Manual de instrucțiuni
Metoda de substituție Exprimați o variabilă și o înlocuiți cu o altă ecuație. Puteți exprima orice variabilă la discreția dumneavoastră. De exemplu, exprimați „y din a doua ecuație:
xy \u003d 2 \u003d\u003e y \u003d x-2 Atunci înlocuiește totul în prima ecuație:
2x + (x-2) \u003d 10 Deplasați totul fără „x în partea dreaptă și calculați:
2x + x \u003d 10 + 2
3x \u003d 12 În continuare, la „x, împărțiți ambele părți ale ecuației cu 3:
x \u003d 4. Deci ați găsit „x. Găsiți „y. Pentru a face acest lucru, înlocuiți „x în ecuația din care ați exprimat„ y:
y \u003d x-2 \u003d 4-2 \u003d 2
y \u003d 2.
Faceți un control. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valorile rezultate în ecuații:
2*4+2=10
4-2=2
Necunoscut găsit adevărat!
Metoda pentru adunarea sau scăderea ecuațiilor Scăpați imediat de orice variabilă. În cazul nostru, acest lucru este mai ușor de făcut cu „y.
Întrucât în \u200b\u200becuația „y cu semnul„ +, iar în a doua „-, puteți efectua operația de adăugare, adică adăugați partea stângă la stânga, iar dreapta la dreapta:
2x + y + (xy) \u003d 10 + 2
2x + y + xy \u003d 10 + 2
3x \u003d 12
x \u003d 4 Înlocuiți „x în orice ecuație și găsiți„ y:
2 * 4 + y \u003d 10
8 + y \u003d 10
y \u003d 10-8
y \u003d 2 În prima metodă, puteți verifica dacă rădăcinile se găsesc corect.
Dacă nu există variabile definite în mod clar, atunci trebuie să transformați ușor ecuațiile.
În prima ecuație avem „2x, iar în a doua doar„ x. Pentru a reduce „x la adăugarea sau scăderea, înmulțiți a doua ecuație cu 2:
xy \u003d 2
2x-2y \u003d 4 Apoi scade a doua din prima ecuație:
2x + y- (2x-2y) \u003d 10-4 Notă, dacă există un minus în fața bracketului, atunci după extindere, schimbați semnele în sens opus:
2x + y-2x + 2y \u003d 6
3y \u003d 6
y \u003d 2 „x găsiți exprimând din orice ecuație, adică
x \u003d 4
Videoclipuri conexe
La rezolvarea ecuațiilor diferențiale, argumentul x (sau timpul t în probleme fizice) nu este întotdeauna disponibil în mod explicit. Cu toate acestea, acesta este un caz special simplificat de specificare a unei ecuații diferențiale, care adesea ajută la simplificarea căutării integralei sale.
Manual de instrucțiuni
Luați în considerare o problemă fizică care duce la o ecuație diferențială în care argumentul t lipsește. Aceasta este problema oscilațiilor masei m suspendate pe un fir de lungime r situat într-un plan vertical. O ecuație de mișcare a pendulului este necesară dacă cea inițială a fost nemișcată și deviată de la starea de echilibru de un unghi α. Forțele trebuie neglijate (vezi Fig. 1a).
Decizie. Pendulul matematic este un punct material suspendat pe un fir fără greutate și inextensibil în punctul O. Două forțe acționează asupra punctului: forța de gravitație G \u003d mg și forța de tensiune a firului N. Ambele forțe se află pe un plan vertical. Prin urmare, pentru a rezolva problema, putem aplica ecuația mișcării de rotație a unui punct în jurul unei axe orizontale care trece prin punctul O. Ecuația mișcării de rotație a unui corp are forma prezentată în Fig. 1b. Mai mult, eu sunt momentul inerției punctului material; j este unghiul de rotație a firului împreună cu punctul, contorizat de pe axa verticală în sens invers acelor de ceasornic; M este momentul forțelor aplicate punctului material.
