Толковый словарь русского языка. С.И.Ожегов, Н.Ю.Шведова.

тождество

А и ТОЖЕСТВО. -а, ср.

Полное сходство, совпадение. Г. взглядов.

(тождество). В математике: равенство, справедливое при любых числовых значениях входящих в него величин. || прил. тождественный, -ая, -ое и тожественный, -ая, -ое (к 1 знач.). Тождественные алгебраические выражения. ТОЖЕ [не смешивать с сочетанием местоимения "то" и частицы "же"].

1. нареч. Равным образом, так же, как и кто-что-н. Ты устал, я т.

   союз. То же, что также. Ты уезжаешь, а брат? - Т.

частица. Выражает недоверчивое или отрицательное, ироническое отношение (прост.). *Т. умник нашелся! Он поэт. - Поэт т. (мне)!

Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т. Ф. Ефремова.

тождество

1. Абсолютное совпадение с кем-л., чем-л. как в своей сущности, так и во внешних признаках и проявлениях.

   Точное соответствие чего-л. чему-л.

ср. Равенство, справедливое при всех числовых значениях входящих в него букв (в математике).

Энциклопедический словарь, 1998 г.

тождество

отношение между объектами (предметами реальности, восприятия, мысли), рассматриваемыми как "одно и то же"; "предельный" случай отношения равенства. В математике тождество - это уравнение, которое удовлетворяется тождественно, т.е. справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных.

Тождество

основное понятие логики, философии и математики; используется в языках научной теорий для формулировки определяющих соотношений, законов и теорем. В математике Т. ≈ это уравнение , которое удовлетворяется тождественно, то есть справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. С логической точки зрения, Т. ≈ это предикат , изображаемый формулой х = у (читается: «х тождественно у», «х то же самое, что и y»), которому соответствует логическая функция, истинная, когда переменные х и у означают различные вхождения «одного и того же» предмета, и ложная в противном случае. С философской (гносеологической) точки зрения, Т. ≈ это отношение , основанное на представлениях или суждениях о том, что такое «один и тот же» предмет реальности, восприятия, мысли. Логические и философские аспекты Т. дополнительны: первый даёт формальную модель понятия Т., второй ≈ основания для применения этой модели. Первый аспект включает понятие об «одном и том же» предмете, но смысл формальной модели не зависит от содержания этого понятия: игнорируются процедуры отождествлений и зависимость результатов отождествлений от условий или способов отождествлений, от явно или неявно принимаемых при этом абстракций. Во втором (философском) аспекте рассмотрения основания для применения логических моделей Т. связываются с тем, как отождествляются предметы, по каким признакам, и уже зависят от точки зрения, от условий и средств отождествления. Различение логических и философских аспектов Т. восходит к известному положению, что суждение о тождественности предметов и Т. как понятие ≈ это не одно и то же (см. Платон, Соч., т. 2, М., 1970, с. 36). Существенно, однако, подчеркнуть независимость и непротиворечивость этих аспектов: понятие Т. исчерпывается смыслом соответствующей ему логической функции; оно не выводится из фактической тождественности предметов, «не извлекается» из неё, а является абстракцией, восполняемой в «подходящих» условиях опыта или, в теории, ≈ путём предположений (гипотез) о фактически допустимых отождествлениях; вместе с тем, при выполнении подстановочности (см. ниже аксиому 4) в соответствующем интервале абстракции отождествления, «внутри» этого интервала, фактическое Т. предметов в точности совпадает с Т. в логическом смысле. Важность понятия Т. обусловила потребность в специальных теориях Т. Самый распространённый способ построения этих теорий ≈ аксиоматический. В качестве аксиом можно указать, например, следующие (не обязательно все):

х = у É у = х,

x = y & y = z É x = z,

А (х) É (х = у É А (у)),

где А (х) ≈ произвольный предикат, содержащий х свободно и свободный для у, а А (х) и А (у) различаются только вхождениями (хотя бы одним) переменных х и y.

