Acest articol discută problemele găsirii valorilor arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent ale unui număr dat. Pentru început, sunt introduse conceptele de arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent. Considerăm principalele lor valori, folosind tabele, inclusiv Bradis, pentru a găsi aceste funcții.

Valorile arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent

Este necesar să înțelegeți conceptele de „valorile arcsinus, arccosinus, arctangent, arccotangent”.

Definițiile arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent ale unui număr vă vor ajuta să înțelegeți calculul funcțiilor date. Valoarea funcțiilor trigonometrice ale unui unghi este egală cu numărul a, apoi se consideră automat valoarea acestui unghi. Dacă a este un număr, atunci aceasta este valoarea funcției.

Pentru o înțelegere clară, să ne uităm la un exemplu.

Dacă avem arccosinusul unui unghi egal cu π 3, atunci valoarea cosinusului de aici este egală cu 1 2 conform tabelului cosinus. Acest unghi este situat în intervalul de la zero la pi, ceea ce înseamnă că valoarea arcului cosinus de 1 2 va fi π cu 3. Această expresie trigonometrică este scrisă ca r cos (1 2) = π 3.

Unghiul poate fi fie un grad, fie un radian. Valoarea unghiului π 3 este egală cu un unghi de 60 de grade (mai multe detalii despre subiect transformând grade în radiani și înapoi). Acest exemplu cu arc cosinus 1 2 are o valoare de 60 de grade. Această notație trigonometrică arată ca un r c cos 1 2 = 60 °

Valorile de bază ale arcsin, arccos, arctg și arctg

Mulțumită tabel de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente, Avem valori precise ale unghiului la 0, ±30, ±45, ±60, ±90, ±120, ±135, ±150, ±180 grade. Tabelul este destul de convenabil și din acesta puteți obține câteva valori pentru funcțiile arcului, care sunt numite valorile de bază ale arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent.

Tabelul sinusurilor unghiurilor de bază oferă următoarele rezultate pentru valorile unghiurilor:

sin (- π 2) = - 1, sin (- π 3) = - 3 2, sin (- π 4) = - 2 2, sin (- π 6) = - 1 2, sin 0 = 0, sin π 6 = 1 2 , sin π 4 = 2 2 , sin π 3 = 3 2 , sin π 2 = 1

Ținând cont de ele, se poate calcula cu ușurință arcsinusul numărului tuturor valorilor standard, începând de la - 1 și terminând cu 1, precum și valorile de la – π 2 la + π 2 radiani, urmând valoarea sa de definiție de bază. Acestea sunt valorile de bază ale arcsinusului.

Pentru utilizarea convenabilă a valorilor arcsinus, le vom introduce în tabel. În timp, va trebui să înveți aceste valori, deoarece în practică va trebui să te referi la ele des. Mai jos este un tabel de arcsinus cu unghiuri în radiani și grade.

Pentru a obține valorile de bază ale cosinusului arcului, trebuie să vă referiți la tabelul cosinusului unghiurilor principale. Atunci noi avem:

cos 0 = 1, cos π 6 = 3 2, cos π 4 = 2 2, cos π 3 = 1 2, cos π 2 = 0, cos 2 π 3 = - 1 2, cos 3 π 4 = - 2 2, cos 5 π 6 = - 3 2 , cos π = - 1

Urmând din tabel, găsim valorile arc-cosinus:

a r c cos (- 1) = π, arccos (- 3 2) = 5 π 6, arcocos (- 2 2) = 3 π 4, arccos - 1 2 = 2 π 3, arccos 0 = π 2, arccos 1 2 = π 3, arccos 2 2 = π 4, arccos 3 2 = π 6, arccos 1 = 0

Tabel arc cosinus.

În același mod, pe baza definițiilor și a tabelelor standard, se găsesc valorile arctangentelor și arccotangentelor, care sunt prezentate în tabelul arctangentelor și arccotangentelor de mai jos.

a r c sin , a r c cos , a r c t g și a r c c t g

Pentru valoarea exactă a a r c sin, a r c cos, a r c t g și a r c c t g a numărului a, este necesar să se cunoască valoarea unghiului. Acest lucru a fost discutat în paragraful anterior. Cu toate acestea, nu cunoaștem semnificația exactă a funcției. Dacă este necesar să găsiți o valoare numerică aproximativă a funcțiilor arcului, utilizați T tabelul sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor Bradis.

