ 2, ..., λ m , dintre care cel puțin unul este diferit de zeroλ 1 e  1 + λ 2 e  2 + ... + λ m e  m este 0; altfel, acest sistem de vectori se numește   liniar independent, adică, egalitatea indicată este posibilă numai în cazul în care toate   . Sensul geometric al dependenței liniare a vectorilor în   R  3, interpretate ca segmente direcționate, explicați următoarele teoreme.

Teorema 1   Un sistem format dintr-un vector depinde liniar dacă și numai dacă acest vector este zero.

Teorema 2   Pentru ca doi vectori să depindă liniar, este necesar și suficient să fie coliniare (paralele).

Teorema 3 . Pentru ca cei trei vectori să depindă liniar, este necesar și suficient ca aceștia să fie coplanari (care se află în același plan).

  Triple de stânga și dreapta de vectori.   Trei vectori non-coplanari a, b, c  Se numește   dreaptadacă observatorul din începutul lor comun traversează capetele vectorilor a, b, cîn ordinea arătată pare să apară în sensul acelor de ceasornic. În caz contrar, B   a, b, c -  a plecat trei. Toate triplele de vectori drepte (sau stângi) sunt numite la fel de orientate.

Bazele și coordonatele.   Threesome e 1, e 2 , e  3 vectori necoplanari în   R  3 se numește   bazăși vectorii înșiși   e 1, e 2 , e 3 - de bază. Orice vector opoate fi descompus în mod unic în vectori de bază, adică prezentat sub formă

și  \u003d x 1 e  1 + x 2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

numerele x 1, x 2, x 3 în expansiune (1.1) sunt numite coordonateleo  în bază e 1, e 2 , e  3 și sunt desemnați   o(x 1, x 2, x 3).

  Baza ortonormală.   Dacă vectorii e 1, e 2 , e  3 sunt perpendiculare în perechi, iar lungimea fiecăruia este egală cu una, apoi se numește baza ortonormală{!LANG-67e24902bb5aed342fc489a62a10dc06!} {!LANG-e1f897ec945889d58efaab1f543c9678!}{!LANG-86f126fbc17314b7af8adc4dd653291e!} {!LANG-1b7e0b810f208691b119091f3dc0d261!}

{!LANG-0a4a85f9912701305c97c165a6b15dfb!} R{!LANG-b575a638b414185567478da8e29c799b!} {!LANG-aaafdbbeef997e984b3d49456873a503!}}.

{!LANG-507715b19fb6a926c5a72a601dbf0d59!}   Lucrări de artă vectorială {!LANG-4f9ad658d578bad5c44c6408e69e5ab0!}{!LANG-9015b59447b767f2bcf1e3dea105a9f3!}   b{!LANG-7af950f97fa0a69ce16980fcaba9e357!} {!LANG-2cd6ee2c70b0bde53fbe6cac3c8b8bb1!}{!LANG-386cb4566a7085f30a18b1252a4dcd0a!}

{!LANG-4a421a16ccb3d4c189333aad08fc3b1f!}   c{!LANG-cfe56234f4937804f7fad637dd82a569!}   o  și {!LANG-f36b77ace73478f507570f54fb427a61!}{!LANG-aba6e7d92c2276de7cd01469f55831ad!}
{!LANG-aaf1f70380eaa93c2195747e6bb9767d!}= {!LANG-ada246822f664ebc087c7118c4aae7a6!}{!LANG-f2d149cdd9e5f8eac81fd171cf30f6b5!} o^b).

{!LANG-43d69fea9eee89fa08d17afab22e225c!} {!LANG-2cd6ee2c70b0bde53fbe6cac3c8b8bb1!}{!LANG-4b48ed3fdb2e81468770fe4c64cb4e79!} o{!LANG-73365e38bf2b65234d77914e34d9fae0!} {!LANG-ca00e70340f94b183bf34d9483834e4d!}

{!LANG-52a2f6130ad486b5e256e53fe3dd5dec!} {!LANG-687c3798d8d7df7f2dfc8c93390041be!} b{!LANG-73365e38bf2b65234d77914e34d9fae0!} {!LANG-2cd6ee2c70b0bde53fbe6cac3c8b8bb1!}{!LANG-e4f1f25786715f67b93fcd83c8299125!}

{!LANG-62956af94b31eb55242301138d613e26!} {!LANG-2cd6ee2c70b0bde53fbe6cac3c8b8bb1!}{!LANG-afd39975665f0eeaef7d6b66a7bdfaa1!} {!LANG-51c556c7cb0b69ed6bb162bcefe3dd29!}[{!LANG-daa8075d6ac5ff8d0c6d4650adb4ef29!}{!LANG-4e7e3cc95a934e4315191c72081b263e!}
{!LANG-bd66989a2a0307cafcf2e3a6e06ec727!} × {!LANG-74d9f2f2b6749efbdb23fb211d401e13!}

{!LANG-904ad49a3dbc6148a6a10c931f841dcd!}   o  și   b{!LANG-26f10bbcebc6e72e2ce633ec8db56847!} {!LANG-9caad245bea911852f48cf3ed250fb83!}{!LANG-3a55e264d33fe1ba1d5500f4aa6e81b2!} {!LANG-daa8075d6ac5ff8d0c6d4650adb4ef29!}{!LANG-4a56bcd8435019f2b009d021377692b5!} {!LANG-d404401c8c6495b206fc35c95e55a6d5!}{!LANG-b7cfa13e38daa8380d537ca0c50a55e2!} {!LANG-a9ca74c3ead4cfba0a1925e9b99d0250!}]={!LANG-eea5cf6bc301c3fa26b0f49f80f04572!} [{!LANG-d826bf2549a55eb392e937f8d3d4630f!}] = eu, [{!LANG-bb2630cf04a5969733174afc7640bb97!}]={!LANG-6aadc105150c5cd876a9a04826cea535!}.

{!LANG-904ad49a3dbc6148a6a10c931f841dcd!}   o{!LANG-73365e38bf2b65234d77914e34d9fae0!} b{!LANG-2390bbf369de7e184debea705613c1f7!} {!LANG-aaafdbbeef997e984b3d49456873a503!}{!LANG-1b929e7b2f43198d4727ee4428403f2e!} o{!LANG-ad90cfdc8e464287c21013aa45b78ded!} b{!LANG-82d5cfae429963536a6bdfd35a2ab86a!}

{!LANG-350f147ff0640a7928ff80a1080e770a!} {!LANG-9b51ce0734b12cae06215392524b499c!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!}{!LANG-73365e38bf2b65234d77914e34d9fae0!} b{!LANG-9c3a62c7a59558084afeb1a42c4a57a6!} {!LANG-aeccc1a2c4ac9e9c2c7179cea0c0f3e8!}{!LANG-a847e5ae1e94230e1c79ec3b9f98426c!} {!LANG-b2f30877034cf71d2a19b28ad762a0ae!}{!LANG-23ffa322d7b323ae8bc8511186358204!} o {!LANG-b47f8eef698fe2ae1af1e5571af06dd6!}

{!LANG-73f524b08015acd9b417a5539d6d0f68!} {!LANG-ec09c5bfd92a19dbd67d88b567e19489!}  și   c  în bază {!LANG-aaafdbbeef997e984b3d49456873a503!}{!LANG-6623ecc9aa21b975c95297063269b55f!}
o{!LANG-ad90cfdc8e464287c21013aa45b78ded!} b{!LANG-1f9ca2ce50b5a36d1169e26f7c3cd53f!}   c{!LANG-704084cc24715993bed88df4717e10d8!}

.

{!LANG-cf329974d3a7c7eb015fc2df5ce6802a!}

{!LANG-e9ff506e677c28a1e79d400b29272721!} {!LANG-9153d75265f0c1aeb2524cc68375f35f!}{!LANG-61c91d6ea9f3fd9af1dae3c7f0b5b074!} {!LANG-3da904d79fb03e6e3936ff2127039b1a!}<0 и V = - {!LANG-3da904d79fb03e6e3936ff2127039b1a!}{!LANG-43df5be6a58339dbb159902a355f0b30!}{!LANG-832bad6c93547eb86d948b946c9a5bf7!}.