Calculați aceste valori. I \u003d mr ^ 2, M \u003d M (G) + M (N). Dar M (N) \u003d 0, deoarece linia de acțiune a forței trece prin punctul O. M (G) \u003d - mgrsinj. Semnul „-” indică faptul că momentul forței este îndreptat în direcția opusă mișcării. Înlocuiți momentul inerției și momentul forței în ecuația mișcării și obțineți ecuația prezentată în Fig. 1c. Reducând masa, apare o relație (vezi Fig. 1d). Nu există niciun argument.
În cursul matematicii de clasa a 7-a, ei se întâlnesc mai întâi două ecuații variabile, dar acestea sunt studiate numai în contextul sistemelor de ecuații cu două necunoscute. De aceea, o serie întreagă de probleme cad din vedere, în care sunt introduse anumite condiții pe coeficienții ecuației care le limitează. În plus, metodele de soluționare a problemelor precum „Rezolva ecuația în numere naturale sau întregi” sunt de asemenea neglijate, deși acest tip de problemă se găsește tot mai des în lucrările de examen și examenele de admitere.
Care ecuație se va numi ecuație cu două variabile?
Deci, de exemplu, ecuațiile 5x + 2y \u003d 10, x 2 + y 2 \u003d 20 sau xy \u003d 12 sunt ecuații cu două variabile.
Luați în considerare ecuația 2x - y \u003d 1. Se transformă în adevărată egalitate pentru x \u003d 2 și y \u003d 3; prin urmare, această pereche de valori variabile este o soluție la ecuația respectivă.
Astfel, soluția oricărei ecuații cu două variabile este setul de perechi ordonate (x; y), valorile variabilelor pe care această ecuație le transformă într-o adevărată egalitate numerică.
O ecuație cu două necunoscute poate:
a) au o singură soluție. De exemplu, ecuația x 2 + 5y 2 \u003d 0 are o soluție unică (0; 0);
b) au soluții multiple. De exemplu, (5 - | x |) 2 + (| y | - 2) 2 \u003d 0 are 4 soluții: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
c) nu au decizii. De exemplu, ecuația x 2 + y 2 + 1 \u003d 0 nu are soluții;
g) au infinit de multe decizii. De exemplu, x + y \u003d 3. Soluțiile acestei ecuații vor fi numere a căror sumă este 3. Setul de soluții pentru această ecuație poate fi scris sub forma (k; 3 - k), unde k este orice număr real.
Principalele metode de soluționare a ecuațiilor cu două variabile sunt metode bazate pe factorizarea expresiilor, extragerea pătratului complet, folosind proprietățile ecuației cvadratice, delimitarea expresiilor și metode de estimare. Ecuația, de regulă, este convertită într-o formă din care se poate obține un sistem pentru găsirea necunoscutelor.
factoring
Exemplul 1
Rezolvați ecuația: xy - 2 \u003d 2x - y.
Decizie.
Grupăm termenii pentru factoring:
(xy + y) - (2x + 2) \u003d 0. Din fiecare paranteză scoatem factorul comun:
y (x + 1) - 2 (x + 1) \u003d 0;
(x + 1) (y - 2) \u003d 0. Avem:
y \u003d 2, x este orice număr real sau x \u003d -1, y este orice număr real.
În acest fel răspunsul este toate perechile formei (x; 2), x € R și (-1; y), y € R.
Este egal cu zero numere nenegative
Exemplul 2
Rezolvați ecuația: 9x 2 + 4y 2 + 13 \u003d 12 (x + y).
Decizie.
Grupa sus:
(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) \u003d 0. Acum fiecare paranteză poate fi prăbușită folosind formula pătratului diferenței.
(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 \u003d 0.
Suma a două expresii non-negative este zero doar dacă 3x - 2 \u003d 0 și 2y - 3 \u003d 0.
