Обсуждались базовые определения и свойства. В данном разделе мы выясним, как увеличить или уменьшить число на несколько процентов и рассмотрим некоторые другие вопросы. Если все это кажется вам очевидным, вы можете сразу переходить к 3 - 5 частям этой статьи.

Как увеличить число на несколько процентов. Способ I

Начнем с легкого примера:

Пример 5 . Цена рубашки увеличилась на 20%. Сколько стоит рубашка теперь, если до подорожания она стоила 2400 рублей?

1) Найдем 20% от числа 2400. В первой части статьи мы обсудили подробно, как это делается. Чтобы найти 20% от 2400, необходимо умножить 2400 на двадцать сотых: 2400*0,2 = 480.
2) Рубашка стоила 2400 р, цена выросла на 480р, теперь рубашка стоит 2400 + 480 = 2880р.
Ответ: 2880р.

Если нам нужно уменьшить число на несколько процентов, рассуждения будут аналогичными.

Задание 7 . Увеличьте число 250 на 40%. Уменьшите 330 на 12%.

Задание 8 . Куртка стоила 18500 р. Во время распродажи цена была снижена на 20%. Сколько стоит куртка теперь?

Как увеличить число на несколько процентов. Способ II

Давайте попробуем решить предыдущую задачу чуть быстрее.

В ходе решения мы добавляем к числу 2400 двадцать процентов: 2400 + 2400*0,2.
Вынесем общий множитель за скобки и получим: 2400*(1 + 0,2) = 2400*1,2.
Вывод: чтобы увеличить число на 20%, следует умножить его на 1,2.

А теперь сформулируем общее правило. Предположим, что нам надо увеличить число A на t%. t% от А - это t сотых. Получаем:

A + A ⋅ t 100 = A ⋅ (1 + t 100)
Приходим к следующему общему правилу:

Чтобы увеличить число A на t%, необходимо умножить A на (1 + t 100) .

Пример 6 . Увеличьте число 120 на 17%, число 200 - на 2%, число 10 - на 120%.

120 ⋅ (1 + 17 100) = 120 ⋅ 1,17 = 140,4 200 ⋅ (1 + 2 100) = 200 ⋅ 1,02 = 204 10 ⋅ (1 + 120 100) = 10 ⋅ 2,2 = 22

Возможно, пока не очень заметно, насколько способ №2 проще и быстрее в сравнении со способом №1. В конце этой части статьи мы рассмотрим решение задачи, где преимущества второго способа станут очевидными. А сейчас - очередное задание для самостоятельной работы.

Задание 9 . Увеличьте число 1200 на 4%, число 12 - на 230%, число 57 - на 30%.

Как уменьшить число на несколько процентов

Буквально дословно повторяя рассуждения из предыдущего параграфа, приходим к следующему правилу:

Чтобы уменьшить число A на t%, необходимо умножить A на (1 − t 100) .

Пример 7 . Ночью в комнате было 30 комаров. К утру их количество уменьшилось на 40%. Сколько комаров осталось в комнате?

Мы должны уменьшить число на 40%, т. е. умножить 30 на (1 − 40 100) = 1 − 0,4 = 0,6 .
30*0,6 = 18.
Ответ: 18 комаров.

Задание 10 . Уменьшите число 12 на 20%, уменьшите число 14290 на 95%.

Два раза по 10% - это не 20%!

Пример 8 . Две куртки стоят по 14000 р. Цену одной из них увеличили на 10%, а затем - еще на 10%. Цену второй куртки сразу увеличили на 20%. Какая куртка стоит теперь дороже?

"Почему одна из них должна быть дороже?" - в недоумении спрашивает читатель. - "Куртки ведь стоили одинаково, 20% - это два раза по 10%, значит теперь они тоже стоят одинаково."

Давайте попробуем разобраться в ситуации. Первая куртка дважды дорожала на 10%, т.е. стоимость ее дважды увеличивалась в 1,1 раза. Итог: 14000*1,1*1,1 = 16940 (р). Вторая куртка сразу подорожала на 20%, ее цена была увеличена в 1,2 раза. Считаем: 14000*1,2 = 16800. Как видим, цены получились разными, первая куртка подорожала сильнее.

"Но почему же 10% + 10% не равно 20%?" - спросите вы.

Проблема в том, что 10% первый раз берется от 14000 р, а второй раз - уже от увеличенной цены.

10% от 14000р = 1400р. После первого подорожания куртка стоит 14000 + 1400 = 15400 (р). Теперь мы вновь переписываем ценник. Берем 10%, но уже не от 14000, а от 15400: 15400*0,1 = 1540 (р). Складываем 1540 и 15400 - получаем окончательную цену куртки - 16940р.

Задание 11 . Если бы начальная цена куртки была другой, изменился бы ответ? Подумайте над этим вопросом: возьмите несколько вариантов начальной цены, проведите расчеты. Попробуйте доказать, что два 10%-ных подорожания всегда приводят к более высокой цене, нежели одно 20%-ное повышение.

Подняли цену на 20%, затем снизили на 20%. Вернулись к исходной цене?

Пример 9 . Собственно, задача уже поставлена в заголовке. Чтобы легче было рассуждать, давайте немного модернизируем ее. Куртка стоит 16000р. Цену увеличили на 20%, а на следующий день - снизили на 20%. Правда ли, что теперь куртка вновь стоит 16000р?

