Aplicarea secțiunilor conice în viață. Secțiuni conice. Studiul formelor unei parabole conform ecuației sale

25.08.2023

segment de linie l.)

13) Dat un paralelogram ABCD. Desenați o dreaptă printr-un punct dat P paralel cu o dreaptă dată l. (Sugestie: aplicați 10 în centrul paralelogramului și folosiți 8.)

14) dat un paralelogram; crește segmentul dat de n ori. (Sugestie: utilizați 13 și 11.)

15) dat un paralelogram; împărțiți segmentul dat în n părți egale.

16) Dat un cerc fix cu centru. Desenați o dreaptă paralelă cu dreapta dată prin punctul dat. (Sugestie: aplicați 13.)

17) Dat un cerc fix cu centru. Măriți și micșorați segmentul dat de n ori. (Sugestie: aplicați 13.)

18) Dat un cerc fix cu centru. Desenați o perpendiculară pe o dreaptă dată printr-un punct dat. (Sugestie: utilizați un dreptunghi înscris într-un cerc dat, cu două laturi paralele cu o dreaptă dată și reduceți la problemele precedente.)

19) După ce am revizuit sarcinile 1-18, enumerați sarcinile de bază de construcție pe care le puteți face cu o riglă cu două fețe (două laturi paralele).

20) Două linii date l 1 și l2 se intersectează în punctul P, care se află în afara desenului. Construiți o dreaptă care leagă punctul dat Q cu punctul P . (Sugestie: completați elementele date în așa fel încât să se obțină o configurație a teoremei planare Desargues, cu P și Q devenind punctele de intersecție ale laturilor care se corespun reciproc a două triunghiuri.)

21) Desenați o linie dreaptă prin două puncte care sunt separate cu mai mult decât lungimea riglei. (Sugestie: aplicați 20.)

22) Dreptele l 1 şi l2 se intersectează în punctul P ; drepte m1 și m2 - în punctul Q; ambele puncte P și Q sunt în afara desenului. Construiți acea parte a dreptei P Q care se află în desen. (Indicație: pentru a obține un punct al dreptei P Q, construiți configurația Desargues în așa fel încât două laturi ale unui triunghi să fie respectiv pe l1 și m1 , două laturi ale celuilalt - respectiv pe l2 și m2 ).

23) Rezolvați 20 folosind teorema lui Pascal (pag. 209). (Sugestie: finalizați configurația Pascal, considerând l1 și l2 ca o pereche de laturi opuse ale hexagonului și Q ca punctul de intersecție al altei perechi de laturi opuse.)

*24) Fiecare dintre cele două linii drepte aflate în întregime în afara desenului este dată de două perechi de linii drepte care se intersectează în afara desenului

V puncte ale dreptei corespunzătoare. Determinați punctul lor de intersecție folosind două linii care se intersectează în afara desenului.

§ 8. Secțiuni conice și cvadrici

1. Geometria metrică elementară a secțiunilor conice. Până acum, ne-am ocupat doar de puncte, drepte, plane și figuri formate dintr-un număr finit al acestor elemente. Dacă geometria proiectivă s-ar limita la luarea în considerare a unor astfel de „li-

SECȚIUNI CONICE ȘI CADRICE

naturale”, ar fi relativ neinteresant. Dar un fapt de o importanță capitală este faptul că geometria proiectivă nu se limitează la aceasta, ci include și o zonă vastă de secțiuni conice și generalizările lor multidimensionale. Tratamentul metric apollinian al secțiunilor conice - elipse, hiperbole și parabole - a fost unul dintre succesele remarcabile ale matematicii antice. Cu greu se poate supraestima importanța secțiunilor conice atât pentru matematica pură, cât și pentru cea aplicată (de exemplu, orbitele planetelor și orbitele electronilor dintr-un atom de hidrogen sunt secțiuni conice). Nu este surprinzător că teoria clasică a secțiunilor conice, care își are originea în Grecia antică, este încă o parte necesară a educației matematice astăzi. Dar geometria greacă nu avea nicidecum ultimul cuvânt. Două mii de ani mai târziu, au fost descoperite proprietăți proiective remarcabile ale secțiunilor conice. În ciuda simplității și eleganței acestor proprietăți, inerția academică a reprezentat până acum un obstacol în calea pătrunderii lor în predarea școlară.

Începem prin a aminti definițiile metrice ale fluxurilor conice. Există mai multe astfel de definiții, iar echivalența lor este dovedită în geometria elementară. Cele mai comune definiții sunt legate de focarele curbelor. O elipsă este definită ca locația unor astfel de puncte P pe planul în care suma distanțelor lor r1 și r2 de la două puncte date F1 și F2, numite focare, are o valoare constantă. (Dacă focarele coincid, curba devine un cerc.) O hiperbolă este definită ca locul punctelor P de pe plan astfel încât valoarea absolută a diferenței r1 − r2 să fie egală cu aceeași constantă. O parabolă este definită ca locația punctelor P a căror distanță r de la un punct dat F este egală cu distanța l de la o dreaptă dată.

În geometria analitică, aceste curbe sunt reprezentate prin ecuații de gradul doi în coordonate dreptunghiulare x, y. Este ușor de demonstrat, invers, că orice curbă reprezentată printr-o ecuație de ordinul doi

ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0,

există fie una dintre cele trei secțiuni conice menționate mai sus, fie o linie dreaptă, fie o pereche de linii drepte, fie este redusă la un singur punct, fie este pur imaginar. După cum se arată în orice curs de geometrie analitică, este suficient să se facă o schimbare aleasă corect a sistemului de coordonate pentru demonstrație.

Definițiile de mai sus ale secțiunilor conice sunt în esență metrice, deoarece folosesc conceptul de distanță. Dar iată o altă definiție care stabilește locul secțiunilor conice în proiectiv

Orez. 94. Secțiuni conice

GEOMETRIE PROIECTIVĂ. AXIOMATICĂ

geometrii: secțiunile conice nu sunt altceva decât proiecții ale unui cerc pe un plan. Dacă începem să proiectăm cercul C dintr-un punct O, atunci liniile de proiectare formează un con dublu infinit, iar intersecția acestui con cu planul p va fi proiecția cercului C. Curba de intersecție va fi o elipsă sau a hiperbolă,

în funcţie de faptul că planul intersectează doar o „cavitate” a conului sau ambele. Un caz intermediar de parabolă este de asemenea posibil dacă planul p este paralel cu una dintre liniile proeminente prin O (Fig. 94).

Conul proeminent nu trebuie să fie „circular dreapta” cu vârful O vertical deasupra centrului cercului C: poate fi și „oblic”. Dar în toate cazurile (cum vom accepta aici fără să demonstrăm) la intersecția unui con cu un plan se obține o curbă, a cărei ecuație este de gradul doi; și invers, orice curbă de ordinul doi poate fi obținută dintr-un cerc prin proiecție. Din acest motiv, curbele de ordinul doi sunt altfel numite secțiuni conice.

Am observat deja că dacă planul intersectează doar o „cavitate” a unui con circular drept, atunci intersecția E este o elipsă. Este ușor de stabilit că

linia E satisface definiția focală obișnuită a unei elipse, care a fost formulată mai sus. Iată o dovadă foarte simplă și elegantă dată în 1822 de matematicianul belgian Dandelin. Să ne imaginăm două sfere S1 și S2 (Fig. 95), care ating planul de secțiune p în punctele F1 și, respectiv, F2 și, în plus, ating conul de-a lungul cercurilor paralele K1 și K2. Luând un punct arbitrar P al curbei E, desenăm segmentele P F1 și P F2 . Se consideră apoi segmentul P O care leagă punctul P cu vârful conului O; acest segment se află în întregime pe suprafața conului; notăm cu Q1 și Q2 punctele de intersecție cu cercurile K1 și K2 . Deoarece P F1 și P Q1 sunt două

SECȚIUNI CONICE ȘI CADRICE

tangente trase din punctul P la aceeași sferă S1, atunci

P F1 = P Q1 .

Similar

P F2 = P Q2 .

Adăugând aceste egalități, obținem:

P F1 + P F2 = P Q1 + P Q2 .

Dar P Q1 + P Q2 = Q1 Q2 este distanța dintre cercurile paralele K1 și K2 de pe suprafața conului: nu depinde de alegerea punctului P de pe curba E. Rezultă că, oricare ar fi punctul P pe E, egalitatea

P F1 + P F2 = const,

și aceasta este definiția focală a unei elipse. Deci E este o elipsă, iar F1 și F2 sunt focarele sale.

Exercițiu. Dacă planul intersectează ambele „cavități” ale conului, atunci curba de intersecție este o hiperbolă. Demonstrați această afirmație plasând câte o sferă în fiecare dintre „cavitățile” conului.

2. Proprietățile proiective ale secțiunilor conice. Pe baza prevederilor stabilite în paragraful anterior, acum acceptăm temporar următoarea definiție: o secțiune conică este o proiecție a unui cerc pe un plan. Aceasta este definiția durerii-

corespunde spiritului geometriei proiective într-o măsură mai mare decât focalului general acceptat Orez. 95. Sfere de păpădie

nye definiții, deoarece acestea din urmă se bazează în întregime pe conceptul metric al distanței. Noua definiție nu este, de asemenea, complet scutită de acest neajuns, deoarece „cerc” este, de asemenea, un concept metric. Dar în scurt timp vom ajunge la o definiție pur proiectivă a secțiunilor conice.

Deoarece am acceptat că o secțiune conică nu este altceva decât o proiecție a unui cerc (cu alte cuvinte, prin termenul „secțiune conică” înțelegem orice curbă aparținând unei proiective

	GEOMETRIE PROIECTIVĂ. AXIOMATICĂ
clasa de cerc; vezi p. 206), de aici rezultă imediat că
orice proprietate a unui cerc care este invariantă sub proiectiv
		transformări,	ar trebui să-
		a aparține oricui
		sectiunea nic. Să ne amintim
		acum, următoarele este bine de-
		cunoscut - metric - propriu -
		circumferinta: „inscrisa in
		unghiuri de circumferință care susțin-


		pe acelasi arc, egal cu
		noi unul față de celălalt”. Pe fig. 96
		unghiul AOB, bazat pe du-
		gu ab, independent de poziție
		punctul O pe cerc. Sfânt


		înţelegere proiectivă
Orez. 96. Relație dublă pe circumferențială		tiem dublu raport, introducând
Orez. 96. Relație dublă pe circumferențială		nu mai sunt doi pe cerc
		punctele A, B și patru: A, B, C,
D. Patru drepte a, b, c, d care unesc aceste puncte cu punctul O pe
cercurile au un raport dublu (a, b, c, d) depinzând numai de
unghiuri bazate pe arce CA, CB, DA, DB. Conectarea A, B, C, D

cu un alt punct O0 pe cerc, obținem dreptele a0 , b0 , c0 , d0 . Din proprietatea notă anterior a cercului rezultă că două cvadruple de drepte sunt „congruente”1. Prin urmare, vor avea același raport dublu: (a0 b0 c0 d0 ) = (abcd). Să proiectăm un cerc pe o secțiune conică K: apoi pe K obținem patru puncte, pe care le notăm din nou cu A, B, C, D, două puncte O și O0 și două patru linii a, b, c, d și a0, b0, c0, d0. Aceste două cvadruple de linii nu vor mai fi congruente, deoarece, în general, unghiurile nu se păstrează în timpul proiecției. Dar, deoarece raportul dublu nu se modifică în timpul proiectării, egalitatea (abcd) = (a0 b0 c0 d0 ) este încă valabilă. Am ajuns astfel la următoarea teoremă principală: dacă patru puncte ale unei secțiuni conice K, să spunem A, B, C, D, sunt legate

Cu al cincilea punct O al aceleiași secțiuni prin liniile a, b, c, d, atunci raportul dublu (abcd) nu depinde de poziția lui O pe curba K (Fig. 97).

Acesta este un rezultat minunat. După cum știm deja, dacă pe o dreaptă sunt luate patru puncte A, B, C, D, atunci relația dublă, compusă din drepte care leagă aceste puncte cu al cincilea punct O, nu depinde de

1 Cvadruplul a, b, c, d este considerat congruent cu un alt cvadruplu a 0 , b0 , c0 , d0 , dacă unghiurile dintre fiecare pereche de drepte din primul cvadruplu sunt egale atât ca mărime, cât și în direcția de referință cu unghiurile dintre liniile corespunzătoare ale celui de-al doilea cvadruplu.

	SECȚIUNI CONICE ȘI CADRICE
alegând acest al cincilea punct. Aceasta este poziția de pornire subiacentă
geometrie proiectivă. Am aflat acum că o declarație similară
Definiția este valabilă și în ceea ce privește patru puncte luate asupra unora
secţiunea conică K, dar cu o limitare semnificativă: a cincea
punctul O nu se mai poate deplasa liber pe întregul plan, dar poate
se deplasează doar de-a lungul secțiunii conice K.
	Nu este dificil de demonstrat teorema inversă după cum urmează.
forma: daca sunt doua puncte O si O0 pe curba K care au
prin proprietatea că oricare ar fi cvadruplu de puncte A, B, C, D pe
curba K, raporturi duble formate din linii drepte care leagă
aceste puncte cu O, iar din liniile care leagă aceste puncte cu O0 sunt egale
între ele, atunci curba K este o secțiune conică (și chiar și atunci, de
teorema directă, o relație dublă compusă din drepte, conectate
luând patru puncte date cu un punct arbitrar O00 pe K, va fi
au aceeași valoare constantă). Dar dovada suntem aici
nu vom aduce.
	Proprietățile proiective de mai sus ale secțiunilor conice conduc la
ideea unei metode generale de construcție punctuală a acestor curbe. Să fim de acord
sub un creion de linii se înțelege totalitatea tuturor liniilor planului,
trecând prin acest punct
ku O. Luați în considerare creioanele de linii,
trecând prin două

	O0 , situat

secţiunea K. Între dreptă


fascicul O și grinzi drepte

	O0 poate fi setat reciproc
ci o corespondență unu-la-unu

furnizând direct a din prima
linia snopului a0 de la al doilea all-
indică cum a și a0 se întâlnesc		Orez. 97. Relație dublă pe o elipsă
la un punct A al curbei K.
Atunci orice cvadruplu de linii a,
b, c, d din snopul O va avea același raport dublu ca și co-
cvadruplu corespunzător a0 , b0 , c0 , d0 din snopul O0 . Totul este unul reciproc -
o corespondenţă univalorică între două creioane de linii care are
această ultimă proprietate se numește corespondență proiectivă.
(Această definiție este duală în ceea ce privește definiția unui proiectiv
corespondența dintre punctele pe două linii, vezi pp. 198–198.)
Folosind această definiție, putem afirma acum că conica
secțiunea K este locul punctelor de intersecție
linii corespunzătoare din două creioane în proiectivă
conformitate. Teorema rezultată oferă o bază pentru următoarele
care dă o definiţie pur proiectivă a secţiunilor conice: conică

GEOMETRIE PROIECTIVĂ. AXIOMATICĂ

o secțiune este locul punctelor de intersecție ale liniilor reciproc corespondente din două creioane care sunt în corespondență proiectivă1. Oricât de tentant ar fi să pătrundem în profunzimea teoriei secțiunilor conice bazată pe o astfel de definiție, suntem totuși obligați să ne limităm la câteva observații pe acest subiect.