Deci x \u003d 2/3 și y \u003d 3/2.
Răspuns: (2/3; 3/2).
Metoda de evaluare
Exemplul 3
Rezolvați ecuația: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) \u003d 2.
Decizie.
În fiecare paranteză, selectați pătratul complet:
((x + 1) 2 + 1) ((y - 2) 2 + 2) \u003d 2. Estimare sensul expresiilor din paranteze.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 și (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, atunci partea stângă a ecuației nu este întotdeauna mai mică de 2. Egalitatea este posibilă dacă:
(x + 1) 2 + 1 \u003d 1 și (y - 2) 2 + 2 \u003d 2, ceea ce înseamnă x \u003d -1, y \u003d 2.
Răspuns: (-1; 2).
Să facem cunoștință cu o altă metodă de soluționare a ecuațiilor cu două variabile de gradul doi. Această metodă constă în faptul că ecuația este considerată ca fiind pătrat în raport cu orice variabilă.
Exemplul 4
Rezolvați ecuația: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 \u003d 0.
Decizie.
Rezolvați ecuația ca fiind patratică în raport cu x. Găsiți discriminatorul:
D \u003d 36 - 4 (y - 4√y + 13) \u003d -4y + 16√y - 16 \u003d -4 (√y - 2) 2. Ecuația va avea o soluție doar pentru D \u003d 0, adică dacă y \u003d 4. Înlocuim valoarea lui y în ecuația inițială și găsim că x \u003d 3.
Răspuns: (3; 4).
Adesea, în ecuații cu două necunoscute indică restricții variabile.
Exemplul 5
Rezolvați ecuația în numere întregi: x 2 + 5y 2 \u003d 20x + 2.
Decizie.
Rescriem ecuația sub forma x 2 \u003d -5y 2 + 20x + 2. Partea dreaptă a ecuației rezultate când este împărțită la 5 dă restul 2. Prin urmare, x 2 nu este divizibil cu 5. Dar pătratul numărului nu poate fi divizibil cu 5 dă restul 1 sau 4. Astfel, egalitatea este imposibilă și nu există soluții.
Răspuns: fără rădăcini.
Exemplul 6
Rezolvați ecuația: (x 2 - 4 | x | + 5) (y 2 + 6y + 12) \u003d 3.
Decizie.
Selectați pătratele complete din fiecare paranteză:
((| x | - 2) 2 + 1) ((y + 3) 2 + 3) \u003d 3. Partea stângă a ecuației este întotdeauna mai mare sau egală cu 3. Egalitatea este posibilă cu condiția | x | - 2 \u003d 0 și y + 3 \u003d 0. Astfel, x \u003d ± 2, y \u003d -3.
Răspuns: (2; -3) și (-2; -3).
Exemplul 7
Pentru fiecare pereche de numere întregi negative (x; y) care satisface ecuația
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y \u003d 33, calculați suma (x + y). În răspuns, indicați cea mai mică dintre sume.
Decizie.
Selectați pătratele complete:
(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) \u003d 37;
(x - y) 2 + (y + 2) 2 \u003d 37. Deoarece x și y sunt numere întregi, pătratele lor sunt de asemenea numere întregi. Suma pătratelor a două numere întregi, egală cu 37, obținem dacă adăugăm 1 + 36. Prin urmare:
(x - y) 2 \u003d 36 și (y + 2) 2 \u003d 1
(x - y) 2 \u003d 1 și (y + 2) 2 \u003d 36.
Rezolvând aceste sisteme și ținând cont că x și y sunt negative, găsim soluții: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Răspuns: -17.
Nu disperați dacă aveți dificultăți în rezolvarea ecuațiilor cu două necunoscute. O mică practică și puteți gestiona orice ecuații.
Mai aveți întrebări? Nu știți cum să rezolvați ecuațiile cu două variabile?
