Y sinx 3 grafic. Grafic care se întinde y \u003d sinx de-a lungul axei y. Sarcini sinusale pentru soluție independentă

30.10.2019

Lecția și prezentarea pe această temă: "Funcția y \u003d sin (x). Definiții și proprietăți"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentarii, feedback, sugestii! Toate materialele sunt verificate prin software antivirus.

Manuale și simulatoare din magazinul online Integral pentru clasa a 10-a de la 1C
Rezolvăm probleme în geometrie. Sarcini interactive de construire pentru clasele 7-10
Mediul software "1C: Matematical Designer 6.1"

Ce vom studia:

Proprietățile funcției Y \u003d sin (X).
Grafic funcțional.
Cum se construiește un grafic și scara acestuia.
Exemple.

Proprietățile sinusului. Y \u003d păcat (X)

Băieți, am făcut deja cunoștință cu funcțiile trigonometrice ale unui argument numeric. Îți amintești de ele?

Să aruncăm o privire mai atentă asupra funcției Y \u003d sin (X)

Scriem câteva proprietăți ale acestei funcții:
1) Domeniul de aplicare este un set de numere reale.
2) Funcția este ciudată. Să reamintim definiția unei funcții impare. O funcție se numește ciudat dacă egalitatea ține: y (-x) \u003d - y (x). După cum amintim din formulele fantomă: păcat (-x) \u003d - păcat (x). Determinarea este completă, deci Y \u003d sin (X) este o funcție ciudată.
3) Funcția Y \u003d sin (X) crește pe segment și scade pe segment [π / 2; π]. Când ne mișcăm în primul trimestru (în sens invers acelor de ceasornic), ordonata crește, iar atunci când ne deplasăm în al doilea trimestru, aceasta scade.

4) Funcția Y \u003d sin (X) este delimitată mai jos și mai sus. Această proprietate rezultă din faptul că
-1 ≤ sin (X) ≤ 1
5) Cea mai mică valoare a funcției este -1 (pentru x \u003d - π / 2 + πk). Cea mai mare valoare a funcției este 1 (pentru x \u003d π / 2 + πk).

Folosind proprietățile 1-5, să graficăm funcția Y \u003d sin (X). Ne vom construi programul secvențial, aplicând proprietățile noastre. Începem să construim un grafic pe un segment.

O atenție deosebită trebuie acordată scării. Pe axa ordonată, este mai convenabil să se ia un singur segment egal cu 2 celule, iar pe axa abscisă un singur segment (două celule) să fie egal cu π / 3 (vezi figura).

Trasarea funcției sinusoase x, y \u003d sin (x)

Calculăm valorile funcției pe segmentul nostru:

Ne complotăm pe punctele noastre, ținând cont de a treia proprietate.

Tabel de transformare pentru formule fantomă

Folosim a doua proprietate, care spune că funcția noastră este ciudată, ceea ce înseamnă că poate fi reflectată simetric în raport cu originea:

Știm că păcatul (x + 2π) \u003d păcatul (x). Aceasta înseamnă că pe intervalul [- π; π] graficul arată la fel ca pe segmentul [π; 3π] sau sau [-3π; - π] și așa mai departe. Rămâne pentru noi să redimensionăm cu atenție graficul din figura anterioară pe întreaga axă a abscisei.

Graficul funcțional Y \u003d sin (X) se numește undă sinusoidală.

Să scriem încă câteva proprietăți conform graficului:
6) Funcția Y \u003d sin (X) crește pe orice segment al formei: [- π / 2 + 2πk; π / 2 + 2πk], k este un număr întreg și scade pe orice segment al formei: [π / 2 + 2πk; 3π / 2 + 2πk], k este un număr întreg.
7) Funcția Y \u003d sin (X) este o funcție continuă. Să ne uităm la graficul funcției și să ne asigurăm că funcția noastră nu are lacune, asta înseamnă continuitate.
8) Intervalul valorilor: segment [- 1; 1]. Acest lucru este, de asemenea, vizibil în graficul de funcții.
9) Funcția Y \u003d sin (X) este o funcție periodică. Să ne uităm din nou la grafic și să vedem că funcția ia aceleași valori, la anumite intervale.

Exemple de sarcini cu sinus

1. Rezolvați ecuația sin (x) \u003d x-π

Soluție: Construim 2 grafice funcționale: y \u003d sin (x) și y \u003d x-π (a se vedea figura).
Graficele noastre se intersectează la un punct A (π; 0), acesta este răspunsul: x \u003d π

2. Construiți un grafic al funcției y \u003d sin (π / 6 + x) -1

Soluție: Graficul dorit este obținut prin mutarea graficului funcției y \u003d sin (x) cu π / 6 unități în stânga și cu 1 unitate în jos.