{!LANG-4e10ed2d2c79cbbfe1cfbe0187319f4b!} {!LANG-6ab0c676d8d8b994f98176b29b421c6d!}{!LANG-c742952530d0036ceb6fe5f55829eafa!} {!LANG-4d6e8fbe640c83e860a1b550ae3f64e0!}{!LANG-91d25df004c9d737d7254c8c557163e6!} {!LANG-bb4e7cb097a20ef146b6f7a545af1506!}={!LANG-70653328cc05793a8e5f618b1665c3db!}{!LANG-e7aa55aee375d98db4e997a8cf580f47!}{!LANG-a8fb2510e4c65daee8bb1a0d76745396!}, | {!LANG-349b439da7b40725dc13a7f99a92915a!}{!LANG-f4df3b519895b597e05a7986dbf72d14!} {!LANG-4f9ad658d578bad5c44c6408e69e5ab0!}{!LANG-73365e38bf2b65234d77914e34d9fae0!} {!LANG-5c3e89a0bbe62c8d0e30cf50d875c96e!}

{!LANG-b02b2c3b13eb9430c2ad95845098c405!} 1.2. {!LANG-dc167393b77654e348cf6d05a68005b5!} o= 2{!LANG-69b64623f86def16ce17d454b8be41ae!}+4{!LANG-fe13119fb084fe8bbf5fe3ab7cc89b3b!}{!LANG-8eefcd256d51352e9a043cb316173645!} b= {!LANG-c7e5854808322fc34ea92c26327dae16!}{!LANG-b5e040b3f0452dc16a236245901c7c1e!} {!LANG-433722f1bb7c70d050e52a3e8107a460!}{!LANG-73365e38bf2b65234d77914e34d9fae0!} {!LANG-79cdeec54f72bf2106cfcd946949a9da!}{!LANG-ac1e430b92c02fd929de2ed2f65d6e95!} {!LANG-433722f1bb7c70d050e52a3e8107a460!}{!LANG-73365e38bf2b65234d77914e34d9fae0!} {!LANG-fe13119fb084fe8bbf5fe3ab7cc89b3b!}{!LANG-436e81a791dddc534eb1e99ee3c018be!}

{!LANG-e1d0824767764ba6488505d4211c23a8!}{!LANG-c357fa0948beb27975e04df4249b39b4!} = {!LANG-daa8075d6ac5ff8d0c6d4650adb4ef29!}{!LANG-467111ad2f9200722bfcd5e4d5332027!} {!LANG-aaee1a134d2457ee01ea439f949a13f6!}(2{!LANG-69b64623f86def16ce17d454b8be41ae!}+4{!LANG-fe13119fb084fe8bbf5fe3ab7cc89b3b!}) ({!LANG-c7e5854808322fc34ea92c26327dae16!}) = 2{!LANG-433722f1bb7c70d050e52a3e8107a460!} 2 - 4{!LANG-fe13119fb084fe8bbf5fe3ab7cc89b3b!} 2 +2{!LANG-f643e44885eb1b9355a99ddea6b6c78b!}=
{!LANG-1f2b6ffe5be716f21c3559c27f301ca5!} {!LANG-e000712c5abd6602dcff901fe77bf335!} 2 = (2{!LANG-69b64623f86def16ce17d454b8be41ae!}+4{!LANG-fe13119fb084fe8bbf5fe3ab7cc89b3b!}) (2{!LANG-69b64623f86def16ce17d454b8be41ae!}+4{!LANG-fe13119fb084fe8bbf5fe3ab7cc89b3b!}) =
= 4{!LANG-433722f1bb7c70d050e52a3e8107a460!} 2 +16{!LANG-f643e44885eb1b9355a99ddea6b6c78b!}+16{!LANG-ac3153c52c792d635f076e16fe8854a6!}{!LANG-cacd12e45d3cc3d1a3e01f86c89ff40e!} {!LANG-b523720ab455e64294d0587c9b1cf6ff!} 2 =
{!LANG-c7ccd8c3bfcf0c59ed7f16d5d5fdc9d3!})({!LANG-c7e5854808322fc34ea92c26327dae16!}) = {!LANG-69b64623f86def16ce17d454b8be41ae!} 2 -2{!LANG-f643e44885eb1b9355a99ddea6b6c78b!}+{!LANG-ac3153c52c792d635f076e16fe8854a6!} 2 = {!LANG-e5494df3945efbc90911c7b9e783c7ef!}{!LANG-d9798f231523fc8725f2074eae426f8b!}

