Logaritmele, ca orice numere, pot fi adăugate, scăzute și convertite în orice mod. Dar, deoarece logaritmele nu sunt numere destul de obișnuite, există reguli care se numesc proprietăți de bază.

Trebuie să cunoașteți aceste reguli - nicio problemă logaritmică gravă nu poate fi rezolvată fără ele. În plus, sunt foarte puțini dintre ei - totul poate fi învățat într-o singură zi. Așa că hai să începem.

Adunarea și scăderea logaritmului

Luați în considerare două logaritmi cu aceeași bază: jurnalul o x  și jurnal o y. Apoi pot fi adăugate și scăzute, în plus:

1. log o x  + jurnal o y  \u003d jurnal o (x · y);
2. log o x  - jurnal o y  \u003d jurnal o (x : y).

Deci, suma logaritmelor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punctul principal este aici temeiuri egale. Dacă motivele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vor ajuta la calcularea expresiei logaritmice chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt numărate (vezi lecția „Ce este logaritmul”). Aruncați o privire la exemple și vedeți:

Jurnal 6 4 + jurnal 6 9.

Deoarece bazele logaritmelor sunt aceleași, folosim formula sumei:
log 6 4 + log 6 9 \u003d log 6 (4 · 9) \u003d log 6 36 \u003d 2.

Sarcină. Găsiți valoarea expresiei: log 2 48 - log 2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log 2 48 - log 2 3 \u003d log 2 (48: 3) \u003d log 2 16 \u003d 4.

Sarcină. Găsiți valoarea expresiei: log 3 135 - log 3 5.

Din nou, bazele sunt aceleași, așa că avem:
log 3 135 - log 3 5 \u003d log 3 (135: 5) \u003d log 3 27 \u003d 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt alcătuite din logaritmi „proaste” care nu sunt contorizate separat. Dar după transformări, se obțin numere destul de normale. Pe acest fapt sunt construite multe teste. Da, controlul - astfel de expresii în toată seriozitatea (uneori - aproape neschimbate) sunt oferite la examen.

Eliminarea exponentului din logaritm

Acum, să complicăm puțin sarcina. Ce se întâmplă dacă există un grad în baza sau argumentul logaritmului? Apoi, indicatorul acestui grad poate fi scos din logaritm conform următoarelor reguli:

Este ușor de observat că ultima regulă urmează primele două. Dar este mai bine să ne amintim totul la fel - în unele cazuri, aceasta va reduce semnificativ cantitatea de calcul.

Desigur, toate aceste reguli au sens atunci când respectăm ODH-ul logistic: o > 0, o ≠ 1, x \u003e 0. Și, de asemenea, învățați să aplicați toate formulele nu numai de la stânga la dreapta, ci și invers, adică puteți introduce numerele din fața logaritmului în logaritmul în sine. Aceasta este ceea ce se cere cel mai des.

Sarcină. Găsiți sensul expresiei: log 7 49 6.

Să scăpăm de gradul argumentului prin prima formulă:
log 7 49 6 \u003d 6 log 7 49 \u003d 6 2 \u003d 12

Sarcină. Găsiți valoarea expresiei:

   [Text de desen]

Rețineți că numitorul este logaritmul, a cărui bază și argument sunt grade exacte: 16 \u003d 2 4; 49 \u003d 7 2. Avem:

   [Text de desen]

Cred că ultimul exemplu are nevoie de clarificări. Unde au dispărut logaritmele? Până în ultima clipă, lucrăm doar cu numitorul. Ei au prezentat baza și argumentul logaritmului acolo sub formă de grade și au efectuat indicatori - au primit o fracțiune de „trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția principală. Numerotatorul și numitorul au același număr: log 2 7. Deoarece log 2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne în numitor. Conform regulilor aritmeticii, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce a fost făcut. Rezultatul a fost răspunsul: 2.

Tranziția la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmelor, am subliniat în mod specific că acestea funcționează doar pe aceleași motive. Dar dacă motivele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte cu același număr?

Formulele de tranziție către o nouă fundație ajung la salvare. Le formulăm sub forma unei teoreme:

Lăsați logaritmul jurnalului o x. Apoi pentru orice număr c  astfel încât c  \u003e 0 și c  ≠ 1, egalitatea

   [Text de desen]

În special, dacă punem c = xobținem:

   [Text de desen]

Din cea de-a doua formulă rezultă că baza și argumentul logaritmului pot fi schimbate, dar întreaga expresie este „răsturnată”, adică. logaritmul este în numitor.

Aceste formule sunt rareori întâlnite în termeni numerici obișnuiți. Este posibil să evaluați cât de convenabile sunt numai atunci când rezolvați ecuațiile și inegalitățile logaritmice.

