Diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora: exemple, descrieri și recenzii. Dovezi ale teoremei lui Pitagora

22.02.2021

Lecție pe tema: "Teorema lui Pitagora"

Tipul lecției: lecție de învățare a materialului nou. (bazat pe manualul „Geometry, 7-9”, un manual pentru instituțiile de învățământ; LS Atanasyan și colab. - ediția a XII-a - M.: Educație, 2009).

Scop:

să familiarizeze studenții cu teorema lui Pitagora și cu informațiile istorice asociate acestei teoreme; dezvolta interes pentru studiul matematicii, gandirea logica; Atenţie.

În timpul orelor:

1. Moment organizatoric.

SLIDE 2 Povestea „Casă”.

Tema lecției noastre este „Teorema lui Pitagora”. Astăzi, în lecție, ne vom familiariza cu biografia lui Pitagora, vom studia una dintre cele mai faimoase teoreme geometrice ale antichității, numită teorema pitagorică, una dintre teoremele principale ale planimetriei.

2. Actualizarea cunoștințelor. (Pregătirea pentru studiul materialului nou, materialul care va fi necesar în dovada teoremei se repetă)

1) Întrebări:

Care patrulater se numește pătrat?

Cum se găsește suprafața unui pătrat?

Ce triunghi se numește dreptunghiular?

Cum se numesc laturile unui triunghi dreptunghiular?

Cum găsesc aria unui triunghi dreptunghiular?

3. Învățarea de materiale noi.

1) Referință istorică.

SLIDE 3 & 4.

Marele om de știință Pitagora s-a născut în jurul anului 570 î.Hr. pe insula Samos. Tatăl lui Pitagora a fost Mnesarchus, un sculptor de bijuterii. Numele mamei lui Pitagora este necunoscut. Conform multor mărturii străvechi, băiatul care s-a născut era fabulos de frumos și în curând și-a arătat abilitățile extraordinare. Ca orice tată, Mnesarch a visat că fiul său își va continua munca - meșteșugul unui aurar. Viața a judecat diferit. Viitorul mare matematician și filosof, deja în copilărie, a arătat o mare aptitudine pentru știință.

Pitagora este creditată cu studierea proprietăților numerelor întregi și proporțiilor, demonstrarea teoremei pitagoreice etc. Pitagora nu este un nume, ci o poreclă pe care filosoful a primit-o pentru că a vorbit întotdeauna corect și convingător, ca un oracol grecesc. (Pitagora - „convingerea prin vorbire”.)

Cu discursurile sale, a dobândit 2.000 de elevi, care, împreună cu familiile lor, au format o școală-stat, unde legile și regulile lui Pitagora erau în vigoare. Școala din Pitagora, sau, așa cum se mai numește, Uniunea Pitagorică, a fost atât o școală filosofică, cât și un partid politic și o frăție religioasă.

Figura geometrică preferată a pitagoreicilor a fost pentagrama, numită și steaua pitagorică. Pitagoricii au folosit această figură, urmărind-o în nisip, pentru a se saluta și a se recunoaște reciproc. Pentagrama le-a servit drept parolă și a fost un simbol al sănătății și fericirii.

Tradiția spune că atunci când Pitagora a ajuns la teorema care îi poartă numele, el a adus 100 de tauri la zei. În cei cinci sute de ani î.Hr., Pitagora a fost ucis într-o luptă de stradă în timpul unei revolte populare. În prezent, există aproximativ 200 de dovezi cunoscute ale teoremei lui Pitagora.

Enunțarea teoremei

2) Dovada teoremei.

Să completăm dreptunghiul într-un pătrat cu laturile a + b.

Băieții, cu ajutorul profesorului, dovedesc teorema conform desenului, apoi notează dovada într-un caiet.

Dovezi:

Zona pătrată

- se demonstrează teorema.

4. Consolidarea primară a cunoștințelor.

Lucrați conform manualului (Aplicarea teoremei lui Pitagora la rezolvarea problemelor).

Problemele sunt rezolvate pe tablă și în caiete.

Concluzie: folosind teorema lui Pitagora, puteți rezolva două tipuri de probleme:

1. Găsiți hipotenuza unui triunghi unghiular dacă picioarele sunt cunoscute.

2. Găsiți un picior dacă sunt cunoscute ipotenuza și alt picior.

5. Rezolvarea independentă a problemelor.

Nr. 483 (b), 484 (b)

6. Teme pentru acasă: P 54, nr. 483 (g), 484 (g).

7. Rezumatul lecției.

Ce nou ai învățat în lecția de astăzi?

Pentru ce triunghiuri se aplică teorema lui Pitagora?

Încheiați lecția cu o poezie.

Mulți oameni cunosc sonetul lui Chamisso:

Adevărul va dura pentru totdeauna, cât de curând

O persoană slabă o știe!

Și acum teorema lui Pitagora

Adevărat, ca în epoca lui îndepărtată.

Jertfa a fost abundentă

Zeilor din Pitagora. O sută de tauri

El a dat măcelului și arderii

În spatele fasciculului de lumină care venea din nori.

Prin urmare, mereu de atunci,

Un mic adevăr se naște în lume,

Taurii urlă, simțind-o, urmând.

Nu pot interfera cu lumina,

Și nu pot să tremure decât închizând ochii

Din frica pe care i-a insuflat-o Pitagora.

Într-un singur lucru, poți fi sigur sută la sută că, atunci când e întrebat care este pătratul hipotenuzei, orice adult va răspunde cu îndrăzneală: „Suma pătratelor picioarelor”. Această teoremă este ferm înrădăcinată în mintea fiecărei persoane educate, dar este suficient să ceri cuiva să o demonstreze și atunci pot apărea dificultăți. Prin urmare, să ne amintim și să luăm în considerare diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora.

Scurtă prezentare a biografiei

Teorema lui Pitagora este familiară pentru aproape toată lumea, dar din anumite motive biografia persoanei care a născut-o nu este atât de populară. Acest lucru este fixabil. Prin urmare, înainte de a studia diferitele moduri de a demonstra teorema lui Pitagora, trebuie să vă familiarizați pe scurt cu personalitatea sa.

Pitagora este un filozof, matematician, gânditor originar din Astăzi este foarte dificil să-i distingi biografia de legendele care s-au format în memoria acestui mare om. Dar, după cum urmează din scrierile adepților săi, Pitagora din Samos s-a născut pe insula Samos. Tatăl său era un tăietor obișnuit de piatră, dar mama lui provenea dintr-o familie nobilă.

Conform legendei, nașterea lui Pitagora a fost prezisă de o femeie pe nume Pythia, în a cărei onoare a fost numit băiatul. Potrivit prezicerii ei, un băiat născut ar fi trebuit să aducă numeroase beneficii și bunătăți omenirii. Ceea ce a făcut de fapt.

Nașterea teoremei

În tinerețe, Pitagora s-a mutat în Egipt pentru a se întâlni acolo cu înțelepții celebri egipteni. După ce s-a întâlnit cu ei, a fost admis să studieze, unde a învățat toate marile realizări ale filosofiei, matematicii și medicinei egiptene.

Probabil, în Egipt, Pitagora a fost inspirat de măreția și frumusețea piramidelor și a creat marea sa teorie. Acest lucru poate șoca cititorii, dar istoricii moderni cred că Pitagora nu și-a dovedit teoria. El și-a transmis cunoștințele doar adepților săi, care ulterior au finalizat toate calculele matematice necesare.

Oricum ar fi, astăzi nu se cunoaște o metodă de a demonstra această teoremă, ci mai multe simultan. Astăzi, rămâne doar să ghicim cât de exact au făcut calculele grecii antici, așa că aici vom lua în considerare diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora.

teorema lui Pitagora

Înainte de a începe orice calcul, trebuie să vă dați seama ce teorie trebuie dovedită. Teorema lui Pitagora scrie astfel: „Într-un triunghi, în care unul dintre unghiuri este de 90 °, suma pătratelor picioarelor este egală cu pătratul hipotenuzei”.

În total, există 15 moduri diferite de a demonstra teorema lui Pitagora. Aceasta este o cifră destul de mare, așa că hai să fim atenți la cei mai populari dintre ei.