Perechile de snopi în corespondență proiectivă pot fi obținute după cum urmează. Să proiectăm toate punctele P ale dreptei l din două centre diferite O și O00 și să stabilim o corespondență unu-la-unu între creioanele proiectate comparând unele cu altele acele linii care se intersectează pe linia l. Acest lucru este suficient pentru ca fasciculele rezultate să fie în corespondență proiectivă. Apoi luăm fasciculul O00 și îl transferăm „ca ceva solid” într-o poziție arbitrară O0 . Că noul snop O0 va fi în corespondență proiectivă cu snopiul O este destul de evident. Dar lucru remarcabil este că orice corespondență proiectivă între doi snopi poate fi

Orez. 98. Despre construcția creioanelor proiective de linii

ia-o asa. (Această circumstanță este duală la exercițiul 1 de la p. 199.) Dacă snopii O și O0 sunt congruenți, se obține un cerc. Dacă unghiurile dintre razele corespunzătoare din două fascicule sunt egale, dar sunt măsurate în direcții opuse, atunci se obține o hiperbolă echilaterală (Fig. 99).

De asemenea, trebuie remarcat faptul că definiția indicată a unei secțiuni conice poate, în special, să dea o linie dreaptă, așa cum se arată în Fig. 98. În acest caz, linia OO00 îi corespunde ea însăși, iar toate punctele sale trebuie considerate ca aparținând locului dorit. Astfel secțiunea conică degenerează în

1 Acest loc, în anumite circumstanțe, poate degenera într-o linie dreaptă; vezi fig. 98.

SECȚIUNI CONICE ȘI CADRICE

o pereche de linii drepte: această împrejurare este destul de consistentă cu faptul că există secțiuni ale unui con formate din două linii drepte (dacă planul de tăiere trece prin vârful conului).

9 8 O 7

Orez. 99. Formarea unui cerc și a unei hiperbole echilaterale folosind snopi proiectivi

Exerciții. 1) Desenați elipse, hiperbole și parabole folosind creioane proiective. (Cititorul este încurajat cu tărie să experimenteze cu acest tip de construcție. Acest lucru este foarte propice pentru înțelegerea esenței problemei.)

2) Sunt date cinci puncte O, O0 , A, B, C ale unei secțiuni conice K. Aflați punctele de intersecție D ale unei drepte arbitrare d a creionului O cu curba K. (Indicație: trasați liniile OA, OB, OC prin O și numiți-le a, b , c Desenați linii O0 A, O0 B, O0 C prin O0 și numiți-le a0 , b0 , c0 Desenați linia d prin O și construiți o linie d0 din O0 astfel încât (abcd) = ( a0 b0 c0 d0 ) Atunci punctul de intersecție al lui d și d0 aparține curbei K.)

3. Secțiuni conice ca „curbe rigle”. Conceptul de tangentă la o secțiune conică aparține geometriei proiective, deoarece tangenta la o secțiune conică este o linie dreaptă care are un singur punct comun cu curba însăși și aceasta este o proprietate care se păstrează în timpul proiecției. Proprietățile proiective ale tangentelor la secțiunile conice se bazează pe următoarea teoremă:

Raport dublu al punctelor de intersecție a patru tangente fixe la o secțiune conică cu o a cincea tangentă arbitrară

Orez. 100. Cercul ca o colecție de tangente

GEOMETRIE PROIECTIVĂ. AXIOMATICĂ

nu depinde de alegerea acestei a cincea tangente. Dovada acestei teoreme este foarte

Doar. Deoarece orice secțiune conică este o proiecție a unui cerc și deoarece teorema se ocupă numai de astfel de proprietăți care sunt invariante sub proiecție, atunci pentru a demonstra teorema în cazul general, este suficient să o demonstrăm pentru cazul particular al cerc.

Pentru același caz particular, teorema este demonstrată prin geometrie elementară. Fie P , Q, R, S patru puncte pe cercul K; a, b, c, d sunt tangente în aceste puncte; T - alt punct de pe cerc, o - tangentă în el; fie, mai departe, A, B, C, D -

punctele de intersecție ale tangentei o cu tangentele a, b, c, d. Daca M-

centrul cercului, apoi, evident, T MA = 1 2 T MP , iar ultimul

Expresia reprezintă unghiul înscris în K, pe baza arcului T P . În același mod, T MB reprezintă un unghi înscris în K și bazat pe arcul T Q. Prin urmare,

AMB = 1 2 ^ PQ,

unde 1 2 ^ P Q indică unghiul înscris în K și bazat pe

gu P Q. Aceasta arată că A, B, C, D sunt proiectate din M prin patru linii drepte, unghiurile între care au valori care depind doar de poziția punctelor P , Q, R, S. Ho atunci raportul dublu (ABCD) depinde doar de patru tangente a, b, c, d, dar nu și de tangenta o. Acesta este exact ceea ce trebuia instalat.

Orez. 101. Proprietatea unei tangente la un cerc

SECȚIUNI CONICE ȘI CADRICE

În subsecțiunea anterioară, am avut ocazia să verificăm că o secțiune conică poate fi construită „prin puncte” dacă începem să marchem punctele de intersecție a liniilor corespondente a două creioane între care se stabilește o corespondență proiectivă. Teorema tocmai demonstrată ne permite să formulăm teorema duală. Luați două tangente a și a0 la secțiunea conică K. Fie ca a treia tangentă t să intersecteze a și a0 în punctele A și, respectiv, A0. Dacă t se mișcă de-a lungul curbei, atunci se va stabili o corespondență

A ←→ A0

între punctele a și punctele a0 . Această corespondență va fi proiectivă, deoarece prin teorema tocmai demonstrată, un cvadruplu arbitrar de puncte de pe a va avea în mod necesar același raport dublu ca și cvadruplu corespunzător de puncte de pe a0 . De aici rezultă că secțiunea conică K,

Orez. 102. Rânduri proiective de puncte pe două tangente la o elipsă

privită ca „totalitatea tangentelor sale”, „constă” din drepte care leagă puncte corespunzătoare reciproc ale serii de două puncte1 pe a și pe a0 care sunt în corespondență proiectivă. Această împrejurare ne permite să introducem o nouă definiție a secțiunilor conice, de data aceasta considerate „curbe rigle”. Să comparăm această definiție cu definiția proiectivă anterioară a unei secțiuni conice.

1 O colecție de puncte pe o dreaptă se numește serie de puncte. Acest concept este dual cu privire la un creion de linii.

GEOMETRIE PROIECTIVĂ. AXIOMATICĂ

niya, dat în paragraful anterior:

O secțiune conică, considerată ca o colecție de puncte, constă din punctele de intersecție ale liniilor corespunzătoare reciproc în două proiective.

O secțiune conică, considerată ca o „colecție de linii”, constă din linii care leagă puncte corespunzătoare reciproc în două proiective.

Dacă începem să considerăm tangenta la secțiunea conică în unele dintre punctele sale ca un element dual față de punctul însuși și, în plus, suntem de acord, pe baza dualității, să comparăm „curba riglată” (formată din o mulţime de tangente) cu o „curbă punctuală” (formată dintr-un set de puncte), atunci anterior formulările vor fi impecabile din punctul de vedere al principiului dualităţii. La „traducerea” unei formulări în alta, cu înlocuirea tuturor conceptelor cu conceptele duale corespunzătoare, „secțiunea conică” rămâne neschimbată; dar într-un caz este concepută ca o „curbă punctuală” determinată de punctele sale, în celălalt ca o „curbă reglată” determinată de tangentele sale.

Din cele de mai sus rezultă un corolar important: principiul dualității, stabilit inițial în geometria proiectivă a planului doar pentru puncte și drepte, se dovedește a fi aplicabil și secțiunilor conice. Dacă, în formularea oricărei teoreme privind punctele, liniile și secțiunile conice, înlocuim fiecare element cu dualul său (fără a pierde din vedere faptul că un punct al unei secțiuni conice trebuie să fie asociat cu o tangentă la această secțiune conică),

atunci rezultatul este și o teoremă validă. Vom întâlni un exemplu de funcționare a acestui principiu în paragraful 4 al acestui paragraf.

Construcția secțiunilor conice, înțelese ca „curbe rigle”, este prezentată în fig. 103–104. În special, dacă în două serii de puncte proiective punctele de la infinit corespund între ele (acest lucru se va întâmpla cu siguranță dacă seriile de puncte sunt congruente sau similare 1

GEOMETRIE PROIECTIVĂ. AXIOMATICĂ

Principiul dualității aplicat secțiunilor conice este relația dintre teoremele generale ale lui Pascal și Brianchon. Prima dintre ele a fost descoperită în 1640, a doua - în 1806. Și, totuși, fiecare dintre ele este o consecință imediată a celeilalte, deoarece orice teoremă, a cărei formulare menționează doar secțiuni conice, drepte și puncte, rămâne cu siguranță valabilă. când formularea este schimbată de principiul dualităţii.

Teoremele demonstrate în § 5 sub aceleași denumiri sunt „cazuri degenerate” ale următoarelor teoreme mai generale.

teorema lui Pascal. Laturile opuse ale unui hexagon înscris într-o secțiune conică se intersectează în trei puncte coliniare.

Orez. 105. Configurația generală a lui Pascal. Sunt prezentate două cazuri, unul pentru hexagonul 1, 2, 3, 4, 5, 6, celălalt pentru hexagonul 1, 3, 5, 2, 6, 4

teorema lui Brianchon. Trei diagonale care leagă vârfuri opuse ale unui hexagon circumscris unei secțiuni conice sunt concurente.

Ambele teoreme au un conținut proiectiv evident. Dualitatea lor este izbitoare atunci când este formulată după cum urmează:

teorema lui Pascal. Date șase puncte 1, 2, 3, 4, 5, 6 pe o secțiune conică. Conectați puncte succesive cu linii drepte (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 1). Observați punctele de intersecție ale liniilor (1, 2) și (4, 5), (2, 3) și (5, 6), (3, 4) și (6, 1). Aceste trei puncte se află pe aceeași linie.

SECȚIUNI CONICE ȘI CADRICE

teorema lui Brianchon. Având în vedere șase tangente 1, 2, 3, 4, 5, 6 la secțiunea conică. Tangentele succesive se intersectează în punctele (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 1). Să desenăm linii drepte care leagă punctele (1, 2) și (4, 5), (2, 3) și (5, 6), (3, 4) și (6, 1). Aceste trei linii trec prin același punct.

Probele se realizează cu ajutorul unei specializări de acelaşi fel ca în cazurile de degenerescenţă avute în vedere mai devreme. Să demonstrăm teorema lui Pascal. Fie A, B, C, D, E, F vârfurile unui hexagon înscris în secțiunea conică K. Prin proiectare este posibil să facem paralele dreptele AB și ED, F A și CD (și apoi obținem configurația prezentată). în Fig. 107. Pentru comoditate, hexagonul din desen este considerat ca auto-intersectant, deși nu este nevoie de acest lucru.) Acum trebuie să demonstrăm un singur lucru: că linia CB este paralelă cu dreapta F E; cu alte cuvinte, că laturile opuse se intersectează la linia la infinit. Pentru a demonstra acest lucru, considerăm un cvadruplu de puncte F , A, B, D, care, după cum știm, păstrează același raport dublu, să zicem, k, atunci când este proiectat din orice punct K. Să proiectăm din punctul C la linia AF; obţinem un cvadruplu de puncte F , A, Y , ∞, şi

k = (F , A, Y , ∞) = Y Y F A

(Vezi pagina 205).

Să proiectăm acum din punctul E pe dreapta BA; primim

	GEOMETRIE PROIECTIVĂ. AXIOMATICĂ

Orez. 108. Construcția unor linii care intersectează trei linii date în poziție generală

patru puncte X, A, B, ∞ și

k = (X, A, B, ∞) = BX BA .

BX BA = Y Y F A ,

ceea ce înseamnă doar că Y B k F X. Dovada teoremei lui Pascal este completă.

Teorema lui Brianchon, după cum sa subliniat, decurge din teorema lui Pascal prin principiul dualității. Dar poate fi demonstrată și direct, prin raționament dual față de cel tocmai dat. Va fi un exercițiu excelent pentru cititor să realizeze acest raționament în detaliu.

5. Hiperboloid. În spațiul tridimensional întâlnim așa-numitele cvadrici (suprafețe de ordinul doi), care în acest caz joacă același rol ca „secțiunile conice” (curbe de ordinul doi) în plan.

Cele mai simple dintre acestea sunt sfera și elipsoidul. Quadricurile sunt mai diverse decât secțiunile conice, iar studiul lor implică mai multe dificultăți. Vom considera pe scurt și fără dovezi una dintre cele mai interesante suprafețe de acest tip: așa-numitul hiperboloid conectat (sau cu o singură foaie).

Această suprafață poate fi obținută în felul următor. Luați în spațiu trei linii l1 , l2 , l3 în poziție generală. Aceasta din urmă înseamnă că niciunul dintre ele nu este paralel și toate trei

Orez. 109. Hiperboloid

§ 8 SECȚIUNI CONICE ȘI CADRICE 239

nu sunt paralele cu același plan. Poate părea surprinzător că există un număr infinit de linii în spațiu, fiecare dintre ele intersectând toate cele trei linii date. Să ne asigurăm de asta.

Fie p un plan arbitrar care contine dreapta l1 ; acest plan intersectează dreptele l2 și l3 în două puncte, iar linia m prin aceste două puncte intersectează în mod evident toate dreptele l1 , l2 și l3 . Când planul p se rotește în jurul dreptei l1, linia m își va schimba poziția, dar continuă să intersecteze cele trei drepte date. Când m se mișcă, apare o suprafață care merge la infinit la infinit, care se numește hiperboloid cu o singură foaie. Conține un set infinit de linii de tip m. Oricare trei astfel de linii, să spunem m1 , m2 și m3 , vor fi, de asemenea, în poziție generală, iar acele linii din spațiu care vor intersecta trei linii m1 , m2 și m3 în același timp,

se va întinde și pe suprafața considerată. Aceasta implică proprietatea principală a hiperboloidului: este compus din două familii diferite de linii drepte; fiecare trei linii ale aceleiași familii sunt în poziție generală și fiecare linie a unei familii intersectează toate liniile alteia.

O proprietate proiectivă importantă a unui hiperboloid este că raportul dublu al celor patru puncte în care un cvadruplu dat de drepte dintr-o familie intersectează o dreaptă din a doua familie nu depinde de alegerea acesteia din urmă. Această afirmație decurge din metoda de construire a unui hiperboloid folosind un plan rotativ, iar cititorul poate fi convins de validitatea acestuia și de calitatea exercițiului.

Observăm încă o proprietate remarcabilă a unui hiperboloid: deși conține două familii de linii drepte, existența acestor linii nu împiedică îndoirea suprafeței - nu o face rigidă. Dacă construim un model de hiperboloid din tije care se pot roti liber în jurul punctelor de intersecții reciproce, atunci suprafața în ansamblu

Scop: studierea secțiunilor conice.

Obiective: să învețe să distingă tipurile de secțiuni conice, să construiască secțiuni cinice și să aplice o abordare analitică.

Secțiunile conice au fost propuse pentru prima dată de geometrul grec antic Menechmus, care a trăit în secolul al IV-lea î.Hr., când a rezolvat problema dublării unui cub. Această sarcină este asociată cu următoarea legendă.

Într-o zi, o ciuma a izbucnit pe insula Delos. Locuitorii insulei s-au îndreptat către oracol, care a spus că, pentru a opri epidemia, este necesară dublarea altarului de aur, care avea forma unui cub și se afla în templul lui Apollo din Atena. Insulei au făcut un nou altar, ale cărui coaste erau de două ori mai mari decât coastele celui dintâi. Cu toate acestea, ciuma nu s-a oprit. Locuitorii supărați au auzit de la oracol că au înțeles greșit rețeta lui - a fost necesar să se dubleze nu marginile cubului, ci volumul acestuia, adică să se mărească uneori marginile cubului. În ceea ce privește algebrei geometrice, care a fost folosită de matematicienii greci, problema însemna: pentru un anumit segment a, găsiți astfel de segmente x și y astfel încât a: x = x: y = y: 2a. Atunci lungimea lui x va fi .

Proporția dată poate fi considerată ca un sistem de ecuații:

Dar x 2 =ay și y 2 =2ax sunt ecuațiile parabolelor. Prin urmare, pentru a rezolva problema, este necesar să găsiți punctele de intersecție a acestora. Dacă luăm în considerare că din sistem se poate obține și ecuația hiperbolei xy=2a 2, atunci aceeași problemă poate fi rezolvată prin găsirea punctelor de intersecție ale parabolei cu hiperbola.

Pentru a obține secțiuni conice, Menechmus a traversat un con - unghi ascuțit, dreptunghiular sau obtuz - cu un plan perpendicular pe unul dintre generatoare. Pentru un con cu unghi ascuțit, secțiunea unui plan perpendicular pe generatricea sa are forma unei elipse. Un con obtuz dă o hiperbolă, în timp ce un con dreptunghiular dă o parabolă.

De aici au venit denumirile curbelor, care au fost introduse de Apollonius din Perga, care a trăit în secolul al III-lea î.Hr.: elipsă (έλλείψίς), care înseamnă un defect, o lipsă (a unui unghi de con față de o linie dreaptă); hiperbolă (ύπέρβωλη) - exagerare, preponderență (unghiul unui con peste o dreaptă); parabola (παραβολη) - aproximare, egalitate (unghiul conului la unghiul drept). Mai târziu, grecii au observat că toate cele trei curbe pot fi obținute pe același con prin modificarea pantei planului de tăiere. În acest caz, ar trebui să luăm un con format din două cavități și să ne gândim că se extind la infinit (Fig. 1).

Dacă desenăm o secțiune a unui con circular perpendicular pe axa acestuia și apoi rotim planul de tăiere, lăsând un punct de intersecție cu conul nemișcat, vom vedea cum se va întinde mai întâi cercul, transformându-se într-o elipsă. Apoi, cel de-al doilea vârf al elipsei va merge la infinit, iar în loc de o elipsă va apărea o parabolă, iar apoi planul va tăia a doua cavitate a conului și va apărea o hiperbolă.

Conceptul de secțiuni conice.

Secțiunile conice sunt curbe plane care se obțin prin intersectarea unui con circular drept cu un plan care nu trece prin vârful său. Din punctul de vedere al geometriei analitice, secțiunea conică este locul punctelor care satisfac o ecuație de ordinul doi. Cu excepția cazurilor degenerate discutate în ultima secțiune, secțiunile conice sunt elipse, hiperbole sau parabole (Fig. 2).

Când un triunghi dreptunghic se rotește în jurul unuia dintre catete, ipotenuza cu prelungirile sale descrie o suprafață conică, numită suprafața unui con circular drept, care poate fi considerată ca o serie continuă de drepte care trec prin vârf și numite generatrice și toate generatoarele se bazează pe același cerc, numit producător. Fiecare dintre generatori este o ipotenuză a unui triunghi rotativ (în poziția sa cunoscută), continuată în ambele direcții până la infinit. Astfel, fiecare generatrică se extinde pe ambele părți ale vârfului, drept urmare suprafața are și două cavități: acestea converg către un punct la un vârf comun. Dacă o astfel de suprafață este străbătută de un plan, atunci se va obține o curbă în secțiune, care se numește secțiune conică. Poate fi de trei tipuri:

1) dacă un plan intersectează o suprafață conică de-a lungul tuturor generatoarelor, atunci este tăiată o singură cavitate și se obține o curbă închisă în secțiune, numită elipsă;

2) dacă planul de tăiere intersectează ambele cavități, atunci se obține o curbă care are două ramuri și se numește hiperbolă;

3) dacă planul de tăiere este paralel cu unul dintre generatoare, atunci se obține o parabolă.

Dacă planul de tăiere este paralel cu cercul generator, atunci se obține un cerc, care poate fi considerat ca un caz special al unei elipse. Planul de tăiere poate intersecta suprafața conică doar la un vârf, apoi se obține un punct în secțiune, ca caz special al unei elipse.

Dacă ambele cavități sunt intersectate de un plan care trece prin vârf, atunci în secțiune se obține o pereche de drepte care se intersectează, considerată ca un caz special de hiperbolă.

Dacă vârful este la infinit, atunci suprafața conică se transformă într-una cilindrică, iar secțiunea sa printr-un plan paralel cu generatoarele dă o pereche de drepte paralele ca un caz special de parabolă. Secțiunile conice sunt exprimate prin ecuații de ordinul 2, a căror formă generală este

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

și se numesc curbe de ordinul 2.

Tipuri de secțiuni conice.

Secțiunile conice pot fi de trei tipuri:

1) planul de tăiere intersectează toate generatricele conului în punctele uneia dintre cavitățile acestuia; linia de intersecție este o curbă ovală închisă - o elipsă; un cerc ca caz special al unei elipse se obține atunci când planul de tăiere este perpendicular pe axa conului.

2) Planul de tăiere este paralel cu unul din planurile tangente ale conului; în secțiune, se obține o curbă deschisă care merge la infinit - o parabolă, situată în întregime pe o cavitate.

3) Planul de tăiere intersectează ambele cavități ale conului; linia de intersecție - hiperbola - este formată din două părți identice neînchise (ramuri ale hiperbolei) care se extind la infinit, situate pe ambele cavități ale conului.

Studiu.

În cazurile în care secțiunea conică are un centru de simetrie (centru), adică este o elipsă sau hiperbolă, ecuația sa poate fi redusă (prin mutarea originii în centru) la forma:

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Studii ulterioare ale unor astfel de secțiuni conice (numite centrale) arată că ecuațiile lor pot fi reduse la o formă și mai simplă:

Ah 2 + Wu 2 = C,

dacă alegeți direcțiile principale pentru direcțiile axelor de coordonate - direcțiile axelor principale (axele de simetrie) ale secțiunilor conice. Dacă A și B au același semn (coincidend cu semnul lui C), atunci ecuația definește o elipsă; dacă A și B au semne diferite, atunci este o hiperbolă.

Ecuația unei parabole nu poate fi redusă la forma (Ax 2 + Vu 2 \u003d C). Cu o alegere adecvată a axelor de coordonate (o axă de coordonate este singura axă de simetrie a parabolei, cealaltă este o dreaptă perpendiculară pe aceasta care trece prin vârful parabolei), ecuația sa poate fi redusă la forma:

CONSTRUCȚIA SECȚIUNILOR CONICE.

În timp ce studiau secțiunile conice ca intersecții de planuri și conuri, matematicienii greci antici le considerau și ca traiectorii de puncte pe un plan. S-a constatat că o elipsă poate fi definită drept locul punctelor, suma distanțelor de la care până la două puncte date este constantă; parabolă - ca loc de puncte echidistant de un punct dat și de o dreaptă dată; hiperbola - ca loc al punctelor, diferența de distanțe de la care la două puncte date este constantă.

Aceste definiții ale secțiunilor conice ca curbe plane sugerează, de asemenea, o modalitate de a le construi folosind un fir întins.

Elipsă. Dacă capetele unui fir de o lungime dată sunt fixate în punctele F 1 și F 2 (Fig. 3), atunci curba descrisă de vârful unui creion care alunecă de-a lungul unui fir strâns întins are forma unei elipse. Punctele F 1 și F 2 se numesc focare ale elipsei, iar segmentele V 1 V 2 și v 1 v 2 dintre punctele de intersecție ale elipsei cu axele de coordonate sunt numite axe majore și minore. Dacă punctele F 1 și F 2 coincid, atunci elipsa se transformă într-un cerc (Fig. 3).

Hiperbolă. La construirea unei hiperbole, punctul P, vârful unui creion, este fixat pe un fir care alunecă liber de-a lungul cherelor instalate în punctele F 1 și F 2, așa cum se arată în Figura 4, iar distanțele sunt alese astfel încât segmentul PF 2 este mai lung decât segmentul PF 1 cu o valoare fixă mai mică decât distanţa F 1 F 2 . În acest caz, un capăt al firului trece pe sub cuiul F1 și ambele capete ale firului trec peste cuiul F2. (Vârful creionului nu trebuie să alunece de-a lungul firului, deci trebuie să fie asigurat făcând o buclă mică pe fir și înfilând vârful în el.) Desenăm o ramură a hiperbolei (PV 1 Q), asigurându-ne că firul rămâne întins tot timpul și, trăgând ambele capete ale firului în jos dincolo de punctul F 2, iar când punctul P este sub segmentul F 1 F 2, ținând firul la ambele capete și eliberându-l cu grijă. Desenăm a doua ramură a hiperbolei schimbând mai întâi pinii F 1 și F 2 (Fig. 4).

Ramurile hiperbolei se apropie de două linii drepte care se intersectează între ramuri. Aceste linii, numite asimptotele hiperbolei, sunt construite așa cum se arată în Figura 4b. colţ

coeficienţii acestor drepte sunt unde este segmentul bisectoarei unghiului dintre asimptote, perpendicular pe segmentul F 2 F 1 ; segmentul v 1 v 2 se numește axa conjugată a hiperbolei, iar segmentul V 1 V 2 se numește axa ei transversală. Astfel, asimptotele sunt diagonalele unui dreptunghi cu laturile care trec prin patru puncte v 1 , v 2 , V 1 , V 2 paralele cu axele. Pentru a construi acest dreptunghi, trebuie să specificați locația punctelor v 1 și v 2 . Sunt la aceeași distanță, egală cu

din punctul de intersecție a axelor O. Această formulă presupune construirea unui triunghi dreptunghic cu catetele Ov 1 și V 2 O și ipotenuza F 2 O.

Dacă asimptotele hiperbolei sunt reciproc perpendiculare, atunci hiperbola se numește isoscelă. Două hiperbole având asimptote comune, dar cu axele transversale și conjugate rearanjate, se numesc conjugate reciproc.

Parabolă. Focarele elipsei și hiperbolei erau cunoscute de Apollonius, dar focarul parabolei, aparent, a fost stabilit pentru prima dată de Pappus (a doua jumătate a secolului al III-lea), care a definit această curbă ca fiind locul punctelor echidistante de un punct dat ( focus) și o linie dreaptă dată, care se numește director. Construcția unei parabole folosind un fir întins, pe baza definiției lui Pappus, a fost propusă de Isidor de Milet (sec. VI) (Fig. 5).

Să aranjam rigla astfel încât marginea sa să coincidă cu directriza și să atașăm catetul AC al triunghiului desenat ABC la această margine. Fixăm un capăt al firului de lungime AB la vârful B al triunghiului, iar celălalt la focarul parabolei F. Tragând firul cu vârful creionului, apăsăm vârful în punctul variabil P spre liber. catetul AB al triunghiului desenat. Pe măsură ce triunghiul se mișcă de-a lungul riglei, punctul P va descrie arcul unei parabole cu focus F și directrice, deoarece lungimea totală a firului este AB, segmentul firului este adiacent piciorului liber al triunghiului și, prin urmare, segmentul rămas al filetului PF trebuie să fie egal cu partea rămasă a piciorului AB, adică PA. Punctul de intersecție al parabolei V cu axa se numește vârful parabolei, linia dreaptă care trece prin F și V se numește axa parabolei. Dacă prin focar este trasată o linie dreaptă perpendiculară pe axă, atunci segmentul acestei linii drepte tăiat de parabolă se numește parametru focal. Pentru o elipsă și o hiperbolă, parametrul focal este definit în mod similar.

ABORDAREA ANALITICĂ

unde nu toți coeficienții A, B și C sunt egali cu zero. Cu ajutorul translației și rotației paralele a axelor, ecuația (1) poate fi redusă la forma

ax 2 + cu 2 + c = 0

Prima ecuație se obține din ecuația (1) pentru B 2 > AC, a doua, pentru B 2 = AC. Secțiunile conice ale căror ecuații sunt reduse la prima formă se numesc centrale. Secțiunile conice date de ecuații de al doilea tip cu q > 0 se numesc necentrale. În cadrul acestor două categorii, există nouă tipuri diferite de secțiuni conice, în funcție de semnele coeficienților.

1) Dacă coeficienții a, b și c au același semn, atunci nu există puncte reale ale căror coordonate ar satisface ecuația. O astfel de secțiune conică se numește elipsă imaginară (sau cerc imaginar dacă a = b).

2) Dacă a și b au același semn, iar c are semnul opus, atunci secțiunea conică este o elipsă; pentru a = b, este un cerc.

3) Dacă a și b au semne diferite, atunci secțiunea conică este o hiperbolă.

4) Dacă a și b au semne diferite și c = 0, atunci secțiunea conică este formată din două drepte care se intersectează.

5) Dacă a și b au același semn și c = 0, atunci există un singur punct real pe curbă care satisface ecuația, iar secțiunea conică este două drepte imaginare care se intersectează. În acest caz, se vorbește și de o elipsă contractată la un punct sau, dacă a = b, de un cerc contractat la un punct.

6) Dacă a sau b este egal cu zero, iar ceilalți coeficienți au semne diferite, atunci secțiunea conică este formată din două drepte paralele.

7) Dacă a sau b este egal cu zero, iar coeficienții rămași au același semn, atunci nu există niciun punct real care să satisfacă ecuația. În acest caz, se spune că secțiunea conică este formată din două linii paralele imaginare.

8) Dacă c = 0 și fie a sau b este, de asemenea, zero, atunci secțiunea conică este formată din două drepte reale congruente. (Ecuația nu definește nicio secțiune conică la a = b = 0, deoarece în acest caz ecuația inițială (1) nu este de gradul doi.)