Аксиома 1 постулирует свойство рефлексивности Т. В традиционной логике она считалась единственным логическим законом Т., к которому в качестве «нелогических постулатов» добавляли обычно (в арифметике, алгебре, геометрии) аксиомы 2 и З. Аксиому 1 можно считать гносеологически обоснованной, поскольку она является своего рода логическим выражением индивидуации, на котором, в свою очередь, основывается «данность» предметов в опыте, возможность их узнавания: чтобы говорить о предмете «как данном», необходимо как-то выделить его, отличить от др. предметов и в дальнейшем не путать с ними. В этом смысле Т., основанное на аксиоме 1, является особым отношением «самотождественности», которое связывает каждый предмет только с самим собой ≈ и ни с каким др. предметом.

Аксиома 2 постулирует свойство симметричности Т. Она утверждает независимость результата отождествления от порядка в парах отождествляемых предметов. Эта аксиома также имеет известное оправдание в опыте. Например, порядок расположения гирь и товара на весах различен, если смотреть слева направо, для покупателя и продавца, обращенных лицом друг к другу, но результат ≈ в данном случае равновесие ≈ один и тот же для обоих.

Аксиомы 1 и 2 совместно служат абстрактным выражением Т. как неразличимости, теории, в которой представление об «одном и том же» предмете основывается на фактах не наблюдаемости различий и существенно зависит от критериев различимости, от средств (приборов), отличающих один предмет от другого, в конечном счёте ≈ от абстракции неразличимости. Поскольку зависимость от «порога различимости» на практике принципиально неустранима, представление о Т., удовлетворяющем аксиомам 1 и 2, является единственным естественным результатом, который можно получить в эксперименте.

Аксиома 3 постулирует транзитивность Т. Она утверждает, что суперпозиция Т. также есть Т. и является первым нетривиальным утверждением о тождественности предметов. Транзитивность Т. ≈ это либо «идеализация опыта» в условиях «убывающей точности», либо абстракция, восполняющая опыт и «создающая» новый, отличный от неразличимости, смысл Т.: неразличимость гарантирует только Т. в интервале абстракции неразличимости, а эта последняя не связана с выполнением аксиомы З. Аксиомы 1, 2 и 3 совместно служат абстрактным выражением теории Т. как эквивалентности.

Аксиома 4 постулирует необходимым условием для Т. предметов совпадение их признаков. С логической точки зрения, эта аксиома очевидна: «одному и тому же» предмету принадлежат все его признаки. Но поскольку представление об «одном и том же» предмете неизбежно основывается на определённого рода допущениях или абстракциях, эта аксиома не является тривиальной. Её нельзя верифицировать «вообще» ≈ по всем мыслимым признакам, а только в определённых фиксированных интервалах абстракций отождествления или неразличимости. Именно так она и используется на практике: предметы сравниваются и отождествляются не по всем мыслимым признакам, а только по некоторым ≈ основным (исходным) признакам той теории, в которой хотят иметь понятие об «одном и том же» предмете, основанное на этих признаках и на аксиоме 4. В этих случаях схема аксиом 4 заменяется конечным списком её аллоформ ≈ конгруентных ей «содержательных» аксиом Т. Например, в аксиоматической теории множеств Цермело ≈ Френкеля ≈ аксиомами:

4.1 z Î x É (x = y É z Î y),

4.2 x Î z É (x = y É y Î z),

определяющими, при условии, что универсум содержит только множества, интервал абстракции отождествления множеств по «членству в них» и по их «собственному членству», с обязательным добавлением аксиом 1≈3, определяющих Т. как эквивалентность.

Перечисленные выше аксиомы 1≈4 относятся к так называемым законам Т. Из них, используя правила логики, можно вывести и многие др. законы, неизвестные в до математической логике. Различие между логическим и гносеологическим (философским) аспектами Т. не имеет значения, коль скоро речь идёт об общих абстрактных формулировках законов Т. Дело, однако, существенно меняется, когда эти законы используются для описания реалий. Определяя понятие «один и тот же» предмет, аксиоматики Т. необходимо влияют на формирование универсума «внутри» соответствующей аксиоматической теории.

