Простейшие следствия из определения векторного пространства. Линейные пространства: определение и примеры. Линейно зависимые и независимые векторы. Размерность и базис пространства

Линейным (векторным) пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, т.е. любым двум векторам \mathbf{u} и {\mathbf{v}} поставлен в соответствие вектор \mathbf{u}+\mathbf{v} , называемый суммой векторов \mathbf{u} и {\mathbf{v}} , любому вектору {\mathbf{v}} и любому числу \lambda из поля действительных чисел \mathbb{R} поставлен в соответствие вектор \lambda \mathbf{v} , называемый произведением вектора \mathbf{v} на число \lambda ; так что выполняются следующие условия:


1. \mathbf{u}+ \mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}\,~\forall \mathbf{u},\mathbf{v}\in V (коммутативность сложения);
2. \mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})=(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}\,~\forall \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in V (ассоциативность сложения);
3. существует такой элемент \mathbf{o}\in V , называемый нулевым вектором, что \mathbf{v}+\mathbf{o}=\mathbf{v}\,~\forall \mathbf{v}\in V ;
4. для каждого вектора {\mathbf{v}} существует такой вектор , называемый противоположным вектору \mathbf{v} , что \mathbf{v}+(-\mathbf{v})=\mathbf{o} ;
5. \lambda(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\lambda \mathbf{u}+\lambda \mathbf{v}\,~\forall \mathbf{u},\mathbf{v}\in V,~\forall \lambda\in \mathbb{R} ;
6. (\lambda+\mu)\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}+\mu \mathbf{v}\,~ \forall \mathbf{v}\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb{R} ;
7. \lambda(\mu \mathbf{v})=(\lambda\mu)\mathbf{v}\,~ \forall \mathbf{v}\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb{R} ;
8. 1\cdot \mathbf{v}=\mathbf{v}\,~\forall \mathbf{v}\in V .


Условия 1-8 называются аксиомами линейного пространства . Знак равенства, поставленный между векторами, означает, что в левой и правой частях равенства представлен один и тот же элемент множества V , такие векторы называются равными.


В определении линейного пространства операция умножения вектора на число введена для действительных чисел. Такое пространство называют линейным пространством над полем действительных (вещественных) чисел , или, короче, вещественным линейным пространством . Если в определении вместо поля \mathbb{R} действительных чисел взять поле комплексных чисел \mathbb{C} , то получим линейное пространство над полем комплексных чисел , или, короче, комплексное линейное пространство . В качестве числового поля можно выбрать и поле \mathbb{Q} рациональных чисел, при этом получим линейное пространство над полем рациональных чисел. Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться вещественные линейные пространства. В некоторых случаях для краткости будем говорить о пространстве, опуская слово линейное, так как все пространства, рассматриваемые ниже - линейные.

Замечания 8.1


1. Аксиомы 1-4 показывают, что линейное пространство является коммутативной группой относительно операции сложения.


2. Аксиомы 5 и 6 определяют дистрибутивность операции умножения вектора на число по отношению к операции сложения векторов (аксиома 5) или к операции сложения чисел (аксиома 6). Аксиома 7, иногда называемая законом ассоциативности умножения на число, выражает связь двух разных операций: умножения вектора на число и умножения чисел. Свойство, определяемое аксиомой 8, называется унитарностью операции умножения вектора на число.


3. Линейное пространство - это непустое множество, так как обязательно содержит нулевой вектор.


4. Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами.


5. Разностью векторов \mathbf{u} и \mathbf{v} называется сумма вектора \mathbf{u} с противоположным вектором (-\mathbf{v}) и обозначается: \mathbf{u}-\mathbf{v}=\mathbf{u}+(-\mathbf{v}) .


6. Два ненулевых вектора \mathbf{u} и \mathbf{v} называются коллинеарными (пропорциональными), если существует такое число \lambda , что \mathbf{v}=\lambda \mathbf{u} . Понятие коллинеарности распространяется на любое конечное число векторов. Нулевой вектор \mathbf{o} считается коллинеарным с любым вектором.

Следствия аксиом линейного пространства

1. В линейном пространстве существует единственный нулевой вектор.


2. В линейном пространстве для любого вектора \mathbf{v}\in V существует единственный противоположный вектор (-\mathbf{v})\in V .


3. Произведение произвольного вектора пространства на число нуль равно нулевому вектору, т.е. 0\cdot \mathbf{v}=\mathbf{o}\,~\forall \mathbf{v}\in V .


4. Произведение нулевого вектора на любое число равно нулевому вектору, т.е для любого числа \lambda .


5. Вектор, противоположный данному вектору, равен произведению данного вектора на число (-1), т.е. (-\mathbf{v})=(-1)\mathbf{v}\,~\forall \mathbf{v}\in V .


6. В выражениях вида \mathbf{a+b+\ldots+z} (сумма конечного числа векторов) или \alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot \mathbf{v} (произведение вектора на конечное число множителей) можно расставлять скобки в любом порядке, либо вообще не указывать.


Докажем, например, первые два свойства. Единственность нулевого вектора. Если \mathbf{o} и \mathbf{o}" - два нулевых вектора, то по аксиоме 3 получаем два равенства: \mathbf{o}"+\mathbf{o}=\mathbf{o}" или \mathbf{o}+\mathbf{o}"=\mathbf{o} , левые части которых равны по аксиоме 1. Следовательно, равны и правые части, т.е. \mathbf{o}=\mathbf{o}" . Единственность противоположного вектора. Если вектор \mathbf{v}\in V имеет два противоположных вектора (-\mathbf{v}) и (-\mathbf{v})" , то по аксиомам 2, 3,4 получаем их равенство:


(-\mathbf{v})"=(-\mathbf{v})"+\underbrace{\mathbf{v}+(-\mathbf{v})}_{\mathbf{o}}= \underbrace{(-\mathbf{v})"+\mathbf{v}}_{\mathbf{o}}+(-\mathbf{v})=(-\mathbf{v}).


Остальные свойства доказываются аналогично.

Примеры линейных пространств

1. Обозначим \{\mathbf{o}\} - множество, содержащее один нулевой вектор, с операциями \mathbf{o}+ \mathbf{o}=\mathbf{o} и \lambda \mathbf{o}=\mathbf{o} . Для указанных операций аксиомы 1-8 выполняются. Следовательно, множество \{\mathbf{o}\} является линейным пространством над любым числовым полем. Это линейное пространство называется нулевым.