Un astfel de tabel vă permite să efectuați calcule destul de precise, deoarece valorile sunt date cu patru zecimale. Datorită acestui fapt, numerele sunt exacte la minut. Valorile a r c sin, a r c cos, a r c t g și a r c c t g ale numerelor negative și pozitive se reduc la găsirea formulelor a r c sin, a r c cos, a r c t g și a r c c t g ale numerelor opuse de forma a r c sin (- α) = - a r c sin α, a r c cos (- α) = π - a r c cos α , a r c t g (- α) = - a r c t g α , a r c c t g (- α) = π - a r c c t g α .

Să luăm în considerare găsirea valorilor a r c sin, a r c cos, a r c t g și a r c c t g folosind tabelul Bradis.

Dacă trebuie să găsim valoarea arcsinusului 0, 2857, căutăm valoarea găsind un tabel de sinusuri. Vedem că acest număr corespunde valorii unghiului sin 16 grade și 36 minute. Aceasta înseamnă că arcsinusul numărului 0,2857 este unghiul dorit de 16 grade și 36 de minute. Să ne uităm la figura de mai jos.

În dreapta gradelor există coloane numite corecții. Dacă arcsinusul necesar este 0,2863, se folosește aceeași corecție de 0,0006, deoarece cel mai apropiat număr va fi 0,2857. Aceasta înseamnă că obținem un sinus de 16 grade 38 minute și 2 minute, datorită corecției. Să ne uităm la poza care înfățișează masa Bradis.

Există situații în care numărul necesar nu este în tabel și chiar și cu corecții nu poate fi găsit, atunci se găsesc cele mai apropiate două valori ale sinusurilor. Dacă numărul necesar este 0,2861573, atunci numerele 0,2860 și 0,2863 sunt cele mai apropiate valori ale sale. Aceste numere corespund valorilor sinusului de 16 grade 37 minute și 16 grade și 38 minute. Apoi, valoarea aproximativă a acestui număr poate fi determinată cu o precizie de până la un minut.

În acest fel, se găsesc valorile a r c sin, a r c cos, a r c t g și a r c c t g.

Pentru a găsi arcsinusul prin arccosinusul cunoscut al unui număr dat, trebuie să aplicați formulele trigonometrice a r c sin α + a r c cos α = π 2 , a r c t g α + a r c c t g α = π 2 (trebuie să vedeți subiectul formulelor de sumăsarccosinus și arcsinus, suma arctangentei și arccotangentei).

Cu un cunoscut a r c sin α = - π 12 este necesar să se afle valoarea a r c cos α , atunci este necesar să se calculeze arccosinusul folosind formula:

a r c cos α = π 2 − a r c sin α = π 2 − (− π 12) = 7 π 12 .

Dacă trebuie să găsiți valoarea arctangentei sau arccotangentei unui număr a folosind arcsinusul sau arccosinusul cunoscut, este necesar să efectuați calcule lungi, deoarece nu există formule standard. Să ne uităm la un exemplu.

Dacă arccosinusul unui număr a este dat egal cu π 10, iar un tabel de tangente va ajuta la calcularea arc-tangentei acestui număr. Unghiul π de 10 radiani reprezintă 18 grade, apoi din tabelul cosinus vedem că cosinusul de 18 grade are o valoare de 0,9511, după care ne uităm la tabelul Bradis.

Când căutăm valoarea arctangentei 0,9511, determinăm că valoarea unghiului este de 43 de grade și 34 de minute. Să ne uităm la tabelul de mai jos.

De fapt, tabelul Bradis ajută la găsirea valorii unghiului cerute și, având în vedere valoarea unghiului, vă permite să determinați numărul de grade.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Lecție și prezentare pe tema: "Arctangent. Arccotangent. Tabele de arctangent și arccotangent"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Manuale si simulatoare in magazinul online Integral de la firma 1C
Rezolvăm probleme de geometrie. Sarcini de construcție interactive pentru clasele 7-10
Rezolvăm probleme de geometrie. Sarcini interactive pentru construirea în spațiu

Ce vom studia:
1. Ce este arctangenta?
2. Definiția arctangentei.
3. Ce este arccotangent?
4. Definiția arc tangentei.
5. Tabele de valori.
6. Exemple.

Ce este arctangenta?

