Rezolvarea ecuațiilor din matematică ocupă un loc aparte. Acest proces este precedat de multe ore de studiu a teoriei, timp în care elevul învață cum să rezolve ecuații, să le determine forma și să aducă abilitățile la un automatism deplin. Cu toate acestea, căutarea rădăcinilor nu are întotdeauna sens, deoarece acestea pur și simplu nu există. Există metode speciale pentru găsirea rădăcinilor. În acest articol, vom analiza principalele funcții, domeniile lor de definire, precum și cazurile în care rădăcinile lor sunt absente.

Care ecuație nu are rădăcini?

O ecuație nu are rădăcini dacă nu există argumente reale x pentru care ecuația este identic adevărată. Pentru un nespecialist, această formulare, la fel ca majoritatea teoremelor și formulelor matematice, pare foarte vagă și abstractă, dar acest lucru este în teorie. În practică, totul devine extrem de simplu. De exemplu: ecuația 0 * x = -53 nu are soluție, deoarece nu există un astfel de număr x, al cărui produs cu zero ar da altceva decât zero.

Acum ne vom uita la cele mai elementare tipuri de ecuații.

1. Ecuația liniară

O ecuație se numește liniară dacă părțile ei din dreapta și din stânga sunt prezentate ca funcții liniare: ax + b = cx + d sau în formă generalizată kx + b = 0. Unde a, b, c, d sunt numere cunoscute, iar x este un valoare necunoscută. Care ecuație nu are rădăcini? Exemple de ecuații liniare sunt prezentate în ilustrația de mai jos.

Practic, ecuațiile liniare sunt rezolvate prin simpla transferare a părții numerice într-o parte și a conținutului lui x în cealaltă. Rezultă o ecuație de forma mx \u003d n, unde m și n sunt numere, iar x este o necunoscută. Pentru a găsi x, este suficient să împărțiți ambele părți la m. Atunci x = n/m. Practic, ecuațiile liniare au o singură rădăcină, dar există cazuri în care fie există un număr infinit de rădăcini, fie nici una. Când m = 0 și n = 0, ecuația ia forma 0 * x = 0. Absolut orice număr va fi soluția unei astfel de ecuații.

Dar ce ecuație nu are rădăcini?

Pentru m = 0 și n = 0, ecuația nu are rădăcini din mulțimea numerelor reale. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - aceste ecuații nu au rădăcini.

2. Ecuația pătratică

O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c \u003d 0 pentru a \u003d 0. Cea mai comună este soluția prin discriminant. Formula pentru găsirea discriminantului unei ecuații pătratice: D \u003d b 2 - 4 * a * c. În continuare, există două rădăcini x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

Pentru D > 0, ecuația are două rădăcini, pentru D = 0, are o rădăcină. Dar ce ecuație pătratică nu are rădăcini? Cel mai simplu mod de a observa numărul de rădăcini ale unei ecuații pătratice este pe graficul unei funcții, care este o parabolă. Pentru a > 0, ramurile sunt îndreptate în sus, pentru a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

De asemenea, puteți determina vizual numărul de rădăcini fără a calcula discriminantul. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți vârful parabolei și să determinați în ce direcție sunt îndreptate ramurile. Puteți determina coordonata x a vârfului cu formula: x 0 \u003d -b / 2a. În acest caz, coordonata y a vârfului este găsită prin simpla înlocuire a valorii x0 în ecuația originală.

Ecuația pătratică x 2 - 8x + 72 = 0 nu are rădăcini, deoarece are un discriminant negativ D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Aceasta înseamnă că parabola nu atinge axa x și funcția nu ia niciodată valoarea 0, prin urmare ecuația nu are rădăcini reale.

3. Ecuații trigonometrice

Funcțiile trigonometrice sunt considerate pe un cerc trigonometric, dar pot fi reprezentate și într-un sistem de coordonate carteziene. În acest articol, ne vom uita la două funcții trigonometrice de bază și ecuațiile lor: sinx și cosx. Deoarece aceste funcții formează un cerc trigonometric cu raza 1, |sinx| și |cosx| nu poate fi mai mare de 1. Deci care ecuație sinx nu are rădăcini? Luați în considerare graficul funcției sinx prezentat în imaginea de mai jos.

Vedem că funcția este simetrică și are o perioadă de repetare de 2pi. Pe baza acestui fapt, putem spune că valoarea maximă a acestei funcții poate fi 1, iar cea minimă -1. De exemplu, expresia cosx = 5 nu va avea rădăcini, deoarece este mai mare decât unu în valoare absolută.

Acesta este cel mai simplu exemplu de ecuații trigonometrice. De fapt, soluția lor poate dura multe pagini, la sfârșitul cărora îți dai seama că ai folosit formula greșită și trebuie să o iei de la capăt. Uneori, chiar și cu găsirea corectă a rădăcinilor, puteți uita să țineți cont de restricțiile privind ODZ, motiv pentru care în răspuns apare o rădăcină sau un interval suplimentar, iar întregul răspuns se transformă într-unul eronat. Prin urmare, urmați cu strictețe toate restricțiile, deoarece nu toate rădăcinile se încadrează în domeniul de aplicare al sarcinii.

4. Sisteme de ecuații

Un sistem de ecuații este un set de ecuații combinate cu paranteze pătrate sau ondulate. Parantezele indică execuția comună a tuturor ecuațiilor. Adică dacă cel puțin una dintre ecuații nu are rădăcini sau o contrazice pe cealaltă, întregul sistem nu are soluție. Parantezele pătrate indică cuvântul „sau”. Aceasta înseamnă că dacă cel puțin una dintre ecuațiile sistemului are o soluție, atunci întregul sistem are o soluție.

Răspunsul sistemului c este totalitatea tuturor rădăcinilor ecuațiilor individuale. Și sistemele cu bretele au doar rădăcini comune. Sistemele de ecuații pot include funcții complet diferite, astfel încât această complexitate nu vă permite să spuneți imediat ce ecuație nu are rădăcini.

În cărțile de probleme și manuale, există diferite tipuri de ecuații: cele care au rădăcini și cele care nu le au. În primul rând, dacă nu găsești rădăcini, să nu crezi că ele nu există deloc. Poate ați făcut o greșeală undeva, atunci este suficient să vă verificați cu atenție decizia.

Am luat în considerare cele mai elementare ecuații și tipurile lor. Acum puteți spune care ecuație nu are rădăcini. În cele mai multe cazuri, acest lucru nu este deloc dificil de făcut. Pentru a obține succes în rezolvarea ecuațiilor, sunt necesare doar atenție și concentrare. Practicați mai mult, vă va ajuta să navigați mult mai bine și mai rapid prin material.