2. Обозначим V_1,\,V_2,\,V_3 - множества векторов (направленных отрезков) на прямой, на плоскости, в пространстве соответственно с обычными операциями сложения векторов и умножения векторов на число. Выполнение аксиом 1-8 линейного пространства следует из курса элементарной геометрии. Следовательно, множества V_1,\,V_2,\,V_3 являются вещественными линейными пространствами. Вместо свободных векторов можно рассмотреть соответствующие множества радиус-векторов. Например, множество векторов на плоскости, имеющих общее начало, т.е. отложенных от одной фиксированной точки плоскости, является вещественным линейным пространством. Множество радиус-векторов единичной длины не образует линейное пространство, так как для любого из этих векторов сумма \mathbf{v}+\mathbf{v} не принадлежит рассматриваемому множеству.


3. Обозначим \mathbb{R}^n - множество матриц-столбцов размеров n\times1 с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором в этом множестве служит нулевой столбец o=\begin{pmatrix}0&\cdots&0\end{pmatrix}^T . Следовательно, множество \mathbb{R}^n является вещественным линейным пространством. Аналогично, множество \mathbb{C}^n столбцов размеров n\times1 с комплексными элементами является комплексным линейным пространством. Множество матриц-столбцов с неотрицательными действительными элементами, напротив, не является линейным пространством, так как не содержит противоположных векторов.


4. Обозначим \{Ax=o\} - множество решений однородной системы Ax=o линейных алгебраических уравнений с и неизвестными (где A - действительная матрица системы), рассматриваемое как множество столбцов размеров n\times1 с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Заметим, что эти операции действительно определены на множестве \{Ax=o\} . Из свойства 1 решений однородной системы (см. разд. 5.5) следует, что сумма двух решений однородной системы и произведение ее решения на число также являются решениями однородной системы, т.е. принадлежат множеству \{Ax=o\} . Аксиомы линейного пространства для столбцов выполняются (см. пункт 3 в примерах линейных пространств). Поэтому множество решений однородной системы является вещественным линейным пространством.


Множество \{Ax=b\} решений неоднородной системы Ax=b,~b\ne o , напротив, не является линейным пространством, хотя бы потому, что не содержит нулевого элемента (x=o не является решением неоднородной системы).


5. Обозначим M_{m\times n} - множество матриц размеров m\times n с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором является нулевая матрица O соответствующих размеров. Следовательно, множество M_{m\times n} является линейным пространством.


6. Обозначим P(\mathbb{C}) - множество многочленов одной переменной с комплексными коэффициентами. Операции сложения много членов и умножения многочлена на число, рассматриваемое как многочлен нулевой степени, определены и удовлетворяют аксиомам 1-8 (в частности, нулевым вектором является многочлен, тождественно равный нулю). Поэтому множество P(\mathbb{C}) является линейным пространством над полем комплексных чисел. Множество P(\mathbb{R}) многочленов с действительными коэффициентами также является линейным пространством (но, разумеется, над полем действительных чисел). Множество P_n(\mathbb{R}) многочленов степени не выше, чем n , с действительными коэффициентами также является вещественным линейным пространством. Заметим, что операция сложения много членов определена на этом множестве, так как степень суммы многочленов не превышает степеней слагаемых.


Множество многочленов степени n не является линейным пространством, так как сумма таких многочленов может оказаться многочленом меньшей степени, не принадлежащим рассматриваемому множеству. Множество всех многочленов степени не выше, чем л, с положительными коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку при умножении такого многочлена на отрицательное число получим многочлен, не принадлежащий этому множеству.


7. Обозначим C(\mathbb{R}) - множество действительных функций, определенных и непрерывных на \mathbb{R} . Сумма (f+g) функций f,g и произведение \lambda f функции f на действительное число \lambda определяются равенствами:


(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x) для всех x\in \mathbb{R}


Эти операции действительно определены на C(\mathbb{R}) , так как сумма непрерывных функций и произведение непрерывной функции на число являются непрерывными функциями, т.е. элементами C(\mathbb{R}) . Проверим выполнение аксиом линейного пространства. Из коммутативности сложения действительных чисел следует справедливость равенства f(x)+g(x)=g(x)+f(x) для любого x\in \mathbb{R} . По этому f+g=g+f , т.е. аксиома 1 выполняется. Аксиома 2 следует аналогично из ассоциативности сложения. Нулевым вектором служит функция o(x) , тождественно равная нулю, которая, разумеется, является непрерывной. Для любой функции f выполняется равенство f(x)+o(x)=f(x) , т.е. справедлива аксиома 3. Противоположным вектором для вектора f будет функция (-f)(x)=-f(x) . Тогда f+(-f)=o (аксиома 4 выполняется). Аксиомы 5, 6 следуют из дистрибутивности операций сложения и умножения действительных чисел, а аксиома 7 - из ассоциативности умножения чисел. Последняя аксиома выполняется, так как умножение на единицу не изменяет функцию: 1\cdot f(x)=f(x) для любого x\in \mathbb{R} , т.е. 1\cdot f=f . Таким образом, рассматриваемое множество C(\mathbb{R}) с введенными операциями является вещественным линейным пространством. Аналогично доказывается, что C^1(\mathbb{R}),C^2(\mathbb{R}), \ldots, C^m(\mathbb{R}) - множества функций, имеющих непрерывные производные первого, второго.и т.д. порядков соответственно, также являются линейными пространствами.


Обозначим - множество тригонометрических двучленов (часто ты \omega\ne0 ) с действительными коэффициентами, т.е. множество функций вида f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t , где a\in \mathbb{R},~b\in \mathbb{R} . Сумма таких двучленов и про изведение двучлена на действительное число являются тригонометрическим двучленом. Аксиомы линейного пространства для рассматриваемого множества выполняются (так как T_{\omega}(\mathbb{R})\subset C(\mathbb{R}) ). Поэтому множество T_{\omega}(\mathbb{R}) с обычными для функций операциями сложения и умножения на число является вещественным линейным пространством. Нулевым элементом служит двучлен o(t)=0\cdot\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t , тождественно равный нулю.


Множество действительных функций, определенных и монотонных на \mathbb{R} , не является линейным пространством, так как разность двух монотонных функций может оказаться немонотонной функцией.


8. Обозначим \mathbb{R}^X - множество действительных функций, определенных на множестве X , с операциями:


(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\quad \forall x\in X


Оно является вещественным линейным пространтвом (доказательство такое же, как в предыдущем примере). При этом множество X может быть выбрано произвольно. В частности, если X=\{1,2,\ldots,n\} , то f(X) - упорядоченный набор чисел f_1,f_2,\ldots,f_n , где f_i=f(i),~i=1,\ldots,n Такой набор можно считать матрицей-столбцом размеров n\times1 , т.е. множество \mathbb{R}^{\{1,2,\ldots,n\}} совпадает с множеством \mathbb{R}^n (см. пункт 3 примеров линейных пространств). Если X=\mathbb{N} (напомним, что \mathbb{N} - множество натуральных чисел), то получаем линейное пространство \mathbb{R}^{\mathbb{N}} - множество числовых последовательностей \{f(i)\}_{i=1}^{\infty} . В частности, множество сходящихся числовых последовательностей также образует линейное пространство, так как сумма двух сходящихся последовательностей сходится, и при умножении всех членов сходящейся последовательности на число получаем сходящуюся последовательность. Напротив, множество расходящихся последовательностей не является линейным пространством, так как, например, сумма расходящихся последовательностей может иметь предел.


