Rezumatul problemelor teoretice ale clasificării diferențiale

Pentru studenții din anul I

Specialități 23.02.03 "Întreținerea și repararea autovehiculelor"

Ecuația. Rădăcina ecuației. Ce înseamnă să rezolvi o ecuație?

O ecuație este o egalitate care conține o variabilă.

Rădăcina ecuației este valoarea variabilei, care, atunci când este substituită în ecuație, o transformă într-o adevărată egalitate numerică.

Rezolvarea unei ecuații înseamnă a-i găsi toate rădăcinile sau a dovedi că nu există rădăcini.

Un sistem de ecuații este o colecție de două sau mai multe ecuații cu două sau mai multe necunoscute; în plus, soluția uneia dintre ecuații este simultan soluția tuturor celorlalte.

Tipuri de ecuații și soluția lor: liniară, pătrată.

Ecuații liniare  Sunt ecuațiile formei: ax + b \u003d 0, unde a și b sunt unele constante. Dacă a nu este egal cu zero, atunci ecuația are o singură rădăcină: x \u003d - b: a. Dacă a este zero și b este zero, atunci rădăcina ecuației ax + b \u003d 0 este orice număr. Dacă a este egală cu zero, iar b nu este egală cu zero, atunci ecuația ax + b \u003d 0 nu are rădăcini.

Metode de rezolvare a ecuațiilor liniare

1) transformări de identitate

2) metoda grafică.

Ecuația pătratică  este o ecuație a formei topor 2 + bx + c  \u003d 0, unde coeficienții o, b  și c  sunt numere arbitrare, iar a ≠ 0.

Să fie dată ecuația cvadratică topor 2 + bx + c  \u003d 0. Atunci, discriminantul este numărul D = b 2 − 4aC.

1. Dacă D < 0, корней нет;

2. Dacă D  \u003d 0, există exact o rădăcină;

3. Dacă D  \u003e 0, vor exista două rădăcini.

Dacă discriminantul este D\u003e 0, rădăcinile pot fi găsite prin formulele: Rădăcinile ecuației cvadratice. Acum să trecem la soluție. Dacă este discriminant D  \u003e 0, rădăcinile pot fi găsite prin formulele:

Soluția celor mai simple ecuații trigonometrice

Vedere generală a soluției ecuației cos x \u003d a, unde | a | ≤ 1, este determinat de formula:

x \u003d ± arccos (a) + 2πk, k ∈ Z (numere întregi), pentru | a | \u003e 1, ecuația cos x \u003d a nu are soluții între numere reale.

Vedere generală a soluției ecuației sin x \u003d a, unde | a | ≤ 1, este determinat de formula:

x \u003d (- 1) k · arcsin (a) + πk, k ∈ Z (numere întregi), pentru | a | \u003e 1, ecuația sin x \u003d a nu are soluții între numere reale.

Forma generală a soluției ecuației tg x \u003d a este determinată de formula:

x \u003d arctan (a) + πk, k ∈ Z (numere întregi).

Forma generală a soluției ecuației ctg x \u003d a este determinată de formula:

x \u003d arcctg (a) + πk, k ∈ Z (numere întregi).

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice liniare

Ecuațiile trigonometrice liniare au forma k * f (x) + b \u003d 0, unde f (x) este o funcție trigonometrică, iar k și b sunt numere reale.

Pentru a rezolva ecuația, ea este adusă la forma ei cea mai simplă prin transformări identice

Soluția ecuațiilor trigonometrice combinate liniar

Ecuațiile trigonometrice combinate liniar au forma f (kx + b) \u003d a, unde f (x) este funcția trigonometrică, iar a, k și b sunt numere reale.

Pentru a rezolva ecuația, este introdusă o nouă variabilă y \u003d kx + b. Cea mai simplă ecuație trigonometrică obținută în raport cu y este rezolvată și se realizează înlocuirea inversă.

