Rezolvarea problemelor pe un con înscris într-o bilă (un con înscris într-o sferă) se reduce la luarea în considerare a unuia sau mai multor triunghiuri.

Un con este înscris într-o minge dacă circumferința sa superioară și de bază se află pe suprafața mingii, adică pe sferă. Centrul mingii se află pe axa conului.

Atunci când rezolvați problemele pe un con înscris într-o bilă, este convenabil să luați în considerare secțiunea unei combinații de corpuri printr-un plan care trece prin axa conului și centrul mingii. Secțiunea este un cerc mare al bilei (adică un cerc a cărui rază este egală cu raza bilei) cu un triunghi isoscel înscris în ea - secțiunea axială a conului. Laturile acestui triunghi sunt generatoarele conului, baza este diametrul conului.

Dacă unghiul dintre generatoare este clar, centrul cercului circumscris se află în interiorul triunghiului (în consecință, centrul mingii circumscrise în jurul conului este în interiorul conului).

Dacă unghiul dintre generatoare este drept, centrul cercului se află în mijlocul bazei triunghiului (centrul mingii coincide cu centrul bazei conului).

Dacă unghiul dintre generatoare este obtuz, centrul cercului se află în afara triunghiului (centrul mingii descrise este în afara conului).

Dacă starea problemei nu spune exact unde se află centrul mingii descrise, este recomandabil să luăm în considerare modul în care diverse opțiuni pentru amplasarea acesteia pot afecta soluția.

Luați în considerare conul și mingea descrise lângă el de un plan care trece prin axa conului și centrul mingii. Aici SO \u003d H este înălțimea conului, SB \u003d l este generatorul conului, SO1 \u003d O1B \u003d R este raza bilei, OB \u003d r este raza bazei conului, ∠OSB \u003d α este unghiul dintre înălțimea și generatoria conului.

Triunghiul SO1B este izoscel cu SB bază (deoarece SO1 \u003d O1B \u003d R). Aceasta înseamnă că unghiurile sale la bază sunt egale: ∠OSB \u003d ∠O1BS \u003d α, iar O1F este mediana, înălțimea și bisectoarea. De aici SF \u003d l / 2.

Când rezolvăm probleme pe un con înscris într-o bilă, putem considera triunghiuri dreptunghiulare SFO1 și SOB. Sunt similare (la un unghi ac S). Din asemănarea triunghiurilor

Într-un triunghi dreptunghic SOB ∠OBS \u003d 90º - ∠OSB \u003d 90º-α. Prin teorema pitagoreică

Într-un triunghi drept, O1OB ∠OBO1 \u003d 90º - ∠O1BS \u003d 90º - α - α \u003d 90º - 2α.

Mingea este numită înscrisă în poligon, iar poligonul este numit descris lângă minge dacă suprafața mingii atinge toate fețele poligonului.

Mingea poate fi înscrisă în prisma t și tm la prismă este dreaptă, iar înălțimea sa este egală cu diametrul cercului înscris în baza prismei.

Corolar 1. Centrul mingii inscripționat într-o prismă directă se află în mijlocul înălțimii prismei care trece prin centrul cercului înscris în bază.

Corolar 2. O bilă, în special, poate fi înscrisă în linii drepte: triunghiulară, regulată, pătrată (pentru care sumele laturilor opuse ale bazei sunt egale între ele) în condiția H \u003d 2r, unde H este înălțimea prismei, r este raza cercului înscris în bază.

Combinații ale unei sfere cu poliedre. Sfera descrisă aproape de prismă.

O sferă este numită descrisă în apropierea poligonului dacă toate vertexurile poligonului se află pe sferă.

O prismă se numește înscrisă într-o sferă dacă toate vârfurile ei se află pe suprafața sferei.

O sferă poate fi descrisă lângă o prismă dacă și numai dacă prisma este dreaptă și un cerc poate fi descris în apropierea bazei sale.

Corolar 1. Centrul sferei descris lângă prisma directă se află în mijlocul înălțimii prismei trase prin centrul cercului descris în apropierea bazei.

Corolar 2. Sfera, în special, poate fi descrisă: aproape de o prismă triunghiulară dreaptă, lângă o prismă regulată, lângă un paralelipiped dreptunghiular, lângă o prismă cvadrangulară dreaptă, în care suma colțurilor opuse ale bazei este de 180 de grade.

Combinații de cilindru, con și trunchiat con cu poliedre.

Cilindru și prismă

  Cilindru înscris și descris: O prismă se numește înscrisă în cilindru dacă baza sa este egală cu poligonii înscriși în baza cilindrului, iar marginile laterale sunt generatoarele cilindrului.

O prismă se numește descrisă lângă cilindru, dacă baza sa este poligonii descriși lângă baza cilindrului, iar fețele laterale ating cilindrul.

Prisma poate fi înscrisă într-un cilindru circular drept t și tm, este dreaptă și un cerc poate fi descris în jurul bazei prismei.

O prismă poate fi descrisă în apropierea cilindrului m și mk; este dreaptă și un cerc poate fi introdus la baza sa.

Con și piramidă

  O piramidă înscrisă într-un con este o piramidă a cărei bază

există un poligon înscris în cercul bazei conului, iar vertexul

este vârful conului. Se formează marginile laterale ale unei astfel de piramide

Piramida descrisă în apropierea conului este o astfel de piramidă, baza

care este poligonul descris lângă baza conului și vertexul

coincide cu vârful conului. Planurile fețelor laterale ale unei astfel de piramide

sunt planurile tangente ale conului.

Piramida poate fi înscrisă într-un con circular circular, etc., există un cerc descris lângă baza piramidei și înălțimea piramidei este proiectată în centrul acestui cerc.

Piramida poate fi descrisă în jurul conului t și t astfel încât să existe un cerc înscris în bază și înălțimea piramidei să fie proiectată în centrul acestui cerc.

Centrul mingii inscripționate este punctul de intersecție al planurilor bisectoare construite pentru toate unghiurile diedre din piramidă; dacă aceste planuri bisectoare nu au un punct comun, mingea nu poate fi introdusă.

Un caz special: fețele laterale ale piramidei sunt înclinate în egală măsură spre planul bazei. apoi:

se poate introduce o minge;

centrul mingii se află la înălțimea piramidei, mai precis, este punctul de intersecție a înălțimii cu bisectoarea unghiului dintre apofema și proiecția acestei apofeme pe planul bazei.

6.2. Ball și prismă directă

O minge poate fi introdusă într-o prismă directă dacă și numai dacă:

un cerc poate fi introdus în baza prismei,

diametrul acestui cerc este egal cu înălțimea prismei.

Centrul mingii este mijlocul segmentului care leagă centrele cercurilor înscrise în bază.

unde se află raza mingii înscrise; - raza cercului înscris în bază; H este înălțimea prismei.

6.3. Bilă și cilindru

O bilă poate fi introdusă într-un cilindru dacă și numai dacă secțiunea axială a cilindrului este un pătrat (un astfel de cilindru este uneori numit echilateral). Centrul mingii este centrul de simetrie al secțiunii axiale a cilindrului.

6.4. Bilă și con

Puteți introduce întotdeauna o minge într-un con. Centrul mingii este centrul cercului înscris în secțiunea axială a conului.

6.5. Bile și con trunchiate

O bilă poate fi înscrisă într-un con trunchiat dacă și numai dacă

În acest articol, avem în vedere patru probleme în stereometrie. O combinație de corpuri este dată - un con și o minge. În toate sarcinile, vorbim despre un con, care. Remarc faptul că, în condiții, pozițiile relative ale acestor corpuri pot fi exprimate în diferite moduri, de exemplu: „Un con este înscris într-o bilă” sau „O sferă este descrisă lângă un con”.

Concluzia este că, pentru a-l defini într-un limbaj simplu (non-matematic), conul este situat „în interiorul” sferei, conține circumferința bazei și a vârfului. Uită-te la schiță:

Atunci când decideți, trebuie să cunoașteți formula pentru volumul bilei și conului.

Volumul bilei:

Volumul conului:

* Aceste formule trebuie cunoscute!

Zona bazei conului este un cerc, este egală cu:

Luați în considerare un caz special! Dacă înălțimea conului este egală cu raza bazei sale, atunci formula pentru volumul conului va fi:

schiţă:

Este clar că secțiunea centrală a unui astfel de con va fi un triunghi izoscel cu unghi drept, iar înălțimea desenată dintr-un unghi drept îl împarte și în două triunghiuri isoscele cu unghi drept:

Reamintim conceptul unei generatrice, este adesea folosit în problemele cu conurile și va fi în sarcinile de mai jos.

generatoarea   conul este un segment care conectează partea superioară a conului cu punctul bazei sale. În schița anterioară, este indicat prin scrisoare l .

O concluzie simplă se sugerează: există un număr infinit de generatoare în con și toate sunt egale.

Apropo, există deja câteva articole pe blog cu bile, le puteți vedea "" și "".

Acum luați în considerare sarcinile:

245351. Conul este înscris într-o bilă. Raza bazei conului este egală cu raza bilei. Volumul bilei este 28. Găsiți volumul conului.

Deoarece se spune că raza bazei conului este egală cu raza bilei, devine clar că baza conului coincide cu planul secțiunii centrale a bilei.

Să schițăm această combinație pentru claritate (aceasta este o secțiune axială):

Se spune că înălțimea conului este egală cu raza bazei sale (și, desigur, raza bilei). Scriem formula pentru volumul bilei și conului:

Deoarece volumul bilei este cunoscut (este 28), putem calcula raza. Mai degrabă, nu avem nevoie de raza în sine, ci de cubul său:

Astfel, volumul conului va fi egal cu:

* S-a putut face fără calcule. Vedeți dacă comparați două formule:

se poate observa că volumul bilei este de 4 ori mai mare decât volumul conului.

Deci volumul conului va fi egal cu 28/4 \u003d 7.

Adică, problema este rezolvată aproape verbal.

Răspuns: 7

245352. Conul este înscris într-o bilă. Raza bazei conului este egală cu raza bilei. Volumul conului este 6. Găsiți volumul bilei.

Problema este inversă celei anterioare, desenul este același.

formula:

Din formule este clar că volumul bilei este de 4 ori mai mare decât volumul conului:

Astfel, volumul dorit este 24.

Răspuns: 24

316555. O sferă este descrisă în apropierea conului (sfera conține circumferința bazei conului și a vertexului său). Centrul sferei se află în centrul bazei conului. Generatorul conului este egal cu. Găsiți raza sferei.

Aici starea sună diferit, dar corpurile sunt situate unul față de celălalt în același mod ca în sarcinile anterioare - conul este înscris într-o sferă, baza conului coincide cu secțiunea centrală a sferei.

Schița este aceeași, notează raza, înălțimea egală cu raza și generatoria: