«Средняя общеобразовательная школа №51»
На конкурс «Учитель года», школьный этап
План-конспект урока математики для 8 «А» класса
Тема: Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня.
Выполнила:
Учитель математики
Аралбаева Нурслу Еркагалеевна
МОБУ «СОШ №51»
г.Оренбург, 2015г.
Тип урока : систематизация и обобщение знаний.
Методы обучения : проблемный, словесный, наглядный, практический.
Формы классной работы : индивидуальная, парная.
Оборудование :
мел, классная доска
компьютер
мультимедийный проектор с экраном
электронная версия урока - презентация
раздадочный материал (кардочки с заданиями разного уровня)
Цели урока:
Образовательная: обобщить знания по всем видам преобразований выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня, закреплять умения пользоваться свойствами квадратного корня, учиться использовать полученные знания для подготовки к РОЭ.
Развивающая: развитие нестандартного подхода к решению проблемы; развитие мышления, грамотной математической речи, навыков самоконтроля; формировать умение организовывать свою деятельность.
Воспитательная: способствовать развитию интереса к предмету, активности, воспитывать аккуратность в работе, умение выражать собственное мнение, давать рекомендации.
Учащиеся должны знать:
Алгоритм внесения множителя под знак корня.
Алгоритм вынесения множителя из-под знака корня.
Применение свойств квадратного корня.
Определение квадратного корня.
« Величие человека в его способности мыслить ».
Блез Паскаль.
Вступление. Сообщение темы и целей урока.
Выдающийся французский философ, ученый Блез Паскаль утверждал: «Величие человека в его способности мыслить». Сегодня мы попытаемся почувствовать себя великими людьми, открывая знания для себя. Девизом к сегодняшнему уроку будут слова древнегреческого математика Фалеса:
Что есть больше всего на свете? – Пространство.
Что быстрее всего? – Ум.
Что мудрее всего? – Время.
Что приятнее всего? – Достичь желаемого.
Хочется, чтобы каждый из вас на сегодняшнем уроке достиг желаемого результата.
В данный момент в класс стучатся и сообщают о том, что школа получила почту, в которой была бандероль для 8 “А” класса. Учитель вскрывает бандероль, в которой находятся письма для каждого учащегося. Получив конверты, учащиеся знакомятся с содержимым. Один из учеников читает вслух рекомендательное письмо:
Уважаемая Нурслу Еркагалеевна!
Оренбургский Государственный университет предлагает Вам принять участие в международном конкурсе “Дети - наше будущее”. Целью проводимого конкурса является выявление одаренных детей в различных регионах нашей страны и предоставление им возможности обучаться в высших учебных заведениях на государственной основе.
Поскольку профилирующими предметами у нас являются математика, физика, информатика, то для участия в конкурсе “Дети - наше будущее” необходимо выполнить задание по предмету “Математика”. Рекомендации по другим предметам Вы получите позже.
Помните, при положительных результатах у Вас появится шанс на поступление в наш университет.
Желаем удачи!
Учитель:
Ребята, нам предлагают принять участие в конкурсе “Дети - наше будущее” и у Вас появится возможность поступить в ВУЗ. Для этого необходимо выполнить предлагаемые задания. Однако, прежде, чем перейти к выполнению задания, повторим основные моменты по теме.
II Актуализация знаний
Вынести из-под знака корня:
Внести множитель под знак корня:
Возведите в квадрат:
Приведите подобные слагаемые:
Получи рисунок (работа в парах)
III Физминутка
Физкультминутка для глаз
IV Тестовая работа.
Тест из заданий РОЭ
Найти значение выражения:
-2(
) 2
А. 9,6 Б. 0 В. 0,38 Г. 2,4
А. 42 Б. 18 В. 60 Г. 6
Найти значение выражения:
0,5
+ 3
А. 62,93 Б. 0 В. 8,2 Г. 1
Найти значение выражения:
- 0,5 (
) 2
А. 141 Б. 9. В. 6 Г. 0
А. 0 Б. 0,7 В.1 Г.0,1
Найти значение выражения:
-2(
) 2
А. 8,75 Б. 0,1 В. 0,28 Г. 3,6
А. 47 Б. 8 В. 70 Г. 16
Найти значение выражения:
0,5
+ 3
А. 0 Б. 58,61 В. 8,1 Г. 1
Найти значение выражения:
- 0,5 (
) 2
А. 7 Б. 121 В. 6 Г. 0
А. 0 Б. 1 В. 0,3 Г. 0,1
Заполнив таблицу, учащиеся вкладывают выполненное задание в конверт и сдают учителю. Учитель выставляет оценки, благодарит учащихся за работу и сообщает, что на следующем уроке учащиеся получат конверты с результатом и узнают о шансе поступления. VII Итог урока.
Рефлексия
Наша работа подходит к концу и наступает момент творчества. Какой праздник нас ожидает в ближайшее время (Новый год). Мы нарядим «Ёлочку настроения». И пусть она соединит в себе ваше настроение, ваши чувства и эмоции от урока.
Я доволен своей работой на уроке (смайлик соответствующий)
На уроке я работал неплохо.
На уроке мне было трудно.
Пожалуйста, выберите соответствующий вашим эмоциям смайлик, подойдите к доске и повесьте его на ёлочку.
Что же у нас получилось? Очень яркая ёлочка говорит о том, что вы с интересом работали на уроке, узнали много нового, что заставило вас задуматься и изменить свое отношение к алгебре. Я позволю себе добавить несколько штрихов:
- Пусть снежинки окрыляют нас к успеху и творчеству (вешаю снежинки).
- Я надеюсь, что урок принес радость не только мне, но и вам уважаемые мои ученики (Включаем гирлянду).
- А те знания, что вы приобрели, сегодня пусть останутся с вами навсегда.
VIII Задание на дом:
Дифференцированное: уровень А – оценка «3», уровень В – оценка «4», уровень С – оценка «5».
Выставление оценок
Литература:
Программа: для общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г.Мордковича.
Поурочные разработки по алгебре 8 класс О.В.Занина, И.Н. Данкова.
Материал этой статьи стоит рассматривать как часть темы преобразование иррациональных выражений . Здесь мы на примерах разберем все тонкости и нюансы (которых немало), возникающие при проведении преобразований на базе свойств корней.
Навигация по странице.
Вспомним свойства корней
Коль скоро мы собрались разбираться с преобразованием выражений с использованием свойств корней, то не помешает вспомнить основные , а еще лучше записать их на бумагу и расположить перед собой.
Сначала изучаются квадратные корни и следующие их свойства (a , b , a 1 , a 2 , …, a k - действительные числа):
А позже представление о корне расширяется, вводится определение корня n-ой степени, и рассматриваются такие свойства (a , b , a 1 , a 2 , …, a k - действительные числа, m , n , n 1 , n 2 , ..., n k - натуральные числа):
Преобразование выражений с числами под знаками корней
По обыкновению сначала учатся работать с числовыми выражениями, а уже после этого переходят к выражениям с переменными. Так поступим и мы, и сначала разберемся с преобразованием иррациональных выражений, содержащих под знаками корней только числовые выражения, а уже дальше в следующем пункте будем вводить под знаки корней и переменные.
Как это может быть использовано для преобразования выражений? Очень просто: например, иррациональное выражение мы можем заменить выражением или наоборот. То есть, если в составе преобразовываемого выражения содержится выражение, совпадающее по виду с выражением из левой (правой) части любого из перечисленных свойств корней, то его можно заменить соответствующим выражением из правой (левой) части. В этом и состоит преобразование выражений с использованием свойств корней.
Приведем еще несколько примеров.
Упростим выражение . Числа 3
, 5
и 7
положительные, поэтому мы можем спокойно применять свойства корней. Здесь можно действовать по-разному. Например, корень на базе свойства можно представить как , а корень с использованием свойства при k=3
- как , при таком подходе решение будет иметь такой вид:
Можно было поступить иначе, заменив на , и дальше на , в этом случае решение выглядело бы так:
Возможны и другие варианты решения, например, такой:
Разберем решение еще одного примера. Преобразуем выражение . Взглянув на список свойств корней, выбираем из него нужные нам свойства для решения примера, понятно, что здесь пригодятся два из них и , которые справедливы для любых a
. Имеем:
Как вариант, сначала можно было преобразовать выражения под знаками корней с использованием
а уже дальше применять свойства корней
До этого момента мы преобразовывали выражения, которые содержат только квадратные корни. Пришло время поработать с корнями, имеющими другие показатели.
Пример.
Преобразуйте иррациональное выражение .
Решение.
По свойству первый множитель заданного произведения можно заменить числом −2
:
Идем дальше. Второй множитель в силу свойства можно представить как , а 81
не помешает заменить четверной степенью тройки, так как в остальных множителях под знаками корней фигурирует число 3
:
Корень из дроби целесообразно заменить отношением корней вида , которое можно преобразовать и дальше: . Имеем
Полученное выражение после выполнения действий с двойками примет вид , и остается преобразовать произведение корней.
Для преобразования произведений корней их обычно приводят к одному показателю, в качестве которого целесообразно брать показателей всех корней. В нашем случае НОК(12, 6, 12)=12
, и к этому показателю придется приводить лишь корень , так как остальные два корня уже имеют такой показатель. Справиться с этой задачей позволяет равенство , которое применяют справа налево. Так . Учитывая этот результат, имеем
Теперь произведение корней можно заменить корнем произведения и выполнить остальные, уже очевидные, преобразования:
Оформим краткий вариант решения:
Ответ:
.
Отдельно подчеркнем, что для применения свойств корней необходимо учитывать ограничения, наложенные на числа под знаками корней (a≥0 и т.п.). Их игнорирование может спровоцировать возникновение неверных результатов. Например, мы знаем, что свойство имеет место для неотрицательных a . На его основе мы спокойно можем перейти, к примеру, от к , так как 8 – положительное число. А вот если взять имеющий смысл корень из отрицательного числа, например, , и на базе указанного выше свойства заменить его на , то мы фактически заменим −2 на 2 . Действительно, , а . То есть, при отрицательных a равенство может быть и неверным, как могут быть неверными и другие свойства корней без учета оговоренных для них условий.
Но сказанное в предыдущем пункте вовсе не означает, что выражения с отрицательными числами под знаками корней невозможно преобразовывать с использованием свойств корней. Их просто предварительно нужно «подготовить», применив правила действий с числами или воспользовавшись определением корня нечетной степени из отрицательного числа, которому соответствует равенство , где −a – отрицательное число (при этом a – положительное). Например, нельзя сразу заменить на , так как −2 и −3 – отрицательные числа, но позволяет нам от корня перейти к , и уже дальше применять свойство корня из произведения: . А в одном из предыдущих примеров переходить от корня к корню восемнадцатой степени нужно было не так , а так .
Итак, для преобразования выражений с использованием свойств корней, надо
- выбрать подходящее свойство из списка,
- убедиться, что числа под корнем удовлетворяют условиям для выбранного свойства (в противном случае требуется выполнить предварительные преобразования),
- и провести задуманное преобразование.
Преобразование выражений с переменными под знаками корней
Для преобразования иррациональных выражений, содержащих под знаком корня не только числа, но и переменные, свойства корней, перечисленные в первом пункте этой статьи, приходится применять аккуратно. Связано это по большей части с условиями, которым должны удовлетворять числа, участвующие в формулах. Например, опираясь на формулу , выражение можно заменить выражением лишь для таких значений x , которые удовлетворяют условиям x≥0 и x+1≥0 , так как указанная формула задана для a≥0 и b≥0 .
Чем опасно игнорирование этих условий? Ответ на этот вопрос наглядно демонстрирует следующий пример. Допустим, нам нужно вычислить значение выражения при x=−2 . Если сразу подставить вместо переменной x число −2 , то получим нужное нам значение . А теперь представим, что мы, исходя из каких-то соображений, преобразовали заданное выражение к виду , и только после этого решили вычислить значение. Подставляем вместо x число −2 и приходим к выражению , которое не имеет смысла.
Давайте проследим, что происходит с областью допустимых значений (ОДЗ) переменной x при переходе от выражения к выражению . ОДЗ мы упомянули не случайно, так как это серьезный инструмент контроля допустимости проделанных преобразований, и изменение ОДЗ после преобразования выражения должно как минимум насторожить. Найти ОДЗ для указанных выражений не составляет труда. Для выражения ОДЗ определяется из неравенства x·(x+1)≥0 , его решение дает числовое множество (−∞, −1]∪∪}