Sarcina 4.

Una dintre diagonalele unui paralelogram cu lungimea de 4√6 face un unghi de 60 ° cu baza, iar a doua diagonală face unghiul de 45 ° cu aceeași bază. Găsiți a doua diagonală.

Decizie.

1. AO \u003d 2√6.

2. Aplicăm teorema sinusoidală triunghiului AOD.

AO / păcat D \u003d OD / păcat A.

2√6 / sin 45 о \u003d OD / păcat 60 о.

OD \u003d (2√6sin 60 о) / sin 45 о \u003d (2√6 · √3 / 2) / (√2 / 2) \u003d 2√18 / √2 \u003d 6.

Răspuns: 12.

Sarcina 5.

Un paralelogram cu laturile 5√2 și 7√2 are un unghi mai mic între diagonalele egale cu un unghi mai mic al paralelogramului. Găsiți suma lungimilor diagonalelor.

Decizie.

Fie d 1, d 2 diagonalele unei paralelograme, iar unghiul dintre diagonale și unghiul mai mic al paralelogramei este egal cu f.

1. Numărați două diferite
modurile sale de zonă.

S ABCD \u003d AB · AD · sin A \u003d 5√2 · 7√2 · sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC · BD · sin AOB \u003d 1/2 · d 1 d 2 sin f.

Obținem egalitatea 5√2 · 7√2 · sin f \u003d 1 / 2d 1 d 2 sin f sau

2 · 5√2 · 7√2 \u003d d 1 d 2;

2. Folosind raportul dintre laturile și diagonalele paralelogramei, scriem egalitatea

(AB 2 + AD 2) · 2 \u003d AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) · 2 \u003d d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 \u003d 296.

3. Alcătuiți sistemul:

(d 1 2 + d 2 2 \u003d 296,
(d 1 + d 2 \u003d 140.

Înmulțim a doua ecuație a sistemului cu 2 și o adăugăm la prima.

Obținem (d 1 + d 2) 2 \u003d 576. De aici, Id 1 + d 2 I \u003d 24.

Deoarece d 1, d 2 sunt lungimile diagonalelor unui paralelogram, atunci d 1 + d 2 \u003d 24.

Răspuns: 24.

Sarcina 6.

Laturile paralelogramei sunt 4 și 6. Unghiul acut între diagonalele este de 45 °. Găsiți zona paralelogramei.

Decizie.

1. Din triunghiul AOB, folosind teorema cosinusului, scriem relația dintre latura paralelogramului și diagonalele.

AB 2 \u003d AO 2 + BO 2 2 · AO · BO · cos AOB.

4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 · (d 1/2) · (d 2/2) cos 45 о;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 · (d 1/2) · (d 2/2) √2 / 2 \u003d 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 · d 2 √2 \u003d 64.

2. În mod similar, scriem relația pentru triunghiul AOD.

Luăm în considerare faptul că<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Obținem ecuația d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 \u003d 144.

3. Avem un sistem
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 · d 2 √2 \u003d 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √ 2 \u003d 144.

Scăzând prima din a doua ecuație, obținem 2d 1 · d 2 √2 \u003d 80 sau

d 1d 2 \u003d 80 / (2√2) \u003d 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC · BD · sin AOB \u003d 1/2 · d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 · 20√2 · √2 / 2 \u003d 10.

Notă: În aceasta și în problema anterioară, nu este necesară rezolvarea întregului sistem, anticipând că în această problemă avem nevoie de produsul diagonalelor pentru a calcula zona.

Răspuns: 10.

Sarcina 7

Zona paralelogramei este de 96, iar laturile sale sunt 8 și 15. Găsiți pătratul diagonalei mai mici.

Decizie.

1. S ABCD \u003d AB · AD · sin BAD. Să facem o substituție în formulă.

Obținem 96 \u003d 8 · 15 · sin BAD. De aici păcat BAD \u003d 4/5.

2. Găsiți cos BAD. sin 2 BAD + cos 2 BAD \u003d 1.

(4/5) 2 + cos 2 BAD \u003d 1. cos 2 BAD \u003d 9/25.

Prin starea problemei, găsim lungimea diagonalei mai mici. Diagonala BD va fi mai mică dacă unghiul BAD este clar. Atunci cos BAD \u003d 3/5.

3. Din triunghiul ABD, prin teorema cosinului, găsim pătratul diagonalei BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 · AB · BD · cos BAD.