Prima metodă

În primul rând, să desemnăm ceea ce ni se dă. Aceste date se vor aplica și altor metode de demonstrare a teoremei lui Pitagora, deci ar trebui să vă amintiți imediat toate notațiile disponibile.

Să presupunem că se dă un triunghi unghiular, cu picioarele a, b și o hipotenuză egală cu c. Prima metodă de probă se bazează pe faptul că un pătrat trebuie tras dintr-un triunghi unghiular.

Pentru a face acest lucru, trebuie să desenați un segment egal cu piciorul b până la piciorul de lungime a și invers. Acest lucru ar trebui să creeze două laturi egale ale pătratului. Rămâne doar să trasezi două linii paralele, iar pătratul este gata.

În interiorul figurii rezultate, trebuie să desenați un alt pătrat cu o latură egală cu ipotenuza triunghiului original. Pentru a face acest lucru, din vârfurile ac și sv, trebuie să desenați două segmente paralele egale cu c. Astfel, obținem trei laturi ale pătratului, dintre care una este hipotenuza triunghiului dreptunghiular original. Rămâne doar să încheiem al patrulea segment.

Pe baza cifrei rezultate, putem concluziona că aria pătratului exterior este (a + b) 2. Dacă te uiți în interiorul figurii, poți vedea că, pe lângă pătratul interior, conține patru triunghiuri unghiulare. Suprafața fiecăruia este de 0,5 av.

Prin urmare, aria este egală cu: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2

Prin urmare (a + b) 2 \u003d 2ab + c 2

Și, prin urmare, c 2 \u003d a 2 + b 2

Teorema este dovedită.

Metoda a doua: triunghiuri similare

Această formulă pentru demonstrarea teoremei lui Pitagora a fost derivată pe baza unei afirmații din secțiunea de geometrie despre triunghiuri similare. Se spune că piciorul unui triunghi unghiular este media proporțională pentru hipotenuză și segmentul hipotenuzei care emană din vârful unghiului de 90 °.

Datele inițiale rămân aceleași, deci să începem imediat cu dovada. Să desenăm un segment al SD perpendicular pe partea AB. Pe baza afirmației de mai sus, picioarele triunghiurilor sunt:

AC \u003d √AB * HELL, SV \u003d √AB * DV.

Pentru a răspunde la întrebarea cu privire la modul de a demonstra teorema lui Pitagora, dovada trebuie completată prin pătrarea ambelor inegalități.

AC 2 \u003d AB * HELL și SV 2 \u003d AB * DV

Acum trebuie să adăugați inegalitățile rezultate.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (HELL * DV), unde HELL + DV \u003d AB

Se pare că:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

Prin urmare:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Dovada teoremei lui Pitagora și diferitele moduri de a o rezolva necesită o abordare versatilă a acestei probleme. Cu toate acestea, această opțiune este una dintre cele mai simple.

O altă tehnică de calcul

Este posibil ca descrierea diferitelor moduri de a demonstra teorema lui Pitagora să nu spună nimic, până când nu începeți să exersați de unul singur. Multe tehnici implică nu numai calcule matematice, ci și construirea de noi figuri din triunghiul original.

În acest caz, este necesar să se completeze un alt triunghi unghiular al VSD din piciorul BC. Astfel, acum există două triunghiuri cu picior comun BC.

Știind că ariile acestor figuri au un raport ca pătrate ale dimensiunilor lor liniare similare, atunci:

S avd * s 2 - S avd * a 2 \u003d S avd * a 2 - S awd * a 2

S abc * (s 2 -v 2) \u003d a 2 * (S abd -S vd)

s 2 -w 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + b 2

Deoarece această opțiune nu este adecvată din diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora pentru clasa a 8-a, puteți utiliza următoarea tehnică.

Cel mai simplu mod de a demonstra teorema lui Pitagora. Mărturii

Istoricii cred că această metodă a fost folosită pentru prima dată pentru a demonstra o teoremă în Grecia antică. Este cel mai simplu, deoarece nu necesită absolut niciun calcul. Dacă desenați corect figura, atunci dovada afirmației că un 2 + în 2 \u003d c 2 va fi clar vizibilă.

Condițiile pentru această metodă vor fi ușor diferite de cea anterioară. Pentru a demonstra teorema, să presupunem că triunghiul unghiular ABC este isoscel.

Luăm hipotenuza ca latura pătratului și îi subordonăm cele trei laturi. În plus, este necesar să trasați două linii diagonale în pătratul rezultat. Astfel încât în \u200b\u200binteriorul său există patru triunghiuri isosceli.

De asemenea, trebuie să trasați un pătrat la picioarele AB și CB și să trasați o linie diagonală în fiecare dintre ele. Prima linie este trasată din vârful A, a doua din C.

Acum trebuie să vă uitați atent la desenul rezultat. Deoarece există patru triunghiuri egale cu cel original pe hipotenuză AC și două pe picioare, acest lucru indică adevărul acestei teoreme.

Apropo, datorită acestei metode de a demonstra teorema lui Pitagora, s-a născut celebra frază: „Pantalonii pitagorici sunt egali în toate direcțiile”.

Dovada lui J. Garfield

James Garfield este al 20-lea președinte al Statelor Unite ale Americii. Pe lângă faptul că și-a lăsat amprenta asupra istoriei ca conducător al Statelor Unite, a fost și un autodidact supradotat.

La începutul carierei sale, a fost profesor obișnuit într-o școală populară, dar a devenit în curând directorul uneia dintre instituțiile de învățământ superior. Dorința de auto-dezvoltare i-a permis să propună o nouă teorie pentru a demonstra teorema lui Pitagora. Teorema și un exemplu de soluție sunt următoarele.

Mai întâi, trebuie să desenați două triunghiuri unghiulare pe o foaie de hârtie, astfel încât piciorul unuia dintre ele să fie o continuare a celei de-a doua. Vârfurile acestor triunghiuri trebuie conectate pentru a forma un trapez în final.

După cum știți, aria unui trapez este egală cu produsul din suma de jumătate a bazelor sale și înălțimea.

S \u003d a + b / 2 * (a + b)

Dacă considerăm trapezul rezultat ca o figură formată din trei triunghiuri, atunci aria sa poate fi găsită după cum urmează:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2/2

Acum trebuie să egalizați cele două expresii originale

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + b) 2/2

c 2 \u003d a 2 + b 2

Mai mult de un volum al unui manual poate fi scris despre teorema lui Pitagora și metodele de demonstrare a acesteia. Dar are sens când aceste cunoștințe nu pot fi aplicate în practică?

Aplicarea practică a teoremei lui Pitagora

Din păcate, programele școlare moderne prevăd utilizarea acestei teoreme numai în probleme geometrice. Absolvenții vor părăsi curând zidurile școlii fără să știe cum își pot aplica cunoștințele și abilitățile în practică.

De fapt, toată lumea poate folosi teorema lui Pitagora în viața de zi cu zi. Și nu numai în activitățile profesionale, ci și în treburile obișnuite ale gospodăriei. Să luăm în considerare mai multe cazuri când teorema lui Pitagora și metodele de demonstrare a acesteia pot fi extrem de necesare.

Legătura dintre teoremă și astronomie

S-ar părea cum stelele și triunghiurile pot fi conectate pe hârtie. De fapt, astronomia este un domeniu științific în care este folosită pe scară largă teorema lui Pitagora.

De exemplu, luați în considerare mișcarea unui fascicul de lumină în spațiu. Se știe că lumina se mișcă în ambele direcții cu aceeași viteză. Traiectoria AB, pe care o mișcă fasciculul de lumină, se numește l. Și jumătate din timpul necesar pentru ca lumina să ajungă din punctul A în punctul B, să apelăm t... Și viteza fasciculului - c. Se pare că: c * t \u003d l

Dacă priviți chiar această rază dintr-un alt plan, de exemplu, dintr-o linie spațială, care se mișcă cu o viteză v, atunci cu o astfel de observare a corpurilor viteza lor se va schimba. În acest caz, chiar și elementele staționare se vor deplasa cu viteza v în direcția opusă.