Soluție: Tracționăm funcția și luăm în considerare segmentul nostru [π / 2; 5π / 4].
Graficul funcțional arată că valorile cele mai mari și cele mai mici sunt atinse la capetele segmentului, în punctele π / 2 și, respectiv, 5π / 4.
Răspuns: sin (π / 2) \u003d 1 este cea mai mare valoare, sin (5π / 4) \u003d cea mai mică valoare.

Sarcini sinusale pentru soluție independentă

Rezolvați ecuația: sin (x) \u003d x + 3π, sin (x) \u003d x-5π
Construiți un grafic al funcției y \u003d sin (π / 3 + x) -2
Construiți un grafic al funcției y \u003d sin (-2π / 3 + x) +1
Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției y \u003d sin (x) pe segment
Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției y \u003d sin (x) pe intervalul [- π / 3; 5π / 6]

"Yoshkar-Ola College of Service Technologies"

Construcția și studiul graficului funcției trigonometrice y \u003d sinx într-un procesor de masăMS excela

/ dezvoltare metodologică /

Yoshkar - Ola

temă. Construcția și studiul unui grafic al unei funcții trigonometricey = sinx în foaia de calcul MS Excel

Tip de lecție - integrat (obținerea de noi cunoștințe)

obiective:

Scopul didactic - investigați comportamentul graficelor funcțiilor trigonometricey= sinx în funcție de cota folosind un computer

Educațional:

1. Aflați modificarea graficului funcțiilor trigonometrice y= păcat x în funcție de coeficienți

2. Arătați introducerea tehnologiei computerizate în predarea matematicii, integrarea a două discipline: algebră și informatică.

3. Să formeze abilități în utilizarea tehnologiei computerizate în lecțiile de matematică

4. Pentru a consolida abilitățile funcțiilor de cercetare și a graficului grafic.

Dezvoltarea:

1. Dezvoltarea interesului cognitiv al elevilor pentru disciplinele academice și capacitatea de a-și aplica cunoștințele în situații practice

2. Dezvolta abilitatea de a analiza, compara, evidenția principalul lucru

3. Promovați o creștere a nivelului general de dezvoltare a studenților

cultivarea :

1. Educarea independenței, exactității, hărniciei

2. Cultivați o cultură a dialogului

Forme de lucru în lecție -combinate

Echipamente și dotări didactice:

1. Calculatoare

2. Proiector multimedia

4. Fișă

5. Diapozitive de prezentare

PROCEDURĂ

eu. Organizarea începutului lecției

· Salutare studenți și invitați

· Starea de spirit pentru lecție

II. Setarea obiectivelor și actualizarea subiectelor

Este nevoie de mult timp pentru a studia o funcție și a construi graficul ei, este nevoie de calcule greoaie, nu este convenabil, tehnologia computerului vine la salvare.

Astăzi vom învăța cum să construim grafice ale funcțiilor trigonometrice în mediul unui procesor de masă MS Excel 2007.

Tema lecției noastre este „Construirea și studiul unui grafic al funcțiilor trigonometrice y= sinx într-un procesor de masă »

Din cursul algebrei, cunoaștem schema pentru studierea unei funcții și construcția graficului acesteia. Să ne amintim cum să o facem.

Slide 2

Schema de studiu a funcției

1. Domeniul funcției (D (f))

2. Domeniul funcției E (f)

3. Definiția parității

4. Frecvența

5. Zeroți ai funcției (y \u003d 0)

6. Intervalele intermitente (y\u003e 0, y<0)

7. Intervalele de monotonie

8. Funcții extreme

III. Asimilarea primară a materialelor educaționale noi

Deschideți MS Excel 2007.

Tracționăm funcția y \u003d sin x

Grafic într-un procesor de tabelMS excela 2007

Graficul acestei funcții va fi construit pe segment x Є [-2π; 2π]

Valorile argumentului vor fi luate în pași , pentru a face programul mai precis.

Întrucât editorul funcționează cu numere, traducem radianii în numere, știind asta P ≈ 3.14 . (tabel de traducere în fișă).

1. Găsiți valoarea funcției la punctul respectiv x \u003d -2P. În rest, valoarea argumentului este calculată automat de editor.

2. Acum avem un tabel cu valorile argumentului și funcției. Folosind aceste date, trebuie să graficăm această funcție folosind expertul grafic.