Cu toate acestea, există sarcini care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Luați în considerare câteva dintre acestea:

Sarcină. Găsiți valoarea expresiei: log 5 16 · log 2 25.

Rețineți că argumentele ambelor logaritme conțin grade exacte. Luăm indicatorii: log 5 16 \u003d log 5 2 4 \u003d 4log 5 2; log 2 25 \u003d log 2 5 2 \u003d 2log 2 5;

Și acum, „flip” al doilea logaritm:

   [Text de desen]

Deoarece produsul nu se schimbă din permutarea factorilor, am înmulțit calm cei patru și cei doi, după care am dat seama de logaritmi.

Sarcină. Găsiți valoarea expresiei: log 9 100 · log 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt grade exacte. Scriem acest lucru și scăpăm de indicatori:

   [Text de desen]

Acum scăpați de logaritmul zecimal, trecând la o bază nouă:

   [Text de desen]

Identitate logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să reprezinte numărul ca un logaritm pentru o anumită bază. În acest caz, formulele ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n  devine un indicator al gradului care stă în argument. număr n  poate fi absolut orice, pentru că este doar valoarea logaritmului.

A doua formulă este de fapt o definiție reformulată. Așa se numește: identitatea logaritmică de bază.

De fapt, ce se va întâmpla dacă numărul b  ridicați într-o asemenea măsură încât numărul b  în această măsură dă numărul o? Așa este: acesta este chiar numărul o. Citiți cu atenție acest paragraf din nou - mulți pe el „atârnă”.

Ca și formulele pentru trecerea la o bază nouă, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

Sarcină. Găsiți valoarea expresiei:

   [Text de desen]

Rețineți că log 25 64 \u003d log 5 8 - tocmai a scos pătratul din bază și argumentul logaritmului. Având în vedere regulile de înmulțire a gradelor cu aceeași bază, obținem:

   [Text de desen]

Dacă cineva nu este în cunoștință de cauză, aceasta a fost o adevărată provocare din partea examenului :)

Unitate logaritmică și zero logaritmice

În concluzie, voi da două identități care cu greu pot fi numite proprietăți - mai degrabă, acestea sunt consecințe ale definiției logaritmului. Ele sunt constant găsite în sarcini și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și pentru studenții „avansați”.

1. log o o  \u003d 1 este unitatea logaritmică. Amintiți-vă o dată pentru totdeauna: logaritmul din orice motiv o  tocmai de la acest fundament este egal cu unitatea.
2. log o  1 \u003d 0 este un zero logaritmic. fundație o  poate fi orice, dar dacă în argument există unul, logaritmul este zero! deoarece o  0 \u003d 1 este o consecință directă a definiției.

Aceasta este toate proprietățile. Asigurați-vă că aplicați în practică! Descărcați foaia de înșelat de la începutul lecției, imprimați-o - și rezolvați probleme.

Logaritmul cu baza a  este funcția y (x) \u003d log a xinvers funcției exponențiale cu baza a: x (y) \u003d a y.

Logaritmul zecimal  este logaritmul numărului de bază 10 : log x ≡ log 10 x.

Logaritmul natural  este logaritmul bazei e: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Graficul logaritmului este obținut din graficul funcției exponențiale prin reflectarea oglinzii în raport cu linia dreaptă y \u003d x. În stânga sunt grafice ale funcției y (x) \u003d log a x  pentru patru valori baza logaritmului: a \u003d 2 , a \u003d 8 , a \u003d 1/2   și a \u003d 1/8 . Graficul arată că pentru a\u003e 1 logaritmul crește monoton. Odată cu creșterea x, creșterea încetinește semnificativ. la 0 < a < 1   logaritmul scade monoton.

Proprietățile logaritmului

Domeniul de aplicare, setul de valori, crește, scade

Logaritmul este o funcție monotonă, prin urmare, nu are extrema. Principalele proprietăți ale logaritmului sunt prezentate în tabel.

regiune de determinare	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Interval valoric	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
monotonie	crescând monoton	scade monoton
Zero, y \u003d 0	x \u003d 1	x \u003d 1
Puncte de intersecție cu axa ordonată, x \u003d 0	nu	nu
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Valori private

  Se numește logaritmul de bază 10 logaritmul zecimal  și se notează după cum urmează:

  Logaritmul de bază e  Se numește logaritmul natural:

Formule logaritmice de bază

Proprietățile logaritmului care rezultă din definiția unei funcții inverse:

Proprietatea principală a logaritmelor și consecințele acesteia

Formula de înlocuire a bazei

logaritm  este o operație matematică de luare a logaritmului. În logaritm, produsele factorilor sunt convertite în suma membrilor.

potențarea  este o operație matematică inversă logaritmului. În timpul potențării, baza dată este ridicată la puterea expresiei peste care se efectuează potențarea. În acest caz, sumele membrilor sunt convertite în produsele factorilor.