Să presupunem că linia de benzi desenate navighează spre dreapta. Apoi punctele A și B, între care se aruncă raza, se vor deplasa spre stânga. Mai mult, atunci când fasciculul se deplasează din punctul A în punctul B, punctul A are timp să se miște și, în consecință, lumina va ajunge deja într-un nou punct C. Pentru a găsi jumătate din distanța cu care sa mutat punctul A, trebuie să multiplicați viteza căptușelii cu jumătate din timpul de deplasare al fasciculului (t ").

Și pentru a afla cât de departe ar putea călători fasciculul de lumină în acest timp, trebuie să desemnați jumătate din cale cu o nouă literă s și să obțineți următoarea expresie:

Dacă ne imaginăm că punctele luminii C și B, precum și căptușeala spațială sunt vârfurile unui triunghi isoscel, atunci segmentul de la punctul A la căptușeală îl va împărți în două triunghiuri dreptunghiulare. Prin urmare, datorită teoremei lui Pitagora, puteți găsi distanța pe care o poate parcurge o rază de lumină.

Acest exemplu, desigur, nu este cel mai reușit, deoarece doar câțiva pot avea norocul să-l încerce în practică. Prin urmare, vom lua în considerare aplicații mai banale ale acestei teoreme.

Raza de transmitere a unui semnal mobil

Este deja imposibil să ne imaginăm viața modernă fără existența smartphone-urilor. Dar ar fi de mare folos dacă nu ar putea conecta abonații prin intermediul comunicațiilor mobile?!

Calitatea comunicării mobile depinde direct de înălțimea antenei operatorului mobil. Pentru a calcula cât de departe telefonul poate primi un semnal de la turnul mobil, puteți aplica teorema lui Pitagora.

Să presupunem că trebuie să găsiți înălțimea aproximativă a unui turn staționar, astfel încât să poată propaga un semnal pe o rază de 200 de kilometri.

AB (înălțimea turnului) \u003d x;

Aeronava (raza de transmisie a semnalului) \u003d 200 km;

OS (raza globului) \u003d 6380 km;

OB \u003d OA + ABOV \u003d r + x

Folosind teorema lui Pitagora, aflăm că înălțimea minimă a turnului ar trebui să fie de 2,3 kilometri.

Teorema lui Pitagora în viața de zi cu zi

În mod ciudat, teorema lui Pitagora poate fi utilă chiar și în problemele de zi cu zi, cum ar fi, de exemplu, determinarea înălțimii unui dulap. La prima vedere, nu este nevoie să utilizați astfel de calcule complexe, deoarece puteți pur și simplu să faceți măsurători cu o măsurătoare cu bandă. Dar mulți se întreabă de ce apar anumite probleme în timpul procesului de asamblare, dacă toate măsurătorile au fost luate mai mult decât exact.

Faptul este că dulapul este asamblat într-o poziție orizontală și abia apoi se ridică și este instalat pe perete. Prin urmare, latura dulapului în procesul de ridicare a structurii trebuie să treacă liber atât în \u200b\u200bînălțime, cât și în diagonală a camerei.

Să presupunem că aveți un dulap cu o adâncime de 800 mm. Distanța de la podea la tavan - 2600 mm. Un producător experimentat de mobilă vă va spune că înălțimea dulapului ar trebui să fie cu 126 mm mai mică decât înălțimea camerei. Dar de ce exact 126 mm? Să vedem un exemplu.

Cu dimensiunile ideale ale dulapului, verificăm acțiunea teoremei lui Pitagora:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - totul converge.

Să presupunem că înălțimea dulapului nu este de 2474 mm, ci de 2505 mm. Atunci:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Prin urmare, acest dulap nu este potrivit pentru instalarea în această cameră. Deoarece ridicarea acestuia în poziție verticală îi poate deteriora corpul.

Poate că, având în vedere diferite modalități de a demonstra teorema lui Pitagora de către diferiți oameni de știință, putem concluziona că este mai mult decât adevărat. Acum puteți utiliza informațiile primite în viața de zi cu zi și fiți complet siguri că toate calculele nu numai că vor fi utile, ci și corecte.

Lecția de geometrie nota 8.

"Teorema lui Pitagora"

Profesor: Naumenko N.M.

Scop educațional:cunoașteți biografia lui Pitagora,studiul teoremei lui Pitagora, rolul acesteia în geometrie; utilizarea teoremei în rezolvarea problemelor.
Obiectiv de dezvoltare:
Scop educațional:cultura vorbirii matematice.

Planul lecției:

Organizarea timpului.
Actualizarea cunoștințelor.
Învățarea de materiale noi
Istoric istoric despre Pitagora (prezentare)
Consolidarea primară a cunoștințelor.
Rezumatul lecției.
Teme pentru acasă.
Minute vesel

Echipament: portretul lui Pitagora, tablă, echipament multimedia (PC, proiector, ecran), material de prezentare, fișe (în funcție de numărul de studenți).

În timpul orelor:

(Atasamentul 1 )

I. Momentul organizatoric.

Bună băieți, așezați-vă

Și nu fi leneș să muncești.

Au luat caiete și pixuri,

Număr în caiete 19/19/15. au scris într-o clipă.

Astăzi avem oaspeți în clasă. Și aș vrea să fim buni pentru ei. Și depinde de tine și de mine. Sper că vom face tot posibilul pentru ca oaspeții să ne lase impresii bune.

Să începem lecția examinând materialul învățat.

II. Actualizarea cunoștințelor de bază.

Slide 2 - triunghi dreptunghic.

Slide 3 - egalitatea triunghiurilor pe două picioare

Diapozitivul 4 –Proprietatea zonelor

Diapozitivul 5 - găsirea unghiului

Slide 6 - sarcină.

Diapozitivul 7

Și, pentru ca noi să decidem cu tine,

Ce ar trebui învățat în lecție,

Luați în considerare desenul oral pe tablă,

Găsiți aria fiecărei figuri.

1. Dan ∆ABS - dreptunghiular, hipotenuză AB \u003d 12 cm, picior CB-3 cm.

Găsiți S ∆.

2. Ce figură este prezentată?

Ce este S al trapezului -?

Ce ne este necunoscut? (înălţime)

Cum găsesc înălțimea?

(Se pune problema)

Ni se dă ∆ABS-dreptunghiular, hipotenuză AB \u003d 5m., Leg SV-3m.

Găsiți S ∆.

Cu ce \u200b\u200beste S ∆ - egal?

Ce știm? (role, hipo-tenuse, unghi 900 )

În această sarcină, putem găsi piciorul AC?

Putem sau nu?

Pentru lecția de astăzi, nu știm cum să găsim.

Deci, care este sarcina noastră astăzi? Pentru a afla asta? (Găsiți latura necunoscută a unui triunghi dreptunghiular).

Asa de am formulat scopul lecției noastre: învățați să găsiți latura necunoscută a unui triunghi dreptunghiular.

III. Învățarea de materiale noi.

Elev:

Poveștile vălului se deschid și

Intrăm imediat în lumea antică

Secolul IV î.Hr. merge,

Și în Grecia antică, omul de știință Pitagora nu mănâncă, nici nu doarme, nici nu bea.

Profesor:

Doamne, mintea mea te rog să dăruiești.

Pentru ca adevărul, care îmi este mai drag să-l deschid,

Sunt gata să sacrific 100 de tauri,

Pentru a demonstra această teoremă.

Nu sunt singura? Oamenii au venit aici?

Apoi, prieteni, ajută-mă,

Așa că adevărul este că am găsit cel mai prețios.

Dacă mă înșel, vă rog să îl corectați.

Diapozitivul 8

Toate triunghiurile sunt egale, dreptunghiulare voi distribui,

Îmi voi pune și mie o întrebare -

Este posibil să le aranjați astfel încât să obțineți un pătrat în cele din urmă?

Vă rugăm să luați foi albe, 4 triunghiuri și încercați să faceți un pătrat din ele pe o foaie albă. Faceți un pătrat din 4 triunghiuri.

Există opțiuni?

Gata, avem un pătrat,

Și sunt foarte fericit de asta!

Pe tablă, profesorul întinde un pătrat cu 4 triunghiuri și magneți.

Uită-te acum la tablă cu atenție

Și găsiți aria pătratului rezultat.

Toate modalitățile pe care le găsești sunt bune!