BD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 · 8 · 15 · 3/5 \u003d 145.

Răspuns: 145.

Mai aveți întrebări? Nu știți cum să rezolvați o problemă geometrică?
Pentru a obține ajutorul unui tutor - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul, cu copierea completă sau parțială a materialului, este necesară o legătură către sursă.

evidență

Mai întâi desenăm AC diagonală. Se dovedește două triunghiuri: ABC și ADC.

Deoarece ABCD este o paralelogramă, este adevărat:

AD || BC \\ Rightarrow \\ unghiul 1 \u003d \\ unghiul 2  parcă zăcea încrucișat.

AB || CD \\ Rightarrow \\ angle3 \u003d \\ unghiul 4  parcă zăcea încrucișat.

Prin urmare, \\ triunghi ABC \u003d \\ triunghi ADC (conform celui de-al doilea criteriu: și AC este comun).

Și, prin urmare, \\ triunghi ABC \u003d \\ triunghi ADC, apoi AB \u003d CD și AD \u003d BC.

Dovedita!

2. Unghiurile opuse sunt identice.

evidență

Conform dovezii proprietăți 1  știm asta \\ unghiul 1 \u003d \\ unghiul 2, \\ unghiul 3 \u003d \\ unghiul 4. Astfel, suma unghiurilor opuse este egală cu: \\ unghiul 1 + \\ unghiul 3 \u003d \\ unghiul 2 + \\ unghiul 4. Având în vedere că \\ triunghi ABC \u003d \\ triunghi ADC obținem \\ unghiul A \u003d \\ unghiul C, \\ unghiul B \u003d \\ unghiul D.

Dovedita!

3. Diagonalele sunt împărțite în jumătate de punctul de intersecție.

evidență

Desenați o altă diagonală.

pe proprietatea 1  știm că laturile opuse sunt identice: AB \u003d CD. Încă o dată, notăm unghiuri egale transversale.

Astfel, se poate observa că \\ triunghi AOB \u003d \\ triunghi COD conform celui de-al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor (două unghiuri și latura dintre ele). Adică, BO \u003d OD (opus unghiurilor \\ unghi 2 și \\ unghi 1) și AO \u003d OC (opuse unghiurilor \\ unghiul 3 și respectiv \\ unghiul 4).

Dovedita!

Semne ale unui paralelogram

Dacă în sarcina dvs. este prezentă o singură caracteristică, atunci figura este o paralelogramă și puteți utiliza toate proprietățile acestei figuri.

Pentru o mai bună memorare, observăm că caracteristica paralelogramului va răspunde la următoarea întrebare - "Cum să afli?". Adică cum să aflăm că o figură dată este o paralelogramă.

1. O paralelogramă este un patrulat în care două laturi sunt egale și paralele.

AB \u003d CD; AB || CD \\ Rightarrow ABCD - paralelogram.

evidență

Să luăm în considerare mai detaliat. De ce AD \u200b\u200b|| BC?

\\ triunghi ABC \u003d \\ triunghi ADC de proprietatea 1: AB \u003d CD, AC este comună și \\ unghiul 1 \u003d \\ unghiul 2 se află transversal cu AB și CD paralel și AC secant.

Dar dacă \\ triunghi ABC \u003d \\ triunghi ADC, atunci \\ unghiul 3 \u003d \\ unghiul 4 (se află opus AB și respectiv CD). Și, prin urmare, AD || BC (\\ unghiul 3 și \\ unghiul 4 - întins transversal sunt, de asemenea, egale).

Primul semn este corect.

2. O paralelogramă este un patrulat în care laturile opuse sunt egale.

AB \u003d CD, AD \u003d BC \\ Rightarrow ABCD - paralelogram.

evidență

Luați în considerare această caracteristică. Desenați din nou diagonala AC.

pe proprietatea 1\\ triunghi ABC \u003d \\ triunghi ACD.

De aici rezultă că: \\ unghiul 1 \u003d \\ unghiul 2 \\ Dreapta dreapta AD || BC  și \\ unghiul 3 \u003d \\ unghiul 4 \\ Dreapta AB AB || CD, adică ABCD - paralelogram.

Al doilea simptom este corect.