Dovada formulelor de bază ale logaritmelor

Formulele asociate cu logaritmele provin din formulele pentru funcții exponențiale și din definiția funcției inverse.

Luați în considerare proprietatea unei funcții exponențiale
.
  atunci
.
  Aplicăm proprietatea funcției exponențiale
:
.

Să demonstrăm formula de înlocuire a bazei.
;
.
  Punând c \u003d b, avem:

Funcție inversă

Inversul logaritmului bazei a este o funcție exponențială cu exponentul a.

Dacă, atunci

Dacă, atunci

Logaritmul derivat

Logaritm derivat din modulul x:
.
  N-a derivat:
.
Derivarea formulelor \u003e\u003e\u003e

Pentru a găsi derivatul logaritmului, acesta trebuie adus la bază e.
;
.

integrală

Integrala logaritmului se calculează prin integrare prin părți:.
Astfel,

Expresii prin numere complexe

Luați în considerare funcția unui număr complex z:
.
  Exprimați numărul complex z  prin modul r  și argument φ :
.
  Apoi, folosind proprietățile logaritmului, avem:
.
sau

  Cu toate acestea, argumentul φ   nu este definit fără echivoc. Dacă se pune
unde n este un număr întreg
  va fi același număr pentru diferite n.

Prin urmare, logaritmul, ca funcție a unei variabile complexe, nu este o funcție unică.

Extinderea puterii

Când există o descompunere:

Literatură folosită:
  ÎN Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai colegiilor tehnice, „Doe”, 2009.

Continuăm să studiem logaritmele. În acest articol vom vorbi despre calculul logaritmeloracest proces este numit logaritm. În primul rând, ne vom ocupa de calculul logaritmelor prin definiție. În continuare, luați în considerare modul în care se găsesc valorile logaritmelor folosind proprietățile lor. După aceea, ne vom concentra pe calculul logaritmelor prin valorile date inițial ale altor logaritmi. În cele din urmă, aflați cum să utilizați tabelele logaritmului. Întreaga teorie este furnizată de exemple cu soluții detaliate.

Navigare prin pagină.

Calcularea logaritmelor prin definiție

În cele mai simple cazuri, este posibil să efectuați destul de rapid și ușor. găsirea logaritmului prin definiție. Să aruncăm o privire mai atentă la cum se întâmplă acest proces.

Esența sa constă în reprezentarea numărului b sub forma a c, de unde, prin definiția logaritmului, numărul c este valoarea logaritmului. Adică, găsirea logaritmului prin definiție corespunde următorului lanț de egalități: log a b \u003d log a a c \u003d c.

Deci, calculul logaritmului prin definiție se reduce la găsirea unui număr c astfel încât a c \u003d b, iar numărul c în sine este valoarea dorită a logaritmului.

Având în vedere informațiile din alineatele anterioare, când numărul sub semnul logaritmului este dat de un anumit grad al bazei logaritmului, puteți indica imediat cu ce logaritmul este egal - este egal cu exponentul. Vă prezentăm soluțiile exemplelor.

Un exemplu.

Găsiți log 2 2 −3 și, de asemenea, calculați logaritmul natural al e 5.3.

Decizie.

Definiția logaritmului ne permite să spunem imediat că log 2 2 −3 \u003d −3. Într-adevăr, numărul sub semnul logaritmului este egal cu baza 2 până la -3 grade.

În mod similar, găsim al doilea logaritm: lne 5.3 \u003d 5.3.

Răspunsul este:

log 2 2 −3 \u003d −3 și lne 5.3 \u003d 5.3.

Dacă numărul b sub semnul logaritmului nu este specificat ca grad de bază al logaritmului, atunci trebuie să luați în considerare cu atenție dacă este posibil să ajungeți la o reprezentare a numărului b ca a c. Adesea această reprezentare este destul de evidentă, mai ales când numărul sub logaritm este egal cu baza puterii de 1, sau 2, sau 3, ...

Un exemplu.

Calculați logaritmele jurnalului 5 25 și.

Decizie.

Este ușor de observat că 25 \u003d 5 2, acest lucru ne permite să calculăm primul logaritm: log 5 25 \u003d log 5 5 2 \u003d 2.

Procedăm la calculul celui de-al doilea logaritm. Numărul poate fi reprezentat ca puterea a 7:   (vezi dacă este necesar) Prin urmare, .

Rescriem al treilea logaritm în următoarea formă. Acum puteți vedea asta , de unde concluzionăm asta . Prin urmare, prin definiția logaritmului .