9. Обозначим \mathbb{R}^{+} - множество положительных действительных чисел, в котором сумма a\oplus b и произведение \lambda\ast a (обозначения в этом примере отличаются от обычных) определены равенствами: a\oplus b=ab,~ \lambda\ast a=a^{\lambda} , другими словами, сумма элементов понимается как произведение чисел, а умножение элемента на число - как возведение в степень. Обе операции действительно определены на множестве \mathbb{R}^{+} , так как произведение положительных чисел есть положительное число и любая действительная степень положительного числа есть положительное число. Проверим справедливость аксиом. Равенства


a\oplus b=ab=ba=b\oplus a,\quad a\oplus(b\oplus c)=a(bc)=(ab)c=(a\oplus b)\oplus c


показывают, что аксиомы 1, 2 выполняются. Нулевым вектором данного множества является единица, так как a\oplus1=a\cdot1=a , т.е. o=1 . Противоположным для a вектором является вектор \frac{1}{a} , который определен, так как a\ne o . В самом деле, a\oplus\frac{1}{a}=a\cdot\frac{1}{a}=1=o . Проверим выполнение аксиом 5, 6,7,8:


\begin{gathered} \mathsf{5)}\quad \lambda\ast(a\oplus b)=(a\cdot b)^{\lambda}= a^{\lambda}\cdot b^{\lambda}= \lambda\ast a\oplus \lambda\ast b\,;\hfill\\ \mathsf{6)}\quad (\lambda+ \mu)\ast a=a^{\lambda+\mu}=a^{\lambda}\cdot a^{\mu}=\lambda\ast a\oplus\mu\ast a\,;\hfill\\ \mathsf{7)} \quad \lambda\ast(\mu\ast a)=(a^{\mu})^{\lambda}=a^{\lambda\mu}=(\lambda\cdot \mu)\ast a\,;\hfill\\ \mathsf{8)}\quad 1\ast a=a^1=a\,.\hfill \end{gathered}


Все аксиомы выполняются. Следовательно, рассматриваемое множество является вещественным линейным пространством.

10. Пусть V - вещественное линейное пространство. Рассмотрим множество определенных на V линейных скалярных функций, т.е. функций f\colon V\to \mathbb{R} , принимающих действительные значения и удовлетворяющих условиям:


f(\mathbf{u}+\mathbf{v})=f(u)+f(v)~~ \forall u,v\in V (аддитивность);


f(\lambda v)=\lambda\cdot f(v)~~ \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb{R} (однородность).


Линейные операции над линейными функциями задаются также, как в пункте 8 примеров линейных пространств. Сумма f+g и произведение \lambda\cdot f определяются равенствами:


(f+g)(v)=f(v)+g(v)\quad \forall v\in V;\qquad (\lambda f)(v)=\lambda f(v)\quad \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb{R}.


Выполнение аксиом линейного пространства подтверждается также, как в пункте 8. Поэтому множество линейных функций, определенных на линейном пространстве V , является линейным пространством. Это пространство называется сопряженным к пространству V и обозначается V^{\ast} . Его элементы называют ковекторами.


Например, множество линейных форм n переменных, рассматриваемых как множество скалярных функций векторного аргумента, является линейным пространством, сопряженным к пространству \mathbb{R}^n .

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Лекция 6. Векторное пространство.

Основные вопросы.

1. Векторное линейное пространство.

2. Базис и размерность пространства.

3. Ориентация пространства.

4. Разложение вектора по базису.

5. Координаты вектора.

1. Векторное линейное пространство.

Множество, состоящее из элементов какой угодно природы, в которых определены линейные операции: сложение двух элементов и умножение элемента на число называются пространствами , а их элементы – векторами этого пространства и обозначаются так же, как и векторные величины в гео-метрии: . Векторы таких абстрактных пространств, как правило, ничего общего не имеют с обычными геометрическими векторами. Элемен-тами абстрактных пространств могут быть функции, система чисел, матрицы и т. д., а в частном случае и обычные векторы. Поэтому такие пространства принято называть векторными пространствами .

Векторными пространствами являются, например , множество колли-неарных векторов, обозначаемое V 1 , множество компланарных векторов V 2 , множество векторов обычного (реального пространства) V 3 .

Для этого частного случая можно дать следующее определение век-торного пространства.

Определение 1. Множество векторов называется векторным прост-ранством , если линейная комбинация любых векто-ров множества также является вектором этого мно-жества. Сами векторы называются элементами век-торного пространства.

Более важным как в теоретическом, так и в прикладном отношении яв-ляется общее (абстрактное) понятие векторного пространства.


Определение 2. Множество R элементов , в котором для лю-бых двух элементов и определена сум-ма и для любого элемента https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> называется векторным (или линейным) про-странством , а его элементы – векторами, если опера-ции сложения векторов и умножение вектора на число удовлетворяют следующим условиям (аксиомам ) :

1) сложение коммутативно, т. е..gif" width="184" height="25">;

3) существует такой элемент (нулевой вектор), что для любого https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width="99" height="27">;

5) для любых векторов и и любого чис-ла λ имеет место равенство ;

6) для любых векторов и любых чисел λ и µ справедливо равенство https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> и любых чисел λ и µ справедли-во ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20"> .

Из аксиом, определяющих векторное пространство, вытекают прос-тейшие следствия :

1. В векторном пространстве существует только один нуль – элемент – нулевой вектор.

2. В векторном пространстве каждый вектор имеет единственный проти-воположный вектор.

3. Для каждого элемента выполняется равенство .

4. Для любого действительного числа λ и нулевого вектора https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> называется вектор , удовлетворяющий равенству https://pandia.ru/text/80/142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Итак, действительно, и множество всех геометрических векторов являет-ся линейным (векторным) пространством, так как для элементов этого мно-жества определены действия сложения и умножения на число, удовлетворя-ющие сформулированным аксиомам.

2. Базис и размерность пространства.

Существенными понятиями векторного пространства являются понятия базиса и размерность.

Определение. Совокупность линейно независимых векторов, взятых в определенном порядке, через которые линейно выражается любой вектор пространства, называется базисом этого пространства. Векторы. Составляющие базис пространства, называется базисным .

Базисом множества векторов, расположенных на произвольной прямой, можно считать один коллинеарный этой прямой вектор .