Лит.: Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Новоселов М., Тождество, в кн.: Философская энциклопедия, т. 5, М., 1970; его же, О некоторых понятиях теории отношений, в кн.: Кибернетика и современное научное познание, М., 1976; Шрейдер Ю. А., Равенство, сходство, порядок, М., 1971; Клини С. К., Математическая логика, пер. с англ., М., 1973; Frege G., Schriften zur Logik, B., 1973.

М. М. Новосёлов.

Википедия

Тождество (математика)

То́ждество (в математике) - равенство , выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных, например:

a  − b  = (a  + b )(a  − b ) (a  + b ) = a  + 2a b  + b

и т. п. Иногда называют тождеством также равенство, не содержащее никаких переменных; напр. 25 = 625.

Тождественное равенство, когда его хотят подчеркнуть особо, обозначается символом « ≡ ».

Тождество

То́ждество , тожде́ственность - многозначные термины.

• Тождество - равенство, выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных.
• Тождество - полное совпадение свойств предметов.
• Тождественность в физике - характеристика объектов, при которой замена одного из объектов другим не изменяет состояние системы при сохранении данных условий.
• Закон тождества - один из законов логики.
• Принцип тождественности - принцип квантовой механики, согласно которому состояния системы частиц, получающиеся друг из друга перестановкой тождественных частиц местами, нельзя различить ни в каком эксперименте, и такие состояния должны рассматриваться как одно физическое состояние.
• «Тождественность и действительность» - книга Э. Мейерсона.

Тождество (философия)

Тождество - философская категория, выражающая равенство, одинаковость предмета, явления с самим собой или равенство нескольких предметов. О предметах А и В говорят, что они являются тождественными, одними и теми же, если и только если все свойства. Это означает, что тождество неразрывно связано с различием и является относительным. Всякое тождество вещей временно, преходяще, а их развитие, изменение абсолютно . В точных науках, однако, абстрактное, то есть отвлекающееся от развития вещей, тождество в соответствии с законом Лейбница, используется потому, что в процессе познания возможны и необходимы в известных условиях идеализация и упрощение действительности. С подобными ограничениями формулируется и логический закон тождества.

Тождество следует отличать от сходства, подобия и единства.

Сходными мы называем предметы, обладающие одним или несколькими общими свойствами; чем больше у предметов общих свойств, тем ближе их сходство подходит к тождеству. Два предмета считаются тождественными, если их качества совершенно сходны.

Однако, следует помнить, что в мире предметном тождества быть не может, так как два предмета, сколь бы ни были они сходны по качествам, всё же отличаются числом и занимаемым ими пространством; только там, где материальная природа возвышается до духовности, появляется возможность тождества.

Необходимое условие тождества - это единство: где нет единства, не может быть и тождества. Материальный мир, делимый до бесконечности, единством не обладает; единство появляется с жизнью, в особенности с духовной жизнью. Мы говорим о тождестве организма в том смысле, что его единая жизнь пребывает, несмотря на постоянную смену частиц, образующих организм; где есть жизнь, там есть единство, но в настоящем значении слова ещё нет тождества, поскольку жизнь убывает и прибывает, оставаясь неизменной лишь в идее.

То же самое можно сказать и о личности - высшем проявлении жизни и сознания; и в личности нами лишь предполагается тождество, в действительности же его нет, так как самое содержание личности постоянно меняется. Истинное тождество возможно только в мышлении; правильно образованное понятие имеет вечную ценность независимо от условий времени и пространства, в которых оно мыслится.

Лейбниц своим principium indiscernibilium установил мысль, что не могут существовать две вещи совершенно сходные в качественном и количественном отношениях, поскольку такое сходство было бы ни чем иным, как тождеством.

Философия тождества выступает центральной идеей в работах Фридриха Шеллинга.

Примеры употребления слова тождество в литературе.

Именно в том и заключается великая психологическая заслуга как древнего, так и средневекового номинализма, что он основательно расторгнул первобытное магическое или мистическое тождество слова с объектом - слишком основательно даже для того типа, основа которого заложена не в том, чтобы крепко держаться за вещи, а в том, чтобы абстрагировать идею и ставить ее над вещами.

Это тождество субъективности и объективности и составляет как раз достигнутую теперь самосознанием всеобщность, возвышающуюся над обеими упомянутыми сторонами, или особенностями, и растворяющую их в себе.

На этой стадии соотнесенные друг с другом самосознающие субъекты возвысились, следовательно, через снятие их неодинаковой особенности единичности до сознания их реальной всеобщности - всем им присущей свободы - и тем самым до созерцания определенного тождества их друг с другом.

Полтора столетия спустя в них изумленно вглядывалась Инта, прапраправнучка женщины, которой уступил место в космическом корабле Сарп, пораженный ее необъяснимым тождеством с Веллой.

Но когда обнаружилось, что перед смертью своей хороший писатель Каманин читал рукопись именно КРАСНОГОРОВА и при этом того самого, чья кандидатура обсуждалась свирепым физиком Шерстневым за секунду до его, Шерстнева, ПОДОБНОЙ ЖЕ гибели, - тут, знаешь ли, пахнуло на меня уже не простым совпадением, тут запахло ТОЖДЕСТВОМ !

Заслуга Клоссовски в том, что он показал: эти три формы теперь связаны навеки, но не благодаря диалектической трансформации и тождеству противоположностей, а благодаря их рассеянию по поверхности вещей.

В этих своих работах Клоссовски развивает теорию знака, смысла и нонсенса, а также дает глубоко оригинальную интерпретацию идеи вечного возвращения Ницше, понятого как эксцентрическая способность утверждать расхождения и дизъюнкции, не оставляющая места ни тождеству Я, ни тождеству мира, ни тождеству Бога.

Как и в любом другом виде идентификации человека по признакам внешности, в фотопортретной экспертизе идентифицируемым объектом во всех случаях является конкретное физическое лицо, тождество которого устанавливается.

Теперь из ученика вышел учитель, и прежде всего как учитель справился он с великой задачей первой поры своего магистерства, одержав победу в борьбе за авторитет и полное тождество человека и должности.

Но в ранней классике это тождество мыслящего и мыслимого трактовалось только интуитивно и только описательно.

Для Шеллинга тождество Природы и Духа есть натурфилософский принцип, предшествующий эмпирическому познанию и детерминирующий понимание результатов последнего.

На основании этого тождества минеральных признаков и сделано заключение, что эта шотландская формация современна самым нижним формациям Валлиса, потому что количество имеющихся налицо палеонтологических данных слишком незначительно, чтобы с помощью его можно было подтвердить или опровергнуть подобного рода положение.

Теперь уже не первоначало дает место историчности, но сама ткань историчности выявляет необходимость первоначала, которое было бы одновременно и внутренним, и сторонним, наподобие некоей гипотетической вершины конуса, где все различия, все рассеяния, все прерывности сжимаются в единую точку тождества , в тот бесплотный образ Тождественного, способного, однако, расщепиться и превратиться в Иное.

Известно, что нередки случаи, когда объект, подлежащий отождествлению по памяти, не обладает достаточным числом заметных признаков, которые позволили бы установить его тождество .

Ясно, следовательно, что вечей, или восстаний, в Москве на людей, хотевших бежать от татар, в Ростове на татар, в Костроме, Нижнем, Торжке на бояр, вечей, созываемых всеми колоколами, не должно, по одному тождеству названия, смешивать с вечами Новгорода и других старых городов: Смоленска, Киева, Полоцка, Ростова, где жители, по словам летописца, как на думу, на веча сходились и, что старшие решали, на то пригороды соглашались.