3. O paralelogramă este un patrulat în care unghiurile opuse sunt egale.

\\ unghiul A \u003d \\ unghiul C, \\ unghiul B \u003d \\ unghiul D \\ Dreapta dreapta ABCD  - paralelogram.

evidență

2 \\ alpha + 2 \\ beta \u003d 360 ^ (\\ circ)  (deoarece ABCD este un patrulater, iar \\ unghiul A \u003d \\ unghiul C, \\ unghiul B \u003d \\ unghiul D prin presupunere).

Se pare că \\ alpha + \\ beta \u003d 180 ^ (\\ circ). Dar \\ alpha și \\ beta sunt unilateral interne cu AB secant.

Și faptul că \\ alpha + \\ beta \u003d 180 ^ (\\ circ) mai spune că AD || BC.

Mai mult, \\ alpha și \\ beta sunt unilaterale interne cu AD secantă. Și asta înseamnă AB || CD-ul.

Al treilea simptom este corect.

4. O paralelogramă este un patrulat în care diagonalele sunt separate printr-un punct de intersecție în jumătate.

AO \u003d OC; BO \u003d OD \\ paralelogramogram dreapta.

evidență

BO \u003d OD; AO \u003d OC, \\ unghiul 1 \u003d \\ unghiul 2 ca vertical \\ Rightarrow \\ triangle AOB \u003d \\ triunghi COD, \\ Rightarrow \\ unghiul 3 \u003d \\ unghiul 4, și \\ Rightarrow AB || CD-ul.

În mod similar, BO \u003d OD; AO \u003d OC, \\ unghiul 5 \u003d \\ unghiul 6 \\ Dreapta săgeată \\ triunghi AOD \u003d \\ triunghi BOC \\ Dreapta săgeată \\ unghiul 7 \u003d \\ unghiul 8, și \\ Rightarrow AD || BC.

Al patrulea simptom este corect.

Instituția de învățământ bugetar municipal

Școala gimnazială Savinskaya

Lucrări de cercetare

Paralelograma și noile sale proprietăți

Completat: elev de clasa a 8-a

Școala secundară MBOU Savinskaya

Kuznetsova Svetlana, 14 ani

Șef: profesor de matematică

Tulchevskaya N.A.

p. Savino

Regiunea Ivanovo, Rusia

2016.

I. Introducere __________________________________________________ pagina 3

II. Din istoricul paralelogramei ___________________________________ pagina 4

III Proprietăți suplimentare ale paralelogramei ______________________ pagina 4

IV. Dovada proprietăților _____________________________________ pagina 5

V. Rezolvarea problemelor folosind proprietăți suplimentare __________ pagina 8

VI. Aplicarea proprietăților unui paralelogram în viață ___________________ pagina 11

VII. Concluzie _________________________________________________ pagina 12

VIII. Literatură _________________________________________________ pagina 13

introducere

"Printre minți egale

la aceleași condiții

superior oricui cunoaște geometria "

(Blaise Pascal).

În timp ce studiam subiectul „Paralelogram” în lecțiile de geometrie, am examinat două proprietăți ale unei paralelograme și trei atribute, dar când am început să rezolvăm probleme, s-a dovedit că acest lucru nu a fost suficient.

Am avut o întrebare și dacă paralelograma are mai multe proprietăți și cum vor ajuta la rezolvarea problemelor.

Și am decis să studiez proprietățile suplimentare ale paralelogramei și să arăt cum pot fi aplicate pentru rezolvarea problemelor.

Subiectul cercetării :   paralelogram

Obiectul studiului : proprietăți paralelogramă
Scopul muncii:

formularea și dovada proprietăților paralelogramei suplimentare care nu sunt studiate la școală;

aplicarea acestor proprietăți pentru rezolvarea problemelor.

obiective:

Studierea istoriei apariției unei paralelograme și a istoriei dezvoltării proprietăților sale;

Găsiți literatură suplimentară cu privire la problema studiată;

Să studieze proprietățile suplimentare ale unei paralelograme și să le demonstreze;

Afișează aplicarea acestor proprietăți pentru rezolvarea problemelor;

Luați în considerare aplicarea proprietăților unui paralelogram în viață.
Metode de cercetare:

Lucrul cu literatură științifică și educațională populară, resurse de internet;

Studiul materialului teoretic;

Evidențierea gamei de sarcini care pot fi rezolvate folosind proprietăți suplimentare ale paralelogramei;

Observație, comparație, analiză, analogie.