Базисом на плоскости назовем два неколлинеарных вектора на этой пло-скости, взятые в определенном порядке https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24"> .

Если базисные векторы попарно перпендикулярны (ортогональны), то базис называется ортогональным , а если эти векторы имеют длину, равную единице, то базис называется ортонормированным .

Наибольшее число линейно независимых векторов пространства называ-ется размерностью этого пространства, т. е. размерность пространства сов-падает с числом базисных векторов этого пространства.

Итак, в соответствии с данными определениями:

1. Одномерным пространством V 1 является прямая линия, а базис состо-ит из одного коллинеарного вектора https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Обычное пространство является трехмерным пространством V 3 , базис которого состоит из трех некомпланарных векторов .

Отсюда мы видим, что число базисных векторов на прямой, на плос-кости, в реальном пространстве совпадает с тем, что в геометрии принято на-зывать числом измерений (размерностью) прямой, плоскости, пространства. Поэтому естественно ввести более общее определение.


Определение. Векторное пространство R называется n – мерным, если в нем существует не более n линейно неза-висимых векторов и обозначается R n . Число n на-зывается размерностью пространства.

В соответствии с размерностью пространства делятся на конечномерные и бесконечномерные . Размерность нулевого пространства по определению считается равной нулю.

Замечание 1. В каждом пространстве можно указать сколько угодно базисов, но при этом все базисы данного пространства состоят из одного и того же числа векторов.

Замечание 2. В n – мерном векторном пространстве базисом назы-вают любую упорядоченную совокупность n линейно независимых векторов.

3. Ориентация пространства.

Пусть базисные векторы в пространстве V 3 имеют общее начало и упорядочены , т. е. указано какой вектор считается первым, какой – вторым и какой – третьим. Например, в базисе век-торы упорядочены согласно индек-сации.

Для того чтобы ориентировать пространство, необходимо задать какой-нибудь базис и объявить его положительным .

Можно показать, что множество всех базисов пространства распадается на два класса, т. е. на два непересекающихся подмножества.

а) все базисы, принадлежащие одному подмножеству (классу), имеют одинаковую ориентацию (одноименные базисы) ;

б) всякие два базиса, принадлежащие различным подмножествам (кла-ссами), имеют противоположную ориентацию, (разноименные базисы) .

Если один из двух классов базисов пространства объявлен положитель-ным, а другой – отрицательным, то говорят, что это пространство ориенти-ровано .

Часто при ориентации пространства одни базисы называют правыми , а другие – левыми .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> называют правым , если при наблюдении с конца третьего вектора кратчайший поворот пер-вого вектора https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23"> осуществляется против часовой стрелки (рис. 1.8, а).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Рис. 1.8. Правый базис (а) и левый базис (б)

Обычно положительным базисом объявляется правый базис пространства

Правый (левый) базис пространства может быть определен и с помощью правила «правого» («левого») винта или буравчика.

По аналогии с этим вводится понятие правой и левой тройки некомпла-нарных векторов , которые должны быть упорядочены (рис.1.8).

Таким образом, в общем случае две упорядоченные тройки некомпла-нарных векторов имеют одинаковую ориентацию (одноименны) в пространстве V 3 если они обе правые или обе левые, и – противоположную ориентацию (разноименны), если одна из них правая, а другая левая.

Аналогично поступают и в случае пространства V 2 (плоскости).

4. Разложение вектора по базису.

Этот вопрос для простоты рассуждений рассмотрим на примере трех-мерного векторного пространства R 3 .

Пусть https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> - произвольный вектор этого пространства.

4.3.1 Определение линейного пространства

Пусть ā , , - элементы некоторого множества ā , , L и λ , μ - действительные числа, λ , μ R ..

Множество L называется линейным или векторным пространством, если определены две операции:

1 0 . Сложение. Каждой паре элементов этого множества поставлен в соответствие элемент того же множества, называемый их суммой

ā + =

2°. Умножение на число. Любому действительному числу λ и элементу ā L ставится в соответствие элемент того же множества λ ā L и выполняются следующие свойства:

1. ā+ = + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. существуетнулевой элемент
, такой, что ā +=ā ;

4. существуетпротивоположный элемент -
такой, что ā +(-ā )=.

Если λ , μ - действительные числа, то:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Элементы линейного пространства ā, , ... называют векторами.

Упражнение. Покажите самостоятельно, что данные множества образуют линейные пространства:

1) Множество геометрических векторов на плоскости;

2) Множество геометрических векторов в трехмерном пространстве;

3) Множество многочленов некоторой степени;

4) Множество матриц одинаковой размерности.

4.3.2 Линейно зависимые и независимые векторы. Размерность и базис пространства

Линейной комбинацией векторов ā 1 , ā 2 , …, ā n L называется вектор того же пространства вида:

,

где λ i - действительные числа.

Векторы ā 1 , .. , ā n называются линейно независимыми, если их линейная комбинация будет нулевым вектором в том и только в том случае, когда все λ i равны нулю, то есть

λ i =0

Если же линейная комбинация будет нулевым вектором и хотя бы один из λ i отличен от нуля, то эти векторы называются линейно-зависимыми. Последнее означает, что хотя бы один из векторов может быть представлен как линейная комбинация других векторов. Действительно, пусть и, например,
. тогда,
, где

.

Максимально линейно-независимая упорядоченная система векторов называется базисом пространства L . Число векторов базиса называется размерностью пространства.

Допустим, что существует n линейно-независимых векторов, тогда пространство называют n -мерным. Другие векторы пространства могут быть представлены как линейная комбинация n векторов базиса. За базис n - мерного пространства можно взять любые n линейно-независимых векторов этого пространства.

Пример 17. Найти базис и размерность данных линейных пространств:

а) множества векторов, лежащих на прямой (коллинеарных некоторой прямой)

б) множество векторов, принадлежащих плоскости

в) множество векторов трёхмерного пространства

г) множество многочленов степени не выше второй.

Решение.

а) Любые два вектора, лежащие на прямой будут линейно-зависимыми, так как вектора коллинеарные
, то
, λ - скаляр. Следовательно, базисом данного пространства является только один (любой) вектор, отличный от нулевого.

Обычно это пространство обозначают R , размерность его равна 1.

б) любые два неколлинеарные векторы
будут линейно-независимы, а любые три вектора на плоскости - линейно-зависимы. Для любого вектора , существуют числа и такие, что
. Пространство называют двумерным, обозначают R 2 .

Базис двумерного пространства образуют любые два неколлинеарных вектора.

в) Любые три некомпланарные векторы будут линейно независимые, они образуют базис трехмерного пространства R 3 .

г) В качестве базиса пространства многочленов степени не выше второй можно выбрать такие три вектора: ē 1 = x 2 ; ē 2 = x ; ē 3 =1 .