Рассмотрим две равенства:

1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8

Это равенство будет выполняться при любых значениях переменной а. Областью допустимых значений для того равенства будет все множество вещественных чисел.

2. a 12: a 3 = a 2 *a 7 .

Это неравенство будет выполняться для всех значений переменной а, кроме а равного нулю. Областью допустимых значений для этого неравенства будет все множество вещественных чисел, кроме нуля.

О каждом из этих равенств можно утверждать, что оно будет верно при любых допустимых значениях переменных а. Такие равенства в математике называются тождествами .

Понятие тождества

Тождество - это равенство, верное при любых допустимых значениях переменных. Если в данное равенство подставить вместо переменных любые допустимые значения, то должно получиться верное числовое равенство.

Стоит отметить, что верные числовые равенства тоже являются тождествами. Тождествами, например, будут являться свойства действий над числами.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

11. a*(-1) = -a.

Если два выражения при любых допустимых переменных соответственно равны, то такие выражения называют тождественно равными . Ниже представлены несколько примеров тождественно равных выражений:

1. (a 2) 4 и a 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) и -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 *x 8)/x) и x 10 .

Мы всегда можем заменить одно выражение любым другим выражением, тождественно равным первому. Такая замена будет являться тождественным преобразованием.

Примеры тождеств

Пример 1: являются ли тождествами следующие равенства:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

Не все представленные выше выражения будут являться тождествами. Из этих равенств тождествами являются лишь 1,2 и 3 равенства. Какие бы числа мы в них не подставили, вместо переменных а и b у нас все равно получатся верные числовые равенства.

А вот 4 равенство уже не является тождеством. Потому что не при всех допустимых значениях это равенство будет выполняться. Например, при значениях a = 5 и b = 2 получится следующий результат:

Данное равенство не верно, так как число 3 не равняется числу -3.

Тождественность в математике - очень часто используемое понятие. Различают понятия тождественных равенств, тождественных выражений и тождественных преобразований, давайте более подробно разберём, что значит каждое из этих понятий.

Тождественные выражения в математике

Рассмотрим три простых алгебраических выражения:

• $5x + 10$;
• $(x + 2) \cdot 5$
• $\frac{20x + 40}{4}$

Вне зависимости от используемых значений $x$, все три выражения между собой равны.

Для того чтобы доказать это, используем элементарные преобразования, разрешаемые в математике, и получим, что $5x + 10 = 5x + 10 = 5x + 10$, то есть все три выражения равны между собой. При упрощении становится очевидно, что вне зависимости от выбранного $x$ эти выражения всегда будут равны.

Мы подходим непосредственно к определению тождественных выражений:

Определение 1

Выражения называются тождественными друг с другом, если при любых значениях переменных они всегда равны между собой.

Например, можно сказать, что выражение $5x + 10$ тождественно выражениям $(x + 2) \cdot 5$ и $\frac{20x + 40}{4}$.

Стоит также обратить внимание на то, что не всегда выражения тождественны для всех возможных значений переменных, например, выражения $\frac{y^2-4}{y-2}$ и $y+2$ тождественны для любых $y$, кроме $y=2$.

При значении игрека, равному двум, первое из этих двух выражений теряет смысл, так как на нуль делить нельзя, а в знаменателе при этом значении получается нуль.

Данные выражения можно назвать тождественными при всех допустимых значениях переменной $y$, то есть эти выражения тождественны при всех $y$, при которых оба выражения не потеряют свой смысл. Такие выражения называются тождественными на заданном множестве значений.

Понятия «тождество» и «тождественное равенство»

Что же такое тождество в алгебре?

Определение 2

Тождество в математике - это равенство, которое всегда выполняется или, иными словами, является справедливым для всех множеств значений его переменных.

