Formulele sau regulile de multiplicare prescurtate sunt folosite în aritmetică, sau mai degrabă în algebră, pentru un proces mai rapid de calculare a expresiilor algebrice mari. Formulele în sine sunt derivate din regulile existente în algebră pentru înmulțirea mai multor polinoame.

Utilizarea acestor formule oferă o soluție destul de promptă la diferite probleme matematice și, de asemenea, ajută la simplificarea expresiilor. Regulile de transformare algebrică vă permit să efectuați unele manipulări cu expresii, în urma cărora puteți obține expresia din partea stângă a egalității din partea dreaptă sau să transformați partea dreaptă a egalității (pentru a obține expresia din partea stângă după semn egal).

Este convenabil să cunoașteți formulele utilizate pentru înmulțirea redusă prin memorie, deoarece acestea sunt adesea folosite în rezolvarea problemelor și ecuațiilor. Mai jos sunt principalele formule incluse în această listă și numele lor.

Suma pătratului

Pentru a calcula pătratul sumei, trebuie să găsiți suma constând din pătratul primului termen, de două ori produsul primului termen cu al doilea și pătratul celui de-al doilea. Ca expresie, această regulă se scrie după cum urmează: (a + c) ² = a² + 2ac + c².

Diferența la pătrat

Pentru a calcula pătratul diferenței, trebuie să calculați suma constând din pătratul primului număr, de două ori produsul primului număr cu al doilea (luat cu semnul opus) și pătratul celui de-al doilea număr. Ca expresie, această regulă arată astfel: (a - c) ² = a² - 2ac + c².

Diferența de pătrate

Formula pentru diferența dintre două numere la pătrat este egală cu produsul sumei acestor numere prin diferența lor. Sub forma unei expresii, această regulă arată astfel: a² - c² = (a + c) · (a - c).

Cub suma

Pentru a calcula cubul sumei a doi termeni, este necesar să se calculeze suma formată din cubul primului termen, produsul triplu al pătratului primului termen și al doilea, produsul triplu al primului termen și al doilea pătratul, precum și cubul celui de-al doilea termen. Sub forma unei expresii, această regulă arată după cum urmează: (a + c) ³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Suma cuburilor

Conform formulei, este echivalat cu produsul sumei acestor termeni prin pătratul lor incomplet al diferenței. Sub forma unei expresii, această regulă arată după cum urmează: a³ + c³ = (a + c) · (a² - ac + c²).

Exemplu. Este necesar să se calculeze volumul figurii, care se formează prin adăugarea a două cuburi. Se cunosc doar dimensiunile laturilor lor.

Dacă valorile laterale sunt mici, atunci calculele sunt ușoare.

Dacă lungimile laturilor sunt exprimate în numere greoaie, atunci în acest caz este mai ușor să aplicați formula „Suma cuburilor”, care va simplifica foarte mult calculele.

Cub de diferență

Expresia pentru diferența cubică este următoarea: ca sumă a celei de-a treia puteri a primului termen, se triplează produsul negativ al pătratului primului termen cu al doilea, se triplează produsul primului termen cu pătratul celui de-al doilea. , și cubul negativ al celui de-al doilea termen. Sub forma unei expresii matematice, cubul diferenței arată astfel: (a - c) ³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Diferența de cuburi

Diferența dintre formula cuburilor diferă de suma cuburilor într-un singur semn. Astfel, diferența dintre cuburi este o formulă egală cu produsul diferenței acestor numere prin pătratul lor incomplet al sumei. În formă, diferența de cuburi arată astfel: a 3 - c 3 = (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Exemplu. Este necesar să se calculeze volumul figurii care va rămâne după scăderea cifrei volumetrice galbene din volumul cubului albastru, care este tot un cub. Se cunoaște doar dimensiunea laturii cubului mic și mare.

Dacă valorile laterale sunt mici, atunci calculele sunt destul de simple. Și dacă lungimile laturilor sunt exprimate în numere semnificative, atunci merită să utilizați o formulă intitulată „Cuburi de diferență” (sau „Cub de diferență”), care va simplifica foarte mult calculele.

Diferența de pătrate

Să derivăm formula pentru diferența pătratelor $ a ^ 2-b ^ 2 $.

Pentru a face acest lucru, amintiți-vă următoarea regulă:

Dacă adăugăm orice monom la expresie și scădem același monom, atunci obținem identitatea corectă.

Adăugați la expresia noastră și scădeți din ea monomiul $ ab $:

Total, obținem:

Adică, diferența dintre pătratele a două monomii este egală cu produsul diferenței lor prin suma lor.

Exemplul 1

Reprezentați ca produs $ (4x) ^ 2-y ^ 2 $

\ [(4x) ^ 2-y ^ 2 = ((2x)) ^ 2-y ^ 2 \]

\ [((2x)) ^ 2-y ^ 2 = \ stânga (2x-y \ dreapta) (2x + y) \]

Suma de cuburi

Obținem formula pentru suma cuburilor $ a ^ 3 + b ^ 3 $.

Scoateți în considerare factorii comuni:

Să scoatem $ \ stânga (a + b \ dreapta) $ în afara parantezelor:

Total, obținem:

Adică, suma cuburilor a două monomii este egală cu produsul sumei lor cu pătratul incomplet al diferenței lor.

Exemplul 2

Reprezentați ca produs $ (8x) ^ 3 + y ^ 3 $

Această expresie poate fi rescrisă după cum urmează:

\ [(8x) ^ 3 + y ^ 3 = ((2x)) ^ 3 + y ^ 3 \]

Folosind formula pentru diferența de pătrate, obținem:

\ [((2x)) ^ 3 + y ^ 3 = \ stânga (2x + y \ dreapta) (4x ^ 2-2xy + y ^ 2) \]

Diferența de cuburi

Să derivăm formula pentru diferența de cuburi $ a ^ 3-b ^ 3 $.

Pentru aceasta, vom folosi aceeași regulă ca mai sus.

Adăugați la expresia noastră și scădeți din ea monomiile $ a ^ 2b \ și \ (ab) ^ 2 $:

Scoateți în considerare factorii comuni:

Să scoatem $ \ stânga (a-b \ dreapta) $ în afara parantezelor:

Total, obținem:

Adică, diferența dintre cuburile a două monomii este egală cu produsul diferenței lor cu pătratul incomplet al sumei lor.

Exemplul 3

Reprezentați ca produs $ (8x) ^ 3-y ^ 3 $

Această expresie poate fi rescrisă după cum urmează:

\ [(8x) ^ 3-y ^ 3 = ((2x)) ^ 3-y ^ 3 \]

Folosind formula pentru diferența de pătrate, obținem:

\ [((2x)) ^ 3-y ^ 3 = \ stânga (2x-y \ dreapta) (4x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) \]

Un exemplu de probleme folosind formulele pentru diferența de pătrate și suma și diferența de cuburi

Exemplul 4

Factor.

a) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $

c) $ -x ^ 3 + \ frac (1) (27) $

Soluţie:

a) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $

\ [(((a + 5)) ^ 2-9 = (a + 5)) ^ 2-3 ^ 2 \]

Aplicând formula pentru diferența de pătrate, obținem:

\ [((a + 5)) ^ 2-3 ^ 2 = \ stânga (a + 5-3 \ dreapta) \ stânga (a + 5 + 3 \ dreapta) = \ stânga (a + 2 \ dreapta) (a +8) \]

Să scriem această expresie sub forma:

Să aplicăm formula cuburilor kuma:

c) $ -x ^ 3 + \ frac (1) (27) $

Să scriem această expresie sub forma:

\ [- x ^ 3 + \ frac (1) (27) = (\ stânga (\ frac (1) (3) \ dreapta)) ^ 3-x ^ 3 \]

Să aplicăm formula cuburilor kuma:

\ [(\ stânga (\ frac (1) (3) \ dreapta)) ^ 3-x ^ 3 = \ stânga (\ frac (1) (3) -x \ dreapta) \ stânga (\ frac (1) ( 9) + \ frac (x) (3) + x ^ 2 \ dreapta) \]

Formule de înmulțire prescurtate.

Studiul formulelor de înmulțire prescurtate: pătratul sumei și pătratul diferenței a două expresii; diferența de pătrate a două expresii; cubul sumei și cubul diferenței a două expresii; suma și diferența de cuburi a două expresii.

Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate la rezolvarea exemplelor.