(1 - это многочлен, тождественно равный единице). Данное пространство будет трехмерным.

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Ве́кторное (или лине́йное ) простра́нство - математическая структура , которая представляет собой набор элементов, называемых векторами , для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число - скаляр . Эти операции подчинены восьми аксиомам. Скаляры могут быть элементами вещественного , комплексного или любого другого поля чисел . Частным случаем подобного пространства является обычное трехмерное евклидово пространство, векторы которого используются, к примеру, для представления физических сил . При этом следует отметить, что вектор как элемент векторного пространства не обязательно должен быть задан в виде направленного отрезка . Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы .

Векторные пространства являются предметом изучения линейной алгебры . Одна из главных характеристик векторного пространства - его размерность. Размерность представляет собой максимальное число линейно независимых элементов пространства, то есть, прибегая к грубому геометрическому описанию, число направлений, невыразимых друг через друга посредством только операций сложения и умножения на скаляр. Векторное пространство можно наделить дополнительными структурами, например, нормой или скалярным произведением . Подобные пространства естественным образом появляются в математическом анализе , преимущественно в виде бесконечномерных функциональных пространств (англ. ), где в качестве векторов выступают функции . Многие проблемы анализа требуют выяснить, сходится ли последовательность векторов к данному вектору. Рассмотрение таких вопросов возможно в векторных пространствах с дополнительной структурой, в большинстве случаев - подходящей топологией , что позволяет определить понятия близости и непрерывности . Такие топологические векторные пространства , в частности, банаховы и гильбертовы , допускают более глубокое изучение.

Кроме векторов, линейная алгебра изучает также тензоры более высокого ранга (скаляр считается тензором ранга 0, вектор - тензором ранга 1).

Первые труды, предвосхитившие введение понятия векторного пространства, относятся к XVII веку . Именно тогда своё развитие получили аналитическая геометрия , учения о матрицах , системах линейных уравнений , евклидовых векторах .

Определение

Линейное , или векторное пространство V \left(F \right) над полем F - это упорядоченная четвёрка (V,F,+,\cdot), где

  • V - непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами ;
  • F - (алгебраическое) поле, элементы которого называются скалярами ;
  • Определена операция сложения векторов V\times V\to V , сопоставляющая каждой паре элементов \mathbf{x}, \mathbf{y} множества V V, называемый их суммой и обозначаемый \mathbf{x} + \mathbf{y};
  • Определена операция умножения векторов на скаляры F\times V\to V , сопоставляющая каждому элементу \lambda поля F и каждому элементу \mathbf{x} множества V единственный элемент множества V, обозначаемый \lambda\cdot \mathbf{x} или \lambda\mathbf{x};

Векторные пространства, заданные на одном и том же множестве элементов, но над различными полями, будут различными векторными пространствами (например, множество пар действительных чисел \mathbb{R}^2 может быть двумерным векторным пространством над полем действительных чисел либо одномерным - над полем комплексных чисел).

Простейшие свойства

  1. Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
  2. Нейтральный элемент \mathbf{0} \in V
  3. 0\cdot\mathbf{x} = \mathbf{0} для любого \mathbf{x} \in V.
  4. Для любого \mathbf{x} \in V противоположный элемент -\mathbf{x} \in V является единственным, что вытекает из групповых свойств.
  5. 1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x} для любого \mathbf{x} \in V.
  6. (-\alpha)\cdot\mathbf{x} = \alpha\cdot(-\mathbf{x}) = -(\alpha\mathbf{x}) для любых \alpha \in F и \mathbf{x} \in V.
  7. \alpha\cdot \mathbf{0} = \mathbf{0} для любого \alpha \in F.

Связанные определения и свойства

Подпространство

Алгебраическое определение: Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество K линейного пространства V такое, что K само является линейным пространством по отношению к определенным в V действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как \mathrm{Lat}(V). Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

  1. для всякого вектора \mathbf{x}\in K, вектор \alpha\mathbf{x} также принадлежал K, при любом \alpha\in F;
  2. для всяких векторов \mathbf{x}, \mathbf{y} \in K, вектор \mathbf{x}+\mathbf{y} также принадлежал K.

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

Для всяких векторов \mathbf{x}, \mathbf{y} \in K, вектор \alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y} также принадлежал K для любых \alpha, \beta \in F.

В частности, векторное пространство, состоящее из одного лишь нулевого вектора, является подпространством любого пространства; любое пространство является подпространством самого себя. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными .

Свойства подпространств

  • Пересечение любого семейства подпространств - снова подпространство;
  • Сумма подпространств \{K_i\quad|\quad i \in 1\ldots N\} определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов K_i: \sum_{i=1}^N {K_i}:= \{\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2 + \ldots + \mathbf{x}_N\quad|\quad \mathbf{x}_i \in K_i\quad (i\in 1\ldots N)\}.
    • Сумма конечного семейства подпространств - снова подпространство.

Линейные комбинации

Конечная сумма вида

\alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n

Линейная комбинация называется:

Базис. Размерность

Векторы \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n называются линейно зависимыми , если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю:

\alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n = \mathbf{0}, \quad \ |\alpha_1| + |\alpha_2| + \ldots + |\alpha_n| \neq 0.

В противном случае эти векторы называются линейно независимыми .

Данное определение допускает следующее обобщение: бесконечное множество векторов из V называется линейно зависимым , если линейно зависимо некоторое конечное его подмножество, и линейно независимым , если любое его конечное подмножество линейно независимо.

Свойства базиса:

  • Любые n линейно независимых элементов n-мерного пространства образуют базис этого пространства.
  • Любой вектор \mathbf{x} \in V можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:
\mathbf{x} = \alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n.

Линейная оболочка

Линейная оболочка \mathcal V(X) подмножества X линейного пространства V - пересечение всех подпространств V, содержащих X.

Линейная оболочка является подпространством V.

Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным X. Говорят также, что линейная оболочка \mathcal V(X) - пространство, натянутое на множество X.

Линейная оболочка \mathcal V(X) состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из X. В частности, если X - конечное множество, то \mathcal V(X) состоит из всех линейных комбинаций элементов X. Таким образом, нулевой вектор всегда принадлежит линейной оболочке.

Если X - линейно независимое множество, то оно является базисом \mathcal V(X) и тем самым определяет его размерность.

Примеры

  • Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.
  • Пространство всех функций X\to F с конечным носителем образует векторное пространство размерности равной мощности X.
  • Поле действительных чисел может быть рассмотрено как континуально -мерное векторное пространство над полем рациональных чисел .
  • Любое поле является одномерным пространством над собой.