9) Ecuațiile de al doilea tip definesc parabolele dacă p și q sunt diferite de zero. Dacă p > 0 și q = 0, obținem curba de la elementul 8. Dacă p = 0, atunci ecuația nu definește nicio secțiune conică, deoarece ecuația inițială (1) nu este de gradul doi.

Aplicație

Secțiunile conice se găsesc adesea în natură și tehnologie. De exemplu, orbitele planetelor care se rotesc în jurul Soarelui sunt elipse. Un cerc este un caz special al unei elipse, în care axa majoră este egală cu cea minoră. O oglindă parabolică are proprietatea că toate razele incidente paralele cu axa ei converg într-un punct (focal). Acesta este folosit în majoritatea telescoapelor reflectorizante care folosesc oglinzi parabolice, precum și în antene radar și microfoane speciale cu reflectoare parabolice. Un fascicul de raze paralele emană dintr-o sursă de lumină plasată în focarul unui reflector parabolic. Prin urmare, oglinzile parabolice sunt folosite în reflectoare puternice și faruri auto. O hiperbola este un grafic al multor relații fizice importante, cum ar fi legea lui Boyle (care leagă presiunea și volumul unui gaz ideal) și legea lui Ohm, care definește curentul electric ca o funcție a rezistenței la tensiune constantă.

Aplicație

Bibliografie.

1. Alekseev. Teorema lui Abel în probleme și soluții. 2001

2. Bazylev V. T., Dunichev K. I., Ivanitskaya V. P. Manual pentru studenții din anul I ai facultăților de fizică și matematică ale institutelor pedagogice. „Iluminarea” de la Moscova 1974

3. Vereshchagin N.K., A. Shen. Prelegeri despre logica matematica si teoria algoritmilor. 1999

4. Gelfand I.M. Prelegeri de algebră liniară. 1998.

5. Gladkiy A.V. Introducere în logica modernă. 2001

6. M.E. Kazaryan. Curs de geometrie diferenţială (2001-2002).

7. Prasolov V.V. Geometria lui Lobachevsky 2004

8. Prasolov V.V. Probleme în planimetrie 2001

9. O. K. Sheinman, Fundamentele teoriei reprezentării. 2004

Kudinov Vladislav

Diferite tipuri de secțiuni conice și utilizarea lor în practică

Descarca:

Previzualizare:

COMITETUL PENTRU EDUCAȚIE ȘI ȘTIINȚĂ

REGIUNEA VOLGOGRAD

GBPOU „Colegiul de Inginerie Petrol și Gaze din Volgograd, numit după V.I. N. Serdyukov»

PROIECT INDIVIDUAL

după disciplina academică

Matematica: algebra si inceputurile analizei; geometrie

Subiect: „Secțiuni conice și aplicațiile lor în inginerie”

Este realizat de un student

Grupa nr. 30

Kudinov Vladislav

Manager de proiect

profesor

Censkaia Karina Romanovna

2017

1. Introducere……………………………………………………………………………… 3

2. Conceptul de secțiuni conice…………………………………………………………5

3. Vederea secțiunilor conice…………………………………………………………………..6

4. Cercetare………………………………………………………………………..7

5. Proprietățile secțiunilor conice…. ……………………………………….8

6. Construcția secțiunilor conice……………………………………….9

7. Abordare analitică……………………………………………………11

8. Aplicație………………………………………………………………………….13

9. Peste con………………………………………………………………………..14

10. Concluzie………………………………………………………………………..15

11. Lista literaturii utilizate………………………………………..15

INTRODUCERE

Secțiunile conice au fost propuse pentru prima dată de geometrul grec antic Menechmus, care a trăit în secolul al IV-lea î.Hr., când a rezolvat problema dublării unui cub.

De aici au venit denumirile curbelor, care au fost introduse de Apollonius din Perga, care a trăit în secolul al III-lea î.Hr.: elipsă, care înseamnă un defect, o lipsă (a unui unghi de con la o linie dreaptă); hiperbolă - exagerare, preponderență (unghiul conului peste dreapta); parabolă - aproximare, egalitate (unghiul conului față de unghiul drept). Mai târziu, grecii au observat că toate cele trei curbe pot fi obținute pe același con prin modificarea pantei planului de tăiere. În acest caz, ar trebui să luăm un con format din două cavități și să ne gândim că se extind la infinit (Fig. 1)

Relevanţă

Multă vreme, secțiunile conice nu și-au găsit aplicație până când astronomii și fizicienii s-au interesat serios de ele. S-a dovedit că aceste linii se găsesc în natură (un exemplu în acest sens sunt traiectoriile corpurilor cerești) și descriu grafic multe procese fizice (hiperbola conduce aici: amintiți-vă, de exemplu, legea lui Ohm și legea lui Boyle-Mariotte), nu menționează aplicarea lor în mecanică și optică. În practică, cel mai adesea în inginerie și construcții, trebuie să se ocupe de o elipsă și o parabolă.

Fig.1

Scopul lucrării:

Explorați diferite tipuri de secțiuni conice și proprietățile acestora.

Sarcini:

1. Studiați informațiile teoretice folosind resursele de pe Internet pe această temă.

2. Familiarizați-vă cu utilizarea secțiunilor conice în inginerie.

Obiecte de cercetare:secțiuni conice.

Subiect de studiu:aplicarea secțiunilor conice în inginerie.

CONCEPTUL DE SECȚIUNI CONICE

Fig.2

1) dacă un plan intersectează o suprafață conică de-a lungul tuturor generatoarelor, atunci este tăiată o singură cavitate și se obține o curbă închisă în secțiune, numită elipsă;

2) dacă planul de tăiere intersectează ambele cavități, atunci se obține o curbă care are două ramuri și se numește hiperbolă;

3) dacă planul de tăiere este paralel cu unul dintre generatoare, atunci se obține o parabolă.

Dacă un plan care trece printr-un vârf intersectează ambele plane, atunci în secțiune se obține o pereche de drepte care se intersectează, considerată ca un caz special de hiperbolă.

Ax 2 + Bhu + C +Dx + Ey + F = 0 și se numesc curbe de ordinul 2.

TIPURI DE SECȚIUNI CONICE.

Secțiunile conice pot fi de trei tipuri:

2) Planul de tăiere este paralel cu unul din planurile tangente ale conului; în secțiune, se obține o curbă deschisă care merge la infinit - o parabolă, situată în întregime pe o cavitate.

(fig.1) parabolă (fig.2) elipsă (fig.3) hiperbolă

STUDIU

În cazurile în care secțiunea conică are un centru de simetrie (centru), adică este o elipsă sau hiperbolă, ecuația sa poate fi redusă (prin mutarea originii în centru) la forma:

a 11 x 2 +2 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Studii ulterioare ale unor astfel de secțiuni conice (numite centrale) arată că ecuațiile lor pot fi reduse la o formă și mai simplă:

Ah 2 + Wu 2 = C,

Aduceți ecuația parabolei la forma (Ax 2 + woo 2 = C) nu poți. Cu o alegere adecvată a axelor de coordonate (o axă de coordonate este singura axă de simetrie a parabolei, cealaltă este o dreaptă perpendiculară pe aceasta care trece prin vârful parabolei), ecuația sa poate fi redusă la forma:

y 2 = 2px.

PROPRIETĂȚI ALE SECȚIUNILOR CONICE

Definiții Pappus. Stabilirea focalizării parabolei l-a condus pe Pappus la ideea de a oferi o definiție alternativă a secțiunilor conice în general. Fie F un punct dat (focalizare), L o linie dată (directrice) care nu trece prin F și DF și DL distanțele de la punctul de mișcare P la focarul F și, respectiv, directriza L. Apoi, după cum a arătat Papp, secțiunile conice sunt definite ca loc al punctelor P pentru care raportul DF:DL este o constantă nenegativă. Acest raport se numește excentricitatea e a secțiunii conice. Când e 1 - hiperbolă; pentru e = 1 - parabolă. Dacă F se află pe L, atunci locul are forma unor drepte (reale sau imaginare), care sunt secțiuni conice degenerate. Simetria evidentă a elipsei și a hiperbolei sugerează că fiecare dintre aceste curbe are două directrice și două focare, iar această circumstanță l-a condus pe Kepler în 1604 la ideea că parabola are și un al doilea focar și o a doua directrice - un punct la infinit și Drept. În același mod, un cerc poate fi considerat ca o elipsă, ale cărei focare coincid cu centrul, iar directricele sunt la infinit. Excentricitatea e în acest caz este egală cu zero.

Proprietăți. Proprietățile secțiunilor conice sunt cu adevărat inepuizabile și oricare dintre ele poate fi considerată decisivă. Un loc important în Colecția de matematică a lui Pappus, Geometria lui Descartes (1637) și Principiile lui Newton (1687) este ocupat de problema locului punctelor în raport cu patru drepte. Dacă pe plan sunt date patru drepte L 1, L2, L3 și L4 (dintre care două pot coincide) și punctul P este astfel încât produsul distanțelor de la P la L 1 și L 2 proporțional cu produsul distanțelor de la P la L 3 și L 4 , atunci locul punctelor P este o secțiune conică.

CONSTRUCȚIA SECȚIUNILOR CONICE

Aceste definiții ale secțiunilor conice ca curbe plane sugerează, de asemenea, o modalitate de a le construi folosind un fir întins.

Elipsă. Dacă capetele unui fir de o lungime dată sunt fixate în punctele F 1 și F2 (Fig. 3), apoi curba descrisă de vârful unui creion care alunecă de-a lungul unui fir strâns întins are forma unei elipse. Punctele F 1 și F2 sunt numite focare ale elipsei, iar segmentele V 1 v 2 și v 1 v 2 între punctele de intersecție ale elipsei cu axele de coordonate - axele majore și minore. Dacă punctele F 1 și F2 coincid, elipsa se transformă într-un cerc (Fig. 3).

Fig.3

Hiperbolă. La construirea unei hiperbole, punctul P, punctul unui creion, este fixat pe un fir care alunecă liber de-a lungul cherelor instalate în punctele F. 1 și F2 , după cum se arată în Figura 4, a, distanțele sunt alese astfel încât segmentul PF 2 depăşeşte lungimea segmentului PF 1 cu o valoare fixă mai mică decât distanța F 1 F 2 . În acest caz, un capăt al firului trece pe sub cuiul F 1 , iar ambele capete ale firului trec peste cuiul F 2 . (Vârful creionului nu trebuie să alunece de-a lungul firului, deci trebuie să fie asigurat făcând o buclă mică pe fir și trecând vârful prin el.) O ramură a hiperbolei (PV) 1 Q) tragem, asigurându-ne că firul rămâne întins tot timpul și, trăgând ambele capete ale firului în jos, dincolo de punctul F 2 , iar când punctul P este sub segmentul F 1 F 2 în timp ce ținem ambele capete ale firului și îl eliberezi ușor. Desenăm a doua ramură a hiperbolei schimbând mai întâi cheile F 1 și F 2 (Fig. 4).

Fig.4

Ramurile hiperbolei se apropie de două linii drepte care se intersectează între ramuri. Aceste linii sunt numite asimptotele hiperbolei. Coeficienții de pantă ai acestor drepte sunt unde este segmentul bisectoarei unghiului dintre asimptote, perpendicular pe segmentul F 2 F1; segmentul v 1 v 2 se numește axa conjugată a hiperbolei și segmentul V 1 v 2 - axul său transversal. Astfel, asimptotele sunt diagonalele unui dreptunghi cu laturile care trec prin cele patru puncte v 1, v2, V1, V2 paralel cu axele. Pentru a construi acest dreptunghi, trebuie să specificați locația punctelor v 1 și v2 . Sunt la aceeași distanță, egală cu punctul de intersecție al axelor O. Această formulă presupune construirea unui triunghi dreptunghic cu catetele Ov 1 și V 2 O și ipotenuza F 2 O.

Fig.5

ABORDAREA ANALITICĂ

Clasificare algebrică. În termeni algebrici, secțiunile conice pot fi definite ca curbe plane ale căror coordonate carteziene satisfac o ecuație de gradul doi. Cu alte cuvinte, ecuația tuturor secțiunilor conice poate fi scrisă în forma generală în care nu toți coeficienții A, B și C sunt egali cu zero. Cu ajutorul translației și rotației paralele a axelor, ecuația (1) poate fi redusă la forma

ax 2 + cu 2 + c = 0

px2 + qy = 0.

Prima ecuație se obține din ecuația (1) pentru B2 > AC, a doua - pentru B 2 = AC. Secțiunile conice ale căror ecuații sunt reduse la prima formă se numesc centrale. Secțiunile conice date de ecuații de al doilea tip cu q > 0 se numesc necentrale. În cadrul acestor două categorii, există nouă tipuri diferite de secțiuni conice, în funcție de semnele coeficienților.

2) Dacă a și b au același semn și c este opus, atunci secțiunea conică este o elipsă; pentru a = b - cerc.

3) Dacă a și b au semne diferite, atunci secțiunea conică este o hiperbolă.

4) Dacă a și b au semne diferite și c = 0, atunci secțiunea conică este formată din două drepte care se intersectează.

6) Dacă a sau b este egal cu zero, iar ceilalți coeficienți au semne diferite, atunci secțiunea conică este formată din două drepte paralele.

APLICARE

Toate corpurile din sistemul solar se deplasează în jurul soarelui în elipse. Corpurile cerești care intră în sistemul solar din alte sisteme stelare se mișcă în jurul soarelui pe o orbită hiperbolică și, dacă mișcarea lor nu este influențată semnificativ de planetele sistemului solar, îl lasă pe aceeași orbită. Sateliții săi artificiali și satelitul său natural, Luna, se deplasează în jurul Pământului de-a lungul unor elipse, iar navele spațiale lansate pe alte planete se deplasează de-a lungul parabolelor sau hiperbolelor (în funcție de viteză) după ce motoarele nu mai funcționează până când atracția altor planete sau a Soarelui devine comparabilă. la gravitația pământului (Fig. 3).

Peste con

O elipsă și cazul său special - un cerc, o parabolă și o hiperbolă sunt ușor de obținut experimental. Pentru rolul unui cornet, de exemplu, un cornet de vafe cu inghetata este destul de potrivit. Trageți mental unul dintre generatoarele sale și tăiați claxonul în diferite unghiuri față de el. Sarcina este să faceți doar patru încercări și să obțineți toate secțiunile conice posibile pe felii. Este și mai ușor să efectuați un experiment cu o lanternă: în funcție de poziția sa în spațiu, conul de lumină va da pete de diferite forme pe peretele camerei. Limita fiecărui spot este una dintre secțiunile conice. Întorcând lanterna într-un plan vertical, veți vedea cum o curbă o înlocuiește pe alta: cercul este întins într-o elipsă, apoi se transformă într-o parabolă și, la rândul său, într-o hiperbolă.

Matematicianul rezolvă aceeași problemă teoretic comparând două unghiuri: α - între axa conului și generatrice și β - între planul secant și axa conului. Și iată rezultatul: pentru α β este o ramură a hiperbolei. Dacă considerăm generatoarele drept linii drepte și nu segmente, adică luăm în considerare o figură simetrică nelimitată a două conuri cu un vârf comun, devine clar că elipsa este o curbă închisă, parabola constă dintr-o ramură infinită și hiperbola este formată din două.