Если два и более тождественных выражения записать непосредственно рядом друг с другом через знак «равно» - то получится тождественное равенство, то есть тождество.

К тожественным равенствам относятся переместительный закон сложения $a+b =b + a$ и сочетательный закон умножения $(ab) \cdot c = a \cdot (bc)$, так как они являются верными вне зависимости от значения переменных $a, b, c$. Формулы для сокращённой записи разности квадратов, квадратов разности и квадратов суммы являются другими примерами тождественных равенств.

Иногда тождествами называются не только выражения, содержащие какие-либо переменные, но и все арифметически верные равенства типа $2+2=4$.

Не любое равенство, содержащее переменные, можно назвать тождеством. Например, равенство $y+5 = 7$ соблюдается только при $y= 2$, при каком-либо другом значении $y$ оно не соблюдается и поэтому тождеством его назвать нельзя.

Знак тождества в математике

Определение 3

Чаще всего тождества записывают через знак «равно» - «$=$», знак «тождественно» - «≡» иногда используют для особого выделения в речи тождественности какого-либо равенства. Обычно знак тождества используется значительно реже, чем знак равенства.

Тождественные преобразования

Очень часто для того чтобы упростить процесс вычисления каких-либо выражений, а также для их сравнения и более удобной подстановки переменных в равенства используют различные математические преобразования. Эти преобразования называются тождественными преобразованиями , так как они не изменяют конечные значения выражений и равенств.

Определение 4

Тождественные преобразования - это преобразования и замены одного выражения другим, тождественным ему, не изменяющие конечное значение выражений и не приводящие к нарушению тождественности равенств.

Любое выражение при любых допустимых значениях переменных, используемых в нём, принимает какое-либо значение. Из этого можно сделать вывод, что применение различных законов, соблюдающихся для арифметических действий приводит к преобразованию исходного выражение в новое, тождественное первоначальному выражению.

Пример 1

Какие выражения тождественны?

1. $(10 + 3)$ и $13 \cdot (1 +5)$.
2. $(x^2 + y^2)$ и $(x – y)(x+y)$.
3. $8$ и $(2 \cdot 3 + 16 – 14)$.
4. $7 + 4$ и $6 + 6$.

Ответ:

Тождественными являются выражения под номером 2 и 3, в случае выражений под номером 2 слева дана сокращённая формула разности квадратов, а справа - развёрнутая. В случае третьего выражения нужно упростить выражение справа:

$(2 \cdot 3 + 16 – 14)= 6 + 16 – 14 = 8$

Эта статья дает начальное представление о тождествах . Здесь мы определим тождество, введем используемое обозначение, и, конечно же, приведем различные примеры тождеств.

Навигация по странице.

Что такое тождество?

Логично начать изложение материала с определения тождества . В учебнике Макарычева Ю. Н. алгебра для 7 классов определение тождества дается так:

Определение.

Тождество – это равенство, верное при любых значениях переменных; любое верное числовое равенство – это тоже тождество.

При этом автор сразу оговаривается, что в дальнейшем это определение будет уточнено. Это уточнение происходит в 8 классе, после знакомства с определением допустимых значений переменных и ОДЗ . Определение становится таким:

Определение.

Тождества – это верные числовые равенства, а также равенства, которые верны при всех допустимых значениях входящих в них переменных.

Так почему, определяя тождество, в 7 классе мы говорим про любые значения переменных, а в 8 классе начинаем говорить про значения переменных из их ОДЗ? До 8 класса работа ведется исключительно с целыми выражениями (в частности, с одночленами и многочленами), а они имеют смысл для любых значений входящих в них переменных. Поэтому в 7 классе мы и говорим, что тождество – это равенство, верное при любых значениях переменных. А в 8 классе появляются выражения, которые уже имеют смысл не для всех значений переменных, а только для значений из их ОДЗ. Поэтому тождествами мы начинаем называть равенства, верные при всех допустимых значениях переменных.