Pe scurt, soluția ar putea fi scrisă astfel:.

Răspunsul este:

jurnal 5 25 \u003d 2,   și .

Atunci când un număr natural suficient de mare se află sub logaritm, atunci nu doare să-l factorăm în factori primi. Acest lucru ajută adesea să reprezinte un astfel de număr ca un grad al bazei logaritmului și, prin urmare, să calculăm acest logaritm prin definiție.

Un exemplu.

Găsiți valoarea logaritmului.

Decizie.

Unele proprietăți ale logaritmelor vă permit să specificați imediat valoarea logaritmelor. Astfel de proprietăți includ proprietatea logaritmului unității și proprietatea logaritmului unui număr egal cu baza: log 1 1 \u003d log a a 0 \u003d 0 și log a a \u003d log a a 1 \u003d 1. Adică atunci când numărul 1 sau numărul a, egal cu baza logaritmului, se află sub semnul logaritmului, atunci în aceste cazuri logaritmele sunt 0, respectiv 1.

Un exemplu.

Care sunt egale logaritmele și lg10?

Decizie.

De când, atunci definiția logaritmului presupune .

În cel de-al doilea exemplu, numărul 10 sub semnul logaritmului coincide cu baza sa, deci logaritmul zecimal de zece este egal cu unul, adică lg10 \u003d lg10 1 \u003d 1.

Răspunsul este:

și lg10 \u003d 1.

Rețineți că calculul logaritmelor prin definiție (pe care l-am examinat în paragraful precedent) implică utilizarea jurnalului de egalitate a a p \u003d p, care este una dintre proprietățile logaritmelor.

În practică, când numărul sub semnul logaritmului și baza logaritmului sunt ușor reprezentate ca gradul unui anumit număr, este foarte convenabil să se utilizeze formula , care corespunde uneia dintre proprietățile logaritmelor. Luați în considerare exemplul găsirii logaritmului care ilustrează utilizarea acestei formule.

Un exemplu.

Calculați logaritmul.

Decizie.

Răspunsul este:

.

Proprietățile logaritmelor care nu sunt menționate mai sus sunt de asemenea utilizate în calcul, dar vom vorbi despre acest lucru în alineatele următoare.

Găsirea logaritmelor prin intermediul altor logaritmi cunoscute

Informațiile din această secțiune continuă subiectul utilizării proprietăților logaritmelor în calculul lor. Dar aici principala diferență este că proprietățile logaritmelor sunt utilizate pentru a exprima logaritmul inițial în termeni de un alt logaritm a cărui valoare este cunoscută. Dăm un exemplu pentru explicație. Să presupunem că știm că log 2 3≈1.584963, atunci putem găsi, de exemplu, log 2 6 efectuând o mică transformare folosind proprietățile logaritmului: log 2 6 \u003d log 2 (2 · 3) \u003d log 2 2 + log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

În exemplul de mai sus, ne-a fost suficient să folosim proprietatea logaritmului produsului. Cu toate acestea, este mult mai des necesar să se aplice un arsenal mai larg de proprietăți logaritmice pentru a calcula logaritmul inițial prin cele date.

Un exemplu.

Calculați logaritmul 27 din baza 60 dacă se știe că log 60 2 \u003d a și log 60 5 \u003d b.

Decizie.

Deci trebuie să găsim jurnalul 60 27. Este ușor de observat că 27 \u003d 3 3, iar logaritmul inițial, în virtutea proprietății logaritmului de grad, poate fi rescris ca 3 · log 60 3.

Acum să vedem cum se exprimă log 60 3 prin logaritmi cunoscuți. Proprietatea logaritmului unui număr egal cu baza ne permite să scriem jurnalul egalității 60 60 \u003d 1. Pe de altă parte, log 60 60 \u003d log60 (2 2 · 3 · 5) \u003d log 60 2 2 + log 60 3 + log 60 5 \u003d  2 jurnal 60 2 + log 60 3 + jurnal 60 5. În acest fel 2 log 60 2 + log 60 3 + log 60 5 \u003d 1. Prin urmare, log 60 3 \u003d 1−2 · log 60 2 - log 60 5 \u003d 1−2 · a - b.

În cele din urmă, calculăm logaritmul inițial: log 60 27 \u003d 3; log 60 3 \u003d 3 · (1−2 · a - b) \u003d 3−6 · a - 3 · b.

Răspunsul este:

log 60 27 \u003d 3 · (1−2 · a - b) \u003d 3−6 · a - 3 · b.

Separat, merită menționată valoarea formulei de tranziție la noua bază a logaritmului formei . Vă permite să treceți de la logaritmi cu orice motiv la logaritmi cu o bază specifică, ale căror valori sunt cunoscute sau este posibil să le găsiți. De obicei, din logaritmul inițial, conform formulei de tranziție, acestea trec la logaritmele uneia dintre bazele 2, e sau 10, deoarece pentru aceste baze există tabele de logaritmi care permit calcularea valorilor lor cu un anumit grad de precizie. În paragraful următor, vom arăta cum se face acest lucru.

Tabele de logaritm, utilizarea lor

Pentru calculul aproximativ al valorilor logaritmelor pot fi utilizate tabele de logaritm. Cel mai frecvent utilizat tabel de logaritmi de bază 2, tabel de logaritmi naturali și logaritmi de zecimal. Atunci când lucrați în sistemul zecimal, este convenabil să folosiți tabelul logaritmului bazei zece. Cu ajutorul său, vom învăța să găsim valorile logaritmelor.

Tabelul prezentat permite găsirea logaritmelor zecimale a numerelor de la 1.000 la 9.999 (cu trei zecimale) până la o zecime. Vom analiza principiul găsirii valorii logaritmului folosind tabelul logaritmelor zecimale folosind un exemplu specific - este mai clar. Găsiți lg1.256.

În coloana din stânga a tabelului de logaritm zecimal găsim primele două cifre ale numărului 1.256, adică găsim 1.2 (acest număr este înconjurat de o linie albastră pentru claritate). A treia cifră a numărului 1.256 (numărul 5) se găsește în prima sau ultima linie din stânga liniei duble (acest număr este înconjurat de o linie roșie). A patra cifră a numărului inițial 1.256 (numărul 6) se găsește în prima sau ultima linie din dreapta liniei duble (acest număr este înconjurat de o linie verde). Acum găsim numerele din celulele tabelului de logaritm la intersecția rândului marcat și a coloanelor marcate (aceste numere sunt evidențiate în portocaliu). Suma numerelor marcate dă logaritmul zecimal dorit celui de-al patrulea zecimal, adică lg1.236≈0.0969 + 0.0021 \u003d 0.0990.

Este posibil, folosind tabelul de mai sus, să găsiți valorile logaritmelor zecimale ale numerelor care au mai mult de trei cifre după punctul zecimal și, de asemenea, depășesc 1 până la 9.999? Da, poți. Să arătăm cum se face acest lucru, folosind un exemplu.

Calculăm lg102,76332. Mai întâi trebuie să scrii număr standard: 102.76332 \u003d 1.027633210 2. După aceasta, mantisa ar trebui rotunjită la a treia zecimală, avem 1.027633210 2 ≈1.028102, în timp ce logaritmul zecimal inițial este aproximativ egal cu logaritmul numărului rezultat, adică luăm lg102,76332≈lg1,028 · 10 2. Aplicați acum proprietățile logaritmului: lg1,02810 2 \u003d lg1,028 + lg10 2 \u003d lg1,028 + 2. În cele din urmă, găsim valoarea logaritmului lg1,028 din tabelul logaritmelor zecimale lg 01,028≈0,0086 + 0,0034 \u003d 0,012. Drept urmare, întregul proces de calcul al logaritmului arată astfel: lg102.76332 \u003d lg1.027633210 2 ≈lg1.028102 \u003d lg1,028 + lg10 2 \u003d lg1,028 + 2≈0,012 + 2 \u003d 2.012.

În concluzie, este de remarcat faptul că folosind tabelul logaritmelor zecimale, puteți calcula valoarea aproximativă a oricărui logaritm. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să utilizați formula de tranziție pentru a merge la logaritmele zecimale, găsiți valorile lor în tabel și efectuați calculele rămase.

De exemplu, calculați jurnalul 2 3. Prin formula pentru trecerea la noua bază a logaritmului, avem. Din tabelul logaritmelor zecimale găsim lg3≈0.4771 și lg2≈0.3010. În acest fel .

Referințe.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. și alții.Algebră și începutul analizei: Un manual pentru 10 - 11 clase de instituții de învățământ.
• Gusev V.A., Mordkovici A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții școlilor tehnice).

\\ (a ^ (b) \u003d c \\) \\ (\\ Stânga dreaptă \\) \\ (\\ log_ (a) (c) \u003d b \\)

Să explicăm mai simplu. De exemplu, \\ (\\ log_ (2) (8) \\) este egal cu gradul în care \\ (2 \\) trebuie ridicat pentru a obține \\ (8 \\). Din aceasta este clar că \\ (\\ log_ (2) (8) \u003d 3 \\).

exemple:		\\ (\\ log_ (5) (25) \u003d 2 \\)		deoarece \\ (5 ^ (2) \u003d 25 \\)
		\\ (\\ log_ (3) (81) \u003d 4 \\)		deoarece \\ (3 ^ (4) \u003d 81 \\)
		\\ (\\ log_ (2) \\) \\ (\\ frac (1) (32) \\) \\ (\u003d - 5 \\)		deoarece \\ (2 ^ (- 5) \u003d \\) \\ (\\ frac (1) (32) \\)

Argumentul și baza logaritmului

Orice logaritm are următoarea "anatomie":

Argumentul logaritmului este de obicei scris la nivelul său, iar baza este scrisă cu font interlinear mai aproape de semnul logaritmului. Și această înregistrare este citită astfel: „logaritmul a douăzeci și cinci pe baza a cinci”.

Cum se calculează logaritmul?

Pentru a calcula logaritmul, trebuie să răspundeți la întrebarea: în ce măsură ar trebui ridicată baza pentru a obține un argument?

De exemplu, calculați logaritmul: a) \\ (\\ log_ (4) (16) \\) b) \\ (\\ log_ (3) \\) \\ (\\ frac (1) (3) \\) c) \\ (\\ log _ (\\ sqrt (5)) (1) \\) d) \\ (\\ log _ (\\ sqrt (7)) (\\ sqrt (7)) \\) e) \\ (\\ log_ (3) (\\ sqrt (3)) \\)

a) În ce măsură ar trebui ridicat \\ (4 \\) pentru a obține \\ (16 \\)? Evident în al doilea. Prin urmare:

\\ (\\ log_ (4) (16) \u003d 2 \\)

\\ (\\ log_ (3) \\) \\ (\\ frac (1) (3) \\) \\ (\u003d - 1 \\)

c) În ce măsură trebuie ridicat \\ (\\ sqrt (5) \\) pentru a obține \\ (1 \\)? Și ce grad face din orice număr o unitate? Zero, desigur!

\\ (\\ log _ (\\ sqrt (5)) (1) \u003d 0 \\)

d) În ce măsură trebuie să ridicați \\ (\\ sqrt (7) \\) pentru a obține \\ (\\ sqrt (7) \\)? În primul, orice număr din primul grad este egal cu sine.

\\ (\\ log _ (\\ sqrt (7)) (\\ sqrt (7)) \u003d 1 \\)

e) În ce măsură ar trebui ridicat \\ (3 \\) pentru a obține \\ (\\ sqrt (3) \\)? Știm că acesta este un grad fracțional, și deci rădăcina pătrată este gradul \\ (\\ frac (1) (2) \\).

\\ (\\ log_ (3) (\\ sqrt (3)) \u003d \\) \\ (\\ frac (1) (2) \\)

exemplu : Calculați logaritmul \\ (\\ log_ (4 \\ sqrt (2)) (8) \\)

decizie :

\\ (\\ log_ (4 \\ sqrt (2)) (8) \u003d x \\)		Trebuie să găsim valoarea logaritmului, o desemnăm ca x. Acum folosim definiția logaritmului:    \\ (\\ log_ (a) (c) \u003d b \\) \\ (\\ Stânga dreaptă \\) \\ (a ^ (b) \u003d c \\)
\\ ((4 \\ sqrt (2)) ^ (x) \u003d 8 \\)		Ce se leagă \\ (4 \\ sqrt (2) \\) și \\ (8 \\)? Două, deoarece ambele pot fi reprezentate ca două:    \\ (4 \u003d 2 ^ (2) \\) \\ (\\ sqrt (2) \u003d 2 ^ (\\ frac (1) (2)) \\) \\ (8 \u003d 2 ^ (3) \\)
\\ ((((2 ^ (2) \\ cdot2 ^ (\\ frac (1) (2))) ^ ^ (x) \u003d 2 ^ (3) \\)		În stânga folosim proprietățile de grad: \\ (a ^ (m) \\ cdot a ^ (n) \u003d a ^ (m + n) \\) și \\ ((a ^ (m)) ^ (n) \u003d a ^ (m \\ cdot n) \\)
\\ (2 ^ (\\ frac (5) (2) x) \u003d 2 ^ (3) \\)		Motivele sunt egale, apelăm la egalitatea indicatorilor
\\ (\\ frac (5x) (2) \\) \\ (\u003d 3 \\)		Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \\ (\\ frac (2) (5) \\)
		Rădăcina rezultată este valoarea logaritmului

Răspunsul : \\ (\\ log_ (4 \\ sqrt (2)) (8) \u003d 1,2 \\)

De ce să vină cu un logaritm?

Pentru a înțelege acest lucru, să rezolvăm ecuația: \\ (3 ^ (x) \u003d 9 \\). Alegeți \\ (x \\) pentru a face ca egalitatea să funcționeze. Desigur, \\ (x \u003d 2 \\).

Rezolvați acum ecuația: \\ (3 ^ (x) \u003d 8 \\). Cu ce \u200b\u200beste x egal? Acesta este doar ideea.

Cei mai discernanți vor spune: „X este puțin mai puțin de doi”. Și cum să înregistrați cu exactitate acest număr? Pentru a răspunde la această întrebare, au venit cu un logaritm. Mulțumită lui, răspunsul aici poate fi scris ca \\ (x \u003d \\ log_ (3) (8) \\).

Vreau să subliniez că \\ (\\ log_ (3) (8) \\), cum ar fi orice logaritm este doar un număr. Da, pare neobișnuit, dar scurt. Deoarece, dacă am dori să o scriem ca fracție zecimală, atunci ar arăta astfel: \\ (1.892789260714 ..... \\)

exemplu : Rezolvați ecuația \\ (4 ^ (5x-4) \u003d 10 \\)

decizie :

\\ (4 ^ (5x-4) \u003d 10 \\)		\\ (4 ^ (5x-4) \\) și \\ (10 \u200b\u200b\\) nu conduc în niciun caz la o bază. Deci, aici nu poți face fără logaritm. Folosim definiția logaritmului:    \\ (a ^ (b) \u003d c \\) \\ (\\ Stânga dreaptă \\) \\ (\\ log_ (a) (c) \u003d b \\)
\\ (\\ log_ (4) (10) \u003d 5x-4 \\)		Rotiți ecuația astfel încât X să fie în stânga
\\ (5x-4 \u003d \\ log_ (4) (10) \\)		În fața noastră. Deplasați-vă \\ (4 \\) spre dreapta. Și nu vă alarmați de logaritm, tratați-l ca un număr obișnuit.
\\ (5x \u003d \\ log_ (4) (10) +4 \\)		Împărțiți ecuația la 5
\\ (x \u003d \\) \\ (\\ frac (\\ log_ (4) (10) +4) (5) \\)		Iată rădăcina noastră. Da, pare neobișnuit, dar nu aleg răspunsul.

Răspunsul : \\ (\\ frac (\\ log_ (4) (10) +4) (5) \\)

Logaritmi decimali și naturali

După cum este indicat în definiția logaritmului, baza acestuia poate fi orice număr pozitiv, cu excepția unității \\ ((a\u003e 0, a \\ neq1) \\). Și dintre toate motivele posibile, există două care sunt atât de comune încât pentru logaritmi au venit cu o notare specială scurtă:

Logaritm natural: un logaritm a cărui bază este numărul Euler \\ (e \\) (egal cu aproximativ \\ (2.7182818 ... \\)) și un logaritm precum \\ (\\ ln (a) \\).

Adică \\ (\\ ln (a) \\) este la fel ca \\ (\\ log_ (e) (a) \\)

Logaritmul zecimal: se scrie \\ (\\ lg (a) \\) logaritmul pentru care este baza 10.

Adică \\ (\\ lg (a) \\) este la fel ca \\ (\\ log_ (10) (a) \\), unde \\ (a \\) este un anumit număr.

Identitate logaritmică de bază

Logaritmii au multe proprietăți. Una dintre ele se numește „Identitate logaritmică de bază” și arată astfel:

\\ (a ^ (\\ log_ (a) (c)) \u003d c \\)

Această proprietate rezultă direct din definiție. Să vedem cum a apărut exact această formulă.

Amintiți-vă o înregistrare scurtă a definiției logaritmului:

dacă \\ (a ^ (b) \u003d c \\), atunci \\ (\\ log_ (a) (c) \u003d b \\)

Adică \\ (b \\) este același cu \\ (\\ log_ (a) (c) \\). Apoi putem scrie \\ (\\ log_ (a) (c) \\) în loc de \\ (b \\) în formula \\ (a ^ (b) \u003d c \\). Se dovedește \\ (a ^ (\\ log_ (a) (c)) \u003d c \\) - principala identitate logaritmică.

Puteți găsi alte proprietăți ale logaritmelor. Cu ajutorul lor, este posibil să simplificăm și să calculăm valorile expresiilor cu logaritmi, care sunt dificil de calculat „head-on”.

exemplu : Găsiți valoarea expresiei \\ (36 ^ (\\ log_ (6) (5)) \\)

decizie :

Răspunsul : \(25\)

Cum se scrie un număr sub forma unui logaritm?

După cum am menționat mai sus - orice logaritm este doar un număr. De asemenea, conversația este adevărată: orice număr poate fi scris ca un logaritm. De exemplu, știm că \\ (\\ log_ (2) (4) \\) este egal cu două. Apoi puteți scrie \\ (\\ log_ (2) (4) \\) în loc de două.