Cea mai simplă secțiune conică - un cerc - poate fi desenată folosind un fir și o garoafe. Este suficient să legați un capăt al firului de o garoafă înfiptă în hârtie, iar celălalt de un creion și să îl trageți. După ce a făcut o întoarcere completă, creionul va contura un cerc. Sau puteți folosi o busolă: prin schimbarea soluției sale, este ușor să desenați o întreagă familie de cercuri.

CONCLUZIE

În timpul scrierii lucrării în secțiunile științifice ale Internetului, m-am familiarizat cu diferite tipuri de secțiuni conice, am învățat să le recunosc, să le găsesc prototipurile în obiectele din jurul nostru. După ce am analizat fenomenele naturale și tehnice, am ajuns la concluzia că secțiunile conice sunt baza pentru crearea diferitelor instrumente și modele tehnice și sunt, de asemenea, aplicabile pe scară largă în astronomie.

LISTA LITERATURII UTILIZATE slide 2

Introducere: Scopul lucrării: Explorarea diferitelor tipuri de secțiuni conice și proprietățile acestora. Sarcini: 1. Studierea informațiilor teoretice folosind resursele de pe Internet pe această temă. 2. Familiarizați-vă cu utilizarea secțiunilor conice în inginerie. Obiecte de studiu: secțiuni conice. Obiectul de studiu: utilizarea secțiunilor conice în inginerie.

Relevanță Secțiunile conice se găsesc în natură și descriu grafic multe procese fizice (legea lui Ohm și legea lui Boyle-Mariotte), ca să nu mai vorbim de aplicarea lor în mecanică și optică. În practică, cel mai adesea în inginerie și construcții, trebuie să se ocupe de o elipsă și o parabolă.

Tipuri de secțiuni conice: 1) dacă planul de tăiere este paralel cu unul dintre generatoare, atunci se obține o parabolă; 2) dacă un plan intersectează o suprafață conică de-a lungul tuturor generatoarelor, atunci se disecă o singură cavitate și se obține o curbă închisă în secțiune, numită elipsă; 3) Dacă planul de tăiere intersectează ambele cavități, atunci se obține o curbă care are două ramuri și se numește hiperbolă;

Metode de realizare a secțiunilor conice

aplicarea

Concluzie În timpul scrierii lucrării în secțiunile științifice ale Internetului, m-am familiarizat cu diferite tipuri de secțiuni conice, am învățat să le recunosc, să le găsesc prototipurile în obiectele din jurul nostru. Analizând fenomenele naturale și tehnice, am ajuns la concluzia că secțiunile conice sunt baza pentru crearea diferitelor instrumente și modele tehnice și sunt, de asemenea, aplicabile pe scară largă în astronomie.

Lista literaturii folosite 1 . Vereshchagin N.K., A. Shen. Prelegeri despre logica matematica si teoria algoritmilor. 1999 2 . Prasolov V.V., Geometria lui Lobachevsky 2004 3 . http: //www.0zd.ru/matematika/konicheskie_secheniya.html 4 . Komatsu M. Varietate de geometrie. - M.; Cunoașterea, 1981 5. Kordemsky B.A. Vieți grozave în matematică. - M; Iluminismul, 1995. ru.wikipedia.org/wiki/ Geometrie 6. http: //www.coolreferat.com/ History_Geometry 7. http//www.shevkin.ru/ ? action=Pagina&ID=232

Vă mulțumim pentru atenție!

Instituția Municipală de Învățământ

Scoala Gimnaziala nr 4

împlinit

Spiridonov Anton

elev de clasa a XI-a

verificat

Korobeynikova A.T.

Tobolsk - 2006

Introducere

Conceptul de secțiuni conice

Tipuri de secțiuni conice

Studiu

Construcția secțiunilor conice

Abordare analitică

Aplicație

Bibliografie

Introducere.

Scop: studierea secțiunilor conice.

Obiective: să învețe să distingă tipurile de secțiuni conice, să construiască secțiuni cinice și să aplice o abordare analitică.

Proporția dată poate fi considerată ca un sistem de ecuații:

și se numesc curbe de ordinul 2.

Tipuri de secțiuni conice.

Secțiunile conice pot fi de trei tipuri:

2) Planul de tăiere este paralel cu unul din planurile tangente ale conului; în secțiune, se obține o curbă deschisă care merge la infinit - o parabolă, situată în întregime pe o cavitate.

Studiu.

În cazurile în care secțiunea conică are un centru de simetrie (centru), adică este o elipsă sau hiperbolă, ecuația sa poate fi redusă (prin mutarea originii în centru) la forma:

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Studii ulterioare ale unor astfel de secțiuni conice (numite centrale) arată că ecuațiile lor pot fi reduse la o formă și mai simplă:

Ah 2 + Wu 2 = C,

CONSTRUCȚIA SECȚIUNILOR CONICE.

Aceste definiții ale secțiunilor conice ca curbe plane sugerează, de asemenea, o modalitate de a le construi folosind un fir întins.

Elipsă. Dacă capetele unui fir de o lungime dată sunt fixate în puncte F 1 și F 2 (Fig. 3), apoi curba descrisă de vârful unui creion care alunecă de-a lungul unui fir strâns întins are forma unei elipse. puncte F 1 și F 2 se numesc focarele elipsei, iar segmentele V 1 V 2 și v 1 v 2 între punctele de intersecție ale elipsei cu axele de coordonate - axele majore și minore. Dacă punctele F 1 și F 2 coincid, elipsa se transformă într-un cerc (Fig. 3).

Hiperbolă. Când construiți o hiperbolă, un punct P, vârful unui creion, se fixează pe un fir care alunecă liber de-a lungul cherelor instalate în puncte F 1 și F 2, după cum se arată în Figura 4, a, distanțele sunt alese astfel încât segmentul PF 2 este mai lung decât segmentul PF 1 cu o sumă fixă mai mică decât distanța F 1 F 2. În acest caz, un capăt al firului trece pe sub cuier F 1, iar ambele capete ale firului trec peste cuier F 2. (Vârful creionului nu trebuie să alunece de-a lungul firului, așa că trebuie să îl fixați făcând o buclă mică pe fir și introducând vârful în el.) O ramură a hiperbolei ( PV 1 Q) tragem, asigurându-ne că firul rămâne întins tot timpul și, trăgând ambele capete ale firului în jos peste punct F 2, iar când punctul P va fi sub linie F 1 F 2 în timp ce țineți ambele capete ale firului și eliberați-l ușor. Desenăm a doua ramură a hiperbolei, după ce am schimbat anterior cheii F 1 și F 2 (Fig. 4).

Ramurile hiperbolei se apropie de două linii drepte care se intersectează între ramuri. Aceste linii sunt numite asimptote hiperbolice, sunt construite așa cum se arată în Figura 4b. colţ

coeficienții acestor drepte sunt unde este segmentul bisectoarei unghiului dintre asimptote, perpendicular pe segment F 2 F 1; segment de linie v 1 v 2 se numește axa conjugată a hiperbolei și segmentul V 1 V 2 - axa sa transversală. Deci asimptotele sunt diagonalele unui dreptunghi cu laturile care trec prin patru puncte v 1 , v 2 , V 1 , V 2 paralele cu axele. Pentru a construi acest dreptunghi, trebuie să specificați locația punctelor v 1 și v 2. Sunt la aceeași distanță, egală cu

din punctul de intersecție a axelor O. Această formulă presupune construirea unui triunghi dreptunghic cu catete Ov 1 și V 2 O si ipotenuza F 2 O.

Dacă asimptotele unei hiperbole sunt reciproc perpendiculare, atunci hiperbola se numește isoscel. Două hiperbole având asimptote comune, dar cu axele transversale și conjugate rearanjate, se numesc conjugate reciproc.

Parabolă. Focarele elipsei și hiperbolei erau deja cunoscute lui Apollonius, dar focalizarea parabolelor, aparent, a fost stabilit pentru prima dată de Pappus (a doua jumătate a secolului al III-lea), care a definit această curbă ca fiind locul de puncte echidistante de un punct dat (focus) și o linie dreaptă dată, care se numește directoare. Construcția unei parabole folosind un fir întins, pe baza definiției lui Pappus, a fost propusă de Isidor de Milet (sec. VI) (Fig. 5).

Să aranjam rigla astfel încât marginea sa să coincidă cu directriza și să atașăm piciorul de această margine AC triunghi de desen ABC. Fixăm un capăt al firului cu o lungime ABîn vârf B triunghi și celălalt la focarul parabolei F. Tragând firul cu vârful unui creion, apăsați vârful într-un punct variabil P la patina liberă AB triunghi de desen. Pe măsură ce triunghiul se mișcă de-a lungul riglei, punctul P va descrie arcul unei parabole cu focalizare Fși directrice, deoarece lungimea totală a firului este AB, segmentul firului este adiacent piciorului liber al triunghiului și, prin urmare, segmentul rămas al firului PF trebuie să fie egal cu restul piciorului AB, acesta este PA. Punct de intersecție V parabolă cu o axă se numește vârful parabolei, o linie dreaptă care trece prin FȘi V, - axa parabolei. Dacă prin focar este trasată o linie perpendiculară pe axă, atunci segmentul acestei linii tăiat de parabolă se numește parametru focal. Pentru o elipsă și o hiperbolă, parametrul focal este definit în mod similar.

ABORDAREA ANALITICĂ

unde nu toți coeficienții A, B și C sunt egali cu zero. Cu ajutorul translației și rotației paralele a axelor, ecuația (1) poate fi redusă la forma

ax 2 + cu 2 + c = 0

Prima ecuație se obține din ecuația (1) pentru B 2 > AC, a doua - pentru B 2 = AC. Secțiunile conice ale căror ecuații sunt reduse la prima formă se numesc centrale. Secțiunile conice date de ecuații de al doilea tip cu q > 0 se numesc necentrale. În cadrul acestor două categorii, există nouă tipuri diferite de secțiuni conice, în funcție de semnele coeficienților.

2) Dacă a și b au același semn și c este opus, atunci secțiunea conică este o elipsă; pentru a = b - cerc.

3) Dacă a și b au semne diferite, atunci secțiunea conică este o hiperbolă.

4) Dacă a și b au semne diferite și c = 0, atunci secțiunea conică este formată din două drepte care se intersectează.

6) Dacă a sau b este egal cu zero, iar ceilalți coeficienți au semne diferite, atunci secțiunea conică este formată din două drepte paralele.

Aplicație

Bibliografie.

1. Alekseev. Teorema lui Abel în probleme și soluții. 2001

2. Bazylev V. T., Dunichev K. I., Ivanitskaya V. P. Manual pentru studenții din anul I ai facultăților de fizică și matematică ale institutelor pedagogice. „Iluminarea” de la Moscova 1974

3. Vereshchagin N.K., A. Shen. Prelegeri despre logica matematica si teoria algoritmilor. 1999

4. Gelfand I.M. Prelegeri de algebră liniară. 1998.

5. Gladkiy A.V. Introducere în logica modernă. 2001

6. M.E. Kazaryan. Curs de geometrie diferenţială (2001-2002).

7. Prasolov V.V. Geometria lui Lobachevsky 2004

8. Prasolov V.V. Probleme în planimetrie 2001

9. O. K. Sheinman, Fundamentele teoriei reprezentării. 2004

(vezi) (al cărui ghid este un cerc) de avioane care nu trec prin vârful său.
Dacă planul de tăiere nu este paralel cu niciunul dintre generatorii suprafeței conice, atunci secțiunea conică este o elipsă, în special un cerc (Fig. 107). Dacă planul de tăiere este paralel doar cu unul dintre generatorii suprafeței conice, atunci secțiunea conică este o parabolă (Fig. 108). Dacă planul de tăiere este paralel cu doi generatori ai suprafeței conice, atunci secțiunea conică este o hiperbolă (Fig. 109).
În cazul unei elipse și a unei parabole, planul secant intersectează doar o cavitate a suprafeței conice, în timp ce în cazul unei hiperbole, planul secant intersectează ambele cavități ale suprafeței conice.
Secțiunea conică este altfel numită curbe de ordinul 2. Secțiunile conice au fost deja studiate de matematicienii Greciei antice (de exemplu, Menechmus în secolul al IV-lea î.Hr. a rezolvat problema (vezi) utilizării secțiunilor conice). Cel mai complet studiu al secțiunilor conice a fost realizat de Apollonius din Perga (sec. III î.Hr.).

Secțiunile conice sunt folosite în tehnologie, de exemplu, în angrenaje eliptice, în instalații de proiectoare (oglinzi parabolice), etc. Planetele sistemului solar se mișcă de-a lungul elipselor, cometele se deplasează de-a lungul parabolelor și hiperbolelor.
Studiul secțiunilor conice folosind sfere înscrise într-o suprafață conică a fost realizat de geometrul belgian J. Dandelin (sec. XIX).

Ecuația unei secțiuni conice în coordonate polare este:

unde r este vectorul razei focale (Fig. 110, F este focarul drept al secțiunii conice);

p - parametru focal;
e - excentricitate;
φ - unghi polar.

Dacă e 1, atunci această ecuație determină (vezi); în timp ce pentru unghiul φ care se schimbă de la φ 0 la 2π - φ 0 (unde 2 φ 0 este unghiul dintre asimptotele tg φ 0 =b/a), obținem ramura dreaptă a hiperbolei, iar pentru unghiurile φ care se schimbă din - φ 0 la φ 0 , obținem ramura stângă a hiperbolei.

Denumirea secțiunilor conice (elipsă, parabolă și hiperbolă) este explicată de geometrii antici prin metoda lor de rezolvare a problemelor care se rezumă la rezolvarea ecuațiilor liniare sau pătratice - metoda de aplicare a ariilor, sau metoda parabolică, care se mai numește. metoda algebrei geometrice.

Fie AB \u003d 2a este diametrul elipsei (Fig. 111), AE \u003d 2p, CF este perpendiculara pe AB; atunci pătratul construit pe CD va fi egal cu aria dreptunghiului (AF):

Punând AC=x, CB=2a - x, CD=y, obținem:

În mod similar, pentru o hiperbolă vom avea:

În cazul unei elipse, formula conține un semn minus, adică aria dreptunghiului (CE) este utilizată cu un dezavantaj (greacă ελλειψιζ - dezavantaj). În cazul unei hiperbole, formula conține un semn plus, adică aria dreptunghiului (CE) este folosită în exces (greacă υπερβολη - exces, exces).
Dacă există o egalitate simplă a ariei pătratului și a aria dreptunghiului (CE) (nu există minus sau plus în formulă - nici exces, nici deficiență), adică y² \ u003d 2px, atunci curba (secțiunea conică) se numește parabolă (παραβολη - zone de aplicare, egalizare).

Ministerul Educației al Federației Ruse

Universitatea Pedagogică de Stat din Kaluga

Lor. K.E. Ciolkovski

„Secțiuni conice”

1. Lucrările lui Apollonius

2. „Secțiuni conice” ale lui Apollonius.