Vă doresc tuturor succes din toată inima!

Așezați și lipiți pătratul rezultat pe o foaie albă. Semnați unde sunt picioarele și unde hipotenuza (picioarele - a, b, hipotenuza - c), vârfurile A, B, C, D.

Lucrăm rapid și precis.

Spune-mi, de ce este această figură un pătrat? (definiție)

Unghiuri 90 0;
Laturile sunt egale (a + b);
Deci, cum găsești S al pătratului AVSD?

Pătrat S \u003d latură pătrată. Care este lungimea laterală a pătratului nostru?

S AVSD \u003d (a + b) 2 - scriem.

Și care este pătratul sumei?Îl chemăm pe student la consiliu.

S AVSD \u003d (a + b) 2 \u003d a 2 + 2av + b 2 (1)

Cum altfel poți găsi Smp ? Noi gândim. Ce formă are această formă?

Din 4 triunghiuri și o figură MNLK (vârfuri de semn), adică

S AVSD \u003d 4 S tr + S MNLK

Cu ce \u200b\u200beste S ∆ - egal? S \u003d ∆ ab

Asa de S AVSD \u003d 4 av + S MNLK \u003d 2av + S MNLK

De ce este MNLK un pătrat?

Părțile sunt egale, dar poate fi și un romb. În ce este diferit un romb de un pătrat? (colțuri)

De ce este unghiul 900 ? Deoarece suma unghiurilor acute ale unui triunghi unghiular este de 900 iar triunghiurile sunt egale în 2 picioare.

Ce este S MNLK? S MNLK \u003d s 2

Primit, S AVSD \u003d 2av + s 2 (2)

Ce putem face cu tine acum? Putem egaliza egalitățile (1) și (2)? 2av + c2 \u003d a 2 + 2av + b 2 Cum simplificăm această egalitate? (student la tablă)

c 2 \u003d a 2 + b 2

DE LA -? și - ? în -? (hipotenuză, picior, picior)

Fără a denumi litere, denumiți ceea ce avem pentru un triunghi unghiular.

Pătratul hipotenuzei este egal cu suma pătratelor picioarelor.

Diapozitivul 9

Dovedit totul! Laudă zeilor!

Ce am promis, va trebui să dau

Și 100 de tauri pentru a vă sacrifica,

Lasă teorema să fie chemată pe numele meu!

Scriem tema lecției: „Teorema lui Pitagora”.

Mulți oameni cred că Pitagora este un mit, că a fost inventat și că este un om - o legendă. Însă pornim de la poziția că o persoană reală este o persoană reală, o persoană grozavă în istoria întregii omeniri.

Diapozitivul 10. Să ascultăm o poveste despre acest matematician, al cărui nume este teorema (student). Orlova Daria ne-a pregătit un mesaj.

PITAGORUL SAMOS (c. 580 - c. 500 î.Hr.)

Se știe puțin despre viața lui Pitagora. S-a născut în 580 î.Hr. e. în Grecia antică pe insula Samos, care este situată în Marea Egee, în largul coastei Asiei Mici, de aceea se numește Pitagora din Samos.

Pitagora s-a născut în familia unui cioplitor de piatră care a găsit mai degrabă faima decât bogăția. Chiar în copilărie, a arătat abilități remarcabile și, când a crescut, imaginația neliniștită a tânărului a devenit înghesuită pe mica insulă.

A plecat în Egipt. O țară necunoscută s-a deschis înaintea lui Pitagora. El a înțeles știința preoților egipteni și se pregătea să plece acasă pentru a-și crea propria școală acolo. Dar preoții nu au dorit ca cunoștințele lor să se răspândească dincolo de teritoriul templelor lor și nu au vrut să le lase să plece. Cu mare greutate, a reușit să depășească acest obstacol.

Cu toate acestea, pe drumul spre casă, Pitagora a fost capturat și a ajuns în Babilon. Babilonienii apreciau oamenii deștepți, așa că și-a găsit locul printre înțelepții babilonieni. Știința babiloniană era mai avansată decât în \u200b\u200bEgipt. Babilonienii au inventat și au aplicat sistemul numeric pozițional pentru numărare, au fost capabili să rezolve ecuații liniare, pătratice și câteva ecuații cubice.

Pitagora a locuit 10 ani în Babilon și s-a întors în patria sa. Dar pe insula Samos, el nu a rămas mult timp și s-a stabilit într-una din coloniile grecești din sudul Italiei. Acolo Pitagora a organizat o uniune tinerească secretă.

Diapozitivul 11. Membrii noi au fost admiși la această unire cu ceremonii extraordinare după lungi încercări. Pitagoricii, așa cum au fost numiți ulterior, erau implicați în matematică, filozofie, științe naturale. Pitagoricii au făcut multe descoperiri importante în aritmetică și geometrie, inclusiv:

Soluții geometrice ale ecuațiilor pătratice;

Împărțirea numerelor în par și impar, simplu și compus;

Teorema privind suma unghiurilor unui triunghi și multe altele. dr.

Pitagora a participat la Jocurile Olimpice și a câștigat de două ori lupte cu pumnii.

Omul de știință a consacrat aproximativ patruzeci de ani școlii pe care a creat-o și, la vârsta de optzeci, conform unei versiuni, Pitagora a fost ucis într-o luptă de stradă în timpul unei revolte populare.

Diapozitivul 12. Dovada teoremei lui Pitagora a fost considerată foarte dificilă în cercurile studenților din Evul Mediu și a fost numită uneori Pons Asinorum„Podul măgarului” sau elefuga - „Zborul săracilor”, întrucât unii studenți „săraci”, care nu aveau o pregătire matematică serioasă, au fugit de geometrie.

Studenții slabi, care au memorat teoremele fără să înțeleagă și, prin urmare, au fost numiți „măgari”, nu au reușit să depășească teorema lui Pitagora, care le-a servit drept pod insurmontabil.

Pitagora a făcut multe descoperiri importante, dar cea mai mare glorie pentru om de știință a fost adusă de teorema pe care a dovedit-o, care acum îi poartă numele.

Diapozitivul 13. (profesor) Deci, teorema lui Pitagora.

Slide 14. (student). Pregătit de Bulgakov

Profesor:

Diapozitivul 15. Se crede că pe vremea lui Pitagora teorema a sunat diferit:

"Aria unui pătrat construit pe ipotenuza unui triunghi unghiular este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe picioarele sale."

Uite, și iată că „pantalonii pitagorici sunt egali în toate direcțiile”.

Astfel de rime au fost inventate de studenții Evului Mediu atunci când studiau teorema; a desenat desene animate. De exemplu, acestea sunt. Diapozitivul 16.

Teorema lui Pitagora este una dintre teoremele principale ale geometriei, deoarece poate fi folosită pentru a demonstra multe alte teoreme și pentru a rezolva multe probleme.

Să rezolvăm mai multe probleme.

Diapozitivul 17. Problema numărul 483. Să luăm fișa și să analizăm împreună soluția la această problemă.

∆ABS - dreptunghiular cu hipotenuză AB.

Prin teorema lui Pitagora AB² \u003d AC² + BC²

C² \u003d a² + b²

² \u003d 6² + 8²

² \u003d 36 + 64

² \u003d 100

C \u003d 10

Răspuns: 10

Diapozitivul 18. Problema numărul 483. (dar de sine)

Slide 19. Problema numărul 484.

Diapozitivul 20. Problema numărul 486.

Diapozitivul 21. Problema numărul 487.

Diapozitivul 22.

Reflecție. (2 min)

Ce nou ai învățat în lecția de astăzi? (Astăzi pentru lecție ne-am familiarizat cu teorema lui Pitagora, cu câteva informații din viața unui om de știință. Am rezolvat câteva probleme simple)
Pentru ce triunghiuri se aplică teorema lui Pitagora?
Ce este teorema lui Pitagora?

Bravo baieti. Ai făcut o treabă grozavă astăzi

Diapozitivul 23. Teme pentru acasă.

Așadar, astăzi, în lecție, ne-am familiarizat cu una dintre teoremele principale ale geometriei, teorema pitagorică și dovada acesteia, cu câteva informații din viața omului de știință al cărui nume îl poartă, am rezolvat câteva probleme simple.