Deci, ecuația nu are rădăcini dacă:

• în ecuația liniară mx = n, valoarea m = 0 și n = 0;
• într-o ecuație pătratică dacă discriminantul este mai mic decât zero;
• într-o ecuație trigonometrică de forma cosx = m / sinx = n, dacă |m| > 0, |n| > 0;
• într-un sistem de ecuații cu paranteze, dacă cel puțin o ecuație nu are rădăcini și cu paranteze pătrate, dacă toate ecuațiile nu au rădăcini.

Acest subiect poate părea complicat la început din cauza numeroaselor formule nu atât de simple. Nu numai că ecuațiile pătratice în sine au intrări lungi, dar rădăcinile se găsesc și prin discriminant. Există trei formule noi în total. Nu foarte ușor de reținut. Acest lucru este posibil numai după rezolvarea frecventă a unor astfel de ecuații. Atunci toate formulele vor fi reținute de la sine.

Vedere generală a ecuației pătratice

Aici este propusă notația lor explicită, atunci când este scris mai întâi gradul cel mai mare și apoi - în ordine descrescătoare. Adesea există situații în care termenii sunt separati. Atunci este mai bine să rescrieți ecuația în ordinea descrescătoare a gradului variabilei.

Să introducem notația. Ele sunt prezentate în tabelul de mai jos.

Dacă acceptăm aceste notații, toate ecuațiile pătratice sunt reduse la următoarea notație.

Mai mult, coeficientul a ≠ 0. Fie ca această formulă să fie notată cu numărul unu.

Când este dată ecuația, nu este clar câte rădăcini vor fi în răspuns. Pentru că una dintre cele trei opțiuni este întotdeauna posibilă:

• soluția va avea două rădăcini;
• răspunsul va fi un număr;
• Ecuația nu are deloc rădăcini.

Și deși decizia nu este adusă la sfârșit, este dificil de înțeles care dintre opțiuni va cădea într-un anumit caz.

Tipuri de înregistrări ale ecuațiilor pătratice

Sarcinile pot avea intrări diferite. Ele nu vor arăta întotdeauna ca formula generală a unei ecuații pătratice. Uneori îi vor lipsi anumiți termeni. Ceea ce a fost scris mai sus este ecuația completă. Dacă eliminați al doilea sau al treilea termen din el, obțineți altceva. Aceste înregistrări sunt numite și ecuații pătratice, doar incomplete.

Mai mult decât atât, pot dispărea doar termenii pentru care coeficienții „b” și „c”. Numărul „a” nu poate fi egal cu zero în nicio circumstanță. Pentru că în acest caz formula se transformă într-o ecuație liniară. Formulele pentru forma incompletă a ecuațiilor vor fi următoarele:

Deci, există doar două tipuri, pe lângă cele complete, există și ecuații pătratice incomplete. Fie prima formulă numărul doi, iar al doilea număr trei.

Discriminantul și dependența numărului de rădăcini de valoarea acestuia

Acest număr trebuie cunoscut pentru a calcula rădăcinile ecuației. Poate fi întotdeauna calculată, indiferent de formula ecuației pătratice. Pentru a calcula discriminantul, trebuie să folosiți egalitatea scrisă mai jos, care va avea numărul patru.

După înlocuirea valorilor coeficienților în această formulă, puteți obține numere cu semne diferite. Dacă răspunsul este da, atunci răspunsul la ecuație va fi două rădăcini diferite. Cu un număr negativ, rădăcinile ecuației pătratice vor fi absente. Dacă este egal cu zero, răspunsul va fi unul.

Cum se rezolvă o ecuație pătratică completă?

De fapt, luarea în considerare a acestei probleme a început deja. Pentru că mai întâi trebuie să găsești discriminantul. După ce s-a clarificat că există rădăcini ale ecuației pătratice și numărul acestora este cunoscut, trebuie să utilizați formulele pentru variabile. Dacă există două rădăcini, atunci trebuie să aplicați o astfel de formulă.

Deoarece conține semnul „±”, vor exista două valori. Expresia de sub semnul rădăcinii pătrate este discriminantul. Prin urmare, formula poate fi rescrisă într-un mod diferit.

Formula cinci. Din aceeași înregistrare se poate observa că dacă discriminantul este zero, atunci ambele rădăcini vor lua aceleași valori.

Dacă soluția ecuațiilor pătratice nu a fost încă elaborată, atunci este mai bine să notați valorile tuturor coeficienților înainte de a aplica formulele discriminante și variabile. Mai târziu, acest moment nu va crea dificultăți. Dar la început există confuzie.

Cum se rezolvă o ecuație pătratică incompletă?

Totul este mult mai simplu aici. Chiar și nu este nevoie de formule suplimentare. Și nu veți avea nevoie de cele care au fost deja scrise pentru discriminant și necunoscut.

În primul rând, luați în considerare ecuația incompletă numărul doi. În această egalitate, se presupune să scoată valoarea necunoscută din paranteză și să rezolve ecuația liniară, care va rămâne între paranteze. Răspunsul va avea două rădăcini. Primul este neapărat egal cu zero, deoarece există un factor format din variabila însăși. Al doilea se obține prin rezolvarea unei ecuații liniare.

Ecuația incompletă de la numărul trei se rezolvă prin transferarea numărului din partea stângă a ecuației la dreapta. Apoi trebuie să împărțiți cu coeficientul în fața necunoscutului. Rămâne doar să extrageți rădăcina pătrată și să nu uitați să o scrieți de două ori cu semne opuse.

Următoarele sunt câteva acțiuni care vă ajută să învățați cum să rezolvați tot felul de egalități care se transformă în ecuații pătratice. Ele vor ajuta elevul să evite greșelile din cauza neatenției. Aceste neajunsuri sunt cauza unor note slabe la studierea temei extinse „Ecuații quadrice (clasa a 8-a)”. Ulterior, aceste acțiuni nu vor trebui să fie efectuate în mod constant. Pentru că va exista un obicei stabil.

• Mai întâi trebuie să scrieți ecuația în formă standard. Adică, mai întâi termenul cu cel mai mare grad al variabilei și apoi - fără grad și ultimul - doar un număr.

• Dacă un minus apare înaintea coeficientului „a”, atunci poate complica munca unui începător să studieze ecuațiile pătratice. E mai bine să scapi de el. În acest scop, toată egalitatea trebuie înmulțită cu „-1”. Aceasta înseamnă că toți termenii vor schimba semnul invers.

• În același mod, se recomandă să scapi de fracții. Pur și simplu înmulțiți ecuația cu factorul corespunzător, astfel încât numitorii să se anuleze.