Нет, неправда. Короткое решение: 16000*1,2*0,8 = 15360р - цена куртки снизилась.

Длинное решение. Сначала цена куртки увеличилась на 20%, т. е. на 16000*0,2 = 3200р. На новом ценнике - 16000 + 3200 = 19200 (р). На следующий день цену снижают на 20%. Но это уже 20% не от 16000, а от 19200: 0,2*19200 = 3840 р. 19200 - 3840 = 15360 (р).

Понятно, почему в итоге цена стала ниже: 20% от 19200 больше, нежели 20% от 16000.

И вновь советую вам подумать о том, как изменился бы ответ, если бы начальная цена куртки была другой? Проведите несколько опытов: возьмите разные начальные цены, проведите вычисления и убедитесь, что итоговая цена окажется ниже, причем всегда на одинаковое количество процентов. А сможете ли вы решить эту задачу в общем виде, т. е. выяснить, на сколько процентов снизится цена куртки после последовательного 20%-ного повышения и 20%-ного снижения? Попробуйте! Если не сможете справиться самостоятельно, посмотрите 3-ю часть этой статьи.

Несколько изменений ценника

Пример 10 . В январе стоимость квартиры в новом доме составляла 12000000р. В феврале она увеличилась на 5%, в марте - снизилась на 3%, в апреле вновь выросла на 7%, в мае снизилась на 10%. Сколько стоит квартира теперь?

Решение . Я надеюсь, что юные математики, вооруженные опытом примеров 8 и 9, не станут утверждать, что цена изменилась на 5% - 3% + 7% - 10% = -1%. Это грубая ошибка! Изменение цены каждый раз происходит от новой суммы, поэтому нельзя просто складывать - вычитать в надежде получить финальное изменение в процентах.

Приведу сначала подробное решение.

Первое увеличение цены - это 5% от 12 000 000 = 600 000 (р).
12 000 000 + 600 000 = 12 600 000 (р).
Первое снижение цены - это 3% от 12 600 000 = 378 000 (р).
12 600 000 - 378 000 = 12 222 000 (р).
Второе повышение цены - это 7% от 12 222 000 = 855 540 (р).
12 222 000 + 855 540 = 13 077 540 (р).
Финальное снижение цены на 10% - это 10% от 1 307 7540 = 1 307 754 (р).
13 077 540 - 1 307 754 = 11 769 786.

У-ф-ф-ф, выдохнули!

Вам нравится подобное решение? Мне - нет! Зачем эти 8 действий, если все можно уместить в одну строчку:

12 000 000*1,05*0,97*1,07*0,9 = 11 769 786 (р).

Я специально привел эти два решения, чтобы вы осознали, насколько проще пользоваться по сравнению со . К сожалению, школьники редко применяют второй способ, предпочитая длинные рассуждения, наподобие тех, которые мы привели выше. Нужно постепенно отказываться от этой дурной привычки!

Тест №2

Вам вновь предлагается короткий тест. Напоминаю, что ответом (как и на ЕГЭ по математике) является целое число или конечная десятичная дробь. В качестве разделителя десятичных разрядов всегда используйте запятую (например, 1,2, но не 1.2!) Успехов!

Содержимое:

Оптическое увеличение – это отношение линейных или угловых размеров изображения и предмета. Например, линза, увеличивающая размеры предмета, имеет большое увеличение, а линза, уменьшающая размеры предмета, имеет малое увеличение. Увеличение, как правило, вычисляется по формуле M = (h i /h o) = -(d i /d o) , где М – увеличение, h i – высота изображения, h o – высота объекта, d i и d o – расстояние до изображения и предмета.

Шаги

1 Увеличение одной линзы

Примечание: собирающая линза широкая посередине и узкая по краям; рассеивающая линза широкая по краям и узкая посередине. Процесс вычисления увеличения одинаков для обеих линз за одним исключением в случае рассеивающей линзы.