3. Pentru a complota, trebuie să selectați intervalul de date dorit, rânduri cu valorile argumentului și funcției

4..jpg "width \u003d" 667 "înălțime \u003d" 236 src \u003d "\u003e

Rezultatele sunt scrise într-un caiet (diapozitivul 5)

Concluzie. Graficul unei funcții a formei y \u003d sinx + k este obținut din graficul funcției y \u003d sinx folosind transfer paralel de-a lungul axei sistemului de operare de către unități k

Dacă k\u003e 0, atunci graficul se deplasează în sus cu k unități

Dacă k<0, то график смещается вниз на k единиц

Construcția și studiul funcției formularuluiy \u003dk* simplu,k- const

Sarcina 2.La locul de muncă Liste2 Graficele funcțiilor graficului într-un singur sistem de coordonate y= sinx y=2* sinx, y= * sinx, pe interval (-2π; 2π) și urmăriți cum se modifică graficul.

(Pentru a nu seta din nou valoarea argumentului, copiem valorile disponibile. Acum trebuie să setați formula și să construiți un grafic din tabelul rezultat.)

Comparați graficele rezultate. Împreună cu elevii, analizăm comportamentul graficului unei funcții trigonometrice în funcție de coeficienți. (Diapozitiv 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif "width \u003d" 16 "înălțime \u003d" 41 src \u003d "\u003e x , pe interval (-2π; 2π) și urmăriți cum se modifică graficul.

Comparați graficele rezultate. Împreună cu elevii, analizăm comportamentul graficului unei funcții trigonometrice în funcție de coeficienți. (Diapozitiv 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg "width \u003d" 649 "înălțime \u003d" 281 src \u003d "\u003e

Concluziile sunt scrise într-un caiet (diapozitivul 11)

Concluzie. Graficul unei funcții a formei y \u003d sin (x + k) este obținut din graficul funcției y \u003d sinx folosind transfer paralel de-a lungul axei OX de către unități k

Dacă k\u003e 1, atunci graficul trece la dreapta de-a lungul axei OX

Dacă 0

IV. Consolidarea primară a cunoștințelor dobândite

Carduri diferențiate cu sarcina de a construi și explora o funcție folosind un grafic


	Y \u003d 6* păcat (x)	Y \u003d1-2 păcatx	Y \u003d- păcat(3x +)
1. regiune de determinare
2. Interval valoric
3. paritate
4. periodicitate
5. Intervalele permanente


6. lacunemonotonie
Funcția crește
funcție scade
7. Funcții extreme
minim
max.

V. Organizarea temelor

Construiți un grafic al funcției y \u003d -2 * sinx + 1, examinați și verificați corectitudinea construcției în mediul Microsoft Excel. (Diapozitiv 12)

VI. reflecție

Am constatat că comportamentul funcțiilor trigonometrice și funcțiile y \u003d sin x în special pe linia întregului număr (sau pentru toate valorile argumentului x) este complet determinată de comportamentul său în interval 0 < x < π / 2 .

Prin urmare, în primul rând, complotăm funcția y \u003d sin x în acest interval.

Să facem următorul tabel de valori al funcției noastre;

Marcând punctele corespunzătoare pe planul de coordonate și conectându-le cu o linie lină, obținem curba prezentată în figură

Curba rezultată ar putea fi construită geometric, fără a compila un tabel cu valorile funcției y \u003d sin x .

1. Primul sfert al unui cerc de raza 1 este împărțit în 8 părți egale. Coordonatele punctelor de diviziune ale cercului sunt sinele unghiurilor corespunzătoare.

2. Primul sfert al cercului corespunde unghiurilor de la 0 la π / 2 . Prin urmare pe axa x ia un segment și îl împarte în 8 părți egale.

3. Desenați linii drepte paralele cu axa x, iar din punctele de divizare restabilim perpendiculele la intersecția cu linii orizontale.

4. Conectați punctele de intersecție cu o linie lină.

Acum să trecem la interval π / 2 < x < π .
Fiecare valoare a argumentului x din acest interval poate fi reprezentat ca

x = π / 2 + φ

unde 0 < φ < π / 2 . Prin turnarea formulelor

păcat π / 2 + φ ) \u003d cos φ \u003d păcat π / 2 - φ ).

Puncte de axa x cu abscisele π / 2 + φ și π / 2 - φ simetrice între ele în raport cu punctul axei x cu abscisa π / 2 , iar sinusurile din aceste puncte sunt aceleași. Acest lucru vă permite să obțineți un grafic al funcției. y \u003d sin x în intervalul [ π / 2 , π ] printr-o simplă afișare simetrică a graficului acestei funcții în intervalul în raport cu o linie dreaptă x = π / 2 .