Дополнительные структуры

См. также

Напишите отзыв о статье "Векторное пространство"

Примечания

Литература

  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. - 5-е. - М .: Добросвет, МЦНМО , 1998. - 319 с. - ISBN 5-7913-0015-8 .
  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. 5-е изд. - М .: Добросвет, МЦНМО, 1998. - 320 с. - ISBN 5-7913-0016-6 .
  • Кострикин А. И. , Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. 2-е изд. - М .: Наука , 1986. - 304 с.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. 2: Линейная алгебра. - 3-е. - М .: Наука ., 2004. - 368 с. - (Университетский учебник).
  • Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. - 3-е. - М .: Наука , 1970. - 400 с.
  • Постников М. М. Линейная алгебра (Лекции по геометрии. Семестр II). - 2-е. - М .: Наука , 1986. - 400 с.
  • Стренг Г. Линейная алгебра и её применения = Linear Algebra and Its Applications. - М .: Мир , 1980. - 454 с.
  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. 6-е изд. - М .: Физматлит, 2010. - 280 с. - ISBN 978-5-9221-0481-4 .
  • Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-Dimensional Vector Spaces. - М .: Физматгиз , 1963. - 263 с.
  • Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. - 5-е. - СПб. : Лань , 2007. - 416 с.
  • Шафаревич И. Р. , Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. - 1-е. - М .: Физматлит , 2009. - 511 с.
  • Шрейер О., Шпернер Г. Введение в линейную алгебру в геометрическом изложении = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Ольшанский Г. (перевод с немецкого). - М.–Л.: ОНТИ , 1934. - 210 с.