Итак, тождество – это частный случай равенства. То есть, любое тождество является равенством. Но не всякое равенство является тождеством, а только такое равенство, которое верно для любых значений переменных из их области допустимых значений.

Знак тождества

Известно, что в записи равенств используется знак равенства вида «=», слева и справа от которого стоят некоторые числа или выражения. Если к этому знаку добавить еще одну горизонтальную черту, то получится знак тождества «≡», или как его еще называют знак тождественного равенства .

Знак тождества обычно применяют лишь тогда, когда нужно особо подчеркнуть, что перед нами не просто равенство, а именно тождество. В остальных случаях записи тождеств по виду ничем не отличаются от равенств.

Примеры тождеств

Пришло время привести примеры тождеств . В этом нам поможет определение тождества, данное в первом пункте.

Числовые равенства 2=2 и являются примерами тождеств, так как эти равенства верные, а любое верное числовое равенство по определению является тождеством. Их можно записать как 2≡2 и .

Тождествами являются и числовые равенства вида 2+3=5 и 7−1=2·3 , так как эти равенства являются верными. То есть, 2+3≡5 и 7−1≡2·3 .

Переходим к примерам тождеств, содержащих в своей записи не только числа, но и переменные.

Рассмотрим равенство 3·(x+1)=3·x+3 . При любом значении переменной x записанное равенство является верным в силу распределительного свойства умножения относительно сложения, поэтому, исходное равенство является примером тождества. Вот еще один пример тождества: y·(x−1)≡(x−1)·x:x·y 2:y , здесь область допустимых значений переменных x и y составляют все пары (x, y) , где x и y - любые числа, кроме нуля.

А вот равенства x+1=x−1 и a+2·b=b+2·a не являются тождествами, так как существуют значения переменных, при которых эти равенства будут неверны. Например, при x=2 равенство x+1=x−1 обращается в неверное равенство 2+1=2−1 . Более того, равенство x+1=x−1 вообще не достигается ни при каких значениях переменной x . А равенство a+2·b=b+2·a обратится в неверное равенство, если взять любые различные значения переменных a и b . К примеру, при a=0 и b=1 мы придем к неверному равенству 0+2·1=1+2·0 . Равенство |x|=x , где |x| - переменной x , также не является тождеством, так как оно неверно для отрицательных значений x .

Примерами наиболее известных тождеств являются вида sin 2 α+cos 2 α=1 и a log a b =b .

В заключение этой статьи хочется отметить, что при изучении математики мы постоянно сталкиваемся с тождествами. Записи свойств действий с числами являются тождествами, например, a+b=b+a , 1·a=a , 0·a=0 и a+(−a)=0 . Также тождествами являются

Тождество

отношение между предметами (реальными или абстрактными), которое позволяет говорить о них как о неотличимых друг от друга, в какой-то совокупности характеристик (напр., свойств). В действительности все предметы (вещи) обычно отличаются нами друг от друга по каким-то характеристикам. Это не исключает того обстоятельства, что у них есть и общие характеристики. В процессе познания мы отождествляем отдельные вещи в их общих характеристиках, объединяем их в множества по этим характеристикам, образуем понятия о них на основе абстракции отождествления (см.: Абстракция). Предметы, объединяемые в множества по некоторым общим для них свойствам, перестают различаться между собой, поскольку в процессе такого объединения мы отвлекаемся от их различий. Иными словами, они становятся неразличимыми, тождественными в этих свойствах. Если бы все характеристики двух объектов а и b оказались тождественными, объекты превратились бы в один и тот же предмет. Но этого не происходит, т. к. в процессе познания мы отождествляем отличные друг от друга предметы не по всем характеристикам, а лишь по некоторым. Без установления тождеств и различий между предметами невозможно никакое познание окружающего нас мира, никакая ориентировка в окружающей нас среде.