Acum folosind proprietatea funcție ciudată y \u003d sin x,

păcat (- x) \u003d - păcat x,

este ușor să graficăm această funcție în intervalul [- π , 0].

Funcția y \u003d sin x este periodică cu o perioadă de 2π ;. Prin urmare, pentru a construi întregul grafic al acestei funcții, curba prezentată în figură este suficientă pentru a continua periodic stânga și dreapta cu o perioadă 2π .

Curba rezultată se numește valul sinusoidal . Este un grafic al funcției y \u003d sin x.

Figura ilustrează bine toate acele proprietăți ale funcției. y \u003d sin x care au fost dovedite anterior de noi. Reamintiți-vă aceste proprietăți.

1) Funcție y \u003d sin x definit pentru toate valorile x , deci domeniul definiției sale este totalitatea tuturor numerelor reale.

2) Funcție y \u003d sin x limitat. Toate valorile pe care le ia sunt cuprinse între -1 și 1, inclusiv aceste două numere. Prin urmare, gama de variație a acestei funcții este determinată de inegalitatea -1 < la < 1. Când x = π / 2 + 2k π funcția ia cele mai mari valori egale cu 1, iar pentru x \u003d - π / 2 + 2k π - cele mai mici valori egale cu - 1.

3) Funcție y \u003d sin x este ciudat (un sinusoid este simetric în raport cu originea).

4) Funcție y \u003d sin x periodic cu perioada 2 π .

5) În intervalele 2n π < x < π + 2n π (n este orice număr întreg), este pozitiv și la intervale π + 2k π < x < 2π + 2k π (k este orice număr întreg) este negativ. Pentru x \u003d k π funcția dispare. Prin urmare, aceste valori ale argumentului x (0; ± π ; ± 2 π ; ...) se numesc zerouri funcționale y \u003d sin x

6) În intervale - π / 2 + 2n π < x < π / 2 + 2n π funcție y \u003d păcat x crește monoton și la intervale π / 2 + 2k π < x < 3π / 2 + 2k π ea scade monoton.

Trebuie acordată o atenție deosebită comportamentului funcției. y \u003d sin x aproape de punct x = 0 .

De exemplu, păcat 0,012 ≈ 0,012; păcat (-0.05) ≈ -0,05;

sin 2 ° \u003d păcat π 2 / 180 \u003d păcat π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Cu toate acestea, trebuie menționat că pentru orice x

| păcat x| < | x | . (1)

Într-adevăr, lăsați raza cercului prezentat în figură să fie 1,
o / ACUM \u003d x.

Apoi păcatul x \u003d AC. Dar vorbitorul< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол x. Lungimea acestui arc este evident x, deoarece raza cercului este 1. Deci, la 0< x < π / 2

păcat x< х.

Prin urmare, datorită ciudății funcției y \u003d sin x este ușor să arătați că pentru - π / 2 < x < 0

| păcat x| < | x | .

În cele din urmă, cu x = 0

| păcat x | \u003d | x |.

Astfel, pentru | x | < π / 2 inegalitatea (1) este dovedită. De fapt, această inegalitate este valabilă și pentru | x | > π / 2 datorită faptului că | păcat x | < 1 a π / 2 > 1

exerciții

1. Conform graficului funcțiilor y \u003d sin x determinați: a) păcatul 2; b) păcat 4; c) păcat (-3).

2. Conform graficului funcțiilor y \u003d sin x stabiliți ce număr din interval
[ - π / 2 , π / 2 ] are o sinusă egală cu: a) 0,6; b) -0,8.

3. În funcție de program y \u003d sin x determinați ce numere au sinus,
egală cu 1/2.

4. Găsiți aproximativ (fără a utiliza tabele): a) sin 1 °; b) păcat 0,03;
c) păcat (-0.015); d) păcat (-2 ° 30 ").

Cum se desenează funcția y \u003d sin x? Pentru început, luați în considerare graficul sinusului din gol.

Luăm un singur segment de notebook-uri lungi cu 2 celule. Pe axa Oy, marcăm una.

Pentru comoditate, π / 2 este rotunjit la 1.5 (și nu la 1.6, așa cum se impune prin regulile de rotunjire). În acest caz, un segment de lungime π / 2 corespunde la 3 celule.

Pe axa Ox, nu marcăm segmente unitare, ci segmente de lungime π / 2 (la fiecare 3 celule). În consecință, un segment de lungime π corespunde cu 6 celule, un segment de lungime π / 6 - 1 celulă.