Băieți, am învățat deja cum să rezolvăm ecuații pentru cosinus și sinus. Acum să învățăm cum să rezolvăm ecuații similare pentru tangentă și cotangentă. Considerăm ecuația tg(x)= 1. Pentru a rezolva această ecuație, vom construi două grafice: y= 1 și y= tg(x). Graficele funcțiilor noastre au un număr infinit de puncte de intersecție. Abcisele acestor puncte au forma: x= x1 + πk, x1 este abscisa punctului de intersecție al dreptei y= 1 și ramura principală a funcției y= tg(x), (-π/2 <x1> π/2). Pentru numărul x1, notația a fost introdusă ca arctangentă. Apoi soluția ecuației noastre se va scrie: x= arctan(1) + πk.

Definiţia arctangent

arctg(a) este un număr din segmentul [-π/2; π/2], a cărui tangentă este egală cu a.

Ecuația tg(x)= a are o soluție: x= arctg(a) + πk, unde k este un număr întreg.

De asemenea, rețineți: arctg(-a)= -arctg(a).

Ce este arccotangent?

Să rezolvăm ecuația сtg(x)= 1. Pentru a face acest lucru, vom construi două grafice: y= 1 și y=сtg(x). Graficele funcțiilor noastre au un număr infinit de puncte de intersecție. Abcisele acestor puncte au forma: x= x1 + πk. x1 – abscisa punctului de intersecție a dreptei y= 1 și ramura principală a funcției y= сtg(x), (0 <x1> π).
Pentru numărul x1, notația a fost introdusă ca arccotangent. Apoi soluția ecuației noastre se va scrie: x= arcсtg(1) + πk.

Definiţia arc cotangent

arсctg(a) este un număr din segmentul a cărui cotangentă este egală cu a.

Ecuația ctg(x)= a are o soluție: x= arcctg(a) + πk, unde k este un număr întreg.

De asemenea, rețineți: arcctg(-a)= π - arcctg(a).

Tabele cu valorile arctangente și arccotangente

Tabelul valorilor tangentei și cotangentei

Tabel cu valorile arctangente și arccotangente

Exemple

1. Calculați: arctan(-√3/3).
Rezolvare: Fie arctg(-√3/3)= x, apoi tg(x)= -√3/3. Prin definiție –π/2 ≤x≤ π/2. Să ne uităm la valorile tangentei din tabel: x= -π/6, deoarece tg(-π/6)= -√3/3 și – π/2 ≤ -π/6 ≤ π/2.
Răspuns: arctan(-√3/3)= -π/6.

2. Calculați: arctan(1).
Rezolvare: Fie arctan(1)= x, apoi tan(x)= 1. Prin definiție –π/2 ≤ x ≤ π/2. Să ne uităm la valorile tangentei din tabel: x= π/4, deoarece tan(π/4)= 1 și – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2.
Răspuns: arctan(1)= π/4.

3. Calculați: arcctg(√3/3).
Rezolvare: Fie arcctg(√3/3)= x, apoi ctg(x)= √3/3. Prin definiție, 0 ≤ x ≤ π. Să ne uităm la valorile cotangente din tabel: x= π/3, deoarece cotg(π/3)= √3/3 și 0 ≤ π/3 ≤ π.
Răspuns: arcctg(√3/3) = π/3.

4. Calculați: arcctg(0).
Rezolvare: Fie arcctg(0)= x, apoi ctg(x) = 0. Prin definiție, 0 ≤ x ≤ π. Să ne uităm la valorile cotangente din tabel: x= π/2, deoarece cotg(π/2)= 0 și 0 ≤ π/2 ≤ π.
Răspuns: arcctg(0) = π/2.

5. Rezolvați ecuația: tg(x)= -√3/3.
Rezolvare: Să folosim definiția și să obținem: x= arctan(-√3/3) + πk. Să folosim formula arctg(-a)= -arctg(a): arctg(-√3/3)= – arctg(√3/3)= – π/6; atunci x= – π/6 + πk.
Răspuns: x= =– π/6 + πk.

6. Rezolvați ecuația: tg(x)= 0.
Rezolvare: Să folosim definiția și să obținem: x= arctan(0) + πk. arctan(0)= 0, înlocuiți soluția în formula: x= 0 + πk.
Răspuns: x= πk.

7. Rezolvați ecuația: tg(x) = 1,5.
Rezolvare: Să folosim definiția și să obținem: x= arctan(1.5) + πk. Valoarea arctangentă pentru această valoare nu este în tabel, atunci vom lăsa răspunsul în această formă.
Răspuns: x= arctan(1,5) + πk.