Durata studiului : 3 luni: ianuarie-martie 2016

1. Din istoria paralelogramei

În manualul de geometrie, citim următoarea definiție a paralelogramei: o paralelogramă este un patrulat în care laturile opuse sunt paralele în perechi

Cuvântul „paralelogram” este tradus ca „linii paralele” (din cuvintele grecești Parallelos - paralel și gramatică - linie), acest termen a fost introdus de Euclid. În cartea sa „Începuturi”, Euclid a dovedit următoarele proprietăți ale unui paralelogram: laturile opuse și unghiurile unei paralelograme sunt egale, iar diagonala o împarte la jumătate.   Euclid nu menționează punctul de intersecție al paralelogramei. Doar la sfârșitul Evului Mediu s-a dezvoltat o teorie completă a paralelogramelor și abia în secolul al XVII-lea au apărut teoreme de paralelogramă în manualele, care se dovedesc folosind teorema euclidiană asupra proprietăților unui paralelogram.

III   Proprietăți paralelograme suplimentare

În manualul de geometrie, sunt date doar 2 proprietăți ale paralelogramei:

Unghiurile și laturile opuse sunt egale

Diagonalele paralelogramului se intersectează și punctul de intersecție este împărțit în jumătate

Următoarele proprietăți suplimentare pot fi găsite în diferite surse de geometrie:

Suma unghiurilor adiacente ale paralelogramei este 180 0

Bisectoarea unghiului paralelogramei taie un triunghi izoscel din el;

Bisectoarele unghiurilor opuse ale paralelogramei se află pe linii paralele;

Bisectoarele unghiurilor paralelogramului adiacente se intersectează în unghi drept;

Bisectoarele tuturor unghiurilor paralelogramei de la intersecție formează un dreptunghi;

Distanțele de la unghiurile opuse ale paralelogramei la aceeași diagonală sunt egale.

Dacă conectați vârfuri opuse în paralelogram cu punctele medii ale laturilor opuse, obțineți un alt paralelogram.

Suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu dublul sumei pătratelor laturilor sale adiacente.

Dacă trageți înălțimi din două unghiuri opuse într-un paralelogram, obțineți un dreptunghi.

IV Dovada proprietăților paralelogramei

Suma unghiurilor adiacente ale paralelogramei este de 180 0

Dano:

ABCD - paralelogram

dovedesc:

A +
B \u003d

dovada:

A și
B - unghiuri laterale interioare cu linii drepte paralele AD și sec AB, apoi
A +
B \u003d

2

având în vedere:  ABCD - paralelogram

  Bisectoare AK
A.

dovedesc: AVK - izosceluri

dovada:

1)
1=
3 (întins în fața aeronavei AD și sec. AK),

2)
2=
3 deoarece AK este o bisectoare,

  înseamnă 1 \u003d
2.

3)   AVK - izoscel, deoarece 2 unghiuri ale unui triunghi sunt egale

3

având în vedere:  ABCD - paralelogramă,

  AK - bisectorul A,

  SR - bisector C.

dovedesc:  AK ║ SR

dovada:

  1) 1 \u003d 2 de când bisectoarea AK

  2) 4 \u003d 5 deoarece SR - bisector

  3) 3 \u003d 1 (unghiuri situate transversal la

  BC ║ AD și AK secant),

  4) A \u003d C (prin proprietatea paralelogramei), ceea ce înseamnă 2 \u003d 3 \u003d 4 \u003d 5.

4) Din alineatele 3 și 4 rezultă că 1 \u003d 4 și aceste unghiuri sunt corespunzătoare pentru AK și SR directe și aeronave secante,

  prin urmare, AK ║ СР (prin semnul liniilor paralele)

Bisectoarele unghiurilor paralelogramului adiacente se intersectează în unghi drept

având în vedere:  ABCD - paralelogramă,

Bisector A,

Bisectoare DP D

dovedesc:  DP   AK.

dovada:

1) 1 \u003d 2, deoarece AK - bisector

Fie 1 \u003d 2 \u003d x, apoi A \u003d 2x,

2) 3 \u003d 4, deoarece D P - bisectoare

Fie 3 \u003d 4 \u003d y, apoi D \u003d 2y

3) A + D \u003d 180 0, deoarece suma unghiurilor adiacente ale paralelogramei este de 180

2) Luați în considerare O OD

1 + 3 \u003d 90 0
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Bisectoarele tuturor unghiurilor paralelogramei de la intersecție formează un dreptunghi

având în vedere:  ABCD - paralelogram, AK bisectoare A,

Bisectoare DP D,

Bisectoare CM,

Bisectoare BF.

