Un paralelipiped dreptunghiular (PP) nu este altceva decât o prismă a cărei bază este un dreptunghi. În PP, toate diagonalele sunt egale, ceea ce înseamnă că orice diagonală a acesteia este calculată după formula:

• a, în ceea ce privește fundamentarea PP;

  cu înălțimea sa.

O altă definiție poate fi dată luând în considerare sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian:

O diagonală PP este un vector de rază al oricărui punct din spațiu dat de coordonatele x, y și z într-un sistem de coordonate carteziene. Acest vector de rază la punct este extras de la origine. Și coordonatele punctului vor fi proiecțiile vectorului de rază (diagonală PP) pe axele de coordonate. Proiecțiile coincid cu vârfurile casetei date.



O cutie dreptunghiulară este un tip de poliedru format din 6 fețe, la baza cărora se află un dreptunghi. O diagonală este un segment care leagă vârfurile opuse ale unui paralelogram.

Formula pentru găsirea lungimii diagonalei este pătratul diagonalei egală cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale paralelogramei.



Pe internet a existat o diagramă de tabel bună, cu o listă completă a tot ceea ce este în paralelipiped. Există o formulă pentru a găsi diagonala, care este notată cu d.

Există o imagine a unei fețe, a apexului și a altor lucruri importante pentru paralelipiped.



Dacă un paralelipiped dreptunghiular are lungimea, înălțimea și lățimea (a, b, c) cunoscute, atunci formula de calcul a diagonalei va arăta astfel:



De obicei, cadrele didactice nu oferă elevilor lor quotă; nud formulează și depune eforturi pentru ca acestea să poată deriva independent, punând întrebări de conducere:

• ce trebuie să știți ce date avem?
• ce proprietăți are o cutie dreptunghiulară?
• este aplicabilă aici teorema pitagoreică? Cum?
• există suficiente date pentru a aplica teorema pitagoreică sau sunt necesare alte calcule?

De obicei, după ce răspund la întrebările puse, elevii obțin cu ușurință această formulă pe cont propriu.

Diagonalele unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale. La fel ca și diagonalele fețelor sale opuse. Lungimea diagonalei poate fi calculată cunoscând lungimea marginilor paralelogramei care emană dintr-un vertex. Această lungime este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor lungimilor marginilor sale.



O cutie dreptunghiulară este unul dintre așa-numitele poliedre, care constă din 6 fețe, fiecare dintre ele fiind un dreptunghi. O diagonală este un segment care leagă vârfurile opuse ale unui paralelogram. Dacă lungimea, lățimea și înălțimea unui paralelipiped dreptunghiular sunt luate ca a, b, c, respectiv, atunci formula diagonalei sale (D) va arăta astfel: D ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2.



Diagonala paralelipipedului dreptunghiular  este un segment care leagă vârfurile opuse. Deci avem cutie dreptunghiulară  cu diagonala d și cu laturile a, b, c. Una dintre proprietățile cutiei spune că pătratul lungimi diagonale  d este egală cu suma pătratelor tx a măsurătorilor sale a, b, c. De aici concluzia că lungimea diagonala  poate fi calculat cu ușurință folosind următoarea formulă:



De asemenea:

Cum să găsești înălțimea cutiei?

• Pătrat diagonalparalelipiped pătrat (vezi proprietățile unui paralelipiped pătrat) este egal cu suma pătratelor a trei laturi diferite (lățime, înălțime, grosime) și, în consecință, diagonala paralelipipedului pătrat este egală cu rădăcina acestei sume.

  Îmi amintesc programa școlară în geometrie, putem spune acest lucru: diagonala unui paralelipiped este egală cu rădăcina pătrată obținută din suma celor trei laturi (sunt indicate cu literele mici a, b, c).

  Lungimea diagonală a unui paralelipiped dreptunghiular este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor laturilor sale.

  Din câte știu din programa școlară, clasa 9, dacă nu mă înșel și dacă îmi amintesc corect, diagonala unui paralelipiped dreptunghiular este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor din toate cele trei laturi.

  pătratul diagonalei este egal cu suma pătratelor lățimii, înălțimii și lungimii, pe baza acestei formule obținem răspunsul, diagonala este egală cu rădăcina pătrată a sumei celor trei dimensiuni diferite ale acestora, înseamnă litere abcz abc

Confidențialitatea dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dvs. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și anunțați-ne dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi utilizate pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Vi se poate solicita să furnizați informațiile dvs. personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când lăsați o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dvs. personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să raportăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dvs. personale pentru a trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem utiliza informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea unui audit, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, o competiție sau un eveniment promoțional similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a gestiona astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dvs. către terți.

excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, sistemul judiciar, în procedurile judiciare și / sau pe baza unor anchete publice sau anchete ale autorităților de stat din Federația Rusă - dezvăluie informațiile dvs. personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dvs. dacă stabilim că o asemenea divulgare este necesară sau adecvată în scopuri de securitate, menținerea legii și a ordinii sau alte cazuri importante din punct de vedere social.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul partener, destinatarul.

Protecția informațiilor personale

Ne luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale de pierderi, furturi și abuzuri, precum și de acces neautorizat, dezvăluire, modificare și distrugere.

Păstrarea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dvs. personale sunt sigure, comunicăm regulile de confidențialitate și securitate angajaților noștri și monitorizăm strict implementarea măsurilor de confidențialitate.

O cutie dreptunghiulară este un tip de poliedru format din 6 fețe, fiecare dintre ele fiind un dreptunghi. La rândul său, diagonala este un segment, unul care leagă vârfurile opuse ale paralelogramei. Lungimea sa poate fi detectată în două moduri.

Veți avea nevoie

• Cunoașterea lungimii tuturor laturilor unui paralelogram.

Manual de instrucțiuni

1.   Metoda 1. Dat fiind un paralelipiped dreptunghiular cu laturile a, b, c și diagonală d. Conform uneia dintre proprietățile unui paralelogram, pătratul diagonalei este egal cu suma pătratelor a 3 dintre laturile sale. Otsel urmărește că lungimea diagonală în sine poate fi calculată cu suport pentru extragerea unui pătrat dintr-o sumă dată (Fig. 1).

2.   Metoda 2. Este posibil ca cutia dreptunghiulară să fie un cub. Un cub este o cutie dreptunghiulară, în care fiecare față este reprezentată de un pătrat. În consecință, toate părțile sale sunt egale. Atunci formula de calcul a lungimii diagonalei sale va fi exprimată după cum urmează: d \u003d a *? 3

Caseta este un caz special al unei prisme în care toate cele șase fețe sunt paralelograme sau dreptunghiuri. Un paralelipiped cu fețe dreptunghiulare se mai numește dreptunghiular. Cutia are patru diagonale care se intersectează. Dacă se dau trei muchii a, b, c, este permisă detectarea tuturor diagonalelor unui paralelipiped dreptunghiular, executând construcții suplimentare.

Manual de instrucțiuni

1.   Desenați o casetă dreptunghiulară. Înregistrați datele cunoscute: trei coaste a, b, c. Mai întâi construiți o diagonală m. Pentru a o determina, folosim calitatea unui paralelipiped dreptunghiular, conform căruia toate unghiurile sale sunt drepte.

2.   Desenați diagonala a uneia dintre fețele cutiei. Construiți astfel încât faimoasa margine, diagonala dorită a paralelipipedului și diagonala feței să formeze împreună un triunghi drept a, n, m.

3.   Descoperă diagonala grafică a feței. Este ipotenuză a unui alt triunghi dreptunghic b, c, n. Conform teoremei pitagoreene, n² \u003d s² + b². Calculați această expresie și luați rădăcina pătrată a valorii obținute - aceasta va fi diagonala feței n.

4.   Găsiți diagonala casetei m. Pentru a face acest lucru, găsiți o hipotenuză necunoscută în triunghiul drept a, n, m: m² \u003d n² + a². Înlocuiți valorile cunoscute, apoi calculați rădăcina pătrată. Rezultatul rezultat va fi prima diagonală a paralelepipedului m.

5. În mod similar, desenați toate celelalte trei diagonale paralelepiped în pași. De asemenea, pentru toți, executați construcția suplimentară a diagonalelor fețelor adiacente. Examinând triunghiurile formate în unghi drept și aplicând teorema pitagoreului, găsiți valorile diagonalelor rămase ale paralelipipedului dreptunghiular.

Videoclipuri conexe

Forma cutiei are multe obiecte reale. Exemple sunt o cameră și o piscină. Piesele care au această formă nu sunt rare în industrie. Din acest motiv, apare adesea sarcina de a găsi volumul unei cifre date.

Manual de instrucțiuni

1.   Caseta este o prismă, a cărei bază este o paralelogramă. Paralelipipedul are fețe - toate planurile care formează această figură. Fiecare dintre el are șase fețe, în plus, toate sunt paralelograme. Părțile sale opuse sunt egale și paralele între ele. În plus, are diagonale care se intersectează într-un punct și sunt împărțite în jumătate în ea.

2.   Există 2 tipuri de paralelipiped. În prima, toate fețele sunt paralelograme, iar în a doua, dreptunghiuri. Finala dintre ele se numește paralelipiped dreptunghiular. El are toate fețele dreptunghiulare, iar fețele laterale sunt perpendiculare cu baza. Dacă o casetă dreptunghiulară are fețe ale căror baze sunt pătrate, atunci se numește cub. În acest caz, fețele și marginile sale sunt egale. Marginea este latura oricărui poliedru, din care face parte paralelipipedul.

3.   Pentru a detecta volumul cutiei, trebuie să cunoașteți zona bazei și înălțimii acesteia. Volumul se bazează pe care apare paralelipiped în condițiile problemei. Pentru un paralelipiped convențional, există o paralelogramă la bază, iar pentru una dreptunghiulară există un dreptunghi sau un pătrat, în care unghiurile sunt întotdeauna drepte. Dacă o paralelogramă se află la baza paralelipipedului, atunci volumul său poate fi găsit după cum urmează: V \u003d S * H, unde S este aria bazei, H este înălțimea paralelepipedului. Marginea laterală reprezintă de obicei înălțimea paralelepipedului. La baza cutiei poate fi, de asemenea, o paralelogramă care nu este un dreptunghi. Din cursul planimetric este bine cunoscut faptul că aria paralelogramului este: S \u003d a * h, unde h este înălțimea paralelogramului, a este lungimea bazei, adică. : V \u003d a * hp * H

4. Dacă cel de-al doilea caz apare când baza cutiei este un dreptunghi, atunci volumul este calculat după aceeași formulă, dar aria bazei se găsește într-un mod ușor diferit: V \u003d S * H, S \u003d a * b, unde a și b sunt, respectiv, laturile dreptunghi și margini paralelipiped. V \u003d a * b * H

5.   Pentru a găsi volumul cubului trebuie ghidat de metode logice primitive. Din faptul că toate fețele și marginile cubului sunt egale, iar la baza cubului se află un pătrat, ghidat de formulele de mai sus, este posibil să derivăm următoarea formulă: V \u003d a ^ 3

O figură geometrică închisă formată din două perechi de segmente paralele de lungimi identice situate unul lângă celălalt este numită paralelogramă. Un paralelogram, al cărui unghi este egal cu 90 °, este de asemenea numit dreptunghi. În această figură, este permisă desenarea a două segmente de lungime identică care conectează vertexurile opuse - diagonale. Lungimea acestor diagonale este calculată prin mai multe metode.

Manual de instrucțiuni

1.   Dacă lungimile a 2 laturi adiacente sunt celebre dreptunghi  (A și B), apoi lungimea diagonalei (C) este determinată foarte primitiv. Procedați de la faptul că diagonală  se află opus unghiului drept în triunghiul format de acesta și aceste două părți. Aceasta ne permite să aplicăm teorema lui Pitagore în calcule și să calculăm lungimea diagonala găsind rădăcina pătrată a sumei lungimilor pătrate ale laturilor cunoscute: C \u003d v (A? + B?).

2.   Dacă se cunoaște doar o parte dreptunghi  (A), precum și valoarea unghiului (?), Cea care se formează cu acesta diagonală  , apoi pentru a calcula lungimea acestei diagonale (C) va trebui să utilizați una dintre funcțiile trigonometrice directe - cosinus. Împărțiți lungimea laturii cunoscute la cosinusul faimosului unghi - aceasta va fi lungimea dorită a diagonalei: C \u003d A / cos (?).

3.   Dacă dreptunghiul este dat de coordonatele vârfurilor sale, sarcina de a calcula lungimea diagonalei sale va fi redusă la găsirea distanței dintre două puncte în acest sistem de coordonate. Aplicați teorema lui Pitagore pe triunghi, cea care formează proiecția diagonalei pe oricare dintre axele coordonate. Este posibil ca un dreptunghi în coordonate bidimensionale să fie format din vârfurile A (X?; Y?), B (X?; Y?), C (X?; Y?) Și D (X?; Y?). Atunci trebuie să calculați distanța dintre punctele A și C. Lungimea de proiecție a acestui segment pe axa X va fi egală cu modulul diferenței de coordonate | X? -X? |, Iar proiecția pe axa Y va fi | Y? -Y? |. Unghiul dintre axe este de 90 °, ceea ce implică faptul că aceste două proiecții sunt picioare, iar lungimea diagonalei (ipotenuză) este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor lungimilor lor: AC \u003d v ((X? -X?)? + (Y? - Y?)?).

4.   Pentru a găsi diagonala dreptunghi într-un sistem tridimensional de coordonate, procedați ca în pasul anterior, adăugând doar lungimea proiecției la a treia axă de coordonate în formula: AC \u003d v ((X? -X?)? + (Y? -Y?)? + (Z? - Z?)?).

Videoclipuri conexe

În memoria multora, a rămas o glumă matematică: pantalonii pitagorei sunt egali în toate direcțiile. Folosiți-l pentru a calcula diagonală dreptunghi .

Veți avea nevoie

• O foaie de hârtie, o riglă, un creion, un calculator cu funcția de a calcula rădăcinile.

Manual de instrucțiuni

1.   Un dreptunghi este un patrulat cu toate unghiurile drepte. diagonală dreptunghi  - un segment de linie dreaptă care leagă cele două vârfuri opuse.

2.   Pe o foaie de hârtie cu suport pentru riglă și creion, desenați un dreptunghi arbitrar ABCD. Este mai distractiv să faci acest lucru pe o foaie de caiet într-o cușcă - va fi mai ușor să desenezi unghiuri drepte. Unire cu un segment de vertex dreptunghi  A și C. Segmentul AC rezultat este diagonală  lea dreptunghi  ABCD.

3.   Vă rugăm să rețineți diagonală  AC a împărțit dreptunghiul ABCD în triunghiuri ABC și ACD. Triunghiurile rezultate ABC și ACD sunt triunghiuri drepte, deoarece unghiurile ABC și ADC sunt de 90 de grade (prin definiție dreptunghi). Amintiți-vă teorema pitagoreică - pătratul hipotenuzei este egal cu suma pătratelor picioarelor.

4.   Hipotenuză este latura triunghiului opus colțului drept. Picioarele sunt laturile unui triunghi adiacent unui unghi drept. În raport cu triunghiurile ABC și ACD: AB și BC, AD și DC - picioare, AC - ipotenuză generală pentru ambele triunghiuri (dorită diagonală). Prin urmare, AC pătrat \u003d pătrat AB + pătrat BC sau AC pătrat \u003d pătrat AD + pătrat DC. Înlocuiește lungimile laterale dreptunghi  în formula de mai sus și calculați lungimea hipotenuzei (diagonale dreptunghi).

5.   Spuneți părțile dreptunghi  ABCD sunt egale cu următoarele valori: AB \u003d 5 cm și BC \u003d 7 cm. Pătratul diagonalei difuzorului dreptunghi  calculat prin teorema pitagoreică: AC pătrat \u003d pătrat AB + pătrat BC \u003d 52 + 72 \u003d 25 + 49 \u003d 74 mp. Folosind calculatorul, calculați valoarea rădăcinii pătrate de 74. Ar trebui să obțineți 8,6 cm (valoarea rotunjită). Rețineți că una dintre proprietăți dreptunghi  , diagonalele sale sunt egale. Deci lungimea celei de-a doua diagonale BD dreptunghi  ABCD este egală cu lungimea difuzorului în diagonală. Pentru exemplul de mai sus, această valoare este de 8,6 cm.

Videoclipuri conexe

Sfat 6: Cum să detectați diagonala unei paralelograme dacă sunt date laturi

O paralelogramă este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele. Liniile drepte care leagă unghiurile opuse se numesc diagonale. Lungimea lor depinde nu numai de lungimile laturilor figurii, ci și de valorile unghiurilor de la vârfurile acestui poligon, prin urmare, fără a cunoaște unul dintre unghiuri, ar fi adevărat să calculăm lungimile diagonalelor numai în cazuri excepționale. Acestea sunt cazuri speciale ale unei paralelograme - un pătrat și un dreptunghi.

Manual de instrucțiuni

1.   Dacă lungimile tuturor laturilor paralelogramului sunt identice (a), această figură poate fi numită și pătrat. Valorile tuturor unghiurilor sale sunt 90 °, iar lungimile diagonalelor (L) sunt identice și pot fi calculate prin teorema lui Pitagore pentru un triunghi unghi dreptunghi. Înmulțiți lungimea laturii pătratului cu rădăcina celor două - rezultatul va fi lungimea fiecărei diagonale a acestuia: L \u003d a *? 2.

2.   Dacă despre o paralelogramă se știe că este un dreptunghi cu lungimea (a) și lățimea (b) indicate în condiții, atunci în acest caz lungimile diagonalelor (L) vor fi egale. Și aici, de asemenea, utilizați teorema pitagoreică pentru un triunghi în care hipotenuză este diagonala, iar picioarele sunt două laturi adiacente ale patrulaterului. Calculați valoarea dorită extragând rădăcina din suma lățimii pătrate și înălțimii dreptunghiului: L \u003d? (A? + B?).

3.   Pentru toate celelalte cazuri de îndemânare, numai lungimile laturilor sunt suficiente doar pentru a determina valoarea, care include lungimile ambelor diagonale simultan - suma pătratelor lor, prin definiție, este egală cu dublul sumei pătratelor lungimilor laturilor. Dacă, pe lângă lungimile celor 2 laturi adiacente ale paralelogramei (a și b), este cunoscut și unghiul dintre ele (?), Atunci vă va permite să calculați lungimile oricărui segment care leagă colțurile opuse ale figurii. Găsiți lungimea diagonalei (L?) Situată opus unghiului cunoscut de teorema cosinului - adăugați pătratele lungimilor laturilor adiacente, scăpați produsul de aceleași lungimi prin cosinele unghiului dintre ele și extrageți rădăcina pătrată din valoarea obținută: L? \u003d? (a? + b? -2 * a * b * cos (?)). Pentru a găsi lungimea altei diagonale (L?), Este permisă utilizarea proprietății paralelogramului la începutul acestei etape - dublați suma patratelor lungimilor de 2 laturi, scădem pătratul din diagonala mai îndeaproape decât cea calculată și extragem rădăcina din valoarea rezultată. În termeni generali, această formulă poate fi scrisă astfel: L? \u003d? (a? + b? - L ??) \u003d? (a? + b? - (a? + b? -2 * a * b * cos (?))) \u003d? (a? + b? - a? -b? + 2 * a * b * cos (?)) \u003d? (2 * a * b * cos (?)).

În geometrie se disting următoarele tipuri de paralelipipede: paralelipiped dreptunghiular (dreptunghiurile sunt fețele paralelepipedului); cutie dreaptă (fețele sale laterale acționează ca dreptunghiuri); cutie înclinată (fețele sale laterale acționează ca perpendiculare); cutia este o cutie cu dimensiuni absolut identice, iar fețele cubului sunt pătrate. Paralelipipedele pot fi înclinate sau drepte.

Elementele principale ale paralelepipedului sunt că două fețe ale figurii geometrice prezentate, care nu au o margine comună, sunt opuse, iar cele care au sunt adiacente. Vârfurile cutiei, care nu aparțin aceleiași fețe, sunt opuse unele față de altele. Paralelipipedul are o dimensiune - acestea sunt trei muchii care au un vertex comun.

O linie care leagă vârfurile opuse se numește diagonală. Patru diagonale ale unui paralelipiped, care se intersectează într-un punct, sunt împărțite simultan în jumătate.

Pentru a determina diagonala unui paralelipiped, este necesar să se determine laturile și marginile care sunt cunoscute de starea problemei. Cu trei coaste cunoscute A , , C   desenați diagonala din cutie. Conform proprietății paralelipiped, care indică faptul că toate unghiurile sunt drepte, diagonală este determinată. Desenați o diagonală de pe una dintre fețele cutiei. Diagonalele trebuie desenate astfel încât diagonala feței, diagonala dorită a paralelipipedului și marginea cunoscută să creeze un triunghi. După formarea triunghiului, găsiți lungimea diagonalei. Diagonala din celălalt triunghi obținut acționează ca o hipotenuză, prin urmare poate fi găsită prin teorema pitagoreică, care trebuie luată ca o rădăcină pătrată. Astfel, aflăm sensul celei de-a doua diagonale. Pentru a găsi prima diagonală a unui paralelipiped într-un triunghi format în unghi drept, este necesar să se găsească, de asemenea, hipotenuză necunoscută (în spatele teoremei pitagorei). Folosind același exemplu, găsiți secvențial celelalte trei diagonale existente în paralelipiped completând construcții suplimentare ale diagonalelor care formează triunghiuri în unghi drept și rezolvați prin teorema pitagoreică.

Un paralelipiped dreptunghiular (PP) nu este altceva decât o prismă a cărei bază este un dreptunghi. În PP, toate diagonalele sunt egale, ceea ce înseamnă că orice diagonală a acesteia este calculată după formula:

a, c - partea bazei software;

c este înălțimea sa.

O altă definiție poate fi dată luând în considerare sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian:

O diagonală PP este un vector de rază al oricărui punct din spațiu dat de coordonatele x, y și z într-un sistem de coordonate carteziene. Acest vector de rază la punct este extras de la origine. Și coordonatele punctului vor fi proiecțiile vectorului de rază (diagonală PP) pe axele de coordonate.

1055; proiecțiile coincid cu vârfurile casetei date.

Paralelipiped și tipurile sale

Dacă literalmente îi traduceți numele din greaca veche, se dovedește că aceasta este o figură formată din planuri paralele. Există definiții paralelipiped echivalente:

• o prismă cu o bază paralelogramă;
• un poliedru, a cărui față este un paralelogram.

Tipurile sale se disting în funcție de ce figură se află la baza ei și de cum sunt direcționate coastele laterale. În general vorbesc despre cutie inclinataa căror bază și toate fețele sunt paralelograme. Dacă fețele laterale din vederea anterioară devin dreptunghiuri, atunci va trebui să fie apelat deja direct. Și la dreptunghiular  iar baza are și unghiuri de 90º.

Mai mult, ei încearcă să-l înfățișeze pe acesta din urmă în geometrie, astfel încât se observă că toate marginile sunt paralele. Aici, apropo, se observă diferența principală dintre matematicieni și artiști. Aceasta din urmă este importantă pentru a transmite corpul în conformitate cu legea perspectivei. Și în acest caz, paralelismul coastelor este complet invizibil.

Despre notația introdusă

În formulele de mai jos, notarea indicată în tabel este valabilă.

Formule de cutie înclinate

Primul și al doilea pentru domenii:

A treia pentru a calcula volumul casetei:

Deoarece baza este o paralelogramă, va trebui să folosiți expresiile adecvate pentru a calcula aria sa.

Formule pentru paralelipiped dreptunghiular

În mod similar cu primul paragraf - două formule pentru domenii:

Și încă unul pentru volum:

Prima sarcină

Stare. Se dă o cutie dreptunghiulară al cărei volum este de găsit. Diagonala este cunoscută - 18 cm - și faptul că formează unghiuri de 30 și 45 de grade cu planul feței laterale și respectiv marginea laterală.

Decizie.  Pentru a răspunde la întrebarea problemei, trebuie să cunoașteți toate laturile în trei triunghiuri în unghi drept. Vor oferi valorile necesare ale marginilor de-a lungul cărora trebuie să calculați volumul.

Mai întâi trebuie să aflați unde este unghiul de 30º. Pentru a face acest lucru, desenați o diagonală a feței laterale din același vertex de unde a fost trasată diagonala principală a paralelogramei. Unghiul dintre ele va fi ceea ce aveți nevoie.

Primul triunghi, care va da una dintre valorile laturilor bazei, va fi după cum urmează. Conține partea dorită și două diagonale desenate. Este dreptunghiulară. Acum trebuie să utilizați raportul dintre partea opusă (partea de bază) și hipotenuză (diagonală). Este egal cu sinusul de 30º. Adică, partea necunoscută a bazei va fi definită drept diagonala de ori a sinusului de 30º sau ½. Să fie marcat cu litera „a”.

Al doilea va fi un triunghi conținând o diagonală cunoscută și o margine cu care formează 45º. De asemenea, este dreptunghiulară și, din nou, puteți utiliza relația piciorului cu ipotenuză. Cu alte cuvinte, coasta laterală în diagonală. Este egal cu cosinusul de 45º. Adică „c” este calculat ca produs al diagonalei prin cosinusul de 45º.

c \u003d 18 * 1 / √2 \u003d 9 √2 (cm).

În același triunghi, trebuie să găsiți un alt picior. Acest lucru este necesar pentru a număra apoi a treia necunoscută - „în”. Să fie marcat cu litera "x". Este ușor de calculat prin teorema pitagoreică:

x \u003d √ (18 2 - (9√2) 2) \u003d 9√2 (cm).

Acum trebuie să luăm în considerare un alt triunghi dreptunghiular. Conține laturile deja cunoscute „c”, „x” și cea care trebuie socotită, „c”:

c \u003d √ ((9√2) 2 - 9 2 \u003d 9 (cm).

Toate cele trei cantități sunt cunoscute. Puteți utiliza formula pentru volum și să o calculați:

V \u003d 9 * 9 * 9√2 \u003d 729√2 (cm 3).

Răspunsul este:  volumul paralelipipedului este de 729√2 cm 3.

A doua sarcină

Stare. Este necesar să găsiți volumul cutiei. Cunoaște laturile paralelogramei, care se află la bază, 3 și 6 cm, precum și unghiul său acut - 45º. Coasta laterală are o înclinare spre baza de 30º și este egală cu 4 cm.

Decizie.Pentru a răspunde la întrebarea problemei, trebuie să luați formula care a fost scrisă pentru volumul căsuței înclinate. Dar ambele cantități nu sunt cunoscute în ea.

Zona bazei, adică paralelograma, va fi determinată de formula în care trebuie să multiplicați laturile cunoscute și sinusul unghiului acut dintre ele.

S о \u003d 3 * 6 sin 45º \u003d 18 * (√2) / 2 \u003d 9 √2 (cm 2).

A doua valoare necunoscută este înălțimea. Poate fi extras din oricare dintre cele patru vârfuri de deasupra bazei. Poate fi găsit dintr-un triunghi dreptunghiular în care înălțimea este piciorul, iar coasta laterală este ipotenuză. Mai mult, un unghi de 30º se află opus unei înălțimi necunoscute. Deci, puteți utiliza raportul piciorului cu hipotenuză.

n \u003d 4 * sin 30º \u003d 4 * 1/2 \u003d 2.

Acum toate valorile sunt cunoscute și volumul poate fi calculat:

V \u003d 9 √2 * 2 \u003d 18 √2 (cm 3).

Răspunsul este:  volumul este de 18 √2 cm3.

A treia sarcină

Stare. Găsiți volumul cutiei dacă se știe că este drept. Laturile bazei sale formează un paralelogram și sunt egale cu 2 și 3 cm. Unghiul acut între ele este de 60º. Diagonala mai mică a cutiei este egală cu diagonala mai mare a bazei.

Decizie.Pentru a afla volumul paralelipipedului, folosim formula cu aria bazei și înălțimea. Ambele cantități sunt necunoscute, dar nu sunt greu de calculat. Primul este înălțimea.

Deoarece diagonala mai mică a paralelepipedului coincide ca mărime cu baza mai mare, ele pot fi notate printr-o singură literă d. Un unghi de paralelogram mai mare este de 120º, deoarece cu un unghi ascuțit formează 180º. Lăsați a doua diagonală a bazei cu litera „x”. Acum, pentru cele două diagonale ale bazei, putem scrie teoreme de cosinus:

d 2 \u003d a 2 + în 2 - 2 în cos 120º,

x 2 \u003d a 2 + în 2 - 2 în cos 60º.

Găsirea valorilor fără pătrate nu are sens, de atunci ele vor fi din nou ridicate la gradul doi. După înlocuirea datelor, se dovedește:

d 2 \u003d 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ \u003d 19,

x 2 \u003d a 2 + în 2 - 2 în cos 60º \u003d 4 + 9 - 12 * ½ \u003d 7.

Acum înălțimea, este marginea laterală a paralelepipedului, va fi un picior în triunghi. Ipotenuză este diagonala cunoscută a corpului, iar al doilea picior este „x”. Puteți scrie teorema pitagoreică:

n 2 \u003d d 2 - x 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.

De aici: n \u003d √12 \u003d 2√3 (cm).

Acum, a doua cantitate necunoscută este aria bazei. Poate fi calculat conform formulei menționate în a doua sarcină.

S o \u003d 2 * 3 sin 60º \u003d 6 * √3 / 2 \u003d 3√3 (cm 2).

Combinând totul într-o formulă de volum, obținem:

V \u003d 3√3 * 2√3 \u003d 18 (cm 3).

Răspuns: V \u003d 18 cm 3.

A patra sarcină

Stare. Este necesar să cunoaștem volumul paralelipipedului care îndeplinește următoarele condiții: bază - un pătrat cu latura de 5 cm; fețele laterale sunt romburi; unul dintre vârfurile de deasupra bazei este echidistant față de toate vertexurile situate la bază.

Decizie.Mai întâi trebuie să te ocupi de afecțiune. Nu există întrebări cu primul paragraf despre pătrat. Al doilea, despre romburi, arată clar că cutia este oblică. Mai mult decât atât, toate marginile sale sunt de 5 cm, deoarece laturile romboiului sunt aceleași. Și din a treia devine clar că cele trei diagonale extrase din ea sunt egale. Acestea sunt două care se află pe fețele laterale, iar ultima se află în interiorul cutiei. Și aceste diagonale sunt egale cu marginea, adică au și o lungime de 5 cm.

Pentru a determina volumul, veți avea nevoie de o formulă scrisă pentru o casetă înclinată. Din nou, nu există cantități cunoscute. Cu toate acestea, zona de bază este ușor de calculat, deoarece este un pătrat.

S o \u003d 5 2 \u003d 25 (cm2).

Situația cu înălțimea este puțin mai complicată. Acesta va fi astfel în trei figuri: un paralelipiped, o piramidă pătrangulară și un triunghi isoscel. Trebuie folosită ultima circumstanță.

Deoarece are înălțimea, este un picior într-un triunghi drept. Ipotenuză în ea va fi o coastă cunoscută, iar piciorul al doilea este egal cu jumătate din diagonala pătratului (înălțime - este, de asemenea, mediana). Și diagonala bazei este ușor de găsit:

d \u003d √ (2 * 5 2) \u003d 5√2 (cm).

n \u003d √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) \u003d √ (25 - 25/2) \u003d √ (25/2) \u003d 2,5 √2 (cm).

V \u003d 25 * 2,5 √2 \u003d 62,5 √2 (cm 3).

Răspunsul este:  62,5 √2 (cm3).

În această lecție, toată lumea va putea afla despre cutia dreptunghiulară. La începutul lecției vom repeta ce sunt paralelipipede arbitrare și drepte, amintim proprietățile fețelor lor opuse și diagonalele paralelipipedului. Apoi vom lua în considerare care este o cutie dreptunghiulară și vom discuta proprietățile sale de bază.

Subiect: Perpendicularitatea liniilor și planurilor

Lecția: caseta dreptunghiulară

Se numește o suprafață formată din două paralelograme egale ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 și patru paralelograme ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 paralelipiped  (fig. 1).

Fig. 1 paralelipiped

Adică: avem două paralelograme egale ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 (bază), ele se află în planuri paralele astfel încât nervurile laterale AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 să fie paralele. Astfel, se numește o suprafață compusă din paralelograme paralelipiped.

Astfel, suprafața cutiei este suma tuturor paralelogramelor din care este compusă cutia.

1. Fețele opuse ale paralelepipedului sunt paralele și egale.

(cifrele sunt egale, adică pot fi combinate cu o suprapunere)

De exemplu:

АВСD \u003d А 1 В 1 С 1 D 1 (paralelograme egale prin definiție),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (deoarece AA 1 B 1 V și DD 1 C 1 C sunt fețe opuse ale cutiei),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (deoarece AA 1 D 1 D și BB 1 C 1 C sunt fețe opuse ale cutiei).

2. Diagonalele paralelepiped se intersectează într-un punct și împart acest punct în jumătate.

Diagonalele paralelepipede А 1, 1 D, А 1 С, D 1 В se intersectează într-un punct О și fiecare diagonală este împărțită la jumătate cu acest punct (Fig. 2).

Fig. 2 Diagonalele paralelipiped se intersectează și împart punctul de intersecție în jumătate.

3. Există trei cvadruple de coaste paralelipiped egale și paralele: 1 - AB, A 1 IN 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Definiția. Un paralelipiped se numește drept dacă coastele sale laterale sunt perpendiculare pe baze.

Fie ca coasta laterală AA 1 să fie perpendiculară pe bază (Fig. 3). Aceasta înseamnă că linia dreaptă AA 1 este perpendiculară pe liniile drepte AD și AB, care se află în planul bazei. Și, prin urmare, dreptunghiurile se află în fețele laterale. Și în baze stau paralelogramele arbitrare. Fie ∠BAD \u003d φ; unghiul φ poate fi oricare.

Fig. 3 Cutie dreaptă

Deci, un paralelipiped drept este un paralelipiped în care marginile laterale sunt perpendiculare pe bazele paralelepipedului.

Definiția. Paralelipipedul se numește dreptunghiular,  dacă coastele sale laterale sunt perpendiculare pe bază. Bazele sunt dreptunghiuri.

Paralelipipedul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 este dreptunghiular (Fig. 4), dacă:

1. AA 1 ⊥ ABCD (marginea laterală perpendiculară pe planul bazei, adică cutia este dreaptă).

2. ∠ВАD \u003d 90 °, adică un dreptunghi se află la bază.

Fig. 4 Cutie dreptunghiulară

O cutie dreptunghiulară are toate proprietățile unei cutii arbitrare.  Există însă proprietăți suplimentare care sunt deduse din definiția unei cutii dreptunghiulare.

Astfel, cutie dreptunghiulară  - Acesta este un paralelipiped în care coastele laterale sunt perpendiculare pe bază. Baza dreptunghiului - dreptunghi.

1. Într-o casetă dreptunghiulară, toate cele șase fețe sunt dreptunghiuri.

ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 sunt dreptunghiuri prin definiție.

2. Coaste laterale perpendiculare pe bază. Aceasta înseamnă că toate fețele laterale ale unei cutii dreptunghiulare sunt dreptunghiuri.

3. Toate unghiurile diedrice ale unei cutii dreptunghiulare sunt drepte.

Luați în considerare, de exemplu, unghiul diedru al unui paralelipiped dreptunghiular cu o margine AB, adică unghiul diedric între planurile ABB 1 și ABC.

AB este o muchie, punctul A 1 se află într-un plan - în planul ABB 1, iar punctul D în altul - în planul A 1 B 1 C 1 D 1. Apoi, unghiul diedru în cauză poate fi notat astfel: ∠A 1 ABD.

Ia punctul A de pe marginea AB. AA 1 - perpendicular pe marginea AB în planul ABB-1, AD perpendicular pe marginea AB în planul ABC. Prin urmare, 1 AD este unghiul liniar al acestui unghi diedric. ∠A 1 AD \u003d 90 °, ceea ce înseamnă că unghiul diedru la marginea AB este 90 °.

∠ (ABB 1, ABC) \u003d ∠ (AB) \u003d ∠A 1 ABD \u003d ∠A 1 AD \u003d 90 °.

S-a dovedit în mod similar că orice unghi diedru al unui paralelipiped dreptunghiular este drept.

Pătratul diagonalei unui paralelipiped dreptunghiular este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale.

Notă. Lungimile celor trei muchii care emană dintr-un vertex al unei cutii dreptunghiulare sunt dimensiunile unei cutii dreptunghiulare. Sunt uneori numite lungime, lățime, înălțime.

Date: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - paralelipiped dreptunghiular (Fig. 5).

Dovedește :.

Fig. 5 Cutie dreptunghiulară

dovada:

Linia dreaptă CC 1 este perpendiculară pe planul ABC și, prin urmare, linia dreaptă AC. Prin urmare, triunghiul SS 1 A este unul dreptunghiular. După teorema pitagoreică:

Luați în considerare un ABC triunghi drept. După teorema pitagoreică:

Dar BC și AD sunt laturi opuse dreptunghiului. Deci BC \u003d AD. apoi:

deoarece , și Apoi. Deoarece CC 1 \u003d AA 1, aceasta este ceea ce era necesar să dovedească.

Diagonalele unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale.

Notăm măsurătorile paralelipipedului ABC ca a, b, c (vezi Fig. 6), apoi AC 1 \u003d CA 1 \u003d B 1 D \u003d DB 1 \u003d