Exemple

Este necesar să se rezolve următoarele ecuații pătratice:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prima ecuație: x 2 - 7x \u003d 0. Este incompletă, prin urmare, se rezolvă așa cum este descris pentru formula numărul doi.

După bracketing, rezultă: x (x - 7) \u003d 0.

Prima rădăcină ia valoarea: x 1 \u003d 0. A doua va fi găsită din ecuația liniară: x - 7 \u003d 0. Este ușor de observat că x 2 \u003d 7.

A doua ecuație: 5x2 + 30 = 0. Din nou incompletă. Doar că se rezolvă așa cum este descris pentru a treia formulă.

După transferul 30 în partea dreaptă a ecuației: 5x 2 = 30. Acum trebuie să împărțiți la 5. Rezultă: x 2 = 6. Răspunsurile vor fi numere: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

A treia ecuație: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Aici și mai jos, soluția ecuațiilor pătratice va începe prin a le rescrie într-o formă standard: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Acum este timpul să folosiți a doua ecuație. sfat util și înmulțiți totul cu minus unu . Se dovedește x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Conform celei de-a patra formule, trebuie să calculați discriminantul: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Este un număr pozitiv. Din cele spuse mai sus, reiese că ecuația are două rădăcini. Ele trebuie calculate conform celei de-a cincea formule. Potrivit acesteia, se dovedește că x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Apoi x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

A patra ecuație x 2 + 8 + 3x \u003d 0 este convertită în aceasta: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Discriminantul său este egal cu această valoare: -23. Deoarece acest număr este negativ, răspunsul la această sarcină va fi următoarea intrare: „Nu există rădăcini”.

A cincea ecuație 12x + x 2 + 36 = 0 trebuie rescrisă după cum urmează: x 2 + 12x + 36 = 0. După aplicarea formulei discriminantului, se obține numărul zero. Aceasta înseamnă că va avea o singură rădăcină, și anume: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

A șasea ecuație (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) necesită transformări, care constau în faptul că trebuie să aduci termeni similari, înainte de a deschide parantezele. În locul primei va exista o astfel de expresie: x 2 + 2x + 1. După egalitate, va apărea această intrare: x 2 + 3x + 2. După ce se numără termeni similari, ecuația va lua forma: x 2 - x \u003d 0. A devenit incomplet . Asemănător cu acesta a fost deja considerat puțin mai ridicat. Rădăcinile acestuia vor fi numerele 0 și 1.

Formule pentru rădăcinile unei ecuații pătratice. Sunt luate în considerare cazurile de rădăcini reale, multiple și complexe. Factorizarea unui trinom pătrat. Interpretare geometrică. Exemple de determinare a rădăcinilor și factorizării.

Conţinut

Vezi si: Rezolvarea ecuațiilor pătratice online

Formule de bază

Luați în considerare ecuația pătratică:
(1) .
Rădăcinile unei ecuații pătratice(1) sunt determinate de formulele:
; .
Aceste formule pot fi combinate astfel:
.
Când rădăcinile ecuației pătratice sunt cunoscute, atunci polinomul de gradul doi poate fi reprezentat ca produs de factori (factorizați):
.

În plus, presupunem că sunt numere reale.
Considera discriminant al unei ecuații pătratice:
.
Dacă discriminantul este pozitiv, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini reale diferite:
; .
Atunci factorizarea trinomului pătrat are forma:
.
Dacă discriminantul este zero, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini reale multiple (egale):
.
Factorizare:
.
Dacă discriminantul este negativ, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini conjugate complexe:
;
.
Iată unitatea imaginară, ;
și sunt părțile reale și imaginare ale rădăcinilor:
; .
Apoi

.

Interpretare grafică

Dacă graficăm funcția
,
care este o parabolă, atunci punctele de intersecție ale graficului cu axa vor fi rădăcinile ecuației
.
Când , graficul traversează axa (axa) absciselor în două puncte ().
Când , graficul atinge axa x într-un punct ().
Când , graficul nu traversează axa x ().

Formule utile legate de ecuația cuadratică

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Efectuăm transformări și aplicăm formulele (f.1) și (f.3):




,
Unde
; .

Deci, am obținut formula pentru polinomul de gradul doi sub forma:
.
Din aceasta se poate observa că ecuația

efectuat la
și .
Adică și sunt rădăcinile ecuației pătratice
.

Exemple de determinare a rădăcinilor unei ecuații pătratice

Exemplul 1

(1.1) .

.
Comparând cu ecuația noastră (1.1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsirea discriminantului:
.
Deoarece discriminantul este pozitiv, ecuația are două rădăcini reale:
;
;
.

De aici obținem descompunerea trinomului pătrat în factori:

.

Graficul funcției y = 2 x 2 + 7 x + 3 traversează axa x în două puncte.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Acesta traversează axa x (axa) în două puncte:
și .
Aceste puncte sunt rădăcinile ecuației inițiale (1.1).

;
;
.

Exemplul 2

Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice:
(2.1) .

Scriem ecuația pătratică în formă generală:
.
Comparând cu ecuația inițială (2.1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsirea discriminantului:
.
Deoarece discriminantul este zero, ecuația are două rădăcini multiple (egale):
;
.

Atunci factorizarea trinomului are forma:
.

Graficul funcției y = x 2 - 4 x + 4 atinge axa x la un moment dat.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Atinge axa x (axa) la un moment dat:
.
Acest punct este rădăcina ecuației inițiale (2.1). Deoarece această rădăcină este factorizată de două ori:
,
atunci o astfel de rădăcină se numește multiplu. Adică, ei consideră că există două rădăcini egale:
.

;
.

Exemplul 3

Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice:
(3.1) .

Scriem ecuația pătratică în formă generală:
(1) .
Să rescriem ecuația inițială (3.1):
.
Comparând cu (1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsirea discriminantului:
.
Discriminantul este negativ, . Prin urmare, nu există rădăcini reale.

Puteți găsi rădăcini complexe:
;
;
.

Apoi


.

Graficul funcției nu traversează axa x. Nu există rădăcini reale.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Nu traversează abscisa (axa). Prin urmare, nu există rădăcini reale.

Nu există rădăcini reale. Rădăcini complexe:
;
;
.

Vezi si:

În continuarea subiectului „Rezolvarea ecuațiilor”, materialul din acest articol vă va introduce în ecuațiile pătratice.

Să luăm în considerare totul în detaliu: esența și notarea unei ecuații pătratice, stabilim termenii însoțitori, analizăm schema de rezolvare a ecuațiilor incomplete și complete, ne familiarizăm cu formula rădăcinilor și a discriminantului, stabilim conexiuni între rădăcini și coeficienți și de desigur vom oferi o soluție vizuală de exemple practice.

Ecuația pătratică, tipurile sale

Definiția 1

Ecuație cuadratică este ecuația scrisă ca a x 2 + b x + c = 0, Unde X– variabilă, a , b și c sunt niște numere, în timp ce A nu este zero.

Adesea, ecuațiile pătratice sunt numite și ecuații de gradul doi, deoarece de fapt o ecuație pătratică este o ecuație algebrică de gradul doi.

Să dăm un exemplu pentru a ilustra definiția dată: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 etc. sunt ecuații pătratice.

Definiția 2

Numerele a, b și c sunt coeficienții ecuației pătratice a x 2 + b x + c = 0, în timp ce coeficientul A se numește primul, sau senior, sau coeficient la x 2, b - al doilea coeficient, sau coeficient la X, A c numit membru liber.

De exemplu, în ecuația pătratică 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 cel mai mare coeficient este 6, al doilea coeficient este − 2 , iar termenul liber este egal cu − 11 . Să acordăm atenție faptului că atunci când coeficienții bși/sau c sunt negative, atunci se folosește forma scurtă 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, dar nu 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Să lămurim şi acest aspect: dacă coeficienţii Ași/sau b egal 1 sau − 1 , atunci ei nu pot participa în mod explicit la scrierea ecuației pătratice, ceea ce se explică prin particularitățile scrierii coeficienților numerici indicați. De exemplu, în ecuația pătratică y 2 − y + 7 = 0 coeficientul senior este 1 iar al doilea coeficient este − 1 .

Ecuații patratice reduse și nereduse

În funcție de valoarea primului coeficient, ecuațiile pătratice se împart în reduse și nereduse.

Definiția 3

Ecuație pătratică redusă este o ecuație pătratică în care coeficientul principal este 1 . Pentru alte valori ale coeficientului principal, ecuația pătratică este neredusă.

Iată câteva exemple: ecuațiile pătratice x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 sunt reduse, în fiecare dintre ele coeficientul principal este 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- ecuație pătratică neredusă, unde primul coeficient este diferit de 1 .

Orice ecuație pătratică neredusă poate fi convertită într-o ecuație redusă prin împărțirea ambelor părți la primul coeficient (transformare echivalentă). Ecuația transformată va avea aceleași rădăcini ca și ecuația neredusă dată sau, de asemenea, nu va avea deloc rădăcini.

Luarea în considerare a unui exemplu specific ne va permite să demonstrăm clar trecerea de la o ecuație pătratică neredusă la una redusă.

Exemplul 1

Având în vedere ecuația 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Este necesar să convertiți ecuația originală în forma redusă.

Decizie

Conform schemei de mai sus, împărțim ambele părți ale ecuației inițiale la coeficientul de conducere 6 . Atunci obținem: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, și acesta este același cu: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0și mai departe: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . De aici: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Astfel, se obține o ecuație echivalentă cu cea dată.

Răspuns: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Ecuații pătratice complete și incomplete

Să ne întoarcem la definiția unei ecuații pătratice. În el am precizat că a ≠ 0. O condiție similară este necesară pentru ecuație a x 2 + b x + c = 0 era exact pătrat, din moment ce a = 0 se transformă în esență într-o ecuație liniară b x + c = 0.

În cazul în care coeficienţii bși c sunt egale cu zero (ceea ce este posibil, atât individual, cât și în comun), ecuația pătratică se numește incompletă.

Definiția 4

Ecuație pătratică incompletă este o ecuație pătratică a x 2 + b x + c \u003d 0, unde cel puţin unul dintre coeficienţi bși c(sau ambele) este zero.

Ecuație pătratică completă este o ecuație pătratică în care toți coeficienții numerici nu sunt egali cu zero.

Să discutăm de ce tipurilor de ecuații pătratice li se dau exact astfel de nume.

Pentru b = 0, ecuația pătratică ia forma a x 2 + 0 x + c = 0, care este la fel ca a x 2 + c = 0. La c = 0 ecuația pătratică se scrie ca a x 2 + b x + 0 = 0, care este echivalent a x 2 + b x = 0. La b = 0și c = 0 ecuația va lua forma a x 2 = 0. Ecuațiile pe care le-am obținut diferă de ecuația pătratică completă prin aceea că părțile lor din stânga nu conțin nici un termen cu variabila x, nici un termen liber, sau ambele deodată. De fapt, acest fapt a dat numele acestui tip de ecuații - incomplete.

De exemplu, x 2 + 3 x + 4 = 0 și − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sunt ecuații patratice complete; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 sunt ecuații patratice incomplete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

Definiția dată mai sus face posibilă distingerea următoarelor tipuri de ecuații pătratice incomplete:

• a x 2 = 0, coeficienții corespund unei astfel de ecuații b = 0şi c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 pentru b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 pentru c = 0 .

Se consideră succesiv soluția fiecărui tip de ecuație pătratică incompletă.

Rezolvarea ecuației a x 2 \u003d 0

După cum am menționat deja mai sus, o astfel de ecuație corespunde coeficienților bși c, egal cu zero. Ecuația a x 2 = 0 poate fi convertit într-o ecuație echivalentă x2 = 0, pe care îl obținem împărțind ambele părți ale ecuației inițiale la număr A, nu este egal cu zero. Faptul evident este că rădăcina ecuației x2 = 0 este zero pentru că 0 2 = 0 . Această ecuație nu are alte rădăcini, ceea ce se explică prin proprietățile gradului: pentru orice număr p, nu este egal cu zero, inegalitatea este adevărată p2 > 0, din care rezultă că atunci când p ≠ 0 egalitate p2 = 0 nu va fi niciodată atins.

Definiția 5

Astfel, pentru ecuația pătratică incompletă a x 2 = 0, există o singură rădăcină x=0.

Exemplul 2

De exemplu, să rezolvăm o ecuație pătratică incompletă − 3 x 2 = 0. Este echivalent cu ecuația x2 = 0, singura sa rădăcină este x=0, atunci ecuația originală are o singură rădăcină - zero.

Soluția este rezumată după cum urmează:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Rezolvarea ecuației a x 2 + c \u003d 0

Următoarea pe linie este soluția ecuațiilor pătratice incomplete, unde b \u003d 0, c ≠ 0, adică ecuații de forma a x 2 + c = 0. Să transformăm această ecuație transferând termenul dintr-o parte a ecuației în cealaltă, schimbând semnul în opus și împărțind ambele părți ale ecuației la un număr care nu este egal cu zero:

• îndura cîn partea dreaptă, ceea ce dă ecuația a x 2 = − c;
• împărțiți ambele părți ale ecuației cu A, obținem ca rezultat x = - c a .

Transformările noastre sunt echivalente, respectiv, ecuația rezultată este echivalentă și cu cea originală, iar acest fapt face posibilă tragerea unei concluzii despre rădăcinile ecuației. Din care sunt valorile Ași c depinde de valoarea expresiei - c a: poate avea semnul minus (de exemplu, dacă a = 1și c = 2, atunci - c a = - 2 1 = - 2) sau un semn plus (de exemplu, dacă a = -2și c=6, atunci - c a = - 6 - 2 = 3); nu este egal cu zero deoarece c ≠ 0. Să ne oprim mai în detaliu asupra situațiilor când - c a< 0 и - c a > 0 .

În cazul în care - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p egalitatea p 2 = - c a nu poate fi adevărată.

Totul este diferit atunci când - c a > 0: amintiți-vă rădăcina pătrată și va deveni evident că rădăcina ecuației x 2 \u003d - c a va fi numărul - c a, deoarece - c a 2 \u003d - c a. Este ușor de înțeles că numărul - - c a - este și rădăcina ecuației x 2 = - c a: într-adevăr, - - c a 2 = - c a .

Ecuația nu va avea alte rădăcini. Putem demonstra acest lucru folosind metoda opusă. Mai întâi, să setăm notația rădăcinilor găsite mai sus ca x 1și − x 1. Să presupunem că ecuația x 2 = - c a are și rădăcină x2, care este diferit de rădăcini x 1și − x 1. Știm că prin substituirea în ecuație în loc de X rădăcinile sale, transformăm ecuația într-o egalitate numerică corectă.

Pentru x 1și − x 1 scrie: x 1 2 = - c a , iar pentru x2- x 2 2 \u003d - c a. Pe baza proprietăților egalităților numerice, scădem o egalitate adevărată dintr-un alt termen cu termen, ceea ce ne va da: x 1 2 − x 2 2 = 0. Utilizați proprietățile operațiilor cu numere pentru a rescrie ultima egalitate ca (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Se știe că produsul a două numere este zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre numere este zero. Din cele spuse rezultă că x1 − x2 = 0și/sau x1 + x2 = 0, care este la fel x2 = x1și/sau x 2 = − x 1. A apărut o contradicție evidentă, deoarece la început s-a convenit că rădăcina ecuației x2 difera de x 1și − x 1. Deci, am demonstrat că ecuația nu are alte rădăcini decât x = - c a și x = - - c a .

Rezum toate argumentele de mai sus.

Definiția 6

Ecuație pătratică incompletă a x 2 + c = 0 este echivalentă cu ecuația x 2 = - c a , care:

• nu va avea rădăcini la - c a< 0 ;
• va avea două rădăcini x = - c a și x = - - c a când - c a > 0 .

Să dăm exemple de rezolvare a ecuațiilor a x 2 + c = 0.

Exemplul 3

Având în vedere o ecuație pătratică 9 x 2 + 7 = 0 . Este necesar să-i găsim soluția.

Decizie

Transferăm termenul liber în partea dreaptă a ecuației, apoi ecuația va lua forma 9 x 2 \u003d - 7.
Împărțim ambele părți ale ecuației rezultate la 9 , ajungem la x 2 = - 7 9 . În partea dreaptă vedem un număr cu semnul minus, ceea ce înseamnă: ecuația dată nu are rădăcini. Apoi ecuația pătratică incompletă inițială 9 x 2 + 7 = 0 nu va avea rădăcini.

Răspuns: ecuația 9 x 2 + 7 = 0 nu are rădăcini.

Exemplul 4

Este necesar să se rezolve ecuația − x2 + 36 = 0.

Decizie

Să mutăm 36 în partea dreaptă: − x 2 = − 36.
Să împărțim ambele părți în − 1 , primim x2 = 36. În partea dreaptă este un număr pozitiv, din care putem concluziona că x = 36 sau x = - 36 .
Extragem rădăcina și scriem rezultatul final: o ecuație pătratică incompletă − x2 + 36 = 0 are două rădăcini x=6 sau x = -6.

Răspuns: x=6 sau x = -6.

Rezolvarea ecuației a x 2 +b x=0

Să analizăm al treilea tip de ecuații pătratice incomplete, când c = 0. Pentru a găsi o soluție la o ecuație pătratică incompletă a x 2 + b x = 0, folosim metoda factorizării. Să factorizăm polinomul, care se află în partea stângă a ecuației, luând factorul comun din paranteze X. Acest pas va face posibilă transformarea ecuației pătratice incomplete inițiale în echivalentul ei x (a x + b) = 0. Și această ecuație, la rândul său, este echivalentă cu setul de ecuații x=0și a x + b = 0. Ecuația a x + b = 0 liniară și rădăcina sa: x = − b a.

Definiția 7

Astfel, ecuația pătratică incompletă a x 2 + b x = 0 va avea două rădăcini x=0și x = − b a.

Să consolidăm materialul cu un exemplu.

Exemplul 5

Este necesar să găsim soluția ecuației 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Decizie

Hai să scoatem Xîn afara parantezei și obținem ecuația x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Această ecuație este echivalentă cu ecuațiile x=0și 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Acum ar trebui să rezolvați ecuația liniară rezultată: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Pe scurt, scriem soluția ecuației după cum urmează:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 sau 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 sau x = 3 3 7

Răspuns: x = 0 , x = 3 3 7 .

Discriminant, formula rădăcinilor unei ecuații pătratice

Pentru a găsi o soluție la ecuațiile pătratice, există o formulă rădăcină:

Definiția 8

x = - b ± D 2 a, unde D = b 2 − 4 a c este așa-numitul discriminant al unei ecuații pătratice.

Scrierea x \u003d - b ± D 2 a înseamnă în esență că x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Va fi util să înțelegeți cum a fost obținută formula indicată și cum să o aplicați.

Derivarea formulei rădăcinilor unei ecuații pătratice

Să presupunem că ne confruntăm cu sarcina de a rezolva o ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0. Să efectuăm o serie de transformări echivalente:

• împărțiți ambele părți ale ecuației la număr A, diferit de zero, obținem ecuația pătratică redusă: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• selectați pătratul complet din partea stângă a ecuației rezultate:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  După aceasta, ecuația va lua forma: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• acum este posibil să transferăm ultimii doi termeni în partea dreaptă, schimbând semnul în opus, după care obținem: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• în cele din urmă, transformăm expresia scrisă în partea dreaptă a ultimei egalități:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Astfel, am ajuns la ecuația x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , care este echivalentă cu ecuația inițială a x 2 + b x + c = 0.

Am discutat soluția unor astfel de ecuații în paragrafele anterioare (soluția ecuațiilor pătratice incomplete). Experiența acumulată deja face posibilă tragerea unei concluzii cu privire la rădăcinile ecuației x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• pentru b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• pentru b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, ecuația are forma x + b 2 · a 2 = 0, atunci x + b 2 · a = 0.

De aici, singura rădăcină x = - b 2 · a este evidentă;

• pentru b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, cea corectă este: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 sau x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , care este la fel ca x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 sau x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , adică. ecuația are două rădăcini.

Se poate concluziona că prezența sau absența rădăcinilor ecuației x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (și, prin urmare, ecuația inițială) depinde de semnul expresiei b 2 - 4 a c 4 · un 2 scris pe partea dreaptă. Și semnul acestei expresii este dat de semnul numărătorului (numitorul 4 la 2 va fi întotdeauna pozitiv), adică semnul expresiei b 2 − 4 a c. Această expresie b 2 − 4 a c se dă un nume - discriminantul unei ecuații pătratice și litera D este definită ca desemnare a acesteia. Aici puteți nota esența discriminantului - după valoarea și semnul său, ei concluzionează dacă ecuația pătratică va avea rădăcini reale și, dacă da, câte rădăcini - una sau două.

Să revenim la ecuația x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Să o rescriem folosind notația discriminantă: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Să recapitulăm concluziile:

Definiția 9

• la D< 0 ecuația nu are rădăcini reale;
• la D=0 ecuaţia are o singură rădăcină x = - b 2 · a ;
• la D > 0 ecuația are două rădăcini: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 sau x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Pe baza proprietăților radicalilor, aceste rădăcini pot fi scrise ca: x \u003d - b 2 a + D 2 a sau - b 2 a - D 2 a. Și când deschidem modulele și reducem fracțiile la un numitor comun, obținem: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Deci, rezultatul raționamentului nostru a fost derivarea formulei pentru rădăcinile ecuației pătratice:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , discriminant D calculate prin formula D = b 2 − 4 a c.

Aceste formule fac posibilă, atunci când discriminantul este mai mare decât zero, să se determine ambele rădăcini reale. Când discriminantul este zero, aplicarea ambelor formule va da aceeași rădăcină ca singura soluție a ecuației pătratice. În cazul în care discriminantul este negativ, încercând să folosim formula rădăcinii pătratice, ne vom confrunta cu nevoia de a extrage rădăcina pătrată a unui număr negativ, ceea ce ne va duce dincolo de numerele reale. Cu un discriminant negativ, ecuația pătratică nu va avea rădăcini reale, dar este posibilă o pereche de rădăcini conjugate complexe, determinate de aceleași formule de rădăcină pe care le-am obținut.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice cu ajutorul formulelor rădăcinilor

Este posibil să se rezolve o ecuație pătratică folosind imediat formula rădăcinii, dar practic acest lucru se face atunci când este necesar să se găsească rădăcini complexe.

În cea mai mare parte a cazurilor, căutarea este de obicei menită nu pentru rădăcini complexe, ci pentru rădăcini reale ale unei ecuații pătratice. Atunci este optim, înainte de a folosi formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice, mai întâi să determinați discriminantul și să vă asigurați că acesta nu este negativ (în caz contrar vom concluziona că ecuația nu are rădăcini reale), apoi să trecem la calcularea valoarea rădăcinilor.

Raționamentul de mai sus face posibilă formularea unui algoritm pentru rezolvarea unei ecuații pătratice.

Definiția 10

Pentru a rezolva o ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0, necesar:

• conform formulei D = b 2 − 4 a c găsiți valoarea discriminantului;
• la D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• pentru D = 0 găsiți singura rădăcină a ecuației prin formula x = - b 2 · a ;
• pentru D > 0, determinați două rădăcini reale ale ecuației pătratice prin formula x = - b ± D 2 · a.

Rețineți că atunci când discriminantul este zero, puteți utiliza formula x = - b ± D 2 · a , aceasta va da același rezultat ca și formula x = - b 2 · a .

Luați în considerare exemple.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Prezentăm soluția de exemple pentru diferite valori ale discriminantului.

Exemplul 6

Este necesar să găsiți rădăcinile ecuației x 2 + 2 x - 6 = 0.

Decizie

Scriem coeficienții numerici ai ecuației pătratice: a \u003d 1, b \u003d 2 și c = − 6. În continuare, acționăm conform algoritmului, adică. Să începem să calculăm discriminantul, pentru care înlocuim coeficienții a , b și cîn formula discriminantă: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Deci, avem D > 0, ceea ce înseamnă că ecuația inițială va avea două rădăcini reale.
Pentru a le găsi, folosim formula rădăcină x \u003d - b ± D 2 · a și, înlocuind valorile corespunzătoare, obținem: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Simplificam expresia rezultata prin scoaterea factorului din semnul radacinii, urmata de reducerea fractiei:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 sau x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 sau x = - 1 - 7

Răspuns: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Exemplul 7

Este necesar să se rezolve o ecuație pătratică − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Decizie

Să definim discriminantul: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Cu această valoare a discriminantului, ecuația inițială va avea o singură rădăcină, determinată de formula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Răspuns: x = 3, 5.

Exemplul 8

Este necesar să se rezolve ecuația 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Decizie

Coeficienții numerici ai acestei ecuații vor fi: a = 5 , b = 6 și c = 2 . Folosim aceste valori pentru a găsi discriminantul: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Discriminantul calculat este negativ, astfel încât ecuația pătratică originală nu are rădăcini reale.

În cazul în care sarcina este de a indica rădăcini complexe, aplicăm formula rădăcinii efectuând operații cu numere complexe:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 sau x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i sau x = - 3 5 - 1 5 i .

Răspuns: nu există rădăcini reale; rădăcinile complexe sunt: ​​- 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

În programa școlară, ca standard, nu există nicio cerință de a căuta rădăcini complexe, prin urmare, dacă discriminantul este definit ca negativ în timpul rezolvării, se înregistrează imediat răspunsul că nu există rădăcini reale.

Formula rădăcină pentru coeficienți chiar și doi

Formula rădăcină x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) face posibilă obținerea unei alte formule, mai compacte, permițându-vă să găsiți soluții la ecuații pătratice cu un coeficient par la x (sau cu un coeficient de forma 2 a n, de exemplu, 2 3 sau 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Să arătăm cum este derivată această formulă.

Să presupunem că ne confruntăm cu sarcina de a găsi o soluție la ecuația pătratică a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Acționăm conform algoritmului: determinăm discriminantul D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , iar apoi folosim formula rădăcinii:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Să se noteze expresia n 2 − a c cu D 1 (uneori se notează D”). Atunci formula pentru rădăcinile ecuației pătratice considerate cu al doilea coeficient 2 n va lua forma:

x \u003d - n ± D 1 a, unde D 1 \u003d n 2 - a c.