Cu această alegere a unui singur segment, graficul afișat pe foaia de notebook din celulă corespunde graficului funcției y \u003d sin x pe cât posibil.

Compilăm un tabel de valori sinusoidale în interval:

Marcăm punctele obținute pe planul de coordonate:

Deoarece y \u003d sin x este o funcție ciudată, graficul sinusoidal este simetric față de origine, punctul O (0; 0). Având în vedere acest fapt, continuăm să graficăm graficul în stânga, apoi punctele -π:

Funcția y \u003d sin x este periodică cu o perioadă T \u003d 2π. Prin urmare, graficul de funcții luat pe intervalul [-π; π] este repetat de un număr infinit de ori la dreapta și la stânga.

Grafic care se întinde y \u003d sinx de-a lungul axei y. Funcția y \u003d 3sinx este dată. Pentru a-i construi graficul, trebuie să întindeți graficul y \u003d sinx, astfel încât E (y): (-3; 3).

Imaginea 7 din prezentarea „Creează un grafic de funcții” la lecții de algebră pe tema „Grafic funcțional”

Dimensiuni: 960 x 720 pixeli, format: jpg. Pentru a descărca gratuit o imagine pentru o lecție de algebră, faceți clic dreapta pe imagine și faceți clic pe „Salvare imagine ca ...”. Pentru a afișa imaginile din lecție, puteți descărca, de asemenea, prezentarea „Construiți un grafic funcție.ppt” gratuit cu toate imaginile dintr-o arhivă zip. Mărimea arhivei este de 327 KB.

Descărcare prezentare

Grafic funcțional

„Construiți un grafic de funcții” - Cuprins: Întinderea graficului y \u003d sinx de-a lungul axei y. Funcția y \u003d 3sinx este dată. Funcția y \u003d sinx + 1 este dată. Funcția y \u003d 3cosx este dată. Construiți un grafic funcțional. Graficul funcției y \u003d m * cos x. Completat de: Cadet 52 grup de studiu Lyovin Alexey. Compensările graficului y \u003d cosx pe verticală. Pentru a accesa exemple de sarcini, faceți clic pe l. butonul mouse-ului.

„Sistemul de coordonate în spațiu” - Șurubul este închis. Înălțime, lățime, adâncime. Sistem de coordonate dreptunghiulare în spațiu. Coordonatele unui punct din spațiu. Lucrarea lui M. Escher reflectă ideea introducerii unui sistem de coordonate dreptunghiulare în spațiu. Oh - axa abscisă, Oy - axa ordonată, Oz - axa aplicată. Cu Pitagora, ascultați sferele sonatei, atomii au numărat ca Democrit.

„Planul de coordonate clasa a 6-a - U. Matematica clasa a 6-a. 1. Găsiți și notați coordonatele punctelor A, B, C, D: O. Kh. Planul de coordonate. -3. 1.

„Funcții și graficele lor” - Exemple de funcții impare: y \u003d x3; y \u003d x3 + x. (y \u003d x3; y (1) \u003d 13 \u003d 1; y (-1) \u003d (-1) 3 \u003d -1; y (-1) \u003d -y (1)). 3. Dacă k? 0 și b? 0, apoi y \u003d kx + b. O funcție este definită pe setul tuturor numerelor reale. O funcție liniară a formei y \u003d kx se numește proporționalitate directă. Gradul. y \u003d sin x. Periodicitatea.

„Investigarea funcțiilor” - Funcții. Dorokhova Yu.A. Să ne amintim ... Planul de lucru din lecție. Utilizând schema funcțiilor de cercetare îndepliniți sarcina: p. 24; Nr. 296 (a; b), nr. 299 (a; b). Știți asta ... Scopul lecției: Utilizarea derivatului. Sarcina. Lucrare de verificare: Efectuați oral: Pentru funcția f (x) \u003d x3, determinați D (f), paritatea, creșterea, scăderea.

„Funcții ascendente și descendente” - Funcții ascendente și descendente. Haideți să facem cunoștință cu exemplul creșterii și scăderii funcțiilor. În virtutea periodicității funcției sinusoidale, este suficient să se dovedească intervalul [-? / 2; ? / 2]. Luați în considerare un alt exemplu. Dacă -? / 2? T1< t2 ? ?/2, то точка Pt2 имеет ординату большую, чем точка Pt1. Докажем, что синус возрастает на промеждутках [-?/2+2?n ; ?/2+2?n], n - целое.

În total sunt 25 de prezentări