A dovedi: Dreptunghi KRNS

dovada:

Pe baza proprietății anterioare 8 \u003d 7 \u003d 6 \u003d 5 \u003d 90 0,

atunci KRNS este un dreptunghi.

Distanțele de la unghiurile opuse ale paralelogramei la aceeași diagonală sunt egale.

având în vedere:  Paralelogram ABCD, diagonală AC.

VC AU, DP AC

dovedesc:  BK \u003d DP

dovada:  1) DCP \u003d KAB, deoarece cele interne situate transversal la AB ║ CD și difuzorul secant.

2) AKB \u003d CDP (pe partea laterală și două colțuri adiacente acesteia \u003d CD CD P \u003d AB K).

Și în triunghiuri egale, laturile corespunzătoare sunt egale, ceea ce înseamnă DР \u003d BК.

Dacă conectați vârfuri opuse în paralelogram cu punctele medii ale laturilor opuse, obțineți un alt paralelogram.

având în vedere:  Paralelogramogramă ABCD.

dovedesc:  BCDP - paralelogramă.

dovada:

1) BP \u003d KD (AD \u003d BC, punctele K și P

împărțiți aceste părți în jumătate)

2) BP ║ KD (se află pe AD   BC)

Dacă laturile opuse sunt egale și paralele în patrulater, atunci acest patrulater este o paralelogramă.

Dacă trageți înălțimi din două unghiuri opuse într-un paralelogram, obțineți un dreptunghi.

Suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu dublul sumei pătratelor laturilor sale adiacente.

având în vedere:  ABCD - paralelogram. BD și AC sunt diagonale.

dovedesc: AS 2   + BD 2   \u003d 2 (AB 2 + AD 2 )

dovada: 1)ASA: AC ²=
+

2)B PD : BD 2 = B P 2   + PD 2   (de teorema lui Pitagore)

3) AC ²+ BD ² \u003d SK² +A K² +B R² + PD ²

4) SC \u003d BP \u003d N(înălțime )

5) boxe 2 + BD 2 = H 2 + A K 2 + H 2 + PD 2

6) lăsa D K \u003dA P \u003d xatunci C KD : H 2 = CD 2   - x 2 de teorema pitagoreică )

7) AC² + BD ² \u003d CD 2 - ² + AK 1 ²+ CD 2 -X 2 + PD 2 ,

AC² + BD ² \u003d 2CD 2 -2x 2 + A K 2 + PD 2

8) A K\u003d AD + x, PD \u003d AD x,

AC² + BD ² \u003d 2CD 2 -2x 2 +(AD + x) 2 +(AD -X) 2 ,

AS²+ D² \u003d 2 CD²-2 x² + AD 2 + 2AD x+ x 2 + AD 2 -2AD x+ x 2 ,
AS²+ D² \u003d 2CD 2 + 2AD 2 \u003d 2 (CD 2 + AD 2 ).

V . Rezolvarea problemelor folosind aceste proprietăți

Punctul de intersecție al bisectoarelor a două unghiuri de paralelogram adiacente unei părți aparține laturii opuse. Latura mai mică a paralelogramei este 5 . Găsiți partea lui mare.

având în vedere:  ABCD - paralelogramă,

  AK - bisector
şi,

  D K - bisectoare
D, AB \u003d 5

A găsi: Soare

adresare

decizie

pentru că AK - bisector
Și atunci AVK este izoscel.

pentru că D K - bisectoare
D atunci DCK - Isosceles

DC \u003d C K \u003d 5

Apoi, BC \u003d VK + SK \u003d 5 + 5 \u003d 10

Răspuns: 10

2. Găsiți perimetrul paralelogramei dacă bisectorul unuia dintre unghiurile sale împarte partea paralelogramului în segmente de 7 cm și 14 cm.

1 caz

având în vedere:
şi,

VK \u003d 14 cm, KS \u003d 7 cm

Caută:  Paralelogramă P

decizie

BC \u003d VK + KS \u003d 14 + 7 \u003d 21 (cm)

pentru că AK - bisector
Și atunci AVK este izoscel.