Dar \\ (\\ log_ (3) (9) \\) este egal cu \\ (2 \\), ceea ce înseamnă că puteți scrie și \\ (2 \u003d \\ log_ (3) (9) \\). În mod similar, cu \\ (\\ log_ (5) (25) \\) și cu \\ (\\ log_ (9) (81) \\) etc. Adică se dovedește

\\ (2 \u003d \\ log_ (2) (4) \u003d \\ log_ (3) (9) \u003d \\ log_ (4) (16) \u003d \\ log_ (5) (25) \u003d \\ log_ (6) (36) \u003d \\ Astfel, dacă avem nevoie, putem scrie oriunde în ecuație (chiar și în ecuație, chiar și în expresie, chiar și în inegalitate) un deuce ca logaritm cu orice bază - scrieți doar baza ca argument într-un pătrat.

În mod similar, cu un triplu - poate fi scris ca \\ (\\ log_ (2) (8) \\), sau ca \\ (\\ log_ (3) (27) \\), sau ca \\ (\\ log_ (4) (64) \\) ... Aici, ca argument, scriem baza în cub:

\\ (3 \u003d \\ log_ (2) (8) \u003d \\ log_ (3) (27) \u003d \\ log_ (4) (64) \u003d \\ log_ (5) (125) \u003d \\ log_ (6) (216) \u003d \\ Și cu cele patru:

\\ (4 \u003d \\ log_ (2) (16) \u003d \\ log_ (3) (81) \u003d \\ log_ (4) (256) \u003d \\ log_ (5) (625) \u003d \\ log_ (6) (1296) \u003d \\ Și cu minus unu:

\\ (- 1 \u003d \\) \\ (\\ log_ (2) \\) \\ (\\ frac (1) (2) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ log_ (3) \\) \\ (\\ frac (1) ( 3) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ log_ (4) \\) \\ (\\ frac (1) (4) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ log_ (5) \\) \\ (\\ frac (1) ) (5) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ log_ (6) \\) \\ (\\ frac (1) (6) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ log_ (7) \\) \\ (\\ frac (1) (7) \\) \\ (... \\)

Și cu o treime:

\\ (\\ frac (1) (3) \\) \\ (\u003d \\ log_ (2) (\\ sqrt (2)) \u003d \\ log_ (3) (\\ sqrt (3)) \u003d \\ log_ (4) (\\ sqrt ( 4)) \u003d \\ log_ (5) (\\ sqrt (5)) \u003d \\ log_ (6) (\\ sqrt (6)) \u003d \\ log_ (7) (\\ sqrt (7)) ... \\)

Orice număr \\ (a \\) poate fi reprezentat ca un logaritm cu o bază \\ (b \\): \\ (a \u003d \\ log_ (b) (b ^ (a)) \\)

: Găsiți valoarea expresiei

\\ (\\ frac (\\ log_ (2) (14)) (1+ \\ log_ (2) (7)) \\)

Confidențialitatea dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dvs. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și anunțați-ne dacă aveți întrebări.

exemplu Colectarea și utilizarea informațiilor personale Informațiile personale se referă la date care pot fi utilizate pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

decizie :

Răspunsul : \(1\)

Vi se poate solicita să furnizați informațiile dvs. personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

{!LANG-858c681af5aae25327efb834cfac53c4!}

{!LANG-270fb9d1c4f66b1e799d6d324c082550!}

{!LANG-17f647d00cd534b7c5c9a673929fbd9c!}

• Când lăsați o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dvs. personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să raportăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dvs. personale pentru a trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem utiliza informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea unui audit, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o remiză de premii, concurs sau eveniment promoțional similar, putem folosi informațiile pe care le furnizați pentru a gestiona astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dvs. către terți.

excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, sistemul judiciar, în procedurile judiciare și / sau pe baza anchetelor publice sau a anchetelor de la organele guvernamentale din Federația Rusă - dezvăluie informațiile dvs. personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dvs. dacă stabilim că o asemenea divulgare este necesară sau adecvată în scopuri de securitate, menținerea legii și a ordinii sau alte cazuri importante din punct de vedere social.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terța parte corespunzătoare, destinatarul.

Protecția informațiilor personale

Ne luăm măsuri de precauție - inclusiv cele administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderilor, furtului și a utilizării neloiale, precum și de accesul, dezvăluirea, modificarea și distrugerea neautorizate.

Respectă-ți confidențialitatea la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dvs. personale sunt sigure, comunicăm regulile de confidențialitate și securitate angajaților noștri și monitorizăm strict implementarea măsurilor de confidențialitate.