Semnificația teoremei pitagoreice constă în faptul că multe teoreme ale geometriei pot fi derivate din aceasta sau cu ajutorul ei și multe probleme pot fi rezolvate.

În următoarea lecție, ar fi trebuit să înveți dovada teoremei lui Pitagora, deoarece vom învăța să o aplicăm la probleme mai complexe.

A.54, probleme 483 (c), 484 (b, d), 486 (b).

Pregătiți mesajul „Triunghiul egiptean”.

Diapozitivul 22. Minut amuzant (cu o întrebare pentru atent și observator - unde este greșeala?)– anexa 2 .

Eliberare emoțională:

încruntat ca un nor de toamnă, om furios, vrăjitoare rea
zâmbește ca o pisică la soare, Pinocchio, vulpe vicleană, un copil care a văzut o minune
obosiți, ca tatăl după serviciu, un om care a ridicat o sarcină, o furnică care a adus o muscă mare
relaxează-te ca un turist care și-a scos un rucsac greu, un copil care a muncit din greu, un războinic obosit.

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați-vă un cont Google (cont) și conectați-vă la acesta: https://accounts.google.com

Subtitrări de diapozitive:

Teorema lui Pitagora Geometrie Clasa a 8-a Naumenko N.M., profesor al instituției de învățământ de stat din Moscova „Școala secundară Solnechnaya”, districtul Aleisky, teritoriul Altai

Ce este descris? Întrebări Care este suma unghiurilor acute dintr-un triunghi dreptunghiular?  A +  B \u003d 90 ° Care este aria acestui triunghi? Care sunt numele părților UA și BC? C A B a b c

B C A C 1 A 1 B 1 Dovediți că triunghiurile sunt egale.

A B C D E S ABCDE \u003d S ABC + S ADC + S ADE

1 3 2 Aflați  3 dacă  1+  2 \u003d 90 °.

Rezolvați oral C A B Dat: ∆ ABC,  C \u003d 90 °, AB \u003d 18 cm, BC \u003d 9 cm Găsiți:  B,  А 1. 18 9 60 12 10

Examinați desenul oral pe tablă, găsiți aria fiecărei figuri.

Pitagora din Samos despre. Samos

Pitagoricii au făcut multe descoperiri importante în aritmetică și geometrie. Pitagora din Samos

„Podul măgarului” Dovada teoremei lui Pitagora a fost considerată foarte dificilă în cercurile studenților din Evul Mediu și a fost numită uneori Pons Asinorum „podul măgarului” sau elefuga - „zborul săracilor”, din moment ce unii studenți „săraci”, care nu a avut o pregătire matematică serioasă, a fugit de geometrie. Studenții slabi, care au memorat teoremele fără să înțeleagă și, prin urmare, au fost numiți „măgari”, nu au reușit să depășească teorema lui Pitagora, care le-a servit drept pod insurmontabil.

Într-un triunghi unghiular, pătratul hipotenuzei este egal cu suma pătratelor picioarelor. Teorema lui Pitagora cu bac ² \u003d a² + b² Deci, dacă ni se dă un triunghi, Și, în plus, cu un unghi drept, atunci pătratul hipotenuzei întotdeauna găsim cu ușurință: pătrăm picioarele, găsim suma de grade - Și într-un mod atât de simplu Vom ajunge la rezultat. c² \u003d a² + b²

Istoria teoremei lui Pitagora Pitagora din Samos c. 580 - c. 500 î.Hr.

Se crede că pe vremea lui Pitagora teorema suna diferit: „Aria unui pătrat construit pe ipotenuza unui triunghi unghiular este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe picioarele sale”.

Datorită desenelor care însoțesc teorema lui Pitagora, studenții au numit-o și „moară de vânt”, au compus poezii precum „Pantalonii pitagorici sunt egali pe toate părțile”, au desenat desene animate. Caricaturi dintr-un manual al secolului al XVI-lea Desene animate studențești din secolul al XIX-lea

Nr. 483 6 8? С А В Dat: ∆АВС, С \u003d 90 º, а \u003d 6, b \u003d 8 Găsiți: с. Soluție: ∆ABS - dreptunghiular cu hipotenuză AB. Prin teorema lui Pitagora AB ² \u003d AC ² + BC ² c ² \u003d a ² + b² c ² \u003d 6² + 8² c ² \u003d 36 + 64 c ² \u003d 100 c \u003d 10 Răspuns: 10

s ² \u003d a 2 + b 2 8 6 5 10 8 6 c b a a c C A B Nr. 483 √61 c \u003d √ a 2 + b 2

c² \u003d a 2 + b 2 a c c C A B Nr. 484 2 3b 2b 12 13 5 12 cb a 13 ² \u003d 12 2 + b 2 169 \u003d 144 + b 2 b 2 \u003d 169-144 \u003d 25 b \u003d 5 4 b ² \u003d 12 2 + b 2 3b ² \u003d 144 b ² \u003d 48 b \u003d √ 48 √ 48 a 2 + b 2 \u003d c ² a 2 \u003d c ²-b² b 2 \u003d c ²-a² a \u003d √ c ² -b² b \u003d √ c ²-a² Să notăm formulele pentru găsirea picioarelor unui triunghi dreptunghiular:

s² \u003d a 2 + b 2 Nr. 48 6 A C B D 5 13 AD ² \u003d AC²-CD² AD \u003d 12

№ 487 Dat: ∆ABS, AB \u003d BC \u003d 17 cm, AC \u003d 16 cm, BD AC Găsiți: BD. Decizie. 1. AD \u003d DC \u003d AC: 2 \u003d 8 cm 2. Luați în considerare ∆ADB. BD² \u003d AB²-AD² BD \u003d √289-64 BD \u003d 15 (cm) Răspuns: 15 cm A C B D

Efectuați o autoevaluare a propriei activități de învățare în conformitate cu tabelul

Temele P.54, problemele 483 (c), 484 (b, d,), 486 (b). Pregătiți mesajul „Triunghiul egiptean”.

MULTUMESC PENTRU LECȚIE !!!

Previzualizare:

Slide 13 (student). Istoria teoremei lui Pitagora este interesantă.

Deși această teoremă este asociată cu numele lui Pitagora, a fost cunoscută cu mult înainte de el. În textele babiloniene, se găsește cu 1200 de ani înainte de Pitagora. Aparent, el a fost primul care a găsit dovezi. O legendă antică a supraviețuit că, în cinstea descoperirii sale, Pitagora a sacrificat un taur zeilor, conform altor dovezi - chiar și o sută de tauri. Dar acest lucru contrazice informațiile despre viziunile morale și religioase ale lui Pitagora. Ei spun că el „a interzis chiar să omoare animale și cu atât mai mult să le hrănească, deoarece animalele au un suflet, la fel ca noi”. În acest sens, următoarea înregistrare poate fi considerată mai plauzibilă: „... când a descoperit că într-un triunghi unghiular hipotenuza are o corespondență cu picioarele, a sacrificat un taur făcut din aluat de grâu”.

Previzualizare:

Înmânează

c² \u003d a² + b²

№ 483

Decizie:

Ieșire:

№ 484

Decizie:

C² \u003d a² + b²	C² \u003d a² + b²	C² \u003d a² + b²	a² + b² \u003d c²
13² \u003d 12² + b²			a² \u003d c²- b²

b² \u003d			b² \u003d c² -a²

Ieșire:

C² \u003d a² + b² Nr. 486

Dat: ABCD - dreptunghi,
AB \u003d 5 cm, AC \u003d 13 cm

Găsiți: АD.

Decizie:

№ 487

Dat: ∆ABS, AB \u003d BC \u003d 17 cm,
AC \u003d 16 cm, BD⊥ AC

Găsiți: BD.

Decizie:

Previzualizare:

Efectuați o autoevaluare a propriei activități de învățare pe masă.