1. 1 Напишите формулу. Теперь определите, какие переменные вам даны. По формуле вы можете найти любую переменную, входящую в формулу (а не только увеличение).
   • Например, рассмотрим фигурку высотой 6 см, которая находится на расстоянии 50 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 20 см. Здесь вы должны найти увеличение, размер изображения и расстояние до изображения. Запишите формулу так: M = (h i /h o) = -(d i /d o)
   • В задаче даны h o (высота фигурки) и d o (расстояние от фигурки до линзы). Вы также знаете фокусное расстояние линзы, которое не входит в формулу. Вы должны найти h i , d i и M.
2. 2 Используйте формулу линзы для вычисления d i , если вы знаете расстояние от линзы до предмета и фокусное расстояние линзы. Формула линзы: 1/f = 1/d o + 1/d i , где f = фокусное расстояние линзы.
   • В нашем примере: 1/f = 1/d o + 1/d i 1/20 = 1/50 + 1/d i 5/100 - 2/100 = 1/d i 3/100 = 1/d i 100/3 = d i = 33,3 см
   • Фокусное расстояние линзы – это расстояние от центра объектива до точки, в которой сходятся лучи света. В задачах фокусное расстояние, как правило, дано. В реальной жизни фокусное расстояние наносится на оправу линзы.
3. 3 Теперь вы знаете d o и d i и можете найти высоту увеличенного изображения и увеличение линзы. Обратите внимание, что формула для вычисления увеличения включает два знака равенства (M = (h i /h o) = -(d i /d o)), то есть оба отношения равны, и вы можете воспользоваться этим фактом при вычислении M и h i .
   • В нашем примере найдите h i следующим образом: (h i /h o) = -(d i /d o) (h i /6) = -(33,3/50) h i = -(33,3/50) × 6 h i = -3,996 см
   • Обратите внимание, что отрицательная высота означает, что изображение будет перевернутым.
4. 4 Для вычисления М используйте либо –(d i /d o), либо (h i /h o).
   • В нашем примере: M = (h i /h o) M = (-3,996/6) = -0,666
   • Вы получите тот же результат, используя значения d: M = -(d i /d o) M = -(33,3/50) = -0,666
   • Обратите внимание, что увеличение не имеет единиц измерения.
5. 5 Если у вас есть значение увеличения, вы можете предположить некоторые свойства изображения.
   • Размер изображения. Чем больше значение М, тем больше изображение. Значения M между 1 и 0 свидетельствуют о том, что предмет через линзу будет выглядеть меньше.
   • Ориентация изображения. Отрицательные значения М указывают на то, что изображение предмета будет перевернутым.
   • В нашем примере М = -0,666, то есть изображение фигурки будет перевернутым и составлять две трети высоты фигурки.
6. 6 В случае рассеивающей линзы используйте отрицательное значение фокусного расстояния. Это единственное отличие вычисления увеличения рассеивающей линзы от вычисления увеличения собирающей линзы (все формулы остаются теми же). В нашем примере этот факт повлияет на значение d i .
   • Проделаем вычисления для нашего примера еще раз, но при условии, что мы используем рассеивающую линзу с фокусным расстоянием -20 см. Все другие значениями остаются такими же.
   • Во-первых, найдем d i через формулу линзы: 1/f = 1/d o + 1/d i 1/-20 = 1/50 + 1/d i -5/100 - 2/100 = 1/d i -7/100 = 1/d i -100/7 = d i = -14,29 см
   • Теперь найдем h i и M. (h i /h o) = -(d i /d o) (h i /6) = -(-14,29/50) h i = -(-14,29/50) × 6 h i = 1,71 см M = (h i /h o) M = (1,71/6) = 0,285

2 Увеличение системы из нескольких линз

Две линзы

1. 1 Найдите фокусное расстояние обеих линз. Когда вы имеете дело с системой, состоящей из двух линз, которые расположены параллельно друг другу (например, как в телескопе), вам нужно определить фокусное расстояние обеих линз, чтобы найти увеличение такой системы. Это можно сделать по формуле M = f o /f e .
   • В формуле f o – это фокусное расстояние линзы объектива, f o – это фокусное расстояние линзы окуляра (к окуляру вы прикладываете глаз).
2. 2 Подставьте значения фокусных расстояний в формулу, и вы найдете увеличение системы из двух линз.
   • Например, рассмотрим телескоп, в котором фокусное расстояние линзы объектива равно 10 см, а фокусное расстояние линзы окуляра равно 5 см. М = 10/5 = 2.

Детальный метод

1. 1 Найдите расстояние между линзами и предметом. Если перед предметом расположены две линзы, можно вычислить увеличение конечного изображения, зная расстояния от предмета до линз, высоту предмета и фокусные расстояния обеих линз.
   • Рассмотрим предыдущий пример – фигурку высотой 6 см, которая находится на расстоянии 50 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 20 см и на расстоянии 100 см от второй линзы с фокусным расстоянием 5 см. Найдите увеличение такой системы линз.
2. 2 Найдите расстояние до изображения, его высоту и увеличение первой линзы. Начните с ближайшей к фигурке линзы и по формуле линзы найдите расстояние до изображения, а затем по формуле для вычисления увеличения найдите высоту изображения и увеличение.
   • В предыдущем разделе мы выяснили, что первая линза дает изображение высотой -3,996 см, расстояние до изображения равно 33,3 см, а увеличение равно -0,666.
3. 3 Используйте изображение от первой линзы в качестве предмета для второй линзы. Теперь вы можете найти увеличение второй линзы, высоту изображения и расстояние до него; для этого используйте те же методы, которые вы использовали для первой линзы, только в этот раз вместо фигурки воспользуйтесь изображением от первой линзы.
   • В нашем примере изображение находится на расстоянии 33,3 см от первой линзы, поэтому находится на расстоянии 50-33,3 = 16,7 см от второй линзы. Найдем расстояние до изображения от второй линзы, используя найденное расстояние до предмета и фокусное расстояние второй линзы. 1/f = 1/d o + 1/d i 1/5 = 1/16,7 + 1/d i 0,2 - 0,0599 = 1/d i 0,14 = 1/d i d i = 7,14 см
   • Теперь мы можем найти h i и M для второй линзы: (h i /h o) = -(d i /d o) (h i /-3,996) = -(7,14/16,7) h i = -(0,427) × -3,996 h i = 1,71 см M = (h i /h o) M = (1,71/-3,996) = -0,428
4. 4 Продолжайте описанный процесс вычислений для любого числа дополнительных линз. Для каждой последующей линзы предметом считайте изображение от предыдущей линзы и используйте формулу линзы и формулу для вычисления увеличения.
   • Имейте в виду, что последующие линзы могут переворачивать изображение. Например, полученное выше значение увеличения (-0,428) свидетельствует о том, что изображение от второй линзы будет составлять 4/10 размера изображения предмета от первой линзы, но теперь изображение фигурки не будет перевернутым (вторая линза перевернет «перевернутое» изображение от первой линзы).