Este ușor de observat că D = 4 · D 1 , sau D 1 = D 4 . Cu alte cuvinte, D 1 este un sfert din discriminant. Evident, semnul lui D 1 este același cu semnul lui D, ceea ce înseamnă că semnul lui D 1 poate servi și ca indicator al prezenței sau absenței rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Definiția 11

Astfel, pentru a găsi o soluție la o ecuație pătratică cu un al doilea coeficient de 2 n, este necesar:

• găsiți D 1 = n 2 − a c ;
• la D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• pentru D 1 = 0, determinați singura rădăcină a ecuației cu formula x = - n a ;
• pentru D 1 > 0, determinați două rădăcini reale folosind formula x = - n ± D 1 a.

Exemplul 9

Este necesar să se rezolve ecuația pătratică 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Decizie

Al doilea coeficient al ecuației date poate fi reprezentat ca 2 · (− 3) . Apoi rescriem ecuația pătratică dată ca 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , unde a = 5 , n = − 3 și c = − 32 .

Să calculăm a patra parte a discriminantului: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Valoarea rezultată este pozitivă, ceea ce înseamnă că ecuația are două rădăcini reale. Le definim prin formula corespunzătoare a rădăcinilor:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 sau x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 sau x = - 2

Ar fi posibil să se efectueze calcule folosind formula obișnuită pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, dar în acest caz soluția ar fi mai greoaie.

Răspuns: x = 3 1 5 sau x = - 2 .

Simplificarea formei ecuațiilor pătratice

Uneori este posibil să se optimizeze forma ecuației originale, ceea ce va simplifica procesul de calcul al rădăcinilor.

De exemplu, ecuația pătratică 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 este în mod clar mai convenabilă pentru rezolvare decât 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Mai des, simplificarea formei unei ecuații pătratice se realizează prin înmulțirea sau împărțirea ambelor părți cu un anumit număr. De exemplu, mai sus am arătat o reprezentare simplificată a ecuației 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, obținută prin împărțirea ambelor părți la 100.

O astfel de transformare este posibilă atunci când coeficienții ecuației pătratice nu sunt numere prime relativ. Apoi, de obicei, ambele părți ale ecuației sunt împărțite la cel mai mare divizor comun al valorilor absolute ale coeficienților săi.

Ca exemplu, folosim ecuația pătratică 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Să definim mcd-ul valorilor absolute ale coeficienților săi: mcd (12 , 42 , 48) = mcd(mcd (12 , 42) , 48) = mcd (6 , 48) = 6 . Să împărțim ambele părți ale ecuației pătratice originale la 6 și să obținem ecuația pătratică echivalentă 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Prin înmulțirea ambelor părți ale ecuației pătratice, coeficienții fracționali sunt de obicei eliminați. În acest caz, înmulțiți cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor coeficienților săi. De exemplu, dacă fiecare parte a ecuației pătratice 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 este înmulțită cu LCM (6, 3, 1) \u003d 6, atunci va fi scrisă într-o formă mai simplă x 2 + 4 x - 18 = 0 .

În cele din urmă, observăm că aproape întotdeauna scăpați de minus la primul coeficient al ecuației pătratice, schimbând semnele fiecărui termen al ecuației, ceea ce se realizează prin înmulțirea (sau împărțirea) ambelor părți cu - 1. De exemplu, din ecuația pătratică - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, puteți merge la versiunea sa simplificată 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Relația dintre rădăcini și coeficienți

Formula deja cunoscută pentru rădăcinile ecuațiilor pătratice x = - b ± D 2 · a exprimă rădăcinile ecuației în termeni de coeficienți numerici. Pe baza acestei formule, avem posibilitatea de a stabili alte dependențe între rădăcini și coeficienți.

Cele mai faimoase și aplicabile sunt formulele teoremei Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a și x 2 \u003d c a.

În special, pentru ecuația pătratică dată, suma rădăcinilor este al doilea coeficient cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber. De exemplu, prin forma ecuației pătratice 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, este posibil să se determine imediat că suma rădăcinilor sale este 7 3, iar produsul rădăcinilor este 22 3.

De asemenea, puteți găsi o serie de alte relații între rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice. De exemplu, suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice poate fi exprimată în termeni de coeficienți:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Unele probleme de matematică necesită abilitatea de a calcula valoarea rădăcinii pătrate. Aceste probleme includ rezolvarea ecuațiilor de ordinul doi. În acest articol, vă prezentăm o metodă eficientă pentru calcularea rădăcinilor pătrate și o folosim atunci când lucrați cu formule pentru rădăcinile unei ecuații pătratice.

Ce este o rădăcină pătrată?

În matematică, acest concept corespunde simbolului √. Datele istorice spun că a început să fie folosit pentru prima dată în jurul primei jumătăți a secolului al XVI-lea în Germania (prima lucrare germană despre algebră a lui Christoph Rudolf). Oamenii de știință cred că acest simbol este o literă latină transformată r (radix înseamnă „rădăcină” în latină).

Rădăcina oricărui număr este egală cu o astfel de valoare, al cărei pătrat corespunde expresiei rădăcinii. În limbajul matematicii, această definiție va arăta astfel: √x = y dacă y 2 = x.

Rădăcina unui număr pozitiv (x > 0) este, de asemenea, un număr pozitiv (y > 0), dar dacă luați rădăcina unui număr negativ (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Iată două exemple simple:

√9 = 3 deoarece 3 2 = 9; √(-9) = 3i deoarece i 2 = -1.

Formula iterativă a lui Heron pentru găsirea valorilor rădăcinilor pătrate

Exemplele de mai sus sunt foarte simple, iar calculul rădăcinilor din ele nu este dificil. Dificultățile încep să apară deja la găsirea valorilor rădăcinii pentru orice valoare care nu poate fi reprezentată ca un pătrat al unui număr natural, de exemplu √10, √11, √12, √13, ca să nu mai vorbim de faptul că în practică este necesar să găsim rădăcini pentru numere non-întregi: de exemplu √(12.15), √(8.5) și așa mai departe.

În toate cazurile de mai sus, trebuie utilizată o metodă specială pentru calcularea rădăcinii pătrate. În prezent, sunt cunoscute mai multe astfel de metode: de exemplu, extinderea într-o serie Taylor, împărțirea pe o coloană și altele. Dintre toate metodele cunoscute, poate cea mai simplă și eficientă este utilizarea formulei iterative a lui Heron, care este cunoscută și ca metoda babiloniană pentru determinarea rădăcinilor pătrate (există dovezi că vechii babilonieni au folosit-o în calculele lor practice).

Să fie necesar să se determine valoarea lui √x. Formula pentru găsirea rădăcinii pătrate este următoarea:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), unde lim n->∞ (a n) => x.