AB \u003d VK \u003d 14 cm

  Atunci P \u003d 2 (14 + 21) \u003d 70 (cm)

având în vedere:ABCD - paralelogramă,

D K - bisectoare
D,

VK \u003d 14 cm, KS \u003d 7 cm

A găsi: Paralelogram P

decizie

BC \u003d VK + KS \u003d 14 + 7 \u003d 21 (cm)

pentru că D K - bisectoare
D atunci DCK - Isosceles

DC \u003d C K \u003d 7

Apoi, P \u003d 2 (21 + 7) \u003d 56 (cm)

Răspunsul este:  70 cm sau 56 cm

3. Laturile paralelogramei sunt de 10 cm și 3 cm. Bisectoarele din două unghiuri adiacente laturii mai mari împart partea opusă în trei segmente. Găsiți aceste segmente.

1 caz:  bisectoarele se intersectează în afara paralelogramei

având în vedere:ABCD - paralelogram, AK - bisectoare
şi,

D K - bisectoare
D, AB \u003d 3 cm, BC \u003d 10 cm

A găsi: VM, MN, NC

decizie

pentru că AM - bisector
Ah, AVM-ul este izoscel.

pentru că DN - bisector
D atunci DCN - Isosceles

DC \u003d CN \u003d 3

Apoi, MN \u003d 10 - (BM + NC) \u003d 10 - (3 + 3) \u003d 4 cm

2 caz:bisectoarele se intersectează în interiorul unei paralelograme

pentru că AN - bisector
Și atunci ABN este izoscel.

AB \u003d BN = 3   D

Și grătarul glisant - pentru a vă deplasa la distanța dorită în ușă

Mecanism paralelogram  - un mecanism cu patru legături, ale cărui legături alcătuiesc un paralelogram. Este utilizat pentru a implementa mișcarea translațională prin mecanisme articulate.

Paralelogram de legătură fixă  - o legătură este nemișcată, opusul face o mișcare în mișcare, rămânând paralel cu cea nemișcată. Două paralelograme conectate una după alta dau legătura finală două grade de libertate, lăsând-o paralelă cu cea nemiscată.

Exemple: ștergătoare de autobuz, încărcătoare, trepieduri, suspensii, suspensii auto.

Paralelogramă articulară fixă  - proprietatea paralelogramului este utilizată pentru a menține un raport constant al distanțelor dintre trei puncte. Exemplu: desen pantograf - dispozitiv pentru scalarea desenelor.

romb  - toate legăturile au aceeași lungime, aproximarea (contracția) unei perechi de balamale opuse duce la extinderea celorlalte două balamale. Toate legăturile funcționează în compresie.

Exemple sunt un cric în formă de diamant pentru mașină, un pantograf pentru tramvai.

foarfeca  sau Mecanism în formă de Xcunoscut și sub numele de Foarfece de la Nürnberg - o variantă a unui romboi - două verigi conectate la mijloc de o balama. Avantajele mecanismului sunt compactitatea și simplitatea, dezavantajul este prezența a două perechi de alunecări. Două (sau mai multe) astfel de mecanisme, conectate în serie, formează un rom (e) în mijloc. Se folosește la ascensoare, jucării pentru copii.

VII   concluzie

Cine face matematică încă din copilărie

el își dezvoltă atenția, își antrenează creierul,

voința lui, favorizează perseverența

și perseverență în atingerea scopului

A. Markushevich

În timpul lucrului, am demonstrat proprietățile suplimentare ale unei paralelograme.

M-am asigurat că folosind aceste proprietăți, puteți rezolva problemele mai repede.

Am arătat cum se aplică aceste proprietăți pe exemple de rezolvare a problemelor specifice.

Am învățat multe despre paralelograma, care nu este în manualul nostru de geometrie

Am fost convins că cunoașterea geometriei este foarte importantă în viață folosind exemple de aplicare a proprietăților paralelogramelor.

Scopul lucrărilor mele de cercetare este finalizat.

Importanța cunoștințelor matematice este dovedită de faptul că a fost instituit un premiu pentru cineva care publică o carte despre o persoană care a trăit întreaga viață fără ajutorul matematicii. Acest premiu nu a primit încă o singură persoană.