• На биноклях, как правило, стоит такая маркировка: число х число, например, 8x25 или 8x40. В этом случае первое число – это увеличение бинокля. Второе число относится к четкости изображения.
• Заметьте, что для системы, состоящей из одной линзы, увеличение будет отрицательным в случае, если расстояние до предмета превышает фокусное расстояние линзы. Это не означает, что изображение предмета будет меньше его действительной высоты. Просто в данном случае изображение будет перевернутым.

Руководителя предприятия всегда интересует вопрос: как будет изменятся масса прибыли в зависимости от изменения выручки. Установлено, что процент роста прибыли выше, чем выручки. Это явление в теории получило название опе­рационного (производственного) рычага, которое объясняется непропорциональ­ным воздействием постоянных и переменных затрат на результаты финансо­во-экономической деятельности (на прибыль).

Сила воздействия операционного рычага определяется по формуле:

F = , (15)

гдеF - сила воздействия операционного рычага,

М в - валовая маржа (М в = М+И пост), руб.,

М - прибыль, руб.

Рассмотрим это на вышеприведенном примере. В нашем случае сила воз­действия операционного рычага согласно формуле (15) будет равна:

= 7,7

Это означает, что каждый процент изменения выручки вызывает 7,7% изме­нения прибыли. Например, при увеличении выручки на 10% прибыль хлебозавода возрастает на 10% х 7,7 = 77%. Это подтверждается следующим расчетом: выруч­ка от реализации (586 млн руб.) увеличилась на 10%, что составило 586 х 1,1 = 644,6 млн руб. Валовая маржа (В р - И пер) равна: 644,6 - 492,8 = 151,8 млн руб. (где 492,8 = 448 х 1,1). Это означает, что прибыль увеличилась на 133,8 млн руб. (151,8 - 18), или на 77%.

При рассмотрении данного вопроса следует иметь в виду, что если порог рентабельности пройден и доля постоянных затрат в сумме общих затрат снижа­ется, то сила воздействия операционного рычага уменьшается. И наоборот, при повышении удельного веса постоянных затрат действие производственного рычага возрастает.

Когда выручка от реализации снижается, сила операционного рычага воз­растает. Так, уменьшение выручки от реализации на 5% приведет к очень большо­му падению прибыли на хлебозаводе: 5% х 7,7 = 38,5%. Прибыль в этом случае составит 11,3 млн руб.: 18 - (37 х 18) : 100 = 11,3 млн руб.

3. Практикующее упражнение

Анализ использования фонда рабочего времени заключается в выявлении величины потерь и непроизводительных простоев. На СРЗ важное значение приобретает сокращение целодневных и внутрисменных простоев.

Трудоемкость - измеряемое в нормо - часах количество труда, которое необходимо затратить станочнику для выполнения определенного вида труда.

Исходные данные:

Продолжительность рабочего дня в механическом цехе СРЗ равна 8 часов (480 минут), потери рабочего времени за смену в базисном периоде составили 25 минут, затраты на выпуск единицы продукции 15 - минут.

Требуется определить:

На сколько увеличится выработка в плановом периоде, если в результате внедрения мероприятий намечено ликвидировать потери рабочего времени и снизить трудоемкость на единицу продукции на 2 минуты.

Практическое занятие №3.

1. Опрос по темам:

Тема 5. Обеспечение судоремонтного предприятия оборотными средствами

5.1. Экономическое содержание, состав и структура оборотных средств

5.2. Нормирование оборотных средств

5.3. Организация материально-технического снабжения

5.4. Управление запасами

Тема 6. Управление судоремонтным предприятием – важнейшее условие обеспечение роста его экономики

6.1. Сущность, виды управления и его функции

6.2. Организационные структуры управления

6.3. Принятие управленческих решений

6.4. Основные направления совершенствования управления

6.5. Информационные технологии в управлении судоремонтным предприятием

2. Предметная часть:

1.5. Анализ чувствительности прибыли к изменениям цены и структуре затрат

В основе этого метода лежит расчет объема реализации, которых должен обеспечивать требуемую величину прибыли при изменении цены или структуры затрат (постоянные и переменные затраты).

Если изменяются постоянные затраты (расходы), то объем реализации, обеспечивающий желаемую величину прибыли, определяются по формуле:

М о =
:Ц, (16)

Если изменяются переменные затраты, то расчет производится последую­щей формуле:

М о =
:Ц, (17)

Если изменяетсяцена, то расчет осуществляется по такой формуле:

М о =
:Ц п , (18)

где М вн - новая валовая маржа, руб.,

М о - желаемая прибыль, руб..

а п - исходный процент валовой маржи к выручке от реализации,

М ви - исходная валовая маржа, руб.,

а н - новый процент валовой маржи к выручке от реализации.

Рассмотрим характер этих изменений на примере хлебозавода, которыйимеет следующие показатели:

Годовое производство батонов – 100 000 шт.;

Цена одного батона - 2 860 руб./шт.;

Средние переменные расходы - 1 800 руб./шт.

При таком объеме реализации, цене и переменных затрат хлебозавод имеетследующие показатели:

Выручка от реализации (2 860 х 100 000) = 286 млн руб.;

Переменные расходы (1 800 х 100 000) = 180 млн руб.;

Валовая маржа =106 млн руб.;

Постоянные расходы = 53 млн руб.

Прибыль равна 53 млн руб.

Допустим цена увеличилась на 10%. В этом случае руководству предпри­ятия важно знать: как измениться величина прибыли и каков должен быть объем реализации, чтобы сохранить прежний уровень прибыли.

Итак: новая цена (2860 + 286) = 3146 руб./шт.;

новая выручка 3146 руб./шт. х 100%;

переменные расходы (1800 х 100) = 180 млн руб., или 57%;

валовая маржа 134,6 млн руб., или 43%;

постоянные расходы 53 млн руб., или 17%.

Прибыль равна 81,6 млн руб., или 26%.

Как видим, прибыль увеличилась с 53 млн до 81,6 млн руб., или на 53%. Объем реализации, необходимый для достижения прежней величины прибыли при повышении цены согласно формуле (45) составит:

: 3146 = 79,8 тыс.шт.

Все это можно оформить так, как показано в табл. 6.

Таблица 6. Анализ чувствительности показателей для хлебозавода при увеличении цены на 10%

Показатели	Первоначальный объем, 100 000 шт.
Выручка от реализации
Переменные расходы
Валовая маржа
Постоянные расходы

Таким образом, повышение цены на 10% компенсирует сокращение объема реализации на 21% и увеличивает прибыль на 53% (с 53 млн до 81,6 млн руб.).

Что же произойдет с показателями при изменении структуры затрат? Допус­тим, хлебозаводу в результате модернизации удалось снизить постоянные затраты на 10%. Тогда при первоначальном объеме реализации прибыль должна возрасти на 5,3 млн руб. и составить (53 + 5,3) 58,3 млн руб., а постоянные издержки - (53 млн руб. + 47,7 млн руб.) 100,7 млн руб. Объем реализации, на который может пойти хлебозавод при сохранении прежней прибыли (53 млн руб.), составит:
:Ц=
:2860 = 95,2 тыс./шт.

Эти расчеты можно оформить так, как показано в табл. 7.

Таблица 7. Анализ чувствительности для предприятия при сокращении постоянных расхо­дов на 10%

Показатели	Первоначальный объем, 100 000 тт.		Объем, обеспечивающий неизменную прибыль 78,4 тыс. руб./шт.
Выручка от реализации
Переменные расходы
Валовая маржа
Постоянные расходы

Влияние изменения объема реализации проанализируем с помощью эффекта операционного рычага:

F = =
= 2.

Это означает, что если хлебозавод увеличивает объем реализации на 10%, то выручка также возрастает на 10%, а прибыль с учетом действия операционного рычага будет равна (М = 10x2) 20%. Проверим полученный результат:

новая выручка при увеличения объема на 10% составит:

(286+ 28,6) = 314,6;

переменные расходы (180 + 18) = 198,0;

валовая маржа = 116,6;

постоянные расходы = 53,0;

Прибыль равна 63,6.

Как видим, прибыль возросла на 10,6 млн руб. (63,6 - 53), т.е. на 20% (10,6: 53 х 100).

На основе принятой схемы анализа чувствительности можно определить и распределить элементы рентабельности по степени их влиянии на прибыль, по­лучаемую хлебозаводом.

Итак, повышение цены на 10% увеличивает прибыль на 53%; увеличение объема реализации продукции на 10% вызывает рост прибыли на 20%; уменьше­ние переменных расходов на 10% приводит к росту прибыли на 88%; 10-процентное изменение постоянных расходов увеличивает рост прибыли на 10%.

В связи с этим руководству предприятия важно знать границы, в пределах которых оно может изменять показатели. Это определяется с помощью установле­ния запаса финансовой прочности. Вначале вычисляют порог рентабельности и годовой объем реализации.

R n =
=
x 100 = 156,8 млн.руб.

Q n = =
548 шт.,

гдеИ пост - постоянные расходы, тыс. руб.,

R n - пороговая рентабельность, млн руб.,

Q n - пороговый объем реализации, шт..

а пр - процент дохода (валовая маржа) от покрытия к выручки от реализации, проц.,

Ц - цена батона, руб.

Запас финансовой прочности в этом случае составляет: 3 пр = (В р - R n) = 286 млн руб. - 156,8 млн руб. = 129,2 млн руб., или почти 45% выручки (129,2: 286).

Как видим, хлебозавод имеет большой запас финансовой прочности, позво­ляющий ему безбоязненно оперировать факторами, влияющими на ее величину. Вданном случае руководство хлебозавода должно сосредоточить внимание на цено­вой политике и снижении переменных расходов, которые более всего оказывают влияние на получаемую массу прибыли.

В математике понятие процентного изменения используется для описания взаимосвязи между старым (начальным) значением и новым (конечным) значением. В частности, процентное изменение выражает разницу между начальным и конечным значениями в процентах от старого значения. В общих случаях, когда V 1 - начальное значение, а V 2 - конечное значение, процентное изменение можно найти по формуле ((V 2 -V 1 )/V 1 ) × 100 . Обратите внимание, что эта величина выражается в процентах.