Să descifrăm această notație matematică. Pentru a calcula √x, ar trebui să luați un număr a 0 (poate fi arbitrar, totuși, pentru a obține rapid rezultatul, ar trebui să îl alegeți astfel încât (a 0) 2 să fie cât mai aproape posibil de x. Apoi înlocuiți-l în formula specificată pentru calcularea rădăcinii pătrate și obțineți un nou număr a 1, care va fi deja mai aproape de valoarea dorită. După aceea, este necesar să înlocuiți un 1 în expresie și să obțineți un 2. Această procedură trebuie repetată până când se obţine precizia cerută.

Un exemplu de aplicare a formulei iterative a lui Heron

Algoritmul descris mai sus pentru obținerea rădăcinii pătrate a unui anumit număr poate suna destul de complicat și confuz pentru mulți, dar în realitate totul se dovedește a fi mult mai simplu, deoarece această formulă converge foarte repede (mai ales dacă se alege un număr bun un 0) .

Să dăm un exemplu simplu: este necesar să se calculeze √11. Alegem un 0 \u003d 3, deoarece 3 2 \u003d 9, care este mai aproape de 11 decât de 4 2 \u003d 16. Înlocuind în formulă, obținem:

a 1 \u003d 1/2 (3 + 11/3) \u003d 3,333333;

a 2 \u003d 1/2 (3,33333 + 11 / 3,33333) \u003d 3,316668;

a 3 \u003d 1/2 (3,316668 + 11 / 3,316668) \u003d 3,31662.

Nu are rost să continuăm calculele, deoarece am constatat că un 2 și un 3 încep să difere doar în a 5-a zecimală. Astfel, a fost suficient să aplicați formula doar de 2 ori pentru a calcula √11 cu o precizie de 0,0001.

În prezent, calculatoarele și calculatoarele sunt utilizate pe scară largă pentru a calcula rădăcinile, cu toate acestea, este util să rețineți formula marcată pentru a putea calcula manual valoarea exactă a acestora.

Ecuații de ordinul doi

Înțelegerea ce este o rădăcină pătrată și capacitatea de a o calcula este folosită atunci când rezolvați ecuații pătratice. Aceste ecuații sunt egalități cu o necunoscută, a căror formă generală este prezentată în figura de mai jos.

Aici c, b și a sunt niște numere, iar a nu trebuie să fie egal cu zero, iar valorile lui c și b pot fi complet arbitrare, inclusiv fiind egale cu zero.

Orice valoare a lui x care satisface egalitatea indicată în figură se numește rădăcinile sale (acest concept nu trebuie confundat cu rădăcina pătrată √). Deoarece ecuația luată în considerare are ordinul 2 (x 2), atunci nu pot exista mai multe rădăcini pentru ea decât două numere. Vom analiza mai târziu în articol cum să găsim aceste rădăcini.

Găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice (formula)

Această metodă de rezolvare a tipului de egalități luate în considerare se mai numește și universală, sau metoda prin discriminant. Poate fi aplicat oricăror ecuații pătratice. Formula pentru discriminantul și rădăcinile ecuației pătratice este următoarea:

Din aceasta se poate observa că rădăcinile depind de valoarea fiecăruia dintre cei trei coeficienți ai ecuației. Mai mult, calculul lui x 1 diferă de calculul lui x 2 doar prin semnul din fața rădăcinii pătrate. Expresia radicală, care este egală cu b 2 - 4ac, nu este altceva decât discriminantul egalității considerate. Discriminantul din formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice joacă un rol important deoarece determină numărul și tipul soluțiilor. Deci, dacă este zero, atunci va exista o singură soluție, dacă este pozitivă, atunci ecuația are două rădăcini reale și, în sfârșit, un discriminant negativ duce la două rădăcini complexe x 1 și x 2.

Teorema lui Vieta sau unele proprietăți ale rădăcinilor ecuațiilor de ordinul doi

La sfârșitul secolului al XVI-lea, unul dintre fondatorii algebrei moderne, un francez, care studia ecuațiile de ordinul doi, a reușit să obțină proprietățile rădăcinilor sale. Din punct de vedere matematic, ele pot fi scrise astfel:

x 1 + x 2 = -b / a și x 1 * x 2 = c / a.

Ambele egalități pot fi obținute cu ușurință de către oricine; pentru aceasta, este nevoie doar de a efectua operațiile matematice corespunzătoare cu rădăcinile obținute printr-o formulă cu discriminant.

Combinația acestor două expresii poate fi numită pe bună dreptate a doua formulă a rădăcinilor unei ecuații pătratice, ceea ce face posibilă ghicirea soluțiilor acesteia fără a utiliza discriminantul. Aici trebuie remarcat faptul că, deși ambele expresii sunt întotdeauna valabile, este convenabil să le folosiți pentru a rezolva o ecuație doar dacă aceasta poate fi factorizată.

Sarcina de consolidare a cunoștințelor dobândite

Vom rezolva o problemă de matematică în care vom demonstra toate tehnicile discutate în articol. Condițiile problemei sunt următoarele: trebuie să găsiți două numere pentru care produsul este -13, iar suma este 4.

Această condiție amintește imediat de teorema lui Vieta, folosind formulele pentru suma rădăcinilor pătrate și produsul lor, scriem:

x 1 + x 2 \u003d -b / a \u003d 4;

x 1 * x 2 \u003d c / a \u003d -13.

Presupunând a = 1, atunci b = -4 și c = -13. Acești coeficienți ne permit să compunem o ecuație de ordinul doi:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Folosim formula cu discriminantul, obținem următoarele rădăcini:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Adică, sarcina a fost redusă la găsirea numărului √68. Rețineți că 68 = 4 * 17, atunci, folosind proprietatea rădăcinii pătrate, obținem: √68 = 2√17.

Acum folosim formula rădăcină pătrată considerată: a 0 \u003d 4, atunci:

a 1 \u003d 1/2 (4 + 17/4) \u003d 4,125;

a 2 \u003d 1/2 (4,125 + 17 / 4,125) \u003d 4,1231.

Nu este nevoie să calculați un 3 deoarece valorile găsite diferă doar cu 0,02. Astfel, √68 = 8,246. Înlocuindu-l în formula pentru x 1,2, obținem:

x 1 \u003d (4 + 8,246) / 2 \u003d 6,123 și x 2 \u003d (4 - 8,246) / 2 \u003d -2,123.

După cum puteți vedea, suma numerelor găsite este într-adevăr egală cu 4, dar dacă găsiți produsul lor, atunci acesta va fi egal cu -12,999, ceea ce satisface condiția problemei cu o precizie de 0,001.