2.1 Derivarea ecuației curbei pentru o secțiune a unui con de revoluție dreptunghiular

2.2 Derivarea ecuației pentru parabolă

2.3 Derivarea ecuației pentru elipsă și hiperbolă

2.4 Invarianța secțiunilor conice

2.5 Explorarea în continuare a secțiunilor conice în scrierile lui Apollonius

2.6 Dezvoltarea ulterioară a teoriei secțiunilor conice

3. Concluzie

4. Referințe

Lucrările lui Apollonius

Apollonius s-a născut la Perga, în Asia Mică. Perioada de glorie a activității sale cade în jurul anului 210 î.Hr. î.Hr. În acest moment locuia în Alexandria, unde s-a mutat în tinerețe și unde a studiat sub îndrumarea matematicienilor școlii lui Euclid. Apollonius a devenit faimos ca geometru și astronom. A murit în jurul anului 170. î.Hr e.

În matematică, Apollonius este cel mai bine cunoscut pentru „Secțiunile conice”, în care a oferit o expunere completă a teoriei și a dezvoltat metode analitice și proiective. Apollonius a scris un tratat „Despre inserții”, dedicat clasificării problemelor care se rezolvă cu ajutorul inserțiilor. Astfel de probleme se pot dovedi a fi rezolvabile cu compas și drepte (probleme plane), cu ajutorul secțiunilor conice (probleme solide) și cu ajutorul altor curbe (probleme liniare). A afla cărei clase îi aparține cutare sau cutare problemă ar putea însemna începutul clasificării lor algebrice. Interesul lui Apollonius pentru problemele algebrice s-a manifestat și în cealaltă lucrare a sa, „Despre iraționalități neordonate”, în care a continuat clasificarea lui Euclid.

Lucrările pur geometrice ale lui Apollonius sunt: lucrarea „On Spiral Lines”, în care el consideră spirale pe suprafața unui cilindru, „On Touch”, unde este analizată celebra problemă a lui Apollonius: „Se dau trei lucruri, fiecare dintre care poate fi un punct, o linie sau un cerc; este necesar să se deseneze un cerc care să treacă prin fiecare dintre punctele date și să atingă fiecare dintre liniile sau cercurile date.

Din scrierile „On Plane Geometrical Places” putem concluziona că Apollonius a luat în considerare transformarea planului asupra lui însuși, care traduce linii și cercuri în linii și cercuri. Un caz special al acestor transformări sunt transformările de similaritate și inversiunile de la un anumit punct.

Unele lucrări ale lui Apollonius s-au pierdut și nu au supraviețuit până astăzi.

„Secțiuni conice” ale lui Apollonius

Conic Sections este format din opt cărți. Primele patru, în care, potrivit autorului, sunt prezentate elementele teoriei, au ajuns până la noi în greacă, următoarele trei - în traducerea arabă a lui Sabit ibn Korra, ultima - cartea a opta - este pierdută. . Există o reconstituire a textului său, deținută de astronomul englez E. Halley (sec. XVIII).

Curbele de ordinul doi au fost luate în considerare pentru prima dată în legătură cu problema dublării unui cub; Menechmus le-a prezentat ca secțiuni plane ale conurilor de revoluție dreptunghiulare, obtuz-unghiulare și ascuțite. O astfel de reprezentare stereometrică a garantat existența și continuitatea curbelor luate în considerare. Apoi Menechmus a procedat la derivarea proprietății planimetrice de bază a secțiunii, pe care anticii o numeau simptom (ecuația curbei).

Derivarea ecuației curbei pentru o secțiune a unui con de revoluție dreptunghiular

Fie OAB secțiunea acestui con de planul care trece prin axa OL și fie PLK urma planului perpendicular pe generatricea acestui con (Fig. 1). Atunci KM 2 = AK KB, deoarece AMB este un semicerc. Dar AK=PP′=√2LP 2 și KB=√2KP 2 , deci KM 2 =2LP KP.

Orez. 1

Notăm KM cu y, KP cu p, apoi obținem

Aceasta este o ecuație, sau un simptom, al unei curbe, care este scrisă folosind simboluri alfabetice, iar vechii au scris-o în formă verbală-geometrică: pătratul de pe semicorda KM în fiecare punct este egal cu dreptunghiul PKSR, construit pe segmentul PK al axei până la vârful (x) și pe segmentul constant PR (Fig. 2).

Orez. 2

În mod similar, a fost derivată o ecuație pentru secțiunile unui conuri cu unghi ascuțit și cu unghi obtuz, i.e. elipsa si hiperbola:

= și =, (2)

unde 2a este axa majoră a elipsei sau axa reală a hiperbolei,

iar r este o constantă.

În cazul în care p=a, ecuațiile (2) iau forma

y 2 =x(2a-x) și y 2 =x(2a+x) (3)

dintre care prima este ecuația unui cerc cu raza a, iar a doua este ecuația unei hiperbole echilaterale. Elipsa și hiperbola (2) pot fi obținute din cerc și hiperbola (3) prin micșorare la axa x în raport cu √p/a.

Apollonius dă în primul rând o definiție mai generală. În primul rând, el ia un con circular arbitrar; în al doilea rând, își examinează ambele cavități (ceea ce îi oferă posibilitatea de a studia ambele ramuri ale hiperbolei); în cele din urmă, el desenează o secțiune cu un plan situat la orice unghi față de generatrice.

În limbajul obișnuit al geometriei analitice, putem spune că înainte de Apollonius, secțiunile conice erau considerate în raport cu un sistem de coordonate dreptunghiular, cu una dintre axe coincizând cu diametrul principal, iar a doua trecând perpendicular pe acesta prin vârful curba; Apollonius a atribuit curbele oricărui diametru al unei tangente trasate la unul dintre capete, adică. la un sistem de coordonate oblic.

După definiția stereometrică, Apollonius dă și o derivație a simptomelor - ecuațiile curbelor. În același timp, el clasifică curbele obținute după forma ecuației care le determină, adică. se bazează pe punctul de vedere caracteristic geometriei analitice.

Derivarea ecuației pentru o parabolă

Fie BAC o secțiune a unui con circular printr-un plan care trece prin axă (Fig. 3), iar planul GHD să fie desenat astfel încât DE să fie perpendicular pe BC și GH să fie paralel cu AB (GH ar putea fi ales să fie paralel). la AC). Să găsim ecuația curbei DGE obținută în secțiune.

Orez. 3

Fie K un punct arbitrar al acestei curbe. Desenați KL paralel cu DE și MN paralel cu BC. Planul care trece prin KL și MN va fi paralel cu planul bazei și, așa cum a demonstrat Apollonius mai devreme, va intersecta conul într-un cerc. Prin urmare KL 2 =ML LN.

Segmentul GL este o distanță variabilă a proiecției punctului D de sus, termenii sunt constanți. Apollonius alege un segment GF astfel încât

Apoi KL 2 =GF LG. Acesta este simptomul - ecuația secțiunii.

Dacă notăm KL=y, LG=x, GF=2p, atunci obținem ecuația în forma obișnuită: y 2 =2px.

În Apollonius, ecuația este scrisă și verbal - în greacă: dacă GH este unul dintre diametrele parabolei și KL este o jumătate de coardă conjugată la acest diametru, atunci Apollonius pune GR \u003d 2p perpendicular pe GH. Apoi se afirmă că în fiecare punct pătratul construit pe LK (Fig. 4) trebuie să fie egal cu dreptunghiul GRSL, adică. GL GR.

Denumirea „parabolă” provine de la numele lui Apollonius παραβολή (aplicație), deoarece problema construirii unui punct al acestei curbe se reduce la problema aplicării (înainte de Apollonius, o parabolă era numită o secțiune a unui con de revoluție dreptunghiular) .

Orez. 4

Derivarea ecuației pentru elipsă și hiperbolă

În mod similar, Apollonius obține ecuația unei elipse și a unei hiperbole.

Deci, pentru o elipsă se demonstrează că LK 2 = pătrat. GLL′G′ (Fig. 5), unde GH=2a este un anumit diametru al elipsei, LK este semicorda conjugată cu aceasta, GR=2p este o constantă și GR este perpendiculară pe GH. Pentru a trece la o notație mai familiară, rețineți că

Orez. 5

Astfel, problema construcției punctelor unei elipse se reduce la problema unei aplicații cu un dezavantaj („problema eliptică”), ceea ce explică denumirea de „elipsă” (έλλειψις - dezavantaj). Acest nume a fost introdus de Apollonius, înainte de el elipsa a fost numită secțiunea unui con de revoluție cu unghi ascuțit.

În mod similar, pentru o hiperbolă (Fig. 6), obținem ecuația

LK 2 = sq. GLL′G′, adică , sau.

În consecință, problema construirii punctelor unei hiperbole se reduce la problema aplicării cu exces („problema hiperbolic”), ceea ce explică denumirea de „hiperbolă” (ύπερβολή - exces). Acest nume a fost introdus și de Apollonius, înainte de el hiperbola a fost numită o secțiune a unui con de revoluție obtuz-unghiular.

Segmentul construit GR=2p, așezat perpendicular pe diametrul GH, Apollonius numit „latura dreaptă”.

Orez. 6

În prezent, valoarea p se numește parametrul secțiunii canonice (în cazul unei elipse și unei hiperbole cu semiaxele a și b p=b 2 /a, iar factorul de contracție √p/a, care transformă un cerc sau o hiperbolă echilaterală în o elipsă sau hiperbolă dată, este egală cu b/a) .

Clasificarea secțiunilor conice de către Apollonius a fost în esență algebrică.

Invarianța secțiunilor conice

Apollonius era bine conștient (și asta l-a apropiat de geometrii New Age) că o astfel de clasificare este legitimă numai dacă forma ecuației nu se schimbă atunci când curba este legată de celălalt diametru al acesteia și acordurile se conjugă cu acesta.

În prima carte, el explorează această problemă. Pentru a face acest lucru, a fost necesar să se determine direcția coardelor asociate cu orice diametru. Într-o definiție stereometrică, direcțiile conjugate sunt obținute automat. Totuși, pentru a rezolva problema pusă de Apollonius, este nevoie de o definiție independentă de stereometrie. Apollonius face exact asta: demonstrează că linia trasată prin punctul A al secțiunii canonice paralelă cu direcția coardelor conjugate cu diametrul care trece prin A este o tangentă. După aceea, el construiește o tangentă la o parabolă, o elipsă, un cerc și o hiperbolă.

Fie P un punct de pe parabolă și AA′ unul dintre diametre (Fig. 7). Apollonius demonstrează că tangenta PR taie segmentul AR=AQ din continuarea diametrului dacă PL este coarda conjugată cu AA′. Pentru o hiperbolă, o elipsă și un cerc, el obține relația (Fig. 8, pentru o elipsă)

Orez. 7

RA:RA'=QA:QA'.

Apollonius transformă apoi ecuația elipsei și hiperbolei astfel încât originea coordonatelor să fie în centrul curbei, iar ecuația parabolei astfel încât originea coordonatelor să coincidă cu vârful acestei curbe.

Astfel, aici axele de coordonate sunt două diametre conjugate. După aceea, el arată că forma ecuației nu se schimbă dacă oricare dintre diametrele curbei și o tangentă desenată la unul dintre capetele acesteia sunt luate ca axe noi.

Orez. 8

În prima carte, Apollonius ia în considerare un set de sisteme de coordonate care depind de un parametru, deoarece aceste sisteme de coordonate sunt determinate de un punct al curbei - capătul diametrului și demonstrează invarianța ecuațiilor elipsei, hiperbolei și parabola în raport cu transformările sistemelor de coordonate corespunzătoare.

La sfârșitul primei cărți, Apollonius arată că se poate alege un diametru care va fi perpendicular pe acordurile sale conjugate. Apoi, curba luată în considerare poate fi reprezentată ca o secțiune a oricărui con de revoluție în unghi obtuz, în unghi acut sau dreptunghiular printr-un plan perpendicular pe generatrice. Se stabilește astfel identitatea curbelor introduse de Apollonius cu secțiunile canonice care au fost considerate înaintea lui.

Ideea principală a primei cărți este de a lua ca bază pentru clasificarea curbelor proprietățile ecuațiilor lor algebrice și tocmai cele care rămân invariante în cadrul transformărilor de coordonate admisibile. Abia în secolul al XIX-lea Această idee a fost pe deplin înțeleasă atunci când Klein în „Programul Erlangen” a stabilit o nouă viziune asupra geometriei ca știință a invarianților anumitor grupuri de transformări plane sau spațiale.

Explorarea în continuare a secțiunilor conice în scrierile lui Apollonius

În următoarele trei cărți, Apollonius dezvoltă teoria secțiunilor conice: află proprietățile de bază ale diametrelor conjugate ale asimptotelor, obține ecuația hiperbolei în raport cu asimptotele (xy=const) și stabilește proprietățile de bază ale focarele elipsei și hiperbolei. Aici, pentru prima dată, apar poli și polari în raport cu secțiunile conice: dacă dintr-un punct pot fi trase două tangente la o secțiune conică, atunci linia care leagă punctele de contact se numește polara acestui punct, iar punctul se numește polul acestei linii. Dacă mutați polul de-a lungul unei linii drepte care intersectează secțiunea, atunci polarul se va roti în jurul polului acestei linii, dar dacă mutați polul de-a lungul unei linii drepte care nu intersectează secțiunea, atunci polarul se va roti și în jurul un anumit punct, iar în acest caz punctul în jurul căruia se rotește polarul și linia dreaptă de-a lungul căreia se mișcă polul se mai numește și pol și polar. În a patra carte, Apollonius ia în considerare problema numărului de puncte de intersecție a două secțiuni conice.

În cartea a cincea, Apollonius definește toate normalele la o secțiune conică (perpendiculare pe o tangentă restaurată în punctul de tangență). În cartea a șasea sunt studiate secțiuni conice similare.

A șaptea carte conține celebrele teoreme ale lui Apollonius:

a) suma pătratelor de pe diametrele conjugate ale elipsei este egală cu suma pătratelor de pe axele principale;

b) diferența pătratelor de pe cele două diametre conjugate ale hiperbolei este egală cu diferența pătratelor de pe axele principale;

c) un paralelogram construit pe două diametre conjugate ale unei elipse sau hiperbole are o arie constantă.

Dezvoltarea în continuare a teoriei secțiunilor conice

În antichitate, metodele de studiere a curbelor create de Apollonius nu au fost dezvoltate, deși până la începutul secolului al V-lea. ANUNȚ lucrările sale au fost studiate şi comentate. În ceea ce privește secțiunile conice în sine, acestea au fost folosite de Arhimede pentru a rezolva și a studia ecuația cubică. În aceleași scopuri, secțiunile conice au fost folosite de geometrii și oamenii de știință antici de mai târziu din țările islamice.