Шаги

Часть 1

Вычисление процентного изменения в общих случаях

Найдите начальное и конечное значения некоторой величины, которые изменились в течение определенного промежутка времени. Эти два значения необходимы для вычисления процентного изменения по формуле, приведенной выше.

• При продаже товара со скидкой указывается, что он продается со скидкой в Х %, то есть указывается процентное изменение начальной цены. Рассмотрим пример. Начальная цена брюк - 50 долларов. Со скидкой брюки продаются за 30 долларов. В этом примере 50 долларов - начальное значение, а 30 - конечное значение.

1. Вычтите начальное значение из конечного значения, то есть найдите их разницу. Вычитая начальное значение из конечного, мы получаем положительное процентное изменение в случае, когда рассматриваемая величина растет (увеличивается), или мы получаем отрицательное процентное изменение в случае, когда рассматриваемая величина падает (уменьшается).

   • В нашем примере: 30 - 50 = -20.

2. Разделите полученную разность на начальное значение. Так вы найдете отношение изменения величины к ее начальному значению (выраженное в виде десятичной дроби).

   • В нашем примере: -20/50 = -0,40. Знак минус свидетельствует о том, что цена снизилась, а 0,4 - это отношение изменения величины к ее начальному значению.

3. Умножьте полученное значение на 100, чтобы преобразовать его в проценты . Затем к ответу припишите знак процентов, и вы получите искомое процентное изменение.

   • В нашем примере: 0,40 × 100 = -40 %. Этот ответ означает, что новая цена брюк (30 долларов) на 40 % меньше, чем начальная цена брюк (50 долларов). Другими словами, брюки продаются со скидкой в 40 %. Знак минус свидетельствует о том, что цена снизилась.
   • Обратите внимание, что если бы вы получили ответ со знаком плюс, то цена бы выросла. Например, если окончательный ответ 40 % (а не -40 %), то новая цена брюк составит 70 долларов (на 40 % выше, чем начальная цена в 50 долларов).

   Часть 2

   Вычисление процентного изменения в особых случаях

   1. Если вы имеете дело с несколькими (более одного) изменениями некоторой величины за определенный период времени, вычислите процентное изменение только для двух значений, которые вы хотите сравнить. Формула для вычисления процентного изменения включает только два значения, поэтому если в задаче величина меняется несколько раз, процентное изменение вычисляйте только для двух указанных значений этой величины. Не вычисляйте процентное изменение для последовательных пар значений и не усредняйте или складывайте полученные процентные изменения - вы получите неправильный ответ.

      • Например, начальная цена брюк 50 долларов; затем сделали скидку, и цена брюк снизилась до 30 долларов; далее цену брюк повысили до 40 долларов; и, наконец, еще раз сделали скидку до 20 долларов. В этом случае рассматривайте только необходимые два значения (другие два значения не учитывайте). Например, чтобы найти процентное изменение между начальной ценой и конечной ценой, используйте 50 и 20 долларов.
        • ((V 2 -V 1 )/V 1 ) × 100
        • ((20 - 50)/50) × 100
        • (-30/50) × 100
        • -0,60 × 100 = -60 %

   2. Разделите конечное значение на начальное значение, чтобы найти абсолютное отношение двух значений. Если вы умножите это отношение на 100, вы получите абсолютное отношение двух значений, выраженное в процентах.

      • Обратите внимание, что вычтя 100 из этого значения, вы получите процентное изменение.
      • В нашем примере, если начальная цена брюк составляет 50 долларов, а конечная цена - 20 долларов, то (20/50) × 100 = 40 %, то есть 20 долларов - это 40 % от 50 долларов. Обратите внимание, что вычтя 100, вы получите 40 - 100 = -60 %, то есть процентное изменение, вычисленное ранее.
      • Абсолютное отношение может быть больше 100 %; например, если 50 долларов - начальная цена, а 75 долларов - конечная цена, то 75/50 ×100 = 150 %, то есть 75 долларов - это 150 % от начальной цены (50 долларов).

   3. Если в задаче даны два значения, выраженные в процентах, используйте понятие «абсолютного изменения». В этом случае важно различать процентное изменение и абсолютное изменение. Абсолютное изменение - это разница между двумя значениями, выраженными в процентах.

      • Например, брюки продаются со скидкой в 30 % (изменение процента равно -30 % от начальной цены брюк). Если скидка увеличивается до 40 % (изменение процента равно -40 % от начальной цены брюк), то будет неправильно утверждать, что процентное изменение этой скидки: ((-40 - -30)/-30) × 100 = 33,33 %
      • Но верно то, что 40 % - 30 % = 10 %, то есть имеет место 10-процентный рост скидки. Вы нашли абсолютное изменение двух значений, выраженных в процентах.
   • Если начальная цена продукта составляет 50 долларов, а вы купили его за 30 долларов, то процентное изменение цены продукта:
     • (50 - 30)/50 × 100 = 20/50 × 100 = 40 %

       Цена, за которую вы купили продукт, была меньше, чем начальная цена продукта. Процентное изменение - уменьшение цены на 40 %, то есть вы сэкономили 40 % от начальной стоимости.

   • Теперь предположим, что вы хотите продать брюки, которые вы купили. Например, вы купили брюки за 30 долларов, а затем продали их за 50 долларов. Тогда изменение цены: 50 - 30 = 20. Начальная цена - 30 долларов, так что процентное изменение будет таким:
     • (50 - 30)/30 × 100 = 20/30 × 100 = 66,7 %

       Стоимость брюк увеличилась на 66,7 % от их начальной цены.