Впервые в самой общей и идеализированной формулировке понятие Т. двух предметов дал Г. В. Лейбниц. Закон Лейбница можно сформулировать так: "х = у, если и только если х обладает каждым свойством, которым обладает у, а у обладает каждым свойством, которым обладает х". Другими словами, предмет х может быть отождествлен с предметом у, когда абсолютно все их свойства являются одними и теми же. Понятие Т. широко используется в различных науках: в математике, логике и естествознании. Однако во всех случаях

его применения тождество изучаемых предметов определяют не по абсолютно всем общим характеристикам, а лишь по некоторым, что связано с целями их изучения, с тем контекстом научной теории, в пределах которой изучаются эти предметы.

Словарь по логике. - М.: Туманит, изд. центр ВЛАДОС . А.А.Ивин, А.Л.Никифоров . 1997 .

Синонимы :

Смотреть что такое "тождество" в других словарях:

Тождество - Тождество ♦ Identité Совпадение, свойство быть таким же. Таким же, как что? Таким же, как такое же, иначе это будет уже не тождество. Таким образом, тождество есть в первую очередь отношение себя к себе (мое тождество это и есть я сам) либо … Философский словарь Спонвиля

Понятие, выражающее предельный случай равенства объектов, когда не только все родовидовые, но и все индивидуальные их свойства совпадают. Совпадение родовидовых свойств (сходство), вообще говоря, не ограничивает числа приравниваемых… … Философская энциклопедия

См … Словарь синонимов

Отношение между объектами (предметами реальности, восприятия, мысли), рассматриваемыми как одно и то же; предельный случай отношения равенства. В математике тождество это уравнение, которое удовлетворяется тождественно, т. е. справедливо для… … Большой Энциклопедический словарь

ТОЖДЕСТВО, а и ТОЖЕСТВО, а, ср. 1. Полное сходство, совпадение. Т. взглядов. 2. (тождество). В математике: равенство, справедливое при любых числовых значениях входящих в него величин. | прил. тождественный, ая, ое и тожественный, ая, ое (к 1… … Толковый словарь Ожегова

тождество - ТОЖДЕСТВО понятие, обычно представленное в естественном языке либо в форме «я (есть) то же, что и Ь >, или «а тождественно Ь», что может быть символизировано как «а = Ь» (такое утверждение обычно называют абсолютным Т.), либо в форме… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки

тождество - (неправильно тождество) и устарелое тожество (сохраняется в речи математиков, физиков) … Словарь трудностей произношения и ударения в современном русском языке

И РАЗЛИЧИЕ две взаимосвязанные категории философии и логики. При определении понятий Т. и Р. используют два фундаментальных принципа: принцип индивидуации и принцип Т. неразличимых. Согласно принципу индивидуации, который был содержательно развит … История Философии: Энциклопедия

Англ. identity; нем. Identitat. 1. В математике уравнение, справедливое при всех допустимых значениях аргументов. 2. Предельный случай равенства объектов, когда не только все родовые, но и все индивидуальные их свойства совпадают. Antinazi.… … Энциклопедия социологии

- (обозначение ≡) (identity, symbol ≡) Уравнение, являющееся истинным при любых значениях входящих в него переменных. Так, z ≡ х + y означает, что z всегда сумма х и y. Многие экономисты порой не последовательны и используют обычный знак даже тогда … Экономический словарь

тождество - идентичность идентификация личности ID — [] Тематики защита информации Синонимы идентичностьидентификация личностиID EN identityID … Справочник технического переводчика

Книги

• Комплект таблиц. Геометрия. 9 класс. 13 таблиц + методика , . Таблицы отпечатаны на плотном полиграфическом картоне размером 680 х 980 мм. В комплект входит брошюра с методическими рекомендациями для учителя. Учебный альбом из 13 листов. Координаты…
• Различие и тождество в греческой и средневековой онтологии , Р. А. Лошаков. В монографии исследуются основные вопросы греческой (аристотелевской) и средневековой онтологии в свете понимания бытия как Различия. Тем самым демонстрируется производный, вторичный,…