8. Rezolvați ecuația: cot(x)= -√3/3.
Rezolvare: Să folosim formula: ctg(x)= 1/tg(x); ctg(x)= -√3/3 =1/tg(x) => tg(x)= -√3. Să folosim definiția și să obținem: x= arctan (-√3) + πk. arctg(-√3)= –arctg(√3)= –π/3, apoi x= -π/3 + πk.
Răspuns: x= – π/3 + πk.

9. Rezolvați ecuația: ctg(x)= 0.
Rezolvare: Să folosim formula: ctg(x)= cos(x)/sin(x). Apoi trebuie să găsim valorile lui x pentru care cos(x)= 0, obținem că x= π/2+ πk.
Răspuns: x= π/2 + πk.

10. Rezolvați ecuația: ctg(x)= 2.
Rezolvare: Să folosim definiția și să obținem: x= arcсtg(2) + πk. Nu există o valoare de tangentă inversă pentru această valoare în tabel, atunci vom lăsa răspunsul așa cum este. Răspuns: x= arctan(2) + πk.

Probleme de rezolvat independent

1) Calculați: a) arctg(√3), b) arctg(-1), c) arcctg(-√3), d) arcctg(-1).
2) Rezolvați ecuația: a) tg(x)= -√3, b) tg(x)= 1, c) tg(x)= 2,5, d) ctg(x)= √3, e) ctg(x) ) = 1,85.

(funcții circulare, funcții arc) - funcții matematice care sunt inverse funcțiilor trigonometrice.

Arctangent- denumire: arctan x sau arctan x.

Arctangent (y = arctan x) - funcţie inversă la tg (x = tan y), care are un domeniu și un set de valori . Cu alte cuvinte, returnează unghiul după valoarea sa tg.

Funcţie y = arctan x este continuă și mărginită de-a lungul întregii drepte numerice. Funcţie y = arctan x este strict în creștere.

Proprietățile funcției arctg.

Graficul funcției y = arctan x.

Graficul arctangent se obține din graficul tangent prin interschimbarea axelor de abscisă și ordonate. Pentru a scăpa de ambiguitate, setul de valori este limitat la interval , funcția de pe el este monotonă. Această definiție se numește valoarea principală a arctangentei.

Obținerea funcției arctg.

Există o funcție y = tan x. De-a lungul întregului său domeniu de definiție, este monotonă pe bucăți și, prin urmare, corespondența inversă. y = arctan x nu este o funcție. Prin urmare, luăm în considerare segmentul pe care crește doar și ia toate valorile doar 1 dată - . Pe un astfel de segment y = tan x crește doar monoton și ia toate valorile doar o dată, adică există o inversă pe interval y = arctan x, graficul său este simetric cu graficul y = tan x pe un segment relativ drept y = x.

Funcțiile sin, cos, tg și ctg sunt întotdeauna însoțite de arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent. Una este o consecință a celeilalte, iar perechile de funcții sunt la fel de importante pentru lucrul cu expresii trigonometrice.

Luați în considerare un desen al unui cerc unitar, care afișează grafic valorile funcțiilor trigonometrice.

Dacă calculăm arcele OA, arcos OC, arctg DE și arcctg MK, atunci toate vor fi egale cu valoarea unghiului α. Formulele de mai jos reflectă relația dintre funcțiile trigonometrice de bază și arcele lor corespunzătoare.

Pentru a înțelege mai multe despre proprietățile arcsinusului, este necesar să luăm în considerare funcția acestuia. Programa are forma unei curbe asimetrice care trece prin centrul de coordonate.

Proprietățile arcsinusului:

Dacă comparăm graficele păcatȘi arcsin, două funcții trigonometrice pot avea principii comune.

arc cosinus

Arccos al unui număr este valoarea unghiului α, al cărui cosinus este egal cu a.

Curba y = arcos x oglindește graficul arcsin x, singura diferență fiind că trece prin punctul π/2 de pe axa OY.

Să ne uităm la funcția arc cosinus mai detaliat:

1. Funcția este definită pe intervalul [-1; 1].
2. ODZ pentru arccos - .
3. Graficul este situat în întregime în primul și al doilea trimestru, iar funcția în sine nu este nici pară, nici impară.
4. Y = 0 la x = 1.
5. Curba scade pe toată lungimea sa. Unele proprietăți ale arcului cosinus coincid cu funcția cosinus.

Unele proprietăți ale arcului cosinus coincid cu funcția cosinus.

Poate că școlarii vor considera inutil un astfel de studiu „detaliat” al „arcadelor”. Cu toate acestea, în caz contrar, unele sarcini standard de examen elementare pot duce studenții într-o fundătură.

Exercitiul 1. Indicați funcțiile prezentate în figură.

Răspuns: orez. 1 – 4, Fig. 2 – 1.

În acest exemplu, accentul este pus pe lucrurile mărunte. De obicei, elevii sunt foarte neatenți la construcția graficelor și la aspectul funcțiilor. Într-adevăr, de ce să ne amintim tipul de curbă dacă poate fi întotdeauna trasată folosind puncte calculate. Nu uitați că, în condiții de testare, timpul alocat desenului pentru o sarcină simplă va fi necesar pentru a rezolva sarcini mai complexe.

Arctangent

Arctg numerele a sunt valoarea unghiului α astfel încât tangenta sa este egală cu a.

Dacă luăm în considerare graficul arctangent, putem evidenția următoarele proprietăți:

1. Graficul este infinit și definit pe intervalul (- ∞; + ∞).
2. Arctangent este o funcție impară, prin urmare, arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0 la x = 0.
4. Curba crește pe întregul interval de definire.

Să prezentăm o scurtă analiză comparativă a tg x și arctg x sub forma unui tabel.

Arccotangent

Arcctg al unui număr - ia o valoare α din intervalul (0; π) astfel încât cotangenta sa este egală cu a.

Proprietățile funcției arc cotangente:

1. Intervalul de definire a funcției este infinit.
2. Gama de valori acceptabile este intervalul (0; π).
3. F(x) nu este nici par, nici impar.
4. Pe toată lungimea sa, graficul funcției scade.

Este foarte simplu să compari ctg x și arctg x; trebuie doar să faci două desene și să descrii comportamentul curbelor.

Sarcina 2. Potriviți graficul și forma de notație a funcției.

Dacă gândim logic, din grafice reiese clar că ambele funcții sunt în creștere. Prin urmare, ambele figuri afișează o anumită funcție arctan. Din proprietățile arctangentei se știe că y=0 la x = 0,

Răspuns: orez. 1 – 1, fig. 2 – 4.

Identități trigonometrice arcsin, arcos, arctg și arcctg

Anterior, am identificat deja relația dintre arcade și funcțiile de bază ale trigonometriei. Această dependență poate fi exprimată printr-un număr de formule care permit expresia, de exemplu, sinusul unui argument prin arcsinus, arccosinus sau invers. Cunoașterea unor astfel de identități poate fi utilă atunci când rezolvați exemple specifice.

Există, de asemenea, relații pentru arctg și arcctg:

O altă pereche utilă de formule stabilește valoarea pentru suma arcsin și arcos, precum și arcctg și arcctg ale aceluiași unghi.

Exemple de rezolvare a problemelor

Sarcinile de trigonometrie pot fi împărțite în patru grupe: calculați valoarea numerică a unei anumite expresii, construiți un grafic al unei anumite funcții, găsiți domeniul său de definiție sau ODZ și efectuați transformări analitice pentru a rezolva exemplul.

Când rezolvați primul tip de problemă, trebuie să respectați următorul plan de acțiune:

Când lucrați cu grafice de funcții, principalul lucru este cunoașterea proprietăților lor și a aspectului curbei. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice și a inegalităților necesită tabele de identitate. Cu cât un student își amintește mai multe formule, cu atât este mai ușor să găsești răspunsul la sarcină.

Să presupunem că în examenul de stat unificat trebuie să găsiți răspunsul pentru o ecuație precum:

Dacă transformi corect expresia și o aduci în forma dorită, atunci rezolvarea ei este foarte simplă și rapidă. Mai întâi, să mutăm arcsin x în partea dreaptă a egalității.

Dacă vă amintiți formula arcsin (sin α) = α, atunci putem reduce căutarea de răspunsuri la rezolvarea unui sistem de două ecuații:

Restricția modelului x a apărut, din nou, din proprietățile arcsinului: ODZ pentru x [-1; 1]. Când a ≠0, o parte a sistemului este o ecuație pătratică cu rădăcini x1 = 1 și x2 = - 1/a. Când a = 0, x va fi egal cu 1.