VIII   literatură

1. Pogorelov A.V. Geometrie 7-9: manual de învățământ general. institutions-M .: Educație, 2014

   L.S.Atanasyan și alții.Geometrie. Extras. Capitole la manualul clasa a 8-a .: manual. indemnizație pentru studenții școlilor și claselor cu profunzime. studiul matematicii. - M .: Vita-press, 2003

   Resurse Internet

   materiale de pe Wikipedia

O paralelogramă este un patrulat cu laturile opuse paralele în perechi. Zona paralelogramei este egală cu produsul bazei sale (a) și înălțimii (h). Puteți găsi, de asemenea, zona sa prin două părți și un colț și prin diagonale.

Proprietăți paralelograme

1. Părțile opuse sunt identice

Mai întâi, desenați diagonala \\ (AC \\). Se dovedește două triunghiuri: \\ (ABC \\) și \\ (ADC \\).

Deoarece \\ (ABCD \\) este o paralelogramă, este adevărat:

\\ (AD || BC \\ Rightarrow \\ angle 1 \u003d \\ unghi 2 \\)  parcă zăcea încrucișat.

\\ (AB || CD \\ Rightarrow \\ angle3 \u003d \\ unghiul 4 \\)  parcă zăcea încrucișat.

Prin urmare (conform celui de-al doilea criteriu: și \\ (AC \\) este comun).

Și asta înseamnă \\ (\\ triunghi ABC \u003d \\ triunghi ADC \\), apoi \\ (AB \u003d CD \\) și \\ (AD \u003d BC \\).

2. Unghiurile opuse sunt identice

Conform dovezii proprietăți 1  știm asta \\ (\\ unghiul 1 \u003d \\ unghiul 2, \\ unghiul 3 \u003d \\ unghiul 4 \\). Astfel, suma unghiurilor opuse este egală cu: \\ (\\ unghiul 1 + \\ unghiul 3 \u003d \\ unghiul 2 + \\ unghiul 4 \\). Având în vedere că \\ (\\ triunghi ABC \u003d \\ triunghi ADC \\)  obținem \\ (\\ unghiul A \u003d \\ unghiul C \\), \\ (\\ unghiul B \u003d \\ unghiul D \\).

3. Diagonalele sunt împărțite în jumătate de punctul de intersecție

pe proprietatea 1 știm că laturile opuse sunt identice: \\ (AB \u003d CD \\). Încă o dată, notăm unghiuri egale transversale.

Astfel, se poate vedea că \\ (\\ triunghi AOB \u003d \\ triunghi COD \\)  prin al doilea semn al egalității triunghiurilor (două unghiuri și o latură între ele). Adică \\ (BO \u003d OD \\) (opus unghiurilor \\ (\\ unghiul 2 \\) și \\ (\\ unghiul 1 \\)) și \\ (AO \u003d OC \\) (opuse unghiurilor \\ (\\ unghiul 3 \\) și \\ ( \\ unghi 4 \\) respectiv).

Semne ale unui paralelogram

Dacă în sarcina dvs. este prezentă o singură caracteristică, atunci figura este o paralelogramă și puteți utiliza toate proprietățile acestei figuri.

Pentru o mai bună memorare, observăm că caracteristica paralelogramului va răspunde la următoarea întrebare - "Cum să afli?". Adică cum să aflăm că o figură dată este o paralelogramă.

1. O paralelogramă este un patrulat în care două laturi sunt egale și paralele

\\ (AB \u003d CD \\); \\ (AB || CD \\ Rightarrow ABCD \\)  - paralelogram.

Să luăm în considerare mai detaliat. De ce \\ (AD || BC \\)?

\\ (\\ triunghi ABC \u003d \\ triunghi ADC \\)  pe proprietatea 1: \\ (AB \u003d CD \\), \\ (\\ unghiul 1 \u003d \\ unghiul 2 \\) întins transversal pentru paralele \\ (AB \\) și \\ (CD \\) și secant \\ (AC \\).

Dar dacă \\ (\\ triunghi ABC \u003d \\ triunghi ADC \\), apoi \\ (\\ unghiul 3 \u003d \\ unghiul 4 \\) (se află opus \\ (AD || BC \\) (\\ (\\ unghiul 3 \\) și \\ (\\ unghiul 4 \\) se află egal între ele).

Primul semn este corect.

2. O paralelogramă este un patrulat în care laturile opuse sunt egale

\\ (AB \u003d CD \\), \\ (AD \u003d BC \\ Rightarrow ABCD \\) - o paralelogramă.