Activitate	înalt	in medie	scăzut
temă	Am învățat bine	Parțial stăpânit	Învățat prost
Explicați unui prieten	Pot eu însumi	Pot, dar cu sfaturi	îți este greu
Activitate	înalt	in medie	scăzut
temă Obiectiv de dezvoltare:dezvoltarea gândirii logice, a interesului cognitiv, a căutării creative. Scop educațional:promovarea unui interes constant pentru subiect,cultura vorbirii matematice. Lecția corespunde planificării tematice a programului de lucru privind geometria clasei a VIII-a, dezvoltat conform programului autorului lui L. S. Atanasyan. Lecția este strâns legată de materialul studiat anterior, se desfășoară imediat după studierea subiectului „Zonele unui paralelogram, triunghi și trapez” și este prima pe această temă, în fiecare clasă următoare, elevii vor aplica cunoștințele dobândite în clasa a 8-a . Teorema lui Pitagora este una dintre teoremele importante ale geometriei. Teorema lui Pitagora vă permite să extindeți semnificativ gama de probleme rezolvate în cursul de geometrie. Prezentarea ulterioară a cursului teoretic se bazează în mare măsură pe acesta. Tipul lecției - studiu și consolidarea primară a noilor cunoștințe. Scopul profesorului: Organizați activitățile elevilor împreună cu profesorul pentru derivarea, demonstrarea și consolidarea primară a teoremei lui Pitagora Structura lecției vizează crearea unui mediu favorabil pentru studierea acestui subiect. Faza de actualizare cunoașterea este organizată sub forma unei prezentări, care permite elevilor să repete în mod viu și figurativ materialul studiat, care îi pregătește pentru studiul unui subiect nou, le permite să se implice rapid în muncă. În pasul următor creați o problematică situație pentru a determina scopul lecției. La scenă învățarea de materiale noi, organizează activitățile elevilor pentru a demonstra teorema lui Pitagora (întocmirea unui model și discutarea probei). În etapa primară folosind teorema lui Pitagora, cele mai simple probleme au fost rezolvate, revenite la soluția problemei, care a provocat dificultăți la începutul lecției. Scopul lecției stabilite de mine a fost pe deplin atins, elevii au fost motivați și implicați în activități educative și cognitive în lecție. Interacțiunea în lecție a fost productivă, elevii au arătat independență, interes și abilitate de a rezolva probleme geometrice. Toate sarcinile sunt demontate și finalizate integral. Tehnicile și metodele de predare au fost aplicate într-o succesiune logică, încadrându-se în mod clar în structura lecției. În această lecție, nu mi-am stabilit scopul de a rezolva probleme mai complexe, deoarece aceasta este prima lecție din trei din program și din întreaga varietate de lecții în care se folosește teorema lui Pitagora. Etapa reflexivă a lecției a fost realizată sub forma unor întrebări frontale:Explicați unui prieten	Pot eu însumi	Pot, dar cu sfaturi	îți este greu

Shapovalova L.A. (st. Egorlykskaya, MBOU ESOSH numărul 11)

1. Glazer G.I. Istoria matematicii în clasele VII - VIII, ghid pentru profesori, - M: Iluminism, 1982.

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. „În spatele paginilor unui manual de matematică” Un ghid pentru elevii din clasele 5-6. - M.: Educație, 1989.

3. Zenkevich I.G. „Estetica unei lecții de matematică”. - M.: Educație, 1981.

4. Teorema lui Litzman V. Pitagora. - M., 1960.

5. Voloshinov A.V. „Pitagora”. - M., 1993.

6. Pichurin L.F. „În spatele paginilor unui manual de algebră”. - M., 1990.

7. Zemlyakov A.N. „Geometrie în gradul 10”. - M., 1986.

8. Ziarul „Matematică” 17/1996.

9. Ziarul „Matematică” 3/1997.

10. Antonov NP, Vygodsky M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. „Colecția de probleme din matematica elementară”. - M., 1963.

11. Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. „Un ghid pentru matematică”. - M., 1973.

12. Șchetnikov A.I. „Doctrina pitagorică a numărului și mărimii”. - Novosibirsk, 1997.

13. „Numere reale. Expresii iraționale „Gradul 8. Tomsk University Press. - Tomsk, 1997.

14. Atanasyan M.S. „Geometrie” nota 7-9. - M.: Educație, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

În acest an universitar, am făcut cunoștință cu o teoremă interesantă, cunoscută, așa cum sa dovedit din cele mai vechi timpuri:

„Pătratul construit pe ipotenuza unui triunghi unghiular este egal cu suma pătratelor construite pe picioare.”

De obicei, descoperirea acestei afirmații este atribuită filosofului și matematicianului grec antic Pitagora (sec. VI î.Hr.). Dar studiul manuscriselor antice a arătat că această afirmație era cunoscută cu mult înainte de nașterea lui Pitagora.

M-am întrebat de ce, în acest caz, este asociat cu numele lui Pitagora.

Relevanța subiectului: Teorema lui Pitagora are o mare importanță: este utilizată în geometrie literalmente la fiecare pas. Cred că operele lui Pitagora sunt încă relevante, deoarece oriunde ne uităm, peste tot puteți vedea roadele marilor sale idei, întruchipate în diferite ramuri ale vieții moderne.

Scopul cercetării mele a fost: să aflu cine era Pitagora și ce relație are el cu această teoremă.

Studiind istoria teoremei, am decis să aflu:

Există alte dovezi ale acestei teoreme?

Care este semnificația acestei teoreme în viața oamenilor?

Ce rol a jucat Pitagora în dezvoltarea matematicii?

Din biografia lui Pitagora

Pitagora din Samos este un mare om de știință grec. Faima sa este asociată cu numele teoremei pitagoreice. Deși acum știm deja că această teoremă era cunoscută în Babilonul antic cu 1200 de ani înainte de Pitagora, iar în Egipt cu 2000 de ani înainte de a fi cunoscut un triunghi unghiular cu laturile 3, 4, 5, îl numim în continuare cu numele acestui antic om de stiinta.

Aproape nimic nu se știe în mod fiabil despre viața lui Pitagora, dar un număr mare de legende sunt asociate cu numele său.

Pitagora s-a născut în 570 î.Hr., pe insula Samos.

Pitagora avea un aspect frumos, purta o barbă lungă și o diademă de aur pe cap. Pitagora nu este un nume, ci o poreclă pe care filosoful a primit-o pentru că a vorbit întotdeauna corect și convingător, ca un oracol grecesc. (Pitagora - „convingător prin vorbire”).

În 550 î.Hr., Pitagora a luat o decizie și a plecat în Egipt. Deci, înainte de Pitagora, se deschide o țară necunoscută și o cultură necunoscută. Mult uimit și surprins pe Pitagora din această țară și, după o anumită observație a vieții egiptenilor, Pitagora și-a dat seama că calea către cunoaștere protejată de casta preoților se află prin religie.

După unsprezece ani de studii în Egipt, Pitagora pleacă acasă, unde pe drum cade în captivitatea babiloniană. Acolo a făcut cunoștință cu știința babiloniană, care era mai dezvoltată decât egipteană. Babilonienii au fost capabili să rezolve ecuații liniare, pătratice și unele tipuri de ecuații cubice. După ce a scăpat din captivitate, nu a putut sta mult timp în patria sa din cauza atmosferei de violență și tiranie care domnea acolo. A decis să se mute la Croton (colonie greacă din nordul Italiei).

În Croton începe cea mai glorioasă perioadă din viața lui Pitagora. Acolo a stabilit ceva de genul unei frății religioase și etice sau a unui ordin monahal secret, ai cărui membri s-au angajat să conducă așa-numitul mod de viață pitagoric.

Pitagora și pitagoricele

Pitagora a organizat în colonia greacă din sudul Peninsulei Apeninice o frăție religioasă și etică, precum un ordin monahal, care mai târziu va fi numit Uniunea Pitagorică. Membrii sindicatului trebuiau să adere la anumite principii: în primul rând, să se străduiască pentru frumos și glorios, în al doilea rând, să fie util și, în al treilea rând, să se străduiască pentru o plăcere înaltă.

Sistemul de reguli morale și etice, lăsat moștenit de Pitagora elevilor săi, a fost colectat într-un fel de cod moral al „Poeziilor de aur” pitagoreice, care erau foarte populare în Antichitate, Evul Mediu și Renaștere.

Sistemul de ocupație pitagoric a constat din trei secțiuni:

Predarea numerelor - aritmetică,

Învățături despre figuri - geometrie,

Predarea despre structura Universului - astronomie.