   • Когда стоимость брюк уменьшилась с 50 до 30 долларов, их цена упала на 40 %. Когда стоимость брюк увеличилась с 30 до 50 долларов, они подорожали на 66,7 %. Важно отметить, что процент дохода при продаже брюк за 50 долларов составляет 40 %.

Пример процентного отношения

Пример-задача 1

Вопрос:

Пример-задача 2

Вопрос:

Процентное соотношение (или отношение) двух чисел - это отношение одного числа к другому умноженное на 100%.

Процентное отношение двух чисел можно записать следующей формулой:

Пример процентного отношения

Например есть два числа: 750 и 1100.

Процентное отношение 750 к 1100 равно

Число 750 составляет 68.18% от 1100.

Процентное отношение 1100 к 750 равно

Число 1100 составляет 146.67% от 750.

Пример-задача 1

Норма завода по производству автомобилей составляет 250 машин в месяц. Завод собрал за месяц 315 машин. Вопрос: на сколько процентов завод перевыполнил план?

Процентное отношение 315 к 250 = 315:250*100 = 126% .

План выполнен на 126% . План перевыполнен на 126% - 100% = 26% .

Пример-задача 2

Прибыль компании за 2011 год составила 126 млн $, в 2012 году прибыль составила 89 млн $. Вопрос: на сколько процентов упала прибыль в 2012 году?

Процентное отношение 89 млн к 126 млн = 89:126*100 = 70.63%

Прибыль упала на 100% - 70.63% = 29.37%

Процент (что означает "на сотню") это сравнение с 100.

Символ процента %. Так, например, 5 процентов записывается как 5%.

Предположим, что в комнате 4 человека.

50% это половина - 2 человека.
25% это четверть - 1 человек.
0% это ничего - 0 человек.
100% это целое - все 4 человека в комнате.
Если в комнату заходят ещё 4 человека, то их колличество становится 200%.

1% это $\frac{1}{100}$
Если всего есть 100 человек, то 1% из них это один человек.

Чтобы выразить математически число X как процент от Y вы делаете следующее:
$X: Y \times 100 = \frac{X}{Y} \times 100$

Пример: Сколько процентов от 160 составляет 80?

Решение:

$\frac{80}{160} \times 100 = 50\%$

Увеличение/Уменьшение процентного соотношения

Когда число увеличивается относительно другого числа, то величина увеличения представляется как:

Увеличение = Новое число - Старое число

Однако, когда число уменьшается относительно другого числа, то эту величину можно представить как:

Уменьшение = Старое число - Новое число

Увеличение или уменьшение числа всегда выражается на основании старого числа.
Поэтому:

%Увеличение = 100 ⋅ (Новое число - Старое число) ÷ Старое число

%Уменьшение = 100 ⋅ (Старое число - Новое число) ÷ Старое число

Например, у Вас было 80 почтовых марок и Вы начали в этом месяце собирать ещё пока общее количество почтовых марок достигло 120. Процентное увеличение числа марок, которые у Вас есть равно

$\frac{120 - 80}{80} \times 100 = 50\%$

Когда у Вас стало 120 марок, Вы и Ваш друг договорились обменять игру "Lego" на несколько из этих марок. Ваш друг взял несколько марок, которые ему понравились, и когда Вы подсчитали оставшиеся марки, то обнаружили, что у Вас осталось 100 марок. Процентное уменьшение числа марок может быть подсчитано как:

$\frac{120 - 100}{120} \times 100 = 16,67\%$

Калькулятор Процентов

Что если % из ?		Результат:
это какой процент от ?		Ответ: %
это % от чего?		Ответ:

Как процентные соотношения помогают в реальной жизни

Есть два способа, как процентные соотношения помогают в решении наших каждодневных проблем:

1. Мы сравниваем две разных величины, когда все величины соотносятся с одной и той же основной величиной равной 100. Чтобы объяснить это, давайте рассмотрим следующий пример:

Пример: Том открыл новую бакалейную лавку. За первый месяц он купил бакалеи за \$650 и продал за \$800, а во втором купил за \$800 и продал за \$1200. Надо рассчитать делает ли Том больше прибыли или нет.

Решение:

Напрямую из этих чисел мы не можем сказать растёт доход Тома или нет, потому что расходы и выручка каждый месяц разные. Для того, чтобы решить эту задачу, нам нужно соотнести все значения к фиксированной основной величине равной 100. Давайте выразим процентное соотношение его доходов к расходам в первый месяц:

(800 - 650) ÷ 650 ⋅ 100 = 23,08%

Это значит, что если Том тратил \$100, то он делал прибыль в размере 23.08 в первый месяц.

Теперь давайте применим тоже самое ко второму месяцу:

(1200 - 800) ÷ 800 ⋅ 100 = 50%

Так, во втором месяце, если Том тратил \$100, то его доход был \$50(потому что \$100⋅50% = \$100⋅50÷100=\$50). Теперь понятно,что доходы Тома растут.

2. Мы можем определять количество части большей величины, если известно процентное соотношение этой части. Чтобы объяснить это, давайте рассмотрим следующий пример:

Пример: Синди хочет купить 8 метров шланга для своего сада. Она пошла в магазин и обнаружила, что там есть катушка со шлангом длиной 30 метров. Однако, она заметила, что на катушке написано, что 60% уже продано. Она должна узнать хватит ли ей оставшегося шланга.