Luați în considerare această caracteristică. Din nou, desenați diagonala \\ (AC \\).

pe proprietatea 1\\ (\\ triunghi ABC \u003d \\ triunghi ACD \\).

De aici rezultă că: \\ (\\ unghiul 1 \u003d \\ unghiul 2 \\ Dreapta săgeată AD || BC \\)  și \\ (\\ unghiul 3 \u003d \\ unghiul 4 \\ Dreapta AB AB || CD \\), adică \\ (ABCD \\) este o paralelogramă.

Al doilea simptom este corect.

3. O paralelogramă este un patrulat în care unghiurile opuse sunt egale

\\ (\\ unghiul A \u003d \\ unghiul C \\), \\ (\\ unghiul B \u003d \\ unghiul D \\ Dreapta dreapta ABCD \\)  - paralelogram.

\\ (2 \\ alpha + 2 \\ beta \u003d 360 ^ (\\ circ) \\)  (întrucât \\ (\\ unghiul A \u003d \\ unghiul C \\), \\ (\\ unghiul B \u003d \\ unghiul D \\) prin presupunere).

Se pare că. Dar \\ (\\ alpha \\) și \\ (\\ beta \\) sunt interne pe o singură față cu un secant \\ (AB \\).

Și ce \\ (\\ alpha + \\ beta \u003d 180 ^ (\\ circ) \\)  spune că \\ (AD || BC \\).

Pentru a determina dacă o cifră dată este un paralelogram, există o serie de semne. Luați în considerare cele trei caracteristici principale ale unui paralelogram.

1 semn de paralelogram

Dacă două laturi sunt egale și paralele într-un patrulater, atunci acest patrulater va fi o paralelogramă.

dovada:

Luați în considerare ABCD-ul patrulaterului. Fie părțile AB și CD în ea să fie paralele. Și să fie AB \u003d CD. Desenați o diagonală BD în ea. Ea va împărți acest patrulater în două triunghiuri egale: ABD și CBD.

Aceste triunghiuri sunt egale între ele pe două laturi și unghiul dintre ele (BD este latura comună, AB \u003d CD prin presupunere, unghiul1 \u003d unghiul2 ca unghiuri situate transversal pentru BD secantă a liniilor paralele AB și CD.), Și, prin urmare, unghiul 3 \u003d unghiul4.

Și aceste unghiuri vor fi întinse în intersecția liniilor BC și AD ale secantei BD. Rezultă că BC și AD sunt paralele între ele. Avem că în patrulaterul ABCD laturile opuse sunt paralele în perechi și, prin urmare, ABCD-ul patrulater este un paralelogram.

2 semn paralelogram

Dacă laturile opuse sunt egale în perechi într-un patrulater, atunci acest patrulat va fi o paralelogramă.

dovada:

Luați în considerare ABCD-ul patrulaterului. Desenați o diagonală BD în ea. Ea va împărți acest patrulater în două triunghiuri egale: ABD și CBD.

Aceste două triunghiuri vor fi egale între ele pe trei laturi (BD - parte comună, AB \u003d CD și BC \u003d AD prin presupunere). Din aceasta putem concluziona că unghiul1 \u003d unghiul2. Rezultă că AB este paralelă cu CD-ul. Și întrucât AB \u003d CD și AB sunt paralele cu CD, atunci prin primul semn al paralelogramei, cvadrangulul ABCD va fi un paralelogram.

3 semn de paralelogram

Dacă diagonalele se intersectează în patrulater și punctul de intersecție este împărțit în jumătate, atunci acest patrulat va fi un paralelogram.

Luați în considerare ABCD-ul patrulaterului. Desenăm în ea două diagonale AC și BD, care se vor intersecta în punctul O și vor împărți acest punct la jumătate.

Triunghiurile AOB și COD vor fi egale între ele, conform primului semn al egalității triunghiurilor. (AO \u003d OC, BO \u003d OD prin presupunere, unghiul AOB \u003d unghiul COD ca unghiuri verticale.) Prin urmare, AB \u003d CD și unghiul1 \u003d unghiul 2. Din egalitatea unghiurilor 1 și 2, avem că AB este paralel cu CD. Atunci avem că în patrulaterul ABCD laturile AB sunt egale cu CD și paralele, iar în funcție de primul semn al paralelogramei, patrulatul ABCD va fi un paralelogram.