{!LANG-e1754ffaf5916ac2a33038f8b8c40d89!}{!LANG-b93a3ade9e8f17c01bca7f3886a4029d!} {!LANG-7b0ded95031647702b8bed17dce7698a!}{!LANG-d63401a6792d5cb647fb595b8d45c78d!} {!LANG-0cc2c8dd5b26e6192a416cc50481b268!}{!LANG-98f8139f04aa5153049e80d627c1c23f!}

{!LANG-e1d0824767764ba6488505d4211c23a8!}{!LANG-028662979b78979521b2214bb2687aa7!}
{!LANG-e268cd43990dfcdb4621d35c53ad2b33!}{!LANG-f37a76d63b48780b4a702261d3620f1c!} = 6,
{!LANG-8b8874b1fc7d9fd2a3d8996eff14e82b!} {!LANG-c78af4ed1f720684acf20a7b78b2df9a!}{!LANG-0ea0ea177799705d8bf26ea7f648dc28!}. {!LANG-1208352a1ed12fa2d7860f6a8f944f38!}{!LANG-29b50c3daefcf86001bc3f0e36928a2d!} {!LANG-e3214cd54cdf8bd8ff90d61a8b07954f!}{!LANG-7f5fb94b47050ca05810348f003ddfaa!}
. .

{!LANG-b02b2c3b13eb9430c2ad95845098c405!} 1.4 {!LANG-d7743067fa90ad824538300debaf2d13!} o{!LANG-7779cfccda36154d116fbdfaef6bbc0a!} b{!LANG-912a4bb3768c94f92502a164676f311c!} {!LANG-aeccc1a2c4ac9e9c2c7179cea0c0f3e8!}{!LANG-813a89787facad013c1c511ff2b3aeb2!}   o  și   b{!LANG-b77e2a55756880cf08508fdd72289b12!}   a, b, c{!LANG-bee1c9eaa4aafaed34c47b8b4a500386!}

{!LANG-bb8e32a51273276bf1ec6d63ac1b3721!}{!LANG-6fca2291d454244311d78eb9f0fff93c!} {!LANG-2cd6ee2c70b0bde53fbe6cac3c8b8bb1!}{!LANG-44fe1f57d9caf9971a1de0f33c8703d3!}

{!LANG-eb9fa7be884967133f4ed0b67852fde9!} {!LANG-2cd6ee2c70b0bde53fbe6cac3c8b8bb1!} ⊥ {!LANG-796644022c73559588250652ba93df65!} ⊥{!LANG-dd74b8e25db18e78dd211d8ffc71e595!}{!LANG-9c9e8d7c3d899cf4a4d629f8069f29e9!} {!LANG-d6539a670dc3bad4eafa03e87248e567!}= 0{!LANG-0b0be851417e75570b3fb2c55ce9e690!}{!LANG-d524f9c42dd510281bd2ae373eab61fb!} {!LANG-3da904d79fb03e6e3936ff2127039b1a!} >0.

{!LANG-90a7aed9a27e12febdef0d5322f22eba!}

{!LANG-196c5922276376f2d7870164687fff29!}
{!LANG-59bc9212477ccc6d6b069f45c6f9bd31!}± {!LANG-0ae2cbc787da68ac9bc3098ea2aac258!} {!LANG-3898495596e3509be998ad5b17404e71!}{!LANG-a9ba17796ef20083c0ddd50cddb403c3!}

{!LANG-7a8de2ba1938f95dece915277e5cfed1!}