Soluția ecuațiilor trigonometrice folosind formule de reducere

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice folosind identități trigonometrice

La rezolvarea ecuațiilor trigonometrice care nu sunt cele mai simple, transformările identice sunt efectuate conform următoarelor formule:

Soluția ecuațiilor trigonometrice pătrate

Caracteristici distinctive ale ecuațiilor care sunt reduse la pătrat:

Ecuația conține funcții trigonometrice ale unui argument sau pot fi ușor reduse la un argument.

O ecuație trigonometrică este prezentă în ecuație sau toate funcțiile pot fi reduse la una.

Algoritmul soluției:

Înlocuirea este în curs.

Expresia este convertită.

Se introduce o notație (de exemplu, simple \u003d y).

Ecuația cvadratică este rezolvată.

Valoarea valorii indicate este înlocuită, iar ecuația trigonometrică este rezolvată

Subiectul lecției:  Ecuații trigonometrice, reducibile la ecuații trigonometrice patratice, omogene.

Tip de lecție: Lecție combinată.

Obiectivele lecției:

• Introduceți conceptul de ecuații trigonometrice omogene, care pot fi reduse în pătrat;
• Introduceți conceptul de ecuații trigonometrice de 1 și 2 grade;
• Să formeze capacitatea elevilor de a rezolva ecuațiile considerate la un nivel de bază.

• Dezvoltarea capacității de a analiza și a trage concluzii;
• Pentru a forma abilitatea de introspecție și control.

• A insufla un sentiment de responsabilitate;
• Pentru a cultiva abilitățile de lucru în echipă.
• Echipamente de lecție: afișe, karlbitsy, stimă de sine, un set de cărți pentru muncă independentă, carduri de semnal.

Structura lecției:

1. Etapa organizatorică.

2. Etapa verificării temelor.

3. Etapa pregătirii elevilor pentru asimilarea activă și conștientă a materialelor noi. Familiarizarea cu subiectul lecției. Stabilirea obiectivelor și obiectivelor.

4. Etapa de asimilare a noilor cunoștințe.

5. Etapa testării înțelegerii de către studenți a materialelor noi.

6. Etapa de consolidare a materialului nou.

7. Etapa de informare a studenților despre teme.

8. Etapa unui test cuprinzător de cunoștințe.

9. Rezumarea. Reflecție.

1. Faza organizațională .

• pregătește elevii pentru munca în lecție.

2. Faza de verificare a temelor .

• pentru a stabili prezența și corectitudinea implementării d / z de către toți studenții.

3. Etapa pregătirii elevilor pentru asimilarea activă și conștientă a materialelor noi.

• prin crearea unei situații problematice, aduceți elevii la noi tipuri de ecuații trigonometrice. Profesorul atrage atenția elevilor asupra unei plăci magnetice, unde sunt amplasate cărți cu mai multe ecuații trigonometrice și sugerează indicarea modalităților de rezolvare a acestora.

1) cos (4x-2) \u003d 2

3) cos 2 x-2cosx \u003d 0

5) 8 sin 2 x-6sin x-5 \u003d 0

6) 8 cos 2 2x + 6 sin 2x-3 \u003d 0

7) 2sin x- 3 cos x \u003d 0

9) 3 sin 2 x- 4sin x cos x + cos 2 x \u003d 0

Elevii privesc cu atenție o placă magnetică, explică cum este posibilă rezolvarea acestei ecuații. Dacă profesorul nu are comentarii, cardul cu înregistrarea ecuației numite este eliminat de pe placa magnetică.

În urma muncii depuse, ecuațiile au rămas pe tabloul magnetic, elevii nu au găsit o modalitate de a le rezolva. (Nr. 5, 7)

4. Etapa de asimilare a noilor cunoștințe.

Introduceți conceptul de „ecuații trigonometrice reducibile la pătrat”;

1. introduceți conceptul de „ecuații trigonometrice reducibile la pătrat”;
2. introduceți conceptul de ecuații trigonometrice omogene;
3. analiza metodelor de soluționare a ecuațiilor trigonometrice omogene de grade 1 și 2;
4. pentru a atinge capacitatea de a determina forma ecuațiilor trigonometrice omogene;
5. stăpânește metodele generale de soluționare a ecuațiilor trigonometrice, reductibile la ecuațiile trigonometrice pătratice, omogene.