Отрывок, характеризующий Векторное пространство

Кутузов прошел по рядам, изредка останавливаясь и говоря по нескольку ласковых слов офицерам, которых он знал по турецкой войне, а иногда и солдатам. Поглядывая на обувь, он несколько раз грустно покачивал головой и указывал на нее австрийскому генералу с таким выражением, что как бы не упрекал в этом никого, но не мог не видеть, как это плохо. Полковой командир каждый раз при этом забегал вперед, боясь упустить слово главнокомандующего касательно полка. Сзади Кутузова, в таком расстоянии, что всякое слабо произнесенное слово могло быть услышано, шло человек 20 свиты. Господа свиты разговаривали между собой и иногда смеялись. Ближе всех за главнокомандующим шел красивый адъютант. Это был князь Болконский. Рядом с ним шел его товарищ Несвицкий, высокий штаб офицер, чрезвычайно толстый, с добрым, и улыбающимся красивым лицом и влажными глазами; Несвицкий едва удерживался от смеха, возбуждаемого черноватым гусарским офицером, шедшим подле него. Гусарский офицер, не улыбаясь, не изменяя выражения остановившихся глаз, с серьезным лицом смотрел на спину полкового командира и передразнивал каждое его движение. Каждый раз, как полковой командир вздрагивал и нагибался вперед, точно так же, точь в точь так же, вздрагивал и нагибался вперед гусарский офицер. Несвицкий смеялся и толкал других, чтобы они смотрели на забавника.
Кутузов шел медленно и вяло мимо тысячей глаз, которые выкатывались из своих орбит, следя за начальником. Поровнявшись с 3 й ротой, он вдруг остановился. Свита, не предвидя этой остановки, невольно надвинулась на него.
– А, Тимохин! – сказал главнокомандующий, узнавая капитана с красным носом, пострадавшего за синюю шинель.
Казалось, нельзя было вытягиваться больше того, как вытягивался Тимохин, в то время как полковой командир делал ему замечание. Но в эту минуту обращения к нему главнокомандующего капитан вытянулся так, что, казалось, посмотри на него главнокомандующий еще несколько времени, капитан не выдержал бы; и потому Кутузов, видимо поняв его положение и желая, напротив, всякого добра капитану, поспешно отвернулся. По пухлому, изуродованному раной лицу Кутузова пробежала чуть заметная улыбка.
– Еще измайловский товарищ, – сказал он. – Храбрый офицер! Ты доволен им? – спросил Кутузов у полкового командира.
И полковой командир, отражаясь, как в зеркале, невидимо для себя, в гусарском офицере, вздрогнул, подошел вперед и отвечал:
– Очень доволен, ваше высокопревосходительство.
– Мы все не без слабостей, – сказал Кутузов, улыбаясь и отходя от него. – У него была приверженность к Бахусу.
Полковой командир испугался, не виноват ли он в этом, и ничего не ответил. Офицер в эту минуту заметил лицо капитана с красным носом и подтянутым животом и так похоже передразнил его лицо и позу, что Несвицкий не мог удержать смеха.
Кутузов обернулся. Видно было, что офицер мог управлять своим лицом, как хотел: в ту минуту, как Кутузов обернулся, офицер успел сделать гримасу, а вслед за тем принять самое серьезное, почтительное и невинное выражение.
Третья рота была последняя, и Кутузов задумался, видимо припоминая что то. Князь Андрей выступил из свиты и по французски тихо сказал:
– Вы приказали напомнить о разжалованном Долохове в этом полку.
– Где тут Долохов? – спросил Кутузов.
Долохов, уже переодетый в солдатскую серую шинель, не дожидался, чтоб его вызвали. Стройная фигура белокурого с ясными голубыми глазами солдата выступила из фронта. Он подошел к главнокомандующему и сделал на караул.
– Претензия? – нахмурившись слегка, спросил Кутузов.
– Это Долохов, – сказал князь Андрей.
– A! – сказал Кутузов. – Надеюсь, что этот урок тебя исправит, служи хорошенько. Государь милостив. И я не забуду тебя, ежели ты заслужишь.
Голубые ясные глаза смотрели на главнокомандующего так же дерзко, как и на полкового командира, как будто своим выражением разрывая завесу условности, отделявшую так далеко главнокомандующего от солдата.
– Об одном прошу, ваше высокопревосходительство, – сказал он своим звучным, твердым, неспешащим голосом. – Прошу дать мне случай загладить мою вину и доказать мою преданность государю императору и России.
Кутузов отвернулся. На лице его промелькнула та же улыбка глаз, как и в то время, когда он отвернулся от капитана Тимохина. Он отвернулся и поморщился, как будто хотел выразить этим, что всё, что ему сказал Долохов, и всё, что он мог сказать ему, он давно, давно знает, что всё это уже прискучило ему и что всё это совсем не то, что нужно. Он отвернулся и направился к коляске.
Полк разобрался ротами и направился к назначенным квартирам невдалеке от Браунау, где надеялся обуться, одеться и отдохнуть после трудных переходов.
– Вы на меня не претендуете, Прохор Игнатьич? – сказал полковой командир, объезжая двигавшуюся к месту 3 ю роту и подъезжая к шедшему впереди ее капитану Тимохину. Лицо полкового командира выражало после счастливо отбытого смотра неудержимую радость. – Служба царская… нельзя… другой раз во фронте оборвешь… Сам извинюсь первый, вы меня знаете… Очень благодарил! – И он протянул руку ротному.
– Помилуйте, генерал, да смею ли я! – отвечал капитан, краснея носом, улыбаясь и раскрывая улыбкой недостаток двух передних зубов, выбитых прикладом под Измаилом.
– Да господину Долохову передайте, что я его не забуду, чтоб он был спокоен. Да скажите, пожалуйста, я всё хотел спросить, что он, как себя ведет? И всё…
– По службе очень исправен, ваше превосходительство… но карахтер… – сказал Тимохин.
– А что, что характер? – спросил полковой командир.
– Находит, ваше превосходительство, днями, – говорил капитан, – то и умен, и учен, и добр. А то зверь. В Польше убил было жида, изволите знать…
– Ну да, ну да, – сказал полковой командир, – всё надо пожалеть молодого человека в несчастии. Ведь большие связи… Так вы того…
– Слушаю, ваше превосходительство, – сказал Тимохин, улыбкой давая чувствовать, что он понимает желания начальника.
– Ну да, ну да.
Полковой командир отыскал в рядах Долохова и придержал лошадь.
– До первого дела – эполеты, – сказал он ему.
Долохов оглянулся, ничего не сказал и не изменил выражения своего насмешливо улыбающегося рта.
– Ну, вот и хорошо, – продолжал полковой командир. – Людям по чарке водки от меня, – прибавил он, чтобы солдаты слышали. – Благодарю всех! Слава Богу! – И он, обогнав роту, подъехал к другой.
– Что ж, он, право, хороший человек; с ним служить можно, – сказал Тимохин субалтерн офицеру, шедшему подле него.
– Одно слово, червонный!… (полкового командира прозвали червонным королем) – смеясь, сказал субалтерн офицер.
Счастливое расположение духа начальства после смотра перешло и к солдатам. Рота шла весело. Со всех сторон переговаривались солдатские голоса.
– Как же сказывали, Кутузов кривой, об одном глазу?
– А то нет! Вовсе кривой.
– Не… брат, глазастее тебя. Сапоги и подвертки – всё оглядел…
– Как он, братец ты мой, глянет на ноги мне… ну! думаю…
– А другой то австрияк, с ним был, словно мелом вымазан. Как мука, белый. Я чай, как амуницию чистят!
– Что, Федешоу!… сказывал он, что ли, когда стражения начнутся, ты ближе стоял? Говорили всё, в Брунове сам Бунапарте стоит.
– Бунапарте стоит! ишь врет, дура! Чего не знает! Теперь пруссак бунтует. Австрияк его, значит, усмиряет. Как он замирится, тогда и с Бунапартом война откроется. А то, говорит, в Брунове Бунапарте стоит! То то и видно, что дурак. Ты слушай больше.
– Вишь черти квартирьеры! Пятая рота, гляди, уже в деревню заворачивает, они кашу сварят, а мы еще до места не дойдем.
– Дай сухарика то, чорт.
– А табаку то вчера дал? То то, брат. Ну, на, Бог с тобой.
– Хоть бы привал сделали, а то еще верст пять пропрем не емши.
– То то любо было, как немцы нам коляски подавали. Едешь, знай: важно!
– А здесь, братец, народ вовсе оголтелый пошел. Там всё как будто поляк был, всё русской короны; а нынче, брат, сплошной немец пошел.
– Песенники вперед! – послышался крик капитана.
И перед роту с разных рядов выбежало человек двадцать. Барабанщик запевало обернулся лицом к песенникам, и, махнув рукой, затянул протяжную солдатскую песню, начинавшуюся: «Не заря ли, солнышко занималося…» и кончавшуюся словами: «То то, братцы, будет слава нам с Каменскиим отцом…» Песня эта была сложена в Турции и пелась теперь в Австрии, только с тем изменением, что на место «Каменскиим отцом» вставляли слова: «Кутузовым отцом».
Оторвав по солдатски эти последние слова и махнув руками, как будто он бросал что то на землю, барабанщик, сухой и красивый солдат лет сорока, строго оглянул солдат песенников и зажмурился. Потом, убедившись, что все глаза устремлены на него, он как будто осторожно приподнял обеими руками какую то невидимую, драгоценную вещь над головой, подержал ее так несколько секунд и вдруг отчаянно бросил ее:
Ах, вы, сени мои, сени!
«Сени новые мои…», подхватили двадцать голосов, и ложечник, несмотря на тяжесть амуниции, резво выскочил вперед и пошел задом перед ротой, пошевеливая плечами и угрожая кому то ложками. Солдаты, в такт песни размахивая руками, шли просторным шагом, невольно попадая в ногу. Сзади роты послышались звуки колес, похрускиванье рессор и топот лошадей.
Кутузов со свитой возвращался в город. Главнокомандующий дал знак, чтобы люди продолжали итти вольно, и на его лице и на всех лицах его свиты выразилось удовольствие при звуках песни, при виде пляшущего солдата и весело и бойко идущих солдат роты. Во втором ряду, с правого фланга, с которого коляска обгоняла роты, невольно бросался в глаза голубоглазый солдат, Долохов, который особенно бойко и грациозно шел в такт песни и глядел на лица проезжающих с таким выражением, как будто он жалел всех, кто не шел в это время с ротой. Гусарский корнет из свиты Кутузова, передразнивавший полкового командира, отстал от коляски и подъехал к Долохову.
Гусарский корнет Жерков одно время в Петербурге принадлежал к тому буйному обществу, которым руководил Долохов. За границей Жерков встретил Долохова солдатом, но не счел нужным узнать его. Теперь, после разговора Кутузова с разжалованным, он с радостью старого друга обратился к нему:
– Друг сердечный, ты как? – сказал он при звуках песни, ровняя шаг своей лошади с шагом роты.
– Я как? – отвечал холодно Долохов, – как видишь.
Бойкая песня придавала особенное значение тону развязной веселости, с которой говорил Жерков, и умышленной холодности ответов Долохова.
– Ну, как ладишь с начальством? – спросил Жерков.
– Ничего, хорошие люди. Ты как в штаб затесался?
– Прикомандирован, дежурю.
Они помолчали.
«Выпускала сокола да из правого рукава», говорила песня, невольно возбуждая бодрое, веселое чувство. Разговор их, вероятно, был бы другой, ежели бы они говорили не при звуках песни.
– Что правда, австрийцев побили? – спросил Долохов.
– А чорт их знает, говорят.
– Я рад, – отвечал Долохов коротко и ясно, как того требовала песня.
– Что ж, приходи к нам когда вечерком, фараон заложишь, – сказал Жерков.
– Или у вас денег много завелось?
– Приходи.
– Нельзя. Зарок дал. Не пью и не играю, пока не произведут.
– Да что ж, до первого дела…
– Там видно будет.
Опять они помолчали.
– Ты заходи, коли что нужно, все в штабе помогут… – сказал Жерков.
Долохов усмехнулся.
– Ты лучше не беспокойся. Мне что нужно, я просить не стану, сам возьму.
– Да что ж, я так…
– Ну, и я так.
– Прощай.
– Будь здоров…
… и высоко, и далеко,
На родиму сторону…
Жерков тронул шпорами лошадь, которая раза три, горячась, перебила ногами, не зная, с какой начать, справилась и поскакала, обгоняя роту и догоняя коляску, тоже в такт песни.