Решение:

В табличке сказано, что

$\frac{Продано\ длина}{Всего\ длина} \times 100 = 60\%$

$Продано\ длина = \frac{60 \times 30}{100} = 18м$

Поэтому остаток 30 - 18 = 12м, которого вполне достаточно Синди.

Примеры:

1. Райн любит собирать спортивные карточки с его любимыми игроками. У него есть 32 карточки с игроками бейсбола, 25 карточки с футболистами и 47 с баскетболистами. Каково процентное соотношение карточек каждого спорта в его коллекции?

Решение:

Общее количество карточек = 32 + 25 + 47 = 104

Процентное соотношение бейсбольных карточек = 32/104 x 100 = 30,8%

Процентное соотношение футбольных карточек = 25/104 x 100 = 24%

Процентное соотношение баскетбольных карточек = 47/104 x 100 = 45,2%

Обратите внимание, что если сложить все проценты, то получится 100%, что представляет общее количество карточек.

2. На уроке был математический тест. Тест состоял из 5 вопросов; за три из них давали по три 3 балла за каждый, а за осташиеся два - по четыре балла. Вам удалось правильно ответить на два вопроса по 3 балла и на один вопрос по 4 балла. Какое процентное соотношение баллов Вы получили за этот тест?

Решение:

Общее количество = 3x3 + 2x4 = 17 баллов

Полученные балы = 2x3 + 4 = 10 баллов

Процентное соотношение полученных баллов = 10/17 x 100 = 58,8%

3. Вы купили видео игру за \$40. Потом цены на эти игры подняли на 20%. Какова новая цена видео игры?

Решение:

Увеличение цены равно 40 x 20/100 = \$8

Новая цена равна 40 + 8 = \$48

Процентное соотношение (или отношение) двух чисел - это отношение одного числа к другому умноженное на 100%.

Процентное отношение двух чисел можно записать следующей формулой:

Пример процентного отношения

Например есть два числа: 750 и 1100.

Процентное отношение 750 к 1100 равно

Число 750 составляет 68.18% от 1100.

Процентное отношение 1100 к 750 равно

Число 1100 составляет 146.67% от 750.

Пример-задача 1

Норма завода по производству автомобилей составляет 250 машин в месяц. Завод собрал за месяц 315 машин. Вопрос: на сколько процентов завод перевыполнил план?

Процентное отношение 315 к 250 = 315:250*100 = 126% .

План выполнен на 126% . План перевыполнен на 126% - 100% = 26% .

Пример-задача 2

Прибыль компании за 2011 год составила 126 млн $, в 2012 году прибыль составила 89 млн $. Вопрос: на сколько процентов упала прибыль в 2012 году?

Процентное отношение 89 млн к 126 млн = 89:126*100 = 70.63%

Прибыль упала на 100% - 70.63% = 29.37%

То есть имеется числовое значение, которое с течением времени, в силу обстоятельств поменялось. Чтобы найти разницу в процентах, необходимо использовать формулу:

(«новое» число – «старое» число) / «старое» число * 100%.

Задача: Найти разницу в процентах между «старыми» и «новыми» ценами поставщика.

1. Сделаем третий столбец «Динамика в процентах». Назначим для ячеек процентный формат.
2. Поставим курсор в первую ячейку столбца, введем формулу: =(В2-А2)/В2.
3. Нажмем Enter. И протянем формулу вниз.

Разница в процентном отношении имеет положительное и отрицательное значение. Установление процентного формата позволило упростить исходную формулу расчета.

Разница в процентах между двумя числами в формате ячеек по умолчанию («Общий») вычисляется по следующей формуле : =(B1-A1)/(B1/100).

Как умножить на проценты в Excel

Задача: 10 кг соленой воды содержит 15% соли. Сколько килограммов соли в воде?

Решение сводится к одному действию: 10 * 15% = 10 * (15/100) = 1,5 (кг).

Как решить эту задачу в Excel:

1. Ввести в ячейку В2 число 10.
2. Поставить курсор в ячейку C2 и ввести формулу: =В2 * 15%.
3. Нажать Enter.

Нам не пришлось преобразовывать проценты в число, т.к. Excel отлично распознает знак «%».

Если числовые значения в одном столбце, а проценты – в другом, то в формуле достаточно сделать ссылки на ячейки. Например, =B9*A9.

Расчет процентов по кредиту в Excel

Задача: В кредит взяли 200 000 рублей на год. Процентная ставка – 19%. Погашать будем в течение всего срока равными платежами. Вопрос: какой размер ежемесячного платежа при данных условиях кредитования?

Важные условия для выбора функции: постоянство процентной ставки и сумм ежемесячных платежей. Подходящий вариант функция – «ПЛТ()». Она находиться в разделе «Формулы»-«Финансовые»-«ПЛТ»

1. Ставка – процентная ставка по кредиту, разделенная на количество периодов начисления процентов (19%/12, или В2/12).
2. Кпер – число периодов выплат по кредиту (12).
3. ПС – сумма займа (200 000 р., или В1).
4. Поля аргументов «БС» и «Тип» оставим без внимания.

Результат со знаком «-», т.к. деньги кредитополучатель будет отдавать.