Profesorul numește tipurile de ecuații rămase și invită elevii să scrie subiectul lecției: „Ecuații trigonometrice rezolvate prin reducere la pătrat. Ecuații trigonometrice omogene de 1 și 2 grade. "

Profesorul face note pe tablă, iar elevii în caiete:

Ecuații trigonometrice rezolvate prin reducere la pătrat.

1) Ecuațiile formei A × sin2 t + B × sint + C \u003d 0, unde A ¹ 0, se rezolvă prin reducerea la pătrat prin înlocuirea sin t \u003d у (ecuațiile cu cos t, tg t, сtg t sunt rezolvate în mod similar).

2) Ecuațiile formei A × sin2 t + B × cos t + C \u003d 0. Soluția folosește identitatea trigonometrică de bază sin2 t \u003d 1 - cos2 t.

3) sin 2 t \u003d a, a \u003d. 4) cos 2 t \u003d a, a \u003d.

5) tg 2 t \u003d a, a \u003d. 6) ctg 2 t \u003d a, a \u003d

Soluția ecuației nr. 5, 4. este analizată în detaliu Soluția ecuației nr. 6 este realizată cu participarea activă a clasei. Pentru a rezolva ecuația numărul 8, elevul este apelat (opțional).

Ecuații trigonometrice omogene de 1 și 2 grade.

O ecuație în care fiecare termen are același grad se numește omogen.

1) Ecuațiile formei A × sin t + B × cos t \u003d 0, unde A ¹ 0, B ¹ 0, se numesc ecuații trigonometrice omogene de gradul 1. Se rezolvă prin împărțirea ambelor părți la cos t ¹ 0. Avem A × tg t + B \u003d 0.

2) Ecuațiile formei A × sin2 t + B sin t × cos t + С × cos2 t \u003d 0 se numesc ecuații trigonometrice omogene de gradul 2. Se rezolvă prin împărțirea ambelor părți la cos2 t ¹ 0. Avem A × tg2 t + B × tg t + C \u003d 0.

Profesorul rezolvă ecuația numărul 7, cu o explicație detaliată. Când rezolvați ecuația nr. 9 folosind întrebări, îi conectează pe elevi la munca activă. După reducerea ecuației la forma 3tg2 t - 4 tg t + 1 \u003d 0, el sugerează că elevii, dacă doresc, merg la tablă și rezolvă ecuația rezultată.

1. Etapa de testare a înțelegerii de către studenți a materialelor noi.

obiectiv:   stabiliți dacă elevii au învățat cum să rezolve un nou tip de ecuație.

PPS (lucru independent privind formarea cunoștințelor).

Determinați tipul de ecuație și indicați cum să o rezolvați.

2) 5 sin 3x + 4cos3x \u003d 0;

3) sin 2 x + 14sinx * cosx-15cos 2 x \u003d 0;

4) 1 + 7cos2 x + 3sin2 x \u003d 0;

5) sin2x + sin 2 x \u003d 0.

  6. Etapa de consolidare a materialului nou.

obiectiv:   să consolideze elevii cunoștințele și abilitățile pe care le-au primit în lecție.

Profesorul oferă elevilor să rezolve ecuația de pe tablă:

7. Etapa de informare a studenților despre teme.

Sarcini: informează studenții despre temele lor, oferă instrucțiuni scurte cu privire la implementarea acesteia.

1. vizualizați notele într-un caiet;
2. analizați soluția exemplelor nr. 1 - 6 din manual, pp. 78 - 79.
3. respectă nr. 167a), b); 168 b); Nr. 169a); Nr. 170c).
4. elevii puternici, în loc de nr. 167, 168, pot rezolva ecuația:

15 * (sin 2 x + sin x + cos 2 2x) 2 + 17 + 31sinx

8. Etapa testării cuprinzătoare a cunoștințelor.

Sarcini: testarea completă a cunoștințelor elevilor în rezolvarea ecuațiilor similare cu cele discutate în lecție, pentru a forma capacitatea de introspecție și control.

SPS (lucru independent pentru formarea deprinderilor).

Rezolvați ecuațiile.

1 opțiune.

2 opțiune

3 opțiune

4 opțiune

9. Rezumând rezultatele. Reflecție.

   Înapoi înainte

Atenție! Previzualizarea diapozitivului este utilizată doar în scopuri educaționale și nu poate da o idee despre toate caracteristicile de prezentare. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiectivele și obiectivele lecției.

• de învățământ:
  • repetați: definiția și metodele de rezolvare a celor mai simple ecuații trigonometrice; definirea ecuației cvadratice, formula discriminantă și rădăcinile ecuației cvadratice
  • pentru a forma cunoștințe despre trăsăturile și metodele de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice, care sunt reduse la patrat.
  • să fie capabil: să distingă ecuațiile trigonometrice de ecuațiile trigonometrice care sunt reduse la cuadratice și să le rezolve.
• Dezvoltarea:
  • să dezvolte gândirea logică a elevilor, memoria, atenția, vorbirea; capacitatea de a raționa și de a evidenția principalul lucru; capacitatea de a dobândi în mod independent cunoștințe și de a o aplica în practică, pentru a dezvolta abilitățile de autocontrol și control reciproc.
• de învățământ:
  • favorizează respectul pentru colegii de clasă, independența, responsabilitatea, gustul estetic, precizia, interesul pentru matematică.

Echipament:proiector multimedia, ecran, foaie de autoevaluare.

Forme organizaționale de comunicare:  frontal, de grup, individual.

Tip de lecție:  asimilarea noilor cunoștințe.

Tehnologia educației:  TIC, proiect.

Planul lecției.

1. Moment organizațional, formarea motivației elevilor.
2. Formularea temei, obiectivele lecției.
3. Actualizarea cunoștințelor și pregătirea elevilor pentru asimilarea activă și conștientă a materialelor noi.
4. Etapa de asimilare a noilor cunoștințe și metode de acțiune.
5. Etapa de relaxare activă și revitalizare.
6. Etapa verificării inițiale a înțelegerii studiate.
7. Etapa de reflecție și evaluare. Rezumând lecția.
8. Etapa de informare a elevilor despre temele, instruirea cu privire la implementarea acesteia.

Lucrări pregătitoare

Elevii dintr-o clasă trebuie împărțiți în grupuri în avans. Profesorul are dreptul să aleagă principiul împărțirii elevilor în grupuri.
  Una dintre opțiuni este grupul care ar include studenți cu diferite niveluri de pregătire matematică: de la „de bază” la „avansat”.
Fiecare grup primește o sarcină preliminară pentru a studia algoritmul pentru rezolvarea unuia dintre tipurile de ecuații trigonometrice (sunt utilizate sursele de informații propuse de profesor și găsite în mod independent). Membrii fiecărui grup prezintă rezultatele muncii lor într-una dintre lecțiile pe tema „Ecuații trigonometrice”. În funcție de volumul materialului propus și de complexitatea acestuia, 1-2 grupuri pot avea timp să vorbească într-o lecție, prezentând rezultatele muncii lor.
  Vă aducem în atenție o lecție în care este luată în considerare soluția ecuațiilor trigonometrice reduse la pătrat.

Din casă realitatea este ușor de intrat în pădurea matematicii, dar doar câțiva sunt capabili să revină.

H. Steinhaus

Cu cât o persoană devine mai multă persoană, cu atât mai puțin va fi de acord cu orice altceva decât o mișcare nesfârșită și indestructibilă către nou.

Pierre Chardin

LUCRĂ DE LECȚIE

1. Moment organizațional, formarea motivației elevilor (3 min.)

Bine ai venit. Fixarea absentului, verificarea pregătirii elevilor pentru lecție. În continuare, fiecărui elev i se oferă o foaie de scor. Profesorul comentează pe scurt regulile de completare a fișei de notare și sugerează completarea a 1-3 rânduri. Apendicele 1 .
  Organizarea atenției elevilor: profesorul citează studenții lui Pierre Chardin, se oferă să explice cum au înțeles sensul cuvintelor (pot fi auzite 2-3 persoane), sugerează să facă din cuvinte motto-ul lecției și se întreabă dacă știu cine este autorul. Scurt istoric (diapozitiv 3).

* Instrucțiuni de utilizare a Prezentării – Apendicele 2 .

2. Formularea temei, obiectivele lecției  (2-3 minute).

Profesorul solicită să formuleze subiectul lecției anterioare (Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice). Studenții sunt interesați de modul în care cred că există alte tipuri de ecuații trigonometrice. (Da. Dacă există „protozoare”, atunci sunt mai complexe, altfel nu este necesar să se introducă termenul „protozoare” dacă acesta este singurul tip de ecuații trigonometrice). Pe baza celor de mai sus, el sugerează formularea subiectului lecției de astăzi (Rezolvarea complexelor / a altor / diferite tipuri de ecuații trigonometrice).
  După ajustarea subiectului, el sugerează ca elevii să scrie în caiete: data lecției, sintagma „Lucru în clasă” și subiectul lecției „Rezolvarea diverselor tipuri de ecuații trigonometrice: ecuații care se reduc la pătrat”.
Pe masă, fiecare student are modele de mere și stilouri cu pâslă. Se propune să scrie pe „mere” așteptările lor de la viitoarea lecție, a cărei temă a fost deja formulată. După aceea, toate șabloanele de mere sunt atașate, de exemplu, folosind bandă adezivă la un afiș pregătit în prealabil cu o imagine a unui copac. Se dovedește „Arborele așteptărilor”.

Pe măsură ce această sau așteptarea este atinsă, mărul corespunzător poate fi considerat copt și colectat într-un coș. Utilizarea acestei metode active de predare este o modalitate bună de a urmări progresul elevului într-o lecție.

O altă opțiune este posibilă:  profesorul pune o clepsidră în fața elevilor din clasă și se oferă să răspundă la întrebarea a ceea ce vor să învețe în lecție, a cărei temă a fost deja formulată (1-2 opțiuni sunt suficiente).

3. Actualizarea cunoștințelorși pregătirea elevilor pentru asimilarea activă și conștientă a materialului nou (10 min.).

Profesor.Herbert Spencer a spus că, dacă cunoștințele unei persoane sunt într-o stare neregulată, atunci cu cât are mai multe, cu atât este mai supărată mintea sa. Vom urma sfaturile acestui celebru filosof britanic (informațiile pentru dezvoltarea generală a personalității sunt un scurt istoric istoric.

Lucrări frontale  (Oral)

  - Dați o definiție a ecuației trigonometrice.
  - Câte rădăcini poate avea o ecuație trigonometrică?
  - Care sunt cele mai simple ecuații trigonometrice?
  - Ce înseamnă să rezolvi cea mai simplă ecuație trigonometrică?
  - Ce metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice cunoașteți? (2 opțiuni: formule; cerc de unitate).

a) Completați tabelul:

b) Puneți în conformitate cu ecuațiile soluțiile lor prezentate pe cercuri de unități (cu comentariu)

Muncă independentă (Apendicele 3 )

Cu autocontrol / autocontrol ulterior (corectitudinea răspunsurilor este verificată prin intermediul unei prezentări) asupra capacității de a rezolva cele mai simple ecuații trigonometrice. Demonstrat (diapozitiv 12). Dacă este necesar, soluțiile unor ecuații sunt comentate pe scurt.

4. Etapa de asimilare a noilor cunoștințe și metode de acțiune  (15 minute).

Studenții clasei au fost împărțiți anterior în grupuri, fiecare dintre ei a considerat în mod independent, folosind materialele recomandate de profesor și au găsit independent, unul dintre tipurile de ecuații trigonometrice.
Rezultatele lucrării sunt prezentate sub forma unei anumite recomandări / algoritm / schemă de soluție în formatul prezentării Power Point. Dacă este necesar, profesorul recomandă studenților grupurilor și verifică în prealabil produsul final al muncii lor.
  Pentru a prezenta rezultatele unei anumite soluții din lecție, unul dintre reprezentanții grupului este selectat, ceilalți din lecție ajută la răspunsul la întrebările care apar în rezolvarea acestui tip de ecuație trigonometrică. Elevii învață în avans criteriile de evaluare a muncii lor în grup.

Trebuie să împart timpul
  între politică și ecuații.
  Cu toate acestea, ecuațiile, după părerea mea, sunt mult mai importante.
  Politica există doar pentru acest moment,
  iar ecuațiile vor dura pentru totdeauna.

Opțiuni posibile pentru finalizarea unei sarcini de către un grup. (Diapozitive 14-18)

1 grup. Soluția ecuațiilor trigonometrice redusă la pătrat.

Caracteristici distinctive ale ecuațiilor care sunt reduse la pătrat:

1. Ecuația conține funcții trigonometrice ale unui argument sau ele pot fi ușor reduse la un argument.
  2. O ecuație trigonometrică este prezentă în ecuație sau toate funcțiile pot fi reduse la una.

Algoritmul soluției:

- Sunt utilizate următoarele identități; cu ajutorul lor, este necesară exprimarea unei funcții trigonometrice printr-o alta:

- Înlocuirea este în curs.
  - Expresia este convertită.
  - Se introduce o desemnare (de exemplu, păcat x = y).
  - Ecuația patratică se rezolvă.
  - Valoarea valorii indicate este înlocuită, iar ecuația trigonometrică este rezolvată.

Exemplul 1

6cos 2 x + 5 sin x - 7 \u003d 0.

decizie.

Exemplul 2

Exemplul 3

5. Etapa de relaxare activă și revitalizare  (2 minute)

6. Etapa verificării inițiale a înțelegerii studiate  (8 min.)

Muncă independentă(Apendicele 5 )

Lucrarea este diferențiată, fiecare nivel de dificultate al sarcinilor este prezentat în două versiuni.
  Nivel I - „3”, nivel II - „4”, nivel III - „5” în cazul unei decizii corecte complete. Lucrarea va fi verificată de către profesor pentru următoarea lecție, vor fi stabilite note pentru lecție.

7. Etapa de reflecție și evaluare. Rezumatul lecției(2 minute)

Completați punctul 6.7 din fișa de autoevaluare - Apendicele 1 .

8. Etapa de informare a elevilor despre temele la domiciliu, informații despre implementarea acesteia (2 min.)

Diferențiat (distribuit fiecărui student pe foi separate) - Apendicele 6

Referințe:

1. Kornilov S.V., Kornilova L.E.  Casetă metodică. - Petrozavodsk: PetroPress, 2002 .-- 12 p.

În rezolvarea multora probleme de matematica, în special a celor care apar înainte de gradul 10, ordinea acțiunilor care vor duce la atingerea obiectivului este determinată în mod unic. Astfel de probleme includ, de exemplu, ecuații liniare și patratice, inegalități liniare și patratice, ecuații fracționale și ecuații care sunt reduse la cuadratice. Principiul rezolvării cu succes a fiecăreia dintre problemele menționate este următorul: este necesar să se stabilească pentru ce tip se rezolvă problema, nu uitați de secvența necesară de acțiuni care va duce la rezultatul dorit, adică. răspundeți și parcurgeți acești pași.

Evident, succesul sau eșecul în rezolvarea unei anumite probleme depinde în principal de cât de corect este determinat tipul de ecuație rezolvată, cât de corect este redată secvența tuturor etapelor soluției sale. Desigur, în acest caz, trebuie să aveți abilități pentru a efectua transformări și calcule identice.

Situația este diferită ecuații trigonometrice.  A stabili faptul că ecuația este trigonometrică nu este deloc dificilă. Apar dificultăți în determinarea succesiunii acțiunilor care ar duce la răspunsul corect.

Prin apariția ecuației, uneori este dificil să se determine tipul acesteia. Și fără să știm tipul ecuației, este aproape imposibil să o alegem pe cea potrivită din câteva zeci de formule trigonometrice.

Pentru a rezolva ecuația trigonometrică, trebuie să încercați:

1. aduceți toate funcțiile incluse în ecuație în „unghiuri egale”;
2. a aduce ecuația la „funcții identice”;
3. Factorizați partea stângă a ecuației etc.

lua în considerare metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

I. Reducerea la cele mai simple ecuații trigonometrice

Schema de soluții

Pasul 1  Exprimați o funcție trigonometrică prin componente cunoscute.

Pasul 2  Găsiți argumentul funcției după formule:

cos x \u003d a; x \u003d ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x \u003d a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tg x \u003d a; x \u003d arctan a + πn, n Є Z.

ctg x \u003d a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Pasul 3  Găsiți o variabilă necunoscută.

Un exemplu.

2 cos (3x - π / 4) \u003d -√2.

Decizie.

1)   cos (3x - π / 4) \u003d -√2 / 2.

2)   3x - π / 4 \u003d ± (π - π / 4) + 2πn, n Є Z;

3x - π / 4 \u003d ± 3π / 4 + 2πn, n Є Z.

3)   3x \u003d ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n Є Z;

x \u003d ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z;

x \u003d ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

Răspuns: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

II. Înlocuire variabilă

Schema de soluții

Pasul 1  Reduceți ecuația la forma algebră în raport cu una dintre funcțiile trigonometrice.

Pasul 2  Indicați funcția obținută de variabila t (dacă este necesar, introduceți restricții la t).

Pasul 3 Scrieți și rezolvați ecuația algebrică rezultată.

Pasul 4  Faceți o înlocuire inversă.

Pasul 5  Rezolvați cea mai simplă ecuație trigonometrică.

Un exemplu.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 \u003d 0.

Decizie.

1)   2 (1 - sin 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 \u003d 0;

2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 \u003d 0.

2)   Fie păcatul (x / 2) \u003d t, unde | t | ≤ 1.

3)   2t 2 + 5t + 3 \u003d 0;

t \u003d 1 sau e \u003d -3/2, nu îndeplinește condiția | t | ≤ 1.

4)   sin (x / 2) \u003d 1.

5)   x / 2 \u003d π / 2 + 2πn, n Є Z;

x \u003d π + 4πn, n Є Z.

Răspuns: x \u003d π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda de reducere a ecuației

Schema de soluții

Pasul 1  Înlocuiți această ecuație cu una liniară, utilizând formulele de reducere a gradului pentru aceasta:

sin 2 x \u003d 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x \u003d 1/2 (1 + cos 2x);

tg 2 x \u003d (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Pasul 2  Rezolvați ecuația rezultată folosind metodele I și II.

Un exemplu.

cos 2x + cos 2 x \u003d 5/4.

Decizie.

1)   cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) \u003d 5/4.

2)   cos 2x + 1/2 + 1/2; cos 2x \u003d 5/4;

3/2 cos 2x \u003d 3/4;

2x \u003d ± π / 3 + 2πn, n Є Z;

x \u003d ± π / 6 + πn, n Є Z.

Răspuns: x \u003d ± π / 6 + πn, n Є Z.

IV. Ecuații omogene

Schema de soluții

Pasul 1  Aduceți această ecuație la formă

a) a sin x + b cos x \u003d 0 (ecuație omogenă de primul grad)

sau la minte

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x \u003d 0 (ecuația omogenă de gradul doi).

Pasul 2  Împărțiți ambele părți ale ecuației la

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

și obțineți ecuația pentru tg x:

a) a tg x + b \u003d 0;

b) a tg 2 x + b arctan x + c \u003d 0.

Pasul 3  Rezolvați ecuația prin metode cunoscute.

Un exemplu.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 \u003d 0.

Decizie.

1)   5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) \u003d 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4sin² x - 4cos 2 x \u003d 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2)   tg 2 x + 3tg x - 4 \u003d 0.

3) Fie tg x \u003d t; atunci

t 2 + 3t - 4 \u003d 0;

t \u003d 1 sau t \u003d -4, ceea ce înseamnă

tg x \u003d 1 sau tg x \u003d -4.

Din prima ecuație x \u003d π / 4 + πn, n Є Z; din a doua ecuație x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

Răspuns: x \u003d π / 4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda pentru transformarea unei ecuații folosind formule trigonometrice

Schema de soluții

Pasul 1  Folosind tot felul de formule trigonometrice, aduceți această ecuație la ecuația rezolvată prin metodele I, II, III, IV.

Pasul 2  Rezolvați ecuația rezultată prin metode cunoscute.

Un exemplu.

sin x + sin 2x + sin 3x \u003d 0.

Decizie.

1)   (sin x + sin 3x) + sin 2x \u003d 0;

2sin 2x cos x + sin 2x \u003d 0.

2) sin 2x · (2cos x + 1) \u003d 0;

sin 2x \u003d 0 sau 2cos x + 1 \u003d 0;

Din prima ecuație, 2x \u003d π / 2 + πn, n Є Z; din a doua ecuație cos x \u003d -1/2.

Avem x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; din a doua ecuație x \u003d ± (π - π / 3) + 2πk, k Є Z.

Drept urmare, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Răspuns: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Abilitățile de a rezolva ecuațiile trigonometrice sunt foarte important, dezvoltarea lor necesită efort considerabil, atât din partea elevului, cât și a profesorului.

Multe probleme de stereometrie, fizică și altele sunt asociate cu soluția ecuațiilor trigonometrice.

Ecuațiile trigonometrice ocupă un loc important în procesul de predare a matematicii și în dezvoltarea personalității în ansamblu.

Mai aveți întrebări? Nu știți cum să rezolvați ecuațiile trigonometrice?
Pentru a obține ajutorul unui tutor - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul, cu copierea completă sau parțială a materialului, este necesară o legătură către sursă.

Confidențialitatea dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dvs. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și anunțați-ne dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi utilizate pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Vi se poate solicita să furnizați informațiile dvs. personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când lăsați o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dvs. personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să raportăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dvs. personale pentru a trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem utiliza informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea unui audit, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o remiză de premii, concurs sau eveniment promoțional similar, putem folosi informațiile pe care le furnizați pentru a gestiona astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dvs. către terți.

excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, sistemul judiciar, în procedurile judiciare și / sau pe baza anchetelor publice sau a anchetelor de la autoritățile statului de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile dvs. personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dvs. dacă stabilim că o asemenea divulgare este necesară sau adecvată în scopuri de securitate, menținerea legii și a ordinii sau alte cazuri importante din punct de vedere social.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terța parte corespunzătoare, destinatarul.

Protecția informațiilor personale

Ne luăm măsuri de precauție - inclusiv cele administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și a utilizării neloiale, precum și de accesul, dezvăluirea, modificarea și distrugerea neautorizate.

Respectă-ți confidențialitatea la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dvs. personale sunt sigure, comunicăm regulile de confidențialitate și securitate angajaților noștri și monitorizăm strict implementarea măsurilor de confidențialitate.