În știința matematică a naturii, multă vreme nu au primit nicio aplicație, cu excepția studiului reflectării luminii din oglinzi parabolice. Abia în secolul al XVII-lea a avut loc o renaștere a ideilor lui Apollonius: Fermat și Descartes au tradus metoda sa în limbajul noii algebre, întemeind geometria analitică, iar Newton a aplicat aceste metode pentru a descrie și a studia curbele de ordinul trei. Dar chiar mai devreme, teoria secțiunilor conice a fost folosită cel mai mult în mecanica corpurilor terestre și cerești: Kepler a stabilit că planetele sistemului nostru solar se mișcă de-a lungul unor elipse, în unul dintre focarele cărora se află Soarele; Galileo a arătat că o piatră aruncată zboară în vid de-a lungul unei parabole. În cele din urmă, în anii 80 ai secolului al XVII-lea. Newton și-a creat „Principiile matematice ale filosofiei naturale”, bazându-se direct pe lucrările lui Apollonius.

Concluzie

Secțiunile conice ale lui Apollonius sunt un exemplu de teorie matematică creată cu mult înainte de a fi necesară. Cu această ocazie, A. Einstein a scris: „La admirația pentru această persoană minunată (vorbim despre Kepler), un alt sentiment de admirație și reverență, dar nu legat de o persoană, ci de misterioasa armonie a naturii, care corespunde cele mai simple legi. Alături de linia dreaptă și cercul, printre acestea se numărau elipsa și hiperbola. Pe acestea din urmă le vedem realizate în orbitele corpurilor cerești, cel puțin cu o bună aproximare.

Bibliografie:

1. Cărări și labirinturi. Eseuri despre istoria matematicii. Daan - Dalmediko A., Peiffer J. Per. din franceza – M.: Mir, 1986.

2. Istoria matematicii din cele mai vechi timpuri până la începutul secolului al XIX-lea. Iuşkevici A.P. – M.: Nauka, 1970.

Am vizitat „Cartea veche” nou deschisă pe al 2-lea Soviet. Impresiile sunt foarte favorabile: un magazin general, multă ficțiune, o selecție bună de tehnic și științific. Deoarece procesul de aranjare nu a fost încă finalizat, literatura tehnică nu este încă pe deplin afișată (se promite o reaprovizionare semnificativă în zilele următoare) și este într-o oarecare dezordine. Tratamentul clienților este „cea mai mare mercerie”, ei îi invită să intre din nou și îi roagă să le spună prietenilor despre noul magazin.
fac ultima cerere:

Desigur, era pur și simplu imposibil să pleci fără cartea achiziționată:

L. Karpinsky, profesor la Universitatea din Michigan, G. Benedict, profesor la Universitatea din Texas, J. Kalgun, profesor la Universitatea din Texas
Matematică unificată
Traducere autorizată din engleză cu note și modificări de către prof. D. A. Kryzhanovsky
Secția științifică și tehnică a Consiliului Academic de Stat este permisă ca manual pentru școlile tehnice și universitățile tehnice; recomandat ca ghid pentru profesori
M.-L.: Editura de Stat, 1926. XVI, 596 p.
(Manuale și manuale pentru școlile tehnice și instituțiile de învățământ superior)

Din prefața traducătorului:

Dintre literatura matematică educațională aproape nemărginită din diferite țări, lucrarea colectivă a trei profesori americani „Unified Mathematics” se remarcă atât prin alegerea originală a materialului, cât și, mai ales, prin metodele de prelucrare și prezentare a acestuia. Principala tendință a autorilor - de a lega tot materialul prezentat, prin împletirea organică a părților sale individuale, într-un singur întreg - este în deplină armonie cu principiile școlii noastre. Dacă matematica, ca materie școlară, trebuie să fie strâns legată de studiul naturii și al societății și cu cerințele vieții, atunci nu poate exista o împărțire școlară în discipline și capitole izolate, de sine stătătoare. Fizica, tehnologia și economia nu își adaptează problemele la rubricile în care sunt de obicei subdivizate colecțiile de probleme matematice. Prin urmare, cu cât elevul învață mai devreme să combine tehnicile și rezultatele diferitelor departamente de matematică, cu atât mai bine. Și pentru aceasta, cea mai sigură cale este introducerea acestei metode de combinare în chiar procesul de studiu al matematicii.
O altă trăsătură distinctivă a cărții, legată organic de tendința generală menționată mai sus, este bogăția și varietatea extremă a materialului aplicat (preluat din fizică, astronomie, tehnologie, artilerie, biologie, statistică, aritmetică comercială etc.) atât în text. și și în sarcini, - de asemenea, pe cât posibil, satisface nevoile școlii noastre. Acest material este împrăștiat cu generozitate în toate capitolele și, în special, umple complet capitolele XXII, XXVI ("mișcarea oscilatoare") și XXVII ("legile creșterii organice"). În acest ultim (XXVII) capitol, o atenție deosebită se atrage asupra noutății temei „curba de vindecare a rănilor” - rezultatul observațiilor spitalicești din timpul ultimului război. Datorită acestei abundențe de exemple și probleme, „Matematica unificată” poate fi un manual util pentru acele instituții de învățământ în care teoria este predată prin alte manuale.
Meritele incontestabile ale Matematicii Unificate ar trebui să includă și numeroase „note istorice” compilate în mod interesant.

Prefață a profesorului L. Karpinsky la traducerea rusă:

Ideea centrală a „Matematicii unificate” nu este atât de a ne abate de la matematica tradițională, marea noastră moștenire a trecutului, cât de a arăta ce rol vital, real, joacă matematica în lumea modernă. Pentru greci era suficient să știe că parabola avea așa și atât de minunate proprietăți geometrice. Studentul modern, pe de altă parte, trebuie să i se arate o legătură izbitoare cu ecuațiile algebrice elementare, și mai ales cu zborul unui proiectil, cu diferite tipuri de structuri de pod, cu forma sălilor de concert și chiar cu reflectoarele auto. Aplicațiile practice nu sunt mai puțin minunate decât cele pur teoretice.
Lumea modernă are nevoie de muncă mentală nu mai puțin decât lumea antică, dar necesită ca mintea să fie în contact cu realitatea. În matematică, acest lucru se poate face păstrând în același timp o mare parte din realizările trecutului.
Citirea acestei cărți este o mare plăcere. Multe dintre exemplele date în ea au deja o valoare aproape istorică. Mai mult, unele secțiuni, fără cunoștința cărora în urmă cu optzeci - nouăzeci de ani era imposibil de imaginat matematica și inginerie, sunt acum aproape dispărute, iar descoperirea lor este extrem de interesantă pentru sine. Unele observații sunt primite cu un zâmbet trist, mai ales când ne gândim la actualii studenți.

În ultimii ani, utilizarea pe scară largă a mașinilor de calcul care efectuează înmulțiri și împărțiri până la cincisprezece și chiar douăzeci de cifre a înlocuit parțial tabelele logaritmice în birourile marilor companii de asigurări și, de asemenea, într-o oarecare măsură, în observatoare.
DIN CAPITOLUL VII: FUNCȚII TRIGONOMETRICE

§ 10. Originea funcţiilor tangentă şi cotangentă.- În astronomia observațională, un rol important îl joacă unghiul de înclinare față de orizontul soarelui și al altor corpuri cerești. Raportul dintre lungimea umbrei aruncate de un obiect vertical și lungimea obiectului însuși dă cotangenta unghiului de înclinare a soarelui. Această funcție a unghiului a apărut înaintea tangentei în scrierile astronomului arab Al-Battani (Al-Battani), în secolul X după R. Chr., și a fost numită umbră, iar mai târziu umbră directă sau a doua umbră. . Funcția tangentă, care reprezintă raportul dintre lungimea umbrei aruncate pe un perete vertical de o tijă perpendiculară pe perete, și lungimea tijei în sine, a fost numită mai târziu prima umbră. Arabii au luat lungimea tijei egală cu 12 unități.

DIN CAPITOLUL XIX: PARABOLA

§ 1. Definiţie.- Am definit o elipsă (cap. XVIII, § 3) ca fiind locația unui punct care se mișcă în așa fel încât distanța sa față de un punct fix, focar, să fie într-un raport constant, mai mic de 1, față de distanța sa. de la o linie fixă, directriza. Dacă acest raport constant este 1, atunci curba descrisă de punctul în mișcare se numește parabolă. Dacă acest raport, fiind constant, depășește 1, atunci curba se numește hiperbolă.

Condiție: , la, elipsa este definită.
Condiție: este definită o parabolă.
Condiție: , la, este definită o hiperbolă.
[CU. 345–346.]

DIN CAPITOLUL XXI: TANGENȚE ȘI NORMALE LA CURBELE DE ORDINUL II

§ 2. O ecuație de gradul doi a unei forme generale înfățișează o secțiune conică.- Dacă este dat un con circular drept, atunci se poate arăta, folosind metodele geometrice ale geometriei euclidiene, că secțiunea suprafeței conului după orice plan este una dintre curbele menționate mai sus; de exemplu, un plan paralel cu baza unui con dă un cerc în secțiune sau un punct de cerc (un cerc cu raza zero) dacă trece prin vârf.
Prin con înțelegem aici întreaga suprafață conică formată de generatoarele conului, extinsă la infinit în ambele direcții de la punctul de intersecție a acestora.
Un plan paralel doar cu unul dintre elementele generatoare (generatoarea conului) intersectează conul de-a lungul unei parabole sau de-a lungul a două drepte care coincid, dacă planul secant trece prin unul dintre generatori în același timp și atinge baza circulară. a conului.
Un plan care intersectează la o distanță finită toți generatorii conului dă o elipsă în secțiune transversală; acesta din urmă devine un punct de elipsă atunci când planul trece prin vârful conului.
Un plan paralel cu două dintre generatricea conului îl taie în același timp pe acesta din urmă de-a lungul hiperbolei, dar dacă planul trece prin vârf, atunci hiperbola degenerează într-o pereche de linii drepte.
§ 3. Notă istorică asupra secţiunilor conice.- Proprietățile de bază ale secțiunilor conice au fost descoperite de matematicienii greci cu aproape două mii de ani înainte de inventarea geometriei analitice de către matematicienii francezi din secolul al XVII-lea Descartes și Fermat. Un tratat despre secțiuni conice a fost scris de Euclid (c. 320 î.Hr.), dar a fost depășit decisiv de un tratat scris un secol mai târziu Apollonius din Pergamon(c. 250 î.Hr.); acest ultim tratat conținea majoritatea proprietăților de bază pe care le-am studiat.
Proprietățile parabolei, legate direct de focus și directrix, nu sunt incluse în cele opt cărți (capitole) scrise de Apollonius pe secțiuni conice; el nu a folosit nici directrixa în cazul secțiunilor centrale (adică curbele având un centru de simetrie - o elipsă și o hiperbolă). Aceste concepte au fost introduse în Colecții matematice Papp din Alexandria(c. 300 d.Hr.), poate ultimul dintre matematicienii greci semnificativi.
Matematicienii greci antici erau interesați de aceste curbe din punct de vedere pur geometric. Ei nu știau că drumurile planetelor reprezentau secțiuni conice; nici nu erau conștienți de vreo aplicație practică a acestor curbe. Cu toate acestea, doar pentru că geometrii greci au studiat proprietățile acestor curbe, Johannes Kepler și Isaac Newton au reușit să stabilească legile mișcării planetare în universul în care trăim. Oamenii de știință menționați, precum și Nicolaus Copernic, care a restaurat teoria heliocentrică a lumii, erau profundi cunoscători ai geometriei pure a grecilor; noile lor teorii au fost construite direct pe această geometrie pură.
[CU. 374–376.]

DIN CAPITOLUL XXII: APLICAȚIILE SECȚIUNILOR CONICE

§ 1. Observaţii generale.- Numeroase aplicații ale secțiunilor conice - cerc, elipsă, parabolă și hiperbolă - au fost deja parțial indicate în problemele care au însoțit studiul fiecăreia dintre aceste curbe. Aplicațiile utile atât de extinse și variate ale acestor curbe sunt asociate în principal cu proprietățile lor tangenţiale și cu alte caracteristici geometrice. Faptul că proprietățile geometrice simple aparțin doar curbelor, care sunt exprimate prin ecuații algebrice cu două variabile de gradul I și II, arată aparent existența unei anumite armonii în lumea algebrei și a geometriei.

§ 2. Legile universului.- În 1529, astronomul și matematicianul polonez Copernic (1473 - 1543) a redescoperit și stabilit faptul, deja cunoscut grecilor antici, că soarele reprezintă centrul universului în care trăim; el credea că planetele se mișcă în jurul Soarelui pe orbite circulare.
Aproximativ un secol mai târziu, marele astronom german Kepler (1571 - 1630) a stabilit următoarele legi ale universului:
1. Orbitele planetelor sunt elipse, în unul dintre focarele cărora se află soarele.
2. Vectorul rază care conectează soarele cu o planetă în mișcare descrie zone egale în intervale de timp egale (pentru fiecare planetă separat).
3. Pătratul timpului unei revoluții complete a fiecărei planete este proporțional cu cubul distanței sale medii față de soare, adică.
,
unde și sunt perioadele de revoluție ale celor două planete, a și sunt diametrele orbitelor lor.
Kepler și-a putut face descoperirile numai datorită muncii tuturor predecesorilor săi, în special a matematicienilor greci care au realizat un studiu atât de complet al proprietăților secțiunilor conice, precum și a danezului Tycho Brahe (1546 - 1601), ale cărui observații atente au oferit datele faptice necesare despre mișcarea planetelor.
Newton (1642 - 1727) a finalizat lucrarea de a aduce legile mișcării din lumea din jurul nostru într-un sistem, arătând că atracția reciprocă a oricăror două corpuri este invers proporțională cu pătratul distanței dintre ele și direct proporțională cu masele lor. . Mai mult, Newton a arătat că această presupunere duce la mișcare eliptică în cazul soarelui și al unei planete.
Căile cometelor care apar o singură dată în sistemul solar sunt cunoscute a fi parabole sau, poate, hiperbole, a căror excentricitate este aproape de 1.
[CU. 391–392.]

§ 6. Utilizarea secţiunilor conice în arhitectură şi construcţia podurilor.- Așa-numitul „Raport de Aur” oferă, fără îndoială, o ilustrare bună a existenței unei relații strânse între frumusețea formei și rapoartele numerice.