Pentru a obține ajutorul unui tutor - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!
site-ul, cu copierea completă sau parțială a materialului, este necesară o legătură către sursă.
ecuație
Cum se rezolvă ecuațiile?
În această secțiune, amintim (sau studiem - cum este cineva) cele mai elementare ecuații. Deci, ce este o ecuație? În limbajul uman, acesta este un fel de expresie matematică, unde există un semn egal și necunoscut. Ceea ce este de obicei indicat prin scrisoare "X". Rezolvați ecuația - este de a găsi astfel de valori x, atunci când este substituit în sursă expresie, ne va oferi o identitate adevărată. Permiteți-mi să vă reamintesc că identitatea este o expresie care nu este fără îndoială nici măcar la o persoană care nu este absolut încărcată de cunoștințe matematice. Tipul 2 \u003d 2, 0 \u003d 0, ab \u003d ab etc. Deci cum să rezolvi ecuațiile? Să ne dăm seama.
Există tot felul de ecuații (am fost surprins, nu?). Dar toată varietatea lor infinită poate fi împărțită în doar patru tipuri.
4. Toți ceilalți.)
Dintre toate celelalte, desigur, cele mai multe, da ...) Aceasta include cubic, și exponențial, și logaritmic și trigonometric și tot felul de altele. Vom lucra îndeaproape cu ei în secțiunile corespunzătoare.
Trebuie să spun imediat că, uneori, ecuațiile primelor trei tipuri vor fi atât de lichide încât nu le vei recunoaște ... Nimic. Vom învăța cum să le desfacem.
Și de ce avem nevoie de aceste patru tipuri? Și atunci asta ecuații liniare rezolvat într-un fel pătrat altora fracțional rațional - la al treilea,și restul deloc rezolvată! Ei bine, nu este faptul că nu pot fi rezolvate deloc, ci degeaba am jignit matematica.) Au doar propriile tehnici și metode speciale.
Dar pentru orice (repet - pentru orice!) ecuațiile sunt o bază fiabilă și fără probleme pentru rezolvare. Funcționează peste tot și întotdeauna. Această fundație - Sună înfricoșător, dar lucrul este foarte simplu. Și foarte (foarte mult!) importantă.
De fapt, soluția ecuației constă în aceste transformări. 99% reducere. Răspunsul la întrebarea: " Cum se rezolvă ecuațiile?"se află tocmai în aceste transformări. Este clar ideea?)
Transformări identice ale ecuațiilor.
orice ecuații Pentru a găsi necunoscutul, trebuie să transformați și să simplificați exemplul inițial. Și astfel încât la schimbarea aspectului esența ecuației nu s-a schimbat. Astfel de transformări sunt numite identitate sau echivalent.
Observ că aceste transformări sunt legate și anume la ecuații. În matematică, există încă transformări identice expresii. Acesta este un subiect diferit.
Acum vom repeta toate elementele de bază transformări identice ale ecuațiilor.
De bază, deoarece pot fi aplicate la orice ecuații - liniare, pătrate, fracționale, trigonometrice, exponențiale, logaritmice etc. etc.
Prima transformare a identității: puteți adăuga (scădea) pe ambele părți ale oricărei ecuații orice (dar același lucru!) un număr sau o expresie (inclusiv o expresie cu un necunoscut!). Esența ecuației nu se schimbă de aici.
Apropo, ați folosit în mod constant această transformare, doar ați crezut că transferați niște termeni de la o parte a ecuației la alta cu o schimbare de semn. tip:
Este un lucru cunoscut, mutați actul la dreapta și obținem:
De fapt tu luat din ambele părți ale ecuației deuce. Rezultatul este același:
x + 2 - 2 = 3 - 2
Traducerea termenilor de la stânga la dreapta cu o schimbare de semn este pur și simplu o versiune prescurtată a primei transformări identice. Și de ce avem nevoie de o cunoaștere atât de profundă? - întrebi. În ecuațiile scăzute. Purtați, pentru numele lui Dumnezeu. Numai semnul nu uita să te schimbi. Dar în inegalități, obiceiul transferului poate duce și la un punct mort ...