Sistemul educațional stabilit de Pitagora a durat multe secole.

Școala pitagorică a făcut multe pentru a da geometriei caracterul unei științe. Principala caracteristică a metodei pitagoreice a fost combinarea geometriei cu aritmetica.

Pitagora s-a ocupat mult de proporții și progresii și, probabil, de asemănarea cifrelor, întrucât i se atribuie rezolvarea problemei: „Folosind aceste două figuri, construiește o a treia, egală ca mărime cu una dintre date și similară cu a doua. "

Pitagora și studenții săi au introdus conceptul de numere poligonale, prietenoase, perfecte și au studiat proprietățile lor. Pitagora nu a fost interesat de aritmetică ca practică a calculelor și a declarat cu mândrie că „a pus aritmetica mai presus de interesele comerciantului”.

Locuitorii multor orașe din Grecia erau membri ai uniunii pitagoreice.

Pitagoricii au acceptat și femeile în societatea lor. Unirea a înflorit mai mult de douăzeci de ani și apoi au început persecuțiile împotriva membrilor săi, mulți dintre ucenici au fost uciși.

Au existat multe legende diferite despre moartea lui Pitagora însuși. Dar învățăturile lui Pitagora și ale discipolilor săi au continuat să trăiască.

Din istoria creației teoremei pitagoreice

Acum se știe că această teoremă nu a fost descoperită de Pitagora. Cu toate acestea, unii cred că Pitagora a fost primul care a dat dovada deplină, în timp ce alții îi neagă acest merit. Unii atribuie lui Pitagora dovada pe care o dă Euclid în prima carte a Principiilor sale. Pe de altă parte, Proclus afirmă că dovada din Elemente aparține lui Euclid însuși. După cum putem vedea, istoria matematicii nu are aproape date concrete despre viața lui Pitagora și activitățile sale matematice.

Să începem studiul nostru istoric al teoremei lui Pitagora cu China antică. Aici cartea matematică Chu-pei atrage o atenție deosebită. Acest eseu spune așa despre triunghiul pitagoric cu laturile 3, 4 și 5:

„Dacă un unghi drept este descompus în părțile sale componente, atunci linia care leagă capetele laturilor sale va fi 5 când baza este 3 și înălțimea este 4.”

Este foarte ușor să le reproduceți modul de construire. Luați o frânghie lungă de 12 m și legați-o de ea de-a lungul unei benzi colorate la o distanță de 3 m. de la un capăt și la 4 metri de celălalt. Unghiul drept va fi închis între părți cu o lungime de 3 și 4 metri.

Geometria hindusă a fost strâns asociată cu cultul. Este foarte probabil ca teorema pătratului hipotenuzei să fie cunoscută în India deja în jurul secolului al VIII-lea î.Hr. Alături de prescripțiile pur rituale, există și lucrări de natură teologică geometrică. În aceste scrieri, datând din secolele al IV-lea sau al V-lea î.Hr., întâlnim construcția unui unghi drept folosind un triunghi cu laturile 15, 36, 39.

În Evul Mediu, teorema lui Pitagora a determinat granița, dacă nu cea mai mare posibilă, atunci cel puțin bune cunoștințe matematice. Un desen caracteristic teoremei lui Pitagora, care acum se transformă uneori în școlari, de exemplu, într-o pălărie de top îmbrăcată în mantia unui profesor sau a unui bărbat, a fost adesea folosită în acele zile ca simbol al matematicii.

În concluzie, prezentăm diverse formulări ale teoremei pitagoreice traduse din greacă, latină și germană.

Teorema lui Euclid se citește (traducere literală):

„Într-un triunghi unghiular, pătratul laturii întinse peste unghiul drept este egal cu pătratele de pe laturile care încadrează unghiul drept.”

După cum puteți vedea, în diferite țări și limbi diferite există versiuni diferite ale formulării teoremei familiare. Create în momente diferite și în limbi diferite, ele reflectă esența unui model matematic, a cărui dovadă are, de asemenea, mai multe opțiuni.

Cinci moduri de a demonstra teorema lui Pitagora

Dovada chineză antică

Într-un desen antic chinezesc, patru triunghiuri egale cu unghi drept cu picioarele a, b și o hipotenuză c sunt stivuite astfel încât conturul lor exterior să formeze un pătrat cu latura a + b, iar cel interior - un pătrat cu latura c, construit pe ipotenuza

a2 + 2ab + b2 \u003d c2 + 2ab

Dovadă de J. Gardfield (1882)

Plasați două triunghiuri unghiulare egale astfel încât piciorul unuia dintre ele să fie o continuare a celuilalt.

Aria trapezului luat în considerare se găsește ca produs al semisumului bazelor și al înălțimii

Pe de altă parte, aria trapezului este egală cu suma ariilor triunghiurilor rezultate:

Echivalând aceste expresii, obținem:

Cea mai simplă dovadă

Această dovadă este obținută în cel mai simplu caz al unui triunghi dreptunghic isoscel.

Probabil, teorema a început cu el.

Într-adevăr, este suficient să ne uităm pur și simplu la mozaicul triunghiurilor unghiular isoscel pentru a verifica validitatea teoremei.

De exemplu, pentru triunghiul ABC: pătratul construit pe hipotenuza AC conține 4 triunghiuri originale, iar pătratele construite pe picioare - câte două. Teorema este dovedită.

Dovada vechilor hinduși

Un pătrat cu o latură (a + b) poate fi împărțit în părți fie ca în Fig. 12.a, sau ca în fig. 12, b. Este clar că părțile 1, 2, 3, 4 sunt aceleași în ambele figuri. Și dacă scădem egale din egale (arii), atunci ele vor rămâne egale, adică c2 \u003d a2 + b2.

Dovada lui Euclid

Timp de două milenii, cea mai comună a fost dovada lui Euclid a teoremei lui Pitagora. Este inclus în celebra sa carte „Începuturi”.

Euclid a coborât înălțimea BH de la vârful unghiului drept la hipotenuză și a susținut că continuarea sa împarte pătratul completat pe hipotenuză în două dreptunghiuri, ale căror arii sunt egale cu suprafețele pătratelor corespunzătoare construite pe picioare.

Desenul folosit pentru a demonstra această teoremă este numit în glumă „pantaloni pitagorici”. Multă vreme, a fost considerat unul dintre simbolurile științei matematice.

Aplicarea teoremei lui Pitagora

Semnificația teoremei pitagorice constă în faptul că din aceasta sau cu ajutorul ei este posibil să se derive majoritatea teoremelor geometriei și să se rezolve multe probleme. În plus, semnificația practică a teoremei pitagoreice și a teoremei inversă este că, cu ajutorul lor, este posibil să se găsească lungimile segmentelor fără a măsura segmentele în sine. Aceasta, așa cum ar fi, deschide calea de la o linie dreaptă la un plan, de la un plan la un spațiu volumetric și dincolo. Din acest motiv, teorema lui Pitagora este atât de importantă pentru umanitate, care încearcă să descopere din ce în ce mai multe dimensiuni și să creeze tehnologii în aceste dimensiuni.

Concluzie

Teorema lui Pitagora este atât de celebră încât este dificil să-ți imaginezi o persoană care nu a auzit de ea. Am aflat că există mai multe modalități de a demonstra teorema lui Pitagora. Am studiat o serie de surse istorice și matematice, inclusiv informații pe internet, și mi-am dat seama că teorema lui Pitagora este interesantă nu numai pentru istoria sa, ci și pentru că ocupă un loc important în viață și știință. Acest lucru este dovedit de diferitele interpretări ale textului acestei teoreme și de modalitățile de demonstrare a acesteia date de mine în această lucrare.