Potrivit opiniei unanime a persoanelor competente în această materie, dimensiunile unui dreptunghi sunt cele mai satisfăcătoare din punct de vedere artistic, în cazul în care latura lungă a dreptunghiului se raportează la cea scurtă aproximativ la fel cum cea scurtă se raportează la diferența ambelor părți. Cu alte cuvinte, dacă este dată baza dreptunghiului, atunci vom găsi înălțimea dorită - în sensul celei mai mari frumuseți a formei - prin aplicarea „secțiunii de aur”, adică împărțirea acestui segment în raportul extrem și mediu. . Deci, de exemplu, cu o bază de 40, înălțimea este determinată din ecuația:
;
aceasta conduce la o ecuație pătratică pentru . Este remarcabil că, tăind din dreptunghiul rezultat un pătrat construit pe latura scurtă a dreptunghiului, obținem un dreptunghi asemănător celui inițial; un dreptunghi asemanator se va obtine daca la cel original se adauga un patrat, construit pe latura lunga a dreptunghiului original.
Am văzut deja exemple de legătură care pare să existe între simplitatea unei forme și simplitatea ecuației algebrice corespunzătoare. Astfel, o linie dreaptă este reprezentată de cea mai simplă ecuație algebrică în două variabile, și anume, o ecuație de gradul I; un cerc, cea mai simplă curbă în sens constructiv, este reprezentat de o ecuație pătratică de tip deosebit de simplu; toate celelalte tipuri de ecuații pătratice în două variabile corespund doar la trei clase suplimentare de curbe, și anume elipse, parabole și hiperbole. Sentimentul de satisfacție artistică pe care ni-l dă forma acestor curbe de ordinul doi, secțiunile conice, este confirmat de aplicarea largă pe care aceste forme o găsesc atât la artiștii vechi, cât și la cei noi.
La construirea arcadelor, s-a constatat că frumusețea unei forme geometrice este cel mai strâns legată de simplitatea ecuației algebrice corespunzătoare. Parabola și elipsa sunt utilizate pe scară largă în structurile arcuite, nu numai datorită frumuseții formei lor, ci și datorită adaptării lor pur mecanice la solicitările și deformațiile cauzate de greutatea acestor structuri. Un expert recunoscut* în problema construcției podurilor spune că „arcadele trebuie să reprezinte curbe perfecte”, avertizând împotriva folosirii așa-numitelor elipse „false”.

Faptul că elipsele și parabolele regulate sunt atât de comune în multe dintre cele mai mari poduri ale lumii arată cât de larg acceptată este teoria care atribuie frumusețea formei arcurilor eliptice și parabolice.
La giganticul pod Hell-Gate (Hell Gate) din New York, arcul principal este o parabolă corectă din punct de vedere geometric (vezi Problema 11, Capitolul XIX, § 11). La London Bridge, partea principală a structurii este formată din cinci arcuri eliptice. Chiar și hiperbola, deși foarte rar, își găsește utilizare în construcția podurilor. Trebuie remarcat faptul că - parțial din cauza ușurinței mai mari de desenare - arcurile circulare (semicirculare) sunt mult mai frecvente, precum și aproximările la o elipsă sau parabolă, construite folosind mai multe arce de cerc cu centre diferite.
În aplicarea unui arc parabolic în construcția de poduri și acoperișuri, se pot distinge cel puțin patru tipuri diferite. Primul tip este reprezentat de poduri suspendate (lanț) cu cabluri care se înclină de-a lungul unei curbe parabolice. Al doilea tip include cazul când vârful arcului parabolic se află sub carosabil. La podurile de al treilea tip, un arc parabolic traversează carosabilul. În cele din urmă, structurile în care arcul parabolic se află în întregime deasupra căii, ca și în cazul tavanelor, aparțin celui de-al patrulea tip.
Arcurile eliptice, mai rar parabolice, sunt de obicei folosite în proiectarea teatrului mare și a altor săli.
În proiectarea jgheaburilor se folosesc și arcurile parabolice și pur eliptice, deși nu la fel de des ca arcurile circulare și în potcoavă. Uneori sunt folosite chiar și elipse complete din punct de vedere geometric regulat (vezi problema 6 de mai jos).
1. Rezolvați ecuația pătratică a ultimului paragraf și verificați soluția prin trasarea unei curbe.
2. Care este lățimea unui dreptunghi a cărui înălțime este de 40, dacă această înălțime se obține ca urmare a „secțiunii de aur” a lățimii corespunzătoare celei mai frumoase forme a dreptunghiului?
3. Podul din orașul Pittsburgh, din America, are un arc parabolic, cu o deschidere de 108 metri și o înălțime de 13,5 metri. Desenați această parabolă. Presupunând că montantii sunt despărțiți de panouri lungi de 6 metri și se ridică cu 4,5 metri deasupra vârfului arcului, aflați care sunt lungimile lor.
4. Arcurile mai mici care duc la podul descris în problema anterioară par a fi de formă eliptică. Lățimea lor este de 8,4 metri, iar înălțimea arcurilor în sine este de aproximativ 2,4 metri. Desenați-le.
5. Într-o singură scurgere, bolta parabolică are 1,8 metri lățime și 1,2 metri înălțime. Construiți zece puncte din această boltă.
6. Unul dintre bazinele din Chicago, construit în 1910, este o elipsă verticală în secțiune transversală, cu dimensiunile de 3,6 × 4,2 metri. Desenați forma acestei secțiuni.
7. Desenați un arc eliptic și unul parabolic, cu o deschidere de 30 de metri și o înălțime de 9 metri fiecare. Comparați-le între ele.
8. Construiți, folosind scara, arcul parabolic al Podului suspendat Williamsborg (Fig. 153), cu o deschidere de 488 de metri și o săgeată de 55 de metri. Scrieți ecuația sa în forma sa cea mai simplă, alegând axele potrivite. Care este lungimea celor patru stâlpi, de la cablu la tangenta din vârful parabolei?
*G. H. Tyrrell, Design pod artistic, Chicago, 1912.

[CU. 399–403.]

DIN CAPITOLUL XXVI: MIȘCARE VIBRAȚIONALĂ
În cele mai multe cazuri, se dovedește a fi convenabil să se aplice timpul unui ciclu complet fibrei obișnuite sub forma unui număr întreg de unități, iar valoarea unității depinde de valoarea perioadei. În cazul rotației cu o perioadă de un minut, unitatea axei absciselor poate fi luată ca 10 secunde și aceeași unitate a axei y ca lungimea razei. Curba rezultată diferă foarte puțin de sinusoidă cu unități egale de lungime pe ambele axe de coordonate. Punctele cele mai înalte și cele mai joase cad pe abscisele 15 și 45. Momentele: 0, 5, 7,5, 10, 15, 20 și 30 de secunde corespund unghiurilor de 0, 30°, 45°, 60°, 90°, 120° și 180°.

Fizicienii și inginerii folosesc de obicei următoarea tehnică pur grafică pentru a desena curbe sinusoidale comune. Mai întâi, se desenează un cerc centrat la originea coordonatelor, al cărui diametru este egal cu amplitudinea dorită. Unghiurile dintre axe sunt înjumătățite și apoi înjumătățite din nou și din nou (de câte ori se dorește). Pe axa orizontală, un segment de lungime adecvată este pus deoparte pentru a reprezenta un ciclu complet și împărțit în tot atâtea (de obicei 16) părți egale câte cercul este împărțit de axe și bisectoare desenate.
[CU. 466–467.]

DIN CAPITOLUL XXVII: LEGILE CREȘTERII
§ 5. Curba cursului de vindecare a rănilor.- Strâns legată de formulele care exprimă legea creșterii organice și legea „degradării organice”, este o lege recent descoperită care raportează, atât algebric ca ecuație, cât și grafic ca curbă, aria suprafeței rană cu timpul exprimat în zile care s-au scurs de când rana a devenit sterilă sau aseptică. Când se ajunge la o stare aseptică, datorită spălărilor și spălărilor cu soluții antiseptice, atunci pe baza a două observații, efectuate de obicei 4 zile una după alta, se calculează așa-numitul „indice personal”; acest indice, împreună cu cele două măsurători ale zonei plăgii, permite clinicianului să determine cursul normal al reducerii suprafeței plăgii pentru un anumit individ. Contururile plăgii sunt desenate cu atenție pe hârtie transparentă și apoi aria acesteia este măsurată cu ajutorul unui instrument matematic numit planimetru.

Timpul de observație, exprimat în zile, este reprezentat de-a lungul abscisei, iar zona plăgii este reprezentată ca ordonate. După fiecare observare și calcul al ariei, punctul astfel obținut este trasat în același sistem de axe în care este construită curba ideală sau profetică (curba predicțiilor). Două astfel de curbe ideale, precum și curbe observate efectiv, sunt descrise în diagramele noastre.
Dacă aria observată este semnificativ mai mare decât aria determinată de curba ideală, atunci acesta este un indiciu că există încă infecție în rană. Un astfel de caz este prezentat în a doua diagramă. Deseori se observă următorul fenomen extrem de izbitor și încă neexplicat: dacă suprafața rănii se vindecă mult mai repede decât arată curba ideală, se dezvoltă ulcere secundare (secundare), care readuc curba la normal. Prima noastră diagramă aparține acestui tip.

Această aplicare a matematicii în medicină se datorează în mare măsură doctorului Alexis Carrel de la Institutul de Cercetare Medicală Rockefeller. El a observat că, cu cât suprafața rănii este mai mare, cu atât s-a vindecat mai devreme și că rata de vindecare părea să fie proporțională cu zona rănii. Dar coeficientul acestei proporționalități nu este același pentru toate valorile zonei rănii, altfel ar exista o ecuație de formă
,
unde este zona plăgii în momentul în care aceasta devine sterilă și când observațiile încep să fie trasate pe diagramă.
De fapt (pentru trasarea curbelor ideale) se folosesc următoarele formule, propuse de Dr. Lecomte du Nouilly(Nooyi, au arătat că există o valoare normală a coeficientului, în funcție de vârsta individului și de mărimea plăgii, și că indicele personal, determinat din două observații, dezvăluie fără îndoială fapte relevante pentru starea generală a sănătatea individului *.
[CU. 486–489.]

Instituția Municipală de Învățământ

Scoala Gimnaziala nr 4

Secțiuni conice

împlinit

Spiridonov Anton

elev de clasa a XI-a

verificat

Korobeynikova A.T.

Tobolsk - 2006

Introducere

Conceptul de secțiuni conice

Tipuri de secțiuni conice

Studiu

Construcția secțiunilor conice

Abordare analitică

Aplicație

Bibliografie

Introducere.

Scop: studierea secțiunilor conice.

Obiective: să învețe să distingă tipurile de secțiuni conice, să construiască secțiuni cinice și să aplice o abordare analitică.

Proporția dată poate fi considerată ca un sistem de ecuații:

Conceptul de secțiuni conice.

Când un triunghi dreptunghic se rotește în jurul unuia dintre catete, ipotenuza cu prelungirile sale descrie o suprafață conică, numită suprafața unui con circular drept, care poate fi considerată ca o serie continuă de drepte care trec prin vârf și numite generatrice și toate generatoarele se bazează pe același cerc, numit producător. Fiecare dintre generatoare este un triunghi rotativ (în poziția sa cunoscută), continuat în ambele direcții până la infinit. Astfel, fiecare generatrică se extinde pe ambele părți ale vârfului, drept urmare suprafața are și două cavități: acestea converg către un punct la un vârf comun. Dacă o astfel de suprafață este străbătută de un plan, atunci se va obține o curbă în secțiune, care se numește secțiune conică. Poate fi de trei tipuri:

1) dacă un plan intersectează o suprafață conică de-a lungul tuturor generatoarelor, atunci este tăiată o singură cavitate și se obține o curbă închisă în secțiune, numită elipsă;

2) dacă planul de tăiere intersectează ambele cavități, atunci se obține o curbă care are două ramuri și se numește hiperbolă;

3) dacă planul de tăiere este paralel cu unul dintre generatoare, atunci se obține o parabolă.

Dacă ambele cavități sunt intersectate de un plan care trece prin vârf, atunci în secțiune se obține o pereche de drepte care se intersectează, considerată ca un caz special.

Dacă vârful este la infinit, atunci suprafața conică se transformă într-una cilindrică, iar secțiunea sa printr-un plan paralel cu generatoarele dă o pereche de linii paralele ca caz special. Secțiunile conice sunt exprimate prin ecuații de ordinul 2, a căror formă generală este

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

și se numesc curbe de ordinul 2.

Tipuri de secțiuni conice.

Secțiunile conice pot fi de trei tipuri:

1) planul de tăiere intersectează toate generatricele conului în punctele uneia dintre cavitățile acestuia; linia de intersecție este o curbă ovală închisă - ; un cerc ca caz special al unei elipse se obține atunci când planul de tăiere este perpendicular pe axa conului.

2) Planul de tăiere este paralel cu unul din planurile tangente ale conului; în secțiune, se obține o curbă deschisă care merge la infinit - o parabolă, situată în întregime pe o cavitate.

Studiu.

În cazurile în care secțiunea conică are un centru de simetrie (centru), adică este o elipsă sau hiperbolă, ecuația sa poate fi redusă (prin mutarea originii în centru) la forma:

a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 = a 33 .

Studii ulterioare ale unor astfel de secțiuni conice (numite centrale) arată că ecuațiile lor pot fi reduse la o formă și mai simplă:

Ah 2 + Wu 2 = C,

CONSTRUCȚIA SECȚIUNILOR CONICE.

Aceste definiții ale secțiunilor conice ca curbe plane sugerează, de asemenea, o modalitate de a le construi folosind un fir întins.

Ramurile hiperbolei se apropie de două linii drepte care se intersectează între ramuri. Aceste linii, numite asimptotele hiperbolei, sunt construite așa cum se arată în Figura 4b. colţ

din punctul de intersecție a axelor O. Această formulă presupune construirea unui triunghi dreptunghic cu catetele Ov 1 și V 2 O și ipotenuza F 2 O.

ABORDAREA ANALITICĂ

unde nu toți coeficienții A, B și C sunt egali cu zero. Cu ajutorul translației și rotației paralele a axelor, ecuația (1) poate fi redusă la forma

ax 2 + cu 2 + c = 0

2) Dacă a și b au același semn, iar c are semnul opus, atunci secțiunea conică este o elipsă; pentru a = b, este un cerc.

3) Dacă a și b au semne diferite, atunci secțiunea conică este o hiperbolă.

4) Dacă a și b au semne diferite și c = 0, atunci secțiunea conică este formată din două drepte care se intersectează.

6) Dacă a sau b este egal cu zero, iar ceilalți coeficienți au semne diferite, atunci secțiunea conică este formată din două drepte paralele.

unde nu toți coeficienții A, B și C sunt egali cu zero. Cu ajutorul translației și rotației paralele a axelor, ecuația (1) poate fi redusă la forma

ax 2 + cu 2 + c = 0

Prima ecuație se obține din ecuația (1) pentru B 2 > AC, a doua - pentru B 2 = AC. Secțiunile conice ale căror ecuații sunt reduse la prima formă se numesc centrale. Secțiunile conice date de ecuații de al doilea tip cu q > ?0 se numesc necentrale. În cadrul acestor două categorii, există nouă tipuri diferite de secțiuni conice, în funcție de semnele coeficienților.

2) Dacă a și b au același semn și c este opus, atunci secțiunea conică este o elipsă; pentru a = b - cerc.

3) Dacă a și b au semne diferite, atunci secțiunea conică este o hiperbolă.

4) Dacă a și b au semne diferite și c = 0, atunci secțiunea conică este formată din două drepte care se intersectează.

6) Dacă a sau b este egal cu zero, iar ceilalți coeficienți au semne diferite, atunci secțiunea conică este formată din două drepte paralele.