A doua transformare a identității: ambele părți ale ecuației pot fi înmulțite (împărțite) cu una și aceeași nenul numărul sau expresia. O restricție inteligibilă apare deja aici: este stupid să se înmulțească cu zero, dar este complet imposibil de împărțit. Folosiți această transformare atunci când decideți ceva mișto, cum ar fi
Desigur, x \u003d 2. Dar cum ai găsit-o? Prin selecție Sau doar a răsărit? Pentru a nu ridica și a nu aștepta inspirația, trebuie să înțelegeți că doar voi a împărțit ambele părți ale ecuației cu 5. La împărțirea laturii stângi (5x), cele cinci au scăzut, iar X pur a rămas. Ceea ce avem nevoie. Și când a împărțit partea dreaptă a (10) cu cinci, s-a dovedit, evident, un fapt.
Aceasta este totul.
Este amuzant, dar aceste două (doar două!) Transformări identice stau la baza soluției toate ecuațiile matematicii. La ce oră! Are sens să te uiți la exemple despre ce și cum, nu?)
Exemple de transformări identice ale ecuațiilor. Principalele probleme.
Începeți cu primul transformarea identității. Deplasați-vă la stânga și la dreapta.
Un exemplu pentru cei mai mici.)
Să presupunem că trebuie să rezolvați această ecuație:
3-2x \u003d 5-3x
Amintiți-vă vraja: "cu x - la stânga, fără x - la dreapta!" Această vraja este o instrucțiune pentru aplicarea primei transformări de identitate.) Care este expresia cu X în dreapta noastră? 3? Răspunsul este incorect! În dreapta noastră - 3! minus trei x! Prin urmare, atunci când treceți la stânga, semnul se va schimba în plus. Se va dovedi:
3-2x + 3x \u003d 5
Deci, X-ul a fost adunat într-o grămadă. Hai să ne ocupăm de numere. În stânga este o troică. Cu ce \u200b\u200bsemn sunteți familiarizați? Răspunsul „cu nu” nu este acceptat!) Înainte de troică, într-adevăr, nu se trage nimic. Și asta înseamnă că trio-ul se confruntă plus. Deci matematicienii au fost de acord. Nimic nu este scris atunci plus. În consecință, în partea dreaptă a celor trei este transferat cu un minus. Obținem:
-2x + 3x \u003d 5-3
Au rămas doar fleacuri. În stânga - pentru a aduce altele similare, pe dreapta - pentru a număra. Răspunsul este imediat:
În acest exemplu, o transformare identică a fost suficientă. Al doilea nu era necesar. Ei bine, bine.)
Un exemplu pentru cei mai vechi.)
Dacă vă place acest site ...
Apropo, am câteva site-uri mai interesante pentru tine.)
Puteți practica exemple de rezolvare și aflați nivelul dvs. Testarea cu verificare instantanee. Învățare - cu interes!)
Puteți face cunoștință cu funcții și instrumente derivate.
Mathematical-Calculator-Online v.1.0
Calculatorul efectuează următoarele operații: adunare, scădere, înmulțire, divizare, lucru zecimal, extracție rădăcină, exponențiere, calculare procentuală și alte operații.
soluţie:
Cum să lucrați cu un calculator de matematică
cheie | denumire | clarificare |
---|---|---|
5 | cifre 0-9 | Numere arabe. Introducerea de numere întregi naturale, zero. Pentru a obține un număr întreg negativ, apăsați tasta +/- |
. | perioada (virgula) | Separator zecimal. Dacă nu există o cifră în fața punctului (punct și virgulă), calculatorul va introduce automat un zero în fața punctului. De exemplu: .5 - 0.5 vor fi scrise |
+ | plus semn | Adăugarea numerelor (întregi, fracții zecimale) |
- | minus semn | Scăderea numerelor (întregi, fracții zecimale) |
÷ | semn de divizare | Diviziunea numerelor (întregi, fracții zecimale) |
x | semn de înmulțire | Înmulțirea numerelor (întregi, fracții zecimale) |
√ | rădăcină | Extragerea unei rădăcini dintr-un număr. Când apăsați din nou butonul „root”, rădăcina este calculată din rezultat. De exemplu: rădăcina de 16 \u003d 4; radacina de 4 \u003d 2 |
x 2 | cuadratura | Pătrat un număr. Când apăsați din nou butonul de pătrat, rezultatul este pătrat; De exemplu: pătrat 2 \u003d 4; pătrat 4 \u003d 16 |
1 / x | shot | Rezultat la fracții zecimale. În numărătorul 1, în numitor, numărul de intrare |
% | procent | Obținerea unui procent din numărul. Pentru a lucra, trebuie să introduceți: numărul din care va fi calculat procentul, semnul (plus, minus, împărțiți, înmulțiți), câte procente în formă numerică, butonul "%" |
( | bracket deschis | Un pachet deschis pentru a seta prioritatea calculului. Trebuie să aibă o paranteză închisă. Exemplu: (2 + 3) * 2 \u003d 10 |
) | bracket închis | Paranteza închisă pentru a stabili prioritatea calculului. Trebuie să aibă un suport deschis |
± | plus minus | Schimbați semnul în sens opus |
= | este | Afișează rezultatul soluției. De asemenea, deasupra calculatorului, în câmpul „Soluție”, sunt afișate calculele intermediare și rezultatul. |
← | șterge caracter | Șterge ultimul personaj |
C | restabili | Butonul Resetare. Resetează complet calculatorul în poziția "0" |
Algoritmul calculatorului online cu exemple
Adăugarea.
Adăugarea numerelor naturale întregi (5 + 7 \u003d 12)
Adăugarea numerelor naturale și negative întregi (5 + (-2) \u003d 3)
Adăugarea numerelor zecimale (0,3 + 5,2 \u003d 5,5)
Scadere.
Scăderea numerelor naturale întregi (7 - 5 \u003d 2)
Scăderea numerelor naturale și negative întregi (5 - (-2) \u003d 7)
Scăderea numerelor fracționale zecimale (6,5 - 1,2 \u003d 4,3)
Multiplicarea.
Produsul numerelor naturale întregi (3 * 7 \u003d 21)
Produsul numerelor naturale și negative întregi (5 * (-3) \u003d -15)
Produsul numerelor fracționale zecimale (0,5 * 0,6 \u003d 0,3)
Divizia.
Diviziunea numerelor naturale întregi (27/3 \u003d 9)
Împărțirea numerelor naturale și negative întregi (15 / (-3) \u003d -5)
Împărțirea numerelor zecimale (6,2 / 2 \u003d 3,1)
Extragerea unei rădăcini dintr-un număr.
Extragerea unei rădăcini dintr-un număr întreg (rădăcină (9) \u003d 3)
Extragerea rădăcinii din fracții zecimale (rădăcină (2,5) \u003d 1,58)
Extragerea rădăcinii din suma numerelor (rădăcină (56 + 25) \u003d 9)
Extragerea rădăcinii din diferența de numere (rădăcină (32 - 7) \u003d 5)
Pătrat un număr.
Pătrat un număr întreg ((3) 2 \u003d 9)
Pătrat fracții zecimale ((2,2) 2 \u003d 4,84)
Conversie zecimală.
Calcularea procentului din numărul
Creșteți cu 15% numărul 230 (230 + 230 * 0,15 \u003d 264,5)
Reduce numărul 510 cu 35% (510 - 510 * 0,35 \u003d 331,5)
18% din numărul 140 este (140 * 0,18 \u003d 25,2)