Deci, teorema lui Pitagora este una dintre principalele și, s-ar putea spune, cea mai importantă teoremă a geometriei. Semnificația sa constă în faptul că majoritatea teoremelor geometriei pot fi derivate din aceasta sau cu ajutorul ei. Teorema lui Pitagora este de asemenea remarcabilă prin faptul că în sine nu este deloc evidentă. De exemplu, proprietățile unui triunghi isoscel pot fi văzute direct în desen. Dar, indiferent de modul în care priviți un triunghi unghiular, nu veți vedea niciodată că există o relație simplă între laturile sale: c2 \u003d a2 + b2. Prin urmare, vizualizarea este adesea folosită pentru a o demonstra. Meritul lui Pitagora a fost că a dat o dovadă științifică completă a acestei teoreme. Personalitatea omului de știință însuși este interesantă, amintirea căreia această teoremă nu este păstrată accidental. Pitagora este un minunat orator, profesor și educator, organizatorul școlii sale, axat pe armonia muzicii și numerelor, bunătatea și dreptatea, cunoștințele și un stil de viață sănătos. El poate servi drept exemplu pentru noi, descendenți îndepărtați.

Referință bibliografică

Tumanova S.V. MAI MULTE MODURI DE A Dovedi TEOREMA PITAGORULUI // Începeți în știință. - 2016. - Nr. 2. - P. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id\u003d44 (data accesării: 10/01/2020).

Clasă: 8

Obiectivele lecției:

Educational: pentru a realiza asimilarea teoremei lui Pitagora, pentru a insufla abilitățile de calculare a laturii necunoscute a unui triunghi unghiular folosind două cunoscute, pentru a învăța cum să aplice teorema lui Pitagora la rezolvarea celor mai simple probleme
În curs de dezvoltare: promovează dezvoltarea capacității de comparare, observare, atenție, dezvoltarea capacității de gândire analitică și sintetică, lărgirea orizonturilor
Educational: formarea unei nevoi de cunoaștere, interes pentru matematică

Tipul lecției: lecție în prezentarea materialului nou

Echipament: computer, proiector multimedia, prezentare pentru lecție ( Atasamentul 1)

Planul lecției:

Organizarea timpului
Exerciții orale
Munca de cercetare, ipoteza și testarea acesteia în cazuri speciale
Explicația noului material
a) Despre Pitagora
b) Enunț și dovadă a teoremei
Consolidarea celor enunțate prin rezolvarea problemelor
Temă acasă, rezumând lecția.

În timpul orelor

Slide 2: Exercițiu

Extindeți parantezele: (3 + x) 2
Calculați 3 2 + x 2 cu x \u003d 1, 2, 3, 4
- Există un număr natural al cărui pătrat este 10, 13, 18, 25?
Găsiți suprafața unui pătrat cu latura de 11 cm, 50 cm, 7 dm.
- Ce formulă este aria unui pătrat?
- Cum găsești aria unui triunghi dreptunghiular?

Slide 3: Întrebare răspuns

- Un unghi a cărui măsură de grad este de 90 °. (Drept)

- Partea opusă unghiului drept al triunghiului. (Ipotenuză)

- Triunghi, pătrat, trapez, cerc - acestea sunt geometrice ... (Forme)

- Partea mai mică a unui triunghi unghiular. (Catetă)

- O figură formată din două raze emanate dintr-un punct. (Unghi)

- Segment perpendicular trasat de la vârful triunghiului la linia care conține partea opusă. (Înălţime)

- Un triunghi cu două laturi egale ... (Isoscel)

Diapozitivul 4: O sarcină

Construiți un triunghi unghiular cu laturile de 3 cm, 4 cm și 6 cm.

Sarcina este împărțită pe rânduri.

	1 rând	2 rânduri	3 rânduri
Catetă a	3	3
Catetă b	4		4
Ipotenuză din		6	6

Întrebări:

- A avut cineva un triunghi cu laturile date?

- Ce concluzie se poate trage? (Un triunghi unghiular nu poate fi setat în mod arbitrar. Există o relație între laturile sale).

- Măsurați laturile rezultate. ( Rezultatul mediu aproximativ din fiecare rând este introdus în tabel)

	1 rând	2 rânduri	3 rânduri
Catetă a	3	3	~4,5
Catetă b	4	~5,2	4
Ipotenuză din	~5	6	6

- Încercați să stabiliți o legătură între picioare și hipotenuză în fiecare caz.

(Se propune reamintirea exercițiilor orale și verificarea aceleiași relații între restul numerelor).

- Se atrage atenția asupra faptului că rezultatul exact nu va funcționa, deoarece măsurătorile nu pot fi considerate exacte.

- Profesorul cere să facă presupuneri (ipoteză): elevii formulează.

- Da, într-adevăr, există o relație între ipotenuză și picioare, iar omul de știință, al cărui nume îl numești tu, a fost primul care a dovedit-o. Această teoremă îi poartă numele.

Diapozitivul 5: Descifra

Diapozitivul 6: Pitagora din Samos

- Cine va numi subiectul lecției de astăzi?

Elevii notează subiectul lecției în caiete: „Teorema lui Pitagora”

- Teorema lui Pitagora este una dintre teoremele principale ale geometriei. Cu ajutorul acesteia, multe alte teoreme sunt dovedite și problemele din diferite domenii sunt rezolvate: fizică, astronomie, construcții etc. Se știa cu mult înainte ca Pythagoras să o demonstreze. Vechii egipteni l-au folosit pentru a construi un triunghi unghiular cu laturi de 3, 4 și 5 unități folosind o frânghie pentru a construi unghiuri drepte atunci când așeză clădiri și piramide. Prin urmare, un astfel de triunghi se numește triunghi egiptean.

Există peste trei sute de moduri de a demonstra această teoremă. Ne vom uita la unul dintre ei astăzi.

Diapozitivul 7: teorema lui Pitagora

Teorema: Într-un triunghi unghiular, pătratul hipotenuzei este egal cu suma pătratelor picioarelor.

Dat:

Triunghi dreptunghic,

a, b - picioare, din - hipotenuză

Dovedi:

Dovezi.

1. Să continuăm picioarele triunghiului dreptunghic: picior și - pentru lungime b, picior b - pentru lungime și.

- În ce formă se poate completa triunghiul? De ce pătrat? Care va fi latura pătratului?

2. Să terminăm triunghiul într-un pătrat cu lateral a + b.

- Cum poți găsi suprafața acestui pătrat?

3. Suprafața pătratului este

- Împărțiți pătratul în părți: 4 triunghiuri și un pătrat cu latura c.

- Cum altfel poți găsi suprafața pătratului original?

- De ce sunt egale triunghiurile dreptunghiulare rezultate?

4. Pe de altă parte,

5. Să echivalăm egalitățile rezultate:

Teorema este dovedită.

Există o formulare plină de umor a acestei teoreme: „Pantalonii pitagorici sunt egali în toate direcțiile”. Probabil, această formulare este legată de faptul că această teoremă a fost inițial stabilită pentru un triunghi dreptunghic isoscel. Mai mult, a sunat puțin diferit: „aria unui pătrat construit pe ipotenuza unui triunghi unghiular este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe picioarele sale”.

Diapozitivul 8: O altă formulare a teoremei lui Pitagora

Și vă voi oferi o altă formulare a acestei teoreme în versuri:

Dacă ni se dă un triunghi
Și, în plus, cu un unghi drept,
Apoi pătratul hipotenuzei
Vom găsi întotdeauna cu ușurință:
Pătrăm picioarele,
Găsim suma gradelor
Și într-un mod atât de simplu
Vom ajunge la rezultat.

- Așadar, astăzi v-ați familiarizat cu cea mai faimoasă teoremă a planimetriei - teorema lui Pitagora. Cum este formulată teorema lui Pitagora? Cum altfel poate fi formulat?

Fixarea materialului primar

Diapozitivul 9: Rezolvarea problemelor pe baza unor desene gata făcute.

Diapozitivul 10: Rezolvarea problemelor într-un caiet

Trei studenți sunt chemați simultan la bord pentru a rezolva probleme.

Diapozitivul 11: Problema matematicianului indian Bhaskara din secolul al XII-lea

Rezumând lecția:

- Ce nou ai învățat astăzi în lecție?

- Formulează teorema lui Pitagora.

- Ce ai învățat să faci în lecție?

Teme pentru acasă:

- Aflați teorema Pitagoreei cu dovezi

- Probleme din manualul nr. 483 în, d; Nr. 484 in, g.

- Pentru studenții mai pregătiți: găsiți alte dovezi ale teoremei lui Pitagora, învățați una dintre ele.

Munca clasei în ansamblu este evaluată, evidențiind elevii individuali.