Pentru a simplifica expresiile, a factoriza polinoamele și a aduce polinoamele într-o formă standard, se folosesc formule de înmulțire abreviate. Formulele de multiplicare prescurtate trebuie cunoscute pe de rost.

Fie a, b R. Atunci:

1. Pătratul sumei celor două expresii este pătratul primei expresii plus de două ori produsul primei expresii cu a doua plus pătratul celei de-a doua expresii.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Diferența la pătrat a celor două expresii este pătratul primei expresii minus de două ori produsul primei expresii cu a doua plus pătratul celei de-a doua expresii.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Diferența de pătrate două expresii este egală cu produsul diferenței dintre aceste expresii și suma lor.

a 2 - b 2 = (a -b) (a + b)

4. Cub suma a două expresii este egal cu cubul primei expresii plus de trei ori pătratul primei expresii și al doilea plus de trei ori produsul primei expresii și pătratul celei de-a doua plus cubul celei de-a doua expresii.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Cub de diferență două expresii este egal cu cubul primei expresii minus de trei ori pătratul primei expresii și a doua plus de trei ori produsul primei expresii și pătratul celei de-a doua minus cubul celei de-a doua expresii.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Suma cuburilor două expresii este egal cu produsul sumei primei și celei de-a doua expresii prin pătratul incomplet al diferenței acestor expresii.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Diferența de cuburi două expresii este egal cu produsul diferenței primei și celei de-a doua expresii prin pătratul incomplet al sumei acestor expresii.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate la rezolvarea exemplelor.

Exemplul 1.

calculati

a) Folosind formula pentru pătratul sumei a două expresii, avem

(40 + 1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Folosind formula pentru pătratul diferenței a două expresii, obținem

98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 = 9604

Exemplul 2.

calculati

Folosind formula pentru diferența dintre pătratele celor două expresii, obținem

Exemplul 3.

Simplificați expresia

(x - y) 2 + (x + y) 2

Folosim formulele pentru pătratul sumei și pătratul diferenței a două expresii

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Formule de înmulțire prescurtate într-un singur tabel:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

În lecțiile anterioare, am analizat două moduri de a factoriza un polinom în factori: paranteze și grupare.

În această lecție, vom analiza o altă modalitate de a factoriza un polinom folosind formule de înmulțire prescurtate.

Vă recomandăm să prescrieți fiecare formulă de cel puțin 12 ori. Pentru o memorare mai bună, scrieți pentru dvs. toate formulele pentru înmulțirea prescurtată pe o fișă mică.

Să ne amintim cum arată formula pentru diferența de cuburi.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Formula pentru diferența dintre cuburi nu este foarte ușor de memorat, așa că vă recomandăm să folosiți un mod special de memorare.

Este important să înțelegeți că orice formulă de înmulțire prescurtată funcționează și în reversul.

(a - b) (a 2 + ab + b 2) = a 3 - b 3

Să ne uităm la un exemplu. Este necesar să se factorizeze diferența dintre cuburi.

Rețineți că „27a 3” este „(3a) 3”, ceea ce înseamnă că pentru formula pentru diferența dintre cuburi, în loc de „a” folosim „3a”.

Folosim formula pentru diferența de cuburi. În locul „a 3” avem „27a 3”, iar în locul „b 3”, ca în formulă, există „b 3”.

Aplicând diferența de cuburi în direcția opusă

Să ne uităm la un alt exemplu. Doriți să convertiți produsul polinoamelor în diferența de cuburi folosind formula de înmulțire abreviată.

Vă rugăm să rețineți că produsul polinoamelor "(x - 1) (x 2 + x + 1)" seamănă cu partea dreaptă a formulei pentru diferența dintre cuburi "", numai că în loc de "a" există "x" și în loc de „b” există „1”...

Folosim pentru „(x - 1) (x 2 + x + 1)” formula pentru diferența de cuburi în direcția opusă.

Să ne uităm la un exemplu mai complicat. Este necesar să se simplifice produsul polinoamelor.

Dacă comparăm „(y 2 - 1) (y 4 + y 2 + 1)” cu partea dreaptă a formulei diferenței cuburilor
« a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)", Atunci puteți înțelege că în locul" a "din prima paranteză este" y 2, iar în locul "b" este "1".