Возвратившись со смотра, Кутузов, сопутствуемый австрийским генералом, прошел в свой кабинет и, кликнув адъютанта, приказал подать себе некоторые бумаги, относившиеся до состояния приходивших войск, и письма, полученные от эрцгерцога Фердинанда, начальствовавшего передовою армией. Князь Андрей Болконский с требуемыми бумагами вошел в кабинет главнокомандующего. Перед разложенным на столе планом сидели Кутузов и австрийский член гофкригсрата.
– А… – сказал Кутузов, оглядываясь на Болконского, как будто этим словом приглашая адъютанта подождать, и продолжал по французски начатый разговор.
– Я только говорю одно, генерал, – говорил Кутузов с приятным изяществом выражений и интонации, заставлявшим вслушиваться в каждое неторопливо сказанное слово. Видно было, что Кутузов и сам с удовольствием слушал себя. – Я только одно говорю, генерал, что ежели бы дело зависело от моего личного желания, то воля его величества императора Франца давно была бы исполнена. Я давно уже присоединился бы к эрцгерцогу. И верьте моей чести, что для меня лично передать высшее начальство армией более меня сведущему и искусному генералу, какими так обильна Австрия, и сложить с себя всю эту тяжкую ответственность для меня лично было бы отрадой. Но обстоятельства бывают сильнее нас, генерал.
И Кутузов улыбнулся с таким выражением, как будто он говорил: «Вы имеете полное право не верить мне, и даже мне совершенно всё равно, верите ли вы мне или нет, но вы не имеете повода сказать мне это. И в этом то всё дело».
Австрийский генерал имел недовольный вид, но не мог не в том же тоне отвечать Кутузову.
– Напротив, – сказал он ворчливым и сердитым тоном, так противоречившим лестному значению произносимых слов, – напротив, участие вашего превосходительства в общем деле высоко ценится его величеством; но мы полагаем, что настоящее замедление лишает славные русские войска и их главнокомандующих тех лавров, которые они привыкли пожинать в битвах, – закончил он видимо приготовленную фразу.
Кутузов поклонился, не изменяя улыбки.
– А я так убежден и, основываясь на последнем письме, которым почтил меня его высочество эрцгерцог Фердинанд, предполагаю, что австрийские войска, под начальством столь искусного помощника, каков генерал Мак, теперь уже одержали решительную победу и не нуждаются более в нашей помощи, – сказал Кутузов.
Генерал нахмурился. Хотя и не было положительных известий о поражении австрийцев, но было слишком много обстоятельств, подтверждавших общие невыгодные слухи; и потому предположение Кутузова о победе австрийцев было весьма похоже на насмешку. Но Кутузов кротко улыбался, всё с тем же выражением, которое говорило, что он имеет право предполагать это. Действительно, последнее письмо, полученное им из армии Мака, извещало его о победе и о самом выгодном стратегическом положении армии.
– Дай ка сюда это письмо, – сказал Кутузов, обращаясь к князю Андрею. – Вот изволите видеть. – И Кутузов, с насмешливою улыбкой на концах губ, прочел по немецки австрийскому генералу следующее место из письма эрцгерцога Фердинанда: «Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70 000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte mit ganzer Macht wenden wollte, seine Absicht alabald vereitelien. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er verdient». [Мы имеем вполне сосредоточенные силы, около 70 000 человек, так что мы можем атаковать и разбить неприятеля в случае переправы его через Лех. Так как мы уже владеем Ульмом, то мы можем удерживать за собою выгоду командования обоими берегами Дуная, стало быть, ежеминутно, в случае если неприятель не перейдет через Лех, переправиться через Дунай, броситься на его коммуникационную линию, ниже перейти обратно Дунай и неприятелю, если он вздумает обратить всю свою силу на наших верных союзников, не дать исполнить его намерение. Таким образом мы будем бодро ожидать времени, когда императорская российская армия совсем изготовится, и затем вместе легко найдем возможность уготовить неприятелю участь, коей он заслуживает».]

Векторным (линейным) пространством называется множество векторов (элементов) с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющим определенным аксиомам (свойствам)

1)х + у = у + х (перестановочность сложения);

2)(х + у )+ z = x +(y + z ) (ассоциативность сложения);

3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x: для любого вектора x ;

4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0 ,

5) 1 · х = х,

6) a (bx )=(ab ) х (ассоциативность умножения);

7) (a + b ) х =+ (распределительное свойство относительно числового множителя);

8) a (х + у )=+(распределительное свойство относительно векторного множителя).

Линейное пространство (векторное) V(P) над полем P – это непустое множество V. Элементы множества V называют векторами, а элементы поля P – скалярами.

Простейшие свойства.

1.Векторное пространство является абелевой группой(группа, в которой групповая операция является коммутативной. Групповая операция в абелевых группах обычно называется «сложением» и обозначается знаком +)

2.Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств для любого .

3.Для любого противоположный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.

4.(–1) х = – х для любого х є V.

5.(–α) x = α(–x) = – (αx) для любых α є P и x є V.

Выражение a 1 e 1 + a 2 e 2 ++ a n e n (1) называется линейной комбинацией векторов e 1 , e 2 ,..., e n с коэффициентами a 1 , a 2 ,..., a n . Линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов a 1 , a 2 ,..., a n отличен от нуля. Векторы e 1 , e 2 ,..., e n называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация (1), представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов e 1 , e 2 ,..., e n равна нулевому вектору) векторы e 1 , e 2 ,..., e n называется линейно независимыми.

Размерность пространства – максимальное число содержащихся в нем ЛЗ векторов.

Векторное пространство называется n-мepным (или имеет «размерность ), если в нём существуют n линейно независимых элементов e 1 , e 2 ,..., e n , а любые n + 1 элементов линейно зависимы (обобщённое условие В). Векторное пространство называются бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов. Любые n линейно независимых векторов n-мepного Векторное пространство образуют базис этого пространства. Если e 1 , e 2 ,..., e n - базис Векторное пространство , то любой вектор х этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов: x = a 1 e 1 + a 2 e 2 +... + a n e n .
При этом числа a 1 , a 2, ..., a n называются координатами вектора х в данном базисе.

error: